专题09：三角形（专项训练）四升五年级数学暑假专项提升（人教版）

**基本信息** 以“概念-性质-分类-应用”为逻辑主线，系统整合三角形特性、分类及内角和知识，通过步骤化方法（如高的画法）和情境化习题，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点讲解|3大知识点|高的“三要素”画法、三边关系判断法、内角和计算技巧|从定义（边/角/顶点）到性质（稳定性/高），再到分类（按角/边）及内角和应用，形成完整认知链| |习题训练|6类题型（填空/判断等）|等腰三角形周长计算、残缺角推理、实际问题建模|通过基础题（内角和计算）到综合题（折叠/拼接），实现从知识理解到应用迁移，渗透空间观念与应用意识|

四年级数学暑假专项提升（人教版） 专题09：三角形 知识点01：三角形的特性 1．三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2．三角形的各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3．三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4．三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5．三角形的特性：三角形具有稳定性。 6．三角形三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7．两点间的所有连线中线段最短。 知识点02：三角形的分类 1．按角分： 2．按边分： （1）等腰三角形 相等的两条边叫做三角形的腰。 两腰与底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的两腰相等。 等腰三角形的两个底角也相等。 （2）等边三角形 等边三角形也叫做正三角形。 等边三角形3条边都相等。 等边三角形3个角也相等，都是60°。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）不等边三角形 不等边三角形的三条边互不相等。 知识点03：三角形的内角和 1．三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。 2．探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 一、填空题 1． （1）要组成一个锐角三角形，应选择的三个角的度数为（ ）。 （2）要组成一个钝角三角形，应选择的三个角的度数为（ ）。 （3）要组成一个直角三角形，应选择的三个角的度数为（ ）。 2．把一个三角形剪成两个完全相同的三角形，每个小三角形的内角和是（ ）度。 3．把一根长18米的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）米，每个角是（ ）°。 4．图①、②、③是三个部分被遮挡的三角形，请分别写出它们各是什么三角形，（按角分类）图①（ ），图②（ ），图③（ ）。 5．如图，∠1＝40°，∠2＝70°，（ ）°，是个（ ）三角形。 6．在一个三角形的中，∠1＝32°，∠2＝38°，那么第三个角是（ ）度，按角分这是一个（ ）三角形。 7．植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带，这个三角形的周长是64m，底边长28m，那么它的一条腰长（ ）m。 8．在一个三角形中，有两个角的度数分别是61°和70°，按角分，这是一个（ ）角三角形。 9．在一个三角形中，一个内角是86°，是另一个内角的2倍，第三个内角是（ ）°，这是一个（ ）三角形。 10．如图所示∠3＋∠4＝∠5＝59°，∠1＝15°，∠2＝145°，那么∠4＝（ ）°。 11．如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个角是（ ）°。这张纸片的形状按角分是（ ）三角形。 12．三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°。 13．一个等腰三角形的顶角是100°，底角是（ ）°；另一个等腰三角形一条边是5cm，另一条边是10cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 14．如图，已知，那么（ ）。 15．下面是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成一个三角形。 （1）若将支撑架调节成图①的样子，，，则（ ）；按角分，这是一个（ ）角三角形。 （2）若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个（ ）角三角形。 16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝65°。如果沿图中的虚线将三角形ABC剪成两部分，那么∠1＋∠2＝（ ）°。 二、判断题 17．用两个直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是度。（ ） 18．古建筑中常见到三角形框架，这是因为三角形具有稳定性。（ ） 19．如图中，①号三角形的内角和比②号三角形的内角和大。（ ） 20．用4厘米、5厘米、10厘米的三根小棒恰好围成了一个三角形。（ ） 21．如图，把长方形沿长边对折后，剪一刀（如图示）打开后一定是一个等腰三角形。（ ） 三、选择题 22．古都西安，文物古迹俯拾皆是。方方想真切感受西安的人文气息，从西安城墙出发，经过大明宫国家遗址公园，来到永兴坊，然后直接从永兴坊回到西安城墙，正好走了三角形的三条边，从大明宫国家遗址公园到永兴坊大约有（     ）米。 A．890 B．3200 C．4980 23．在直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的2倍，则这个三角形最小的角的度数是（     ）。 A．60° B．30° C．15° 24．一个三角形每条边的长都是整厘米数，如果它的两条边分别长6cm和9cm，那么这个三角形的第三条边最长是（     ）cm。 A．14 B．18 C．30 25．用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是（     ）。 A． B． C． 26．把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（     ）。 A．和 B．和 C．和 四、作图题 27．按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 五、计算题 28．计算下列各角的度数。 （1）    （2）    （3） 六、解答题 29．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？ 30．智能芯片是人工智能技术的核心硬件，在智能垃圾分类机器人电路板上安置一种“三角形微图案芯片”，每个三角形微图案芯片都是周长为45厘米的等边三角形，三条边分别嵌入不同功能元件（传感元件、运算元件、存储元件，长度都等于边长）。已知传感元件每厘米27元，运算元件每厘米33元，存储元件每厘米20元。安置一个三角形微图案芯片的总费用是多少元？ 31．李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文文建议李爷爷再加一根木条（图中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。 （1）文文这样建议的理由是什么？ （2）若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（     ）三角形，按边分是一个（     ）三角形。 ②求出图中和的度数。 32．如图，小明不小心将一张三角形纸片剪去了一个角，被剪掉的这个角是多少度？ 33．把一张长方形纸的一角向上折起，已知∠1＝30°，请算出∠2的度数。 34．李爷爷家有一块三角形菜地，菜地的最大角是130度，是另一个角的5倍，这块三角形菜地的其它两个角分别是多少度？这是一块什么三角形菜地？ 35．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国古代劳动人民发明的。在深圳风筝节上，有一个等腰三角形风筝，其中两条边分别长1.2米和2.4米。这个等腰三角形风筝的周长是多少米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级数学暑假专项提升（人教版） 专题09：三角形 知识点01：三角形的特性 1．三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2．三角形的各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3．三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4．三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5．三角形的特性：三角形具有稳定性。 6．三角形三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7．两点间的所有连线中线段最短。 知识点02：三角形的分类 1．按角分： 2．按边分： （1）等腰三角形 相等的两条边叫做三角形的腰。 两腰与底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的两腰相等。 等腰三角形的两个底角也相等。 （2）等边三角形 等边三角形也叫做正三角形。 等边三角形3条边都相等。 等边三角形3个角也相等，都是60°。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）不等边三角形 不等边三角形的三条边互不相等。 知识点03：三角形的内角和 1．三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。 2．探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 一、填空题 1． （1）要组成一个锐角三角形，应选择的三个角的度数为（ ）。 （2）要组成一个钝角三角形，应选择的三个角的度数为（ ）。 （3）要组成一个直角三角形，应选择的三个角的度数为（ ）。 【答案】（1） （2） （3） 【分析】三角形按角分类的依据： 锐角三角形：三个角均为锐角（小于90°），且内角和为180°； 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°），其余两个角为锐角，内角和为180°； 直角三角形：有一个角是直角（等于90°），其余两个角为锐角，内角和为180°。 【详解】（1）选择三个锐角，且和为180°： 锐角三角形三个角的度数为：45°、70°、65° （2）选择一个钝角＋两个锐角，和为180°： 钝角三角形三个角的度数为100°、15°、65°（答案不唯一） （3）选择一个直角＋两个锐角，和为180°： 直角三角形的三个角的度数为：90°、30°、60° 2．把一个三角形剪成两个完全相同的三角形，每个小三角形的内角和是（ ）度。 【答案】180 【分析】三角形的内角和是180度。无论三角形的大小、形状如何变化（哪怕是把大三角形剪成小三角形），每个三角形的内角和都始终是180度。 【详解】把一个三角形剪成两个完全相同的三角形，每个小三角形的内角和是180度。 3．把一根长18米的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）米，每个角是（ ）°。 【答案】 6 60 【分析】等边三角形的三条边长度相等，因此边长等于周长除以3；等边三角形的三个内角相等，且总和为180°，因此每个角为180°÷3。 【详解】边长：18÷3＝6（米） 每个角的度数：180°÷3＝60° 4．图①、②、③是三个部分被遮挡的三角形，请分别写出它们各是什么三角形，（按角分类）图①（ ），图②（ ），图③（ ）。 【答案】 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 【分析】90度的角是直角，180度的角是平角，大于0度小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【详解】观察图①，露出的角开口很大，比直角大，比平角小，所以这个角是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； 观察图②，露出的角有直角标记，这个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形； 观察图③，露出的两个角开口都比直角小，是锐角；延长被遮住的角的两条边，使之相交，得到第三个角，这个角的开口比直角小，也是锐角；3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 5．如图，∠1＝40°，∠2＝70°，（ ）°，是个（ ）三角形。 【答案】 110 锐角/等腰 【分析】如图，三角形的内角和是180°，用180°减去∠1、∠2的度数，就是∠3的度数。∠3和∠4组成一个平角，平角是180°，用180°减去∠3的度数，就是∠4的度数。 根据三个角是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。据此解答。 【详解】180°－40°－70° ＝140°－70° ＝70° 180°－70°＝110° ∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70°， 那么，∠1＝40°，∠2＝70°，∠4＝110°，是个锐角三角形（等腰三角形）。 6．在一个三角形的中，∠1＝32°，∠2＝38°，那么第三个角是（ ）度，按角分这是一个（ ）三角形。 【答案】 110 钝角 【分析】三角形内角和为180°，用内角和依次减去已知两个角的度数，求出第三个角的度数。然后根据角的大小来确定三角形的类型，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】180°－32°－38° ＝148°－38° ＝110° 所以，第三个角的度数是110°，按角分这是一个钝角三角形。 7．植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带，这个三角形的周长是64m，底边长28m，那么它的一条腰长（ ）m。 【答案】18 【分析】等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的周长减去底边长度等于两腰长度和，再除以2即等于一条腰的长度。 【详解】 8．在一个三角形中，有两个角的度数分别是61°和70°，按角分，这是一个（ ）角三角形。 【答案】锐 【分析】三角形内角和为180°，用180°减去61°，再减去70°，先计算第三个角的度数是49°。三个角都小于90°，全是锐角，因此按角分这是锐角三角形。 【详解】180°－61°－70° ＝119°－70° ＝49° 在一个三角形中，有两个角的度数分别是61°和70°，按角分，这是一个锐角三角形。 9．在一个三角形中，一个内角是86°，是另一个内角的2倍，第三个内角是（ ）°，这是一个（ ）三角形。 【答案】 51 锐角 【分析】已知一个角86°，是第二个角的2倍，先用除法求出第二个内角度数；三角形内角和180°，用180°减去前两个角得到第三个角；根据三个角大小判断三角形类型：三个角都＜90°是锐角三角形。 【详解】86°÷2＝43° 180°－86°－43°＝94°－43°＝51° 所以第三个内角是51°。 三个内角分别是86°、43°、51°，全都小于90°，所以是锐角三角形。 10．如图所示∠3＋∠4＝∠5＝59°，∠1＝15°，∠2＝145°，那么∠4＝（ ）°。 【答案】39 【分析】观察图形可知，∠1、∠2、∠3位于同一个三角形内，∠1、∠2度数已知，先根据“三角形的内角和是180°”算出∠3的度数；再根据题目所给的信息“∠3＋∠4＝59°”计算出∠4的度数，据此解答。 【详解】∠3＝180°－15°－145°＝20° ∠4＝59°－20°＝39° ∠3＋∠4＝∠5＝59°，∠1＝15°，∠2＝145°，那么∠4＝39° 11．如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个角是（ ）°。这张纸片的形状按角分是（ ）三角形。 【答案】 65 锐角 【分析】三角形的内角和是180°，用内角和依次减去50°和65°，求出撕去的角是65°；然后根据三个角的大小判断，三个角都是锐角，那么三角形是锐角三角形。 【详解】180°－50°－65° ＝130°－65° ＝65° 三个角都是锐角（小于90°），那么三角形是锐角三角形。 即如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个角是65°。这张纸片的形状按角分是锐角三角形。 12．三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°。 【答案】 30 60 【分析】根据三角形的内角和等于180°、等腰三角形的两个底角相等、平角＝180°解答此题即可，∠1和等腰三角形ADC的顶角组成一个平角，顶角＝180°－∠1，用180°减去顶角再除以2求出∠2，在直角三角形中，∠3＝180°－90°－∠2，据此解答。 【详解】180°－60°＝120° （180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° 所以∠2＝30°，∠3＝60°。 13．一个等腰三角形的顶角是100°，底角是（ ）°；另一个等腰三角形一条边是5cm，另一条边是10cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【答案】 40 25 【分析】三角形内角和是180度，等腰三角形两个底角都相等，用内角和减去顶角的度数，再除以2，就可以计算出底角的度数； 等腰三角形的两条边相等，那么另一条边可能是5cm，也可能是10cm；根据三角形三边关系，两边之和必须大于第三边，由此确认第三条边的长度，最后把三条边长度相加即可。 【详解】（180－100）÷2＝80÷2＝40（度），底角是40度； 假如第三条边是5厘米，5＋5＝10（cm），10＝10，不能围成三角形； 假如第三条边是10厘米，5＋10＝15（cm），15＞10，能围成三角形； 三角形的周长：5＋10×2＝5＋20＝25（cm）。 14．如图，已知，那么（ ）。 【答案】280°/280度 【分析】根据“三角形的内角和是180°”这个核心知识点，可以发现图中包含了两个三角形，它们共用一个角∠5。我们可以分别利用这两个三角形的内角和，求出两个三角形的内角和，再减去两个∠5，来巧妙地求出四个角的总和，列式计算即可。 【详解】∠5＝40° ∠1＋∠2＋∠5＝180° ∠3＋∠4＋∠5＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋180°－∠5－∠5＝360°－40°－40°＝320°－40°＝280° 15．下面是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成一个三角形。 （1）若将支撑架调节成图①的样子，，，则（ ）；按角分，这是一个（ ）角三角形。 （2）若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个（ ）角三角形。 【答案】（1） 50 锐 （2）钝 【分析】根据三角形的内角和180°，计算出∠3的度数，根据三个角的度数可以判断出三角形的类型；根据图②三角形的样子，观察三个角的形状，判断三角形的类型。三角形类型按角分：1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90°；2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90°；3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90°且小于180°。 【详解】（1）180°－50°－80° ＝130°－80° ＝50° ∠3＝50°，三个角均小于90°，所以按角分类，这是一个锐角三角形。 （2）图②的三角形，观察图形可知，有一个角大于90°且小于180°，所以图3是一个钝角三角形。 16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝65°。如果沿图中的虚线将三角形ABC剪成两部分，那么∠1＋∠2＝（ ）°。 【答案】130 【分析】由图可知，三角形ABC剪成两部分后，上面的部分是一个三角形。等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，据此即可求出∠A的度数，再求出∠1＋∠2的度数。 【详解】∠ACB＝∠ABC＝65° ∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－65°－65°＝50° ∠1＋∠2＝180°－∠A＝180°－50°＝130° 二、判断题 17．用两个直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是度。（ ） 【答案】× 【分析】根据三角形内角和定理，任何三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。用两个直角三角形拼成的大三角形仍然是三角形，其内角和应为180°。 【详解】两个直角三角形拼成一个大三角形后，虽然组合方式不同，但形成的图形仍属于三角形。根据三角形内角和定理，无论三角形的大小或类型如何，其内角和恒为180°。 因此，“用两个直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是度。”说法错误。 故答案为：× 18．古建筑中常见到三角形框架，这是因为三角形具有稳定性。（ ） 【答案】√ 【分析】生活中，许多物体上都有三角形的结构，例如：自行车车架、人字梁等做成三角形的形状后，不管自行车怎么晃动，自行车车架、人字梁形状是不会变的。根据上述分析得出三角形不易变形，结合三角形的性质即可解答。 【详解】根据分析可得： 古建筑中常见到三角形框架，这是因为三角形具有稳定性。此说法正确。 故答案为：√ 19．如图中，①号三角形的内角和比②号三角形的内角和大。（ ） 【答案】× 【分析】任意三角形的内角和是180°，由此判断。 【详解】①号三角形的内角和和②号三角形的内角和都是180°，它们的内角和相等。 故答案为：× 20．用4厘米、5厘米、10厘米的三根小棒恰好围成了一个三角形。（ ） 【答案】× 【分析】要判断三根小棒是否能围成了一个三角形，需根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边。 【详解】4＋5＝9（厘米） 9厘米＜10厘米， 所以用4厘米、5厘米、10厘米的三根小棒不能围成一个三角形。 故答案为：× 21．如图，把长方形沿长边对折后，剪一刀（如图示）打开后一定是一个等腰三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】长方形的对边相等，四个角都是直角；等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，依此即可判断。 【详解】长方形沿长边对折后，再将相对的两个角剪一刀，打开后，得到的三角形中，有两条边是由对折后的剪痕形成的，即这两条边长度相等。由此可知：把长方形沿长边对折后，剪一刀（如图示）打开后一定是一个等腰三角形。 故答案为：√ 三、选择题 22．古都西安，文物古迹俯拾皆是。方方想真切感受西安的人文气息，从西安城墙出发，经过大明宫国家遗址公园，来到永兴坊，然后直接从永兴坊回到西安城墙，正好走了三角形的三条边，从大明宫国家遗址公园到永兴坊大约有（     ）米。 A．890 B．3200 C．4980 【答案】B 【分析】已知三角形三条边中，两条边分别为2900米和2000米。根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。所以第三边（即从大明宫国家遗址公园到永兴坊的距离）大于2900－2000＝900（米），小于2900＋2000＝4900（米）。据此解答。 【详解】A．890米＜900米，不符合要求； B． 900米＜3200米＜4900米，符合要求； C．4980＞4900米，不符合要求。 所以从大明宫国家遗址公园到永兴坊大约有3200米。 故答案为：B 23．在直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的2倍，则这个三角形最小的角的度数是（     ）。 A．60° B．30° C．15° 【答案】B 【分析】 直角三角形中两个锐角和为90°，设较小锐角度数为1份，另一个锐角则为2份，用90°除以总份数（1+2）可求出最小角的度数。 【详解】 （度） 故答案为：B 24．一个三角形每条边的长都是整厘米数，如果它的两条边分别长6cm和9cm，那么这个三角形的第三条边最长是（     ）cm。 A．14 B．18 C．30 【答案】A 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度，要求第三条边的最长长度，需先计算出已知两条边的长度之和，第三条边的长度必须小于这个和。再结合第三条边长为整厘米数的条件，找出小于和的最大整数即可。 【详解】根据三角形的三边关系可知，三角形任意两边之和大于第三边。 已知三角形的两条边长分别是和。 第三条边的长度必须小于这两条边的长度之和。 列式计算两条边的长度之和：。 所以第三条边的长度小于。 因为第三条边的长是整厘米数，小于的最大整数是。 所以这个三角形的第三条边最长是。 25．用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】放大镜只会放大三角形边的长度，不会改变角的度数，而任意三角形的内角和固定为180°，因此放大后三角形的内角和还是180°。 【详解】用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是180°。 26．把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（     ）。 A．和 B．和 C．和 【答案】A 【分析】等边三角形的三个内角都相等，三角形的内角和是180°，将180°平均分成3份，每份的度数就是等边三角形每个内角的度数，即180÷3＝60°，所以等边三角形的三个内角都是60°； 把这个等边三角形分成两个直角三角形后，其中的一个锐角是60°，则另一个锐角是90°－60°＝30°，据此解答。 【详解】180°÷3＝60° 90°－60°＝30° 所以其中一个直角三角形中的两个锐角分别是30°和60°。 四、作图题 27．按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 【答案】见详解 【分析】直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。每个三角形都有三个底和对应的高。 【详解】 五、计算题 28．计算下列各角的度数。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1）74° （2）61° （3）53° 【分析】利用三角形内角和是180度，减去已知两个角即可；其中直角是90度。据此作答。 【详解】（1）180－31－75＝74°； （2）180－58－61＝61°； （3）180－90－37＝53°。 六、解答题 29．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？ 【答案】52° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，一个三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数，就能求出顶角的度数。 【详解】180°－64°×2 ＝180°－128° ＝52° 答：它的顶角是52°。 30．智能芯片是人工智能技术的核心硬件，在智能垃圾分类机器人电路板上安置一种“三角形微图案芯片”，每个三角形微图案芯片都是周长为45厘米的等边三角形，三条边分别嵌入不同功能元件（传感元件、运算元件、存储元件，长度都等于边长）。已知传感元件每厘米27元，运算元件每厘米33元，存储元件每厘米20元。安置一个三角形微图案芯片的总费用是多少元？ 【答案】1200元 【分析】等边三角形三条边相等，用三角形周长÷3计算出每条边的长度，用三角形的每边的长度×元件的单价计算出三条边需要花费的钱数，然后再加一起即可。可以利用乘法分配律进行简算。 【详解】45÷3＝15（厘米） 15×27＋15×33＋15×20 ＝15×（27＋33＋20） ＝15×（60＋20） ＝15×80 ＝1200（元） 答：安置一个三角形微图案芯片的总费用是1200元。 31．李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文文建议李爷爷再加一根木条（图中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。 （1）文文这样建议的理由是什么？ （2）若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（     ）三角形，按边分是一个（     ）三角形。 ②求出图中和的度数。 【答案】（1）三角形具有稳定性 （2）① 锐角；等腰 ② ∠2＝75°，∠3＝30° 【分析】（1）四边形容易变形，具有不稳定性；三角形不容易变形，具有稳定性。加一根木条将四边形分成两个三角形，利用了三角形的稳定性。 （2）已知AB＝AC，所以按边分是等腰三角形；∠1和∠ABC组成平角，用180°减去∠1的度数，求出∠ABC的度数，∠2＝∠ABC，再用180°减去2个底角，求出顶角∠3。三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。在三角形中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 【详解】（1）答：文文这样建议的理由是三角形具有稳定性。 （2）若图中AB＝AC，∠1＝105°。 ①木条围成的三角形ABC按角分是一个锐角三角形，按边分是一个等腰三角形。 ②∠ABC＝180°－105°＝75° ∠2＝∠ABC＝75° ∠3＝180°－75°－75°＝105°－75°＝30° 答：∠2的度数是75°，∠3的度数是30°。 32．如图，小明不小心将一张三角形纸片剪去了一个角，被剪掉的这个角是多少度？ 【答案】68度 【分析】三角形的内角和是180度 ，已知三角形中两个角的度数，用180度减去这两个角的度数，即可求出被剪掉的第三个角的度数。 【详解】180－44－68 ＝136－68 ＝68（度） 答：被剪掉的这个角是68度。 33．把一张长方形纸的一角向上折起，已知∠1＝30°，请算出∠2的度数。 【答案】60° 【分析】长方形的四个角都是直角，三角形的内角和是180°，折叠前后对应的角大小相等。 【详解】因为长方形的四个角都是直角，所以∠ABC＝∠BAD＝ 90° 折叠前后对应的角大小相等，所以∠EBD＝∠1＝ 30° ∠ABE ＝∠ABC－∠EBD－∠1＝ 30° 所以∠2＝180°－∠BAD－∠ABE ＝180°－90°－30° ＝60° 34．李爷爷家有一块三角形菜地，菜地的最大角是130度，是另一个角的5倍，这块三角形菜地的其它两个角分别是多少度？这是一块什么三角形菜地？ 【答案】26度、24度 钝角三角形 【分析】菜地的最大角是130度，是另一个角的5倍，用130度除以5可以计算出另一个角的度数。再根据三角形的内角和是180度，利用减法求出第三个角的度数。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此判断。 【详解】（度），（度） 180度130度90度，130度的角是钝角，所以这块菜地是钝角三角形。 答：这块三角形菜地的其它两个角分别是26度、24度。这是一块钝角三角形菜地。 35．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国古代劳动人民发明的。在深圳风筝节上，有一个等腰三角形风筝，其中两条边分别长1.2米和2.4米。这个等腰三角形风筝的周长是多少米？ 【答案】6米 【分析】先根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断哪条边是腰、哪条边是底，再计算周长。如果假设腰长为1.2米，那么两条腰的和为1.2＋1.2＝2.4米，不满足三角形三边关系；因此只能是腰长为2.4米，底边长为1.2米，再将三条边的长度相加即可得到周长。 【详解】若腰长为1.2米，1.2＋1.2＝2.4，不满足“两边之和大于第三边”，舍去； 若腰长为2.4米，2.4＋2.4＞1.2，2.4＋1.2＞2.4，符合三边关系。 2.4＋2.4＋1.2＝6（米） 答：这个等腰三角形风筝的周长是6米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $