1.1.1 集合及其表示方法讲义-2026年暑假新高一预习数学人教B版必修第一册

1.1.1 集合及其表示方法 知识点1　元素与集合的概念 1.集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合.通常用英文大写字母A，B，C，…表示. 2.元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示. 3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 知识点二　元素与集合的关系 1.属于：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”. 2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”. 知识点三　集合元素的特点 1.确定性：集合的元素必须是确定的. 2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的. 3.无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关. 知识点四　集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. 【注意】集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 知识点五　集合的分类 1.有限集：含有有限个元素的集合. 2.无限集：含有无限个元素的集合. 知识点六　几种常见的数集 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋或N* Z Q R 知识点七　列举法 列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法. 知识点八　描述法 1.特征性质：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质. 2.描述法：用特征性质p(x)表示为{x|p(x)}的形式.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法. 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 知识点九　区间及其表示 1.设a，b是两个实数，且a<b，则有下表： 集合 简写 名称 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a，b] 闭区间 {x|a<x<b} (a，b) 开区间 {x|a≤x<b} [a，b) 半开半闭区间 {x|a<x≤b} (a，b] 半开半闭区间 2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”.如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 考点一　判断元素能否构成集合 考点二　判断元素与集合的关系 考点三　根据元素与集合的关系求参数 考点四　列举法表示集合 考点五　描述法表示集合 考点六　区间的定义与表示 考点七　判断是否为同一集合 考点八　集合元素互异性的应用 考点九　集合中元素的个数的问题 考点一　判断元素能否构成集合 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 考点二　判断元素与集合的关系 5．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 6．（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数集字母表示可得答案. 【详解】表示正整数集，表示有理数集，表示非负整数集，表示整数集. 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为2是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 7．（25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的意义逐一判断即可. 【详解】依题意，，①正确；，②错误；，③错误；，④错误， 因此正确命题的个数是1. 故选：A 8．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①：是实数，是实数集，所以，①正确； 对于②：是整数，是整数集，所以，②正确； 对于③：是负整数，是正整数集，所以，③正确； 对于④：是无理数，是有理数集，所以，④错误. 故选：C. 9．（25-26高一上·广东清远·阶段检测）（多选）下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据，，及的范围，对各选项进行判定即可． 【详解】表示实数集，故，故A正确； 表示有理数集，，故B错误； 表示正整数集，，故C错误； 表示整数集，，故D正确． 故选：BC 10．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据元素与集合之间的关系即可做出判断. 【详解】对于A，是有理数，故A正确； 对于B，不是正整数，故B错误； 对于C，不是自然数，故C正确； 对于D，=2是整数，故D错误. 故选：AC. 考点三　根据元素与集合的关系求参数 11．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】，则或， 当，则集合为，满足集合的互异性， 当，则集合为，不满足集合的互异性，故舍去， 故. 故选：A 12．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 13．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知集合，则______ 【答案】 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，即可求解. 【详解】由集合， 得，则， 故答案为： 14．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 15．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【答案】1 【分析】根据进行一一验证可得. 【详解】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 考点四　列举法表示集合 17．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 18．（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【分析】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 19．（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据描述及方程确定集合元素，列举法写出集合即可. 【详解】（1）因为方程的实数根为，集合表示为. （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为； （3）由，得，方程组的解集可表示为. 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【分析】（1）确定出集合中的元素，然后写出集合；（2）确定出集合中的元素，然后写出集合；（3）解方程组得定出集合中的元素，然后写出集合；（4）易知国旗颜色，用列举法表示即可. 【详解】（1）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示； （3）由得，方程组的解集可累表示为. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}， 考点五　描述法表示集合 21．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 22．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 23．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 考点六　区间的定义与表示 24．（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 25．（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 26．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 27．（25-26高一上·全国·课后作业）将数集用区间表示为________． 【答案】 【分析】由区间的定义可得. 【详解】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为： 28．（25-26高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. 考点七　判断是否为同一集合 29．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 30．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 31．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 【答案】ABD 【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，讨论的符号并列出以下表格： 由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A正确. 对于B，选项:由，， 所以解不等式组得，其整数解所组成的集合为，故B正确. 对于C，若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格： 0 1 2 3 4 5 8 由表可知集合可以化简为，故C不正确. 对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格： 1 2 3 6 2 1 0 因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D正确. 故选：ABD. 32．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知集合，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用列举法表示集合，依次判断各项的正误. 【详解】由，则、、. 故选：ACD 33．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 34．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 考点八　集合元素互异性的应用 35．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（多选）下列集合的表示错误的是（   ） A． B．全体实数 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据集合的性质及表示方法判断各项的正误. 【详解】A：因为集合中的元素不满足互异性，错； B：因为花括号本身就有“全体”的意思，错； C：是应用列举法表示集合，对； D：不等式的解集为，错. 故选：ABD 36．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【答案】C 【分析】由集合中元素的互异性即可得解. 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 37．（25-26高一上·四川成都·期中）已知集合，，则______． 【答案】1 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，再结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意； 当时，显然，解得， 则集合，符合题意，故. 故答案为：1 38．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知集合，若，则________． 【答案】3 【分析】根据元素与集合的关系列出方程组，求解并验证即得参数值. 【详解】由可得或，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足，符合题意. 故答案为：3. 39．（25-26高一上·云南昆明·期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可求解. 【详解】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素． 故选：A 40．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案. 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 考点九　集合中元素的个数的问题 41．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 42．（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用集合的描述法计算即可. 【详解】由题意可知只有，符合题意.即. 故选：A 43．（25-26高一上·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，按和分类讨论求解即得. 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，集合只有一个元素，则； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 得，解得， 因此或， 所以实数的所有可能值的乘积为3. 故选：C 44．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论求解即得． 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 45．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为6或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 46．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为________． 【答案】3 【分析】针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论即可. 【详解】当都为正数时，， 当中有两个正数时，不妨设，则 ， 当中有一个正数时，不妨设，则 ， 当都为负数时，， 所以， 所以M中元素个数为3． 故答案为：3 1．（25-26高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【答案】A 【分析】由集合元素的确定性即可判断. 【详解】对于A：符合集合元素的确定性，正确； 对于BCD，都不符合集合元素的确定性，错误， 故选：A 2．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常用数集、元素与集合间的关系逐项判断即可. 【详解】由于表示有理数集，表示实数集，表示自然数集，表示整数集， 所以，，，. 故选：D 4．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得出答案. 【详解】根据集合的互异性，， 所以集合中的元素个数为. 故选：B. 5．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 6．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）若集合，则实数的值可能为（    ） A． B．3 C．0 D．5 【答案】CD 【分析】利用元素的互异性得到不等关系求参数的可能值，即可得. 【详解】集合中的元素必须满足互异性，所以集合中的三个元素互不相等， 即，解得， 所以且，故0，5满足题意. 故选：CD 8．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．方程组的解集可表示为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．集合中含有3个元素 【答案】BC 【分析】求出解集判断AB；利用绝对值及方根的意义判断C；求出集合A判断D. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值均为非负数，得方程的解为，解集为，A错误； 对于B，由，解得，因此给定集合表示为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 当时，，因此所组成的集合最多含2个元素，C正确； 对于D，由，得可取，即可取， 因此集合含有4个元素，D错误. 故选：BC 9．（25-26高一上·云南·阶段检测）（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】BC 【分析】讨论或两种情况，解等式即可求解. 【详解】由题意得，或．若，则，解得或． 当时，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则，解得或．当时，，当时，舍去． 综上，x可能为，． 故选：BC 10．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【分析】分别讨论和的情况，结合判别式可构造方程求得结果. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为___________ 【答案】4 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个. 故答案为：4 13．（2026·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 14．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）不等式的解集用区间表示为__________. 【答案】 【分析】解出一元一次不等式得解即可. 【详解】由可得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 15．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． 16．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【答案】0 【分析】根据集合中元素互异的性质，可求出参数的值 【详解】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 集合及其表示方法 知识点1　元素与集合的概念 1.集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合.通常用英文大写字母A，B，C，…表示. 2.元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示. 3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 知识点二　元素与集合的关系 1.属于：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”. 2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”. 知识点三　集合元素的特点 1.确定性：集合的元素必须是确定的. 2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的. 3.无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关. 知识点四　集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. 【注意】集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 知识点五　集合的分类 1.有限集：含有有限个元素的集合. 2.无限集：含有无限个元素的集合. 知识点六　几种常见的数集 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋或N* Z Q R 知识点七　列举法 列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法. 知识点八　描述法 1.特征性质：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质. 2.描述法：用特征性质p(x)表示为{x|p(x)}的形式.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法. 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 知识点九　区间及其表示 1.设a，b是两个实数，且a<b，则有下表： 集合 简写 名称 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a，b] 闭区间 {x|a<x<b} (a，b) 开区间 {x|a≤x<b} [a，b) 半开半闭区间 {x|a<x≤b} (a，b] 半开半闭区间 2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”.如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 考点一　判断元素能否构成集合 考点二　判断元素与集合的关系 考点三　根据元素与集合的关系求参数 考点四　列举法表示集合 考点五　描述法表示集合 考点六　区间的定义与表示 考点七　判断是否为同一集合 考点八　集合元素互异性的应用 考点九　集合中元素的个数的问题 考点一　判断元素能否构成集合 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 考点二　判断元素与集合的关系 5．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高一上·广东清远·阶段检测）（多选）下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 考点三　根据元素与集合的关系求参数 11．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（    ） A． B． C． D．或 12．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 13．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知集合，则______ 14．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 15．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 16．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 考点四　列举法表示集合 17．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 18．（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 19．（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 考点五　描述法表示集合 21．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 22．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 23．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 考点六　区间的定义与表示 24．（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 25．（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 27．（25-26高一上·全国·课后作业）将数集用区间表示为________． 28．（25-26高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； 考点七　判断是否为同一集合 29．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 31．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 32．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知集合，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 考点八　集合元素互异性的应用 35．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（多选）下列集合的表示错误的是（   ） A． B．全体实数 C． D．不等式的解集为 36．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 37．（25-26高一上·四川成都·期中）已知集合，，则______． 38．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知集合，若，则________． 39．（25-26高一上·云南昆明·期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 40．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 考点九　集合中元素的个数的问题 41．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 42．（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（25-26高一上·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 44．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 45．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为________． 1．（25-26高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 2．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 3．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 6．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）若集合，则实数的值可能为（    ） A． B．3 C．0 D．5 8．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．方程组的解集可表示为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．集合中含有3个元素 9．（25-26高一上·云南·阶段检测）（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 10．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为___________ 13．（2026·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 14．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）不等式的解集用区间表示为__________. 15．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 16．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $