精品解析：江苏泰州市靖江外国语学校2025-2026学年度下学期5月学情自测八年级数学

靖江市外国语2025-2026学年度第二学期调研测试 八年级数学（5月） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列事件中，不确定事件是（ ） A. 把一个铁块放入水中，铁块浮起来 B. 任意一个三角形的内角和是 C. 明天一定下雨 D. 在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张“2” 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定事件和不确定事件的概念判断即可． 【详解】解：A、把一个铁块放入水中，铁块浮起来，是不可能事件，是属于确定事件，故不符合题意； B、任意一个三角形的内角和是，是必然事件，属于确定事件，故不符合题意； C、明天一定下雨不一定会发生，是不确定事件，故符合题意； D、在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张“2” ，是不可能事件，是属于确定事件，故不符合题意． 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、，被开方数25含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、的被开方数17不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义； C、，被开方数0.49含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式． 3. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB=CD，故选项B符合题意； C、∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4. “动脑思考”四字的汉语拼音中，字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：“动脑思考”四字的汉语拼音为， 所有字母的总个数为，字母出现的频数为3， 则字母o出现的频率为． 5. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH＝EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证． 【详解】解：菱形，理由为： 如图所示， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， ∴EF∥HG，且EF=HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EH=BD，AC=BD， ∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形， 故选B． 【点睛】此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 6. 如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得、的长；接下来，再根据点运动到点时得，从而求得的长，求得直线的解析式，根据一次函数图象可得当点运动到中点时，的面积． 【详解】解：由图象可知，，， ． 根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时， ， ， ， 如图，则可得， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 当点P运动到中点时，即时， 把代入，得， 所以当点P运动到中点时，的面积为20． 二、填空题（共30分） 7. 函数中的自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得． 8. 调查某市的空气情况采用的调查方式为__________．（填“抽样调查”或“全面调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题主要考查了“抽样调查”，调查空气情况因范围大、个体多，无法进行全面检测，需通过样本推断总体，故采用抽样调查. 【详解】解：空气调查涉及整个城市，难以对每一个点进行检测， 通常采用设置监测点的方法采集样本数据，从而推断总体空气情况， 使用抽样调查. 故答案为：抽样调查. 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 10. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式求出的值，再对所求多项式因式分解，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：由得：， ∴． 11. 已知一组数据，其中最大值为，最小值为，取组距为，则可以分成_______组． 【答案】 【解析】 【分析】根据组数最大值最小值组距，进行计算即可求解．注意小数部分要进位． 【详解】解：这组数据中最大值为，最小值为，极差为， 组距为，组数为， 故可以分成组． 12. 正方形一条对角线为2，则正方形的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：正方形的一条对角线的长为2， 这个正方形的面积． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 13. 如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线与平分线的定义得出，即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ． ． 故答案为：． 14. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____． 【答案】m＜6且m≠2. 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】， 方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6， 解得，x=， 由题意得，＞0， 解得，m＜6， ∵≠2， ∴m≠2， ∴m＜6且m≠2. 【点睛】要注意的是分式的分母暗含着不等于零这个条件，这也是易错点． 15. 如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点，过点作于点，由勾股定理求得的长，再根据等面积法求得的长，根据垂线段最短，可知当点与点重合时，最小，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，设相交于点，过点作于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理， ， ， ∵, ∴当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为． 16. 如图，在正方形中，，点，，分别在，，上，与相交于点，连接，当，时，的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，连接，延长到，使，连接，由正方形的性质和平行四边形的判定和性质得出，根据勾股定理求出和的值，根据全等三角形的判定和性质得出，，，设，则，，利用勾股定理列出方程，解方程求出的值，求出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中，． 三、解答题（本大题共102分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据提公因式法和公式法分解因式即可； （2）根据提公因式法和公式法分解因式即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解： ， ， ． 19. 化简，再从中选一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，所求值为 【解析】 【详解】解： ， 由原式可知，，，即，， ∵， ∴可以取0，，，， 当时，原式． 20. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； （2）盒子里约有白球________个； （3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察表格中频率的稳定趋势，取近似值即可得到摸到白球的概率. （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可估算白球数量． （3）根据加入球后的频率稳定值得到概率，结合白球数量与总球数列出方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 【小问2详解】 解：∵盒子中共有个球， ∴盒子里约有白球(个) ． 【小问3详解】 解：∵加入个球后，总球数变为，白球个数变为，且摸到白球的概率为， 故可列方程得， 整理得， 解得， 答：推测可能是． 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，推得，根据平行四边形的判定和性质得出，结合矩形的判定定理即可证明； （2）根据菱形的性质求出和的长，根据勾股定理求出的长，结合矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴． 22. 为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：组（），组（），组（），组（），组（）进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是______，组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若该市共有万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于小时的初中学生人数． 【答案】（1），； （2）补图见解析； （3）人． 【解析】 【分析】（）由组人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以组人数所占百分比即可求解； （）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，即可补全图形； （）用总人数乘以样本中组人数和所占比例即可； 本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：抽样调查的总人数是， 组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：组的频数为， 补全频数分布直方图如图所示； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该市每周校外锻炼身体时长不少于小时的初中学生人数约为人． 23. 【综合与实践】某校综合与实践活动中，某学生小组对两款售价相同的汽车展开了调研，调研结果如下表所示： 燃油车 新能源汽车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 充电电价：元/千瓦时 行驶里程：千米 行驶里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：______元 （1）新能源车的每千米行驶费用是______元；（用含的代数式表示） （2）根据调研数据了解，新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，请求出以及这两款车的每千米行驶费用； （3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用比燃油车年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）或 （2），燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【解析】 【分析】（1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式即可； （2）根据新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，列出分式方程，求解即可； （3）设每年行驶里程为，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用是或； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问3详解】 解：设每年行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 24. 在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． （1）【初步认识】如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，； ②若点恰好在线段上，求的长； （2）【深入思考】如图2，点恰好落在边上．过点作交于点，连接．根据题意，补全图 并证明四边形是菱形； （3）【拓展提升】如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，② （2）证明见解析 （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （2）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （3）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， ②当点恰好在线段上时，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； 【小问2详解】 补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 25. 阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解 合理分组 提取公因式 整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 （1）问题1：因式分解：_________ （2）问题2：已知，求代数式的值． （3）问题3：化简： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将各二次根式分解为，再提出公因式，然后整体提出公因式即可； （2）先求出，再整理待求式的倒数，并代入求值，进而得出答案； （3）先将分子进行因式分解，然后借鉴（2）根据倒数转化的方法进行化简． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴． ∵或0（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：， 设： ， ， 则原式， ， ． 26. 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：． ②如图1中连接，则线段、、之间的数量关系是________________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形A1B1C1O可绕点O旋转，请判断线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． 【结论应用】 （3）如图3，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为________________． 【答案】（1）①证明：∵四边形和四边形都是正方形，正方形的对角线相交于点O， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ② （2）；理由如下： 如图，点是矩形的中心，延长交于点，连接，连接，则经过点， ∴点是的中点，即，， 在矩形中，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵矩形中，，即， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）①通过正方形对角线性质，证明与全等，得出和的数量关系； ②利用正方形边长相等转化线段，结合勾股定理推导、、的数量关系； （2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用矩形性质和勾股定理证明数量关系； （3）利用直角梯形、中点性质，结合矩形的直角条件，分情况用勾股定理计算的长度． 【小问1详解】 ①略 ②解：∵四边形是正方形， ∴，， 由①得， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： 如图，当点在线段上时，连接， ∵，， ∴， ， 在直角梯形中，，， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， 由（2）得， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，如图，过作交的延长线于，连接，，则， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 在矩形中，，即， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得：． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖江市外国语2025-2026学年度第二学期调研测试 八年级数学（5月） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列事件中，不确定事件是（ ） A. 把一个铁块放入水中，铁块浮起来 B. 任意一个三角形的内角和是 C. 明天一定下雨 D. 在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张“2” 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 4. “动脑思考”四字的汉语拼音中，字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 6. 如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 二、填空题（共30分） 7. 函数中的自变量x的取值范围是_______． 8. 调查某市的空气情况采用的调查方式为__________．（填“抽样调查”或“全面调查”） 9. 计算：_______． 10. 已知，则的值为______． 11. 已知一组数据，其中最大值为，最小值为，取组距为，则可以分成_______组． 12. 正方形一条对角线为2，则正方形的面积为________． 13. 如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为________． 14. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____． 15. 如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则长的最小值为______． 16. 如图，在正方形中，，点，，分别在，，上，与相交于点，连接，当，时，的长为_________． 三、解答题（本大题共102分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算题： （1）； （2）． 19. 化简，再从中选一个合适的整数代入求值． 20. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； （2）盒子里约有白球________个； （3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：组（），组（），组（），组（），组（）进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是______，组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若该市共有万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于小时的初中学生人数． 23. 【综合与实践】某校综合与实践活动中，某学生小组对两款售价相同的汽车展开了调研，调研结果如下表所示： 燃油车 新能源汽车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 充电电价：元/千瓦时 行驶里程：千米 行驶里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：______元 （1）新能源车的每千米行驶费用是______元；（用含的代数式表示） （2）根据调研数据了解，新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，请求出以及这两款车的每千米行驶费用； （3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用比燃油车年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 24. 在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． （1）【初步认识】如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，； ②若点恰好在线段上，求的长； （2）【深入思考】如图2，点恰好落在边上．过点作交于点，连接．根据题意，补全图 并证明四边形是菱形； （3）【拓展提升】如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 25. 阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解 合理分组 提取公因式 整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 （1）问题1：因式分解：_________ （2）问题2：已知，求代数式的值． （3）问题3：化简： 26. 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：． ②如图1中连接，则线段、、之间的数量关系是________________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形A1B1C1O可绕点O旋转，请判断线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． 【结论应用】 （3）如图3，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $