专题10：三角形和多边形的内角和（图文计算专练）（专项训练）四升五年级数学暑假专项提升（人教版）

**基本信息** 以三角形内角和为基础，通过分割法推导多边形内角和公式，结合多样图形计算培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形内角和|约15题|180°基本公式；已知两角求第三角；直角/等边三角形特殊性质|从基本概念到特殊三角形应用，结合图形组合（如三角尺拼图、折叠）强化推理意识| |多边形内角和|约13题|分割成(n-2)个三角形推导公式；正方形等特殊多边形内角计算|基于三角形内角和拓展，通过图形分割建立知识联系，培养空间观念|

四年级数学暑假专项提升（人教版） 专题10：三角形和多边形的内角和（图文计算专练） 知识点01：三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）已知两个角的度数，求第三个角：第三个角=180°－己知两角之和。 （3）直角三角形中，两个锐角之和是90°；等边三角形每个角都是60°。 知识点02：多边形的内角和 从n边形的一个顶点出发，可以作（n−3）条对角线，将n边形分成（n−2）个三角形。因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和公式为（n−2）×180°。 一、计算题 1．计算下列各角的度数。 （1）     （2）     （3） 【答案】（1）74° （2）61° （3）53° 【分析】利用三角形内角和是180度，减去已知两个角即可；其中直角是90度。据此作答。 【详解】（1）180－31－75＝74°； （2）180－58－61＝61°； （3）180－90－37＝53°。 2．如下图，求和的度数。 【答案】∠1＝72°；∠2＝78° 【分析】根据题图可知∠1与一个108°的角组成一个平角，平角的度数是180°，用180°减去108°即可求出∠1；∠1、∠2与一个30°的角都是同一个三角形的内角，三角形内角和是180°，用180°减去∠1再减去30°即可求出∠2。 【详解】180°－108°＝72° 180°－72°－30° ＝108°－30° ＝78° ∠1的度数为72°，∠2的度数为78°。 3．想一想、算一算，∠1是多少度？ 【答案】35° 【分析】如下图，60°的角与∠2组成一个平角，用180°减去60°即可求出∠2的度数；根据三角形的内角和是180°，用180°减去25°，再减去∠2的度数，即可求出∠1的度数。 【详解】180°－60°＝120° 180°－25°－120° ＝155°－120° ＝35° 答：∠1是35°。 4．求出下面图中的∠1，∠2和∠3的度数。         【答案】；； 【分析】因为四边形内角和为360°，其中两个角是直角，则其余两个角和为180°，用180°减去70°和35°，可以求出； 与86°角组成平角，平角等于180°，用180°减去86°，可以求出； 与100°、92°、之和为360°，用360°连续减去100°，92°，，可以求出。 【详解】 5．如图，是多少度？ 【答案】∠1＝40° 【分析】1平角＝180°，和65°相邻的右侧的钝角的度数是180°减65°的差，这个钝角是115°，三角形的内角和是180°，180°减115°，再减25°，即可求出∠1的度数。 【详解】180°－65°＝115° 180°－115°－25° ＝65°－25° ＝40° ∠1＝40° 6．算出下图中∠1、∠2、和∠3的度数。 【答案】∠1＝144° ∠2＝70° ∠3＝50° 【分析】计算∠1的度数：左边的图形是一个直角梯形，内角和为360°，其中有2个直角（90°）和一个36°的角； 计算∠3的度数：右边的图形中，∠3和130°的角组成一个平角（180°）； 计算∠2的度数：三角形内角和为180°，已知另外两个角，分别是60°和∠3。 【详解】∠1＝360°－90°－90°－36° ＝270°－90°－36° ＝180°－36° ＝144° ∠3＝180°－130° ＝50° ∠2＝180°－60°－50° ＝120°－50° ＝70° 7．求图中∠1、∠2的度数。 【答案】∠1＝55°；∠2＝105° 【分析】两个小三角形组成的是大的直角三角形，用180°－90°－35°即可求出∠1的度数。三角形内角和为180°，用180°－35°－40°即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＝180°－90°－35°＝90°－35°＝55° ∠2＝180°－35°－40°＝145°－40°＝105° 则∠1＝55°，∠2＝105°。 8．三角形ABC是一个直角三角形，计算图中∠1、∠2、∠3的度数。    【答案】∠1＝20°，∠2＝30°，∠3＝130° 【分析】由图中可知：因为三角形ABC是一个直角三角形，先根据三角形内角和180°算出∠BAC中左边角的度数，又因为∠BAC是直角，所以∠BAC＝90°，据此可以算出∠2＝90°－∠B；∠3和50°的角组成了180°的平角，因此可以算出∠3的度数。据此解答。 【详解】180°－60°－50°＝70° ∠1＝90°－70°＝20° ∠2＝90°－60°＝30° ∠3＝180°－50°＝130° 9．下图是由一副三角尺拼成的，求的度数。 【答案】105° 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。图中∠1与一个45°角、一个30°角在同一个三角形内，根据三角形的内角和是180°，用180°减去45°再减去30°即可求解。 【详解】180°－45°－30° ＝135°－30° ＝105° ∠1的度数为105°。 10．求的度数。 【答案】 【分析】根据三角形内角和为，首先求出与相邻的角的度数，，再用平角减去这个角就是的度数。 【详解】 即的度数是。 11．如图，AB＝AD，∠1＝60°，求∠2的度数。 【答案】60° 【分析】如图，AB＝AD，∠1＝60°，∠ABD＝∠ADB＝（180°－60°）÷2＝120°÷2＝60°，如图可知∠ADC＝90°，∠C＝90°，根据四边形的内角和等于360°。可以算出∠2＝360°－∠C－∠ADC－∠1－∠ABD。 【详解】∠ABD＝（180°－60°）÷2＝120°÷2＝60° ∠2＝360°－90°－90°－60°－60°＝60°。 12．如下图所示，求的度数。 【答案】80° 【分析】四边形的内角和为360°。图中四边形一共有四个角，有1个直角，直角的度数为90°。可以先算出给出的三个角的度数之和，再用360°减去这三个角的度数之和即可得到剩下的那个角的度数，再用180°减去这个角度，就求出了∠1的度数。 【详解】90°＋55°＋115°＝260° 360°－260°＝100° 180°－100°＝80° ∠1的度数是80° 13．求出下面图中未知角的度数。 【答案】 【分析】由图可知，一个角为60°，根据平角为180°，用180减去60°可得到与60°角相邻的角的度数： ； 在包含30°角和已求出的120°角的三角形中，根据三角形内角和为180°，用180°减去120°再减去30°，可得到该三角形中另一个角的度数：； 由图可知最大的三角形是等腰三角形，对应的两个底角度数一样，其中一个底角是30°，另一个底角也是30°，右边三角形已知两个角的度数，再用三角形内角和减去已知60°角和所求30°角就能求出未知角的度数。 【详解】 14．把一副三角尺按如图所示的位置摆放。求∠1的度数。 【答案】75° 【分析】一副三角尺中，一个三角尺的三个角分别是90°、60°、30°，另一个三角尺的三个角分别是90°、45°、45°。在由三角尺组成的三角形中，已知两个角分别为45°和30°，根据三角形内角和是180°，可求出这个三角形中第三个角的度数，此角与∠1相邻，其度数为180°减去另外两个角的度数。因为∠1与上一步求出的角组成平角，平角为180°，所以用180°减去上一步求出的角的度数，即可得到∠1的度数。据此解答。 【详解】        15．如下图，已知AB＝BC，求∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70° 【分析】观察图形可知，∠2与 110°的角组成一个平角，平角等于180°，用180°减去110°即可求出∠2。已知AB＝BC，说明三角形ABC是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的边所对的角相等，即∠2和∠3相等。根据三角形内角和是180°，用180°减去∠2和∠3的度数，即可求出∠1。 【详解】∠2＝180°−110°＝70° 因为AB＝BC，所以△ABC是等腰三角形，且∠3＝∠2。所以∠3＝70° ∠1＝180°−∠2−∠3＝180°−70°−70°＝110°−70°＝40° 答：∠1是40°，∠2是70°，∠3是70°。 16．妙妙把正方形分成了四个三角形（如图所示），请你算一算，∠2和∠3分别是多少度？ 【答案】； 【分析】等边三角形三个角度数一样，都为，得到；正方形每个内角都为，；在包含的三角形中，有两条边相等（均为8cm），所以这是一个等腰三角形。三角形内角和为，减去的角度再除2就得到的角度。 【详解】 故∠2是和∠3是 17．如图，，，，求，，的度数。 【答案】∠4＝73°；∠5＝107°；∠6＝60° 【分析】三角形的内角和是180°。看图可知，∠1、∠2和∠4组成了一个三角形，所以∠4＝180°－∠1－∠2；∠5和∠4组成了一个平角，1平角＝180°，所以∠5＝180°－∠4；∠3、∠5和∠6组成了一个三角形，所以∠6＝180°－∠3－∠5，据此解答。 【详解】∠4＝180°－∠1－∠2 ＝180°－35°－72° ＝145°－72° ＝73° ∠5＝180°－∠4＝180°－73°＝107° ∠6＝180°－∠3－∠5 ＝180°－13°－107° ＝167°－107° ＝60° 所以∠4的度数是73°，∠5的度数是107°，∠6的度数是60°。 18．如图：已知∠1＝35°，∠2＝55°，∠3＝60°，求∠4、∠5、∠6的度数。 【答案】∠4＝65°；∠5＝115°；∠6＝30° 【分析】三角形的内角和是180°。 （1）∠2、∠3和∠4组成了一个三角形，所以∠4＝180°－∠2－∠3。 （2）∠5和∠4组成了一个平角，1平角＝180°，所以∠5＝180°－∠4。 （3）∠1、∠5和∠6组成了一个三角形，所以∠6＝180°－∠1－∠5，据此解答。 【详解】∠4＝180°－∠2－∠3 ＝180°－55°－60° ＝125°－60° ＝65° ∠5＝180°－∠4＝180°－65°＝115° ∠6＝180°－∠1－∠5 ＝180°－35°－115° ＝145°－115° ＝30° 答：∠4的度数是65°，∠5的度数是115°，∠6的度数是30°。 19．求出下面图中未知角的度数。 【答案】30° 【分析】由图可知，左边三角形的三条边长都是4cm，是一个等边三角形，等边三角形三个内角的大小相等，每个内角都是60°； 所求的未知角、左边三角形的一个内角以及一个直角组成了一个平角，一个直角是90°、一个平角是180°，用，即可求出未知角的度数，据此解答。 【详解】 答：未知角的度数是30°。 20．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝125°。求∠6的度数。 【答案】70° 【分析】三角形的内角和为180°。∠2、∠4、∠5是一个三角形的三个内角，那么∠2＋∠4＋∠5＝180°且∠5＝125°，可以用减法算出∠2＋∠4的和。同时，外面的三角形内角和也为180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠6＝180°。其中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，将其代入并化简即可得到∠6的度数。 【详解】∠2＋∠4＋∠5＝180° ∠2＋∠4＝180°－∠5＝180°－125°＝55° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠6＝180° ∠2＋∠2＋∠4＋∠4＋∠6＝180° ∠2＋∠4＋∠2＋∠4＋∠6＝180° （∠2＋∠4）＋（∠2＋∠4）＋∠6＝180° 55°＋55°＋∠6＝180° ∠6＝180°－55°－55°＝125°－55°＝70° ∠6的度数为70°。 21．按下图的方法将三角形纸折叠，则的度数是多少？ 【答案】50° 【分析】看图可知，原三角形是个直角三角形，根据三角形的内角和是180°，用180°－90°－65°可以求出∠1的度数。如下图：根据三角形的内角和是180°，用180°减去2个∠1的度数即可求出的和；因为＋∠2组成一个平角，平角＝180°，所以用180°减去的和即可求出∠2的度数，据此解答。 【详解】根据分析： ∠1＝180°－90°－65° ＝90°－65° ＝25° ＝180°－（25°＋25°） ＝180°－50° ＝130° ＝50° 所以∠2的度数是50°。 22．算一算。 已知，，，求，，。 【答案】∠4＝105°；∠5＝75°；∠6＝95° 【分析】平角为180°，三角形内角和为180°，观察图可以发现，∠1、∠3和∠4组成三角形的内角和，用180°依次减去∠1、∠3，即可求出∠4。∠4和∠5组成平角，用180°减去∠4，即可求出∠5。∠5、∠2和∠6组成三角形的内角和，用180°依次减去∠2、∠5，即可求出∠6。 【详解】∠4＝180°－30°－45° ＝150°－45° ＝105° ∠5＝180°－105°＝75° ∠6＝180°－10°－75° ＝170°－75° ＝95° 即∠4＝105°，∠5＝75°，∠6＝95°。 23．如图，∠1＝100°，∠2＝∠3，且∠2＋∠3＝∠4，求∠5的度数。 【答案】120° 【分析】三角形的内角和是180°，因为∠2＋∠3＝∠4，用180°减去∠1，求出2个∠4，再除以2，求出∠4的度数；又因为∠2＝∠3，用∠4的度数除以2，求出∠3的度数；最后用180°减去∠4减去∠3，求出∠5的度数。 【详解】180°－100°＝80° 80°÷2＝40° 40°÷2＝20° 180°－40°－20° ＝140°－20° ＝120° 所以∠5的度数是120°。 24．求下列∠1、∠2、∠3、∠4的度数。 【答案】30°；30°；33°；127° 【分析】三角形内角和为180°。直角＝90°。平角＝180°。据此解答。 由直角定义知，∠1＋60°＝90°，所以∠1＝90°－60°＝30°； 由三角形内角和定理知，∠2＋60°＋90°＝180°，所以∠2＝180°－90°－60°＝30°。 由三角形内角和定理知，∠3＋∠4＋20°＝180°，所以∠3＝180°－20°－127°＝33°。 由平角定义知，∠4＋53°＝180°，所以∠4＝180°－53°＝127°。 【详解】∠1＝90°－60°＝30°； ∠2＝180°－90°－60°＝30°。 ∠3＝180°－20°－127°＝33°。 ∠4＝180°－53°＝127°； ∠1＝30°     ∠2＝30°     ∠3＝33°      ∠4＝127° 25．看图分别求出∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】∠1＝45°；∠2＝30°；∠3＝15° 【分析】根据题图可知，∠1与135°的角组成了一个平角，一个平角是180°，用180°-135°，即可求出∠1； 在左边的梯形中，梯形的四个内角分别是一个由∠3与30°组成的角、两个直角和135°，已知梯形的内角和为360°，一个直角是90°，用360°-两个直角-135°-30°，即可求出∠3； 在中间的三角形中，三角形的三个内角分别是∠2、∠3和135°，已知三角形的内角和为180°，用180°-135°-∠3，即可求出∠2，据此解答。 【详解】∠1： ∠3： ∠2： 答：∠1是45°，∠2是30°，∠3是15°。 26．两个正方形叠放在一起，如图，求的度数。 【答案】15° 【分析】1直角＝90°，1平角＝180°，根据题意可知，∠1＋∠3＝90°，∠1＋∠3＋45°＋∠2＋30°＝180°，由此可知，∠2＝180°－30°－45°－（∠1＋∠3），依此计算。 【详解】∠2＝180°－30°－45°－90° ＝150°－45°－90° ＝105°－90° ＝15° ∠2是15°。 27．如图，∠1＝50°，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠2是多少度？ 【答案】 【分析】三角形内角和是，所以，。 因为∠1＝50°，∠3＝∠4，∠5＝∠6， 所以，，，。 【详解】 故∠1＝50°，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠2是115°。 28．如图，已知∠1＝52°，∠2＝32°，∠3＝45°。求∠5的度数。 【答案】51° 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠2＝32°，∠3＝45°，用180°减去32°，再减去45°，求出三角形中第三个角的度数。可知刚求出的角与∠4构成平角，平角是180°，用180°减去刚求出的角的度数，就是∠4的度数，最后用180°减去∠1，再减去∠4，求出∠5的度数即可。 【详解】根据分析可知： 180°－∠2－∠3 ＝180°－32°－45° ＝148°－45° ＝103° ∠4＝180°－103°＝77° ∠5＝180°－∠1－∠4 ＝180°－52°－77° ＝128°－77° ＝51° ∠5的度数51°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四年级数学暑假专项提升（人教版） 专题10：三角形和多边形的内角和（图文计算专练） 知识梳理 知识点01：三角形的内角和 (1)三角形的内角和是180°。 (2)已知两个角的度数，求第三个角：第三个角=180°一己知两角之和。 (3)直角三角形中，两个锐角之和是90°；等边三角形每个角都是60°。 知识点02：多边形的内角和 从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，将n边形分成(n-2)个三角形。因为 每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和公式为(n-2)×180°。 夯实基础 一、计算题 1.计算下列各角的度数。 y (1) (2) /589 (3) B78 B31°758c 及61c 2.如下图，求∠1和∠2的度数。 309 108人12 1/8 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.想一想、算一算，∠1是多少度？ 45 60° 25° 4.求出下面图中的∠1，∠2和∠3的度数。 35☑ 92l 70°△ 100° 2486 5.如图，∠1是多少度？ 1 259 65C 6.算出下图中∠1、∠2、和∠3的度数。 2 36 人60° 130° 3 2/8 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.求图中∠1、∠2的度数。 35°40 8.三角形ABC是一个直角三角形，计算图中∠1、∠2、∠3的度数。 B60° 32>C 50° 9.下图是由一副三角尺拼成的，求∠1的度数。 10.求∠1的度数 57 58 3/8 应学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.如图，AB=AD,∠1=60°，求∠2的度数。 ☑D C 12.如下图所示，求∠1的度数。 55 115y 13.求出下面图中未知角的度数。 5 cm 5 cm 30 60° 14.把一副三角尺按如图所示的位置摆放。求∠1的度数。 4/8 应学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.如下图，已知AB=BC,求∠1，∠2，∠3的度数。 110AA 2 B<1 C 16.妙妙把正方形分成了四个三角形（如图所示），请你算一算，∠2和∠3分别是多少度？ 8cm 2 1入 8cm 17.如图，∠1=35°，∠2=72°，∠3=13°，求∠4，∠5，∠6的度数。 2 1 5 4B6公 18.如图：已知∠1=35°，∠2=55°，∠3=60°，求∠4、∠5、∠6的度数。 5/8 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 6 4 30 19.求出下面图中未知角的度数。 4 cm cm 4 cm 20.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=125°。求∠6的度数。 3 21.按下图的方法将三角形纸折叠，则∠2的度数是多少？ 2 1 65> 65> 6/8 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.算一算。 已知∠1=30°，∠2=10°，∠3=45°，求∠4，∠5，∠6。 人3 45 23.如图，∠1=100°，∠2=∠3，且∠2+∠3=∠4，求∠5的度数。 4 24.求下列∠1、∠2、∠3、∠4的度数。 3 20° 60 53 4 2 ① ② 25.看图分别求出∠1，∠2，∠3的度数。 2135° 30 7/8 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 26.两个正方形叠放在一起，如图，求∠2的度数。 30245 27.如图，∠1=50°，∠3=∠4，∠5=∠6，∠2是多少度？ 2 5 了4 6 28.如图，已知∠1=52°，∠2=32°，∠3=45°。求∠5的度数。 2 8/8