数学常用二级结论清单-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习知识清单全面覆盖高中数学主干内容，分为非圆锥曲线类（52条）和圆锥曲线类（61条），涵盖函数性质、数列求和、向量应用、立体几何、导数构造、概率统计及椭圆、双曲线、抛物线等核心知识板块。 清单采用结论编号与具体公式结合的方式呈现，如函数周期性结论、数列裂项形式、圆锥曲线焦半径公式等，突出知识系统性和条理性。通过分类梳理培养学生数学思维，设应用提示如导数构造模型、圆锥曲线焦点弦公式，助力学生逻辑推理与应用意识，方便教师指导学生高效复习。

非圆锥曲线类（52条） 【结论1】 有限数集子集个数 非空集合A中有n个元素，则它有  个子集， 个真子集， 个非空真子集。 【结论2】 若对 ，都有 ，则  在D上单调。 【结论3】 形如  的一次分式函数，竖直渐近线为 ，水平渐近线为 ，对称中心为 。 【结论4】 奇偶函数的四则运算 ① 奇函数 ± 奇函数 = 奇函数； ② 偶函数 ± 偶函数 = 偶函数； ③ 偶函数 × (÷) 偶函数 = 偶函数； ④ 奇函数 × (÷) 奇函数 = 偶函数； ⑤ 奇函数 × (÷) 偶函数 = 奇函数。 【结论5】 复合函数的奇偶性（全奇则奇，有偶则偶） ①  奇， 奇，则  奇； ②  奇， 偶，则  偶； ③  偶， 奇，则  偶； ④  偶， 偶，则  偶。 【结论6】 常见的奇函数 ① （a是奇数）； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； ⑨ 。 【结论7】 常见的偶函数 ① ； ② （a是偶数）； ③ ； ④ ； ⑤ 。 【结论8】 函数周期性结论 ① 若 ，则周期 ； ② 若 ，则周期 ； ③ 若 ，则周期 ； ④ 若 ，则周期 ； ⑤ 若 ，则周期 ； ⑥ 若  或 ，则周期 。 【结论9】 函数的轴对称结论 ①  图象关于直线  对称； ②  图象关于直线  对称。 【结论10】 函数的中心对称结论 ①  图象关于点  成中心对称； ②  图象关于点  成中心对称； ③  图象关于点  成中心对称。 【结论11】 函数的对称性与周期性关系 ① 若  关于点 、 对称，则  是周期函数，且 ； ② 若  图象有两条对称轴 、，则  是周期函数，且 ； ③ 若  关于点  对称，且关于  对称，则  是周期函数，且 。 【结论12】 对数运算 ① ； ② （连乘公式）。 【结论13】 当  时，。 【结论14】 万能公式 。 【结论15】 三角形不等式 。 【结论16】 极化恒等式 对于向量 、，则 。 【结论17】 在  中，D是BC上的点，如果 ，则 。 【结论18】 三角形内心的向量表示 内心：内切圆的圆心，角平分线的交点。 O是  的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论： ① 设 ，，，则 ； ② 若 ，，则动点P的轨迹一定通过  的内心。 【结论19】 三角形外心的向量表示 外心：外接圆的圆心，中垂线的交点。 O是  的外心，P为平面内任意一点，则有以下结论： ① ； ② ； ③ 若 ，，则动点P的轨迹一定通过  的外心。 【结论20】 三角形垂心的向量表示 垂心：高的交点。 O是  的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论： ① ； ② ； ③ 动点P满足  或 ，，则动点P的轨迹一定通过  的垂心。 【结论21】 三角形重心的向量表示 重心：中线的交点，三等分点（中位线比）。 设O是  的重心，P为平面内任意一点： ①  或 ； ② ； ③ ； ④ 若  或 ，，则P一定经过三角形的重心； ⑤ 若  或 ，，则P一定经过三角形的重心。 【结论22】 奔驰定理 若O为  内任意一点，则 。 【结论23】 三角恒等式 ，其中A、B、C满足  且 。 【结论24】 射影定理 ； ； 。 【结论25】 边角关系 （大边对大角，大角对大边）。 【结论26】 直观图面积关系 一个平面多边形的面积为 ，由斜二测画法得到的直观图面积为 ，则 。 【结论27】 面积射影定理 平面多边形及其射影面积分别为 、，它们所在平面所成锐二面角为 ，则 。 【结论28】 正四面体 设正四面体边长为 ，则正四面体高 ；体积 。 【结论29】 正四面体与球 内切球半径 ；外接球半径 ；棱切球半径 。 【结论30】 一般四面体与内切球 设四面体体积为 ，四面体表面积为 ，则内切球半径 。 【结论31】 棱锥外接球 ① 对于有一条棱垂直于底面的棱锥，其外接球半径 （ 为底面外接圆半径， 为棱锥的高）； ② 对于正棱锥或顶点的投影在底面的外接圆圆心上，其外接球半径 （ 为底面外接圆半径， 为棱锥的高）； ③ 对于有两个平面互相垂直的棱锥，其外接球半径 （、 为相互垂直的两面的外接圆半径， 为两平面交线长）。 【结论32】 欧拉定理 简单多面体的顶点数 、面数 、棱数  之间满足关系：。 【结论33】 直线夹角公式 直线 ，，则直线  与  所成的角  满足 。 【结论34】 两圆的公共弦方程 将两圆的一般方程  与  相减，所得方程  即为两相交圆的公共弦方程。 【结论35】 圆的切线长公式 ① 若圆的方程为 ，则切线长为 ； ② 若圆的方程为 ，则切线长为 ； ③ 若圆的方程为 ，则切线长为 。 【结论36】 圆的切线与切点弦方程 ① 当点  在圆上时，方程  或  表示过点P的切线方程； ② 当点  在圆外时，方程  或  表示过点P作圆的两条切线，切点为A、B，过A、B的直线方程（切点弦）； ③ 当点  在圆内时，方程  或  表示过点P作圆的弦AB，过A、B作圆的两条切线，两条切线交点的轨迹方程。 【结论37】 等差数列前n项性质 ① 等差数列中依次k项之和  组成公差为  的等差数列； ②  为等差数列  是公差为  的等差数列，即 ； ③ 若 、 都为等差数列，、 分别为其前n项和，则 ，。 【结论38】 等比数列前n项和性质 ① ； ② 若 、、 均不为0，则 、、 成等比数列，公比为 。 【结论39】 错位相减速算公式 差比数列 ：，则前n项和 ，其中： ，。 【结论40】 等差型裂项相消形式 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； ⑨ 。 【结论41】 根式型裂项形式 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 【结论42】 指数型裂项形式 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 【结论43】 对数、阶乘与三角型裂项形式 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ 。 【结论44】 数列求和放缩常见公式 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； ⑨ ； ⑩ ； ⑪ ； ⑫ ； ⑬ ； ⑭ 。 【结论45】 导数的构造 模型一：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型二：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型三：对于不等式 （或<k），构造函数 。 模型四：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型五：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型六：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型七：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型八：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型九：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型十：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型十一：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型十四：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型十五：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型十六：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型十七：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型十八：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型十九：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型二十：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型二十一：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型二十二：对于不等式 （或<0），构造函数 。 模型二十三：对于不等式 （或<0），构造函数 。 【结论46】 指数不等式 ，当且仅当  时取等； ，当且仅当  时取等； 当  时，，，当且仅当  时取等。 【结论47】 对数不等式 ，当且仅当  时取等； ，当且仅当  时取等； ，当且仅当  时取等。 【结论48】 指对不等式 （当且仅当  时“=”成立）。 【结论49】 三角放缩 ，，当且仅当  时取等； ，，当且仅当  时取等。 【结论50】 二项式系数和 ； 。 【结论51】 期望与方差的性质 若 ，其中a、b是常数，X是随机变量，则： ① ，，其中k为常数； ② ，； ③ ； ④ 。 【结论52】 二项分布概率最大项 对于二项分布 ，概率最大项为k，则 。 当  为整数时，k取  或 ； 当  不为整数时，k取 （向下取整）或 。 圆锥曲线类（61条） 【结论53】 椭圆通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，长度为 。 【结论54】 椭圆上点到焦点距离最值 椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距离最大值为 ，距离最小值为 。 【结论55】 椭圆焦点三角形离心率公式 P是椭圆上异于长轴端点一点，已知 ，，，离心率 。 【结论56】 椭圆焦半径公式  为椭圆的两个焦点， 为椭圆上任意一点，则： 当椭圆焦点在x轴时，，； 当椭圆焦点在y轴时，，。 【结论57】 椭圆短轴端点视角最大  为椭圆  的两个焦点，P为椭圆上任意一点，当点P为椭圆短轴端点时， 最大。 【结论58】 椭圆焦点三角形面积 P为椭圆  上异于长轴端点的点， 为椭圆的两个焦点，则  称为焦点三角形。若 ，则 。通过余弦定理得：。 【结论59】 椭圆上点两焦半径乘积范围 P是椭圆  上的任意一点， 和  是椭圆的两个焦点，则  的取值范围是 。 【结论60】 椭圆上点两焦半径向量点积范围 P是椭圆  上的任意一点， 是椭圆的两个焦点，则  的取值范围是 。 【结论61】 椭圆第二定义 平面上到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数  的点的轨迹叫做椭圆，即 。定点F叫焦点，定直线叫准线。焦点分为左焦点和右焦点，准线分为左准线  和右准线 。注意：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。 【结论62】 椭圆焦点弦长公式（倾斜角形式） F是椭圆  的左焦点，AB是过焦点的弦且倾斜角为 ，点A在x轴上方，则 ，；当F是椭圆的右焦点，则 ，。 注意：正负也可通过弦的长短决定，，，无需分左右焦点。 【结论63】 椭圆焦点弦倒数和定值 若AB是经过椭圆  焦点的一条弦，其中A、B分别是直线与椭圆的两个交点，则  的定值为 。 【结论64】 圆锥曲线焦点弦离心率公式（向量比） 设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、B两点，若 ，则 ，即 。（椭圆、双曲线、抛物线均适用，抛物线e=1） 【结论65】 椭圆中点弦斜率公式（点差法） 若  是椭圆  上两个不重合的点，线段AB的中点为 ，则 ，。 椭圆方程为  时，。 【结论66】 椭圆长轴端点与椭圆上点连线斜率积定值 椭圆  长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为 。 【结论67】 椭圆上关于原点对称两点与椭圆上点连线斜率积定值 设A、B是椭圆  上关于原点对称的两点，点P为该椭圆上不同于A、B的任一点，若直线PA、PB的斜率分别为 ，则 。 【结论68】 椭圆切线与切点与原点连线斜率积定值 若l是椭圆  不垂直于对称轴的切线，M为切点，则 。 【结论69】 椭圆上点切线方程 在椭圆  上一点  处的切线方程为 。 【结论70】 椭圆外点所引切线的切点弦方程 椭圆  外一点  所引两条切线的切点弦方程是 。 【结论71】 椭圆内点作弦，过端点切线交点轨迹方程 在椭圆  内一点 ，过点P作椭圆的弦AB，过A、B作椭圆的切线，则两条切线的交点M的轨迹方程为直线 。 【结论72】 椭圆内以一点为中点的弦所在直线方程 以椭圆  内一点  为中点的弦所在的直线方程为 。 【结论73】 椭圆焦点弦端点与准线和x轴交点连线斜率关系 直线l过焦点  与椭圆相交于A、B两点，点 （准线与x轴的交点），则 ，即 。 【结论74】 椭圆蒙日圆 过椭圆  上任意不同两点A、B作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于P，则动点P的轨迹为圆 。（蒙日圆） 【结论75】 双曲线通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径，长为 。 【结论76】 双曲线上点到焦点距离范围 P为双曲线  上一点，若F是左焦点，则PF的取值范围是 ，若F是右焦点，则PF的取值范围是 。（在左右顶点处取得最值） 【结论77】 双曲线焦点到渐近线距离 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长，即b。 【结论78】 双曲线焦半径公式  为双曲线的两个焦点， 为双曲线上任意一点，则： 当焦点在x轴时，，； 当焦点在y轴时，，。 【结论79】 双曲线焦点三角形面积  为双曲线  的两个焦点，M是双曲线上的动点，若 ，则 。通过余弦定理可得 。 【结论80】 双曲线上点两焦半径乘积范围 P是双曲线  上的任意一点， 是双曲线的左右焦点，则  的取值范围是 。 【结论81】 双曲线上点两焦半径向量点积范围 P是双曲线  的任意一点， 是双曲线的左右焦点， 的取值范围是 。 【结论82】 双曲线第二定义 平面内到定点F的距离与到定直线l（定点F在定直线l外）的距离之比为常数e（其中e>1）的点的轨迹是双曲线。常数e是双曲线的离心率。定点F是双曲线的焦点。定直线l是双曲线相应于定点F的准线。 ① 对于双曲线 ，左焦点  对应的准线方程为 ；右焦点  对应的准线方程为 。 ② 对于双曲线 ，下焦点  对应的准线方程为 ；上焦点  对应的准线方程为 。 【结论83】 双曲线焦点弦长公式（倾斜角形式，同一支） F是双曲线  的右焦点，过焦点的弦倾斜角为 ，交双曲线同一支于A、B两点，点A在x轴上方，则 ，（正负由弦的长短决定）；当F是双曲线的左焦点，则 ，。 注意：正负也可由弦的长短决定 ，，不必区分左右焦点。 【结论84】 双曲线焦点弦倒数和定值 若AB是经过双曲线  焦点的一条弦，其中A、B分别是直线与双曲线的两个交点，则  的定值为 。 【结论85】 双曲线中点弦斜率公式（点差法） 若  是双曲线  上两个不重合的点，线段AB的中点为 ，则 ，。 当双曲线的方程为  时，，。 【结论86】 双曲线实轴端点与双曲线上点连线斜率积定值 双曲线  实轴的两个端点与除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为 。 【结论87】 双曲线上关于原点对称两点与双曲线上点连线斜率积定值 设A、B是双曲线  上关于原点对称的两点，点P为该双曲线上不同于A、B的任一点，若直线PA、PB的斜率分别为 ，则 。 【结论88】 双曲线切线与切点与原点连线斜率积定值 若l是双曲线  不垂直于对称轴的切线，M为切点，则 。 【结论89】 双曲线上点切线方程 双曲线  上一点  处的切线方程是 。 【结论90】 双曲线外点所引切线的切点弦方程 双曲线  外一点  所引两条切线的切点弦方程是 。 【结论91】 双曲线内点作弦，过端点切线交点轨迹方程 在双曲线  内一点 ，过点P作双曲线的弦AB，过A、B作双曲线的切线，则两条切线的交点M的轨迹方程为直线 。 【结论92】 双曲线内以一点为中点的弦所在直线方程 以双曲线  内一点  为中点的弦所在的直线方程为 。 【结论93】 双曲线蒙日圆 过双曲线  上任意不同两点A、B作双曲线的切线，如果切线垂直且相交于P，则动点P的轨迹为圆 。（蒙日圆）（双曲线  时，轨迹不存在） 【结论94】 抛物线通径 过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两交点的线段称为抛物线的通径，它的长为 。 【结论95】 抛物线过定点垂直性质 抛物线方程为 ，过  的直线与之交于A、B两点，则 。反之也成立。 【结论96】 抛物线焦点弦长公式（坐标形式） AB为抛物线  的焦点弦，，则 。 【结论97】 抛物线焦点弦端点坐标关系 AB为抛物线  的焦点弦，设 ，则 ，。 【结论98】 抛物线焦点弦长公式（倾斜角形式） 设焦点弦AB的倾斜角为 ，则 ，，。 【结论99】 抛物线焦点弦倒数和定值 （定值）。 【结论100】 抛物线焦点弦三角形面积 。 【结论101】 三个垂直 ，，。 【结论102】 线段MN被抛物线平分，即R为线段MN的中点。 【结论103】 。 【结论104】 角平分性质 ① ；② CF平分 ，DF平分 。 【结论105】 三点共线 A、D、O三点共线；B、C、O三点共线。 【结论106】 四个相切圆 ① 以AB为直径的圆必与准线相切；② 以CD为直径的圆与AB相切于焦点F；③ 以BF为直径的圆与y轴相切；④ 以AF为直径的圆与y轴相切。 【结论107】 抛物线切线过定点性质（一） 过直线  上但在抛物线  外（即抛物线准线所在区域）一点  向抛物线引两条切线，切点分别为A、B，则直线AB必过定点 ， 且有 。 【结论108】 抛物线切线过定点性质（二） 过直线  上但在抛物线  外（即抛物线准线所在区域）一点  向抛物线引两条切线，切点分别为A、B，则直线AB必过定点 ， 且有 。 【结论109】 抛物线的弦中点问题 ① 设抛物线  的弦为AB，弦AB的中点为 ，则 。 ② 设抛物线  的弦为AB，弦AB的中点为 ，则 。 ③ 设抛物线  的弦为AB，弦AB的中点为 ，则 。 ④ 设抛物线  的弦为AB，弦AB的中点为 ，则 。 【结论110】 抛物线上点切线斜率 ① 抛物线  上一点  处切线的斜率若存在即为 ； ② 抛物线  上一点  处切线的斜率存在即为 ； ③ 抛物线  上一点  处切线的斜率若存在即为 ； ④ 抛物线  上一点  处切线的斜率若存在即为 。 【结论111】 抛物线上点切线方程 过抛物线  上的点  的切线方程是 。 【结论112】 抛物线外点所引切线的切点弦方程 过抛物线  外一点  所引两条切线的切点弦方程是 。 【结论113】 抛物线内点作弦，过端点切线交点轨迹方程 过抛物线  内一点 ，过点P作抛物线弦AB，过A、B作抛物线的切线，则两条切线的交点M的轨迹方程为直线 。 学科网（北京）股份有限公司 $