期末专项提优复习一 幂的运算与整式乘法 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 以幂的运算与整式乘法为核心，通过基础运算巩固、方法提炼（整体思想、数形结合）及综合应用，构建从概念到拓展的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|16题（选择1-8、填空9-15）|幂的运算规则、不含某项条件分析|概念辨析→公式直接应用| |方法应用|4题（解答20-23）|整体代入、图形面积推导等式|运算原理→数学思维迁移| |综合拓展|3题（解答24-26）|代数几何综合、规律探究|知识整合→跨情境问题解决|

期末专项提优复习一幂的运算与整式乘 法 一、选择题 1.下列运算结果正确的是（). A.105+103=108B.x3.x4=x7 C.-a:a3=a4D.-a…(-a)2=a3 答案：B 解析：A.原式=100×103+103=101×103=1.01×106，故A不符合题意. B.原式=x7,故B符合题意.C.原式=-a4,故C不符合题意D.原式=-a3,故D不 符合题意故选B 2.若2=15,2'=5，则2”=（）. A.75B.20C.10D.3 答案：D 解析：：2=15,2=5， 2y=2÷2”=号=3.故选D. 3.若(a+b)2=10,(a)-b)=2,则a2+b2的值是（) A.6B.8C.10D.12 答案：A 解析：由题意，得a2+2ab+b2=10①，a2-2ab+b2=2②，①+②，得 2a2+2b2=12,÷a2+b2=6.故选A. 4.若(x2+ax)(x-2b)中不含x2项，则a,b满足的数量关系是（). 1/14 A.a=3b B.a=2b Ca=b D.a=b 答案：B 解析：(x2+ax)(x-2b)=x3-2bx2+ax2-2abx=3+（(a-2b)x2-2abx. :不含x2项，·a-2b=0,a=2b.故选B. 5.已知31=27,2=41，则x-y=（）. A.1B.0C.1.5D.2 答案：A 解析：：3*1=27,2=41,31=33,2=2201)，x-1=3,x=2(y-1), 解得x=4,y=3 故x-y=4-3=1.故选A. 6.小黄同学计算一道整式乘法：(x十a)x十2)，由于他抄错了a前面的符号， 把+”写成“一”，得到的结果为x2+bx-4,则a+b的值为（). A.0B.2C.4D.6 答案：B 解析：由题意，得 (x-a)(x+2)=x2+bx-4,x2+(2-a)x-2a=x2+bx-4,2-a=b,-2a+-4,÷a=2,b= 故选B 7.已知(x+a)(x+b)=x2+mx-8,若a,b都是整数，则m的值不可能 是(). A.7B.-7C.9D.-2 答案：C 解析：根据多项式乘多项式的乘法法则，可得 2/14 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx-8, aa+b=m,ab=-8,假设a<b, 8.8=4-269 （a=-8, ,∫a=-1, （a=-2, 当{b=8”时，m=a+b=7:当b=4”时，m=a+b=2: a=-4, 当b=2”时，m=a+b=-2: 【a=-8, 当{b=1时，m=a+b=-7. 故m的值不可能是9.故选C. 8.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载 的图表给出了(a+b)”展开式的系数规律 1 …(a+b)°=1 11 …(a+b)=a+b 121…(a+b)2=a2+2ab+b 1331…(a+b)3=a+3a2b+3ab2+b 当代数式x4-12x3+54x2-108x+81的值为1时，x的值为（). A.2B.-4 C.2或4D.2或-4 答案：C 解析：根据题意，得 (a+b)4=a4+4a6+6a262+4ab3+b,x4-12x3+54x2-108x+81=x4+4x3. (-3)+6x2.(-3)2+4x·(-3)3+(-3)4=(x-3)4,(x-3)4=1,:x-3=1或 x-3=-1,解得x=2或x=4.故选C. 注意： 本题考查了数学文化，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键 3/14 二、填空题 9.2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民 中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱 将数据30000用科学记数法表示为 答案：3×104 10.3x2.(-2xy3)= 2ab(a3.b)= (2m+3)( ）=4m2-9; (2ab3)2= 20242-2022×2026= 答案：-6x3y3 号a46-ab2 2m-3 4a262+12ab+94 11.若a+b=3,a-b=号，则a2-b2+2026= 答案：2028 解析：：a+b=3,a-b=号， (a+b)(a-b)=a2-b2=2, ÷a2-b2+2026=2+2026=2028. 12.如果关于x的整式x2-px和x2+2x相乘的结果中不包含三次项，那么 p= 答案：2 解析：(x2-px)(x2+2x)=x4+2x3-px3-2px2=X4+(2-p)x3-2px2:关 于x的整式x2-px和x2+2x相乘的结果中不包含三次项，：2-p=0,“p=2. 13.已知a+b=3,a2+b2=5,则ab= 4/14 答案：2 解析：：a+b=3,a2+b2=5, (a+b)2.（a2+b2)=2ab=32-5=4,ab=2. 14.若（区一m(x2-7x+1)的乘积中不含x2项，则m的值是 答案：一7 解析： (x-m)(x2-7x+1)=x3-7x2+x-mx2+7mx-m=x3.(7+m)x2+(1+7m)x-m :(x-m)(x2-7x+1)的乘积中不含x2项， -(7+m)=0,7+m=0,4m=-7. 15.若(x-1)1=1,则x= 答案：一1或2 解析：当x+1=0,x-1≠0，即x=-1时，原式=(-2)°=1：当x-1=1, 即x=2时，原式=13=1；当x-1=-1,即x=0时，(-1)=-1，舍去. 16.若x+y=m,x-y=n,则xy= (用含有m,n的式子表示， 结果需化简) 答案： 解析：：x+y=m,x-y=n, (x+y)2=m2,(x-y)2=n2, x2+2xy+y2=m2①，x2-2xy+y2=n2②， ①-②，得4xy=m2-n2,则xy=m 5/14 17.已知103=5,100b=200,则2a+4b-5的值为 答案：1 解析： :103=5,100b-200,÷103.100b=5×200=1000,10.(102)=103,10.102动=103,103*2 18.将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片如图(1)分别按图(2)和 图(3)两种方式放置在长方形内（图(2）和图(3)中两张正方形纸片均有部分重叠)， 未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.若长方形中边AB,AD的长度分 别为m,n,设图(2)中阴影部分面积为S1,图(3)中阴影部分面积为S2,当m-n=5 时，S1S2的值为 (1) (2) (3) 答案：5b 解析：题图(2)中阴影部分的面积S1=n(m-a)+(a-b)(n-a), 题图(3)中阴影部分的面积S2=mn-a+(a-b)(m-a), S1-S2=n(m-a)+(a-b)(n-a)-[m(n-a)+(a-b)(m-a)] =nm-na+n(a-b)-a(a-b)-mn+am-m(a-b)+a(a-b) =b(m-n)=5b, 三、解答题 19.先化简，再求值：(a十3b)(a-3b)-(a-3b)2,其中a=,b=-2 6/14 答案：（a+3b)(a-3b)-(a3b)2 =a2-9b2-（a2-6ab+9b2) =a2.9b2-a2+6ab-9b2 =6ab-18b2, 当a=青，b=-2时，原式 =6×青×(-2)-18×(-2)2=-4-18×4=-4-72=-76. 20.在幂的运算中规定：若a=a(a>0且a≠1，x,y是正整数)，则 x=y.利用上面结论解答下列问题： (1)若g=36,求x的值： (2)若3+2.31=54，求x的值； (3)若m=2-1,n=4-2,用含m的代数式表示n. 答案： (1)由题意可知，(32)=36， ÷32s=36,2x=6,x=3. (2)由题意可知，32×3-3×3=54， :9×3-3×3=54,÷6×3=54, .3=9=32,÷X=2 (3)由题意，得2=m+1, n=(2)2-2=2*(2-1)=m:2=m(m+1)=m2+m 21.“整体思想”在数学中应用极为广泛. 例如：已知a2-2=-3b,求2a2+6b-7的值 解： :a2-2=-3b,·a2+3b=2,÷2a2+6b-7=2(a2+3b)-7=2×2-7=-3. 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： 7/14 (1)已知x2-2y-3=0,求3x2-6y+1的值： (2)若5”+3(m,n都是正整数)能被8整除，试说明5*2+3也能被8整除 答案： (1):x2-2y-3=0,÷x2-2y=3, 3x2-6y+1=3(x2-2y)+1=3×3+1=9+1=10. (2)5m*2+3”=5m×52+3”=-25×5m+3”=24×5m+(5m+3). :5m+3”(m,n都是正整数)能被8整除，24×5能被8整除， ·24×5m+(5m+3”)能被8整除， :5m*2+3”也能被8整除. 22.[知识生成]用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式， 如图(1)，是用长为a、宽为b(a>b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形， 用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到 (a-b)2,(a+b)2,ab三者之间的等量关系式： 「知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得 到一个等式，如图(2)，观察大正方体分割，可以得到等式： (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b). b (1) (2) 利用上面所得的结论解答下列问题： (1)已知x+y=6,y=号，求(x-y)2的值： (2)已知a+b=6,ab=7,求a3+b3的值 答案： [知识生成](a+b)2-4ab=(a-b)2 解析：方法一：已知边长直接求面积为(a-b)2: 8/14 方法二：阴影部分面积是大正方形面积减去四个长方形面积，·面积为 (a+b)2-4ab. :由阴影部分面积相等，得(a+b)2-4ab=(a-b)2 [知识迁移](1)：(a+b)2=(a-b)2+4ab, :(x+y)2=(x-y)2+4xy, 62=(x-y)2+4×￥，(x-y)2=25. (2):(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), ÷63=a3+b3+3×7×6,a3+b3=90. 23.(1)图(1)是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成 四块小长方形，然后拼成一个如图(2)所示的正方形请用两种不同的方法求图(2) 的阴影部分的面积 m m 2 m (1) (2) 方法1： ,方法2： (2)利用等量关系解决下面的问题： ①已知a-b=5,ab=-6,求(a+b)2和a2+b2的值： ②已知x-是=3，求x2+是的值. 答案： (1)(m+n)2-4mn (m-n)2 (2)①由(1)，得(m+n)2-4mn=(m-n)2, (a+b)2.4ab=(a-b)2,即(a+b)2=(a-b)2+4ab. :a-b=5,ab=-6,(a+b)2=52+4×(6)=1. 9/14 :(a+b)2=1,a2+b2+2ab=1, :a2+b2=1-2ab=1-2×(-6)=13 ②：x-是=3，(x-是)=9， x2+是-2=9，x2+是=11. 24.若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求得的值. 解：因为m2+2mn+2n2-6n+9=0,所以(m+n)2+(n-3)2=0, 即(m+n)2=0,(n-3)2=0,所以n=3,m=-3, 所以器=昌=青 根据你的观察，探究下面的问题 (1)若x2+4x+4+y2-8y+16=0,求的值； (2)已知x2+2y2-2xy+2y+1=0,求x+2y的值； (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-8b-10a+41=0,求 △ABC中最长边c的取值.范围， 答案： (1):x2+4x+4+y2-8y+16=0, (x+2)2+(y-4)2=0,÷(x+2)2=0,(y-4)2=0, “x=-2,y=4,…会=-2 (2):x2+2y2-2xy+2y+1=0, x2-2xy+y2+y2+2y+1=0,÷(x-y)2+y+1)2=0, (x-y)2=0,(y+1)2=0,x=-1,y=-1,x+2y=-3. (3):a2+b2-8b-10a+41=0,(a-5)2+(b-4)2=0, (a-5)2=0,(b-4)2=0,a=5,b=4, :△ABC中最长边c的取值范围是5≤c<9. 10/14 25.现有若千个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A ,D,E三点在一条直线上 (1) (2) (3) (4) (1)如图(1)，AE=m,CG=n,这两个正方形的面积之和是 ；(用 含m,n的代数式表示) (2)如图(2)，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是。5.图中阴 影部分的面积为2，求(mn)2的值： (3)如图(3)，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度 等于7，则图中阴影部分的面积是 (4)如图(4)，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a>b),如果 a+b=8,ab=6,求图中阴影部分的面积之和， 答案： (1)” 解析：设正方形ABCD的边长为x,正方形DEFG的边长为y(x>y), (x+y=m, ∫x=婴， 由题意， 得xy=,解得y=受， :这两个正方形的面积之和为x2+y2, 2+y2=（学2)2+（婴）2-0+9 ，=42*匹+2亚=2m420=举 4 4 4 故这两个正方形的面积之和为四严 2 (2):大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，题图(2)中阴影部 分的面积为2， ∫2=5， （m2=9, ·由(1)，得{.=2，解得{n2=1, 、2 (mn)2=m2n2=9×1=9. 11/14 (3)12 解析：设正方形ABCD的边长为x,正方形DEFG的边长为y, (x2+y2=25, 根据题意，得{x+y=7, 则由完全平方公式变形，得 xy=⑧9四=2=12， 2 :阴影部分的面积之和为2×y=y=12. (4) :a+b=8,ab=6,(a-b)2=(a+b)2-4ab=82.4×6=64-24=40, ·阴影部分的面积之和为 a2-b2-2×(a-b)b=a2-b2-ab+b2-a2+号b2-ab=(a-b)2=×40=20. 26.如图(1)是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图(1)中虚线用剪刀平均分 成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图(2）) aaaa (1) (2) (3) (1)观察图(2)，请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系是 (2)利用(1)中的结论，若x+y=5,xy=，求(x-y)2的值： (3)如图(3)，C是线段AB上的一点，分别以AC,BC为边在AB的同侧作正方 形ACDE和正方形CBFG,连接EG,BG,BE,当BC=1时，△BEG的面积记为S1 ,当BC=2时，△BEG的面积记为S2,·,以此类推，当BC=n时，△BEG的 面积记为Sn,计算S50S49+S48-S47+…+S2S1的值 答案： (1)4ab=(a+b)2-(a-b)2 (2)(1)中公式，得(a-b)2=(a+b)2.4ab. 12/14 即(x-y)2=(x+y)2.4xy=52-4×号=16. (3)如图，连接EC 在正方形ACDE和正方形BCGF中， LECD=LCGB=45°，·EC//BG, :△BGE和△BGC的边BG上的高相等， S△BGE=S△BGC 当BC=1时，S1=专×1×1=背： 当BC=2时，S2=专×2×2=号； 当BC=n时，Sn=号 Sn-S1=号.g=型 S50S49+S48-S47+…+S2-S1 =(S50-S49)+(S48-S47)+…+(S2S1) =0492+842+…+2号 =504948472=50p25=1295 2 2 13/14 bI /tI 期末专项提优复习一 幂的运算与整式乘法 一、选择题 1. 下列运算结果正确的是（ ）. A. C. 2. 若，，则（ ）. A. 75 B. 20 C. 10 D. 3 3. 若(，(a)，则的值是（ ）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 若中不含项，则，满足的数量关系是（ ）. A. D. 5. 已知，则（ ）. A. 1 B. 0 C. 1.5 D. 2 6. 小黄同学计算一道整式乘法：(x＋a)(x＋2)，由于他抄错了a前面的符号，把“＋”写成“－”，得到的结果为，则的值为（ ）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 7. 已知，若，都是整数，则的值不可能是（ ）. A. 7 B. －7 C. 9 D. －2 8. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律. 当代数式的值为1时，的值为（ ）. A. 2 B. －4 C. 2或4 D. 2或－4 二、填空题 9. 2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱.将数据30000用科学记数法表示为________. 10. ________； ________； (2m＋3)·(________) ________； ________. 11. 若，则________. 12. 如果关于的整式和相乘的结果中不包含三次项，那么________. 13. 已知，，则________. 14. 若(x－m)()的乘积中不含项，则的值是________. 15.若，则________. 16. 若，，则________.(用含有，的式子表示，结果需化简) 17. 已知，，则的值为________. 18. 将两张边长分别为和的正方形纸片如图(1) 分别按图(2)和图(3)两种方式放置在长方形内(图(2)和图(3)中两张正方形纸片均有部分重叠)，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.若长方形中边的长度分别为，设图(2)中阴影部分面积为，图(3)中阴影部分面积为，当时，的值为________. 三、解答题 19. 先化简，再求值：(a＋3b)，其中，. 20. 在幂的运算中规定：若(且，，是正整数)，则.利用上面结论解答下列问题： (1) 若，求的值； (2) 若，求的值； (3) 若，用含的代数式表示n. 21. “整体思想”在数学中应用极为广泛. 例如：已知，求的值. 解：. 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1) 已知，求的值； (2) 若(，都是正整数)能被8整除，试说明也能被8整除. 22. [知识生成]用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图(1)，是用长为、宽为()的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________. [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图(2)，观察大正方体分割，可以得到等式：. 利用上面所得的结论解答下列问题： (1) 已知，求的值； (2) 已知，求的值. 23. (1) 图(1)是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图(2)所示的正方形.请用两种不同的方法求图(2)的阴影部分的面积. 方法1：________，方法2：________. (2) 利用等量关系解决下面的问题： ①已知，求和的值； ②已知，求的值. 24. 若，求的值. 解：因为，所以， 即，所以， 所以. 根据你的观察，探究下面的问题. (1) 若，求的值； (2) 已知，求的值； (3) 已知是的三边长，且满足，求中最长边的取值.范围. 25. 现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，，三点在一条直线上. (1) 如图(1)，，，这两个正方形的面积之和是________；(用含，的代数式表示) (2) 如图(2)，如果大正方形和小正方形的面积之和是。5.图中阴影部分的面积为2，求的值； (3) 如图(3)，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，则图中阴影部分的面积是________； (4) 如图(4)，正方形和正方形的边长分别为，，如果，，求图中阴影部分的面积之和. 26. 如图(1)是一个长为、宽为的长方形，沿图(1)中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图(2)). (1) 观察图(2)，请你写出，，之间的等量关系是________； (2) 利用(1)中的结论，若，求的值； (3) 如图(3)，是线段上的一点，分别以，为边在的同侧作正方形和正方形，连接，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $