专题11.4 一元一次不等式组（知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共64题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.4 一元一次不等式组『第十一章 一元一次不等式』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共64题） 解析版 1 知识点一 一元一次不等式组 1 知识点二 一元一次不等式组的解集 2 知识点三 解一元一次不等式组 3 知识点四 由实际问题抽象出一元一次不等式组 3 知识点五 一元一次不等式组的应用 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 一元一次不等式组的定义 3 考点讲练二 求不等式组的解集 4 考点讲练三 求一元一次不等式组的整数解 6 考点讲练四 由一元一次不等式组的解集求参数 7 考点讲练五 由不等式组解集的情况求参数 8 考点讲练六 不等式组和方程组结合的问题 10 考点讲练七 列一元一次不等式组 12 考点讲练八 不等式组的行程问题 13 考点讲练九 不等式组的经济问题 15 考点讲练十 不等式组的分配问题 17 考点讲练十一 不等式组的方案选择问题 19 考点讲练十二 不等式组的阶梯收费问题 22 考点讲练十三 一元一次不等式组的其他应用 24 中考真题 实战演练 26 难度分层 闯关训练 30 【基础夯实 能力提升】 30 【创新拓展 拔尖冲刺】 37 知识点一 一元一次不等式组 1.定义： 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【方法点拨】一元一次不等式组必须同时满足两个条件， （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数. 2.表示方式：不等式组可以用“{”表示，也可以用形如的方式表示. 【方法点拨】 1. 一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个； 2.未知数的个数必须唯一. 知识点二 一元一次不等式组的解集 1.定义：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集的四种情况 【方法点拨】“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的不分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 不等式组的解集中的每一个解都满足不等式组中的每一个不等式. 知识点三 解一元一次不等式组 1.定义：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.一元一次不等式组解集的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集. 知识点四 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 考点讲练一 一元一次不等式组的定义 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式．选项A符合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项． 本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题意． B、为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意． C、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． D、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·河北沧州·月考）我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 考点讲练二 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别解两个不等式，求出解集，然后在数轴上表示出来． 【点睛】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 在数轴上表示为：处为实心点，处为空心圈． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海·期中）解不等式组，并求出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】分别求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，再找出解集中的整数即可得到结果． 【详解】解： 由①得： 解得：． 由②得：不等式两边同乘去分母，得 去括号，得 移项整理，得 解得：． 所以，原不等式组的解集为．该不等式组的所有整数解为． 【变式训练2】（25-26七年级下·北京密云·期中）解不等式组，并写出它所有的整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为， 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 所有整数解为，． 考点讲练三 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·北京昌平·期中）解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】 ； 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为. 【变式训练1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，找出解集内的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 【变式训练2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】， 【分析】求出不等式组的解集，确定整数解． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为， 整数解为． 考点讲练四 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围． 【详解】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为： ， 解不等式①可得：， 解不等式②移项可得：， 因为该不等式组的解集为， 根据同大取大的解集确定法则，可得， 解得：． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）明明在解一元一次不等式组时，发现“”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为，若用字母表示“”里的常数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解，再根据不等式组的解集为，即可求出的取值范围． 【详解】解：用字母表示“”里的常数， ∴， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川资阳·期末）若关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】5 【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，结合已知的不等式组解集得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得：． 解不等式， 移项得， 系数化为得：． 不等式组的解集为， ， 解得． 考点讲练五 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组有一个整数解为7，列出关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组有一个整数解为， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海闵行·月考）关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据不等式组无解可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组得到x的取值范围，再根据恰有四个整数解确定m的取值范围.最后找出所有符合条件的整数m计算和即可. 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有四个整数解， ∴四个整数解为 可得 不等式三边同乘，得 ∵为整数， ∴的取值为 所有整数的和为． 考点讲练六 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】观察方程的特征，可以把两个方程相减后，用含k的式子表示出，再代入到求解k的取值范围即可． 【详解】解： ①②得：， ∴， ∵ ∴ 解得： 【变式训练1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 【变式训练2】（24-25七年级下·重庆江津·月考）若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 考点讲练七 列一元一次不等式组 【典例分析】（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握“抽水量抽水速度抽水时间”以及根据不等关系列不等式组是解题的关键．根据抽水机的抽水速度、抽水时间与污水量的关系，结合污水量的范围列出不等式组． 【详解】解：由题意可得 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 考点讲练八 不等式组的行程问题 【典例分析】（25-26七年级下·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 考点讲练九 不等式组的经济问题 【典例分析】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【答案】共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【分析】设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台， 根据题意得， 解第一个不等式得； 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以的取值为或， 当时，； 当时，， 答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【答案】她还能买7支中性笔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握根据实际问题列出不等式组并取正整数解是解题的关键． 设能买支中性笔，根据总花费不超过元且剩余钱数少于元，列出不等式组，求解后取正整数解． 【详解】解：设她能买支中性笔． 由题意，得 解得． 为正整数， ． 故她还能买支中性笔． 【变式训练2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【详解】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 考点讲练十 不等式组的分配问题 【典例分析】（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 考点讲练十一 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【答案】(1)种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元 (2)共有种购买方案，最省钱方案费用为元 【分析】（1）列二元一次方程组，根据已知的购买数量和总价求出两种垃圾桶的单价； （2）列一元一次不等式组，确定购买数量的取值范围，然后判断最省钱方案． 【详解】（1）解：设种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元， 可得， 解得， 故种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元． （2）解：设购买种垃圾桶个，则购买种垃圾桶为个， 可得， 解得， ∵是正整数， ， ∴共有种购买方案， ∵种垃圾桶单价高于种垃圾桶， ∴当种垃圾桶的数量最少，即种垃圾桶个，种垃圾桶个时，总费用最低， ∴最省钱方案费用：（元）． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)方案1：生产A产品2件，B产品8件；方案2：生产A产品3件，B产品7件；方案3：生产A产品4件，B产品6件 (2)生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元 【分析】（1）设生产A种产品件，则生产B种产品件，根据“工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元”列不等式组求解即可； （2）根据（1）中方案分别计算利润，比较即可； 【详解】（1）解：设生产A种产品件，则生产B种产品件（为非负整数）， 根据题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， 对应三种生产方案：方案1：生产A产品2件，B产品8件； 方案2：生产A产品3件，B产品7件； 方案3：生产A产品4件，B产品6件； （2）解：方案1：总利润（万元）， 方案2：总利润（万元）， 方案3：总利润（万元）， ∵， ∴生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元． 【变式训练2】（25-26七年级下·北京西城·期中）在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． (1)求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； (2)若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ (3)若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 【答案】(1)甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元 (2)购买乙种书柜至少有14个 (3)共有3种购买方案，购买甲种书柜12个，乙种书柜12个时花费最少 【分析】(1) 根据两种购买情况列二元一次方程组求解单价． (2) 根据预算全部用完列方程，结合甲种书柜不超过10个且个数为非负整数，求乙种书柜的最小值． (3) 根据总数24个、乙不少于甲、不超出预算列不等式组确定甲种书柜的取值范围，再计算各方案花费进行比较． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜单价为元， 由题意得：， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 去括号，得：， 合并，得：， 解得：， 将代入，得：， 答：甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元． （2）设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜个，m，n均为非负整数， 由题意得：， 化简，得：， 变形，得：， ， 要使最小，需取最大值， 将代入，得：， 答：购买乙种书柜至少有14个． （3）解：设购买甲种书柜a个，则购买乙种书柜个，为非负整数， 由题意得：， 解第一个不等式，得：， 解第二个不等式，得：， ， 不等式组的解集为， 为整数， 的取值为10，11，12，对应共有种购买方案， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， ∵ ， ∴ 当时花费最少， 答：共有种购买方案，购买甲种书柜12个、乙种书柜12个时花费最少． 考点讲练十二 不等式组的阶梯收费问题 【典例分析】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 考点讲练十三 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：将的水倒进一个容量为的杯子中；将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设一个玻璃球的体积为，根据4个球放入水中水未满，5个球放入水中水满溢出，列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：设一个玻璃球的体积为 ∵杯子容量为，水的体积为 ， ∴杯子剩余空间为 根据题意可得， 解得， ∵选项中只有在此范围内， ∴一个玻璃球的体积可能是． 【变式训练1】（25-26七年级下·福建福州·期中）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，解答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，32，33中，“互异数”为__________； ②计算：__________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） (2)如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； (3)如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围__________ 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】（1）①由“互异数”的定义可得； ②根据定义计算可得； （2）根据，结合题意，列出二元一次方程组，即可求x和y的值，进而求得的值； （3）根据“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，分类讨论f，根据满足的互异数有且仅有3个，求出t的取值范围． 【详解】（1）解：①∵如果一个两位数的十位数字为，个位数字为，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”， ∴，，中，“互异数”为， ② （2）解：，且， ， ， ， 联立 解得， 故， ； （3）当时，，此时为不是互异数； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 满足的互异数有且仅有个， ． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】B 【分析】先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后代入s进行求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ，，是三个非负数， ， 解得， ∴ ∴ ∴ ∴的最大值，最小值为 ∴． 【真题演练1】（2024·上海·中考真题）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【真题演练2】（2024·山东济南·中考真题）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（    ） A．6 B．7 C．14 D．21 【答案】D 【分析】设 ，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解． 【详解】解：设 ， 则x=2t+1，y=2-3t， ∵x≥0，y≥0， ∴2t+1≥0，2-3t≥0， 解得 ∴ ∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11， ∴ 解得，7≤w≤14， ∴w的最大值是14，最小值是7， ∴m+n=14+7=21． 故选：D． 【真题演练3】（2024·四川成都·中考真题）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解的情况确定字母的取值范围．先解不等式组，得到解集，由有个整数解可知整数解为，，，，，从而确定需满足． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 因有个整数解，即可取，，，，， 故需满足，以确保包含但不包含． 故答案为：． 【真题演练4】（2024·广东深圳·中考真题）若关于的不等式组的整数解恰有2个，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，理解恰有2个整数解的意义是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据恰有2个整数解确定 m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是：． ∵不等式组有2个整数解， ∴整数解是3，4． ∴． 故答案是：． 【真题演练5】（2024·湖北恩施·中考真题）已知关于x、y的方程组． (1)当，解这个方程组； (2)当这个方程组的解x、y满足 求m的取值范围； (3)在（2）条件下，如果三角形的顶点坐标分别为，那么三角形的面积最大值为_________，最小值为_________ ． 【答案】(1) (2) (3)352，30． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组、三角形面积、不等式的应用等知识点，掌握相关运算方法和法则是解题的关键． （1）把代入方程组求解即可； （2）先把m看作常数解方程组，根据不等式组的解确定m的取值范围即可； （3）根据（2）表示x和y的取值，并确定其取值范围，再根据三角形面积公式确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：当时，方程组化为， 得：，解得：， 将代入②可得：，解得：， 所以该方程组的解为：． （2）解：， 得：，解得：， 将代入②可得：，解得：， 所以该方程组的解为：； 解不等式③可得：，即，解得：； 解不等式④可得：，解得：； 所以． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 三角形面积的最小值； 三角形面积的最大值． 故答案为：352，30． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 2．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，运用“同大取大”的法则即可判断a的取值范围． 【详解】解： ∵不等式组的解集是， ∴． 3．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式组得到解集，再根据只有3个整数解的条件，得到参数a的取值范围． 【详解】解：， 由①得 由②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组只有3个整数解， ∴3个整数解为1，0，， ∴． 4．（25-26七年级下·北京昌平·期中）对于任何数，符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）_______． （2）如果，则满足条件的所有整数的和为_______． 【答案】 6 【分析】（1）先求出，，再代入计算即可； （2）根据题意可得，解不等式组，再求和即可． 【详解】解：（1）由题意得： ． （2）∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有整数为和， ∴满足条件的所有整数的和为． 5．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数．先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵， ∴不等式组的解集为， 不等式组只有个整数解， 不等式组的个整数解为， 由此可得． 6．（25-26七年级下·四川资阳·期中）我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 【答案】 【分析】根据新定义，推出，得到或，分类讨论求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x，y为不同的整数， ∴或， 当时，或，不符合题意，舍去； 当时，或或或， ∴或． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件，得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对于不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有解，两个不等式的解集存在公共部分， ∴， 解得：． 8．（25-26七年级下·河南开封·期中）解方程（不等式）组： (1) (2) (3)解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) (3)，数轴表示见解析 【分析】（1）根据代入消元法求解； （2）由消去x，求出y，再将y值代入①求出x即可； （3）先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示出来，进而得出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 将②代入①，得， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是； （3）解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式的解集为： 所以不等式组的解集是． 9．（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知关于的不等式组：． (1)若，求这个不等式组的解集． (2)若这个不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，解不等式组即可得到答案； （2）先解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组无解求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集是； （2）解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 该不等式组无解， ∴， 解得， 的取值范围是． 10．（25-26七年级下·北京昌平·期中）不妨约定：关于x，y的二元一次方程（为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；② ；③ ． (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，直接写出“开心”方程组的解． 【答案】(1)①不是；②是；③不是； (2) (3) 【分析】（1）根据定义逐个判断即可； （2）先根据定义建立关于的方程组，解方程组可得的值，再代入原方程组，化简即可； （3）先根据定义将用含的式子表示出来，再建立不等式组，结合为整数，求出的值，然后代入原方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：①方程中，， ∴，， ∴不满足，方程不是“开心”方程； ②方程中，， ∴，， ∴满足，且，方程是“开心”方程； ③方程中，， ∴，， ∴不满足，方程不是“开心”方程． （2）解：∵关于的方程组是“开心”方程组， ∴， 解得， ∴这个方程组为，即， ∵关于的“开心”方程组的解为， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵关于的方程组是“开心”方程组， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或 当时，，，则方程为， 由（1）可知，这个方程不是“开心”方程，不符合题意，舍去； 当时，，， 则方程组为， 将两个方程相加得：， ∵为常数且， ∴，即， 将代入方程得：， ∴， ∴“开心”方程组的解为． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，代入不等式组，即可解答． 【详解】解：由可得， ， ， 解得，故B正确； ，即，故A正确； ，， ，故C正确； ，， ，故D错误． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为，根据最小整数解是，可知不是解而是解，从而得出关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式： ∵ ∴ ． 解第二个不等式： ∵ 两边乘： 展开： 移项： ∴ ． 即 ． ∴ 不等式组的解集为 ． ∵ 最小整数解是 ∴ 不是解，故 ． 又 ∵ 是解，故 ∵ ∴ ． 即 ． ∵ 且 ∴ ． 即 ． ∴ ． 故选：B． 3．（25-26七年级下·山西太原·月考）已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由条件且，，设，则，为整数. 结合为整数，求满足条件的，再求和，最后计算． 【详解】解：∵，设， ∴，为整数，即可取至， ∵为整数，， ∴被整除， ∵为整数，， ∴被整除， 检验至： 被整除时，， 被整除时，仅满足（被整除）， ∴， 代入：，，， 代入：，，， ∴， 故选：D． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组． （1）若，则不等式组的整数解是______． （2）若不等式组有解且每一个x的值均不在的范围中，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，根据不等式组的解的范围求参数的取值范围， （1）先求出不等式组的解集为 ，再代入求解整数解， （2）结合题意列出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为 ， （1）当时，解集为 ，即， 所以不等式组的整数解为； （2）不等式组有解， ， 解得 ， 不等式组的所有均不在的范围中， ∴解集 与无公共部分，分两种情况讨论 当时， 解得， ∵， ∴； 当 时， 解得， ∵， 此时无公共解 综上，的取值范围为； 故答案为：，． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组． （1）解集为，则a的值为_____________． （2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________． 【答案】 6 【分析】（1）求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案； （2）求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组的正整数解之和为6确定不等式组的正整数解，进而可得答案． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∵原不等式组的解集为， ∴； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的正整数解之和为6，且， ∴不等式组的正整数解为1，2，3， ∴ ． 6．（25-26七年级下·重庆垫江·月考）已知关于x、y的方程组的解为整数，且关于m的不等式组有且只有4个整数解，则所有满足条件的整数a的和为______． 【答案】 【分析】先根据方程组的整数解，确定a的组，再求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，再确定整数解求解即可． 【详解】解：，把②变形，得，把③代入①，得，解得，由关于x、y的方程组的解为整数， 故或或， 解得，，，，，； ∵， 解①得，解②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解，分别为， ∴， 解得， 由，，，，，， 符合题意，a的值为， 故所有满足条件的整数a的和为． 7．（2024七年级下·湖北黄石·竞赛）为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为________套． 【答案】835 【分析】设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据钢笔和笔记本的总数列出三元一次方程组，用表示和，再根据，的取值范围列出关于的不等式组，得到的取值范围，结合，为正整数确定的取值，进而求出，的值，最后计算尺规套装的总套数． 【详解】解：设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据题意得， ，得，解得， 将代入②，得， 化简得，解得， 由题意得，，且，，都为正整数，因此， 解不等式组得 ，因为，为整数，所以同时是和的公倍数，在取值范围内的正整数只有， 将代入得，，均满足条件， 因此尺规套装的总套数为：． 8．（25-26七年级下·福建泉州·月考）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是． （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒ （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)② (2)（满足解是1的一元一次方程均可） (3) 【分析】（1）求出不等式组的解集和三个方程的解，再根据“子方程”的定义逐一判断即可； （2）求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，则可确定“子方程”的解，据此可得答案； （3）求出不等式组的解集和方程的解，再根据“子方程”的定义建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴只有方程是不等式组的“子方程”； （2）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个“子方程”的解是整数， ∴该“子方程”的解是， ∴该“子方程”可以为； （3）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， ∵方程，是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 10．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】根据已知条件，判断出，再求得不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集是， ，， ，整理得：， 把代入得，整理得：， ， ， ， ， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.4 一元一次不等式组『第十一章 一元一次不等式』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共64题） 原卷版 2 知识点一 一元一次不等式组 2 知识点二 一元一次不等式组的解集 2 知识点三 解一元一次不等式组 3 知识点四 由实际问题抽象出一元一次不等式组 3 知识点五 一元一次不等式组的应用 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 一元一次不等式组的定义 3 考点讲练二 求不等式组的解集 4 考点讲练三 求一元一次不等式组的整数解 4 考点讲练四 由一元一次不等式组的解集求参数 5 考点讲练五 由不等式组解集的情况求参数 5 考点讲练六 不等式组和方程组结合的问题 5 考点讲练七 列一元一次不等式组 6 考点讲练八 不等式组的行程问题 6 考点讲练九 不等式组的经济问题 7 考点讲练十 不等式组的分配问题 8 考点讲练十一 不等式组的方案选择问题 8 考点讲练十二 不等式组的阶梯收费问题 10 考点讲练十三 一元一次不等式组的其他应用 11 中考真题 实战演练 11 难度分层 闯关训练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【创新拓展 拔尖冲刺】 14 知识点一 一元一次不等式组 1.定义： 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【方法点拨】一元一次不等式组必须同时满足两个条件， （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数. 2.表示方式：不等式组可以用“{”表示，也可以用形如的方式表示. 【方法点拨】 1. 一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个； 2.未知数的个数必须唯一. 知识点二 一元一次不等式组的解集 1.定义：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集的四种情况 【方法点拨】“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的不分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 不等式组的解集中的每一个解都满足不等式组中的每一个不等式. 知识点三 解一元一次不等式组 1.定义：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.一元一次不等式组解集的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集. 知识点四 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 考点讲练一 一元一次不等式组的定义 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·河北沧州·月考）我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 考点讲练二 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海·期中）解不等式组，并求出所有整数解． 【变式训练2】（25-26七年级下·北京密云·期中）解不等式组，并写出它所有的整数解． 考点讲练三 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·北京昌平·期中）解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【变式训练1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）解不等式组，并写出它的所有整数解． 考点讲练四 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）明明在解一元一次不等式组时，发现“”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为，若用字母表示“”里的常数，则的取值范围是______． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川资阳·期末）若关于的不等式组的解集为，则的值为________． 考点讲练五 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海闵行·月考）关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 【变式训练2】（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 考点讲练六 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 【变式训练1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知满足，则的取值范围为______． 【变式训练2】（24-25七年级下·重庆江津·月考）若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 考点讲练七 列一元一次不等式组 【典例分析】（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 考点讲练八 不等式组的行程问题 【典例分析】（25-26七年级下·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【变式训练2】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 考点讲练九 不等式组的经济问题 【典例分析】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【变式训练2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 考点讲练十 不等式组的分配问题 【典例分析】（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 考点讲练十一 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【变式训练1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【变式训练2】（25-26七年级下·北京西城·期中）在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． (1)求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； (2)若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ (3)若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 考点讲练十二 不等式组的阶梯收费问题 【典例分析】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 考点讲练十三 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：将的水倒进一个容量为的杯子中；将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·福建福州·期中）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，解答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，32，33中，“互异数”为__________； ②计算：__________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） (2)如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； (3)如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围__________ 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 【真题演练1】（2024·上海·中考真题）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·山东济南·中考真题）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（    ） A．6 B．7 C．14 D．21 【真题演练3】（2024·四川成都·中考真题）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________． 【真题演练4】（2024·广东深圳·中考真题）若关于的不等式组的整数解恰有2个，则的取值范围是______． 【真题演练5】（2024·湖北恩施·中考真题）已知关于x、y的方程组． (1)当，解这个方程组； (2)当这个方程组的解x、y满足 求m的取值范围； (3)在（2）条件下，如果三角形的顶点坐标分别为，那么三角形的面积最大值为_________，最小值为_________ ． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京昌平·期中）对于任何数，符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）_______． （2）如果，则满足条件的所有整数的和为_______． 5．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围是_________． 6．（25-26七年级下·四川资阳·期中）我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______． 8．（25-26七年级下·河南开封·期中）解方程（不等式）组： (1) (2) (3)解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 9．（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知关于的不等式组：． (1)若，求这个不等式组的解集． (2)若这个不等式组无解，求的取值范围． 10．（25-26七年级下·北京昌平·期中）不妨约定：关于x，y的二元一次方程（为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；② ；③ ． (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，直接写出“开心”方程组的解． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西太原·月考）已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组． （1）若，则不等式组的整数解是______． （2）若不等式组有解且每一个x的值均不在的范围中，则a的取值范围是______． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组． （1）解集为，则a的值为_____________． （2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________． 6．（25-26七年级下·重庆垫江·月考）已知关于x、y的方程组的解为整数，且关于m的不等式组有且只有4个整数解，则所有满足条件的整数a的和为______． 7．（2024七年级下·湖北黄石·竞赛）为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为________套． 8．（25-26七年级下·福建泉州·月考）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 10．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $