精品解析：江苏省泰州市兴化市乐吾实验学校2024--2025学年下学期3月八年级数学月考试卷

初二数学学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(　　) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直 4. 为了解某校八年级800名学生在国庆期间每天阅读名著所用的时间，随机抽取其中100名学生进行抽样调查．下列说法正确的是（ ） A. 该校八年级全体学生是总体 B. 从中抽取的100名学生是个体 C. 每个八年级学生是总体的一个样本 D. 样本容量是100 5. 如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交于点P、Q，过点P作，分别交于点M、N，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（ ） A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 若分式有意义，则应该满足的条件是______． 8. 在平行四边形中，若，则__________． 9. 如果分式值为负数，那么x满足______． 10. 不透明的口袋里有3个红球、2个白球、5个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸到____球的概率最大． 11. 在矩形中，对角线与交于点，请添加一个条件：______使得矩形正方形．（只写一个） 12. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________． 13. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 14. 在中，的平分线把边分成和两部分，则的周长是______． 15. 如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是______． 16. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．若，则______． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位． （1）在图中画出将绕点O顺时针旋转得到的； （2）在图中画出关于原点O的中心对称图形； （3）已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点四边形是矩形，写出点D的坐标 ． 20. 某中学图书馆将全部图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、哲学等四个类别．为了了解图书的借阅情况，图书管理员随机抽取了某月图书的借阅情况进行统计，并绘制成如下尚不完整的统计表和统计图． （1）该月四类图书的借阅册数一共是 册，其中“自然科学”类所占的百分比是 ； （2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中“哲学”对应扇形圆心角度数为 °； （3）若该中学打算购买四类图书共10000册，根据上述信息，请你估算“哲学”类图书应购买多少册？ 21. 如图，已知：四边形是平行四边形，，分别是射线，上的动点．请在①；②；③．这三个条件中，选择一个合适的条件补充在下面横线上，完成证明过程．我选 选一个即可，填写序号，求证：四边形是平行四边形． 22 如图，矩形． （1）只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由． 23. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 24. 如图，已知四边形，，对角线相交于点O，． （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）若点E是四边形外一点，，求证：． 25. 已知如图1，E是正方形边上一点，连接，过点作于点，交于点． （1）试猜想与的数量关系并证明； （2）如图2，若点为的中点，其他条件不变，连接，请判断与的数量关系，并证明； （3）如图3，将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，求折痕的长． 26. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2. 下列从左到右的变形中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质判断即可，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】解：A、，故A不符合题意． B、当时，无意义，故B不符合题意． C、，故C不符合题意． D、，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 3. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(　　) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有； B．对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质； C．对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有； D．邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有． 故选C． 【点睛】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分． 4. 为了解某校八年级800名学生在国庆期间每天阅读名著所用的时间，随机抽取其中100名学生进行抽样调查．下列说法正确的是（ ） A. 该校八年级全体学生是总体 B. 从中抽取的100名学生是个体 C. 每个八年级学生是总体的一个样本 D. 样本容量是100 【答案】D 【解析】 【分析】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．该校八年级全体学生在国庆期间每天阅读名著所用的时间是总体，故A不符合题意； B．每个学生在国庆期间每天阅读名著所用的时间是个体，故B不符合题意； C．从中抽取的100名学生在国庆期间每天阅读名著所用的时间是个体，故C不符合题意； D．样本容量是100，故D符合题意； 故选D． 5. 如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图， 四边形矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 6. 如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交于点P、Q，过点P作，分别交于点M、N，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（ ） A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得，，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴的面积的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积， 故选：B． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 若分式有意义，则应该满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，是解题的关键．根据分式有意义，分母不等于0，列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 8. 在平行四边形中，若，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行四边形的邻角互补可得，然后解方程组求出，再根据平行四边形的对角相等可得． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等，邻角互补的性质，需熟记． 9. 如果分式的值为负数，那么x满足______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵，分式的值为负数 ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 不透明的口袋里有3个红球、2个白球、5个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸到____球的概率最大． 【答案】黄 【解析】 【分析】分别求出摸到三种球的概率，再比较即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是， ∵， ∴摸到黄球的概率大． 故答案为：黄． 【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的公式是解题的关键． 11. 在矩形中，对角线与交于点，请添加一个条件：______使得矩形是正方形．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，解题的关键是掌握：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：． 理由：∵四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________． 【答案】两直线平行 【解析】 【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案． 【详解】已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同，故假设不成立，即如果同位角不相等，那么这两条直线不平行． 故答案为：两直线平行． 【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键． 13. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 14. 在中，的平分线把边分成和两部分，则的周长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是分类讨论思想的应用．如图：由，根据平行四边形的对边相等且平行，可得，，，即可得，又因为是的平分线，则，，故，的平分线把边分为和两部分，所以可能等于或等于，然后即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 四边形是平行四边形， ，，， ， 是的平分线， ， ， ， 的平分线把边分为和两部分， 如果，则， ∴周长为； 如果，则， ∴的周长为； 的周长为或． 故答案为：或． 15. 如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，设，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，，则可证明；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先通分，再运算分式减法，即可作答； （2）先通分，再运算分式的加法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，利用异分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位． （1）在图中画出将绕点O顺时针旋转得到的； （2）在图中画出关于原点O的中心对称图形； （3）已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，写出点D的坐标 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换、中心对称，平行四边形的判定以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质得到点A，B，C的对应点，即可作图； （2）根据中心对称的性质得到点A，B，C的对应点，即可作图； （3）根据平行四边形的判定条件以及勾股定理逆定理找到点D的位置，即可写出点D的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 小问3详解】 解：如图，取格点，构造四边形， 理由：根据题意得：， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 20. 某中学图书馆将全部图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、哲学等四个类别．为了了解图书的借阅情况，图书管理员随机抽取了某月图书的借阅情况进行统计，并绘制成如下尚不完整的统计表和统计图． （1）该月四类图书的借阅册数一共是 册，其中“自然科学”类所占的百分比是 ； （2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中“哲学”对应扇形的圆心角度数为 °； （3）若该中学打算购买四类图书共10000册，根据上述信息，请你估算“哲学”类图书应购买多少册？ 【答案】（1）2000，20%；（2）图详见解析，18；（3）500 【解析】 【分析】(1)根据社会百科的人数和所占的百分比求出总册数，再用“自然科学”的册数除以总册数即可得出“自然科学”类所占的百分比； (2)用总册数减去“自然科学”、“文学艺术”、“社会百科”即可算出“哲学”的册数，进而求出“哲学”所占的百分比，用360°乘以“哲学”所占的百分比即可； (3)用总本数乘以哲学”所占的百分比即可． 【详解】解：(1)该月四类图书的借阅册数一共是：500÷25%=2000（册）； 其中“自然科学”类所占的百分比是：(400÷2000)×100%=20%， 故答案为2000，20%； (2) “哲学”册数为：2000-400-1000-500=100(册)， 补全条形统计图如下所示： 在扇形统计图中“哲学”对应扇形的圆心角度数为：100÷2000×360°=18°， 故答案为：18； (3)根据题意得： 10000×(2000-400-1000-500)÷2000=500(册)， 故答案为500(册) ． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 21. 如图，已知：四边形是平行四边形，，分别是射线，上的动点．请在①；②；③．这三个条件中，选择一个合适的条件补充在下面横线上，完成证明过程．我选 选一个即可，填写序号，求证：四边形是平行四边形． 【答案】①或②，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质．选①，先由题意得出，再结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证；选②证明得出，进而根据一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：选①，如图，连接交于点 ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； 选②，如图，连接交于点 ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵； ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选③不能得到或． 22. 如图，矩形． （1）只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，作线段，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）以为圆心，长为半径画弧交于点即可； （2）设，分别表示出，即可求解． 小问1详解】 解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即平分， 【小问2详解】 解：设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）52 【解析】 【分析】（1）证明，得，进而证明四边形是平行四边形，从而得平行四边形是菱形； （2）由四边形是菱形，，，得进而利用由勾股定理得，从而即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是对角线的垂直平分线， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， 在中，由勾股定理得， ∴菱形的周长． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． 24. 如图，已知四边形，，对角线相交于点O，． （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）若点E是四边形外一点，，求证：． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再根据解答； （2）由（1）得：四边形是矩形，则，连接，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， 理由：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 已知如图1，E是正方形边上一点，连接，过点作于点，交于点． （1）试猜想与的数量关系并证明； （2）如图2，若点为的中点，其他条件不变，连接，请判断与的数量关系，并证明； （3）如图3，将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，求折痕的长． 【答案】（1），证明见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明即可得出结论； （2）延长，交于点，同（1）可得，根据全等三角形的性质得．由点为的中点以及得，再证明可得，根据直角三角形斜边上的中线定理即可得出结论； （3）连接，过点作交于，可得，再证明即可得，进而勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：． 证明：如图1， 四边形是正方形， ，，． 又， ， ， ， ； 【小问2详解】 ． 证明：延长，交于点， 同（1）可得， ． 又点为的中点，． ， ． 又， ， 又， (， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图3，连接，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， 将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处， ， ， ， ， ()， ， 为的中点， 26. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ． 【答案】（1） （2）时，；时，；时， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）根据题意，分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，进而勾股定理，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，， ， ∵点是的中点， ∴， 由运动知，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：①当点在右边时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ，解得， ， ； ②当点在的左边且在线段上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； 综上所述，时，；时，；时，； 【小问3详解】 解：如图，取，作点关于的对称点，连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形的周长为 ， 最小时，四边形的周长最小， 当在上时，最小，即最小， ， ∴的最小值为， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、菱形性质、平行四边形的性质、勾股定理、轴对称的性质，坐标与图形，解（1）的关键是求出的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $