精品解析：2026年浙江省宁波市北仑区中考二模考试数学试题

2026年九年级学业质量监测数学模拟试卷 考试须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．共4页，满分为120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似要求的计算，结果都不能用近似值表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴最小的数是． 2. 年，春假与五一相连，形成八天黄金假期，宁波旅游人数比往年明显增加．据官方数据显示，游客人数最多的是东钱湖旅游度假区，共接待万人次．其中“万”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】万． 3. 如图是某正方体的表面展开图，该正方体的每一个面上都有一个汉字，在原正方体中，与“国”字相对面上的汉字为（ ）． A. 港 B. 生 C. 态 D. 城 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答． 【详解】在原正方体中，与“国”字相对面上的汉字为“态”． 4. 下列式子运算结果为的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项和幂的运算法则，运用对应法则计算各选项结果即可判断. 【详解】对各选项逐一计算： 选项A：，结果不为，A错误； 选项B：根据同底数幂乘法法则，，结果不为，B错误； 选项C：根据幂的乘方法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不为，D错误． 5. 某位同学射击练习次的成绩为：，，，，，．则这次成绩的中位数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排序，再根据数据个数为偶数，计算中间两个数的平均数即可得到结果． 【详解】解：这次成绩从小到大排列为：，，，，，， ∴中位数为排序后第个数和第个数的平均数， ∴这次成绩的中位数是：． 6. 如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为， ∵如图，点的对应点为在第四象限， ∴的坐标为，即． 7. 《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．”大意是：现有甲、乙两人各持有若干钱财，甲若得到乙所有钱的一半，则甲共有50钱；乙若得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有50钱．问甲、乙各带了多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，据题意，下面方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干描述的两个等量关系，分别列出方程，即可得到正确的方程组． 【详解】设甲持钱数为，乙持钱数为， 甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50， 甲原有的钱加上乙钱数的一半等于50，可得方程 ， 又乙得到甲所有钱的三分之二后，乙共有钱50， 乙原有的钱加上甲钱数的三分之二等于50，可得方程 ，因此可列方程组为 ． 8. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 9. 如图，在中，，，点是从点出发，沿方向运动，，设的长为，的面积为，如图是的面积随着点的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断错误的是（ ）． A. 当点是的中点时，点是的三等分点 B. C. 两段抛物线的形状不相同 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】根据点是从点出发，沿方向运动分类①当点在上运动时，求出的值和的面积的函数解析式，②当点在上运动时，求出的面积的函数解析式；选项A，证明，结合点是的中点即可求解；选项B，根据图，判断是与轴的交点，求解即可；选项C，根据求出的函数解析式，进行比较即可；选项D，将点代入函数解析式中判断即可． 【详解】①如图，当点在上运动时，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴的面积为， 结合如图函数图象，可知当运动到点时，，的面积为， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ②如图，当点在上运动时， ∵，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为， 选项A，∵点是的中点时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的三等分点，故选项A不符合题意； 选项B，由图可知，是与轴的交点， ∴，解得：（舍），， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，当点在上运动时，，是开口向上的抛物线，当点在上运动时，，是开口向下的抛物线，， ∴两段抛物线的形状不相同，故选项C不符合题意； 选项D，由图可知，当时，， 将代入，， ∴点不在该函数图象上，故选项D符合题意． 10. 如图，在圆内接四边形中，于点，，，，，，的面积分别用，，，表示，则下列代数式是定值的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等推出，证明，运用相似性质设，，，，再根据结合勾股定理求出，，最后将选项一一求解进行判断即可． 【详解】∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴设，，，， ∵， ∴， ∵在、中， ∴根据勾股定理：，即， 选项A，，不是定值，故不符合题意； 选项B，，不是定值，故不符合题意； 选项C，，是定值，故符合题意； 选项D，，不是定值，故不符合题意． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】## 【解析】 【详解】． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 13. 盒子里面有个除了颜色外完全相同的球，其中个红球，个黄球．从中随机拿取个球，拿到黄球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单随机事件的概率公式求解即可． 【详解】解：∵有个除了颜色外完全相同的球，个黄球， ∴从中随机拿取个球，拿到黄球的概率是． 14. 如图，切于点，连接．已知，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据切线的性质结合，求出，再根据等边对等角求解即可． 【详解】∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，点、分别在轴、轴的正半轴上，双曲线与直线相交于、两点，若．则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为和，先根据和，推出，设，，即可推出，，再求出直线的解析式，求出点的坐标，最后根据即可求解． 【详解】如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为和， 则， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵、两点在上， ∴，， ∵设直线的解析式为：， 将，代入中， ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴， ∴． 16. 如图，等腰中，点E是线段上一点，点D为斜边上一点，且，过点C作交延长线于点F，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，根据相似三角形的性质可得得出，证明得出，设，则，勾股定理求得，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 是等腰直角三角形，  ，  ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴  是  的外角    又∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 三、解答题（本大题有8个小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值，再按照有理数加减法则求和． 【详解】解：． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①②得：，即，解得：， 将代入②中，即，解得：， ∴方程组的解为． 19. 如图，在中，，平分，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切值和已知条件求出长度，根据勾股定理即可求出长度． （2）根据角平分线的性质定理即可求出的长度，以及，设参数，结合已知条件，利用勾股定理即可求出的长度，再根据正切值等于对边比邻边即可求出答案． 【小问1详解】 解：中，，，， ， ， ， 在中，． 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示， ，，平分， ， 又， ∴， ∴， 设， ，， 在中，， ， ， 中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切值，角平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握如何利用正切值求已知线段，或者是利用已知线段比求正切值，以及角平分线性质定理． 20. 某校将开展“传染病及其预防”知识宣讲．为了解学生情况，宣讲前随机抽取了部分学生，调查学生对“传染病及其预防”的了解程度．调查问卷和统计结果描述如下： “传染病及其预防”了解情况调查问卷 问题为单选题，问题为解答题，请根据实际情况填写． 问题：在以下四个传染病相关知识中，你一共了解________个 ①传染病的类型 ②传染病的特点 ③传染病的传播途径 ④预防传染病的措施 ． ． ． ． 问题：你还想了解传染病的哪方面知识？________ 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查抽取学生总人数有多少？ （2）扇形的圆心角度数为多少？ （3）若该学校共有名学生，根据统计信息，估计该校个相关知识都了解的学生人数． 【答案】（1）名； （2）； （3）名． 【解析】 【分析】（1）用调查中选择的人数除以它所占的比例即可； （2）先求出调查中选择的人数，再用度乘以选择的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 本次调查抽取学生总人数：（名）； 【小问2详解】 回答C选项的人数有：（名）， 扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 估计该校个相关知识都了解的学生人数：（名）． 21. 如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）证明． （2）若，判断四边形的形状并证明． 【答案】（1）证明：连接，，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）四边形为矩形； 证明：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，再证明四边形为平行四边形，即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质得出，得出，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某天，甲骑自行车，乙骑电动车相约从北仑图书馆门口出发，沿同一条路线匀速行驶到相距的九峰山游玩，图表示甲、乙两人离终点的距离与甲行驶的时间之间的函数图象．图表示甲乙两人之间的路程差关于的函数图象． （1）计算甲和乙的速度（单位：千米/分）． （2）________，________，________ （3）为了保证及时联络，出发前甲乙都携带了对讲机，该对讲机可以直连通话的有效距离是千米，超过千米就会信号中断．请通过计算，甲在行驶过程中，是否一直可以与乙保持直连通话，若不能，请计算甲乙对讲机出现信号中断持续的时间． 【答案】（1）甲的速度：（千米/分），乙的速度：（千米/分） （2）；；； （3）不能， 设甲出发分钟时，两人相距超过， 当乙行驶中：，解得：， 当乙行驶完：，解得：， 综上， 所以甲乙对讲机出现信号中断持续的时间为：． 【解析】 【分析】（1）根据图运用速度路程时间即可求解； （2）结合图、图即可发现表示乙的出发时间，表示在分钟的时候，甲乙之间的路程差，表示甲乙两人相遇的时间，根据路程速度时间即可求解； （3）设甲出发分钟时，两人相距超过，根据题意设列出当乙行驶中甲乙之间的路程差超过千米的不等方程和当乙行驶完时甲乙之间的路程差超过千米的不等方程，即可求解． 【小问1详解】 甲的速度：（千米/分），乙的速度：（千米/分） 【小问2详解】 表示乙的出发时间，由图可以看出，乙在的时候开始出发，所以； 表示在分钟的时候，甲乙之间的路程差，此时乙未出发，甲已出发分钟，所以； 表示甲乙两人相遇的时间，即，解得：； 【小问3详解】 略． 23. 已知二次函数 （1）小顾同学说：当和时，函数值相等．你认为小顾同学的说法正确吗？请说明理由． （2）点为抛物线上一点，小庐同学发现：当时，n的最大值为6，根据小庐同学的发现，求出此时a的值． （3）当，时，，求k的取值范围． 【答案】（1）小顾同学的说法正确，理由如下： 当时，， 当时，， 所以当和时，函数值相等． （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把和分别代入函数解析式，即可求解； （2）求出抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，然后分两种情况：若，若，结合二次函数的性质解答即可； （3）由（2）得：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，根据题意可得点关于对称轴的对称点为点，再由，可得当时，函数取得最小值，最小值为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 若，此时抛物线上的点距离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴此时当时，函数取得最大值，最大值为， ∵点为抛物线上一点，当时，n的最大值为6， ∴，解得：； 若，此时抛物线上的点距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴此时当时，函数取得最大值，最大值为， ∵点为抛物线上一点，当时，n的最大值为6， ∴，解得：； 综上所述，a的值为或； 【小问3详解】 解：由（2）得：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，即点在抛物线上， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∵， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∵当时，， ∴． 24. 如图1，在中，，是的外接圆，点是弧上一点，弦交边于点，连接并延长交于点，交于点． （1）求证：平分 （2）当，求证： （3）如图2，当是直径时， ①若，，求边的长． ②设，，求关于的函数关系式． 【答案】（1）证明：如图，连接，， ∵，，， ， ， ∴平分． （2）证明：∵，， ∴， ∴． ， ． ∵，平分， ， ， ， ， ，， ， ∴． （3）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，，证明，即可得证； （2）由，得，由，得，由等腰三角形三线合一得，则，可得，根据等角对等边即可得证； （3）①过点作，交于点，利用相似三角形的判定与性质得到，设，则，则, ，，利用相似三角形的判定与性质求得值，再利用勾股定理求得，最后利用相似三角形的判定与性质求得，则；②过点作，交于点，类比①的方法表示，和的长度，利用圆周角定理，得到，则结论可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，过点作，交于点， 由（1）知：平分， ， ． ， ， ∴， ∴． ， ， ∴． 设，则， ， ，． ，， ， ∴， ， ， ， ， ． ， ． 是直径， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ． ②如图，过点作，交于点， 由（1）知：平分， ， ． ， ， ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴． ， ， ∴． 设，则， ， ，． ． ，， ， ∴， ， ， ，， ， ， ， ． 是直径， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业质量监测数学模拟试卷 考试须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．共4页，满分为120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似要求的计算，结果都不能用近似值表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ）． A. B. C. D. 2. 年，春假与五一相连，形成八天黄金假期，宁波旅游人数比往年明显增加．据官方数据显示，游客人数最多的是东钱湖旅游度假区，共接待万人次．其中“万”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图是某正方体的表面展开图，该正方体的每一个面上都有一个汉字，在原正方体中，与“国”字相对面上的汉字为（ ）． A. 港 B. 生 C. 态 D. 城 4. 下列式子运算结果为的是（ ）． A. B. C. D. 5. 某位同学射击练习次的成绩为：，，，，，．则这次成绩的中位数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．”大意是：现有甲、乙两人各持有若干钱财，甲若得到乙所有钱的一半，则甲共有50钱；乙若得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有50钱．问甲、乙各带了多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，据题意，下面方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点是从点出发，沿方向运动，，设的长为，的面积为，如图是的面积随着点的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断错误的是（ ）． A. 当点是的中点时，点是的三等分点 B. C. 两段抛物线的形状不相同 D. 点在该函数图象上 10. 如图，在圆内接四边形中，于点，，，，，，的面积分别用，，，表示，则下列代数式是定值的是（ ）． A. B. C. D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 13. 盒子里面有个除了颜色外完全相同的球，其中个红球，个黄球．从中随机拿取个球，拿到黄球的概率是________． 14. 如图，切于点，连接．已知，则的度数为________． 15. 如图，点、分别在轴、轴正半轴上，双曲线与直线相交于、两点，若．则的面积是________． 16. 如图，等腰中，点E是线段上一点，点D为斜边上一点，且，过点C作交延长线于点F，若，，则________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，在中，，平分，，． （1）求的长； （2）求的值． 20. 某校将开展“传染病及其预防”知识宣讲．为了解学生情况，宣讲前随机抽取了部分学生，调查学生对“传染病及其预防”的了解程度．调查问卷和统计结果描述如下： “传染病及其预防”了解情况调查问卷 问题为单选题，问题为解答题，请根据实际情况填写． 问题：在以下四个传染病相关知识中，你一共了解________个 ①传染病的类型 ②传染病的特点 ③传染病的传播途径 ④预防传染病的措施 ． ． ． ． 问题：你还想了解传染病的哪方面知识？________ 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查抽取学生总人数有多少？ （2）扇形的圆心角度数为多少？ （3）若该学校共有名学生，根据统计信息，估计该校个相关知识都了解的学生人数． 21. 如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）证明． （2）若，判断四边形的形状并证明． 22. 某天，甲骑自行车，乙骑电动车相约从北仑图书馆门口出发，沿同一条路线匀速行驶到相距的九峰山游玩，图表示甲、乙两人离终点的距离与甲行驶的时间之间的函数图象．图表示甲乙两人之间的路程差关于的函数图象． （1）计算甲和乙的速度（单位：千米/分）． （2）________，________，________ （3）为了保证及时联络，出发前甲乙都携带了对讲机，该对讲机可以直连通话的有效距离是千米，超过千米就会信号中断．请通过计算，甲在行驶过程中，是否一直可以与乙保持直连通话，若不能，请计算甲乙对讲机出现信号中断持续的时间． 23. 已知二次函数 （1）小顾同学说：当和时，函数值相等．你认为小顾同学的说法正确吗？请说明理由． （2）点为抛物线上一点，小庐同学发现：当时，n最大值为6，根据小庐同学的发现，求出此时a的值． （3）当，时，，求k取值范围． 24. 如图1，在中，，是外接圆，点是弧上一点，弦交边于点，连接并延长交于点，交于点． （1）求证：平分 （2）当，求证： （3）如图2，当是直径时， ①若，，求边长． ②设，，求关于的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $