精品解析：安徽淮南市高新技术开发区寿县高新区教联体2025-2026学年七年级下学期5月阶段检测数学试题

七年级阶段评估（七） 数学（沪科版） 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上表示不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是不等式的一个解，则a的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 3 6. 关于代数式的值说法正确的是（ ） A. 时最小 B. 时最大 C. 时最大 D. 时最小 7. 某施工队需铺设总长1200米的雨污分流管道，因中考期间施工管控，为确保工程在中考前完工，该施工队实际铺设时，工作效率比原计划提高了，最终提前4天完成全部铺设任务．设原计划每天铺设管道的长度为x米，则下列所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 9. 若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如果，，是正数，且满足，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：________5（填“>”“<”或“=”）. 12. 2026年4月，合肥某科技公司的半导体12英寸晶圆再生项目正式奠基，其自主研发的再生工艺成功突破19纳米技术节点，工艺中关键结构的特征尺寸为米．其中数据用科学记数法表示为______． 13. 小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下： 超市 优惠方式 甲 所有厨房用品按标价的八折优惠 乙 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠 总标价超过200元的部分，按六折优惠 通过计算，小周妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x的取值范围为______． 14. 对于任意的整数a，如果，则称t为a的“最简平方差”，a为t的“平方差分解数”．例如：，则15为4的“最简平方差”，4为15的“平方差分解数”．已知“最简平方差”m，n对应的“平方差分解数”分别为x，y． （1）______；（用含x，y的代数式表示） （2）若，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解方程：． 18. 已知关于x的方程，其中b是常数． （1）若该方程的解满足，求b的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最大负整数解，求b的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 20. 观察下列每个图形中最外圈的小正方形个数，归纳图中的等式规律： （1）照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为______； （2）（ⅰ）写出第n个图中的等式（用含n的式子表示），并说明其正确性； （ⅱ）利用（ⅰ）中的等式规律计算：． 六、（本题满分12分） 21. 定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“4阶分式”． （1）填空：分式与互为“______阶分式”； （2）已知分式与A互为“2阶分式”，求分式A； （3）已知分式，，且B与4C互为“3阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 七、（本题满分12分） 22. 已知正方形A和B，其边长分别为m，，如图1．现将正方形B放在正方形A的内部得到图2，将正方形A和B并列放置后构造新的正方形得到图3． （1）若图2和图3中阴影部分的面积分别为1和24，求的值； （2）要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以m，n为边的长方形多少个？ （3）在（1）的条件下，三个正方形A和两个正方形B按如图4摆放，求阴影部分的面积． 八、（本题满分14分） 23 根据以下信息，按要求完成下列任务． 社区运动健身器材采购创意探究项目 项目背景 某社区响应国家卫健委的“体重管理年”号召，将举办社区趣味运动会暨“阳光体育，健康生活”健身月活动，为进一步激发社区公民的运动热情，完善社区运动设施，决定采购甲、乙两种健身器材，这两种器材安全耐用、趣味与锻炼效果兼备，能为社区公民的健身运动增添活力，帮助大家养成坚持锻炼的好习惯． 项目要求 运用方程与不等式的数学思想解决采购中的实际问题，确保过程的准确性与规范性． 信息展示 信息1 已知甲种器材的单价是乙种器材单价的倍， 信息2 用600元单独购买甲种器材比单独购买乙种器材要少10件． 信息3 社区计划购买甲、乙两种器材共40件作为奖品与共享器材，但有两个重要的限制条件需要考虑：①投入的经费不能超过1020元；②要使购买的甲种器材数量不少于乙种器材的数量． 问题解决 （1）求购买一件甲种器材和一件乙种器材分别需要多少元？ （2）综合考虑这些条件，运用数学知识，探究社区共有几种可行的采购方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种器材的具体购买数量． （3）在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成件构成，找出总费用最低的采购方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级阶段评估（七） 数学（沪科版） 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不等于0， ∴分式的分母满足， 解得：． 2. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是将一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A的右边是和的形式，不是整式乘积的形式，A不是因式分解； 选项B的右边是和的形式，不是整式乘积的形式，B不是因式分解； 选项C是从整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，C不是因式分解； 选项D将多项式化为两个整式和的乘积，符合因式分解的定义，D是因式分解． 3. 如图，数轴上表示的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：数轴上表示的不等式组的解集． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法法则，逐一计算判断即可得到结果． 【详解】解：A选项中，，计算正确； B选项中，，计算错误； C选项中，，计算错误； D选项中，，计算错误． 5. 已知是不等式的一个解，则a的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解的定义，将代入原不等式，得到关于的不等式，求解的取值范围后，即可匹配选项得到答案． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴将代入不等式得：， 化简得， ∵四个选项中只有，符合要求． 6. 关于代数式的值说法正确的是（ ） A. 时最小 B. 时最大 C. 时最大 D. 时最小 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 7. 某施工队需铺设总长1200米的雨污分流管道，因中考期间施工管控，为确保工程在中考前完工，该施工队实际铺设时，工作效率比原计划提高了，最终提前4天完成全部铺设任务．设原计划每天铺设管道的长度为x米，则下列所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“原计划施工天数减去实际施工天数等于提前完工的天数”这一等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设原计划每天铺设管道的长度为米，管道总长为1200米， ∴原计划施工天数为天， ∵实际工作效率比原计划提高了， ∴实际每天铺设管道长度为米，实际施工天数为天， ∵工程提前4天完成，即原计划天数比实际天数多4天， ∴列方程得：． 8. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：对图①，原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证； 对图②，原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； 对图③，原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； 对图④，原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证；即可以验证的有①②③． 9. 若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先按解分式方程步骤求出关于的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列不等式组求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：原分式方程变形为： 方程两边同乘（分母不为0，因此）去分母得： 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴ 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的取值范围为且． 10. 如果，，是正数，且满足，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得出，，，可得，把代入，求值即可． 【详解】解：∵，，是正数，且满足， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：________5（填“>”“<”或“=”）. 【答案】> 【解析】 【分析】先估算出的范围，然后对其与5进行进一步比较即可. 【详解】∵，∴， ∴， 故答案为：＞. 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握相关方法是解题关键. 错因分析 容易题.失分原因是：①没有掌握对于含根号的实数比较大小的方法；②对于根式的运算法则掌握不扎实. 12. 2026年4月，合肥某科技公司的半导体12英寸晶圆再生项目正式奠基，其自主研发的再生工艺成功突破19纳米技术节点，工艺中关键结构的特征尺寸为米．其中数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义确定和的值即可求解，绝对值小于的数用科学记数法表示的形式为，其中，为原数小数点移动的位数． 【详解】解：对于，将小数点向右移动位可得到，满足，因此，，可得． 13. 小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下： 超市 优惠方式 甲 所有厨房用品按标价的八折优惠 乙 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠 总标价超过200元的部分，按六折优惠 通过计算，小周的妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据在乙超市购买这批厨房用品更加划算，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意可得总标价不超过200元时甲的折扣更多，更优惠， ∴在乙超市购买这批厨房用品更加划算时，， ∴根据题意得， 解得． 14. 对于任意的整数a，如果，则称t为a的“最简平方差”，a为t的“平方差分解数”．例如：，则15为4的“最简平方差”，4为15的“平方差分解数”．已知“最简平方差”m，n对应的“平方差分解数”分别为x，y． （1）______；（用含x，y的代数式表示） （2）若，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据“最简平方差”定义和“平方差分解数”的定义，进行求解即可； （2）根据，得出，根据x，y均为整数，分类求出结果即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，，则； （2）∵， ∴， 即， ∵x，y均为整数， ∴或或或 ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，求值为 【解析】 【分析】先对括号内分式通分合并，再把除法转化为乘法，因式分解后约分化简代数式，最后将代入最简式计算数值． 【详解】原式， 当时，原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母，得， 整理得， 解得． 经检验，把代入， 所以该分式方程的解为． 18. 已知关于x的方程，其中b是常数． （1）若该方程解满足，求b的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最大负整数解，求b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解方程得出，然后根据，列出不等式，解不等式即可； （2）先解不等式得出，从而得出x的最大负整数值为，然后将代入，求出b的值即可． 【小问1详解】 解：解方程，得： ， 又， 所以， 解得：； 【小问2详解】 解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 所以x的最大负整数值为， 所以， 解得：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据整体思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值； （2）根据整体的思想，将代数式变形为含的式子，代入求值即可. 【小问1详解】 解：原式 ， 当时， 原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 原式 ． 20. 观察下列每个图形中的最外圈的小正方形个数，归纳图中的等式规律： （1）照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为______； （2）（ⅰ）写出第n个图中的等式（用含n的式子表示），并说明其正确性； （ⅱ）利用（ⅰ）中的等式规律计算：． 【答案】（1）32 （2）（ⅰ）．理由如下： 左边 右边， ∴等式成立； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据给出的前三个图形中最外圈小正方形个数规律，得出答案即可； （2）（ⅰ）根据第（1）问得出规律，得出，根据平方差公式进行计算即可； （ⅱ）根据得出的规律进行计算即可． 【小问1详解】 解：第1个图形中最外圈的小正方形个数为， 第2个图形中最外圈的小正方形个数为， 第3个图形中最外圈的小正方形个数为， 照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为； 【小问2详解】 解：（ⅰ）略； （ⅱ） ． 六、（本题满分12分） 21. 定义：若两个分式和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“4阶分式”． （1）填空：分式与互为“______阶分式”； （2）已知分式与A互为“2阶分式”，求分式A； （3）已知分式，，且B与4C互为“3阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中给的定义，将两个分式相加，同分母分式相加，分母不变，分子相加； （2）分式与A互为“2阶分式”，，异分母分式相减，先通分，化为同分母分式进行相减，同分母分式相减，分母不变，分子相减； （3）B与4C互为“3阶分式”，，异分母分式相加，先通分，化为同分母分式相加，同分母分式相加，分母不变，分子相加． 【小问1详解】 解：， 所以与互为“4阶分式” 【小问2详解】 ∵分式与A互为“2阶分式”， ∴； 【小问3详解】 ∵分式，，且B与4C互为“3阶分式”， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】异分母的分式相加减时，取最简公分母通分运算． 七、（本题满分12分） 22. 已知正方形A和B，其边长分别为m，，如图1．现将正方形B放在正方形A的内部得到图2，将正方形A和B并列放置后构造新的正方形得到图3． （1）若图2和图3中阴影部分的面积分别为1和24，求的值； （2）要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以m，n为边的长方形多少个？ （3）在（1）的条件下，三个正方形A和两个正方形B按如图4摆放，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）需要以m，n为边的长方形11个 （3） 【解析】 【分析】（1）由图2和图3的阴影部分面积为1和24可得，，然后展开计算即可求解； （2）计算，得到项的系数即可； （3）由（1）知，，求出，，则，再展开代入求解即可． 【小问1详解】 解：由图2得， 则． 由图3得， 得． 所以， 解得； 【小问2详解】 解： ， 而以m，n为边的长方形面积为， 故需要以m，n为边的长方形11个； 【小问3详解】 解：由（1）知，， 所以， 又因为， 所以． 因为， 所以， 所以 ． 八、（本题满分14分） 23. 根据以下信息，按要求完成下列任务． 社区运动健身器材采购创意探究项目 项目背景 某社区响应国家卫健委的“体重管理年”号召，将举办社区趣味运动会暨“阳光体育，健康生活”健身月活动，为进一步激发社区公民的运动热情，完善社区运动设施，决定采购甲、乙两种健身器材，这两种器材安全耐用、趣味与锻炼效果兼备，能为社区公民的健身运动增添活力，帮助大家养成坚持锻炼的好习惯． 项目要求 运用方程与不等式的数学思想解决采购中的实际问题，确保过程的准确性与规范性． 信息展示 信息1 已知甲种器材的单价是乙种器材单价的倍， 信息2 用600元单独购买甲种器材比单独购买乙种器材要少10件． 信息3 社区计划购买甲、乙两种器材共40件作为奖品与共享器材，但有两个重要的限制条件需要考虑：①投入的经费不能超过1020元；②要使购买的甲种器材数量不少于乙种器材的数量． 问题解决 （1）求购买一件甲种器材和一件乙种器材分别需要多少元？ （2）综合考虑这些条件，运用数学知识，探究社区共有几种可行的采购方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种器材的具体购买数量． （3）在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成件构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】（1）甲种器材的单价为30元，乙种器材的单价为20元； （2）共有3种方案：方案一：购买甲种器材20件，乙种器材20件；方案二：购买甲种器材21件，乙种器材19件；方案三：购买甲种器材22件，乙种器材18件； （3）购买甲种器材20件，乙种器材20件，这个方案总费用最低 【解析】 【分析】（1）设乙种器材的单价为x元，则甲种器材的单价为1.5x元，根据题意列出分式方程，据此求解即可； （2）设购进甲种器材a件，则购进乙种器材件，根据题意列出不等式组，据此求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出费用最低的采购方案． 【小问1详解】 解：设乙种器材的单价为x元，则甲种器材的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根， 则， 答：甲种器材的单价为30元，乙种器材的单价为20元； 【小问2详解】 解：设购进甲种器材a件，则购进乙种器材件， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种器材20件，乙种器材20件； 方案二：购买甲种器材21件，乙种器材19件； 方案三：购买甲种器材22件，乙种器材18件； 【小问3详解】 解：方案一总花费：元； 方案二总花费：元； 方案三总花费：元； ∴方案一总花费最低． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $