2025-2026学年高一下学期自编数学期末模拟卷（人教A版，广东适用，卷二）

**基本信息** 广东省高一下期末数学模拟卷，以复数、统计、概率、立体几何等核心知识为载体，通过测量球体高度、数学建模社团招聘等真实情境，梯度设计选择、填空、解答题，考查数学抽象、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数几何意义、四分位数、平面确定|单选夯实基础，多选结合正方体动点问题考查空间想象| |填空题|3/15|向量数量积、互斥对立事件、费马点|融入数学文化，考查知识迁移能力| |解答题|5/77|复数运算、余弦定理证明与应用、统计案例、概率建模、立体几何翻折|分层设计，如立体几何翻折题三问递进，考查逻辑推理与空间观念|

广东省2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（二） 数　学（解析卷） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 答案速查表 1 2 3 4 5 A D C A B 6 7 8 9 10 D D B ABD ACD 11 12 13 14 15 ACD （1） （2） 16 17 18 19 （1）证明见解析 （2） （1） （2）中位数，平均数 （3） （1） （2） （3）小明更有机会进入面试环节 （1）证明见解析 （2） （3） 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】由 可得：， 所以复数 在复平面内对应的点为 ，该点位于第一象限. 【点拨】本题考查复数的除法运算与几何意义，分子分母同乘分母的共轭复数是化简的关键. 2. 有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ 　　） A. 11 B. 13 C. 22 D. 33 【答案】D 【解析】将该组数据从小到大排列为：2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据. 因为 ，不是整数， 所以这组数据的上四分位数（即第75百分位数）是从小到大排列的第7个数据，即33. 【点拨】本题考查百分位数的计算，注意先将数据从小到大排序，再根据 是否为整数决定取值方式. 3. 设，，且A，B相互独立，则（ 　　） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】因为事件A，B相互独立，所以 ， 又因为 ，，所以 ，解得 ， 所以 . 【点拨】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及和事件的概率公式，熟记公式 是解题关键. 4. 已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】对于A，，所以 ，故A正确； 对于B，设 ，则 ，即 ，无解，故B错误； 对于C，设 ，则 ，即 ，无解，故C错误； 对于D，设 ，则 ，即 ，无解，故D错误. 【点拨】本题考查平面向量共线基本定理，利用待定系数法建立方程组判断即可. 5. 某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=a米，如图，则该球体建筑物的高度为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设球心为O，半径为R，则球体建筑物的高度为2R. 由题意可知，最大仰角即为视线与球相切时的仰角. 在B处最大仰角为60°，则 ，在Rt中，. 在C处最大仰角为20°，则 ，在Rt中，. 因为 ，所以 . 所以 . 【点拨】本题考查解三角形在实际测量中的应用，将最大仰角转化为直角三角形中的线段关系，并结合三角恒等变换是解题关键. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B=（ 　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】由正弦定理 可得： . 因为 ，所以 ， 所以 或 . 【点拨】本题考查正弦定理的应用，注意根据已知角和边长关系判断未知角的取值范围，避免漏解. 7. 下列条件一定能确定一个平面的是（ 　　） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相交的直线 【答案】D 【解析】对于A，若三个点在同一直线上，则不能确定唯一平面，故A错误； 对于B，若点在直线上，则不能确定唯一平面，故B错误； 对于C，若两条互相垂直的直线是异面直线，则不能确定唯一平面，故C错误； 对于D，由平面的基本性质推论可知，两条相交直线能确定唯一的一个平面，故D正确. 【点拨】本题考查平面的基本性质及其推论，熟记确定平面的三个推论（相交直线、平行直线、直线及直线外一点）是解题关键. 8. 在平面四边形ABCD中，，，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为在平面四边形ABCD中，，， 所以 是边长为2的等边三角形. 以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则 ，，. 设 ，因为P为边BC上的动点，所以 . 则 ，. 所以 . 因为 ，所以当 时， 取得最小值 . 【点拨】本题考查平面向量数量积的最值问题，利用建系法将向量数量积转化为二次函数求最值是常用且高效的方法. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ 　　） A. 复数的实部为3 B. 复数的共轭复数为 C. D. 为实数 【答案】ABD 【解析】对于A，复数 的实部为3，故A正确； 对于B，复数 的共轭复数为 ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，为实数，故D正确. 【点拨】本题考查复数的基本概念与四则运算，熟练掌握共轭复数的定义及复数除法的分母实数化是解题关键. 10. 某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ 　　） A. 该校高一学生总人数为800 B. 该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C. 该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D. 按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【答案】ACD 【解析】对于A，由扇形图可知选科是政史地组合的学生所占比例为25%，由条形图可知选科是政史地组合的学生人数为200，故该校高一学生总人数为 ，故A正确； 对于B，由条形图可知选科是生史地组合的学生人数为160，其所占比例为 . 依题意，选择物化地和物化政组合的人数相等，因此选科是物化政组合的学生所占比例为 ，所以物化政组合的学生人数为 ，故B错误； 对于C，该校高一学生中选择物理的学生所占比例为 ，选择历史的学生所占比例为 ，因为 ，所以选择物理的人数比选择历史的人数多，故C正确； 对于D，选科是生史地组合的学生所占比例为20%，按分层抽样抽取40人，生史地组合应抽取 人，故D正确. 【点拨】本题考查统计图表的识读与分层抽样，理清扇形图中的比例关系与条形图中的具体人数的对应是解题关键. 11. 正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ 　　） A. 当P为正方形ABCD的中心时，三棱锥外接球的表面积为 B. 当P在线段BD上时，的最小值为4 C. 满足直线与上底面所成角为60°的点P的轨迹长度为 D. 当P为CD中点时，过A，P，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段BQ长度的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A，当P为正方形ABCD的中心时， 平面 ，且 平面ABCD，所以 平面 . 在三棱锥 中，，， ，. 设 外接圆半径为r，由正弦定理得 ，即 . 过 的外心作平面 的垂线与 的垂直平分线交于点O，则外接球半径 . 所以三棱锥 外接球的表面积 ，故A正确； 对于B，当P在线段BD上时，将平面ABD与平面 沿BD展开到同一平面内，当A，P， 三点共线时， 取得最小值，最小值为展开图中的线段 的长. ，故B错误； 对于C，过P作 平面 交 于M，则 就是直线 与上底面所成角. ，则 . 所以点P的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆弧上，圆心角为 ，所以轨迹长度为 ，故C正确； 对于D，当P为CD中点时，设 中点为N，易得四边形 为平行四边形，即截面为四边形 . 设点B到平面APN的距离为h，在 中，，，. 由 得 ，即 ，解得 ，即线段BQ的最小值为 . 当Q在 处时，线段BQ取得最大值 . 所以线段BQ长度的取值范围为 ，故D正确. 【点拨】本题考查正方体中的外接球、动点轨迹及截面问题，综合性强，难度大. 求解外接球半径时，利用截面圆半径与球心距构造直角三角形是通法. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意，，， 则 . 【点拨】本题考查平面向量的坐标线性运算，直接代入坐标计算即可. 13. 已知随机事件A，B，C，A和B互斥，B和C对立，且，，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】0.6 【解析】因为随机事件A和B互斥，所以 ， 又 ，，则 . 因为B和C对立，所以 . 【点拨】本题考查互斥事件的概率加法公式与对立事件的概率性质. 14. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求的点称为费马点.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.若点P为的费马点，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由 ，化简得 . 由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，即 . 因为 ，所以 . 由 得 ， 由余弦定理 得 ，即 ，解得 . 因为点P为 的费马点，所以 . . 又 . 而 . 所以 ，解得 . 所以 . 【点拨】本题以数学文化“费马点”为背景，考查解三角形与平面向量数量积的综合应用，利用面积分割法建立等量关系是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）设是实数，复数，（是虚数单位）. （1）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】解：（1） 由 ………………………… 2 分 因为复数 在复平面内对应的点 在第一象限， 所以 ………………………………………………………………………… 4 分 解得 ， 即 的取值范围是 ……………………………………………………………… 6 分 （2） 由 得 …………………………………………………………… 8 分 则 ………………………… 10 分 所以 ………………………………… 12 分 因为 为实数，所以 ，当 时， 取得最小值20， 因此 的最小值为 ………………………………………………… 13 分 【点拨】本题考查复数的四则运算、几何意义及复数模的最值问题，将模的最值转化为二次函数的最值是常用方法. 16. （15分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，有余弦定理：，，. （1）在上面三个等式中，任选一个等式进行证明； （2）若，，，求的面积. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】解：（1） 证明：在 中，设 ，，， 根据平面向量的减法运算法则可得 ………………………………………… 2 分 两边平方得： ………………………………………… 4 分 即 …………………………………………………… 6 分 所以 …………………………………………………………… 7 分 (同理可证另外两个等式，任选其一证明即可) （2） 由 及正弦定理 得： ，即 ……………………………………………… 9 分 因为 ，所以 ……………………………………………………… 10 分 由余弦定理得 ………… 12 分 联立方程组整理得：， 解得 或 （舍去） …………………………………………………………… 14 分 所以 ……………………………… 15 分 【点拨】本题考查余弦定理的向量法证明及正余弦定理的综合应用，熟练进行边角互化是解题关键. 17. （15分）某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图5所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”. （1）求的值； （2）估计样本的中位数与平均数； （3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 中位数，平均数 （3） 【解析】解：（1） 由频率分布直方图的性质可知，各组频率之和为1， 且组距为5，各组的矩形高度分别为 ， 所以 …………………………………………………… 2 分 即 ，解得 …………………………………………………………… 3 分 （2） 设样本的中位数为 ， 因为前两组的频率之和为 ， 前三组的频率之和为 ， 所以中位数 ………………………………………………………………… 5 分 则 ，解得 ， 所以样本中位数的估计值为 （或） ………………………………………… 7 分 平均数估计为：. …… 9 分 （3） 依题意，“良好”的频率为 ，“优秀”的频率为 ， 所以“良好”的人数为 人，“优秀”的人数为 人， 成绩优秀与良好的人数比为 ……………………………………………… 11 分 所以采用分层抽样的方法抽取的5人中，有优秀3人，良好2人 …………………… 12 分 将优秀的3名学生记为A，B，C，成绩良好的2名学生记为a，b， 从这5人中任选2人的所有基本事件包括： AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个基本事件 ………………… 13 分 记“恰有一人是优秀”为事件M，则事件M包含的基本事件有： Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共6个 …………………………………………………… 14 分 所以 …………………………………………………………………… 15 分 【点拨】本题考查频率分布直方图的识读、中位数与平均数的计算以及古典概型，注意直方图中纵坐标为“频率/组距”. 18. （17分）某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对A，B类每个问题的答对的概率均为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）求小红两轮总分得60分的概率； （3）试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 【答案】（1） （2） （3） 小明更有机会进入面试环节 【解析】解：（1） 对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e， 设小明只能答对的4个问题的编号为：a，b，c，d， 第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，样本空间包含的基本事件有： {a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，{b,c}，{b,d}，{b,e}，{c,d}，{c,e}，{d,e}，共10种 …… 2 分 小明在第一轮得40分，即选出的两题都在他能答对的4题中，包含的基本事件有： {a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}，共6种 …………………………………… 4 分 则小明在第一轮得40分的概率为： …………………………………… 5 分 （2） 设“小红两轮总分得60分”为事件A， 因为小红第一轮得分为40分或0分，第二轮得分为60分、30分或0分， 所以小红两轮总分得60分只能是“第一轮得0分且第二轮得60分” …………………… 7 分 小红第一轮答对两题的概率为 ，则第一轮得0分的概率为 ， 小红第二轮答对两题的概率为 ………………………………………… 9 分 所以 ……………………………………………… 11 分 （3） 依题意，两人能够晋级面试，即两轮总积分不低于60分， 包含三种情况：第一轮40分且第二轮30分；第一轮40分且第二轮60分；第一轮0分且第二轮60分. 小红晋级面试的概率为： …… 14 分 由（1）知，小明第一轮得40分的概率为0.6，得0分的概率为0.4， 小明第二轮答对1题的概率为 ，答对2题的概率为 ， 小明晋级面试的概率为： …… 16 分 因为 ，所以小明更有机会进入面试环节 ……………………………… 17 分 【点拨】本题考查古典概型与相互独立事件概率的综合应用，理清得分规则并分类讨论是解题关键. 19. （17分）如图，在梯形ABCD中，，，.把沿BD翻折，使得二面角的大小为，M，N分别是BD和BC中点. （1）求证：平面平面AMN； （2）若，求点M到平面AND的距离； （3）若二面角的余弦值为，求. 【答案】（1） 证明见解析 （2） （3） 【解析】解：（1） 证明：图1中，因为 ，，， 易知四边形ABND为正方形，所以 . ………………………………………… 2 分 把 沿BD翻折，如图2：则 ， …………………… 4 分 又 平面AMN，， 所以 平面AMN …………………………………………………………………… 5 分 又 平面BCD，所以平面 平面AMN ………………………………… 6 分 （2） 因为 ，，所以 即为二面角 的平面角. 所以 ……………………………………………………………… 7 分 过点A作 于H. 因为平面 平面AMN，平面 平面 ， 平面AMN， 所以 平面BCD …………………………………………………………………… 8 分 又 ，所以 . 所以 ……………………………… 10 分 在 中，，，所以 . 又 ， 所以 ……………………………………………… 11 分 设M到平面AND的距离为h， 则 解得 . 即M到平面AND的距离为 …………………………………………………… 13 分 （3） 因为 所以 …… 14 分 又因为 ……………………………………… 15 分 所以 ， 所以 ………………………………………… 17 分 【点拨】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及线面垂直的证明、等体积法求点面距离及射影面积法求二面角，综合性强，对空间想象能力要求较高. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（二） 数　学（试卷说明） 一、命题说明 1. 结构与范围 本卷采用新高考19题结构，解答题依次考查复数、解三角形、统计、概率、立体几何，全面覆盖人教A版必修第二册的核心教学内容，无超纲模块. 2. 难度梯度 选择题前4题及填空题第12题为基础送分题，解答题第19题第（3）问为探究压轴题.整体难度比例约为2:6:2，难度曲线呈波浪式上升，区分度良好. 3. 情境与创新 试卷包含5道情境题（如第3题马拉松分配、第18题招聘面试），并在第14题引入“费马点”数学文化，考查学生在陌生情境下的建模与知识迁移能力. 4. 素养导向 第11题正方体截面与轨迹探究、第19题立体几何翻折，深度考查直观想象与逻辑推理素养；第17题分层抽样则强化了数据分析与数学运算能力. 5. 易错点预警 第6题正弦定理求角易漏解，第16题边角互化易方向不明，第18题概率决策需理清得分规则.这些题目能有效诊断学生思维的严密性，提供教学反馈. 二、双向细目表 题号 题型 分值 知识模块 具体考点 难度系数 备注 1 单选 5 复数 复数除法化简与象限判定 0.90 基础送分 2 单选 5 统计 百分位数的计算与理解 0.85 基础送分 3 单选 5 概率 古典概型的基本计算 0.80 基础送分 4 单选 5 平面向量 向量共线的坐标运算求参数 0.85 基础送分 5 单选 5 立体几何 实际情境中的球与圆锥切接问题 0.65 情境建模 6 单选 5 解三角形 正弦定理求角 0.70 中档过渡 7 单选 5 立体几何 平面的基本性质与截面 0.65 中档过渡 8 单选 5 平面向量 平面四边形背景下的数量积最值 0.35 小题压轴 9 多选 6 复数 复数概念、模、共轭综合判定 0.65 多选基础 10 多选 6 统计 统计图表分析与分层抽样综合 0.60 情境建模 11 多选 6 立体几何 正方体外接球、轨迹与截面综合 0.30 多选压轴 12 填空 5 平面向量 向量共线与坐标运算 0.85 基础送分 13 填空 5 概率 互斥与对立事件概率计算 0.70 中档过渡 14 填空 5 解三角形 费马点背景下的几何最值 0.25 创新题 15 解答 13 复数 （1）复数方程求参数(B)；（2）复数模的最小值(B) 0.65 解答基础 16 解答 15 解三角形 （1）正弦定理边角互化证明(B)；（2）结合余弦定理求面积(B) 0.60 解答中档 17 解答 15 统计 （1）频率分布直方图求参数(B)；（2）分层抽样求均值与方差(B)；（3）分层抽样与古典概型(B) 0.65 情境建模 18 解答 17 概率 （1）古典概型列举计算(B)；（2）独立事件综合概率(B)；（3）概率比较与决策(C) 0.55 情境建模 19 解答 17 立体几何 （1）翻折问题线面垂直证明(B)；（2）点面距离计算(B)；（3）二面角逆求平面角(C) 0.35 探究压轴 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（二） 数　学 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ 　　） A. 11 B. 13 C. 22 D. 33 3. 设，，且A，B相互独立，则（ 　　） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 4. 已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=a米，如图，则该球体建筑物的高度为（ 　　） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B=（ 　　） A. B. 或 C. D. 或 7. 下列条件一定能确定一个平面的是（ 　　） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相交的直线 8. 在平面四边形ABCD中，，，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ 　　） A. 复数的实部为3 B. 复数的共轭复数为 C. D. 为实数 10. 某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ 　　） A. 该校高一学生总人数为800 B. 该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C. 该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D. 按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 11. 正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ 　　） A. 当P为正方形ABCD的中心时，三棱锥外接球的表面积为 B. 当P在线段BD上时，的最小值为4 C. 满足直线与上底面所成角为60°的点P的轨迹长度为 D. 当P为CD中点时，过A，P，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段BQ长度的取值范围为 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则 ＿＿＿＿＿＿. 13. 已知随机事件A，B，C，A和B互斥，B和C对立，且，，则 ＿＿＿＿＿＿. 14. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求的点称为费马点.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.若点P为的费马点，则 ＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）设是实数，复数，（是虚数单位）. （1）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）求的最小值. 16. （15分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，有余弦定理：，，. （1）在上面三个等式中，任选一个等式进行证明； （2）若，，，求的面积. 17. （15分）某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图5所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”. （1）求的值； （2）估计样本的中位数与平均数； （3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？ 18. （17分）某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对A，B类每个问题的答对的概率均为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）求小红两轮总分得60分的概率； （3）试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 19. （17分）如图，在梯形ABCD中，，，.把沿BD翻折，使得二面角的大小为，M，N分别是BD和BC中点. （1）求证：平面平面AMN； （2）若，求点M到平面AND的距离； （3）若二面角的余弦值为，求. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $