专题03不等式与不等式组 期末复习讲义（26大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题03不等式与不等式组 期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握不等式相关基础定义与三条基本性质，重点区分系数正负对不等号方向的影响，为客观题核心考点。 熟练求解一元一次不等式，规范用数轴表示解集，分清虚实点用法；掌握不等式组解集判定方法，会求取指定条件的整数解。 含参不等式（组）是本章难点，常考由解集、有无解、整数解个数求参数，借助数轴分析，准确判断端点能否取等。 结合一次函数图像，利用图像位置求解对应自变量取值范围，为综合常考题型。 找准题干不等关系，规范完成分配、方案选择、利润类应用题，结合实际检验结果。 常见易错点：去分母漏乘常数项、负系数未变号、数轴标记混淆、参数端点等号判断失误、不等符号误用。 核心题型◆归纳 题型1.辨析不等式的定义 题型2.求解不等式的解集 题型3.运用不等式的性质解题 题型4.辨析一元一次不等式的定义 题型5.求一元一次不等式的解集 题型6.在数轴上表示不等式的解集 题型7.求一元一次不等式的整数解 题型8.求一元一次不等式解的最值 题型9.解|x|≥a型的不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.一元一次不等式与实际问题 题型12.一元一次不等式与几何问题 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型15.一元一次不等式组的定义 题型16.求不等式组的解集 题型17.解特殊不等式组 题型18.求一元一次不等式组的整数解 题型19.由一元一次不等式组的解集求参数 题型20.由不等式组解集的情况求参数 题型21.不等式组和方程组结合的问题 题型22.列一元一次不等式组 题型23.不等式组的经济问题 题型24.不等式组的分配问题 题型25.不等式组的方案选择问题 题型26.一元一次不等式组的其他应用 重点知识◆梳理 【知识点一、不等式的相关概念】 1.定义：一般地，用符号“＞、＜、≤、≥表示大小关系的式子，称为不等式。 注意：判断一个式子是不是不等式，关键看该式子是否含不等号。 种类 符号 实际意义 读法 举例 小于号 < 小于，不足 小于 2+5<8 大于号 > 大于，高出 大于 5+6>10 小于或等于号 ≤ 不大于，不超过 小于或等于 x≤7 大于或等于号 ≥ 不小于，至少 大于或等于 x≥6 不等号 ≠ 不等于 不等于 3+2≠6 【知识点二、不等式的基本性质】 1.(1)不等式性质的对称性 交换不等式的两边，不等号的方向改变.即：如果a>b,那么b<a; (2)不等式性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b,b<a,那么c<a. 如果c≤b,b≤a,那么c≤a; 如果c=b,b=a,那么c=a. 2.不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 a± c > b± c 3.不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 ac>bc , >(c>0) 4. 不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ac<bc, <(c<0) ★重点提醒:系数为负数时，务必改变不等号方向. 【知识点三、一元一次不等式及其解法】 1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集:一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3.不等式的解集在数轴上的表示： 4.解一元一次不等式的核心步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1； ★三大易错点： (1)去分母不能漏掉没有分母的项； (2)移项要注意变号； (3)系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 【知识点四、一元一次不等式组及其解法】 1.不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2.不等式组解集的四种情形： ★易错点：（1）不会找公共部分，解集写反或写漏；（2）多个不等式求解时，某一个解错导致整体错误；（3）端点是否取等号判断错误。 3.解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集。 4.不等式组的整数解 ★在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解。 【知识点五、一元一次不等式的应用】 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： （1）分析题意，寻找表示（不等）数量关系； （2）思考探索，列出一元一次不等式（组）； （3）求出解集，解不等式组； （4）确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题。 题型解析◆精准备考 题型1.辨析不等式的定义 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 3．根据下列关系列出不等式． (1)是非负数； (2)的相反数与1的差小于2； (3)与7的和比x的2倍小； (4)的2倍与5的和是正数； (5)，两数的平方差不小于1． 题型2.求解不等式的解集 1．下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 2．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 3．已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 题型3.运用不等式的性质解题 1．已知，则一定有，“□”中应填的符号是(    ) A． B． C． D． 2．若，则__． 3．按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 题型4.辨析一元一次不等式的定义 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为__________ 3．若关于的不等式与的解集完全相同，求的值． 题型5.求一元一次不等式的解集 1．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解是______． 3．解不等式，并写出它的所有非负整数解． 题型6.在数轴上表示不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上表示的关于x的不等式的解集是______． 3．解下列不等式： (1)； (2)； (3)解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 题型7.求一元一次不等式的整数解 1．不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的非负整数解是________． 3．求不等式的负整数解． 题型8.求一元一次不等式解的最值 1．已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______． 3．阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 题型9.解|x|≥a型的不等式 1．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 2．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 3．【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 题型10.列一元一次不等式 1．《中国居民膳食指南（2022）》建议，青少年每人每天糖的摄入量不超过25克，则青少年每天摄入糖的质量x克应满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 2．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 3．用适当的符号表示下列不等关系： (1)的一半小于5； (2)的与的2倍的和是非正数． 题型11.一元一次不等式与实际问题 1．每年的3月14日是国际数学日，某校开展了丰富多彩的数学文化活动．初二级数学竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分，得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖，设小锋答对了x题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 2．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为________________． 3．两名老师计划在假期带领名学生去旅游，他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名老师全额收费，学生都按5折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按6折收费． (1)分别求出甲、乙两家旅行社的收费（元）、（元）与学生人数（名）之间的函数关系式； (2)请帮助他们确定应该如何选择旅行社才划算？ 题型12.一元一次不等式与几何问题 1．如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 2．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 3．如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线（，为常数）经过点，则关于的不等式的解集为______． 3．已知一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出一次函数的图象； (3)点在直线上，那么m_____n（填“＞”或“＜”号）； (4)结合图象回答：当时，x的取值范围是________________． 题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是___________． 3．如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 题型15.一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 3．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为________ 题型16.求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 3．解不等式组：． 题型17.解特殊不等式组 1．一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是________ 3．【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 题型18.求一元一次不等式组的整数解 1．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（     ） A．3个 B．5个 C．4个 D．2个 2．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围是_____． 3．解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 题型19.由一元一次不等式组的解集求参数 1．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．如果不等式组的解为，则m的值为______． 3．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 题型20.由不等式组解集的情况求参数 1．关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 3．【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集______； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围______； (3)已知不等式组G：有解，且不等式组G是不等式组H：的“子集”，求a的取值范围． 题型21.不等式组和方程组结合的问题 1．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 2．关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为__________. 3．根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 题型22.列一元一次不等式组 1．小勤一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为v千米/小时，则v满足的条件是（   ） 最高限速 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速 60 A． B． C． D． 2．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是__． 3．某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 题型23.不等式组的经济问题 1．某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 3．综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 题型24.不等式组的分配问题 1．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 3．某公司有甲种原料260，乙种原料270，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产每件A种产品需甲种原料8，乙种原料5，可获利润900元；生产每件B种产品需要甲种原料4，乙种原料9，可获利润1100元． (1)按此要求安排生产A、B两种产品的件数共有哪几种方案？请你设计出来． (2)请说明第（1）题的方案中，哪种方案的利润最大？ 题型25.不等式组的方案选择问题 1．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 2．某物流公司组织辆汽车装运甲、乙、丙三种物资共吨到某地，按计划辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且都刚好装满．根据下表提供的信息，解答下列问题： 物资种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 每吨所需运费（元/吨） (1)设装运甲种物资的车辆数为，装运乙种物资的车辆数为，求与的关系式； (2)如果装运甲种物资的车辆数不少于，装运乙种物资的车辆数不少于，那么车辆的安排有几种方案？ (3)在（2）的条件下，若要求总运费最少，请写出采用的具体安排方案，并求出最少总运费． 3．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元，B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？并直接写出共有几种购买方案． 题型26.一元一次不等式组的其他应用 1．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 2．某品牌手机厂商为测试一款新型手机的耗电情况，将手机持续亮屏．已知该款手机的电池容量为，持续亮屏平均每小时耗电，则手机剩余电量与亮屏时间之间的函数解析式为______． 3．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03不等式与不等式组 期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握不等式相关基础定义与三条基本性质，重点区分系数正负对不等号方向的影响，为客观题核心考点。 熟练求解一元一次不等式，规范用数轴表示解集，分清虚实点用法；掌握不等式组解集判定方法，会求取指定条件的整数解。 含参不等式（组）是本章难点，常考由解集、有无解、整数解个数求参数，借助数轴分析，准确判断端点能否取等。 结合一次函数图像，利用图像位置求解对应自变量取值范围，为综合常考题型。 找准题干不等关系，规范完成分配、方案选择、利润类应用题，结合实际检验结果。 常见易错点：去分母漏乘常数项、负系数未变号、数轴标记混淆、参数端点等号判断失误、不等符号误用。 核心题型◆归纳 题型1.辨析不等式的定义 题型2.求解不等式的解集 题型3.运用不等式的性质解题 题型4.辨析一元一次不等式的定义 题型5.求一元一次不等式的解集 题型6.在数轴上表示不等式的解集 题型7.求一元一次不等式的整数解 题型8.求一元一次不等式解的最值 题型9.解|x|≥a型的不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.一元一次不等式与实际问题 题型12.一元一次不等式与几何问题 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型15.一元一次不等式组的定义 题型16.求不等式组的解集 题型17.解特殊不等式组 题型18.求一元一次不等式组的整数解 题型19.由一元一次不等式组的解集求参数 题型20.由不等式组解集的情况求参数 题型21.不等式组和方程组结合的问题 题型22.列一元一次不等式组 题型23.不等式组的经济问题 题型24.不等式组的分配问题 题型25.不等式组的方案选择问题 题型26.一元一次不等式组的其他应用 重点知识◆梳理 【知识点一、不等式的相关概念】 1.定义：一般地，用符号“＞、＜、≤、≥表示大小关系的式子，称为不等式。 注意：判断一个式子是不是不等式，关键看该式子是否含不等号。 种类 符号 实际意义 读法 举例 小于号 < 小于，不足 小于 2+5<8 大于号 > 大于，高出 大于 5+6>10 小于或等于号 ≤ 不大于，不超过 小于或等于 x≤7 大于或等于号 ≥ 不小于，至少 大于或等于 x≥6 不等号 ≠ 不等于 不等于 3+2≠6 【知识点二、不等式的基本性质】 1.(1)不等式性质的对称性 交换不等式的两边，不等号的方向改变.即：如果a>b,那么b<a; (2)不等式性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b,b<a,那么c<a. 如果c≤b,b≤a,那么c≤a; 如果c=b,b=a,那么c=a. 2.不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 a± c > b± c 3.不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 ac>bc , >(c>0) 4. 不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ac<bc, <(c<0) ★重点提醒:系数为负数时，务必改变不等号方向. 【知识点三、一元一次不等式及其解法】 1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集:一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3.不等式的解集在数轴上的表示: 4.解一元一次不等式的核心步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1； ★三大易错点： (1)去分母不能漏掉没有分母的项； (2)移项要注意变号； (3)系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 【知识点四、一元一次不等式组及其解法】 1.不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2.不等式组解集的四种情形： ★易错点：（1）不会找公共部分，解集写反或写漏；（2）多个不等式求解时，某一个解错导致整体错误；（3）端点是否取等号判断错误。 3.解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集。 4.不等式组的整数解 ★在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解。 【知识点五、一元一次不等式的应用】 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： （1）分析题意，寻找表示（不等）数量关系； （2）思考探索，列出一元一次不等式（组）； （3）求出解集，解不等式组； （4）确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题。 题型解析◆精准备考 题型1.辨析不等式的定义 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的定义“用不等号连接的式子是不等式”逐项判断即可． 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不是不等式，不符合题意； B．是用等号连接的等式，不是不等式； C．是用不等号连接的式子，符合不等式的定义，是不等式，符合题意； D．是用等号连接的等式，不是不等式，不符合题意． 2．用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 【答案】 【分析】先将的2倍与3的差表示为，再根据“小于0”的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：“的2倍与3的差小于0”，用不等式表示为． 3．根据下列关系列出不等式． (1)是非负数； (2)的相反数与1的差小于2； (3)与7的和比x的2倍小； (4)的2倍与5的和是正数； (5)，两数的平方差不小于1． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键． （1）根据不等量关系直接列出不等式即可． （2）根据不等量关系直接列出不等式即可． （3）根据不等量关系直接列出不等式即可． （4）根据不等量关系直接列出不等式即可． （5）根据不等量关系直接列出不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得： （3）解：由题意得： （4）解：由题意得： （5）解：由题意得： 题型2.求解不等式的解集 1．下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 2．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右，向左． 【详解】解：由图可知，该解集为：． 故答案为： 3．已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ：， ， 把代入②，得   （2）           法二：：         题型3.运用不等式的性质解题 1．已知，则一定有，“□”中应填的符号是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变的性质，逐步化简原不等式即可得到结果． 【详解】解：∵ 不等式两边同时减去 ，得 不等式两边同时除以，根据不等式性质，除以负数时不等号方向改变，得 ∴ “□”中应填． 2．若，则__． 【答案】/小于 【详解】解：∵， 根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变， ∴，即. 3．按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的 3 条基本性质判断： ①不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变； ②不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变； ③不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； （2）先利用不等式性质3，给两边同乘，不等号反向；再利用不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变，完成大小比较． 【详解】（1）解：若，两边同时加1，则； 若，两边同时乘正数3，则； 若，两边同时乘负数，则． （2）解：， 根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变， ， 两边同时减，不等号方向不变， ． 题型4.辨析一元一次不等式的定义 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次不等式需要满足：是不等式，只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不含未知数，不符合要求； B、含有两个未知数，且的最高次数为2，不符合要求； C、是不等式，只含一个未知数，且的最高次数为1，符合要求； D、是代数式，不是不等式，不符合要求． 2．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为__________ 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为１的不等式，列出关于的方程，进而求解． 【详解】解：根据题意可得，解得． 3．若关于的不等式与的解集完全相同，求的值． 【答案】 【分析】根据关于的不等式与的解集完全相同，可得的解集为，即有，进而可得，问题随之得解． 【详解】解，得：， ∵关于的不等式与的解集完全相同， ∴的解集为， ∴，且解得：， ∴根据解集完全相同，可得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了求解不等式的解的知识，理解关于的不等式与的解集完全相同，得到，进而可得，是解答本题的关键． 题型5.求一元一次不等式的解集 1．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数 ∴本题中被开方数满足 移项得 两边同时除以得． 2．不等式的解是______． 【答案】 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 3．解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【答案】 ；非负整数解有 【分析】先求解不等式，即可找到所有非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集为， 它的所有非负整数解为． 题型6.在数轴上表示不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式， 移项，得， 系数化为1，得， 解集为， 在数轴上表示时，2处应为空心圆圈，且方向向左， 观察选项可知，D选项符合题意． 2．如图，数轴上表示的关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：由数轴可得． 3．解下列不等式： (1)； (2)； (3)解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2) (3)；不等式解集在数轴上表示见详解 【分析】（1）移项，合并，系数化1，求出不等式的解集， （2）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集， （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 解得：， 解集在数轴上表示如下： 题型7.求一元一次不等式的整数解 1．不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的非负整数解为 ，，， 非负整数解的和为，选项符合题意． 2．不等式的非负整数解是________． 【答案】0，1，2，3，4，5，6，7 【分析】先按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再根据非负整数的定义找出所有符合条件的解即可． 【详解】解：， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 非负整数是大于等于0的整数，因此满足的非负整数为0，1，2，3，4，5，6，7． 3．求不等式的负整数解． 【答案】，， 【分析】按照去分母、去括号、移项及合并同类项、系数化为求解不等式即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项及合并同类项得：， 系数化为得：， 该不等式的负整数解为，． 题型8.求一元一次不等式解的最值 1．已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵解方程组， 得， ∴①x与y互为相反数，则x=-y， m+2=2m m=2，故①正确； ②， 则m+2-2m=2-m m＜，则m的最大整数值为3，故②错误． ③x=y， 则m+2=-2m m=，故③错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键． 2．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 3．阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【答案】(1)3， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值． （1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值； （2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值； （3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：3，． （2）解：， 当且仅当，即，解得， ∵， ∴时，的最小值为． （3）解： , 当时，． 当且仅当，，且， ∴，． 题型9.解|x|≥a型的不等式 1．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 2．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，不等式恒成立问题，利用转化的思想是解题的关键． 不等式变形为，令，此时不等式问题转化为函数问题，再分类讨论，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令， 当时，， ∴当恒成立时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， 综上：， 故答案为：． 3．【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）仿照题干的解法解得即可； （2）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可； （3）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可． 【详解】（1）解：令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于4， ∴的解集为或； 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于3，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于3， ∴的解集为； （2）解：， ∴， 令， ∴， 解得：或1； 画出数轴如下：    点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数到的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数到的绝对值小于4， ∴的解集为； （3）解：， ∴， ∴， 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于15，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于15， ∴的解集为或， 即的解集为或． 题型10.列一元一次不等式 1．《中国居民膳食指南（2022）》建议，青少年每人每天糖的摄入量不超过25克，则青少年每天摄入糖的质量x克应满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵“不超过”在数学中表示“小于等于”，题干要求青少年每人每天糖的摄入量不超过25克， 设摄入量为克， ∴可得不等关系． 2．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 【答案】 【分析】先确定往返的路程为，往返的时间为小时，停留48小时，根据总时间不超过168小时列不等式即可． 【详解】解：根据时间得：． 3．用适当的符号表示下列不等关系： (1)的一半小于5； (2)的与的2倍的和是非正数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出x的一半，再结合小于5即可列出不等式； （2）先表示出x的与x的2倍的和，再结合非正数为小于等于零的数即可列出不等式． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型11.一元一次不等式与实际问题 1．每年的3月14日是国际数学日，某校开展了丰富多彩的数学文化活动．初二级数学竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分，得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖，设小锋答对了x题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的实际运用，能够正确分析题目中的数量关系是解题的关键． 先根据总题数得到答错或不答的题数，再结合得分扣分规则和“得分超过85分才能获一等奖”的条件列出不等式． 【详解】解：设答对题数为，答错或不答的题数为. 答对1题得5分，答错或不答1题扣2分，则总得分可表示为， 由于小锋获得一等奖，则小锋得分超过85分， 则． 2．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为________________． 【答案】 【分析】根据前半小时工程量加上小时的工程量大于等于列不等式． 【详解】解：由题意得． 3．两名老师计划在假期带领名学生去旅游，他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名老师全额收费，学生都按5折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按6折收费． (1)分别求出甲、乙两家旅行社的收费（元）、（元）与学生人数（名）之间的函数关系式； (2)请帮助他们确定应该如何选择旅行社才划算？ 【答案】(1)，． (2)当这两名老师带领的学生数少于8人去旅游，他们应该选择乙旅行社；当这两名老师带领的学生数为8人去旅游，他们选择甲、乙两旅行社一样；当这两名老师带领的学生数多于8人去旅游，他们应该选择甲旅行社． 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）分，，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ； （2）解：若，即，解得， 若，即，解得， 若，即，解得， 所以当这两名老师带领的学生数少于8人去旅游，他们应该选择乙旅行社； 当这两名老师带领的学生数为8人去旅游，他们选择甲、乙两旅行社一样； 当这两名老师带领的学生数多于8人去旅游，他们应该选择甲旅行社． 题型12.一元一次不等式与几何问题 1．如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解． 【详解】解：由三角形内角和可得：， ∵， ∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有； 当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键． 2．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 3．如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②，见解析 (3)且 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用． （1）设，根据三角形内角和定理求出，再根据是的外角，由，即可求解； （2）①根据题意结合（1）中，分别求出当点落在上，即时，当点M落在上时，的临界值，再根据点在的内部（不包含的边），即可得出的取值范围为；②延长交于点N，由翻折可知：，利用三角形外角的性质进行推导即可； （3）设，当射线与射线交于点P时，利用三角形内角和定理结合，求出；当射线与射线交于点P时，同理求出，当直线与直线平行时，得到，再结合，即可得出结论． 【详解】（1）解：设， 在中： ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由（1）可得当点落在上，即时，， 如图，当点M落在上时， 则， ∵点在的内部（不包含的边）， ∴的取值范围为； ②，证明如下： 延长交于点N， 由翻折可知：， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，可设， 如图1，当射线与射线交于点P时， ∵， ， 且， ∴， ∴， ∴； 如图2，当射线与射线交于点P时， ， ∵ ， 且， ∴， ∴， ∴， 当直线与直线平行时，则， ∴， ∴， ∴， ∵所在直线相交于点P， ∴， 又∵点D从B运动到点C停止， ∴， ∴且． 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不等式的解集是，故不符合题意； B．不等式的解集是，故符合题意； C．不等式的解集是，故不符合题意； D．不等式的解集是，故不符合题意． 2．如图，直线（，为常数）经过点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【详解】对于函数，经过点，当，， 观察图象可知，当时，． 3．已知一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出一次函数的图象； (3)点在直线上，那么m_____n（填“＞”或“＜”号）； (4)结合图象回答：当时，x的取值范围是________________． 【答案】(1) (2)解：如图所示，直线即为所求； (3) (4) 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再连接成直线即可； （3）根据一次函数的图象与性质进行求解即可； （4）根据一次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）略 （3）解：∵， ∴一次函数的y随着x的增大而减小， ∵点在直线上，且， ∴； （4）解：由图象，可得 当时，． 题型14.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 结合图象可得：当时，． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：由图可知，当时，直线在直线的上方， 故关于x的不等式的解集是． 3．如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）将代入得的值，再利用待定系数法即可求解直线的函数解析式； （2）根据（1）可知，结合图象即可求解； （3）根据题意可以将，的坐标求出来，四边形的面积为和的面积之差，据此即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 则， 将，代入得， ， 解得， 则； （2）解：由（1）得，， 由图象可知，当时，； （3）解：将代入得，则， 将代入得，则， ∵，， ∴． 题型15.一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 2．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 3．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为________ 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 题型16.求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 由①得； 由②得； 在数轴上表示解集如图： . 2．若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数大于零，常数项小于等于零，列不等式组求解即可． 【详解】解：一次函数的图象是直线且不经过第二象限， 因此一次函数过一、三象限或一、三、四象限， 有：，解得，． 3．解不等式组：． 【答案】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 题型17.解特殊不等式组 1．一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【答案】B 【分析】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且2且k≠0，解此不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞， ∴kx+3＞x﹣3， ∴kx﹣x＞﹣6， ∴（k－1）x＞﹣6， ∴k﹣1＜0且2且k≠0， 当k﹣1＜0即k＜1时，2则k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0； 当k＝1时，，，很明显＞也成立， 故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0时，2且k≠0解答． 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是________ 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 3．【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 题型18.求一元一次不等式组的整数解 1．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（     ） A．3个 B．5个 C．4个 D．2个 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象平移规律得到平移后直线的解析式，再联立两直线解析式求出交点坐标，根据第二象限内点的横纵坐标特征列不等式组，求出m的取值范围，即可得到m可取的整数值个数. 【详解】解：直线向上平移个单位后，解析式为 联立两直线解析式得 ， 解得， ∴两直线交点坐标为， ∵交点在第二象限， ∴，解得； ∴可以取得的整数值为，共5个. 2．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为， 由不等式组的整数解只有个，可得整数解为， 则的取值范围为． 3．解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为1，2． 【分析】分别解两个不等式，求出解集，再找出整数解即可． 【详解】解：解不等式①得； 解不等式②得； 因此，不等式组的解集为， 所有整数解为1，2． 题型19.由一元一次不等式组的解集求参数 1．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 2．如果不等式组的解为，则m的值为______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再根据已知不等式组的解集，对比可得的值． 【详解】解：解不等式，可得， 解不等式，可得， 因此不等式组的解集为， 已知不等式组的解集为， ∴． 3．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤成为解题的关键． （1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程求解即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， ， ， 是原方程的增根， ，解得． （2）解： 去分母并整理得， 方程的解为非负数， ，即， ， 又或时，该分式方程无解， 且， 且， 综上所述，的取值范围为且． 题型20.由不等式组解集的情况求参数 1．关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：关于的不等式组无解，也就是两个不等式解集没有公共部分，即，没有公共部分， ． 2．若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有3个整数解，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， 不等式组的解集为 ； 不等式组有且只有3个整数解， 3个整数解为，可得：， 不等式两边同乘得：， 移项得：， 系数化为得：． 3．【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集______； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围______； (3)已知不等式组G：有解，且不等式组G是不等式组H：的“子集”，求a的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）利用“子集”的定义解答即可； （2）先求出不等式组的解集，再利用“子集”的定义求解即可； （3）先求出不等式组中两个不等式的解集，再利用不等式组G有解，且不等式组G是不等式组H的“子集”，列出不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据“子集”的定义，得到不等式的一个子集可以为：； （2）解：不等式组的解集为， 由于关于x的不等式组是不等式组的“子集”， 则； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 由于不等式组G有解，且不等式组G是不等式组H：的“子集”， 则， 解得：． 题型21.不等式组和方程组结合的问题 1．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：， 则， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 2．关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，把两个方程相减，可得，与的和不小于，即可求出答案． 【详解】把两个方程相减，可得 与的和不小于 解得： k的取值范围为． 故答案为：． 3．根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 题型22.列一元一次不等式组 1．小勤一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为v千米/小时，则v满足的条件是（   ） 最高限速 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速 60 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是列不等式，要大于最低限速，小客车最高速不超过120，进而作答，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ， 小客车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C． 2．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】根据题意分别表示出分3次服用和分4次服用的剂量范围，再综合两种情况分析即可得出结论． 【详解】若每天服用3次，则所需剂量为之间， 若每天服用4次，则所需剂量为之间， 所以，一次服用这种药的剂量为之间， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的实际应用问题，能够准确分情况讨论出不同的范围再综合分析是解题关键． 3．某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 【答案】(1) (2)每月的用水量不超过立方米 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）分情况讨论：当时，当时，分别根据题意列出等量关系即可； （2）根据用户每月水费不超过元，且要求每月的用水量不超过多少立方米，可得，求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 关于的函数解析式为； （2）由题意得：， 解得：， 每月的用水量不超过立方米． 题型23.不等式组的经济问题 1．某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 3．综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【答案】(1)奖品的单价是元，奖品的单价是元； (2)，最少费用w的值是1125元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定最少费用的值． 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 题型24.不等式组的分配问题 1．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 2．某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 3．某公司有甲种原料260，乙种原料270，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产每件A种产品需甲种原料8，乙种原料5，可获利润900元；生产每件B种产品需要甲种原料4，乙种原料9，可获利润1100元． (1)按此要求安排生产A、B两种产品的件数共有哪几种方案？请你设计出来． (2)请说明第（1）题的方案中，哪种方案的利润最大？ 【答案】(1)①A产品23件，B产品17件；②A产品24件，B产品16件；③A产品25件，B产品15件 (2)方案③利润最大 【分析】（1）设生产A产品x件，B产品件，然后列出不等式组并求出它的解集，由此可确定出具体方案； （2）根据题意得到利润的表达式，再根据一次函数的性质得到最值即可． 【详解】（1）解：设生产A产品x件，B产品件，根据题意得： ， 解得 ， 方案：①A产品23件，B产品17件； ②A产品24件，B产品16件； ③A产品25件，B产品15件； （2）设利润为，则， ， 随的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，利润最大；即方案③利润最大． 题型25.不等式组的方案选择问题 1．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． 2．某物流公司组织辆汽车装运甲、乙、丙三种物资共吨到某地，按计划辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且都刚好装满．根据下表提供的信息，解答下列问题： 物资种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 每吨所需运费（元/吨） (1)设装运甲种物资的车辆数为，装运乙种物资的车辆数为，求与的关系式； (2)如果装运甲种物资的车辆数不少于，装运乙种物资的车辆数不少于，那么车辆的安排有几种方案？ (3)在（2）的条件下，若要求总运费最少，请写出采用的具体安排方案，并求出最少总运费． 【答案】(1) (2)车辆的安排共有种方案 (3)安排辆汽车装运甲种物资，辆汽车装运乙种物资，辆汽车装运丙种物资，总运费最少，最少费用为元． 【分析】（1）先表示出装运丙种物资的车辆数为，根据物资总量构造方程，并化简即可； （2）根据题意列出不等式，得到的取值范围，并求出其中的整数解，即可得出安排方案； （3）设总运费为元，根据题意写出与得关系式，利用一次函数的增减性结合的取值范围，求出的最小值，并写出对应的安排方案． 【详解】（1）解：根据题意， 装运丙种物资的车辆数为， ∴， 化简，得； （2）解：∵， ∴装运丙种物资的车辆数为， 根据题意，可列不等式： ， 解得，其中整数解为，，， 答：车辆的安排共有3种方案． （3）解：设总运费为元， 根据题意，， ∵， ∴随着的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最小值， 此时． 答：安排辆汽车装运甲种物资，辆汽车装运乙种物资，辆汽车装运丙种物资，总运费最少，最少费用为元． 3．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元，B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半，则至少购进A种剪纸多少幅？并直接写出共有几种购买方案． 【答案】至少购进A种剪纸34幅．共有27种购买方案 【分析】设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸幅，根据购买预算不超过920元，且购进的A种剪纸数量不少于B种剪纸数量的一半列出不等式组，解不等式组并结合为正整数进行解答即可． 【详解】解：设购进A种剪纸x幅，则购进B种剪纸幅， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为34，最大值为．即共有27种购买方案． 答：至少购进A种剪纸34幅．共有27种购买方案． 题型26.一元一次不等式组的其他应用 1．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【答案】C 【分析】设一颗玻璃球的体积为，根据放四颗球水没有满，放五颗球水满溢出建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积为， 由题意得，， 解得， ∴一颗玻璃球的体积在以上，以下． 2．某品牌手机厂商为测试一款新型手机的耗电情况，将手机持续亮屏．已知该款手机的电池容量为，持续亮屏平均每小时耗电，则手机剩余电量与亮屏时间之间的函数解析式为______． 【答案】 【分析】根据剩余电量等于总电池容量减去小时的耗电量，得到与的关系式，再根据剩余电量非负确定自变量的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意得， ， 又因为，且， 因此 ， 解得， 故函数解析式为 ． 3．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $