精品解析：2026年江苏省淮安市第四开明中学自主招生考试数学试卷

2026年江苏省淮安市第四开明中学自主招生数学试卷 一、选择，将正确答案的序号填在括号内．（每题2分，共20分） 1. 下列四个图形中，对称轴条数最多的是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 长方形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可． 【详解】解：∵等腰三角形有1条对称轴；等边三角形有3条对称轴；长方形有2条对称轴；圆有无数条对称轴； ∴圆的对称轴最多． 故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质． 2. 一项工程，甲队独做16天完成，乙队独做12天完成，甲、乙两队的工作效率最简比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 答：甲、乙两队的工作效率最简比是． 3. 新趋势数学文化古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”．下面的数中，是“完全数”的是（ ） A. 40 B. 36 C. 28 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：40所有的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，除40以外，还有1、2、4、5、8、10、20七个因数，，所以40不是“完全数”； B选项：36所有的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除36以外，还有1、2、3、4、6、9、12、18八个因数，，所以36不是“完全数”； C选项：28所有的因数有1、2、4、7、14、28，除28以外，还有1、2、4、7、14五个因数，，所以28是“完全数”； D选项：12所有的因数有1、2、3、4、6、12，除12以外，还有1、2、3、4、6五个因数，，所以12不是“完全数”． 4. 生产一批零件，革新技术后，时间少用，而产量却增长，革新前的工作效率是革新后的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把原来的时间看成单位“1”，现在的时间是原来的；再把原来的产量看成单位“1”，现在的产量是原来的；那么原来的工作效率是：，现在的工作效率是；再用原来的工作效率除以现在的工作效率即可． 【详解】解：． 5. 三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变．下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．梯形面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意； B．平行四边形的底和长方形的长相同，平行四边形的高小于长方形的宽，不符合题意； C．圆面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意； D．三角形面积经过“出入相补”原理后和长方形面积相等，符合题意． 6. 快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（ ）只玻璃杯． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 7. 有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水的（ ）倍． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在稀释酒精含量过程中，酒精质量始终不变． 【详解】解：设有克含量为的酒精，第一次加了克的水后稀释成浓度为的酒精， ， ， ， ， 设有克含量为的酒精，第二次加了克的水后稀释成浓度为的酒精， ， ， ， ， ． 答：还需要加的水量是上次加的水的倍． 8. 图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的．已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（ ）平方厘米． A. 52 B. 54 C. 60 D. 58 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出重叠部分的面积是原面积的，进而得到阴影部分的面积和为原三角形面积的，进行求解即可． 【详解】解：重叠部分的面积为原三角形面积的：， （平方厘米）． 9. 如图，有一段山路，从到是千米的上坡路，从到是千米的平路，从到是千米的上坡路．欢欢和笑笑分别从、同时出发，相向而行，他们下坡的速度都是每小时千米，平路的速度都是每小时千米，上坡的速度都是每小时千米，他们经过____小时相遇．（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两人上坡和下坡所用时间，可得笑笑先走平路千米，再求出剩下路程所用时间，最后求出总时间即可． 【详解】解：∵下坡的速度都是每小时千米，平路的速度都是每小时千米，上坡的速度都是每小时千米， ∴欢欢上坡用的时间是：（小时），笑笑下坡用的时间是：（小时）， ∴笑笑先走平路，笑笑先走了平路的路程：（千米）， ∴还剩下的路程为（千米）， ∴剩下路程需要的时间为（小时）， ∴相遇共用时间为（小时）； 答：两人小时后相遇． 10. 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设甲的长度是“1”，即可得出乙的长度，再求出甲，丙入墙的长度，然后求出丙的长度，最后求出比即可． 【详解】解：设甲的长度为“1”，则乙的长度为， 甲留在墙外的长度为，丙入墙的长度为， 由题意可知，丙留在墙外的长度与甲相同，也为，则丙的长度为， 所以． 二、填空．（每空1分，共22分） 11. _______________（填小数）． 【答案】 ①. 10 ②. 20 ③. 21 ④. 0.7 【解析】 【详解】略． 12. 一根6米长的绳子，先减去它的，再减去米，还剩_____米． 【答案】 【解析】 【分析】第一次减去的是绳子的，即求6米的，用乘法计算；第二次减去的是具体长度．剩余长度通过连续减法计算． 【详解】解：剩余长度为： （米）． 13. 已知，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，c不变，d应_____，比例仍然成立． 【答案】缩小到原来的 【解析】 【详解】解：由于， ∵c不变，要使比例仍然成立， ∴d应缩小到原来的． 14. 甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第_____层． 【答案】11 【解析】 【分析】甲从1楼上到4楼，走的楼梯间隔数是：个，乙从1楼上到3楼，走的楼梯间隔数是：个，速度比是，甲跑到第16层时，走的楼梯间隔数是：个，那么乙走的楼梯间隔数是：个，所以乙应跑到第层；据此解答． 【详解】解：， （层）． 答：乙应跑到第11层． 15. 著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置．他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系．例如，图中蜘蛛原本在点的位置，现在爬到了点B___________的位置． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据点的位置，判断点B的位置即可． 【详解】解：如图， ∵，即按的顺序排列， ∴． 故答案为：． 16. 在圆形切拼成的近似长方形上，第一只小蚂蚁从A点出发，第二只小蚂蚁同时从B点出发，它们都爬向C点，已知第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，第___只小蚂蚁先到达C． 【答案】一 【解析】 【分析】根据圆面积公式的推导方法可知，把一个圆剪拼成一个近似长方形，拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，近似长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：，所以圆周长的一半是半径的π倍．已知第一只蚂蚁的速度是第二只蚂蚁速度的3.2倍，在相同时间内，两只蚂蚁爬行路程的比等于速度的比，速度快的先到达C．． 【详解】解：圆周长的一半是半径的倍，第一只蚂蚁爬行的路程是，第二只蚂蚁爬行的路程是r，第一只蚂蚁的速度是第二只蚂蚁速度的3.2倍． ， 则第一只蚂蚁先到达C． 17. 在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有______个黑球． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查可能性的大小，先根据绿球可能性的大小得到球的总数．进而可求解． 【详解】解：∵8个绿球，绿球的可能性小于， 球的总数大于24， 至少有个黑球． 故答案为：7． 18. 如图，是苏超的赛事标识，东东要使用这个图案．他将这个图案放在一个边长为5厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米（图案等比例放大）．已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积增加了____平方厘米． 【答案】4.4 【解析】 【分析】先求出拉伸前后的面积之比，再求出拉伸后图案的面积，减去拉伸前图案的面积，即可求解． 【详解】解： （平方厘米） 答：拉伸后图案面积增加了4.4平方厘米． 19. 奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第8排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第8排至少已经被选中了________个座位． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，根据“无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻”可确定任意连续的3个座位中至少有1个座位被选中，再根据鸽巢问题进行解答即可． 【详解】解：， （人）， 故答案为：7． 20. 一盘草莓约20个左右，几位小朋友分．若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个．这盘草莓有___个． 【答案】17 【解析】 【分析】设有个草莓，根据小朋友的人数不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设有个草莓， 依题意，得：， 解得． 21. 一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，以这个直角三角形的斜边为轴旋转一周，所得图形的体积为___立方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求出直角三角形斜边上的高，再根据圆锥的体积公式计算即可． 【详解】解：（厘米） （立方厘米） ∴所得图形的体积为立方厘米． 22. 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米_______分钟能追上． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 设小明每小时走千米，根据题意可得，解出，再计算出追及距离，根据速度差计算追及时间即可． 【详解】设小明每小时走千米， 可得：， 解得， 追及距离为 (千米)， 汽车去追的话需要（小时）， 小时（分钟）． 故答案为：45． 23. 甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发．结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中____发、乙命中____发． 【答案】 ①. 8 ②. 6 【解析】 【分析】设甲命中x发，则乙命中发，根据“结算分数时，甲比乙多10分”列出一元一次方程求解． 【详解】解：设甲命中x发，则乙命中发， 根据题意得， 解得 答：甲中8发，乙中6发． 24. 如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 【答案】6 【解析】 【分析】将题干图补全为一个大长方形，由于是这个长方形的对角线，这条对角线把长方形分成了两个相同的直角三角形，不难看出，左下角补的两个长方形的面积等于右上角补的长方形的面积，设小长方形的长为x，进而列方程求解即可. 【详解】解：如图， 设小长方形的长为x． ， ， ， ， ， ， 答：小长方形的长是6． 25. 如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点．在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化．图2的统计图记录了点P移动时间和三角形面积的变化情况．根据图中信息回答下列问题： （1）图2中的a是___平方厘米，c是____平方厘米． （2）图1中梯形的面积是____平方厘米． （3）移动____秒时，三角形的面积是16平方厘米． 【答案】 ①. 32 ②. 24 ③. 72 ④. 6或16 【解析】 【分析】（1）根据图示可知，4秒时P移动到B点，计算8秒时P距离B点的距离，再利用三角形面积公式：计算a的面积；15秒时，P移动到D点，再根据所行时间计算的长，计算c的面积即可； （2）利用梯形面积公式：，结合（1）计算的数据计算梯形的面积即可； （3）根据（1）的结果，结合P移动的速度和所在位置，计算P点距离A、B的距离，再根据其速度计算所行时间即可． 【详解】解：（1）的长：（厘米）， 的长：（厘米）， （厘米）， （平方厘米）， 的长：（厘米）， （平方厘米）， 答：图2中的a是32平方厘米，c是24平方厘米； （2）（平方厘米）， 答：图1中梯形的面积是72平方厘米； （3）（厘米）， （秒）， （秒）， （秒）， 答：移动6或16秒时，三角形的面积是16平方厘米． 三、计算．（共29分） 26. 直接写出得数． （1） （2） （3） （4）4米厘米 （5） （6） （7） （8） 【答案】（1）0.53 （2）3.75 （3） （4） （5）16 （6） （7） （8） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：4米8厘米厘米8厘米； 【小问5详解】 解：； 【小问6详解】 解：； 【小问7详解】 解：； 【小问8详解】 解：． 27. 怎样简便怎样算． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）1 （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 28. 求未知数． （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 四、图形与操作．（共11分） 29. 如图，边长是厘米的等边三角形沿一条直线翻滚次．求点经过的总路程． 【答案】厘米 【解析】 【分析】翻转第一次，点转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；翻转第二次，点转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；第三次点是不动的，可得每翻转三次，每次翻转，点就有一次固定不动，以此类推，根据圆的周长公式求出点经过的路程，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴每翻转三次，每次翻转，点就有一次固定不动， ∵，， ∴（厘米） 答：点所经过的总路程是厘米． 30. 探索题． 如图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形． （1）仔细观察，你能发现图中铺瓷砖的规律吗？请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数_______． （2）按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为，请算出第20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ （3）第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】（1） （2）210块 （3）；1596块 【解析】 【分析】（1）观察图形即可得出规律； （2）代入进行计算即可求解； （3）结合（1）（2）中的结论得出白瓷砖的块数规律，再代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：第1个图形铺瓷砖的总块数为， 第2个图形铺瓷砖的总块数为， 第3个图形铺瓷砖的总块数为， …… 依此类推，第n个图形铺瓷砖的总块数为； 【小问2详解】 解：第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为， 当时，（块）， 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块． 【小问3详解】 解：依题意，第n个图形白瓷砖的块数为； 当时，， 答：第n个图形中白瓷砖的块数为；第55个图形中共有1596块白瓷砖． 五、解决问题．（共38分） 31. 解答下列问题 （1）一种电视机，现价2000元，比原价降低了500元，降价百分之几？ （2）一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条，这批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一条裤子） （3）一天，五（1）班24个女生中，3个人请事假，26个男生中，1个人请病假，求这一天五（1）班的出勤率． （4）甲、乙两车从A、B两地相对开出，甲车到达B地要5小时，乙车到达A地要6小时，已知相遇时，甲车行了240千米，求乙车相遇时走了多少千米？ 【答案】（1） （2）这批布可做12套衣服 （3） （4）200千米 【解析】 【分析】（1）用现价比原价降低的钱数除以原价，将结果用百分数表示即可； （2）将这批布看作单位“1”，由题意可知：做一件上衣用这批布的，做一条裤子用这批布的，则做一套衣服用这批布的，据此解答； （3）根据“出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数”直接解答； （4）先根据甲乙两车行完全程需要的时间求出两车相遇时甲车行驶的路程占全程的分率，再用甲车行驶的路程除以所得的分率，求出全程，再减去甲车行驶的路程，即可计算出乙车行驶的路程． 【小问1详解】 解： 答：降价． 【小问2详解】 解：（套） 答：这批布可做12套衣服． 【小问3详解】 解： 答：这一天五（1）班的出勤率为． 【小问4详解】 解：（千米） 答：乙车相遇时走了200千米． 32. 一件工作，甲独做要12小时完成，乙独做要18小时完成．如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时，……，两人如此交替工作，那么完成这件工作任务共用了几小时？ 【答案】 【解析】 【分析】先求出甲乙合作所需的时间为（小时），再求出各干7小时后还剩，然后计算出甲还需多长时间完成即可． 【详解】解：甲乙合作所需的时间：（小时）， 各干7小时后，还剩：， 甲来完成，用的时间为：（小时）， 总共用的时间为：（小时）， 答：需要小时完成任务． 33. 圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 【答案】15.625厘米 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式求出水的体积，再计算铁棒插入容器后水接触容器底面的面积，再用水的体积除以水接触容器底面的面积即可求解． 【详解】解：（立方厘米） （平方厘米） （厘米） 答：这时水深15.625厘米． 34. 某商店购进一批鞋子，每双售价比进价多，如果全部卖出，则可获利元，如果只卖双，还差元才够成本，鞋子的进价是每双多少元？ 【答案】鞋子的进价是每双元 【解析】 【分析】本题考查百分数的应用． 根据利润可得总进价，从而可得每双的售价，由售价和进价的关系，即可得每双的进价． 【详解】解： （元） 答：鞋子的进价是每双元． 35. 如图，在垂直交叉的两条路上，甲在交叉点南1120米处由南向北行走，乙在交叉点处由西向东行走．同时出发4分钟后，甲乙两人第一次距交叉点的距离相等．又走了52分钟，两人第二次距交叉点的距离相等．甲乙两人的速度分别是多少？ 【答案】， 【解析】 【详解】解：设甲每分钟行x米，乙每分钟行y米； 整理得： 解得： 甲每分钟行150米，乙每分钟行130米． 36. 如图所示，有一个长方形的操场，乐乐（点）从点出发顺时针方向跑步，速度为米/秒．乐乐（点）和点、点构成一个三角形，它的面积随着时间的变化而变化（如图，当运动时间为秒时，三角形的面积为平方米）． （1）求长方形操场的长和宽分别是多少米？ （2）连接两点，若线段和相交于点，当三角形的面积与三角形的面积比为时，点的运动时间为多少秒？ 【答案】（1）长是米，宽是米 （2）秒或秒 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式，结合秒、面积的条件先求出长方形的长；再由面积图像最高点面积，反推长方形的宽； （2）分两种动点位置分类讨论： ①在边上时，依据与面积比，由同高三角形面积比等于底之比得，由相似三角形性质得到线段，算出长度，累加得到运动路程，进而求运动时间； ②在边上时，由同高三角形面积比等于底之比得，同理由相似三角形性质推出，求出，依次累加得到总路程，算出对应运动时间． 【小问1详解】 解：，， 答：长方形操场的长是米，宽是米． 【小问2详解】 解：当点在长方形操场的长线段上运动时，如图所示： 的面积与的面积比为，即， ， ， ， 又、、在同一条直线上， 和同高， ，而， ，， 当点在长方形操场的宽线段上运动时，如图所示： 的面积与的面积比为， 即， 同理可得， 而， ， 故，， 答：当的面积与的面积比为时，点的运动时间为秒或秒． 37. 阅读下列材料，并解决后面的问题． ★阅读材料： 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名． 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．请运用“勾股定理”解决以下问题： （1）如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中，，则______． （2）如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径，高，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是_____．注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计． （3）如图三，所示的直角三角形中，，则的值________．注值取3． （4）如图四的圆柱，高厘米，底面半径厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？小聪是这样思考的： ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小聪认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是____厘米．注：值取3． （5）如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是____厘米． 【答案】（1）625 （2）17 （3） （4）① ②13 （5）15 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理易得，根据已知数据代入求解； （2）直吸管的最大长度可根据勾股定理解答； （3）根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积； （4）①圆柱的平面展开图上面长的中点即为点，连接；②利用勾股定理可求出的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程； （5）把立体图形展成平面图形求解即可． 【小问1详解】 解：由正方形面积公式以及勾股定理得， ，， ； 【小问2详解】 解：直吸管的最大长度底面直径、高为直角边的斜边， 根据勾股定理： 一条直达底部的直吸管的最大长度是17． 【小问3详解】 解：设直角边为，斜边 【小问4详解】 解：①略 ②圆柱高，底面半径， 底面半圆弧长： 根据勾股定理： ． 【小问5详解】 解：分两种展开算最短： 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为； 若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为． 蚂蚁经过的最短路程是15厘米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年江苏省淮安市第四开明中学自主招生数学试卷 一、选择，将正确答案的序号填在括号内．（每题2分，共20分） 1. 下列四个图形中，对称轴条数最多的是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 长方形 D. 圆 2. 一项工程，甲队独做16天完成，乙队独做12天完成，甲、乙两队的工作效率最简比是（ ） A. B. C. D. 3. 新趋势数学文化古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”．下面的数中，是“完全数”的是（ ） A. 40 B. 36 C. 28 D. 12 4. 生产一批零件，革新技术后，时间少用，而产量却增长，革新前的工作效率是革新后的（ ） A. B. C. D. 5. 三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变．下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（ ） A. B. C. D. 6. 快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（ ）只玻璃杯． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水的（ ）倍． A. B. C. D. 8. 图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的．已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（ ）平方厘米． A. 52 B. 54 C. 60 D. 58 9. 如图，有一段山路，从到是千米的上坡路，从到是千米的平路，从到是千米的上坡路．欢欢和笑笑分别从、同时出发，相向而行，他们下坡的速度都是每小时千米，平路的速度都是每小时千米，上坡的速度都是每小时千米，他们经过____小时相遇．（ ） A. B. C. D. 10. 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（ ） A. B. C. D. 二、填空．（每空1分，共22分） 11. _______________（填小数）． 12. 一根6米长的绳子，先减去它的，再减去米，还剩_____米． 13. 已知，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，c不变，d应_____，比例仍然成立． 14. 甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第_____层． 15. 著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置．他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系．例如，图中蜘蛛原本在点的位置，现在爬到了点B___________的位置． 16. 在圆形切拼成的近似长方形上，第一只小蚂蚁从A点出发，第二只小蚂蚁同时从B点出发，它们都爬向C点，已知第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，第___只小蚂蚁先到达C． 17. 在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有______个黑球． 18. 如图，是苏超的赛事标识，东东要使用这个图案．他将这个图案放在一个边长为5厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米（图案等比例放大）．已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积增加了____平方厘米． 19. 奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第8排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第8排至少已经被选中了________个座位． 20. 一盘草莓约20个左右，几位小朋友分．若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个．这盘草莓有___个． 21. 一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，以这个直角三角形的斜边为轴旋转一周，所得图形的体积为___立方厘米． 22. 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米_______分钟能追上． 23. 甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发．结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中____发、乙命中____发． 24. 如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 25. 如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点．在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化．图2的统计图记录了点P移动时间和三角形面积的变化情况．根据图中信息回答下列问题： （1）图2中的a是___平方厘米，c是____平方厘米． （2）图1中梯形的面积是____平方厘米． （3）移动____秒时，三角形的面积是16平方厘米． 三、计算．（共29分） 26. 直接写出得数． （1） （2） （3） （4）4米厘米 （5） （6） （7） （8） 27. 怎样简便怎样算． （1） （2） （3） （4） 28. 求未知数． （1） （2） （3） 四、图形与操作．（共11分） 29. 如图，边长是厘米的等边三角形沿一条直线翻滚次．求点经过的总路程． 30. 探索题． 如图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形． （1）仔细观察，你能发现图中铺瓷砖的规律吗？请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数_______． （2）按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为，请算出第20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ （3）第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 五、解决问题．（共38分） 31. 解答下列问题 （1）一种电视机，现价2000元，比原价降低了500元，降价百分之几？ （2）一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条，这批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一条裤子） （3）一天，五（1）班24个女生中，3个人请事假，26个男生中，1个人请病假，求这一天五（1）班的出勤率． （4）甲、乙两车从A、B两地相对开出，甲车到达B地要5小时，乙车到达A地要6小时，已知相遇时，甲车行了240千米，求乙车相遇时走了多少千米？ 32. 一件工作，甲独做要12小时完成，乙独做要18小时完成．如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时，……，两人如此交替工作，那么完成这件工作任务共用了几小时？ 33. 圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 34. 某商店购进一批鞋子，每双售价比进价多，如果全部卖出，则可获利元，如果只卖双，还差元才够成本，鞋子的进价是每双多少元？ 35. 如图，在垂直交叉的两条路上，甲在交叉点南1120米处由南向北行走，乙在交叉点处由西向东行走．同时出发4分钟后，甲乙两人第一次距交叉点的距离相等．又走了52分钟，两人第二次距交叉点的距离相等．甲乙两人的速度分别是多少？ 36. 如图所示，有一个长方形的操场，乐乐（点）从点出发顺时针方向跑步，速度为米/秒．乐乐（点）和点、点构成一个三角形，它的面积随着时间的变化而变化（如图，当运动时间为秒时，三角形的面积为平方米）． （1）求长方形操场的长和宽分别是多少米？ （2）连接两点，若线段和相交于点，当三角形的面积与三角形的面积比为时，点的运动时间为多少秒？ 37. 阅读下列材料，并解决后面的问题． ★阅读材料： 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名． 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．请运用“勾股定理”解决以下问题： （1）如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中，，则______． （2）如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径，高，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是_____．注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计． （3）如图三，所示的直角三角形中，，则的值________．注值取3． （4）如图四的圆柱，高厘米，底面半径厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？小聪是这样思考的： ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小聪认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是____厘米．注：值取3． （5）如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是____厘米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $