考点04 平面向量、解三角形的应用举例·能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量与解三角形的实际应用及几何综合，以多样化题型构建知识网络，渗透数学眼光、思维与语言素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用|单选1-2|情境化建模（测量、航行）|以解三角形为工具，将实际问题转化为数学模型| |几何综合|单选3/6、多选7|图形性质（中点、外心、重心）|向量运算与三角形性质融合，体现概念应用| |最值问题|单选4-5、填空9-10|范围与最值求解|结合函数思想与不等式，深化定理应用| |创新题型|多选8、解答11-12|新定义（莱洛三角形）与综合应用|跨学科情境拓展，培养探究与表达能力|

考点04 平面向量、解三角形的应用举例·能力提升 一、单选题 1. 某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A、B的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为（   ） A．67米 B．72米 C．74米 D．76米 2. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 3. 已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5. 已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 2、 多选题 7．在△ABC中，，，则下列说法正确的是（   ） A．△ABC外接圆的面积为 B．若，则 C．若O为△ABC的重心，且，则△ABC为等边三角形 D．若O为△ABC的外心，则 8．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，则（    ） A．莱洛三角形的周长为 B．以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为 C．点P为弧上的一点，则的最小值为 D．点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为 三、填空题 9．如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______． 10．已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 四、解答题 11．在中，角的对边分别为.已知. (1)求的值； (2)点是边上的一动点（包括端点）. ①若为边上的高，且，求的周长； ②若，求的面积. 12．如图所示，在中，角，，所对的边分别是，，，，，设的面积为，为的角平分线，且. (1)求： (2)求值； (3)点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为的一半，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 平面向量、解三角形的应用举例·能力提升 一、单选题 1. 某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A、B的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为（   ） A．67米 B．72米 C．74米 D．76米 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题 【分析】设直线CD与AB交于点E，分别用表示出， 利用解出，再解出，最后出塔高即可. 【详解】设直线CD与AB交于点E，则， 由题意，， 又，且，代入解得， 从而， 进而， 所以塔高米． 故选：B 2. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】速度、位移的合成 【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 3. 已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值 【分析】先得到，两边平方，结合向量数量积公式和，得到，求出答案. 【详解】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】先利用余弦定理求解出再用正弦定理求解出外接圆的半径，然后过外接圆圆心O作，根据几何性质可知当当点B与点D重合时，取得最大值. 【详解】由题意得，， 由余弦定理得， 由，得，又因为， 所以的外接圆半径， 且点B在优弧上运动（不包括端点）， 如图过外接圆圆心O作，过作垂直， 当点B与点D重合时，取得最大值. 此时，，， 的最大值为. 故选：A. 5. 已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量与几何最值 【分析】设，，由题可得三点共线，时，最小，据此可得，根据数量积的运算律求结论. 【详解】设，， 则， 从而三点共线. 当时，最小， 则时，，又，从而 ，又三点共线，则，故， 所以. 6. 设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.36 【知识点】平面向量数量积的几何意义、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用外心对应的向量数量积结论将题干中的向量等式转化为三角形三边的关系，再结合正弦定理实现边角互化得到边长的比例关系，最后代入余弦定理计算的值. 【详解】设的内角所对的边分别为， 对于的外心，有性质，. ∵ ， ∴ ， 同理可得，. 将上述结果代入， 得 ， 化简得 . ∵ ，由正弦定理，得 ，即. 将代入，得 ，即，故. 由余弦定理，，代入，， 得 . 2、 多选题 7．在△ABC中，，，则下列说法正确的是（   ） A．△ABC外接圆的面积为 B．若，则 C．若O为△ABC的重心，且，则△ABC为等边三角形 D．若O为△ABC的外心，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】利用正弦定理和圆的面积公式可判断选项A；利用正弦定理和向量的数量积定义可判断选项B；根据单位向量差与边向量垂直得出BO平分，再结合O为△ABC的重心可得出，可判断选项C；根据三角形外心的定义及向量数量积的几何意义可判断选项D. 【详解】对于选项A，由正弦定理知，得， 则△ABC外接圆的面积为，故选项A正确； 对于选项B，∵，， ∴，由正弦定理，可得， ∴，故选项B错误； 对于选项C，∵， ∴BO平分， 又∵O为△ABC的重心， ∴， 又∵， ∴△ABC为等边三角形，故选项C正确； 对于选项D，∵点O为△ABC的外心， ∴在上的投影为 由数量积的几何意义可得：，故选项D正确. 故选:ACD． 8．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，则（    ） A．莱洛三角形的周长为 B．以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为 C．点P为弧上的一点，则的最小值为 D．点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】每段圆弧的长度为圆周长的，计算三段圆弧总长度即可判断选项A；先求出底面积为三个扇形的面积减去两个正三角形的面积，然后求体积即可判断选项B；设为的中点，为的中点，，求解最小值即可判断选项C；因为点为莱洛三角形曲边上的一动点，所以需要讨论点在哪一条弧上.每一种情况将原式中的向量利用向量的运算转化为共起点且已知长度和角度的向量，再设出唯一变化的角或∠，进而利用数量积运算表示成该角的三角函数，借助辅助角公式求出最值即可判断选项D. 【详解】每段圆弧的长度为圆周长的，三段圆弧的总长度为 所以莱洛三角形的周长为，故A正确； 该几何体底面积为三个扇形的面积减去两个正三角形的面积， 正三角形的面积为， 扇形的面积为圆面积的，故扇形的面积为. 所以该几何体底面积为：. 故体积为，故B正确； 设为的中点，为的中点，如图所示， 则 ， 在正三角形中， ， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的最小值为，故C错误； 当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，设，， 原式 其中所以，又因为，所以， 所以当时，原式取最小值. 当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，设，， 原式 ，又因为，所以， 所以时，原式取最小值. ∵，故原式取最小值.故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】向量与几何最值、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量的线性运算可得，利用等面积法求点到直线的距离，即可得结果. 【详解】因为为的中点，则，则， 由题意可知：，， 设点到直线的距离为， 则，解得， 可得，所以的最小值为. 10．已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 【答案】/ 【难度】0.35 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】先通过向量的分配律将表达式合并为，再结合正八边形的性质与向量数量积的几何意义，将最大值问题转化为求投影长度的最大值即可. 【详解】如图，取边的中点，连接和，设与交于点， 则由正八边形的性质易得为的中点， 则， 当点在边上时，在上的投影向量为，此时取得最大值， 因为正八边形的边长为2，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 又， 所以， 所以的最大值为. 四、解答题 11．在中，角的对边分别为.已知. (1)求的值； (2)点是边上的一动点（包括端点）. ①若为边上的高，且，求的周长； ②若，求的面积. 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理边化角，进而利用三角恒等变换可求得，可求得； （2）①由三角形的面积可得，可求，进而由余弦定理可求得，可求周长；②由已知可得，利用向量的数量积，以及在，中，结合余弦定理可求得，进而可求得三角形的面积. 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得，由， 则， 可得， 由，即， 则，即，根据，解得； （2）①因为，即，又，所以， 由余弦定理得， 化简可得，解得， 所以的周长为； ②由，知，，， 则有，即， 化简得，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，由， 则，则，化简得， 则，即，则（负值舍去）， 所以. 12．如图所示，在中，角，，所对的边分别是，，，，，设的面积为，为的角平分线，且. (1)求： (2)求值； (3)点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为的一半，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用余弦定理求解的值； （2）中利用角平分线定理求解边长，进一步求面积； （3）则是先利用的面积为的一半得到参数的关系，再消元，最终转化为单变量的函数值域问题求解. 【详解】（1），即. （2）设，则,,,且. 即,得，.所以,. （3）设，.由，得. 因为，所以. 设, 因为三点共线，所以. . 由且，得. 由，得，故. 在上单调递增，. 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $