2026年高考北京卷数学高考真题（网络 收集版）

**基本信息** 2026年北京高考数学卷立足基础知识，融入摇杆机械装置、音高频率等真实情境，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，契合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|集合运算、函数性质、向量最值等|结合博物馆参观等生活情境，考查充分必要条件等逻辑推理| |填空题|5题|数列公差、三棱锥面积体积、函数零点等|音高频率关系题体现数学建模，考查数据分析能力| |解答题|6题|三角函数、概率统计、立体几何、圆锥曲线、导数、新定义数阵|摇杆机械装置题融合几何直观，新定义数阵题突出创新思维，导数题考查极值点分析|

2026年北京市高考数学回忆 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 3. 已知双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 4. 在的展开式中，若的系数是280，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为3 C. 的最大值为3 D. 的最大值为4 7. 已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设函数，若将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（ ） A. 选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B. 选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C. 选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D. 选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 10. 曲柄摇杆机构可以实现旋转运动与摆动运动的相互转化，被广泛应用于多个领域．已知从某曲柄摇杆机构中可抽象出如图所示的平面图形，其中，为定点，，为动点，，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 若直线与圆相切，则________． 12. 已知公差为的等差数列的前项和为．若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________． 13. 我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 14. 如图，在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________． 15. 已知c是非负常数，函数.给出下列四个结论： ①在区间上有最小值和最大值； ②当时，在区间上有最大值； ③当时，方程的解集有3个元素； ④当时，方程的解集有4个元素. 其中正确结论的序号是________． 16. 设函数，（，）．已知的最小正周期为，且，． （1）求、的值； （2）求的单调递减区间． 17. 为了解某校高三年级学生的数学学习情况，随机抽查了200名高三年级学生某次考试的数学成绩，整理成下表： 成绩 人数 40 60 60 32 8 假设学生的数学成绩相互独立．用频率估计概率． （1）估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率； （2）从该校高三年级学生中随机抽取4人，估计在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率； （3）为分析该校高三年级学生的数学学习情况，可采用三种方法：将样本中每名学生数学成绩所在区间的左端点值、中点值和右端点值视为该生的数学成绩．分别将这三种方法得到的三组数学成绩的方差记为、和，判断、和的大小关系．（结论不要求证明）． 18. 如图，在直三棱柱中，,分别为,的中点，，，． （1）求证：平面； （2）设点在的内部，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面． 19. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的值． 20. 设函数（n是整数）.已知曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求的极值点个数； （3）求直线l：与曲线的交点个数． 21. 设是如下形式的行列的数表： 其中位于第行第列的数记为，且． 若对任意的和，当，且时，均有，则称数表具有性质． （1）分别判断数表和是否具有性质；（只需写出结论） （2）当，时，若数表具有性质，求中1的个数的最大值； （3）当时，若数表具有性质，且，证明： 2026年北京市高考数学回忆 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，满足即可） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①②③④ 【16题答案】 【答案】（1）． 因为的最小正周期为，所以．故． 所以． 由题设，得． 故． 因为且，所以． （2）由（1）知． 函数的单调递减区间为． 由，得． 所以的单调递减区间为． 【17题答案】 【答案】（1）根据表格数据，200名学生中有人的数学成绩低于120， 所以该校高三学生这次考试数学成绩低于120的概率可以估计为． （2）设事件：随机抽取1名学生，其数学成绩不低于120； 事件：随机抽取1名学生，其数学成绩低于94． 根据表格数据可知，概率和均可估计为0.2． 由题设可知：在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率等于． 故所求概率可以估计为. （3）. 【18题答案】 【答案】（1）取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以，且． 因为四边形为矩形且为的中点， 所以，． 所以四边形是平行四边形． 所以． 又平面，平面， 所以平面． （2）由题设，，，． 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，． 设， 则，，． 设平面的法向量为， 则 即 令，则，．于是． 选择条件①：． 因为，， 所以．解得． 故点的位置唯一确定，且． 设平面的法向量为， 则 即 则，令，则．于是． 因此平面与平面夹角的余弦值为． 选择条件②：． 因为，， 所以．解得． 故点的位置唯一确定，且． 设平面的法向量为， 则 则，令，则．于是． 因此平面与平面夹角的余弦值为． 【19题答案】 【答案】（1）由题设得解得，，． 所以椭圆的方程为． （2）由题设知，且． 直线的方程为． 由得． 设，，则， 且，． 因为， 点到直线的距离为， 所以 ． 由题设知．解得． 【20题答案】 【答案】（1）由，得． 所以，． 由题设知，，． 所以，． 所以． 因为是整数，所以，． （2）由（1）知，． 记，则，． 令，即，得． 因为，所以不是的极值点． ①当时，，单调递增． 因为，，所以存在，使得，且是在内的唯一零点． 当时，， 当时，，所以是在内的唯一极值点． ②当时，，单调递减且，所以1是在内的唯一零点． 当时，，当时，，所以1是在内的唯一极值点． 综上可知，函数的极值点个数是2． （3）直线：过点． ①在区间上，由（2）知，当时，．所以当时，当时，与没有交点． ②在区间上，令，则．由（Ⅱ）知，在上单调递增． 当时，， 故在上单调递减，且，， 所以存在使得，且是在上的唯一零点，即当时，与只有1个交点． 当时，，． 所以存在使得，且是在内的唯一零点． 又因为在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，于是． 由于，，所以存在使得，且是在上的唯一零点，即当时，与只有1个交点． 综上可知，直线与曲线恰有1个交点． 【21题答案】 【答案】（1）数表不具有性质，数表具有性质； （2）由题设知，若数表具有性质， 则当，且时，，，，中恰有2个1． 当，时，数表中满足，且的，，，包括下列四组： ，，，；，，，；，，，；，，，． 上述四组数中恰有8个1． 数表中还剩余4个数，，，，其中1的个数至多为4． 所以数表中1的个数至多为． 取下列4行5列的数表： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 经验证，该数表具有性质，且其中1的个数为12． 综上可知，数表中1的个数的最大值为12． （3）定义集合． 因为，所以当或时，，即． ① 下面证明，当数表具有性质时，其具有以下性质． 性质：对任意的和，当，且时，若（i）；（ii）；（iii）；（iv）中任意三个成立，则第四个也成立． 不妨设（i）（ii）（iii）成立，即，，． 由题设，，则，，，中有两个为1，两个为． 所以． 所以．故成立． 其余情况同理可证．所以性质成立． 令，，，，依次使用性质． 当时，因为，，，所以． 当时，因为，，，所以． 当时，以此类推，可得，． 所以．同理可证． 所以当或时，． ② 令，，，，由①②，依次使用性质、 同理可证与． 所以当或时，． ③ 令，，，，由①③，依次使用性质． 同理可证与． 所以当或时，． ④ 因为，，，所以．同理． 因为，，，所以． 因为，，，所以． 所以，，，． ⑤ 由①②③④⑤，得． 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 2026年北京市高考数学回忆 1.A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.A 8.C 9.B 10.B 11. 12. ①. ②. （答案不唯一，满足 即可） 13. 14. ①. ②. 15.①②③④ 16.（1） ． 因为 的最小正周期为 ，所以 ．故 ． 所以 ． 由题设 ，得 ． 故． 因为且 ，所以． （2）由（1）知． 函数 的单调递减区间为 ． 由 ，得 ． 所以 的单调递减区间为 ． 17.（1）根据表格数据，200名学生中有 人的数学成绩低于120， 所以该校高三学生这次考试数学成绩低于120的概率可以估计为 ． （2）设事件 ：随机抽取1名学生，其数学成绩不低于120； 事件 ：随机抽取1名学生，其数学成绩低于94． 根据表格数据可知，概率 和 均可估计为0.2． 由题设可知：在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率等于． 故所求概率可以估计为 . （3）. 18.（1）取 的中点 ，连接 ， ． 因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，且 ． 因为四边形为矩形且 为的中点， 所以，． 所以四边形 是平行四边形． 所以． 又 平面， 平面， 所以 平面． （2）由题设， ， ， ． 如图建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ． 设 ， 则 ， ， ． 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ， ．于是 ． 选择条件①： ． 因为，， 所以．解得． 故点 的位置唯一确定，且． 设平面 的法向量为 ， 则 即 则 ，令 ，则．于是 ． 因此平面 与平面 夹角的余弦值为． 选择条件②： ． 因为 ， ， 所以 ．解得． 故点 的位置唯一确定，且． 设平面 的法向量为 ， 则 则 ，令 ，则．于是 ． 因此平面 与平面 夹角的余弦值为． 19.（1）由题设得解得 ，， ． 所以椭圆 的方程为 ． （2）由题设知，且． 直线 的方程为 ． 由得 ． 设，，则， 且，． 因为， 点 到直线 的距离为， 所以 ． 由题设知．解得． 20.（1）由，得． 所以，． 由题设知，，． 所以，． 所以． 因为 是整数，所以 ， ． （2）由（1）知，． 记，则 ，． 令 ，即 ，得 ． 因为 ，所以不是 的极值点． ①当 时， ， 单调递增． 因为 ， ，所以存在 ，使得 ，且 是 在 内的唯一零点． 当 时， ， 当 时， ，所以 是 在 内的唯一极值点． ②当 时， ， 单调递减且 ，所以1是 在 内的唯一零点． 当 时， ，当 时， ，所以1是 在 内的唯一极值点． 综上可知，函数 的极值点个数是2． （3）直线 ： 过点 ． ①在区间 上，由（2）知，当 时， ．所以当 时，当 时， 与 没有交点． ②在区间 上，令 ，则 ．由（Ⅱ）知， 在 上单调递增． 当时， ， 故 在 上单调递减，且 ， ， 所以存在 使得 ，且是 在 上的唯一零点，即当 时， 与 只有1个交点． 当 时， ， ． 所以存在 使得 ，且是 在 内的唯一零点． 又因为 在 上单调递增，所以 在上单调递减，在 上单调递增，于是 ． 由于 ， ，所以存在 使得 ，且是 在 上的唯一零点，即当 时， 与 只有1个交点． 综上可知，直线 与曲线 恰有1个交点． 21.（1）数表不具有性质 ，数表具有性质 ； （2）由题设知，若数表 具有性质 ， 则当 ， 且 时，，，，中恰有2个1． 当 ， 时，数表 中满足 ， 且 的，，，包括下列四组： ，，，；，，，；，，，；，，，． 上述四组数中恰有8个1． 数表 中还剩余4个数，，，，其中1的个数至多为4． 所以数表 中1的个数至多为 ． 取下列4行5列的数表： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 经验证，该数表具有性质 ，且其中1的个数为12． 综上可知，数表 中1的个数的最大值为12． （3）定义集合． 因为 ，所以当 或 时，，即 ． ① 下面证明，当数表 具有性质 时，其具有以下性质 ． 性质 ：对任意的 和 ，当 ， 且 时，若（i） ；（ii） ；（iii） ；（iv） 中任意三个成立，则第四个也成立． 不妨设（i）（ii）（iii）成立，即，，． 由题设， ，则，，，中有两个为1，两个为 ． 所以． 所以．故 成立． 其余情况同理可证．所以性质 成立． 令 ， ， ， ，依次使用性质 ． 当 时，因为 ， ， ，所以 ． 当 时，因为 ， ， ，所以 ． 当 时，以此类推，可得 ， ． 所以 ．同理可证 ． 所以当 或 时， ． ② 令 ， ， ， ，由①②，依次使用性质 、 同理可证 与 ． 所以当 或 时， ． ③ 令 ， ， ， ，由①③，依次使用性质 ． 同理可证 与 ． 所以当 或 时， ． ④ 因为 ， ， ，所以 ．同理 ． 因为 ， ， ，所以 ． 因为 ， ， ，所以 ． 所以 ， ， ， ． ⑤ 由①②③④⑤，得 ． 即 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $