11.1不等式11.2一元一次不等式的概念11.3解一元一次不等式 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

本讲义系统梳理不等式与一元一次不等式核心知识，从不等式定义、解与解集入手，衔接一元一次不等式的概念及判定条件，再到不等式性质、求解步骤及数轴表示，构建递进式学习支架，帮助学生夯实基础。 资料以8大题型为核心，通过解题技巧、典例及变式训练，培养学生运算能力与推理意识，如用“三步判定法”掌握一元一次不等式定义，数轴表示解集强化几何直观。过关检测含综合题，课中辅助教学提升效率，课后助力学生查漏补缺，发展应用意识。

11.1不等式11.2一元一次不等式的概念 11.3解一元一次不等式 （知识点+8大题型+过关检测） 【题型1 不等式的定义】 3 【题型2 不等式的解集】 4 【题型3 不等式的性质】 6 【题型4 一元一次不等式的定义】 7 【题型5 求一元一次不等式的解集】 9 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 11 【题型7 在数轴上表示不等式的解集】 13 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 15 1. 感知生活中的不等关系，熟练掌握不等式的定义、常用不等号含义，清晰区分不等式的解与解集； 2. 精准掌握一元一次不等式的定义及三大核心判定条件；熟记不等式的三条基本性质，重点掌握乘除负数变号的特殊规则，熟练掌握解一元一次不等式的完整步骤，理解解集的数学含义，能够规范识别、书写一元一次不等式标准形式。 03 知识•梳理 （一）11.1 不等式相关知识点 1. 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示两个数或代数式不等关系的式子，叫做不等式。 常用不等号含义： · >：大于，严格大于，不含相等； · <：小于，严格小于，不含相等； · ≥：大于或等于、不小于，包含相等情况； · ≤：小于或等于、不大于，包含相等情况； · ≠：不等于，仅表示不相等，无大小关系。 2. 不等式的解与解集 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的单个值，叫做不等式的一个解（解有无数个）。 （2）不等式的解集：一个不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 （3）解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 （二）11.2 一元一次不等式的概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 三大核心判定条件（缺一不可） · 未知数唯一，不含多个不同未知数； · 未知数次数为1，无平方、立方、负指数、分母含未知数的情况； · 两边均为整式，无分式、根式形式。 一般形式：、、、（） （三）11.3 解一元一次不等式核心知识点 1. 不等式的基本性质（解题核心依据） 性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变。 若，则。 性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若，，则，。 性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变（唯一易错点）。 若，，则，。 补充：不等式两边不能同时乘0，乘0后式子变为等式。 2. 解一元一次不等式的步骤（与解方程类似，仅一步不同） ①去分母：两边同乘各分母最小公倍数，注意负数分母要变号，不含分母的项也要乘； ②去括号：遵循去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号； ③移项：含未知数的项移左边，常数项移右边，移项必变号； ④合并同类项：化为（或其他不等号）最简形式； ⑤系数化为1：两边同除未知数系数，系数为负，不等号反向；系数为正，方向不变。 3. 数轴表示解集的规则 · 空心圆圈：对应不等号>、<，表示不包含该点； · 实心圆点：对应不等号≥、≤，表示包含该点； · 方向：大于向右画，小于向左画。 04 题型•汇总 【题型1 不等式的定义】 解题技巧 1. 核心判定：式子中只要含有不等号（>、<、≥、≤、≠），即为不等式；无任何不等号的是代数式、等式（含=），不是不等式。 2. 易错规避： 含≠的式子也是不等式，不可遗漏； 单独的数字、字母、等式不是不等式； 式子无需化简，只要原始形式含不等号即为不等式。 【典例1】．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【变式3】．已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【题型2 不等式的解集】 解题技巧 1. 概念区分：解是单个值，解集是所有解的整体集合，一个不等式有无数个解，只有一个解集。 2. 验根技巧：将数值代入不等式，若式子成立，则该数值是不等式的一个解；否则不是。 3. 解集判断：解集是取值范围（含未知数），解是具体数值（无未知数）。 【典例2】．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【变式1】．下列不等式中，解不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 【变式3】．请写出一个解集为的一元一次不等式：______．（只写一个） 【题型3 不等式的性质】 解题技巧 1. 加减变形：任意加减数或整式，不等号方向永远不变，直接判断即可。 2. 乘除变形： 乘除正数：方向不变； 乘除负数：方向必须反转（高频易错）； 乘除0：无意义，不等式不成立。 3. 特殊技巧：遇不确定正负的参数，可赋值法验证（正数、负数、0分别代入），快速排除错误选项。 【典例3】．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 【变式2】．若，则_____（填＞，＜）． 【变式3】．若，则_________（填“”或“”） 【题型4 一元一次不等式的定义】 解题技巧 1. 三步判定法（缺一不可）： 一看未知数：只有1个未知数； 二看次数：未知数最高次数为1，无高次、分式、根式未知数； 三看形式：两边都是整式，含不等号。 2. 参数求解技巧：若式子为一元一次不等式，需满足：未知数次数=1，未知数系数≠0，据此列等式、不等式求参数。 3. 易错规避：分母含未知数、未知数平方、多个未知数的式子，均不是一元一次不等式。 【典例4】．下列各式中，为一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【变式2】．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 【变式3】．若是关于的一元一次不等式，则_______． 【题型5 求一元一次不等式的解集】 解题技巧 1. 严格遵循五步解题：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2. 核心易错点：系数化为1时，系数为负，不等号必须反向，这是与解方程最大的区别。 3. 去分母注意：所有项（含常数项）都要乘最小公倍数，切勿漏乘常数项；分母为负数时，整体变号。 4. 检验技巧：求解后代入边界值验证，确保变形无误。 【典例5】．解不等式 (1) (2) 【变式1】．解不等式． (1)； (2)． 【变式2】．解下列不等式，并在数轴上表示出它的解集． (1) (2) 【变式3】．解不等式：并在数轴上表示其解集． 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 解题技巧 1. 先求完整解集：先按标准步骤求出不等式的取值范围，再筛选特殊解。 2. 分类筛选规则： 整数解：包含正整数、0、负整数； 正整数解：不含0，从1开始； 非负整数解：0和正整数； 负整数解：不含0，从-1开始。 3. 精准取值：空心端点不包含对应数值，实心端点包含；解集为小数时，取范围内最接近的整数，不超范围、不遗漏。 【典例6】．解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【变式1】．已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 【变式2】．解不等式，并写出符合条件的正整数解． 【变式3】．求不等式的最小整数解． 【题型7 在数轴上表示不等式的解集】 解题技巧 1. 画图四步法：定界点→判虚实→定方向→描线 定界点：找到解集对应的数值； 判虚实：≥、≤用实心圆点，>、<用空心圆圈； 定方向：大于向右延伸，小于向左延伸； 描线：平滑画出取值范围的射线。 2. 读图技巧：先看端点虚实，再看延伸方向，最后写出对应解集，反向验证式子是否成立。 3. 易错规避：切勿混淆空心、实心，方向画反是高频错误。 【典例7】．解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集． 【变式1】．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2】．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 【变式3】．解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 解题技巧 1. 基础思路：先求解集，再根据取值范围找临界数值。 2. 取值规则： 解集为：无最大值，最小整数解为大于a的最小整数； 解集为：无最小值，最大整数解为小于a的最大整数； 解集为：最小值为a，无最大值； 解集为：最大值为a，无最小值。 3. 整数最值专属技巧：若解集是小数范围，取临界邻近整数，必须满足在解集范围内，不可取边界外数值。 【典例8】．已知．请确定的最大值． 【变式1】．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【变式2】．如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【变式3】．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 05 过关•检测 1．若，则下列各式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知正实数x，y满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．若不等式的解集是：，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 7．已知整式，其中、、为自然数，且．下列说法： ①满足条件的整式共有16个； ②若是方程的解，则的值为1； ③若时，整式，则关于的不等式的解集是． 正确的个数是（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若代数式有意义，则的取值范围是___________________． 10．不大于的倍，用不等式表示为_____________． 11．若，则________．（用或或号填空） 12．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为__________ 13．已知，要使不等式成立，写出一个符合条件的a的整数值：________． 14．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 15．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 16．已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②，互为相反数；③若，则；④若，则；⑤无论取什么实数，的值始终不变．其中正确的是________． 17．解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 18．已知，为有理数，现规定一种新运算，其规定是 ． (1)求 的值； (2)嘉淇发现关于的不等式 （，均为有理数常数）的解集为，请证明嘉淇的这个发现． 19．已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 20．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．求m的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需31元，买7支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需29元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 21．阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 22．“换元法”是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识． 例1：关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解． 解：将看作一个整体， ∵两方程形式完全相同， ∴根据方程的解的定义得，即． 例2：二元一次方程组的解是，求方程组的解． 解：将方程组，整理得， ∵两方程形式完全相同，方程组的解是， ∴根据方程的解的定义得，即解得：； 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解； (3)已知关于x的不等式的解集为，求关于y的不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1不等式11.2一元一次不等式的概念 11.3解一元一次不等式 （知识点+8大题型+过关检测） 【题型1 不等式的定义】 3 【题型2 不等式的解集】 4 【题型3 不等式的性质】 6 【题型4 一元一次不等式的定义】 7 【题型5 求一元一次不等式的解集】 9 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 11 【题型7 在数轴上表示不等式的解集】 13 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 15 1. 感知生活中的不等关系，熟练掌握不等式的定义、常用不等号含义，清晰区分不等式的解与解集； 2. 精准掌握一元一次不等式的定义及三大核心判定条件；熟记不等式的三条基本性质，重点掌握乘除负数变号的特殊规则，熟练掌握解一元一次不等式的完整步骤，理解解集的数学含义，能够规范识别、书写一元一次不等式标准形式。 03 知识•梳理 （一）11.1 不等式相关知识点 1. 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示两个数或代数式不等关系的式子，叫做不等式。 常用不等号含义： · >：大于，严格大于，不含相等； · <：小于，严格小于，不含相等； · ≥：大于或等于、不小于，包含相等情况； · ≤：小于或等于、不大于，包含相等情况； · ≠：不等于，仅表示不相等，无大小关系。 2. 不等式的解与解集 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的单个值，叫做不等式的一个解（解有无数个）。 （2）不等式的解集：一个不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 （3）解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 （二）11.2 一元一次不等式的概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 三大核心判定条件（缺一不可） · 未知数唯一，不含多个不同未知数； · 未知数次数为1，无平方、立方、负指数、分母含未知数的情况； · 两边均为整式，无分式、根式形式。 一般形式：、、、（） （三）11.3 解一元一次不等式核心知识点 1. 不等式的基本性质（解题核心依据） 性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变。 若，则。 性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若，，则，。 性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变（唯一易错点）。 若，，则，。 补充：不等式两边不能同时乘0，乘0后式子变为等式。 2. 解一元一次不等式的步骤（与解方程类似，仅一步不同） ①去分母：两边同乘各分母最小公倍数，注意负数分母要变号，不含分母的项也要乘； ②去括号：遵循去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号； ③移项：含未知数的项移左边，常数项移右边，移项必变号； ④合并同类项：化为（或其他不等号）最简形式； ⑤系数化为1：两边同除未知数系数，系数为负，不等号反向；系数为正，方向不变。 3. 数轴表示解集的规则 · 空心圆圈：对应不等号>、<，表示不包含该点； · 实心圆点：对应不等号≥、≤，表示包含该点； · 方向：大于向右画，小于向左画。 04 题型•汇总 【题型1 不等式的定义】 解题技巧 1. 核心判定：式子中只要含有不等号（>、<、≥、≤、≠），即为不等式；无任何不等号的是代数式、等式（含=），不是不等式。 2. 易错规避： 含≠的式子也是不等式，不可遗漏； 单独的数字、字母、等式不是不等式； 式子无需化简，只要原始形式含不等号即为不等式。 【典例1】．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子是不等式”即可逐一判断选项． 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 【变式1】．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 【变式2】．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 【变式3】．已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 【题型2 不等式的解集】 解题技巧 1. 概念区分：解是单个值，解集是所有解的整体集合，一个不等式有无数个解，只有一个解集。 2. 验根技巧：将数值代入不等式，若式子成立，则该数值是不等式的一个解；否则不是。 3. 解集判断：解集是取值范围（含未知数），解是具体数值（无未知数）。 【典例2】．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【答案】D 【分析】已知不等式解集为，根据不等式解的定义，判断每个选项是否符合解集条件即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，， ∴ -3不是这个不等式的解，A错误； 对于B选项，， ∴ 1是这个不等式的解，B错误； 对于C选项，例如，但，不是不等式的解， ∴ C错误； 对于D选项，所有大于的数都满足， ∴ 大于的数都是这个不等式的解，D正确． 【变式1】．下列不等式中，解不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不成立，则不包含，故A符合题意； 成立，则包含，故B不符合题意； 成立，则包含，故C不符合题意； 成立，则包含，故D不符合题意． 【变式2】．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的解的定义，推出的取值范围，在取值范围内写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴将代入不等式，得，即， ∴符合条件的值可以是．（答案不唯一） 【变式3】．请写出一个解集为的一元一次不等式：______．（只写一个） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】根据一元一次不等式的定义，解集为的一元一次不等式可以写为. 【题型3 不等式的性质】 解题技巧 1. 加减变形：任意加减数或整式，不等号方向永远不变，直接判断即可。 2. 乘除变形： 乘除正数：方向不变； 乘除负数：方向必须反转（高频易错）； 乘除0：无意义，不等式不成立。 3. 特殊技巧：遇不确定正负的参数，可赋值法验证（正数、负数、0分别代入），快速排除错误选项。 【典例3】．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变，，两边同时加，∴，A选项正确． ∵不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，，两边同时除以，∴，B选项错误． 当，时，满足，但，故C不一定成立，错误． ∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，，两边同时乘，∴，D选项错误． 【变式1】．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】解：A、反例，满足，但，故A错误； B、∵，又∵， 根据不等式性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，可得， 同理，，可得， ∴，故B正确； C、取反例，满足，但，故C错误； D、取反例，满足，但，故D错误． 【变式2】．若，则_____（填＞，＜）． 【答案】＜ 【详解】解：若，则，理由是不等式的性质3． 【变式3】．若，则_________（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据不等式的性质判断不等号方向即可. 【详解】解：∵， 不等式两边同时乘以同一个正数2，不等号方向不变， ∴. 【题型4 一元一次不等式的定义】 解题技巧 1. 三步判定法（缺一不可）： 一看未知数：只有1个未知数； 二看次数：未知数最高次数为1，无高次、分式、根式未知数； 三看形式：两边都是整式，含不等号。 2. 参数求解技巧：若式子为一元一次不等式，需满足：未知数次数=1，未知数系数≠0，据此列等式、不等式求参数。 3. 易错规避：分母含未知数、未知数平方、多个未知数的式子，均不是一元一次不等式。 【典例4】．下列各式中，为一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断各选项即可，一元一次不等式需满足：是不等式，只含有一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解：A选项是等式，属于一元一次方程，不是不等式，不符合要求； B选项不含未知数，不符合要求； C选项是整式，不是不等式，不符合要求； D选项是不等式，只含一个未知数，的次数为，左右两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 【变式1】．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． 【变式2】．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，可得未知数的次数为，且的系数不为，据此列关系式求解即可. 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且， ∵， ∴， 或， ∵， ∴， ， 故答案为 ：. 【变式3】．若是关于的一元一次不等式，则_______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数等于，未知数的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且． 由得或， 由得， ． 【题型5 求一元一次不等式的解集】 解题技巧 1. 严格遵循五步解题：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2. 核心易错点：系数化为1时，系数为负，不等号必须反向，这是与解方程最大的区别。 3. 去分母注意：所有项（含常数项）都要乘最小公倍数，切勿漏乘常数项；分母为负数时，整体变号。 4. 检验技巧：求解后代入边界值验证，确保变形无误。 【典例5】．解不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于一元一次不等式，首先通过去括号、移项将含未知数的项和常数项分别整理到不等式两侧，合并同类项后将未知数系数化为1，得到解集。 （2）对于含分母的一元一次不等式，因为两边同乘正数不等号方向不变，所以先找到分母的最小公倍数，两边同乘该数去掉分母，后续按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解。 【详解】（1）去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：； （2）去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1：． 【变式1】．解不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式2】．解下列不等式，并在数轴上表示出它的解集． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 数轴略； （2）解：， ， ， ， ， ， 数轴略． 【变式3】．解不等式：并在数轴上表示其解集． 【答案】， 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 图略 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 解题技巧 1. 先求完整解集：先按标准步骤求出不等式的取值范围，再筛选特殊解。 2. 分类筛选规则： 整数解：包含正整数、0、负整数； 正整数解：不含0，从1开始； 非负整数解：0和正整数； 负整数解：不含0，从-1开始。 3. 精准取值：空心端点不包含对应数值，实心端点包含；解集为小数时，取范围内最接近的整数，不超范围、不遗漏。 【典例6】．解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【答案】 ；非负整数解有 【分析】先求解不等式，即可找到所有非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集为， 它的所有非负整数解为． 【变式1】．已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 【答案】 ，的最大整数值为 【详解】解：∵代数式与的差大于1， ∴， ， ， ， ； 则的最大整数值为． 【变式2】．解不等式，并写出符合条件的正整数解． 【答案】；1，2，3 【详解】解：去分母得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 正整数解有1，2，3． 【变式3】．求不等式的最小整数解． 【答案】 2 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 ， ∴原不等式的最小整数解为2． 【题型7 在数轴上表示不等式的解集】 解题技巧 1. 画图四步法：定界点→判虚实→定方向→描线 定界点：找到解集对应的数值； 判虚实：≥、≤用实心圆点，>、<用空心圆圈； 定方向：大于向右延伸，小于向左延伸； 描线：平滑画出取值范围的射线。 2. 读图技巧：先看端点虚实，再看延伸方向，最后写出对应解集，反向验证式子是否成立。 3. 易错规避：切勿混淆空心、实心，方向画反是高频错误。 【典例7】．解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集． 【答案】， 【分析】本题考查不等式的解法和解集在数轴上的表示． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴略． 【变式1】．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示： 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 把未知数系数化为1得：． 数轴略． 【变式2】．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】；图见解析 【分析】根据不等式的运算法则进行运算，再由结果在数轴上表示即可． 【详解】 解： ∴在数轴上表示如图所示： 【变式3】．解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解：去分母，得， 去括号，得，， 移项，得，， 合并同类项，得，， 系数化为1，得，． 解集在数轴上表示如下： 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 解题技巧 1. 基础思路：先求解集，再根据取值范围找临界数值。 2. 取值规则： 解集为：无最大值，最小整数解为大于a的最小整数； 解集为：无最小值，最大整数解为小于a的最大整数； 解集为：最小值为a，无最大值； 解集为：最大值为a，无最小值。 3. 整数最值专属技巧：若解集是小数范围，取临界邻近整数，必须满足在解集范围内，不可取边界外数值。 【典例8】．已知．请确定的最大值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 【变式1】．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 【变式2】．如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． 【变式3】．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 05 过关•检测 1．若，则下列各式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 选项A：不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，因此A错误． 选项B：不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得 ，因此B正确． 选项C：当时，，原式不一定成立，因此C错误． 选项D：不等式两边同除以正数，不等号方向不变，可得，因此D错误． 2．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据一元一次方程变形与不等式的基本性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．方程两边同除以得，与选项中结果不符，故A错误； B．不等式两边同乘，不等号方向改变，得，与选项中结果不符，故B错误； C．给两边同时加c可得 又，则，，即，故C正确； D．举反例：若，满足，但，，不满足 ，故D错误． 3．已知正实数x，y满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知等式，通过作差、作和，结合正实数的条件，逐一验证各选项即可． 【详解】解：已知正实数，满足①，②， 由，得，因此选项C错误，不符合题意； 为正实数， ，可得， ，因此选项B错误，不符合题意； 由，得 ，即， 平方数非负， ，解得， 若，则，即， 代入原式得矛盾，因此，所有满足条件的都满足， 因此选项A判断正确，符合题意； 设，则，代入①得，代入②得 ， 将代入并化简得： ，解得， 即，因此选项D错误，不符合题意． 4．已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将和变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y为非负实数， ∴，解得， ∴， 已知， 将代入，得， 化简，得． 逐一验证选项： 选项A，，把代入，得，解得， 并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误； 选项B，， ∵， ∴选项B错误； 选项C，， 把，代入左边， 得 ， 与右边相等，因此C正确； 选项D，，当时， ，因此D错误． 5．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 6．若不等式的解集是：，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据不等式的解集的不等号方向变化判断未知数系数的正负，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向发生改变， ∴不等式两边同时除以时，不等号方向改变． 根据不等式的基本性质可得 ， 解得 ． 7．已知整式，其中、、为自然数，且．下列说法： ①满足条件的整式共有16个； ②若是方程的解，则的值为1； ③若时，整式，则关于的不等式的解集是． 正确的个数是（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题结合自然数的定义，根据已知条件逐个分析三个说法，通过计算系数、求解不等式判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】∵ 为自然数，且，逐个分析如下： ① 枚举所有可能的组合： 当时，，共5种； 当时，，共4种； 当时，，共3种； 当时，，共2种； 当时，，共1种； 总共有个不同的整式，不是16个，故①错误． ② ∵ 是方程的解， 代入得， 又∵ ， 两式相减得，解得，故②正确． ③ ∵ 时，整式， 又∵ ， 两式相减得， ∵ 是自然数，可得唯一解，， 则， 因此， 解不等式，得，故③正确． 综上，正确的说法共2个，故选B． 8．已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的基本性质，解题思路是根据不等号方向的变化判断系数的正负，进而求解的取值范围． 【详解】解：由题意可知原不等式为 ， ∵ 不等式 的解集为 ，不等号方向发生改变， ∴ 根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得 ， 解得 ． 9．若代数式有意义，则的取值范围是___________________． 【答案】 且 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的底数不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且． 10．不大于的倍，用不等式表示为_____________． 【答案】 【分析】先确定的倍为，“不大于”表示不等关系为小于等于，根据题干描述即可列出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍为， 不大于， 可得不等式：． 11．若，则________．（用或或号填空） 【答案】 【详解】解：，不等式两边同时乘以，不等号方向改变， ． 12．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为__________ 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为１的不等式，列出关于的方程，进而求解． 【详解】解：根据题意可得，解得． 13．已知，要使不等式成立，写出一个符合条件的a的整数值：________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变，可得，求出的取值范围后即可写出符合条件的整数值． 【详解】解：，要使不等式成立， ， 解得， 的整数值可以为（答案不唯一）． 14．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先根据第一个不等式的解集求出，，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 关于x的不等式的解集是， ，， ，， ∵， ∴，而， ∴， 关于x的不等式的解集为． 15．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 【答案】21 【分析】设输入的值为，当为偶数，；当为奇数，，即可得到答案． 【详解】解：设输入的值为， 当为偶数，，解得， 当为奇数，，解得， 则输入的最小正整数是． 16．已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②，互为相反数；③若，则；④若，则；⑤无论取什么实数，的值始终不变．其中正确的是________． 【答案】③④⑤ 【分析】先求解方程组，用k表示的x与y，即，再逐一判断各结论即可． 【详解】解： 得 ，得 将代入①，得 即方程组的解为， ①当时，，，则 ，故①错误； ②若，互为相反数，则，而 ，故②错误； ③若，则 ，整理得，解得，故③正确； ④若，则 ，移项得 ，系数化为1,得，故④正确； ⑤ ，无论k取何值，的值恒为1，始终不变，故⑤正确． 故答案为③④⑤ 17．解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解： 在数轴上表示： （2）解： 在数轴上表示： 18．已知，为有理数，现规定一种新运算，其规定是 ． (1)求 的值； (2)嘉淇发现关于的不等式 （，均为有理数常数）的解集为，请证明嘉淇的这个发现． 【答案】(1)23 (2)证明： ， ∴ ， ∵，均为常数， ∴ ， ∵ ， ∴． 【详解】（1）解： ； （2）略 19．已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组得到，再将值代入不等式得到关于的不等式，求一元一次不等式解集即可． 【详解】解：关于的二元一次方程组， 由①②得，解得， 由①②得，解得， 方程组的解满足不小于， ， 解得． 20．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．求m的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需31元，买7支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需29元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)5； (2) (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元 【分析】（1）由，可得；由可得； （2）由得： ，再结合，得到关于m的不等式，即可求解； （3）设购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本需c元，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴； 由得：； （2）解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴m的取值范围为； （3）解：设购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本需c元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元． 21．阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【答案】(1)B； (2) 专属组合，理由见详解； (3) 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“专属组合”和“非属组合“的定义，判断即可； （2）同理（1）解答即可； （3）先解方程和不等式，然后根据“专属组合”的定义求a的取值范围； 【详解】（1）解：， ， ， ， 不在范围内， 是“非属组合”； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“专属组合”； （3）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“专属组合”， 在范围内， ， ． 22．“换元法”是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识． 例1：关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解． 解：将看作一个整体， ∵两方程形式完全相同， ∴根据方程的解的定义得，即． 例2：二元一次方程组的解是，求方程组的解． 解：将方程组，整理得， ∵两方程形式完全相同，方程组的解是， ∴根据方程的解的定义得，即解得：； 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解； (3)已知关于x的不等式的解集为，求关于y的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程的解的意义进行求解； （2）将方程组进行整理，利用整体思想得出，然后解二元一次方程组； （3）将不等式进行整理，利用整体思想得出，然后解一元一次不等式． 【详解】（1）解：将看作一个整体， ∵两方程形式完全相同， ∴根据方程的解的定义，得：，即； （2）解：将方程组整理，得：， ∵两方程形式完全相同，方程组的解是， ∴根据方程的解的定义,得:， ∴， 解得：； （3）解：将不等式整理，得：， ∵两不等式形式完全相同， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $