精品解析：广东省云浮市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题

云浮市2024-2025学年第二学期高中教学质量检测 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 2. （ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 设内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 直线，互相平行一个充分条件是 A. ，都平行于同一个平面 B. ，与同一个平面所成角相等 C. 平行于所在的平面 D. ，都垂直于同一个平面 7. 如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（ ） A. B. C. ， D. 8. 掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件不相互独立 D. 事件与事件互斥 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中4名同学化学成绩的原始分（记为组）与赋分（记为组）数据如下. 学号 1 2 3 4 原始分组 94 85 76 53 赋分组 100 95 87 70 下列结论正确的是（ ） A. 组数据的极差小于组数据的极差 B. 组数据的平均数小于组数据的平均数 C. 组数据方差小于组数据的方差 D. 组数据的中位数小于组数据的分位数 11. 已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 正四面体外接球的表面积为 B. 正四面体内切球的体积为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 在一次招聘面试中，小明要依次回答甲､乙､丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为__________. 14. 的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，，设. （1）用表示； （2）证明：三点共线. 16. 2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 17. 设的内角的对边分别为，且. （1）求角大小； （2）若为的平分线且与交于点，求面积的最小值. 18. 如图，在直三棱柱中，为AB的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在 中，角对应的边分别为，已知向量，且. （1）求. （2）著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：. ②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云浮市2024-2025学年第二学期高中教学质量检测 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算求得，可求得的虚部. 【详解】因为，所以，则的虚部为1. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 4. 设的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦定理，进行化简，即可求解. 【详解】由余弦定理，可得. 故选：B. 5. 若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得该圆锥底面半径、母线长，则可得高，再利用体积公式计算即可得. 【详解】由题意可得该圆锥底面半径为，母线长为， 则高为，则. 故选：A. 6. 直线，互相平行的一个充分条件是 A. ，都平行于同一个平面 B. ，与同一个平面所成的角相等 C. 平行于所在的平面 D. ，都垂直于同一个平面 【答案】D 【解析】 【详解】由题意下列哪个选项可以推出直线，互相平行即可，选项A中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C中与不仅可以平行还可能异面直线；故选D 7. 如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，求得则，再在中，求得，利用正弦定理求得，在中，结合余弦定理，即可求解. 【详解】在中，由， 则. 在中，可得， 由正弦定理，可得，解得， 在中， 由余弦定理， 可得，解得， 所以两个目标点间的距离为. 故选：C. 8. 掷两枚均匀骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件不相互独立 D. 事件与事件互斥 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可. 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则， 对于， 而， 显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误； 对于B，易得，故， 因为，所以， 而，则，则， 即事件与事件不相互独立，故B错误； 对于C，，而，则， 因为，所以，而 ， 所以事件A与事件不相互独立，故C正确； 对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助向量数量积的坐标形式、模长公式及投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 10. 在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中4名同学化学成绩的原始分（记为组）与赋分（记为组）数据如下. 学号 1 2 3 4 原始分组 94 85 76 53 赋分组 100 95 87 70 下列结论正确的是（ ） A. 组数据的极差小于组数据的极差 B. 组数据的平均数小于组数据的平均数 C. 组数据的方差小于组数据的方差 D. 组数据的中位数小于组数据的分位数 【答案】BD 【解析】 【分析】利用极差的定义，平均数的意义，方差的概念，以及中位数的定义和百分位数的意义计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，组数据的极差为，组数据的极差为， 所以组数据的极差41大于组数据的极差30，故A错误. 对于B，组数据的平均数为， 组数据的平均数为，故B正确. 因为组数据的方差 组数据的方差， 所以组数据的方差大于组数据的方差，故C错误. 组数据的中位数为， 因为组数据从小到大排列后的第2个数为87， 所以组数据的分位数为87，大于组中位数，故D正确. 故选：BD. 11. 已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 正四面体外接球表面积为 B. 正四面体内切球的体积为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】把正四面体放入正方体中，通过求得正方体的外接球的半径判断A；利用等体积法求得内切球的半径判断B；设正四面体的外接球球心为，利用向量的数量积运算可得，进而可求范围. 【详解】正四面体的每条棱长均为，把这个正四面体放在一个棱长为2的正方体内， 如图所示，则其外接球直径为正方体的体对角线，由正四面体的每条棱长均为， 可得正方体的棱长为，利用勾股定理可得正方体的体对角线为， 从而可得外接球的半径，外接球的表面积为，故A正确. 由题意可得， 设正四面体的内切球半径为，所以， 解得，其体积，故B正确. 设正四面体的外接球球心为，则， .因为点在正四面体的表面上运动，所以， 则的取值范围为，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故答案为：. 13. 在一次招聘面试中，小明要依次回答甲､乙､丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将小明答对甲､乙､丙三个问题分别记为事件，得到，，结合独立事件的乘法和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】将小明答对甲､乙､丙三个问题分别记为事件， 则，， 小明能够连续答对至少2个问题的概率为 故答案为： 14. 的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作，得到，在中，利用余弦定理和基本不等式，求得，即可求解. 【详解】如图所示，作，垂足分别为， 则， 在中，由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，所以，即. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，，设. （1）用表示； （2）证明：三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【小问1详解】 解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. 【小问2详解】 证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 16. 2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助频率之和为计算即可得； （2）借助平均数计算即可得； （3）借助分层抽样的性质可得这6名员工中成绩在与的人数，再借助列举法计算即可得解. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 ， 故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为； 【小问3详解】 ，， 则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、， 这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、， 则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、 、、、、、、、、、、，共种， 其中这2名员工的成绩都在内情况有： 、、、、、，共种； 故这2名员工参赛成绩都在内的概率为. 17. 设的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若为的平分线且与交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由化简得，整理化简得，即可求解； （2）因为为的平分线且与交于点，可得，则得，再结合基本不等式得，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 即，则. 又，所以， 由，得. 【小问2详解】 因为为的平分线且与交于点， 所以，整理得. 由，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为. 18. 如图，在直三棱柱中，为AB的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面 （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】连接连接交于点，连接，得到，然后根据线面垂直的判定定理可得； （2）利用，，结合面面垂直的判定定理可得； （3）建立空间直角坐标系，分别计算平面的一个法向量为，，然后根据向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接 在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以为的中点，又为AB的中点，所以，又平面， 平面，所以平面 【小问2详解】 在直三棱柱中，，为AB的中点， 所以，又平面，平面，所以， 平面，所以平面，又平面， 所以平面 【小问3详解】 以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴， 如图所示，设 又，所以， 所以， 则， 设平面的一个法向量为 则，令，所以，所以 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 19. 在 中，角对应的边分别为，已知向量，且. （1）求. （2）著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：. ②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由，结合正弦定理，求得，再由余弦定理，即可求解； （2）①设，得到，即，即可得证； ②由，结合的面积公式，得到，根据三维分式型柯西不等式，得到，再由余弦定理，得到，得到，令，得到，结合，令，得到，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量， 因为，可得， 由正弦定理得，即， 所以，由，得. 【小问2详解】 ①证明：设，由，得， 即，两边平方得； ②， 又由， 所以， 根据三维分式型柯西不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由余弦定理，得， 所以，即， 则， 令，则. 由，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，则，令， 令，其图象的对称轴方程为，则在上单调递减， 当，即，即时，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$