8.2023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)（含答题卡）-【高考密码】2022-2024三年高考数学真题汇编试卷

2023 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学答题卡 姓 名: 准考证号: 贴条形码区 考生 缺考考生由监考员贴条形码,并用2B铅笔填涂下面的缺考标 (正面朝上,请勿贴出虚线方框 禁填 记。□ _2甚 1.答题前,考生将自已的姓名、准考证号填写清楚,并认真核实对监考员所粘贴的条形码上的准考证号、姓名、考场 和座位号是否准确无误。 出r 2.选择题必须使用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑,修改时用橡皮擦干净,再选择其它答案涂黑。非选择题必 须使用0.5毫米黑色签字笔填写,字体工整,笔迹清楚。 3.请按题号顺序在各题的答题区域内答题,超出答题区域的答案无效,在草稿纸、试题纸上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁、完整、严禁折叠,严禁使用涂改液、胶带纸和修正带。 5.正确填涂 吾右 、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分. 1.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 8.[A[B][C[D] 3. [A[B[C][D] 6.[A][B][C][D] 9. [A[B][CD 斑 二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分. 11. 12 . 15. 14. 三、解答题:本题共6小题,共85分. 班 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 数学答题卡第1页(共4页) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 17.(13分) 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 数学答题卡 第2页(共4页) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 19.(15分) 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 数学答题卡 第3页(共4页) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 数学答题卡 第4页(共4页)绝密★启用前 2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 都 求的一项， 1.已知集合M={x|x+2≥0}，N={xx-1<0},则M∩N= 都 A.{x-2≤x<1} B.{x|-2<x≤1} C.{xx≥-2} D.{xlx<1》 2.在复平面内，复数x对应的点的坐标是（一1，√3），则之的共轭复数：= A.1+√3i B.1-√3i C.-1+√3i D.-1-3i 3.已知向量a,b满足a十b=(2,3),a-b=(-2,1),则1a2-b12= A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.下列函数中，在区间(0，十∞)上单调递增的是 补 A.f(x)=-In x B)= C.fx)=-1 D.f(x)=3-1 52x-) 的展开式中x的系数为 A.-80 B.-40 C.40 D.80 6.已知抛物线C:y=8.x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则|MF= ( A.7 B.6 C.5 D.4 教 7.在△ABC中，(a十c)(sinA一sinC)=b(sinA-sinB),则∠C A晋 B牙 c π D.6 8.若xy≠0，则“x十y=0”是“y+2=-2”的 y A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 留 9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展 现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等 的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平 面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 A.102m B.112m C.117m D.125m 2023·北京卷第1页（共4页） 10.已知数列(a}满足a+1= 4(a,-6)+6(n=1,2,3,…),则 () A.当a=3时，{a.}为递减数列，且存在常数M≤0，使得a>M恒成立 B.当a1=5时，{an}为递增数列，且存在常数M≤6，使得am<M恒成立 C.当a1=7时，{an}为递减数列，且存在常数M>6,使得an>M恒成立 D.当a1=9时，{an}为递增数列，且存在常数M>0,使得an<M恒成立 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分 山.已知函数)=+1og,则/2) 12.已知双曲线C的焦点为（一2,0）和(2,0)，离心率为√2，则C的方程为 l3.已知命题p:若a,3为第一象限角，且a>B,则tana>tan3.能说明p为假命题的一组a,3的 值为a= ,3= 14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质 量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前 3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,as=12,ag=192,则a,= :数列{an}所 有项的和为 x十2，x<一a l5.设a>0,函数f(x)=√a一x,-a≤x≤a,给出下列四个结论： -x-1,x>a. ①f(x)在区间(a-1,十∞)上单调递减： ②当a≥1时，f(x)存在最大值： ③设M(x1,f(x1)(x1≤a),N(x2,f(x2),(x2>a),则|MN|>1； ④设P(x3,f(x3))(x3<一a),Q(x4,f(x)(x≥一a).若|PQ存在最小值，则a的取值范围 是(0] 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(14分)如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3. (1)求证：BC⊥平面PAB; (2)求二面角APCB的大小. 2023·北京卷第2页（共4页） 17.(13分)设函数f(x)=-sin reos9十cos wrsin>0.p<）) 1)若0)=-5，求的值 (2)已知八)在区间[一号，]上单调递增，）=1，再从条件①，条件@、条件③这三个条 件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求w,9的值. 条件①：/(3）=2： 条件@：f-）=-1: 条件③：f代x)在区间[一受，一]上单调递减 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答计分 18.(13分)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据， 如下表所示.在描述价格变化时，用“十”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高：用“一”表 示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同 时段 价格变化 第1天到第20天 0 0 0 第21天到第40天0 十 0 0 用频率估计概率 (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品 价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率： (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格 “上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明） 2023·北京卷第3页（共4页） 9.(15分)已知椭圆E:号+￥1(a>6>0)的离心率为，A,C分别是E的上、下顶点，B,D分 别是E的左、右顶点，|AC=4. (1)求E的方程： (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=一2 交于点N.求证：MN∥CD. 20.(15分)设函数f(x)=x一xe+,曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程为y=-x十1. (1)求a,b的值： (2)设函数g(x)=∫(x),求g(x)的单调区间； (3)求f(x)的极值点个数. 21.(15分)已知数列{an},{bn}的项数均为m(m>2),且am,bn∈{1,2，…，m},{an},{bn}的前n项 和分别为An,B.,并规定A。=B。=0.对于k∈{0,1,2，…，m},定义r4=max{iB,≤A,i∈ {0,1,2,…,m}},其中，maxM表示数集M中最大的数 (1)若a1=2,a2=1,a4=3,b1=1,b2=3,b3=3,求ro,r1,r2,r3的值： (2)若a1≥b,且2x,≤r+1十r-1j=1,2,…,m-1,求rm (3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2，…，m},满足p>q,s>1,使得A。十B,=A,十B. 2023·北京卷第4页（共4页）因为g(0)-0,所以当0{ x{1时,g(x)>0. 3.B 向量a,b满足a+b-(2,3),a-b-(-2,1), 即f(x)0. 所以la{-b{②}-(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3x 1= 所以/(x)在(0,1)上是增函数 -1. 又因为f(0)一0. 故选:B. 所以当0<x<1时,f(x)>0,即sinr-x+r0. 4.C 对于A,因为y-lnx在(0,十co)上单调递增,y--x 所以x-x②<sinx. 在(0,十o)上单调递减, 令h(x)=sinx-x,0 x1. 所以f(x)=一lnx在(0,+oo)上单调递减,故A错误; 则h(x)-cosx-10. 对于B,因为y-2在(0,十oo)上单调递增,y--在(0, 所以h(x)在(0,1)上是减函数. 十)上单调递减, 又因为h(0)-0,所以当0<x<1时,h(x) 0. 即sinx-r<0,所以sinx<x. 综上,当0<x 1时,x-r<sinx<x. 对于C,因为y--在(0,十oo)上单调递减,y--x在(o. (II)f(x)=cosax-ln(1-x2),x(-1,1). 则f(x)=-asin ax十 十)上单调递减, 因为r-0是f(x)的极大值点,所以存在xoE(0,1),使 得f(x)在(0,xo)上是减函数 对于D,因为/()-3l+-1-3*-3,f(1)-31-1- 3-1,/(2)-3{2-11-3, 显然/(x)-3-1在(0,十oo)上不单调,D错误。 1-r2} 故选:C. 所以有a*>2. 过{ .D 2一){} 的晨开式的通项为T+1-C(2x)5-r 当a(\v2,十oo)时,令x(o.). (-)第-(-1)2-C-~2 令5-2r-1得,-2 -80 2-2+a②2+a3r(1-r2)_,2-a②+2a③r 故选:D. 1一r{ 6.D 因为抛物线C:2-8x的焦点F(2,0),准线方程为a (提示:当a(\2,+)x(o.)时,a(1-2)< 一-2,点M在C上, ax,a②?<ax), 所以M到准线x=一2的距离为|MF ; 又M到直线x--3的距离为5. 2a^{冠}) 2{} 所以|MF|+1-5,故|MF -4. 故选:D. 等式成立的区间端点), 所以由正弦定理得(a十c)(a-c)-b(a-b),即a^②-c?-al -62, 2ab 立,由/(x)是奇函数知,当x(一x,0)时,/(x)0. 所以x一0是f(x)的极大值点。 由a的正负对称性得a的取值范围是(一o,一 故选:B. ②)U(v2,十). 8.C 解法一: 2023年普通高等学校招生全国统一考试 因为xyz0,且+--2, (北京卷) y2 所以x②+2--2xy,即2+y{}+2xy-0,即(x+y)2}-. 所以x十y-0. 1.A由题意,M-xx+2>0-xx-2,N-xx- 所以“x十y-0”是“-+义--2”的充要条件. 1<0-{xlx1. 根据交集的运算可知,MON-xl-2<x1 解法二: 故选:A. 充分性:因为xy子0,且x十y-0,所以x=-y. 2.D;在复平面对应的点是(一1,③),根据复数的几何意 所以+---+--1-1--2. 义,--1+③. 所以充分性成立; 由共复数的定义可知,三一一1一③i. 必要性:因为xyo,且-+立--2, 故选:D. )) 数学答案一28 所以”+y②=-2ry,即x++2xy=0,即(x+y)2}-0。 则+1-6-(a-6)(-54.-27),故a+1-6< 所以-十y-0. 所以必要性成立. -3成立, 所以“x十y-0”是“王+兰--2”的克要条件。 由数学归纳法可得a.3成立. 3y 7 而a+1-a.-(a-6)“-(a-,-6)一 解法三: 充分性:因为xy:0,且x十y-0. (△-6)(,-6)-1 所以王+立_++2+2ry2ry_ (+y)2-2xry_-2xy--2. 23 x3 x3 <o,故an1<a. 所以充分性成立; 故为减数列,注意a+1-6<-3< 必要性:因为xy-0,且王+--2. 故a+1-6-(a。-6)“-(an-6)×1(a-6)2<。 yx 所以十2十2“+2+2ry-2ry_ yxxy 3 (a-6),结合a+1-6<0. (x+y)?-2xy(x+y)2 所以6-an十1(6-a),故6-a+1→3()”,故 y -2--2. xy a1<6-3()“. 2y 所以必要性成立. 若存在常数M<0,使得a>M恒成立,则6-3()”-1 所以“x十y-0”是“-+兰--2”的充要条件. )) >M. 故选:C. 9.C 如图,过E做EO平面ABCD,垂足为O,过E分别做 EG BC,EMIAB,垂足分别为G.M,连接OG,OM. 立仅对部分:成立, 故A不成立. 对于B,若a1-5,可用数学归纳法证明:-1a-6~0 即5<6. 证明:当n-1时,-1<a1一6--1<0,此时不等关系5 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面 <a<6成立; 夹角分别为EMO和 EGO. 设当n-k时,5a6成立, 则a+1-6-1(a-6)3(-1,0),故-1<a+1-6 因为EO|乎面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO|BC <0成立即 因为EG |BC,EO.EGC平面EOG,EOOEG-E. 由数学归纳法可得5<a1~6成立. 所以BC1平面EOG,因为OGC平面EOG,所以BC1OG. 而at,-a.-(an-6)“一(a.-6)- 同理:OM|BM,又BM |BG,故四边形OMBG是矩形, 所以由BC-10得OM-5,所以EO- 14,所以OG-5. (a.-6)(a-6)2-1]# 所以在直角三角形EOG中,EG- EO{*}+OG2 (14)2+52-③9 在直角三角形EBG中,BG-OM-5,EB- EG^{+BG{②}$$$ a.,故a为增数列. (v39)②+52-8. 若M一6,则a6恒成立,故B正确. 又因为EF-AB-5-5-25-5-5-15. 对于C,当a-7时,可用数学归纳法证明:0~a.一6<1 即6a<7, 所有校长之和为2×25+2×10+15+4×8-117m 故选:C. 证明:当n-1时,0 a-61,此时不等关系成立; 10.B 法1:因为a1- 设当n一k时,6<a7成立, -6). 对于A,若a1-3,可用数学归纳法证明:a.-6一3即a。 成立即6a二7 <3. 由数学归纳法可得6<a.<7成立. 证明:当n-1时,a-6--3<-3,此时不等关系a.<3 而d十1-a=(a.-6)(,-6)2-1]<o,故a< 成立; 设当n-k时,a-6-3成立, a,故a为减数列, 数学答案一29 又an+1-6-(a-6)×(a-6){<(a-6),结合 a+1-6>0可得:àr+1-6<(a-6)()”,所以ar+l< 假设当n-k时,a 3, 6+()”. 则a+1<3. 若ar+1<6+()”,若存在常数M>6,使得a→M恒 综上:a<3,即a(-oo,4), 成立: 因为在(-o,4)上f(x)<0,所以an+1a。,则{a)为递 减数列, 则M-6<(-)”恒成立,故n<log(M-6),n的个数 有限,矛盾,故C错误。 ?+26a.-47. 对于D,当aì-9时,可用数学归纳法证明:a.一63即 a9. 证明:当n-1时,aì-6-3二3,此时不等关系成立; .2-9x+26. 设当”-k时,a二9成立, 由数学归纳法可得a一9成立 所以h'(x)在(-co,3]上单调递减,故h'(x)→h'(3)-3 而a+1-a=(a-6) ×3-9×3+260. a,故a为增数列, 所以h(x)在(-oo,3]上单调递增,故h(x)<h(3)-1 又a+1-6-(a-6)×(a-6)2>(a-6),结合a。 3-#3}+26×3-47~0, -60可得: a1-6 (a-6)(-)“}-3()”,所以a-→6 故a+1-a+1<0,即an+la-1, 假设存在常数M 0,使得a. M恒成立, +3()”. 取m=-M +4,其中M-1<M,且[M. 因为a+1<a-1,所以a<a-1,a<a-1,.., 若存在常数M 0,使得a。<M恒成立,则M 6+ a-[M+a-[M]+3-1, 3()” 上式相加得,a-[M+4<a-(-[M]+3)<3+M- 故M>6+3(-)”,故n<1og(M6)+ 1,这与的 3-M. 则a=arM+4 M,与a M恒成立矛盾,故A错误; 对于B,因为a-5. 个数有限矛盾,故D错误. 故选:B. 当-1时,a-5<6,a-(a-6)3+6--x(5-6)③ 法2:因为a1-1(a,-6)☆+6-a-1-误} 十6<6. +26a.-48. 假设当n-k时,a6, 当n-k+1时,因为a 6,所以a-6<0,则(a -6)0$ 所以-(ux一6)”6<6. +26. 令#(x)>0,得0<<6-2#线x>6+2# 3 >0,即a>5. 假设当n-k时,a一5. 当n=b十l时,因为a5,所以a-6 -1,则(a-6)3 所以f(x)在(-6-23)和(6+23+)上单调 二-1. 所以a+1-1(a-6)3+65. 递增,在(6-26+23)上单调减 3 综上:5a.<6. 因为在(4,6)上f(x)0,所以a+1a。,所以{a)为递增 数列, (x-6)(x-8)-0,解得x-4或x-6或x-8. 注意到4<6-255.7<6+2<8. 此时,取M一6,满足题意,故B正确; 对于C,因为a-+1-1(a -6)3+6,则ana+1-6- 所以结合f(x)的单调性可知在(一oo,4)和(6,8)上f(x) -6). <0.在(4,6)和(8,+oo)上f(x)>0. 注意到当a:-7时,a2-(7-6)3+6-1+6,a-1 对于A,因为a-+1-(a。-6)”+6,则an+1-6-(a^ (+6-6)第}+6-()+6. -6)3. 数学答案-30 a-[() +6-6]0+6-()3+6 取m=[M]+],其 M-1<[M] M,且[ME乙 因为an+1>a+1,所以a2>a:+1,a③>a2+1,.., 猜想当n二2时,a一(){ -1) +6 a[M]+1a[M]+1. 上式相加得,aM]+1a+[M9+M-1>M. 当n=2与n-3时,a2=+6与a=(){+6满足a。 则am-a[M]+1M,与a.M恒成立矛盾,故D错误 故选;B. +6. 过11.1 画数f(x)-4*+log2x,所以/()-4 +log22- 假设当n一k时,ax一() ③一1 十6. 2-1-1. 故答案为:1. 当- 十1时,所以ax+十】-1(ax-6)3+6-4 [ 4)#-0{}60()0 十6. 显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距( -2. +6(n>2). 由双曲线C的离心率为v②,得-②,解得a-②,则b 易知3”-1>0,则0~(){ -a{-②, <1: #_()0#一) +6(6.7)(n二2). 故答案 所以a(6,7]. 因为在(6,8)上f(x)0,所以a1 a,则{a。)为递减 (13.①}② 因为f(x)-tan:在(0.,吾)上单调递增, 数列, 假设存在常数M6,使得a。M恒成立, 若0<ao<吾,则tanaotan}, 记m。-log[2log (M-6)+1],取m-[m]+1,其中 m-1<[mo]<m,mN. 取=2k1n+ao,B-2kr+B,k,ké乙. 则3“ 3{-2log(M-6)+1. 则 tan a=tan(2ktn+ao)-tan ao,tan ③-tan(2kgr+Bo) -tan,即tanatan. <M一6. 令 ì>k2,则a-B-(2k1x+ao)-(2k2+{o)-2(k - )n十(ao-p), ”(#)o_ +6<M. 因为2(k-k2)x>2,-<ao-ao<0.则a-}-2(k 所以a M,故a. M不恒成立,故C错误; -k2)x十(go-9o)>3-o# 对于D,因为a1-9. 即,则a>③. 不妨取k:-1^-0#ao-开,8-,即-0--满 假设当n-k时,a一3. 足题意, 故答案为: 1>9. 综上:a.9. 14.①48 因为在(8,十oo)上f(x)>0,所以an)>a.,所以{a为 ②384 方法一:设前3项的公差为d,后7项公比 递增数列, 为>0, 则9_192 因为an+1-a-1-1(a-6)3+6-a-1- -16,且q0,可得q-2. a5 12 a+26a.-49. 则a-1+2a-,即1+2-3,可得d-1. g{ 空1:可得a3-3,a7-aaq-48. -2-9r+26, 空2:a+a2+...+a-1+2+3+3x2+..+3×2-3 3(1-2)-384 1-2 方法二:空1:因为(a),3n7为等比数列,则a-as -12×192-48. X9-9×9+26>0. 且0,所以a-48; 7 故a1-a-1>0,即a>a.+1. 空2:设后7项公比为→0,则2-5-4.解得?-2. 假设存在常数M0,使得a.M恒成立, 数学答案-31 3(a+a3)_6,aa+at+as+as十a7十 可得a+a+a= 因为P(x,f(xa))(x<-a),Q(x.f(x))(x>-a). 2 结合图像可知,要使|PQ取得最小值, 则点P在(c)-x+2(<-)上,点Q在/()- 1- 1-2 所以a1+a2+...+ao-6+381-a3-384. ###(-<#)# 故答案为:48;384. 15.②③ 依题意,a0, 同时 PQ|的最小值为点0到/(x)=x+2(x<-)的 当x一a时,f(x)一x十2,易知其图像为一条端点取不 到值的单调递增的射线; 距离减去半圆的半径a, 当-a<x<a时,/(x)-Va^-r^{,易知其图像是,圆心为 此时,因为/(x)-y-x+2(2<-)的斜率为1,则 (0.0),半径为a的圆在r轴上方的图像(即半圆); kop=-1,故直线OP的方程为y=-x. 当x>a时,f(x)一一x-1,易知其图像是一条端点取 联立/ 不到值的单调递减的曲线: ,则P(-1,1). -得 y-1 显然P(-1,1)在f(x)=x+2(<-)上,满足|PQl 取得最小值, 即a-也满足|PQ|存在最小值,故a的取值范围不仅 仅是(0] ,故④错误。 故答案为:②③. 16.解析:【小问1详解】 因为PA1平面ABC,BCC平面ABC. 显然,当x(a-1,+oo),即xE(-,+)时,f(x) 所以PA BC,同理PA AB, 在(一,o)上单调递增,故①错误; 所以△PAB为直角三角形, 又因为PB-PA*+AB-②,BC-1.PC-③ 对于②,当a1时。 所以PB^{②}+BC^{}一PC^{,则△PBC为直角三角形,故BC 当x<-a时,f(x)=x+2<-a+2<1; 1PB. 当-a<x<a时,/(x)-Va^{}-^{}显然取得最大值; 又因为BC |PA,PAOPB-P. 当x>a时,fx)=-x-1<--1<-2. 所以BC|平面PAB. 综上:/(x)取得最大值a,故②正确; 【小问2详解】 由(1)BC 乎面PAB,又ABC乎面PAB,则BC AB 对于③,结合图像,易知在一a,xa,且接近于x 以A为原点,AB为x轴,过A且与BC平行的直线为y a处, M(x.f(x))(xi<a).N(x.f(x))(x2>a)的距离 轴,AP为;轴,建立空间直角坐标系,如图, 最小. 则A(0.0,0).P(0,0.1).C(1.1.0).B(1.0,0). 当-a时,y-f(x)-0,当ra且接近于x=a处, 所以AP=(0.0.1),AC-(1,1.0),BC=(0.1.o)PC-(1. y=f(x)<--1. 1,-1. 此时,|MNl>y一yvā+1>1,故③正确; 设平面PAC的法向量为m=(x,y1,z1). (n.AP-0 121-0. 。/ m.A。 ), x十y-0. 令x=1,则y--1,所以m-(1,-1,0), _nBC-。 设平面PBC的法向量为n=(x,y,2),则 nPC-o' __ 即 1y-0 1r2+y2--0' 数学答案-32 令x2-1,则z2-1,所以n-(1,0,1). 【小问2详解】 m.n 1。 所以cos(m,n)一 在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是 上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25. 又因为二面角A-PC-B为锐二面角, 于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率 是C×0.42xC×0.35×0.25-0.168$ 答案:(1)证明见解析 【小问3详解】 (2)} 由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行 分析,上涨后下一次仍上涨的有4次,不变的有9次,下跌 17.解析,【小问1详解】 的有2次, 因为f(x)=sinaxcos +cos xsino.cl< 因此估计第41次不变的概率最大. 答案:(1)0.4 所以f(o)-sin(·0)cos +cos(a·0)sin q=sin ##. (2)0.168 (3)不变 19.解析:【小问1详解】 【小问2详解】 因为f(x)=sin arcos +cos axsin.o.lgl<吾. 又A,C分别为圆上下顶点,|AC -4,所以2-4,即 -2. 所以f(x)=sin(x十).>o,ll<-,所以/(x)的最 大值为1,最小值为一1. 若选条件①:因为f(x)一sin(r十)的最大值为1,最小 值为一1,所以/(-②无解,故条件①不能使函数 【小问2详解】 /(x)存在; 若选条件^②:为/(c)在 [一 ,2-#上单调递增,且 -2),B(-3.0),D(3,0). (2)一1,/(-)--1 因为P为第一象限E上的动点,设P(m,n)(0 m 3. 所以-2-一(-)--,所以r-2-,-2-1. 所以f(x)一sin(x十g). 又因为/(-)--1,所以sin(-+)--1. 所以一-+-+2^6飞乙 所以p→-+2^r,k<乙,因为1p#<,以=-# 所以-1,=-吾: 易得knc-03-0- 0+2- 若选条件③:因为/(1)在[一-]上单调递增,在 r-2, [-,]上单调减# ^pp= 所以/(x)在x=- 处取得最小值-1,即/(一)- 13(3n-2m+6) -1. ,解得 联立 3n+2m-6 #-#(一)# -12n 以下与条件②相同. -3n+2m-6 答案:(1)=- 3300.-) 即M(3(3n-2m+6) (2)条件①不能使函数/(x)存在;条件②或条件③可解得 -一1.-- m-0n 7 18.解析:【小问1详解】 令y--2,则-2--2-+2,解得---4m. 根据表格数据可以看出,40天里,有16个十,也就是有16 , n-2 天是上涨的, 即N(二4-,-2), -0.4 数学答案一33 1 则f$()=f3-3)<f1)=1- 所以M一 3(3n-2m+6)-4m 故/(0)/(x)0. 3n+2m-6 n-2 所以/(x)在(0,x1)上存在唯一零点,不妨设为x,则 (-6n+4m-12)(n-2) <x<r. -(9n-6m+18)(n-2)+4n(3n+2m-6) 此时,当0 xx:时,f(x)>0,则f(x)单调递增;当x -6n2+4mn-8m+24 <xx时,f(x) 0.则f(x)单调递减 9n2+8m?+6mn-12m-36 所以f(1)在(0,x1)上有一个极大值点; -6n^{②}+4nn-8m+24 当x(xi,x)时,/(x)在(x1,x)上单调递增, 9n^2}+72-18n2+6nn-12m-36 -6n2+4mn-8m+24 2(-3n}+2mn-4n+12) 则f(x)=f(3+③)>f(3)=1>0. -9n{+6mn-12m+36 3(-3n2+2nn-4m+12) 故f(x)f(x2)0. 所以f(x)在(xl,x)上存在唯一零点,不妨设为x5,则 rxx2. 此时,当x1 x xs时,f(x)<0,则f(x)单调递减;当 x xx2时,f(x)<0,则f(x)单调递增; 显然,MN与CD不重合,所以MN/CD. 所以f(x)在(x,x)上有一个极小值点; 当x>xr=3+/③>3时,3r--r(3-r)<0. (2)证明见解析 所以/(r)=1-(3xr②-r*})e-1>0,则/(x)单调递增, 20.解析:【小问1详解】 所以f(x)在(x,十o)上无极值点; 因为f(x)=x-rar+,rR,所以/(r)=1-(3r?+ 综上:f(x)在(一,0)和(x,x)上各有一个极小值点, a^})“+, 在(0.1)上有一个极大值点,共有3个极值点 因为f(x)在(1,f(1))处的切线方程为v三一x+1 答案:(1)a一-1,b-1 (2)答案见解析 所以f(1)--1+1-0./(1)--1. (③)3个 [1-1×e“+8-0 [a--1 21.解析:【小问1详解】 则 ,解得 b-1 1-(3+a)+_-1 由题意可知:A-0,A-2,A。-3,A-6,B-0,B $ 所以a--1,-1. 1.B-4,B-7. 【小问2详解】 当-0时,则B -A。-0.BA.i-1.2.3,故r-0; 由(1)得g(x)-f(x)-1-(3r}-)e-1(xR). 当=1时,则B A.B <A .B A.i-2.3,故 -1; 则g(c)--x(2-6x+6)e--+1. 当=2时,则B<A,i-0,1,B>A,B A,故r-1; 令-6x+6-0,解得x-3士v3,不妨设x-3-3.x 当-3时,则B A.i-0,1,2,B A,故r-2; 综上所述;ro-0,r-1,r-1,r-2. -3+③,则0 x. 【小问2详解】 易知。计一0恒成立, 由题意可知:r”n,且r.N. 所以令g(r)<0,解得0<x<x1或x>x;令g(x)>0. 因为a 1,b1,则Aa-l.B b=1,当且仅当 解得x<0或x<xx: 一1时,等号成立, 所以g(r)在(0,r),(x,十)上单调递减,在(一,0). 所以r-0,-1. (x1.r)上单调递增, 又因为2rr-1十r1,则r1-rr-r-1,即r 即g(x)的单调递减区间为(0,3-③)和(3十③,十),单 r-1rn-1-rm-.r.-ro-1. 调递增区间为(-o,0)和(3-③,3十③) 可得r1-r1. 【小问3详解】 反证:假设满足r1-r.1的最小正整数为1<m-1, 由(1)得f(x)=x-xe-1(xER),f(x)-1-(3r? 当ij时,则r1-r2;当j-1时,则r-r-1, )。1. 则r=(r-r-1)+(rm-1-r-2)十.+(r1-r)。十ro 由(2)知/*(x)在(0,x),(x,十)上单调递减,在 >2(m-j)+j-2m-i. (-oo,0).(x1,r)上单调递增; 又因为1<jn-1,则r2n-j2m-(m-1)=m+ 当x0时,f(-1)=1-4e<0,/(0)=1>0. 1>n. 即/(-1)/(0)<0 假设不成立,故r1一7.一1, 所以f(x)在(一,0)上存在唯一零点,不妨设为x,则 即数列(r)是以首项为1,公差为1的等差数列,所以r -1r<0. -0+1×n-n.nN 此时,当xx。时,f(x){0,则f(x)单调递减;当x 【小问3详解】 <0时,f(x)>0,则f(x)单调递增; (|)若A.B.,构建$ =A-B .I n m,由题意可 所以/(x)在(一oo,0)上有一个极小值点; 得:S二0,且S.为整数, 当x(0,x)时,f(x)在(0,x)上单调递减 反证,假设存在正整数K,使得S二m. 数学答案-34 则A-B m,Ak-B <0,可得b =B -B 6.C 因为an+l-2$ +2①,所以a=2aì+2,当n→2时, -(A-B)-(A-B)>m. a=2S-1+2 ②,①-②得an+1-a:=2S-2S-1,解 这与bE(1,2..,m相矛盾,故对任意1<nm,n 得ax+l-3a,所以数列(a)的公比o-3,即22a1+2 aì N.均有S<m-1. 3.解得a-2,所以a-aq}-54,故选C. ①若存在正整数N,使得Sv-Av一B-0,即Av -B: 7.C 从散点图可知,散点的分布集中在一条直线附近,所以 花瓣长度和花长度具有相关性,又相关系数,一0.8245. 可取r-b-0.q-N,s-rv,使得A+B-A.+B; 所以呈正相关,排除A,B;从样本中抽取一部分,这部分的 ②若不存在正整数N,使得S-0. 相关系数不一定是0.8245,排除D,故选C. 因为S.(1,2n..,m-1,且1nn. 8.B 设点M到平面PAB的距离为hM,点C到平面PAB 所以必存在1<X<Y<m,使得Sx-Sy, 的距离为hc,则由已知得 即Ax-B-Ay-B,可得Ax+B-Ay+B, 可取-X,s=r,q-Y,r=rx,使得A+B=A+B; _ (lì)若A. B,构建S.-B-A.,1 nm,由题意可 得:S<0,且S.为整数. 反证,假设存在正整数K,使得Sk一m, ###,故选B.## 则B-A-mn,.B -Ak→o,可得br-B B.=(B-A)-(B-A)m. 9.D 由PF。一2知b一2,则可设双曲线的一条渐近线方程 这与h(1,2..,m相矛盾,故对任意1nm,n N,均有S.二1-n. ①若存在正整数N,使得Sv-B.-Av=0,即Ay ?(), 一B 解得点P坐标为P( 可取,-p-0.q-N,s-rv,使得A+B-A+B ②若不存在正整数N,使得S一0. 因为$.-1,-2,..,1-m,且1<nm. 所以必存在1<X<Y<m,使得Sx=Sy, 即B-Ax-B-Ay,可得Ax+B -Ay+B. 2_1.故选D. 可取=X,s=rv,q=Y,r=rx,使得A+B=A+B; 综上所述:存在0 q m,0<rsn使得A。+B= 5+14i(5+14i)(2-31)52+13i_4+i. A.十B. 10.4十i 2+3(2+3i)(2-3ì) 4十9 答案:(1)r-0.r-1,r-1,r-2 (2)r.-n,nN 11.60 (3)证明见详解 (-) -(-1)26-rC5x18-4y,令18-4r-2,解得r- 2023年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷) 4.所以r*项的系数为(-1)2-C-60. 12.6 由已知得圆C的圆心为(一2,0),半径为v3,设切线方 1.A 由题可得CuB-3,5),所以CuBUA-(1,3,5),故 选A. /十1 $.B 由a^{}-b^2}得a-士b,由a^{②}+b^}-2ab得(a-b){}-0,即$$ 2x(0)的对称性,不妨设k一③,则切线方程为y a-b,所以“a?一b”是“a2}十b2}一2ab”的必要不充分条件, 联立 #,得点坐标为P(22). 故选B. 2-2px' 3.D 因为y-1.01*在R上单调递增,所以1.01*1. 010-5.因为y-o.5在(0,+co)上单调递增,所以1.010.5 0.6:,所以ac,故选D 过3. 4.D 由题图知,函数图象关于y轴对称,所以函数f(x)为 取到的三个球都是黑球的概率为40%×25%× 2十2 1 成立,与函数图象不符,所以排除选项C,故选D. .5×60%+4×75%+6×50%3 率为 15 5.B 由函数f(z)的一个周期为4可知y-sin(吾x)与y= 5. 14.#a+)#如,A-4D+4-a+. cos)不符合题意,故排除选项C.D;对于y-sin(是 ##-AB+-AB+(AAB)-+bo,以 x),当x-2时,y-0,则直线x-2不是y-sin(吾x)的对 #F#F-(a+)(a+0)-^}+6+ 称轴,故排除选项A,故选B. 数学答案一35