20.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦勾股定理逆定理的应用，通过复习勾股定理及逆定理的填空回顾旧知，结合军事航海实际问题导入新课，搭建从定理理解到实际应用的学习支架。 资料以实际问题为载体，如轮船航行方向判断、边防巡逻船只监测等，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过综合应用例题及变式练习，发展推理意识与模型意识，助力学生掌握割补、转化等数学思想，提升解决实际问题的能力。

第20章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 【素养目标】 1. 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系。 2. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识。(重点) 3. 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用。(难点) 【复习导入】 回顾所学，并完成下列填空。 勾股定理： 在 中，若 , 则 ____________ . 勾股定理的逆定理：在 中，若 ， 则 __________________________________________ . 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法， 其中勾股定理的逆定理经常会被用到， 这堂课让我们一起来学习吧。 【合作探究】 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 例1 如图，港口 位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile, “海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 处，且相距 30 n mile. 如果 “远航” 号沿东北方向航行，那么 “海天” 号沿什么方向航行吗？ 实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？ 几何问题：已知______________________ 的长， 求______________. 归纳总结： 解决实际问题的步骤： ① 构建几何模型(从整体到局部)； ② 标注有用信息，明确已知和所求； ③ 应用数学知识求解。 【变式题】 如图，南北方向 以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在 处发现其正西方向的 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近， 便立即通知在 上 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测， 海里， 海里，海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 问题：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？ 区别 联系 例2 如图，在四边形 中， ， ， ， . 如果 ，判断 与 是否也垂直，并说明理由。 【练一练】 1.如图，在四边形中， , 的面积为 , ，求的面积。 2. 如图是一农民建房时挖地基的平面图， 按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 【练一练】 3.如图， 中， ，是边上的一点， ， ， . (1)求证：是直角三角形； (2)求 的面积。 当堂反馈 1. 如图， ，点 在点 的北偏西 50°方向，则点 在点 的 A. 北偏东40°的方向上 B. 北偏东50°的方向上 C. 南偏东 的方向上 D. 南偏东50°的方向上 2. 一个三角形的三边长分别为5,12,13，则这个三角形最长边上的高线长为_____. 3. 如图，学校要在一块四边形空地 上种植草皮，测得 , . 若每平方米草皮需要 200 元，则学校需要投入多少钱？ 参考答案 复习导入 为直角三角形且 . 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 例1 解： 根据题意， 因为 ，即 ，所以 . 由“远航”号沿东北方向航行可知，. 因此 ， 即 “海天” 号沿西北方向航行。 【变式题】 解： , , 即 是直角三角形。设 与 相交于点 ，根据三角形面积公式有 ，即 ，解得 . 在Rt 中， 又 该船只的速度为 12.8 海里/时， (分钟), 需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上 10 时 58 分进入我领海。 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 问题： 区别 (1) 勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系， 得出直角三角形。 (2) 勾股定理是直角三角形的性质定理， 而其逆定理是判定定理。 联系 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关。 例2 解： 因为 ，所以 . 在 Rt 中，根据勾股定理， .所以 . 在 中， 所以 .因此 是直角三角形，即 . 【练一练】1. 解：. . 又 , 是直角三角形， 是直角。 【练一练】2. 解： , .又 , . , 该农民挖地不合格。 3.解：(1)证明： ， ， 是直角三角形 (2)设腰长 ，在 中， ， ，解得 . 当堂反馈 1. A. 2. 3. 解： 如图，连接 , , . , . 是直角三角形，且 . (元). 学校需要投入7200元。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $