第02讲 集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第02讲 集合的基本关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：判断两个集合的包含关系 题型 2：求子集（真子集）及其个数 题型 3：空集的性质及其应用 题型 4：根据集合相等关系进行计算 题型 5：根据两个集合相等求参数 题型 6：根据集合的包含关系求参数 题型 7：根据子集（真子集）的个数求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 子集 真子集 集合相等 空集 Venn 图 1. 理解子集、真子集的定义，掌握子集、真子集的符号表示方法，能正确判断两个集合的包含关系。 2. 掌握集合相等的判定条件，能根据定义或元素特征判断两个集合是否相等。 3. 理解空集的概念与性质，明确空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集，掌握空集的特殊性。 4. 会用Venn图直观表示集合间的包含、相等关系，能借助图形辅助分析集合关系问题。 5. 能根据集合间的关系求解参数的取值范围，掌握分类讨论的思想在集合关系问题中的应用。 学习重点：子集、真子集的概念与符号表示，集合相等的判定方法，空集的核心性质，集合间关系的基础判断。 学习难点：根据集合间的包含关系求解参数取值范围，空集的特殊性在解题中的应用，用分类讨论思想处理含参数的集合包含问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 即时即练已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【解析】由 ，则． 知识点02 集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 即时即练已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 知识点03 真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 即时即练满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解析】满足条件的集合有， ，共7个. 知识点04 子集的个数 如果集合A中含有个元素，则有A的子集的个数有个，非空子集的个数有个，真子集的个数有个，非空真子集的个数有个． 即时即练集合，则的子集个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】， 故的子集个数是. 故选：D 题型 1：判断两个集合的包含关系 【典例1-1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 【典例1-2】已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于选项A， ，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足 且，故选项A正确； 对于选项B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 【变式1-1】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【解析】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 【变式1-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 题型 2：求子集（真子集）及其个数 【典例2-1】已知集合满足，求集合及其个数． 【解析】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． 【典例2-2】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【解析】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 【变式2-1】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【解析】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【变式2-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【解析】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可得， 故集合的所有子集为. 题型 3：空集的性质及其应用 【典例3-1】（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由是无理数，是整数，所有正整数都是实数，空集是任意集合的子集， 所以A错，B、C、D对. 故选：BCD 【典例3-2】（多选题）（2026·高一·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 【变式3-1】（多选题）（2026·高一·广东惠州·阶段检测）对于下列四个判断，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项中元素与集合的关系是属于和不属于的关系，所以，A错误； B选项中空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以或，B错误； C选项中空集是任意非空集合的真子集，C正确； D选项中是无理数，D错误. 故选：ABD 【变式3-2】（多选题）（2026·高一·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 题型 4：根据集合相等关系进行计算 【典例4-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知集合，若，则__________. 【答案】 【解析】由元素的互异性可得且，. 因为，且， 所以，或，解得或（舍）， 所以. 故答案为： 【典例4-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知集合，且，则的值为______． 【答案】0或 【解析】因为，所以，得或， 当时，，当时，，都成立， 所以的值为0或. 故答案为：0或 【变式4-1】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____. 【答案】 【解析】由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 【变式4-2】若集合，，且，则________. 【答案】4 【解析】∵，∴集合中的元素相同， 故，则. 故答案为：4 题型 5：根据两个集合相等求参数 【典例5-1】若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【解析】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 【典例5-2】（2026·高一·安徽·期中）若，则_____. 【答案】2 【解析】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 【变式5-1】（2026·高一·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则________. 【答案】 【解析】由题意，或，所以或， 当时，集合中两个元素均为1，不符合集合中元素的互异性，舍， 当时，，满足题意， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，，且，则集合________． 【答案】 【解析】由于，得或， 结合集合的元素的互异性，得， 所以集合， 故答案为： 题型 6：根据集合的包含关系求参数 【典例6-1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【解析】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 【典例6-2】（2026·高一·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 【变式6-1】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 【变式6-2】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式6-3】（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 题型 7：根据子集（真子集）的个数求参数 【典例7-1】（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【解析】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 【典例7-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知集合. (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，由，即，解得或， 所以，则的所有子集为. （2）时，由，得，此时，符合题意， 时，由，解得， 由，即，解得，此时，符合题意， 故时，；时，. （3）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根， 所以，解得且， 综上，实数的取值范围为且. 【变式7-1】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【解析】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 【变式7-2】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 1．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 2．（2026·高一·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【解析】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 3．（2026·高一·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】根据题意知，故真子集个数为， 故选：C. 4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 5．（2026·高一·云南普洱·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【解析】由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 6．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 7．（2026·高三·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 8．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 9．（多选题）（2026·高一·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 10．（多选题）（2026·高一·广东江门·阶段检测）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，是数集，为点集，这两个集合不相等，D错. 故选：BC. 11．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数______． 【答案】3或 【解析】由题意，或. 故答案为：3或. 12．（2026·高一·广东广州·期中）设，若，则=__________. 【答案】 【解析】， 根据集合相等条件可得，. . 故答案为：. 13．（2026·高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 【答案】 【解析】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 14．（2026·高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【解析】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 15．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 16．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【解析】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 17．（2026·高一·北京延庆·阶段检测）已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 【解析】（1）当时，，即，符合题意； 当时，，解得：. 综上所述，实数k的取值范围为. （2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 18．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 19．（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 20．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 21．（2026·高二·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【解析】（1）集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. （3）集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合的基本关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：判断两个集合的包含关系 题型 2：求子集（真子集）及其个数 题型 3：空集的性质及其应用 题型 4：根据集合相等关系进行计算 题型 5：根据两个集合相等求参数 题型 6：根据集合的包含关系求参数 题型 7：根据子集（真子集）的个数求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 子集 真子集 集合相等 空集 Venn 图 1. 理解子集、真子集的定义，掌握子集、真子集的符号表示方法，能正确判断两个集合的包含关系。 2. 掌握集合相等的判定条件，能根据定义或元素特征判断两个集合是否相等。 3. 理解空集的概念与性质，明确空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集，掌握空集的特殊性。 4. 会用Venn图直观表示集合间的包含、相等关系，能借助图形辅助分析集合关系问题。 5. 能根据集合间的关系求解参数的取值范围，掌握分类讨论的思想在集合关系问题中的应用。 学习重点：子集、真子集的概念与符号表示，集合相等的判定方法，空集的核心性质，集合间关系的基础判断。 学习难点：根据集合间的包含关系求解参数取值范围，空集的特殊性在解题中的应用，用分类讨论思想处理含参数的集合包含问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 即时即练已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 知识点02 集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 即时即练已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点03 真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 即时即练满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 知识点04 子集的个数 如果集合A中含有个元素，则有A的子集的个数有个，非空子集的个数有个，真子集的个数有个，非空真子集的个数有个． 即时即练集合，则的子集个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型 1：判断两个集合的包含关系 【典例1-1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【变式1-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 题型 2：求子集（真子集）及其个数 【典例2-1】已知集合满足，求集合及其个数． 【典例2-2】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【变式2-1】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【变式2-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 题型 3：空集的性质及其应用 【典例3-1】（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选题）（2026·高一·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选题）（2026·高一·广东惠州·阶段检测）对于下列四个判断，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选题）（2026·高一·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 题型 4：根据集合相等关系进行计算 【典例4-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知集合，若，则__________. 【典例4-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知集合，且，则的值为______． 【变式4-1】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____. 【变式4-2】若集合，，且，则________. 题型 5：根据两个集合相等求参数 【典例5-1】若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【典例5-2】（2026·高一·安徽·期中）若，则_____. 【变式5-1】（2026·高一·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则________. 【变式5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，，且，则集合________． 题型 6：根据集合的包含关系求参数 【典例6-1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【典例6-2】（2026·高一·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【变式6-1】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式6-2】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【变式6-3】（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型 7：根据子集（真子集）的个数求参数 【典例7-1】（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【典例7-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知集合. (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【变式7-1】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【变式7-2】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 1．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·高一·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 3．（2026·高一·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·云南普洱·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 6．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·广东江门·阶段检测）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数______． 12．（2026·高一·广东广州·期中）设，若，则=__________. 13．（2026·高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 14．（2026·高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 15．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 16．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 17．（2026·高一·北京延庆·阶段检测）已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 18．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 19．（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 20．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 21．（2026·高二·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $