预习02 集合的基本关系（4知识点+7题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习02 集合的基本关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 知识点 2 ：集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 知识点 3 ：真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 知识点 4 ：（真）子集的个数 如果集合A中含有个元素，则有A的子集的个数有个，非空子集的个数有个，真子集的个数有个，非空真子集的个数有个． 【题型1 判断两个集合的包含关系】 1．设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 5．指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【题型2 求子集（真子集）及其个数】 6．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 8．下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，则的非空子集的个数是 . 10．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【题型3 空集的性质及其应用】 11．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 12．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 14．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【题型4 维恩图的应用】 15．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   16．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【题型5 根据两个集合相等求参数】 17．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 18．已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 19．已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 20．，若，则+= . 【题型6 根据集合的包含关系求参数】 21．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．设， ，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（多选）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 25．已知全集，，，且，求m的取值范围． 26．若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【题型7 根据子集（真子集）的个数求参数】 27．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 28．已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 29．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．若有且仅有2个子集，则实数k的值是 . 一、单选题 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 2．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 3．已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 7．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 二、多选题 8．已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 9．对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么． 三、填空题 10．已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 11．已知集合只有个子集，则实数 ． 12．设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 四、解答题 13．观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 14．设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 15．已知集合，，若，求实数的取值范围． 16．已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得⫋⫋，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习02 集合的基本关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 知识点 2 ：集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 知识点 3 ：真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 知识点 4 ：（真）子集的个数 如果集合A中含有个元素，则有A的子集的个数有个，非空子集的个数有个，真子集的个数有个，非空真子集的个数有个． 【题型1 判断两个集合的包含关系】 1．设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 3．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 4．（多选）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【详解】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 5．指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 【题型2 求子集（真子集）及其个数】 6．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 7．（多选）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 8．下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 9．已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 10．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【题型3 空集的性质及其应用】 11．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 12．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 13．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为不是中的元素，故错误; 元素与集合之间的关系是属于关系,则正确; 空集是没有元素的集合.空集是任何集合子集，则正确; 集合相等是元素一样,则错误. 故选:BC. 14．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【题型4 维恩图的应用】 15．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 16．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【答案】② 【详解】解：．由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}， ∴N⊊M， 故答案为②． 【点睛】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 【题型5 根据两个集合相等求参数】 17．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 18．已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 19．已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【答案】A 【详解】因为，且的元素个数相等， 所以，所以， 解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，，满足条件. 故选：A. 20．，若，则+= . 【答案】 【详解】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 【题型6 根据集合的包含关系求参数】 21．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 22．设， ，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 23．已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由图可知, 所以， 故选：D 24．（多选）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【详解】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 25．已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 26．若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 【题型7 根据子集（真子集）的个数求参数】 27．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 28．已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或， 故选：D 29．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得. 故选：A 30．已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素， 又由M={x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数， 故可得m=2. 故选：. 【点睛】本题考查集合子集的个数，属简单题. 31．若有且仅有2个子集，则实数k的值是 . 【答案】或或 【详解】因为集合有且只有2个子集，所以集合中有且只有1个元素， 即方程有且只有1解. 若，则原方程可化为：，有且只有1解，符合题意； 若，由或. 故答案为：或或. 一、单选题 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然，，①③正确； ，②正确 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：D 2．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【详解】因为⫋， 都满足题意，共7个. 故选：B. 3．已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 4．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 5．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， , ， 故 故选：B. 6．已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【答案】A 【详解】. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，即，符合题意. 故选：A 7．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 二、多选题 8．已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ABC 【详解】若B为空集，则方程无解，解得； 若B不为空集，则，由解得， 所以或，解得或． 综上，a的值可以为，0，． 故选：ABC. 9．对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么． 【答案】AD 【详解】对于A，，时，， 故，所以，故A正确； 对于B，因为，所以为偶数且不能被4整除， 若，则存在使得， 因为据和同奇或同偶， 若据和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，即，故B错误； 对于C，因为，，所以， , 又不一定成立，不能得到，故C错误 对于D，因为，，所以， 所以 因为，所以，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 三、填空题 10．已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 11．已知集合只有个子集，则实数 ． 【答案】 【详解】只有个子集，有且仅有一个元素； 当时，，则，不合题意； 当时，若有且仅有一个元素，则，解得：； 综上所述：. 故答案为：. 12．设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 【答案】8 【详解】依题意集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ； 共16个； 同理集合的所有非空子集中含有元素的子集都各有16个； 依题意可知，， 所以. 故答案为：8 四、解答题 13．观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 【答案】(1) ⫋ (2) ⫋ (3) 【详解】（1）集合的每个元素都是集合的元素，所以⫋ （2）集合的每个元素都是集合的元素,所以⫋ （3）集合，的元素相同，故 14．设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【答案】(1)14 (2)1和2． 【详解】（1）当时，， 故，其中含有4个元素， 故其非空真子集的个数为． （2）由题意可得， 由， 可得 解得， 故整数的所有可能取值为1和2． 15．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16．已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得⫋⫋，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【详解】（1）当时， ， ． 又因为⫋⫋，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$