广东省广州十三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

广东省广州十三中学2025-2026学年 高一下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 2．空间中有三个平面，，与三条直线，，，则下列说法一定正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（ ） A． B． C． D． 5．如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A．6 B． C． D． 6．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，分别为，中点，为线段上的一点，且，若，则（ ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程（，）的一个根，则 11．设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．复数满足，则________． 13．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 14．三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面，则该三棱锥外接球的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，是非零向量，，且，． （1）求； （2）求． 16．（15分） 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长． （1）这种“浮球”的体积是多少？（结果保留） （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（结果保留） 17．（17分） 如图，在长方体中，，，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）求直线与平面所成角的正切值． 18．（15分） 在中，，． （1）求， （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（17分） 如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使， （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面和平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $