精品解析：广东省江门市第二中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

江门二中2024-2025学年第二学期第一学段综合练习 九年级数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在0，1，，中最小的实数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：B． 2. 下面四个化学仪器示意图中，不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，故不符合题意； C．不是轴对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 4. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可． 【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158， ∴中位数是158， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 7. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 8. 两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为，根据两个相邻自然数的积是506，列出方程即可求解. 【详解】解：设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为， 依题意得， 解得(不合题意，舍去)，， ∴这两个数中，较大的数是， 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键. 9. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，由题意得出轴，得出，再根据反比例函数的值的几何意义即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 轴于， 轴， ， ， ， 故选：A． 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键． 根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论． 【详解】如图所示，由题意，，， 大正方形的面积为17， ， ， ， ， ， ， 小正方形的边长为（负值舍去）． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图为九边形边缘异形币，该正九边形的内角和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求正多边形内角和，根据多边形的内角和公式即可求解，掌握正多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正九边形的内角和为， 故答案为：． 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 14. 甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是__________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．根据方差越小，成绩越稳定，反之，则最不稳定，即可求解． 【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是， ∴甲的方差最大， ∴这三名同学跳远成绩最不稳定的是甲， 故答案为：甲． 15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点为上一动点，旋转后点的对应点， ∴当点与点重合时，有最小值为， ∴线段的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，实数的混合运算．先分别计算特殊角三角函数值、零次幂、二次根式以及负整数指数幂，最后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，四边形为平行四边形． （1）实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）猜想与证明：在（1）的条件下，连接CE，若E恰为的中点，试猜想的形状，并证明． 【答案】（1）图见解析 （2）是等腰三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作法、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等： （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）角平分线与平行线结合可证，结合平行四边形对边相等的性质、中点的定义，通过等量代换可证． 【小问1详解】 解：如解图所示，射线即为所求． 【小问2详解】 解：是等腰三角形．证明如下： 四边形为平行四边形， ，． ． 平分， ． ． ． 又， ． 是中点， ． ． 是等腰三角形． 18. 如图所示，李老师设计的一个电路图，有四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题． （1）下列说法正确的有______（多选）． A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件； （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】（1）BD （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类；画树状图或列表法求一个事件的概率． （1）根据题意以及事件的分类即可求解． （2）列表法得出共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种，进而根据概率公式，即可求解． 【小问1详解】 A．闭合其中的一个开关灯泡发光是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件，故该选项正确，符合题意； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件，故该选项正确，符合题意； 故选：BD． 【小问2详解】 根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下： 由表格可知共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种． （能使灯泡发光） 三、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．当与相切时，点B恰好落在上，与圆交于点Q，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再根据同角的余角相等证明即可解答； （2）连接，过点P作的垂线，交与点，证明，根据锐角三角形函数，求出的长度，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，取y轴正半轴与交点于点Q，如下图： ∵， ∴， 为的外角， ∴， 与相切，， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点P作的垂线，交与点，如下图： 由题意：在中，, ， 由（1）知：， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，画出正确的辅助线是解题的关键． 20. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1：该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务：该双皮奶应该降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1：设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； 任务：设该双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：任务1：设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量月平均增长率是， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务：设该双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 由题意可得：， 解得：或， ∵为了减少库存， ∴， ∴该双皮奶应该降价元． 21. 【项目式学习】 项目主题：车轮的形状 项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 （1）探究组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______； （2）探究组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______； （3）探究组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】 如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． （4）探究组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______． 【答案】；；； 【解析】 【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键． （1）利用正方形的性质解答即可； （2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案； （3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可； （4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论． 详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切， 车轮轴心到地面的距离始终等于圆的直径， 圆形车轮半径为， 故车轮最高点到地面的距离始终为， 故答案为：； （2）如图所示，为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹， 点为车轮轴心的最高点，点为车轮轴心的最低点， 由题意得车轮轴心距离地面的最低高度为 车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为， 故答案为：； （3）点的运动轨迹为圆，以点为圆心，为半径， 运动距离为． 故答案为：； （4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡， 故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”， 故答案为：． 三、解答题（三）（22题13分，23题14分） 22. 如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的解析式． （2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标． （3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）P(，)；（3）Q1(0，0)，Q2(9，0)，Q3(0，)． 【解析】 【分析】（1）先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程，从而可求得、的值； （2）连接AD，交BC相交，交点即为所求点P，点满足到四点距离之和最小，先求出A、D点坐标，然后求得的解析式，最后可求得点的坐标； （3）先根据坐标求出、、的长，依据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后分为和三种情况求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ． 把代入得：， ， 将、代入得：，解得，． 抛物线的解析式为． （2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P， ∵，， ∴ 当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小． ∵点D是抛物线的顶点， ∴对称轴为，点D为， ∵点A、B抛物线与x轴交点， ∴点A为， 设的解析式为，则，解得：，． 的解析式为． 联立解析式得： 解得：， 点的坐标为． （3）又，3，， ，，． ， ． ，， ，．， ． 又， ． 当的坐标为时，． 如图所示：连接，过点作，交轴与点． 为直角三角形，， ． 又， ． ，即，解得：． ． 如图所示：连接，过点A作，交轴与点． 直角三角形，， ． 又， ． ，即，解得：． ∴ ． 综上所述，当的坐标为或或时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，分类讨论对以点为顶点的三角形与相似的对应关系进行分类讨论是解答本题的关键． 23. 综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为； 【解析】 【分析】（1）证明，，可得； （2）①由是的切线，可得，可得，再进一步可得答案； ②如图，延长交于，交于，证明，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江门二中2024-2025学年第二学期第一学段综合练习 九年级数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在0，1，，中最小的实数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2. 下面四个化学仪器示意图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 4. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ） A 130 B. 158 C. 160 D. 192 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 9. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为（ ） A 3 B. 6 C. 8 D. 不能确定 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）． A. B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数用科学记数法表示为______． 12. 如图为九边形边缘异形币，该正九边形的内角和为______． 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 14. 甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是__________． 15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是______． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，四边形为平行四边形． （1）实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）猜想与证明：在（1）的条件下，连接CE，若E恰为的中点，试猜想的形状，并证明． 18. 如图所示，李老师设计的一个电路图，有四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题． （1）下列说法正确的有______（多选）． A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件； （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 三、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．当与相切时，点B恰好落在上，与圆交于点Q，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若半径为5，，求的长． 20. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 21. 【项目式学习】 项目主题：车轮的形状 项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 （1）探究组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______； （2）探究组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______； （3）探究组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】 如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． （4）探究组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______． 三、解答题（三）（22题13分，23题14分） 22. 如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的解析式． （2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标． （3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$