第二十章勾股定理复习学案——2025—2026学年人教版八年级数学下册
2026-06-10
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摘要：
该初中数学导学案以“勾股定理”为核心，围绕定理关系、证明思想、逆定理及应用构建复习框架，通过“基础回顾-技能检测-例题深化-巩固应用”的递进式学习路径，系统串联知识要点与解题方法。
亮点在于情境化问题设计与能力分层培养，如“蚂蚁爬行最短路径”“勾股数规律探究”等任务，培养几何直观、推理意识与应用意识，既落实基础又深化思维，为学生单元复习提供全面训练，为教师教学提供清晰指导。
内容正文：
第二十章勾股定理复习学案——2025—2026学年度人教版八年级数学下学期期末复习
一、复习内容：
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系?
2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法?
3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形?
4.勾股定理的逆定理是如何证明的?
5.什么是勾股数？
6.勾股定理逆定理的应用
二、知识检测：
1.下面四组数，其中是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定为直角三角形的是( )
A. ，， B. C. D.
3.某直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为和，则另一条直角边的长为( )
A. B. C. D. 或
4.意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理设空白部分的面积为，则下列表示的等式成立的是( )
A. B.
C. D.
5.如左图，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，高度可至将其抽象成数学图形如右图所示，其中，，，，秋千的绳索始终保持拉直且无弹性，则绳索的长为( )
A. B. C. D.
第8题图
第6题图
第5题图
6.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是 ( )
A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余
7.在中，，，，分别为，，的对边．
若，，则 若，，则 若，，则 ．
若，，则斜边上的高线长为 ．
若，，则 ．
8.如图，做一个长，宽的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长至少为 ．
三、例题提升：
例1如图，是的中线，是中边上的高，且，，求证：是直角．
例2如图，圆柱形杯子高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处．
图是杯子的侧面展开图，请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿爬行的距离最短．
结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长．
例3【问题背景】能够作为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数在一次数学活动课上，王老师设计了下表：
【知识技能】请你观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示： ， ， ．
【数学理解】猜想：以，，为三边长的三角形是否为直角三角形并说明理由．
【拓展探索】观察下列四组勾股数：，，，，，，，，分析其中的规律，可得出第五组勾股数为 ．
例4已知：在中，，，，求证：．
背景文化：勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，多年来，人们对它进行了大量的研究，它的证明方法多达余种．
证明思路：下面是几何原本中证明勾股定理的几个步骤：
如图，分别以的三边为边向外作正方形、正方形、正方形，过点作的垂线，交于点，交于点，连接，．
第一步可证明：
第二步可证明：正方形的面积与长方形的面积相等
第三步可证明：．
问题解决：综合上述内容，完成以下证明提示：，
求证：
求证：正方形的面积与长方形的面积相等
求证：．
四、巩固练习：
1.下列四组数中，是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.在中，，，的对边分别记为，，下列条件中，能判定是直角三角形的是( )
A. ，， B. C. D.
3.如图，在中，，，则边上的高的长为( )
A. B. C. D.
第6题图
第5题图
第4题图
第3题图
4.如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为 ( )
A. B. C. D.
5.图是一个办公桌摆件，图是它的示意图，长方形的对角线，垂足为， ， ， ，则( )
A. B. C. D.
6.如图，一长方体包装盒的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁若要沿着包装盒的外表面以从点爬到点去吃一滴蜜糖，则它需要爬行的最短时间是( )
A. B. C. D.
7.我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载了这样一道题目：“今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积有多大？题中的“丈”是我国市制长度单位，丈尺则该块沙田的面积为 平方丈．
8.如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，
交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ．
第8题图
9. 如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ．
第10题图
第9题图
10.如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠纸片，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，则的长是 ．
11.如图，已知一架竹梯斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．
求这个梯子顶端距地面有多高；
如果梯子的顶端下滑到点，那么梯子的底端在水平方向上滑动的距离吗？为什么？
12.阅读材料，并完成相应的任务勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是数学中非常重要的定理勾股定理的证明多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有，，的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含有，，的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的证明．
如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形的位置，连接，，，此时，，，，利用直角梯形的面积就能完成勾股定理的证明．
任务：
请你根据上述材料中的思路证明勾股定理
如图，在菱形中，对角线，相交于点，已知，，求，之间的距离．
答案
知识检测：
1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B
7.【小题】
【小题】
【小题】
8.
例题提升：
1.证明：是中边上的高，．
在中，，．
同理可得，
是直角三角形是直角．
2.【小题】如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．
【小题】如图，过点作于，
点、关于对称，
，，
，
在直角中，由勾股定理得．
答：蚂蚁爬行的最短路径长是．
3.【小题】
【小题】以，，为三边长的三角形是直角三角形理由如下：，，．以，，为三边长的三角形是直角三角形．
【小题】，，
4.【小题】证明：四边形和四边形是正方形，
，，．
．
．
【小题】，．
又，
．
，即正方形的面积与长方形的面积相等．
【小题】同可得，正方形的面积与长方形的面积相等．
，即．
又在中，，，，，
．
巩固练习：
1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.A
7. 8. 9. 10.
11.【小题】，，梯子顶端距地面高．
【小题】滑动的距离不等于，理由：，，
，，滑动的距离不等于．
12【小题】
【证明】根据题意得，，．
，
，
，整理得．
【小题】设，之间的距离为．
四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得．
，
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