广东省广州育才中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

广州市育才中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分150分，考试时间120分钟。 一、单项选择题：（每小题5分，共40分） 1．已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（ ） A． B． C．或 D． 2．如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ） A． B． C． D． 3．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 4．中，，，，则（ ）． A． B． C． D． 5．在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 6．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶，间架设一条索道．为测量，间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，，，在处测得山顶，的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，，且测得，则，间的距离为（ ） A． B． C． D． 7．如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值（ ） A．2 B．9 C．8 D．18 二、多项选择题：（每小题6分，共18分） 9．若复数，则（ ）． A． B．在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．复数满足，则的最大值为 10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D．的最大值为3 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 三、填空题（每空5分，共15分） 12．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________． 13．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为________． 14．若正方形的边长为，，分别为，的中点，为线段上的动点（含端点），则的取值范围为___________． 四、解答题（共77分）： 15．（13分）已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16．（15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，，设为的角平分线，求的长． （3）若，且的面积为，求的周长． 17．（15分）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 18．（17分）在中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 19．（17分）如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形． （1）证明：平面面； （2）若，求直线和所成角的余弦值； （3）点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 学科网（北京）股份有限公司 $