广东2025-2026学年第二学期八年级下学期数学期末模拟二

**基本信息** 2025-2026学年八年级下学期数学期末模拟卷，以文化传承（《国家宝藏》标志）、生活实践（电风扇旋转、无人机飞行）、社会热点（哪吒玩偶销售）为情境，通过原创纠错题、交通量综合实践题等，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形、等腰三角形性质、平行四边形判定等|结合博物馆标志考中心对称，体现文化传承| |填空题|5/15|因式分解、一次函数不等式、平行四边形面积等|通过平行四边形中过对称中心线段，考几何直观| |解答题|7/61|解不等式组与分式方程、图形变换、综合实践等|原创纠错题（第15题）考运算能力，交通量实践题（第19题）用一次函数模型分析现实问题|

2025-2026学年第二学期八年级下学期 数学期末模拟二 满分：100分 考试时长：90分钟 一．选择题（每题3分，共8小题，合计24分） 1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝106°，则∠BAD的度数为（　　） A．37° B．45° C．53° D．60° 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．OA＝OC，OB＝OD 第2题 第3题 第5题 第6题 4．不等式﹣2x≤﹣6的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　） A．60° B．72° C．75° D．108° 6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（　　） A．AB＝24m B．MN∥AB C．CM：CA＝1：2 D．△CMN≌△CAB 7．一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　） A． B． C． D． 8．如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，若OP＝6，PC＝4，则CD长为（　　） A．5 B． C． D． 第8题 第10题 第11题 第13题 二．填空题（每题3分，共5小题，合计15分） 9．因式分解：x2+2x＝　 　 ． 10．如图，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式ax+b≥0的解集为 　 　 ． 11．如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 　 　 ． 12．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为　 　 ． 13．如图，在▱ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F．已知点E在边BC上，AD＝5，，BE＝3，则AE的长为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，合计61分） 14．（8分）（1）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． （2）解分式方程：． 15．（6分）【原创】小南在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中﹣1＜x＜3，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当x＝1时，原式④ 请帮助小南找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． ①小南在第　 　 步出错，错误原因是　 　 ． ②请在下方写出正确解答过程． 16．（8）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点中心对称图形△A2B2C2； （3）P为x轴上的一个动点，当AP+CP有最小值时，则这个最小值为________． 17．（8）如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在OB，OD上． （1）下列条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③∠AEB＝∠CFD，请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形AECF是平行四边形，∠ADB＝30°，AE⊥BD，垂足为点E，AD＝4，，求▱AECF的面积． 18． （9分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． （1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 19．（10分）【原创】【综合与实践】 深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动． 【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到y1与x的函数关系式及y2与x的函数关系式． 时间x 7时 10时 14时 17时 20时 自西向东交通量y1（辆/分钟） 93 78 a 43 28 自东向西交通量y2（辆/分钟） 42 48 56 62 68 【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向．通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为v总＝y1+y2，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况． 【解决问题】 （1）已知y1与x之间的函数关系式为y1＝﹣5x+128，表格中a＝ 　 　 ； （2）求y2与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）； （3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道） 20．（12分）【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图1，把重合中的△ABC向左平移成△DEF，顶点E恰好是BC边的中点，连接AF，，求三角形ACF的面积； 【深入探究】 （2）如图2，把△DEF继续向左平移，当点E与点C重合时，连接AF交DC于点G，求证：DG＝CG； 【拓展提升】 （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DQ⊥AF于点Q，连CQ，DQ＝2，直接写出CQ的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2025-2026学年第二学期八年级下学期 数学期末模拟二 细目表 题型 题号 分值 考查核心知识点 难度层级 考查能力 课标对应要求 选择题（24分） 1 3 中心对称图形的识别 基础 图形辨识能力、几何直观能力 掌握中心对称图形的定义，能准确识别中心对称图形 2 3 等腰三角形三线合一性质、角度计算 基础 几何性质应用、简单运算推理能力 熟练掌握等腰三角形的性质，能进行角度简单推导计算 3 3 平行四边形的判定定理辨析 基础 定理辨析、逻辑判断能力 掌握平行四边形的五种判定方法，能辨析判定条件的正误 4 3 一元一次不等式求解、解集的数轴表示 基础 运算能力、数形结合能力 会解一元一次不等式，能在数轴上正确表示不等式解集 5 3 图形的旋转、旋转角度计算（正多边形旋转特性） 基础 几何直观、旋转规律应用能力 理解图形旋转的定义，能计算规则图形的旋转角度 6 3 三角形中位线定理、相似三角形基础性质 中档 定理应用、结论辨析、逻辑推理能力 掌握三角形中位线定理，理解中位线与底边的位置、数量关系 7 3 分式方程的实际应用（行程问题） 中档 数学建模、实际问题转化能力 能根据实际问题中的等量关系，列分式方程解决问题 8 3 角平分线性质、勾股定理、线段长度综合计算 中档偏难 综合推理、几何计算、数形结合能力 熟练运用角平分线性质、勾股定理解决几何综合计算问题 填空题（15分） 9 3 提公因式法因式分解 基础 代数运算、因式分解基础能力 掌握提公因式法进行简单的因式分解 10 3 一次函数与一元一次不等式的数形结合应用 基础 数形结合、图像分析能力 理解一次函数与一元一次不等式的关系，能利用函数图像求解不等式解集 11 3 平行四边形的中心对称性、面积计算 中档 几何性质灵活应用、转化思想能力 掌握平行四边形的中心对称性质，能利用对称性求解图形面积 12 3 一元一次不等式组无解的参数取值范围问题 中档 逆向思维、参数分析、逻辑推理能力 会解含参数的一元一次不等式组，能根据解集情况确定参数取值范围 13 3 平行四边形性质、图形旋转性质、线段长度综合计算 中档偏难 综合建模、几何转化、运算推理能力 掌握旋转、平行四边形的核心性质，能解决几何综合计算问题 解答题（61分） 14 8 （1）一元一次不等式组求解、数轴表示解集；（2）分式方程求解 基础 代数运算、规范解题、数形结合能力 熟练解一元一次不等式组、可化为一元一次方程的分式方程，掌握解题步骤与检验要求 15 6 分式的化简求值、解题错误辨析与修正 基础 运算纠错、规范化简、严谨解题能力 掌握分式化简的基本方法，能辨析运算错误，规范完成化简求值 16 8 图形平移、中心对称作图、轴对称最短路径问题 中档 作图能力、几何最值建模、数形结合能力 掌握图形平移、中心对称的作图方法，能利用轴对称求解线段最值问题 17 8 平行四边形的判定与性质综合、直角三角形性质、图形面积计算 中档 逻辑证明、综合推理、几何运算能力 能综合运用平行四边形的判定和性质完成证明，结合直角三角形性质进行几何计算 18 9 分式方程实际应用、一元一次不等式组方案设计问题 中档 数学建模、实际问题转化、分类讨论能力 能利用分式方程解决销售单价问题，结合不等式组解决方案设计类实际问题 19 9 一次函数解析式求解、函数值计算、不等式实际应用、方案决策 中档偏难 数据分析、函数建模、综合应用、决策推理能力 掌握一次函数解析式求解方法，能结合函数与不等式解决实际决策问题 20 12 等腰直角三角形性质、图形平移、全等证明、几何综合探究、线段计算 压轴（较难） 综合探究、逻辑证明、几何转化、压轴推理能力 能综合运用三角形、图形平移、全等三角形知识，解决阶梯式几何探究压轴问题 合计 100 全册核心知识点全覆盖 基础:中档:难题≈6:3:1 运算、推理、建模、作图、探究全方位考查 符合八年级下册数学期末课标考查要求 $ 2025-2026学年第二学期八年级下学期 数学期末模拟二 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝106°，则∠BAD的度数为（　　） A．37° B．45° C．53° D．60° 【分析】利用SSS公理证明△ADB≌△ADC，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，得到答案． 【解答】解：在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝106°， ∴∠BAD＝53°， 故选：C． 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．OA＝OC，OB＝OD 【分析】由平行四边形的定义和判定定理，容易得出结论． 【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴A正确； ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， ∴B不正确； ∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴C正确； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴D正确； 故选：B． 4．不等式﹣2x≤﹣6的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集即可． 【解答】解：﹣2x≤﹣6， 解得：x≥3，则： ． 故选：D． 5．电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　） A．60° B．72° C．75° D．108° 【分析】根据周角是360°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：360°÷5＝72°， ∴叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是72°， 故选：B． 6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（　　） A．AB＝24m B．MN∥AB C．CM：CA＝1：2 D．△CMN≌△CAB 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2MN＝24m，MN∥AB，再根据相似三角形的判定解答． 【解答】解：∵MN的长为12m，AC，BC的中点M，N， ∴AB＝2MN＝24m，CM：CA＝1：2，MN∥AB， 故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴△CMN∽△CAB， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 7．一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），”列出方程即可． 【解答】解：∵无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时， ∴顺风速度＝（x+36）千米/小时，逆风速度＝（x﹣36）千米/小时， ∴可列方程为：， 故选：B． 8．如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，若OP＝6，PC＝4，则CD长为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出OC，根据角平分线的性质得到PC＝PD，证明Rt△OCP≌Rt△ODP，根据全等三角形的性质得到OC＝OD，得到OP⊥CD，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°， ∴OC2， ∵点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD， 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ， ∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）， ∴S△OCP＝S△ODP，OC＝OD， ∵PC＝PD，OC＝OD， ∴OP⊥CD， ∴24×26×CD， ∴CD， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 9．因式分解：x2+2x＝x（x+2）　 ． 【分析】直接提取公因式x即可． 【解答】解：原式＝x（x+2）， 故答案为：x（x+2）． 10．如图，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式ax+b≥0的解集为 x　 ． 【分析】结合函数图象，写出一次函数图象不在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴交于点， 即x时，y＝0， ∴当x时，y≥0， ∴关于x的不等式ax+b≥0的解集为x． 故答案为：x． 11．如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 　　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，OA＝OC，OD＝OB，则∠OAE＝∠OCF，由S▱ABCD＝7，得S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝S△AOBS▱ABCD，再证明△AOE≌△COF，则S△AOE＝S△COF，推导出S阴影＝S△BOC，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴AD∥BC，OA＝OC，OD＝OB， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵S▱ABCD＝7， ∴S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝S△AOBS▱ABCD， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE＝S△BOF＝S△COF+S△BOF＝S△BOC， 故答案为：． 12．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为a≤3　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得a＞2a﹣3，求解即可． 【解答】解：， 解不等式①可得：x＞a， 解不等式②得：x≤2a﹣3， ∵关于x的不等式组无解， ∴a≥2a﹣3， 解得：a≤3， 故答案为：a≤3． 13．如图，在▱ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F．已知点E在边BC上，AD＝5，，BE＝3，则AE的长为 　　 ． 【分析】作AH⊥BC于点H，由平行四边形的性质得BC＝AD＝5，AB＝CD，因为BE＝3，所以CE＝BC﹣BE＝2，由旋转得AE＝AC，EF＝CD＝2，则EH＝CH＝1，AB＝2，所以BH＝BE+EH＝4，则AH6，求得AE，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，AB＝CD， ∵BE＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2， 由旋转得AE＝AC，EF＝CD＝2， ∴EH＝CHCE＝1，AB＝2， ∴BH＝BE+EH＝3+1＝4， ∴AH6， ∴AE， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 14．（1）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． （2）解分式方程：． 【分析】（1）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x＞﹣2， 故原不等式组的解集为﹣2＜x≤2， 将其解集在数轴上表示如图所示： ； （2）原方程去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）， 整理得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是分式方程的增根， 故原方程无解． 15．【原创】小南在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中﹣1＜x＜3，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当x＝1时，原式④ 请帮助小南找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． ①小南在第　②　 步出错，错误原因是　括号前面是负号，去括号时4x没改变符号　 ． ②请在下方写出正确解答过程． 【分析】①根据解题过程即可得出结论； ②根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：①小南在第②步出现错误，错误的原因是：括号前面是负号，去括号时4x没改变符号， 故答案为：②，括号前面是负号，去括号时4x没改变符号； ②原式 ， ∵﹣1＜x＜3且x为整数， ∴x＝0，1，2， ∵x﹣2≠0， ∴x≠2， ∴当x＝0时，原式＝﹣2； 当x＝1时，原式4． 16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点中心对称图形△A2B2C2； （3）P为x轴上的一个动点，当AP+CP有最小值时，求这个最小值． 【分析】（1）依据题意作图即可； （2）依据题意作图即可； （3）作点C关于x轴对称点C'，则C'（3，﹣4），连接AC'，则AC'即为所求． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）作点C关于x轴对称点C'，则C'（3，﹣4），连接AC'， 则AP+CP＝AP+C'P≥AC'，当且仅当A、P、C'三点共线时取等， ∵A（1，1），C'（3，﹣4）， ∴AC'， 即AP+CP的最小值为． 17．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在OB，OD上． （1）下列条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③∠AEB＝∠CFD，请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形AECF是平行四边形，∠ADB＝30°，AE⊥BD，垂足为点E，AD＝4，，求▱AECF的面积． 【分析】（1）选①．根据平行四边形的性质得到AO＝CO，BO＝DO，求得EO＝FO，根据平行四边形的判定定理得到四边形AECF是平行四边形；选②．根据平行线的性质得到∠AFE＝∠CEF，根据平行四边形的性质得到AD＝CB，∠ADB＝∠CBD，根据全等三角形的判定和性质得到AF＝CE，推出四边形AECF是平行四边形；选③．根据平行线的判定定理得到AE∥CF，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，求得四边形AECF是平行四边形； （2）根据直角三角形的性质得到AEAD＝2，根据勾股定理得到DE2，根据三角形的面积公式得到S△AEFAE•EF2，根据平行四边形的性质得到AE＝CF，AE∥CF，于是得到结论． 【解答】解：（1）选①．证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴BO+BE＝DO+DF， 即EO＝FO， ∵EO＝FO，AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形； 选②．证明如下： ∵CE∥AF， ∴∠AFE＝∠CEF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠ADB＝∠CBD， ∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD， 即∠ADF＝∠CBE， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∵AF＝CE，AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； 选③．证明如下： ∵∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵∠ADB＝30°，AE⊥BD，AD＝4， ∴AEAD＝2， ∴DE2， ∴EF＝DE﹣DF＝2， ∴S△AEFAE•EF2， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF，AE∥CF， ∴CF⊥BD， ∴S△AEF＝S△CEF， ∴▱AECF的面积＝S△AEF+S△CEF2． 18．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． （1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【分析】（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元购进A款哪吒玩偶的数量比用1600元购进B款哪吒玩偶少50个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入2x中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进（100﹣m）个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【解答】解：（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是2x元， 根据题意得：50， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×8＝16（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进（100﹣m）个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35，36，37， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 19．【原创】【综合与实践】 深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动． 【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到y1与x的函数关系式及y2与x的函数关系式． 时间x 7时 10时 14时 17时 20时 自西向东交通量y1（辆/分钟） 93 78 a 43 28 自东向西交通量y2（辆/分钟） 42 48 56 62 68 【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向．通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为v总＝y1+y2，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况． 【解决问题】 （1）已知y1与x之间的函数关系式为y1＝﹣5x+128，表格中a＝ 　58　 ； （2）求y2与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）； （3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道） 【分析】（1）把x＝14代入所给的函数解析式，求得a的值即可； （2）设出一次函数解析式，把表格中的任意两对数值代入可得k和b的值，即可求得相应的一次函数解析式； （3）表示出v总，分别求得y1v总和y2v总时对应的x的取值范围，结合题意可得相应的x的取值范围及“可变车道”的方向． 【解答】解：（1）当x＝14时，a＝﹣5×14+128＝58， 故答案为：58； （2）设y2＝kx+b， ∵经过点（7，42），（10，48）， ∴， 解得：， ∴y2＝2x+28； （3）v总＝y1+y2＝﹣3x+156， ①y1v总， ﹣5x+128（﹣3x+156）， 解得：x≤8， ②y2v总， 2x+28（﹣3x+156）， 解得：x≥19． 答：7≤x≤8时，“可变车道”的方向为自西向东；19≤x≤20，“可变车道”的方向为自东向西． 20．【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图1，把重合中的△ABC向左平移成△DEF，顶点E恰好是BC边的中点，连接AF，，求三角形ACF的面积； 【深入探究】 （2）如图2，把△DEF继续向左平移，当点E与点C重合时，连接AF交DC于点G，求证：DG＝CG； 【拓展提升】 （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DQ⊥AF于点Q，连CQ，DQ＝2，直接写出CQ的长度． 【分析】（1）根据平移的性质得到AB＝BC＝EF＝2，求得CE＝BEBC，根据三角形的面积公式即可得到三角形ACF的面积CF•AB5； （2）连接AD，根据平移的性质得到BE＝CF＝AD，AD∥CF，根据平行四边形的性质即可得到DG＝CG； （3）过C作CH⊥FQ于H，根据全等三角形的判定和性质定理和都有自己熟悉的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）解：∵把重合中的△ABC向左平移成△DEF， ∴AB＝BC＝EF＝2， ∵点E恰好是BC边的中点， ∴CE＝BEBC， ∴CF＝EF﹣CE， ∵∠B＝90°， ∴三角形ACF的面积CF•AB5； （2）证明：连接AD， ∵把重合中的△ABC向左平移成△DEF， ∴BE＝CF＝AD，AD∥CF， ∴四边形ADFC是平行四边形， ∴DG＝CG； （3）解过C作CH⊥FQ于H，CM⊥CQ交FQ于M， ∴∠MCQ＝∠FCD＝90°， ∴∠FCM＝∠DCQ， ∵DQ⊥AF， ∴∠DQG＝∠FCG＝90°， ∵∠DGQ＝∠CGF， ∴∠CFM＝Q， ∴CFM≌△CDQ（ASA）， ∴CM＝CQ， ∴∠CQH＝45°， ∵∠CHG＝∠DQG＝90°， ∠DGQ＝∠CGH，DG＝CG， ∴△DQG≌△CHG（AAS）， ∴CH＝DQ＝2， ∴CQ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/10 14:59:17；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $