考点04 平面向量、解三角形的应用举例 基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量与解三角形的实际应用，通过多样化场景问题构建知识应用体系，培养用数学眼光观察现实世界、用数学思维解决实际问题的能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形应用|单选1/7/12题|实际测量（隧道/古塔/救援）|正弦定理、余弦定理→实际距离计算| |向量应用|单选4/9/10题|几何图形（正方形/正六边形/圆内接正方形）|向量线性运算、数量积→位置关系与最值| |综合应用|解答题11题|三角形边角关系与面积|三角恒等变换→面积公式推导|

考点04 平面向量、解三角形的应用举例·基础通关 一、单选题 1．如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 2．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知的三个内角，，的对边分别为，，，，，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．在中已知，且则为（    ） A．等腰 B．直角 C．等边 D．三边均不相等的 6．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C． D．边上的中线为 三、填空题 9．如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 10．已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为______；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为______. 四、解答题 11．如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC的中点，，，求的面积； 12．海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 平面向量、解三角形的应用举例·基础通关 一、单选题 1．如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】利用余弦定理计算即可得. 【详解】 ， 故隧道的长度. 2．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量在几何中的其他应用、用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用、相等向量 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    3．已知的三个内角，，的对边分别为，，，，，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、用基底表示向量 【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果即可. 【详解】因为，所以， 整理得，即， 所以， 所以 故选：B. 4．在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据题设得为的夹角，而，应用向量数量积的运算律及夹角公式求夹角余弦值. 【详解】由题意，为的夹角，而， 所以， ， ， 综上，. 故选：A    5．在中已知，且则为（    ） A．等腰 B．直角 C．等边 D．三边均不相等的 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状. 【详解】因为，变形， 即即，则． 因为，即， 即，化简得到，则. 则三角形为等边三角形． 故选：C. 6．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】令利用向量得线性运算及数量积运算将表示成t的函数，再求函数值域作答. 【详解】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为. 故选：B. 二、多选题 7．某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】高度测量问题 【分析】利用正弦定理，选择合适的三角形进行求解即可求解出答案. 【详解】对于A，在中，由正弦定理得所以米，故A错误； 对于B，在中米，故B正确； 对于C，在中，由正弦定理得，所以米，故C正确； 对于D，在中，米，所以米，故D正确． 故选：BCD． 8．在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C． D．边上的中线为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D. 【详解】如图，过点C作于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知，所以， 设，则，又，所以，所以， 在中，，又，所以， 所以，，，所以， 在中，易得， 所以边BC的高为，故选项A正确； 在中，由余弦定理的推论得， 又因为， 所以，故选项B正确； ，故选项C错误； 设的中点为，则， 所以， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题 9．如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【详解】以为原点建立如图所示坐标系， 则，设，则， 则， 由题意知，圆的半径为． 因为点在弧（包括端点）上，所以， 所以的取值范围是． 10．已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为______；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为______. 【答案】 /-0.5 4 【难度】0.65 【知识点】解析法在向量中的应用、向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】从向量的数量积的定义入手理解，将数量积最小问题转化为在上的投影数量最小问题，结合图象易于找到，计算即得；根据题意，建立如图坐标系，设动点，,表示出相关向量坐标代入题设条件，列出方程组，求出，计算的取值范围即得. 【详解】    如图，由向量数量积的几何意义可知可理解为在上的投影数量与的乘积， 要使最小，需使在上的投影数量最小，由图知，当且仅当点与重合时，投影的数量最小，即， 故；    如上图，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,不妨设，则， 则，由代入坐标，即得，， 解得：于是，因，故当且仅当时，的最大值为4. 故答案为： 四、解答题 11．如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC的中点，，，求的面积； 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】用向量解决线段的长度问题、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【详解】（1），由正弦定理，得， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； （2）由D是AC的中点，则， 由（1）知， 则， 又，， 则，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 12．海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】(1) (2)；能，理由见解析. 【难度】0.62 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为60海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在小时内赶到救援. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $