精品解析：广东江门市第九中学2025-2026学年九年级下学期第二次阶段测试数学试题

九年级第二次月考数学试题 本试卷共120分，本次考试120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 如图，下列选项中是正六棱柱的主视图的是（ ）． A. B. C. D. 2. 全球最大的AI模型API聚合平台OpenRouter数据显示，2026年2月9日-15日，中国模型以4.12万亿Token的调用量，首次超过同期美国模型的2.94万亿Token的调用量．数据4.12万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（    ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 6. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：____________． 12. 8的立方根是________． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解是_____________． 14. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 15. 如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为____________．（结果保留） 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题： （1）求的长度（结果保留根号）； （2）求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：） 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． （1）直接写出的取值范围； （2）当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． 20. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： 83，85，85，87，87，89； 抽取的对款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 45% 88 87 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 21. 综合与实践 情境：如图1，半圆的直径，点是直径上一点，点在半圆上，且． 操作：某数学兴趣小组将半圆沿线段裁剪后，得到图形和图形两部分，然后保持图形不动，将图形翻转后，再与图形拼接成如图2所示的平面图形，过点作的平行线，交弧于点，如图3．（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余）． 发现： （1）直接写出与满足的数量关系__________； 探究： （2）如图3，若点在圆心的左侧，，当时，求的值和的长． 拓展： （3）如图4，若点在圆心的左侧，且，连接，当时，兴趣小组用尺规作图作出弧所在圆的圆心，请你帮忙求线段的长． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 在平面直角坐标系中，函数图象上点坐标为，我们不妨约定：点纵坐标与其横坐标的差“”叫做点的“双减差”，而图象上所有点的“双减差”的最小值称为函数图象的“智慧数”，例如：抛物线上有一点，则点的“双减差”为6，当时，，该抛物线的“智慧数”为，据约定，解答下列问题： （1）求函数图象的“智慧数”； （2）若直线的“智慧数”为，求的值； （3）设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“智慧数”是，求抛物线的解析式 23. 如图，在中，，，将线段绕着点顺时针旋转得线段，连接． （1）如图1，若，求点到直线的距离； （2）以为直角边作等腰直角，，斜边交于点， ①如图2，若为的中点，请猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，连接，在线段的旋转过程中，当线段取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二次月考数学试题 本试卷共120分，本次考试120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 如图，下列选项中是正六棱柱的主视图的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从几何体正前方观察得到的平面图形，正六棱柱从正面看，能看到3个相邻矩形，中间矩形宽大、左右两个矩形窄小，据此判断选项． 【详解】解：主视图是从物体正面观察所得视图： 正六棱柱的底面为正六边形，从正面观察时，棱柱的棱把正面轮廓分成三个矩形，中间矩形宽度大，左右两侧矩形宽度小； B选项是俯视图（从上往下看正六边形）； C、D矩形分割数量错误； 因此正六棱柱主视图为选项A． 2. 全球最大的AI模型API聚合平台OpenRouter数据显示，2026年2月9日-15日，中国模型以4.12万亿Token的调用量，首次超过同期美国模型的2.94万亿Token的调用量．数据4.12万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：4.12万亿． 3. 计算的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘方，熟知分式的乘方运算是解题的关键．根据分式的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；根据不等式的解集在数轴上表示即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 5. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，即可求a的值． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 经检验是方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 6. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换、平行线的判定．结合位似图形的定义、相似三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，且相似比为， ∴． 故A，B选项正确，不符合题意； 与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ，， ， 故C选项正确，不符合题意； 与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， ． 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 8. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 连接，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，由切线的性质可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，于是可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是半圆的半径，是半圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 10. 如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角的判定和性质，求正切值等知识，先推导④再推导③是解题的关键．推导得到，从而得到，从而判定①，设，则，证明得到，继而求出，再用正切的定义得到，从而判断②，过点F作于点G，则，利用，求出和，从而求出，从而判断④，再根据④正确得到，再用余角的性质和等量代换得到，从而判断③． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴ 又∵E是中点， ∴，故①正确； 设，则 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴(舍去负值)， ∴，故②错误； ∵， ∴， 过点F作于点G，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴故③正确， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 14. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案． 【详解】∵点，分别是，的中点 ∴为的中位线 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴在 点是的中点 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理即应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 15. 如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形对折性质确定点位置与的长度，通过解直角三角形求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：对折边长为的正方形纸片，为折痕， 四边形是矩形，为中点，为中点， ，，， 以点为圆心，为半径作弧， ， 在中，， ， ， 由对称性可知，， ， 的长度为：． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】 ． 17. 如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题： （1）求的长度（结果保留根号）； （2）求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． （1）过作于点，先解得到的长，再解，求出的长，则可求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过作交的延长线于解直角三角形求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：过作于点， ， ，， ∴在中，， 在中，， ， ， ， ， 答：的长度为． 【小问2详解】 解：过作交的延长线于 ， ． 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：如图， ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． （1）直接写出的取值范围； （2）当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式的求法，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征． （1）当函数过点A时，则，当函数过点C时，同理可得：，即可求解； （2）先由已知得，进而得，再由边所在的直线为，代入即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵、， ∴正方形的边长为2， ∴点D、C的坐标分别为：、， 当函数过点A时，则， 当函数过点C时，则， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中点， ∴， ∴， 即反比例函数解析式为， 边所在的直线为， 当时，， ∴反比例函数与边的交点的坐标为． 20. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： 83，85，85，87，87，89； 抽取的对款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 45% 88 87 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）15，88，98 （2）90 （3）款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论． 【小问1详解】 解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份， “满意”所占百分比为：， “比较满意”所占百分比为：， ， 抽取的对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数， “不满意”和“满意”的评分有（份）， 第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89， ， 抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98， ， 故答案为：15，88，98； 【小问2详解】 解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人）， 答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人． 【小问3详解】 解：款自动洗车设备更受欢迎， 理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键． 21. 综合与实践 情境：如图1，半圆的直径，点是直径上一点，点在半圆上，且． 操作：某数学兴趣小组将半圆沿线段裁剪后，得到图形和图形两部分，然后保持图形不动，将图形翻转后，再与图形拼接成如图2所示的平面图形，过点作的平行线，交弧于点，如图3．（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余）． 发现： （1）直接写出与满足的数量关系__________； 探究： （2）如图3，若点在圆心的左侧，，当时，求的值和的长． 拓展： （3）如图4，若点在圆心的左侧，且，连接，当时，兴趣小组用尺规作图作出弧所在圆的圆心，请你帮忙求线段的长． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由翻折拼接前后角不变，半圆原始，，直接列式； （2）由、得，结合、三角形内角和推导，过作垂线构造直角三角形，用勾股求； （3）是弧圆心，，，，，结合，勾股求高，再解． 【小问1详解】 解：由裁剪翻折拼接可知：拼接前、、共线，， ， ． 【小问2详解】 解：，，，即， ， ， 又， ，； 已知直径，，，过作于，连接， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ． 【小问3详解】 解：由图（1）可知，圆与圆半径相等， 为弧所在圆圆心，，在中垂线上， ，，，， ， 由（1），，，， 平分，， 过作于，连接， ， 又， 则四边形是矩形， ， ， ． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 在平面直角坐标系中，函数图象上点坐标为，我们不妨约定：点纵坐标与其横坐标的差“”叫做点的“双减差”，而图象上所有点的“双减差”的最小值称为函数图象的“智慧数”，例如：抛物线上有一点，则点的“双减差”为6，当时，，该抛物线的“智慧数”为，据约定，解答下列问题： （1）求函数图象的“智慧数”； （2）若直线的“智慧数”为，求的值； （3）设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“智慧数”是，求抛物线的解析式 【答案】（1）3； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将函数变形为，当时，随x的增大而减小，从而得到的最小值为3，故“智慧数”为3； （2）将函数变形为，令，则，由于，根据函数的增减性可得时，W取最小值，从而得到，求得或2，又，得到； （3）由题意得抛物线顶点的坐标为，从而抛物线为，令，则对称轴是直线x=，由于时，抛物线的“智慧数”是，所以分三种情况讨论：①若的区间在对称轴的左边，即时，解得，不合题意舍去；②若的区间在对称轴的右边，即，解得，此时，w取最小值，求解或4，再由，得到 ，从而得出抛物线解析式；③若对称轴在的区间内，则当x=，w取最小值，求得，从而得出抛物线解析式． 【小问1详解】 解：由得 ∵当时，随x的增大而减小 时，取最小值3，即函数图象的“智慧数”是3； 【小问2详解】 由可得 令，则 ∴W随x的增大而增大， ∵， 时，W取最小值， 或2， 【小问3详解】 ∵抛物线顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线上， 顶点坐标为 ∴抛物线为， 令，对称轴是直线x=， ∵， ∴， ①当时，即，不合题意舍去； ②当，即， 此时当，w取最小值， 或4， ∵， ， ∴. ③当，即， 此时当x=，w取最小值， （舍去）， 综上，． 【点睛】本题考查阅读材料解决问题，涉及一次函数、反比例函数以及二次函数函数性质以及增减性，正确理解题意，分类讨论是解题的关键． 23. 如图，在中，，，将线段绕着点顺时针旋转得线段，连接． （1）如图1，若，求点到直线的距离； （2）以为直角边作等腰直角，，斜边交于点， ①如图2，若为的中点，请猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，连接，在线段的旋转过程中，当线段取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）1 （2）, 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）作于点M，交的延长线于点N，再用证明，进而得到即可； （2）此问综合利用三角形全等及三角形相似求解，可设，由得，由是等腰直角三角形，则，然后求得，由得，结合可证，能求,,，故进而得出结论，具体见详解． 【小问1详解】 如图，作于点，交的延长线于点，则 ，即为点到直线的距离 在和中 ； 【小问2详解】 ①猜想，证明如下： 如上图，设交于点，， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， 则 由题意知， 在和中 ∴ ②如下图，取的中点，连接,则 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，当点在上时取最小值，此时亦为最小值． ,且 在和中 , 设,则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $