命题大赛 广东省云浮市2025-2026学年高一数学下学期期末测试（人教A版）

**基本信息** 2025-2026学年广东云浮高一数学期末模拟卷，立足人教版必修1第5-9章，通过原创复数题、宫灯文化情境题及四棱锥探究题，考查数学抽象、空间观念与数据意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数虚部、扇形面积、三角函数图象变换|原创题占比高，基础概念与运算结合| |多项选择题|3/18|三角函数图象性质、频率分布直方图|选项分层设计，考查辨析能力| |填空题|3/15|三角函数周期、正三棱台高、解三角形最值|空间几何与函数性质综合| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、立体几何证明与计算、统计、探究性问题|含四棱锥动点探究题，融合逻辑推理与创新应用，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年广东省云浮市下学期期末模拟试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版2019必修1第5章至必修1第9章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（原创）已知复数，则复数的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用虚数单位的幂次周期性化简复数，再根据复数虚部的定义确定结果. 【详解】虚数单位的幂次具有周期性，周期为4，对任意， 满足： ，，，， 则，故，因此， 根据复数虚部的定义：形如的复数，虚部为实数，可得的虚部为-1. 2.(改编)已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角， 由题意可得， ，解得，； 代入扇形面积公式，计算得. 3.（原创）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度， 可得， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得. 4.某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．160 【答案】B 【详解】已知四类图片的数量之比为，则厨余垃圾图片占总图片数量的比例为， 有害垃圾图片占总图片数量的比例为. 因为采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，所以抽到的厨余垃圾图片数量为， 抽到的有害垃圾图片数量为. 由题意可得，解得. 5.如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 6.在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系、正弦和角公式计算即可. 【详解】易知，由正弦定理可知， 即，所以， 则，即，该三角形为钝角三角形，选D. 7.（新情境题）宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上下层正棱柱的底面周长均为，高为，中间一层的正棱柱高为．设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出外接球的直径，求得外接球的半径，进而求得盒子的表面积. 【详解】由题意，将该宫灯看成一个高为、底面边长为的正六棱柱， 而正六棱柱的外接球（球形盒子）的直径是其体对角线的长， 则，得， 故外接球（球形盒子）的表面积至少为． 8.在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】先证明平面，判断C；进而根据线面垂直性质判断A；取中点，连接，证明平面并求解的长度判断B；根据二面角的平面角的大小判断D. 【详解】在平面内取一点，作，，垂足分别为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以 同理：平面， 因为平面 所以平面，故C选项正确； 又平面，所以，故A选项正确； 对于B，取中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为的长度， 因为，所以，故B选项正确； 对于D，因为平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 所以平面平面不成立，故错误. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，（，，）的部分图象如图所示，下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C．的图象关于点对称 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的范围是 【答案】BD 【分析】根据函数部分图象求出函数解析式，由且可判断A； 根据图象平移原则可判断B；由可判断C；利用数形结合可判断D. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即，则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则，综上可得. 对于A，若为对称轴，则或， 代入得，故A错误； 对于B，函数的图象向左平移个单位得到的函数为，故B正确； 对于C，若的图象关于点对称，则， 因为，故C错误； 对于D,若，则， 令，即， 则与在上有两个交点，如下图可得， 解得，故D正确.    10.某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 【答案】ACD 【分析】A选项，由频率之和为1列方程计算a；B选项，根据众数为频率最高组的组中值进行计算；C选项，求出抽取的体育爱好者中每周锻炼时长不少于15小时的频率，再乘以总人数即可；D选项，先确定累计频率，再在对应区间内按比例计算. 【详解】由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确； 众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误； 因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确； 设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确． 11.G是△ABC的重心，AB＝2，AC＝4，∠CAB＝120°，P是△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（　　） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【解析】ACD 对于A中：如图所示 ， 以GB，GC为邻边作平行四边形GBDC，GD，BC交于点O，O是BC的中点，因为G是△ABC的重心，所以A，G，O三点共线，且AG＝2GO，所以，，所以，故A正确；对于B中：在上的投影向量为||cos120°•，故B错误； 对于C：因为，所以[4+16+2×2×4×（）]＝3，所以||，因为点G是△ABC的重心，所以||||，故C正确； 对于D：如图所示 ，取BC的中点O，连结PO，PA，取AO中点M，则，，则，则，当P，M重合时，，取最小值，故D正确． 第Ⅱ卷 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（原创）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【详解】由正切函数周期公式得： 13.在正三棱台中，，，，则正三棱台的高为 ． 【答案】 【详解】在正三棱台中，设上底面中心为，下底面中心为， 连接，过作交于， 因为，，则，， 又易知平面，所以平面，又易得， 所以，则， 在直角三角形中，，则， 所以正三棱台的高为. 14.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、诱导公式、正弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 即有，所以有，即，即，所以（舍）或， 即，由三角形内角和可知， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知平面向量，，且函数. (1)求平面向量的模和函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 【详解】（1）由，..................................2分 由题设，..................................7分 所以最小正周期为；..................................8分 （2）令，解得，.................12分 故函数的单调递增区间为..................................13分 16.（15分）记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【详解】（1）由题意得，..................................1分 所以，................................3分 即，................................4分 即，又，................................6分 所以，又，所以...............................7分 （2）因为，且，所以，................................9分 因为，所以，................................10分 ，解得，所以，................................12分 由余弦定理得，，................................14分 所以的周长为.................................15分 17.（15分）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，................................3分 又因为平面，平面，所以，................................4分 又因为平面， 所以平面.................................6分 （2）因为平面，平面， 所以平面平面.................................8分 （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以，................................10分 又，平面，所以平面，................................11分 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以，................................13分 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为.................................15分 18.（17分）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1（频率和为 1），组距为 10， 所以 ，................................2分 所以，解得，................................3分 因为：频率 ，人数 ，...............................4分 ：频率 ，人数 ，................................5分 ：频率 ，人数 ，................................6分 ：频率 ，人数 ，................................7分 四组总人数：，...............................8分 抽样比为：因此 应抽取人数： 人；................................10分 （2）因为与的频率之比为，................................11分 又因为落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2， 所以这两组学生成绩的平均数是，................................14分 这两组学生成绩的方差是................................17分 19.（探究题）（17分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【详解】（1）取线段的中点，连接..........................1分 因为分别为线段的中点， 所以，且..........................2分 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形..........................3分 所以，又平面，平面 所以平面..........................4分 （2）当为线段中点时，平面..........................5分 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面 所以平面；..........................6分 因为，且， 所以四边形为平行四边形..........................7分 所以，又平面，平面， 所以平面；..........................8分 又面， 则面面，又面，所以面， 所以当为线段中点时，平面；..........................9分 （3）取线段的中点，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形..........................10分 所以，又分别为线段的中点，所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面..........................11分 则，，， 在中，，..........................12分 所以..........................14分 则..........................15分 所以截面周长为...........................17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省云浮市下学期期末模拟试卷 高一数学考点细目表 各题考查的知识点及分值 题号 知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 复数的运算（虚数单位i的幂次周期性、复数虚部的定义） 单选题 5 0.9 基础题 2 扇形的基础知识（弧长公式、扇形面积公式） 单选题 5 0.9 基础题 3 三角函数图像的平移与伸缩变换 单选题 5 0.9 基础题 4 分层抽样 单选题 5 0.8 基础题 5 平面向量的基础知识（向量的线性运算、基底表示） 单选题 5 0.8 基础题 6 正弦定理、三角形内角和、正弦和角公式 单选题 5 0.7 中档题 7 简单几何体（正六棱柱）及外接球的表面积 单选题 5 0.7 中档题 8 立体几何综合（线面垂直性质定理、面面垂直性质定理、二面角、点到平面的距离） 单选题 5 0.4 较难题 9 三角函数图象与性质（辅助角公式、余弦函数的对称性、周期性、方程根的分布） 多选题 6 0.7 基础题 10 统计（频率分布直方图、众数、分位数、分层抽样） 多选题 6 0.6 中档题 11 平面向量综合（重心性质、投影向量、向量模、向量数量积最值） 多选题 6 0.3 难题 12 正切函数的最小正周期 填空题 5 0.8 基础题 13 正三棱台的高（棱台的几何性质） 填空题 5 0.6 中档题 14 解三角形综合（二倍角公式、辅助角公式、正弦定理、基本不等式求最值） 填空题 5 0.2 难题 15 向量数量积及三角恒等变换，三角函数的单调性 解答题 13 0.65 中档题 16 正弦定理、余弦定理和三角形面积 解答题 15 0.6 中档题 17 立体几何综合（线面垂直判定定理、面面垂直判定定理、线面角的计算） 解答题 15 0.58 中档题 18 统计综合（分层抽样、平均数和方差的计算） 解答题 17 0.42 较难题 19 立体几何综合（线面平行的证明、存在性问题、截面作图与周长计算） 解答题 17 0.3 难题 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省云浮市下学期期末模拟试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版2019必修1第5章至必修1第9章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（原创）已知复数，则复数的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 2. (改编) 已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3.（原创）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 4.某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．160 5.如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 6.在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 7.（新情境题）宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上下层正棱柱的底面周长均为，高为，中间一层的正棱柱高为．设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（　　） A． B． C． D． 8.在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，（，，）的部分图象如图所示，下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C．的图象关于点对称 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的范围是 10.某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 11.G是△ABC的重心，AB＝2，AC＝4，∠CAB＝120°，P是△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（　　） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 第Ⅱ卷 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（原创）函数的最小正周期为 ． 13.在正三棱台中，，，，则正三棱台的高为 ． 14.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知平面向量，，且函数. (1)求平面向量的模和函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 16.（15分）记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 17.（15分）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 18.（17分）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 19.（探究题）（17分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E 及棱中点的截面，并求出截面周长. / 学科网（北京）股份有限公司 $