专题04矩形期末易错与压轴题型专练(15大题型共计51道)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形章节高频易错与压轴题型，通过15个模块系统梳理性质理解、判定应用及综合问题，提炼针对性解题方法，培养几何直观与推理能力，构建从基础到复杂的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错模块（1-9）|含辨析、计算、证明等题型|性质辨析对比法、勾股定理计算、斜边中线模型、判定定理应用|从矩形性质理解到判定综合，层层递进夯实基础| |压轴模块（10-15）|含折叠、坐标系、动点等综合题|折叠全等+勾股方程、坐标线段转化、对称点求最值、旋转分类讨论|结合图形变换与动态问题，提升综合应用与模型意识|

专题04矩形期末易错与压轴题型专练 本专练聚焦矩形章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.矩形的性质理解 易错02.矩形的性质求角度 易错03.矩形的性质求线段长 易错04.斜边中线等于斜边的一半 易错05.矩形的判定定理理解 易错06.添条件使四边形是矩形 易错07.矩形的性质与判定求角度 易错08.矩形的性质与判定求线段长 易错09.矩形的性质与判定求面积 压轴10.矩形与折叠问题 压轴11.矩形与坐标系综合 压轴12.矩形与动点问题 压轴13.矩形与最值问题 压轴14.矩形与旋转综合 压轴15.矩形的存在性问题 易错01.矩形的性质理解 题型特征：概念辨析选择题，对比平行四边形、菱形区分性质。 易错点：①错认为矩形对角线互相垂直；②分不清矩形独有性质与平行四边形通用性质。 1．关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 3．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 4．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 易错02.矩形的性质求角度 题型特征：矩形对角线分割出等腰三角形，结合直角、平行线计算角度。 易错点：①不会利用对角线相等且平分推导等腰三角形倒角；②忽略矩形四个内角都是90°的隐藏条件。 5．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________  °． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知：如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)则______； (2)求的长． 易错03.矩形的性质求线段长 题型特征：结合对角线、勾股定理进行边长、对角线长度计算。 易错点：①对角线相关线段不会等量代换；②直角三角形勾股定理计算出错。 8．如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 9．如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为____ ． 10．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在四边形中，，，过点D作于点E，延长至点F，使得，连接，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 易错04.斜边中线等于斜边的一半 题型特征：依托矩形对角线衍生模型，或单独直角三角形求中线长度。 易错点：①识别不出图形中隐藏的直角三角形；②混淆直角三角形斜边与直角边。 12．如图，在中，，点D为的中点，若，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．如图，在矩形中，，，连接，延长至点E，使得，连接，点F是的中点，连接，则的长为______． 14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长． 易错05.矩形的判定定理理解 题型特征：选择题判断给出条件能否证明四边形为矩形。 易错点：忽略判定前提，对角线相等的普通四边形不能判定矩形，必须是平行四边形。 15．下列说法不正确的是（    ） A．有一个角为直角的平行四边形是矩形 B．有三个角为直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 16．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF．若，，则EF的长为（    ） A． B． C． D． 17．数学实践课上，同学们需要制作矩形框架，小组成员完成后，通过测量各框架的边、角或对角线，得到以下数据，其中不一定是矩形的是（     ） A．  B．     C．  D．   易错06.添条件使四边形是矩形 题型特征：填空、多选题，已知部分条件补充一个条件构成矩形。 易错点：填写无效陷阱条件，如只写对角线相等、仅有两个直角。 18．如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 19．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为矩形的是（ ） A． B． C． D． 20．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 21．如图，平行四边形中，点E、F分别为和边上的点，且满足． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形的对角线与满足条件____________时，四边形为矩形． .易错07.矩形的性质与判定求角度 题型特征：综合解答题，先证明四边形是矩形，再利用性质计算角度。 易错点：证明步骤跳步、逻辑不完整，缺少等量倒角推导过程，扣分严重。 22．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 23．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 24．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 易错08.矩形的性质与判定求线段长 题型特征：判定矩形+线段计算综合大题。 易错点：矩形判定书写格式不规范，线段等量转化思路混乱。 25．如图，在中，，，，是上一点，于点．于点，连接，则的最小值为___________． 26．如图，中，于，于，是三条高的交点，已知，，，则________． 27．如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点于点，点为四边形对角线交点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．如图，在中，，，点M在的延长线上，于N，交于点E，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)试确定的关系，并说明理由； (3)作于点F，若，，直接写出线段的长． 易错09.矩形的性质与判定求面积 题型特征：先判定图形为矩形，再代入边长计算面积。 易错点：前面矩形判定出错，连带面积计算全部失分；记错矩形面积公式 29．如图，对角线，交于点O，是等边三角形，，则的面积为（    ）    A． B． C． D．8 30．如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为________________． 31．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 32．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积S． 压轴10.矩形与折叠问题 典题特征：矩形沿任意直线翻折，折叠前后边角全等；依托直角构造直角三角形，设问求边长、折痕、重叠面积、角度，通用勾股定理列方程解题，部分题型需分多位置讨论。 难点：易混淆折叠对应边角，隐藏直角三角形难发现；线段等量关系梳理不全；多情况折叠容易漏解；不规则重叠面积不会割补换算。 33．如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 34．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 35．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 压轴11.矩形与坐标系综合 典题特征：矩形置于平面直角坐标系，给出边长/顶点坐标；结合一次函数、点坐标、线段平行垂直、图形面积计算，分静态求值、动态找点两类考法。 难点：坐标与线段长度转化易出错；直线解析式联立计算繁琐；利用坐标判断平行、垂直逻辑混乱；分割图形求面积不会拆分。 36．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 37．如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 38．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 压轴12.矩形与动点问题 典题特征：矩形双动点沿边匀速运动，设运动时间t，用含t代数式表示线段；分情况讨论图形形状（平行四边形、等腰梯形）、线段相等、重叠面积，分段列式计算。 难点：不会用参数t表示动线段；临界点判断不全导致漏分类；重叠面积需分段函数，分界点容易找错；计算量大易算错。 39．如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 40．如图所示，在中，，，，P是斜边上一动点，于点，于点，则长的最小值为______． 41．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 42．已知矩形纸片中，，点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到． (1)若，则的度数为_____°； (2)如图①，的顶点F恰好落在边上，求的长； (3)如图②，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． .压轴13.矩形与最值问题 典题特征：矩形内定点、边上动点，依托将军饮马、垂线段最短模型；求两线段和最小、周长最小值，需作对称点转化线段路径。 难点：找不到对称点作图；不会利用矩形直角、平行线转化线段；分不清何时取到最值，几何转化思路不清晰。 43．如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，小明按如下方式作图：①连接；②取的中点P，Q；③连接．若四边形是矩形，则长度的最大值为________． 44．如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． （1）当四边形是矩形时，线段的长为______； （2）在整个运动过程中的最大值为______． 45．如图，在中，，D、E、F分别是边上不与A、B、C重合的动点，且于E，于F，连接E、F，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．6 46．已知：是等边三角形，，点、分别是、边上的三等分点，，．如图所示，矩形的边经过点、，将矩形沿着边、折叠，折痕分别为、，，，则的最小值为（    ） A．17 B．24 C．25 D．26 压轴14.矩形与旋转综合 典题特征：小直角三角形/小矩形绕矩形顶点旋转；旋转前后边长、角度不变，分多个旋转位置设问，求边长、角度、重叠图形面积，常搭配全等证明。 难点：旋转后对应边角识别困难；多位置分类讨论易丢情况；旋转形成的复合图形边角推导复杂，等量代换繁琐。 47．如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是________． 48．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG．若，，当点E落在直线上时，线段的长为______． 49．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（   ） A．12 B． C．14 D． 压轴15.矩形的存在性问题 典题特征：坐标系/梯形背景下，已知两点或三点，在直线/坐标轴上找点，使四点构成矩形；利用矩形对角线相等且互相平分、直角斜率垂直两种方法求解。 难点：四点组合分类不完整漏解；中点坐标公式运用不熟练；区分平行四边形与矩形的判定条件混淆；多解计算容易遗漏。 50．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． (1)请直接写出点D的坐标； (2)动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 51．如图，在四边形中，，，，．，且、满足．点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)①当为何值时，四边形为平行四边形，并求此时四边形的周长； ②在运动过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04矩形期末易错与压轴题型专练 本专练聚焦矩形章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.矩形的性质理解 易错02.矩形的性质求角度 易错03.矩形的性质求线段长 易错04.斜边中线等于斜边的一半 易错05.矩形的判定定理理解 易错06.添条件使四边形是矩形 易错07.矩形的性质与判定求角度 易错08.矩形的性质与判定求线段长 易错09.矩形的性质与判定求面积 压轴10.矩形与折叠问题 压轴11.矩形与坐标系综合 压轴12.矩形与动点问题 压轴13.矩形与最值问题 压轴14.矩形与旋转综合 压轴15.矩形的存在性问题 易错01.矩形的性质理解 题型特征：概念辨析选择题，对比平行四边形、菱形区分性质。 易错点：①错认为矩形对角线互相垂直；②分不清矩形独有性质与平行四边形通用性质。 1．关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 【答案】A 【详解】解：矩形的对边相等，对角线相等，四个角都相等，但对角线不一定互相垂直． 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 3．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 【答案】C 【分析】根据中位线定理得到中点四边形边与原四边形对角线的关系，结合矩形性质推导即可． 【详解】解：点分别是四边形四边的中点，顺次连接得四边形为矩形，根据三角形中位线定理，可得：，， 四边形是矩形， ， ， 即四边形的两条对角线互相垂直， 4．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段垂直平分线，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据痕迹得出平分，垂直平分，然后得出角之间的关系和直角，然后确定四边形为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用角平分线的性质和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：各交点如图所示， 根据作图痕迹可得，平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 易错02.矩形的性质求角度 题型特征：矩形对角线分割出等腰三角形，结合直角、平行线计算角度。 易错点：①不会利用对角线相等且平分推导等腰三角形倒角；②忽略矩形四个内角都是90°的隐藏条件。 5．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________  °． 【答案】40 【分析】先根据矩形性质得到，，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，，然后进行角度运算可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质．先求解，证明是等边三角形，进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵，， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∴是等边三角形， ， ． 故选：A． 7．已知：如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)则______； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错03.矩形的性质求线段长 题型特征：结合对角线、勾股定理进行边长、对角线长度计算。 易错点：①对角线相关线段不会等量代换；②直角三角形勾股定理计算出错。 8．如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据矩形的性质知对角线相等和相互平分，结合垂直平分线的性质，得到等边三角形，根据等边三角形的性质和含直角三角形的性质得到长，从而得到的长，即的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为____ ． 【答案】1 【分析】利用矩形的性质与含的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 10．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】容易判断是等腰直角三角形，则，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，因此． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在四边形中，，，过点D作于点E，延长至点F，使得，连接，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，根据，即可得出结论； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】（1）证明：在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵于点E， ∴， 即， 解得. 易错04.斜边中线等于斜边的一半 题型特征：依托矩形对角线衍生模型，或单独直角三角形求中线长度。 易错点：①识别不出图形中隐藏的直角三角形；②混淆直角三角形斜边与直角边。 12．如图，在中，，点D为的中点，若，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为的中点， ∴． 13．如图，在矩形中，，，连接，延长至点E，使得，连接，点F是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求得，得到，利用勾股定理求得，证明和是等边三角形，据此求解即可 【详解】解：连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点F是的中点， ∴，， ∴，， 则， ∴是等边三角形， ∴． 14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证明 ，得出，从而推导出四边形为平行四边形再根据矩形定义即可证明四边形是矩形； （2）由于平行四边形对角线互相平分，可知是斜边中线，所以要求只要求即可，由(1)知，，所以可以通过求出，，进一步求出和，最后用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 平行四边形， 且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题是几何综合题，主要考查了平行四边形、矩形的性质与判定，以及全等三角形、勾股定理和直角三角形的三边关系，本题关键是灵活运用综合分析法将条件和结论有机结合起来． 易错05.矩形的判定定理理解 题型特征：选择题判断给出条件能否证明四边形为矩形。 易错点：忽略判定前提，对角线相等的普通四边形不能判定矩形，必须是平行四边形。 15．下列说法不正确的是（    ） A．有一个角为直角的平行四边形是矩形 B．有三个角为直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定逐个进行判断即可． 【详解】解：A、根据矩形的定义可知：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故A选项不符合题意； B、根据矩形的判定可知：有三个角为直角的四边形是矩形，正确，故B选项不符合题意； C、根据矩形的判定可知：对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故C选项不符合题意； D、根据菱形的判定可知：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直的平行四边形是矩形的说法不正确，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟记矩形的判定定理是解决问题的关键． 16．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF．若，，则EF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作于证明 四边形为矩形，再证明求解可得：再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作于 矩形ABCD， 四边形为矩形， 由对折可知： 四边形为矩形， 故选： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 17．数学实践课上，同学们需要制作矩形框架，小组成员完成后，通过测量各框架的边、角或对角线，得到以下数据，其中不一定是矩形的是（     ） A．  B．     C．  D．   【答案】B 【详解】：A、有三个角是直角的四边形是矩形，可判定该图形一定是矩形，不符合题意； B、如图，   ∵， ∴． ∵， ∴， ∴无法判断四边形是矩形，符合题意； C、根据两组对边分别相等，得该四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定该图形一定是矩形，不符合题意； D、根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可判定该图形一定是矩形，不符合题意． 易错06.添条件使四边形是矩形 题型特征：填空、多选题，已知部分条件补充一个条件构成矩形。 易错点：填写无效陷阱条件，如只写对角线相等、仅有两个直角。 18．如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：∵平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中， ∴ 平行四边形是矩形，该选项正确； 故选：D． 19．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】知识点：平行四边形的性质、矩形与菱形的判定定理．方法：根据矩形的判定条件（对角线相等的平行四边形是矩形），逐一分析选项是否符合判定要求．关键：区分矩形与菱形的判定条件（对角线相等→矩形；对角线垂直或邻边相等→菱形）．易错点：混淆矩形与菱形的判定条件，误将菱形的判定条件当作矩形的判定条件． 明确目标：找出能使平行四边形成为矩形的条件；回忆矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；逐一分析选项． 【详解】∵ 在平行四边形中，增加条件，∴ 对角线相等，∴ 平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D符合题意； 其他选项分析：选项A：，对角线垂直，可判定为菱形，不能判定矩形； 选项B：，是平行四边形已有性质，不能判定矩形； 选项C：，邻边相等，可判定为菱形，不一定为矩形． 故选D． 20．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 21．如图，平行四边形中，点E、F分别为和边上的点，且满足． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形的对角线与满足条件____________时，四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明结论； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当四边形的对角线与满足条件时，四边形为矩形． .易错07.矩形的性质与判定求角度 题型特征：综合解答题，先证明四边形是矩形，再利用性质计算角度。 易错点：证明步骤跳步、逻辑不完整，缺少等量倒角推导过程，扣分严重。 22．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 23．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 24．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 易错08.矩形的性质与判定求线段长 题型特征：判定矩形+线段计算综合大题。 易错点：矩形判定书写格式不规范，线段等量转化思路混乱。 25．如图，在中，，，，是上一点，于点．于点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 26．如图，中，于，于，是三条高的交点，已知，，，则________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，连接，构造平行四边形、矩形、平行四边形，利用平行四边形的性质推知，最后利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：连接，过点作于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是三条高的交点， ， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 在中，，则由勾股定理可得， ． 27．如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点于点，点为四边形对角线交点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，得，然后由垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、， ，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 当时，的值最小，则的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为， 的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型． 28．如图，在中，，，点M在的延长线上，于N，交于点E，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)试确定的关系，并说明理由； (3)作于点F，若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)且；见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得出四边形是矩形； （2）先证明，可得到，再由，得出，从而得出，可得出结论； （3）过点N作，并交于点P，设，则，可得出，，得出由勾股定理可得，列出方程，求得，最后由面积法求得结果． 【详解】（1）证明：，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D， ， 四边形是矩形； （2）解：，，理由如下： 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点N作，并交于点P， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ， ， ， 中，， ， （负值舍去）， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 易错09.矩形的性质与判定求面积 题型特征：先判定图形为矩形，再代入边长计算面积。 易错点：前面矩形判定出错，连带面积计算全部失分；记错矩形面积公式 29．如图，对角线，交于点O，是等边三角形，，则的面积为（    ）    A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】四边形是平行四边形，再加上对角线相等可证明是矩形，矩形面积的计算，底边长乘以高代入数值即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴， 即：， ∴平行四边形是矩形． ∵， 在中，由题意可知，，则， ∴平行四边形的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，重点掌握矩形的判定定理以及掌握求矩形的面积． 30．如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为________________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 由矩形，可得，，如图，过作于，于，则四边形是矩形，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 31．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 32．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积S． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 即， ，， 为线段的中点， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 压轴10.矩形与折叠问题 典题特征：矩形沿任意直线翻折，折叠前后边角全等；依托直角构造直角三角形，设问求边长、折痕、重叠面积、角度，通用勾股定理列方程解题，部分题型需分多位置讨论。 难点：易混淆折叠对应边角，隐藏直角三角形难发现；线段等量关系梳理不全；多情况折叠容易漏解；不规则重叠面积不会割补换算。 33．如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【答案】13 【分析】连接，，易得，，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，最小，进而可得出答案． 【详解】解：连接，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 由翻折可得， ， ， 当，，三点共线时，最小， ． 34．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质得出平行线，根据平行线的性质得出，再根据翻折的性质得出相等的角，最后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∵， ∴． 35．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用折叠的性质和平行线的性质证得，得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值； （2）根据勾股定理和三角形面积公式可求的边上的高，再乘以2即可得到的长． 【详解】（1）解：由折叠可知，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：即， 解得：， ； （2）解：在中，， 连接，交于， ，关于对称， ，， ， 故的长为． 压轴11.矩形与坐标系综合 典题特征：矩形置于平面直角坐标系，给出边长/顶点坐标；结合一次函数、点坐标、线段平行垂直、图形面积计算，分静态求值、动态找点两类考法。 难点：坐标与线段长度转化易出错；直线解析式联立计算繁琐；利用坐标判断平行、垂直逻辑混乱；分割图形求面积不会拆分。 36．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是长方形中，，可得点纵坐标和相同，又根据点在第二象限，，即可求出的横坐标. 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，， ∴． 37．如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 38．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标与图形性质解答即可； （2）分点在上和点在上两种情况，根据题意计算； （3）根据折叠可得，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）解：当点在边上时，， ∵，， ∴， ∴， 即：； 当点在上时， ∵，，， ∴， ∴， 即：； 综上，或； （3）解：设， 由折叠可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即：， 解得：， 即：. 压轴12.矩形与动点问题 典题特征：矩形双动点沿边匀速运动，设运动时间t，用含t代数式表示线段；分情况讨论图形形状（平行四边形、等腰梯形）、线段相等、重叠面积，分段列式计算。 难点：不会用参数t表示动线段；临界点判断不全导致漏分类；重叠面积需分段函数，分界点容易找错；计算量大易算错。 39．如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 【答案】/ 【分析】过点E作交于点G，先利用矩形的性质得出相关线段的长度，再由折叠的性质得到对应线段的长度，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求得的长，从而得到的长，设，则，利用勾股定理列出方程求得a的值，从而得出最终结果． 【详解】解：如图，过点E作交于点G， 在矩形中，，，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，,，，， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 在中，． 40．如图所示，在中，，，，P是斜边上一动点，于点，于点，则长的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，过点作交于点，由矩形的性质得出，故判断出长的最小值为的对应长度，根据三角形面积公式可得，解出即可． 【详解】解：连接，过点作交于点，如下图所示： ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 故长的最小值即为长的最小值， 当最小时，为的对应长度， 在中，，，， ∴， 结合三角形面积公式， 可得， 故， 解得， 即长的最小值为． 41．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 42．已知矩形纸片中，，点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到． (1)若，则的度数为_____°； (2)如图①，的顶点F恰好落在边上，求的长； (3)如图②，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠可知，据此求解即可； （2）在矩形折叠问题中，出现求线段长度，优先考虑勾股方程：易求，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）分两种情况：①当时，作辅助线，构建直角三角形，利用角直角三角形的性质求得的长；②当时，作辅助线，构建直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可求得的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知， ∴， （2）解：在矩形中， 由折叠可得， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： ①当时，如图，过F作于M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是长方形的对称轴， 如图③，连接，    ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图④，过F作，交于G，交于H，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． .压轴13.矩形与最值问题 典题特征：矩形内定点、边上动点，依托将军饮马、垂线段最短模型；求两线段和最小、周长最小值，需作对称点转化线段路径。 难点：找不到对称点作图；不会利用矩形直角、平行线转化线段；分不清何时取到最值，几何转化思路不清晰。 43．如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，小明按如下方式作图：①连接；②取的中点P，Q；③连接．若四边形是矩形，则长度的最大值为________． 【答案】5 【分析】如图，连接，，求解四边形是矩形时，，再进一步分析即可． 【详解】解：如图，连接，， 的中点分别是P，Q，N，， ， ∴四边形是平行四边形． 当四边形是矩形时，则． ∴点M到的距离不超过5，即， ∴长度的最大值为． 44．如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． （1）当四边形是矩形时，线段的长为______； （2）在整个运动过程中的最大值为______． 【答案】 4 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）根据矩形的性质，得到，，进而得到的长即为的长即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，圆周角定理得到点G在以为直径的圆上，进而得到当为直径时最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动， ∴， 当四边形是矩形时，则：，， ∴， ∴， ∵， ∴E，G两点重合， ∴； 故答案为：4； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G在以为直径的圆上， ∴当为直径时，最大，此时为， 故答案为：． 45．如图，在中，，D、E、F分别是边上不与A、B、C重合的动点，且于E，于F，连接E、F，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】连接，根据勾股定理求出，证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，即取得最小值，由面积法求出即可． 【详解】解：连接． 在中，，，， ． 于E，于F， ， ∴四边形是矩形， ， 当时，取得最小值，即取得最小值． ， ， 即的最小值为． 46．已知：是等边三角形，，点、分别是、边上的三等分点，，．如图所示，矩形的边经过点、，将矩形沿着边、折叠，折痕分别为、，，，则的最小值为（    ） A．17 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形和翻折，等边三角形的性质，轴对称的性质及勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并构造图形． 根据题意证明是等边三角形，得出，为定值，截去部分的矩形得出新矩形，作点关于点的对称点，连接，交于点，求出相关线段的长度，利用勾股定理求出，再利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，为定值，截去部分的矩形，可得如下图形， 此时，， 作点关于点的对称点，连接，交于点， 此时，值最小，为， ∴， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ∴ ∴的最小值为26． 故选：D． 压轴14.矩形与旋转综合 典题特征：小直角三角形/小矩形绕矩形顶点旋转；旋转前后边长、角度不变，分多个旋转位置设问，求边长、角度、重叠图形面积，常搭配全等证明。 难点：旋转后对应边角识别困难；多位置分类讨论易丢情况；旋转形成的复合图形边角推导复杂，等量代换繁琐。 47．如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答． 【详解】解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 48．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG．若，，当点E落在直线上时，线段的长为______． 【答案】或/或 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用旋转性质得对应边相等，同时考虑点E在直线上的两种位置． 由旋转性质得、；分点E在线段上和的延长线上两种情况，在中用勾股定理求，结合长度得，再在中用勾股定理求． 【详解】解：∵矩形绕点旋转得矩形， ∴，， ①当点在线段上时， 在中，， ∵， ∴， 在中，． ②当点在的延长线上时： ，， 在中，． 故答案为：或． 49．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（   ） A．12 B． C．14 D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为4的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交、于、，过点作垂足为， ∵矩形，点M是边的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为4的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：D． 压轴15.矩形的存在性问题 典题特征：坐标系/梯形背景下，已知两点或三点，在直线/坐标轴上找点，使四点构成矩形；利用矩形对角线相等且互相平分、直角斜率垂直两种方法求解。 难点：四点组合分类不完整漏解；中点坐标公式运用不熟练；区分平行四边形与矩形的判定条件混淆；多解计算容易遗漏。 50．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． (1)请直接写出点D的坐标； (2)动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点D的坐标为 (2) (3)当时，，；当时，， 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，则，，设，根据勾股定理得出，求出，则，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）分点P在上，点P在上讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分点P在上，点P在上讨论，根据等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质、平移的性质等知识求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点D的坐标为； （2）解：当点P在上时，，如图，此时， ∴； 当点P在上时，，如图，此时， ∵，， ∴， ∴； 综上，； （3）解：取中点E，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，， 解得， ∴， 当M在上方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∴； 当M在下方时， 同理可求； 当时，， 解得， ∴， 当M在x轴上方时，过作于H， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴A向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， 当M在x轴下方时， 同理可求， 综上，当时，，；当时，，． 51．如图，在四边形中，，，，．，且、满足．点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)①当为何值时，四边形为平行四边形，并求此时四边形的周长； ②在运动过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，四边形为平行四边形，平行四边形的周长； ②不存在四边形是矩形，理由见详解 (3)存在，当或时，为等腰三角形，理由见详解 【分析】（1）根据非负性得到，如图所示，过点作于点，则，可证四边形是矩形，则，由勾股定理得到，由此即可得到的长； （2）①根据题意得到，，，，，结合平行四边形的性质列式求解即可； ②根据矩形的性质列式得到，解方程即可； （3）根据点的运动，分类讨论：当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：、满足， ∵， ∴， 解得，， ∴，， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：①点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，则运动时间为秒， 点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动，则运动时间为秒， 设运动时间为秒， ∵动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止， ∴运动时间， 根据题意，，， ∴，， ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形的周长； ②不存在四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∴如图所示，当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，，不符合题意， ∴不存在四边形是矩形； （3）解：存在，当或时，为等腰三角形，理由如下， 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，； 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， 同理，，， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴此时点重合，点重合，，即是等腰三角形； 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， 同理，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $