精品解析：江苏兴化市乐吾实验学校2025-2026学年八年级下学期5月数学学科试卷

初二数学学科试卷2026.5 （满分：150分 考试时间∶ 150分钟） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 3. 小张学习分式的基本性质时，将中的和都扩大2倍，得到的分式的值不变，请你推测，□代表的代数式可以是（ ） A. 5 B. C. D. 4. 已知为有理数，则整式的值（ ） A. 不是负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 5. 如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（ ）. A. 60 B. 45 C. 50 D. 55 6. 如图，已知正方形的对角线相交于点，等腰直角，，点与点重合，经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题3分） 7. 某校举行《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任选一本书，恰好抽到《九章算术》的概率为_________． 8. 一组数据中的最小值是33，最大值是103，若组距为9，则组数为___________． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 10. 若分式的值为0，则的值为_____． 11. 已知x1，则代数式x2﹣2x+1的值为_____． 12. 顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是________ 13. 关于的分式方程的解为，则的值为_____． 14. 如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 15. 如图，菱形的边长为，将该菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形与交于点，则的长为_____． 16. 已知：矩形中，，点关于的对称点为点，如果点到的距离为，那么的值为_____． 三．解答题：（本大题共有10小题，共有102分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 20. 移动支付快捷高效，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种，移动支付支付方式，为此在某步行街，使用某ａｐｐ，软件对使用移动支付的行人进行随机抽样调查，设置了四个选项，支付宝，微信，银行卡，其他移动支付（每人只选一项)，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图. 请你根据下列统计图提供的信息,完成下列问题. (1)这次调查的样本容量是　 ; (2)请补全条形统计图; (3)求在此次调查中表示使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数. (4)若某天该步行街人流量为10万人，其中40%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息，估计一下当天使用银行卡支付的人数. 21. 在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间． （1）根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如表所示．下列说法不正确的是（　　） 小刚： 小强： A．表示规定时间 B．表示慢马的速度 C．表示 D．表示 （2）从（1）中小刚和小强列出的不完整方程中选择其中的一种将它补全，并完成剩余的解答过程． 22. 若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”． （1）判断3，4，5是否是“快乐三数组”？并说明理由； （2）已知两数、，再添一个正数，使得它们三个数构成“快乐三数组”，求这个正数． 23. 下面是证明直角三角形的一个性质的两种辅助线添加方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，是斜边的中线． 求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 24. 如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，已知格点，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中找格点D，使点A、B、C、D构成菱形； （2）在图②中找格点E，使点A、B、C、E构成梯形； （3）在图③中画上的高，再在取一点G，连接，使． 25. 完成下面各题． （1）【问题情境】苏科版教材97页有这样的问题： 已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为，位置关系为． （2）【继续探究】 若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图2所示， ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求的面积； （3）【拓展提升】 在（2）的条件下，点E在边上运动时，则点F的运动路径长． 26. 如图，梯形，，． （1）如图1，已知：，，，则 ； （2）如图2，点E为上一点，连接、，平分，点E为的中点，求证：； （3）如图3，点E为上一点，以、为邻边作． ①若，，，当为多少时，四边形为菱形； ②当四边形为正方形时，记正方形的面积为，梯形的面积为，那么可能等于吗？请判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学学科试卷2026.5 （满分：150分 考试时间∶ 150分钟） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟记其定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式”，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：∵A、==，被开方数含分母，不满足最简二次根式定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B、==，被开方数含能开得尽方的因数，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C、=，被开方数含分母，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率频数总数进行求解即可． 【详解】解：∵一共有14个字，其中“强”字一共出现了3次， ∴“强”字出现的频率为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求频率，熟知频率频数总数是解题的关键． 3. 小张学习分式的基本性质时，将中的和都扩大2倍，得到的分式的值不变，请你推测，□代表的代数式可以是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐项计算进行判断求解即可． 【详解】解：中的和都扩大2倍，分子变为，扩大了4倍， A、分母若为，扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； B、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； C、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； D、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，扩大4倍，分数值不变，符合题意； 故选：D． 4. 已知为有理数，则整式的值（ ） A. 不是负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 【答案】A 【解析】 【分析】原式变形后，提取公因式，即可做出判断． 【详解】原式，即不是负数， 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 5. 如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（ ）. A. 60 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则由角平分线的定义可推出，再由等边对等角推出，则可求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，已知正方形的对角线相交于点，等腰直角，，点与点重合，经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，由等腰直角三角形的性质得到，设，则，再由正方形性质及勾股定理求出，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 在等腰直角，，则由三线合一可得是边上的中线， ， 设， ， ， 在正方形中，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， ，则， ，则直接开平方得， 即或（负值，舍去）， ． 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题3分） 7. 某校举行《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任选一本书，恰好抽到《九章算术》的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的定义，运用直接计算法，解题关键是准确确定所求情况数和总情况数，易错点是混淆情况数导致计算错误，解题思路是根据概率公式 “概率 所求情况数 总情况数” 求解． 【详解】总共有本书，即总情况数为；每本书被抽中的可能性相等，抽到《九章算术》是其中种可能，即所求情况数为，因此概率为所求情况数除以总事件数，即； 故为． 8. 一组数据中的最小值是33，最大值是103，若组距为9，则组数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用组数等于（最大值最小值）组距，进行求解即可． 【详解】解：， ∴组数应该为8； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是组数的计算，解答的关键是熟知组数的计算方法． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 10. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 11. 已知x1，则代数式x2﹣2x+1的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先用完全平方公式将代数式化简，再代入x1，求值即可． 【详解】∵x1， ∴x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2 ＝（1﹣1）2 ＝（）2 ＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查代数式的值、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是________ 【答案】菱形 【解析】 【分析】本题考查等腰梯形的性质，菱形的判定方法，以及三角形中位线的性质．连接、，可证为的中位线，为的中位线，根据中位线定理可证，，同理可证，，根据等腰梯形的性质可知，故可证四边形为菱形． 【详解】解：连接、， 、分别为、的中点 为的中位线， ，， 同理可证，， ，，四边形为平行四边形， 同理可证， 根据等腰梯形的性质可知， ， 为菱形． 故顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 13. 关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 14. 如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 15. 如图，菱形的边长为，将该菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形与交于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先由菱形性质、旋转性质得到相关角度及线段，由，确定点在对角线上，进而得到，连接，由含的直角三角形性质及勾股定理求出，同理，在中，求出，最后由代入线段长度计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 在菱形中，，，则，， ， 将该菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形， ，，， 即， 点在对角线上， ， 在中，，，则， 连接，如图所示： ，且， 在中，，，则， 由勾股定理可得，则， ， ， 在中，，则， ， 则． 16. 已知：矩形中，，点关于的对称点为点，如果点到的距离为，那么的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况求解：①当点E在的右侧时，连接，作，交的延长线于点M，交的延长线于点N，则四边形是矩形，得出，由轴对称的性质得，然后根据求解即可；②当点E在的上侧时，连接，作，交的延长线于点G．可求，由轴对称的性质得，，然后根据列式求解即可． 【详解】解：①当点E在的右侧时，如图，连接，过点E作，交的延长线于点M，交的延长线于点N， ∵矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点到的距离为， ∴． 由轴对称的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当点E在的上侧时，如图，连接，作，交的延长线于点G． ∵矩形中，， ∴， ∵点到的距离为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 由轴对称的性质得． 在中，． ∵， ∴， 解得（负值舍去）． 综上可知，的值为或． 三．解答题：（本大题共有10小题，共有102分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再由平方差公式分解因式即可； （2）先变形，再由完全平方公式分解因式，最后由平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由平方差公式计算，再由二次根式性质、二次根式乘法运算求解，最后由实数加减运算求解即可； （2）先计算括号里异分母分式减法运算，再对分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法，最后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】（1），33 （2） （3）560个 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． 【小问3详解】 解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 20. 移动支付快捷高效，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种，移动支付支付方式，为此在某步行街，使用某ａｐｐ，软件对使用移动支付的行人进行随机抽样调查，设置了四个选项，支付宝，微信，银行卡，其他移动支付（每人只选一项)，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图. 请你根据下列统计图提供的信息,完成下列问题. (1)这次调查的样本容量是　 ; (2)请补全条形统计图; (3)求在此次调查中表示使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数. (4)若某天该步行街人流量为10万人，其中40%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息，估计一下当天使用银行卡支付的人数. 【答案】（1）200人；（2）图见解析；（3）；（4）4000人. 【解析】 【分析】（1）利用条形统计图中使用支付宝支付的人数除以扇形统计图中使用支付宝支付的人数所占比例即可得； （2）利用题（1）中所求的样本容量减去条形统计图中使用支付宝、银行卡、其他这三种支付方式的人数，求出使用微信支付的人数，再补充条形统计图即可； （3）利用使用微信支付的人数除以样本容量求出使用微信支付的人数所占比例，再将该比例乘以即为所求； （4）先求出该天购物选择使用移动支付的总人数，再根据调查结果求出使用银行卡支付的人数所占比例，两者相乘即为所求. 【详解】（1）由条形统计图和扇形统计图得，这次调查的样本容量是：（人） 答：这次调查的样本容量是200人； （2）因样本容量为200人，结合条形统计图可得： 使用微信支付的人数为：（人） 补全条形统计图如下： （3）由题（1）、（2）可知，使用微信支付的人数所占比例为： 则使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数为： 答：所求的圆心角的度数为； （4）由题意得，该天购物选择使用移动支付的总人数为：（人） 由题（1）和条形统计图可知，使用银行卡支付的人数所占比例为： 则估计该天使用银行卡支付的人数为：（人） 答：所求的该天使用银行卡支付的人数为4000人. 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，理解掌握这两个统计图是解题关键. 21. 在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间． （1）根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如表所示．下列说法不正确的是（　　） 小刚： 小强： A．表示规定时间 B．表示慢马的速度 C．表示 D．表示 （2）从（1）中小刚和小强列出的不完整方程中选择其中的一种将它补全，并完成剩余的解答过程． 【答案】（1）D （2）选择补全小刚：， 具体解答过程如下： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：规定时间为天． 选择补全小强：， 具体解答过程如下： 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则规定时间为， 答：规定时间为天． 【解析】 【分析】（1）由题意，结合小刚和小强分别列出的尚不完整的方程分析求解即可； （2）由（1）中分析补全小刚和小强列出的分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据小刚列出的方程，结合若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，可知表示规定时间，A选项正确； 从而由题意可补全方程为，则表示，D选项错误； 根据小强列出的方程，结合若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，可知表示慢马的速度，C选项正确； 从而由题意可补全方程为，则表示，C选项正确； 综上所述，说法不正确的是D选项； 【小问2详解】 略 22. 若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”． （1）判断3，4，5是否是“快乐三数组”？并说明理由； （2）已知两数、，再添一个正数，使得它们三个数构成“快乐三数组”，求这个正数． 【答案】（1）解：不是，理由如下： ∵， ∴，， ∵a、b、c均为正数， ∴，， 即c为最小的数， ∵， ∴3，4，5不是“快乐三数组”； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据“快乐三数组”的定义得到c为最小的数，进而判断即可； （2）设这个正数为x，根据“快乐三数组”的定义分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：不是，理由如下： ∵， ∴，， ∵a、b、c均为正数， ∴，， 即c为最小的数， ∵， ∴3，4，5不是“快乐三数组”； 【小问2详解】 解：设这个正数为x， ∵ ∴或 解得，经检验，是原分式方程的解； 解得，经检验，是原分式方程的解． 23. 下面是证明直角三角形的一个性质的两种辅助线添加方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，是斜边的中线． 求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：可证明四边形是矩形，得到，根据得到； 方法二：由三角形中位线定理得到则可证明是的垂直平分线，进而可证明，．根据可证明． 【详解】解：方法一：如图，延长至点，使得，连接， 是斜边的中线， ， 又∵， 四边形是平行四边形，． ， 四边形是矩形， ， ； 方法二：如图，取的中点，连接， 点是的中点， 是的中位线， ， 是的垂直平分线， ，． ． 24. 如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，已知格点，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中找格点D，使点A、B、C、D构成菱形； （2）在图②中找格点E，使点A、B、C、E构成梯形； （3）在图③中画上的高，再在取一点G，连接，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形四条边都相等构造菱形即可； （2）构造的平行线即可； （3）构造等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 证明：由网格可知， 即四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：由作图可知，则四边形是梯形； 【小问3详解】 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）． 25. 完成下面各题． （1）【问题情境】苏科版教材97页有这样的问题： 已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为，位置关系为． （2）【继续探究】 若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图2所示， ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求的面积； （3）【拓展提升】 在（2）的条件下，点E在边上运动时，则点F的运动路径长． 【答案】（1）， （2）①，，理由如下： 延长交的延长线于点O，交于点H， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②6； （3） 【解析】 【分析】（1）证明得，，再求出，进而可得； （2）①，，延长交的延长线于点O，交于点H，证明得，，再证明，可证； ②作，交的延长线于点H，连接，证明得，，然后根据求解即可； （3）如图3，当点E与点D重合时，则，，∴A，D，共线．证明得，可证，得出，则点F在与成角的射线上运动，即．当点E运动到点A时，如图4，连接，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点K， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②如图，作，交的延长线于点H，连接， ∴． ∵， ∴． ∵正方形的边长为4，正方形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，当点E与点D重合时，则，， ∴A，D，共线． 作于点H，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在与成角的射线上运动，即． 当点E运动到点A时，此时点F运动到，点G运动到，如图4，连接， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 26. 如图，梯形，，． （1）如图1，已知：，，，则 ； （2）如图2，点E为上一点，连接、，平分，点E为的中点，求证：； （3）如图3，点E为上一点，以、为邻边作． ①若，，，当为多少时，四边形为菱形； ②当四边形为正方形时，记正方形的面积为，梯形的面积为，那么可能等于吗？请判断并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：如图，过点作于点，则， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）①当时，四边形为菱形； ②不可能，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，，则， 在中，， ∴正方形的面积为， ∵梯形的面积为， 若，即， 整理得，， ∵，是边长， ∴，， ∵， ∴对任意，，都不成立， ∴不可能等于． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明四边形是矩形，可得，，则，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，证明，可得，再证明，可得，结合，平分，即可证明结论； （3）①由四边形为菱形，可得，设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； ②由四边形为正方形，可得，，证明，可得，，设，，则， 在中，，则正方形的面积为，梯形的面积为，若，即，可得，由，即可判断． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， 在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①∵四边形为菱形， ∴， 设，则， 由（1）可知，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $