广东省广州育才中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

广州市育才中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题者：余海棠审核人：马细惠 本试卷分第【卷（选择题)和第l卷（非选择题)，总分150分，考试时间120分钟。 一、单项选择题：（每小题5分，共40分） 1.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C所对的边，若B=60,b=5,c=√2，则C=() A、45° B.30° C.45°或135° D.60° 2.如图所示，已知正方形OA'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图， 则其原图形的周长为() A.4 B.2+2W5 C.2W2 D.8 3、设m,n是不同的直线，a,B是不同的平面，则下列命题正确的是() A.m⊥n,n/1a,则m⊥c 每.m∥n,m⊥x,ncB→x⊥B .m⊥，a⊥B,则m11B 成m/1B,B⊥a,则m⊥a 4.△ABC中，a=2,b=3,c=4,则AB.BC=(). B 3-2 D 11 5.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，则点C到平面AB,C的距离为（) 5 B.23 c.3 3 3 1-3 6.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江 发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉。如图，计划在猫儿山的两个山 顶M,N间架设一条索道，为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点A,B,C,在A处 测得山顶M,W的仰角分别为60°和30°，测得两个山顶的高分别为MC=500W3m,NB=250W2m,且测得 ∠MAN=45°，则M,W间的距离为() A、500N2m B.250√6m 心.500√3m D500m 高一数学试卷第1页共4页 7.如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，AB=10, AB=6,现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水 的总体积为（) B.J850 /0 A.148 9 6734 D C.196 D. 27 图2 8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于 不同的两点M,W,若恋=mA,AC=n,m>0,n>0,则2+8的最小值() m n .2 B.9 C.8 .18 二、多项选择题：（每小题6分，共18分） 9. 若复数2=3-51 1-,则(). A.1z17 、z在复平面内对应的点位于第三象限 ，z=4-i D.复数w满足|w=1,则|w-z的最大值为√17+1 10.已知向量a=(1,v3),万=(cosa,sina),则下列结论正确的是( ,若a/i,则a=号 B.若aLb,则tana=- 5 C.若石在a上的投影向量为-4，则向量五与6的夹角为 D.a-的最大值为3 11.如图，在棱长为2的正方体中ABCD-AB,C,D,E为线段CC的中点，F为线段AB上的动点（含端 点)，则下列结论正确的有() A.过A,D,E三点的平面截正方体ABCD-ABCD,所得的截面的面积为 9 D B、异面直线DF与D,C所成角的取值范围是 元元 L42」 C.当F在线段AB上运动时，三棱锥C-AFD的体积不变 F D D.FA+FC的最小值为2W2+√2 高一数学试卷第2页共4页 三、填空题（每空5分，共15分) 12。已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 则该圆锥的体积为 13.如图，正三棱柱ABC-AB,C的底面边长是2，侧棱长是2√3，M为AC的中点， N是侧面BCC,B内的动点，且MN//平面ABC,则点N的轨迹的长度为 14.若正方形ABCD的边长为2，E,F分别为BC,CD的中点，P为线段EF上的动点（含端点)， 则PB.PD的取值范围为 四、解答题（共77分）： 15.(13分)已知向量a,5满足凤风=2，同=1，且ā与6的夹角为号 (1)若(2a+)1(a-),求实数2的值： (2)求b与ā+2b的夹角的余弦值、 16.(15分)已知a,b,c分别为△MBC三个内角A,B,C的对边，且bcos4- -asin B=0. (1)求A; (②)若b=4,c=6,设AD为△ABC的角平分线，求AD的长， (3)若a=2,且△ABC的面积为F,求△ABC的周长 17、(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形， PD=AB=2,E为PC中点， (I)求证：PA/平面BDE: (2)求证：DE⊥平面PCB; (3)求直线PA与平面PBD所成角的大小. 0 B 18.(17分)在△ABC中，角4，B,C所对的边分别是a,b,c,且(c-2a)osB=b(2cosA-V5sinC). (1)求B; ②若D是边4C上靠近A的三等分点，4=2，BD=2V5,求△ABC的面积： 3 (3)若△ABC为锐角三角形，且b=√5，求2a-c的取值范围. B 19.(17分)如图1，在三棱锥A-BCD中，平面ABDL平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. a△OCD是边长为2的等边三角形. (1)证明：平面AOC⊥面BCD; (2)若AB=2√2，求直线AB和CD所成角的余弦值； (3)点E在棱AD上，如图2，AE=号4D,三棱锥A-BCD的体积为4， 求二面角E-BC-D平面角的正切值. E B D B 图1 图2 高一数学试卷第4页共4页