第二十章 勾股定理 期末复习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本练习以勾股定理为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展创新三层设计，实现从单一知识点到跨情境综合应用的进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股数、直角三角形判定、基本计算|以选择填空为主，直接考查概念辨析与公式应用，如勾股数识别、简单直角三角形边长计算| |综合应用|实际情境应用、几何图形综合|结合生活场景（折断树、蚂蚁爬行）与几何综合题（垂直平分线、四边形面积），培养空间观念与问题解决能力| |拓展创新|数学文化、规律探究、动态问题|融入赵爽弦图、青朱出入图等数学史内容，设计勾股树规律、操作变换等探究题，发展创新意识与推理能力|

八年级下期末复习 第二十章 勾股定理 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．6，8，10 D．3，3，3 2．的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（      ） A． B． C． D． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的赵爽在《周髀算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 5．一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（     ） A．4 B． C． D．4或 6．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 7．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．12 C．24 D．36 8．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 9．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 12．如图，在中，，．过点C作，且，连接，称为第1次操作；过点作，且，连接，称为第2次操作；过点作，且，连接，称为第3次操作；……，则第2026次操作后，的长为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，A、B为数轴上两点，，过点B作，且．以点A为圆心、的长为半径作圆弧交数轴于点P．若点P所表示的数是，则点A表示的数是__________． 14．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 15．如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______．    16．如图所示，底面周长为24，高为5的圆柱表面上有一只蚂蚁（A处）和一滴蜂蜜（B处）．蚂蚁从A处出发沿着圆柱表面爬行，可通过或两种不同路径到B处吃蜂蜜，那么蚂蚁爬行的最短路径长是______． 17．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 18．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 三、解答题 19．如图，在中，，a，b，c分别表示，，的对边． (1)已知，，求a，b． (2)已知，，求a，c． 20．如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． (1)求证：； (2)若E为中点，，求的值． 21．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 22．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 23．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 24．按要求作图： (1)网格中每个正方形边长为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画出以下图形． ①请在图（a）中画一条长为的线段； ②请在图（b）中画一个三角形，使它的三边长分别为． (2) 图（c）中有一个腰长为2的等腰直角三角形纸片，请你在图中画出适当的裁剪线，将这个三角形不重不漏地拼成一个正方形，并在图（d）网格纸上画出这个正方形． 25．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图①．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． (1)在图②中，每个小正方形的边长为1，画出顶点在格点的其中； (2)在图③中，设，，平行于轴，平行于轴，则___________．___________．由此得到平面直角坐标系内两点间的距离公式：； (3)应用平面内两点间的距离公式，求点，之间的距离． 26．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下期末复习 第二十章 勾股定理 答案 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．6，8，10 D．3，3，3 【答案】C 2．的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（      ） A． B． C． D． 【答案】D 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的赵爽在《周髀算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 【答案】D 5．一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（     ） A．4 B． C． D．4或 【答案】D 6．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 【答案】D 7．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．12 C．24 D．36 【答案】C 8．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 9．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 10．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 11．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 12．如图，在中，，．过点C作，且，连接，称为第1次操作；过点作，且，连接，称为第2次操作；过点作，且，连接，称为第3次操作；……，则第2026次操作后，的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 二、填空题 13．如图，A、B为数轴上两点，，过点B作，且．以点A为圆心、的长为半径作圆弧交数轴于点P．若点P所表示的数是，则点A表示的数是__________． 【答案】 14．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 15．如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______．    【答案】 16．如图所示，底面周长为24，高为5的圆柱表面上有一只蚂蚁（A处）和一滴蜂蜜（B处）．蚂蚁从A处出发沿着圆柱表面爬行，可通过或两种不同路径到B处吃蜂蜜，那么蚂蚁爬行的最短路径长是______． 【答案】 17．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 【答案】2027 18．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【答案】 三、解答题 19．如图，在中，，a，b，c分别表示，，的对边． (1)已知，，求a，b． (2)已知，，求a，c． 【答案】(1)， (2)， 20．如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． (1)求证：； (2)若E为中点，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 21．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2) 22．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析 (2) 23．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)是等边三角形，理由见解析 24．按要求作图： (1)网格中每个正方形边长为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画出以下图形． ①请在图（a）中画一条长为的线段； ②请在图（b）中画一个三角形，使它的三边长分别为． (2)图（c）中有一个腰长为2的等腰直角三角形纸片，请你在图中画出适当的裁剪线，将这个三角形不重不漏地拼成一个正方形，并在图（d）网格纸上画出这个正方形． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 25．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图①．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． (1)在图②中，每个小正方形的边长为1，画出顶点在格点的其中； (2)在图③中，设，，平行于轴，平行于轴，则___________．___________．由此得到平面直角坐标系内两点间的距离公式：； (3)应用平面内两点间的距离公式，求点，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)17 26．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少1米 (3)米 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $