（易错复习讲义）2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破（八大专题33个易错点）（北师大版）

2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级下册数学 （八大专题33个易错点） 目录 专题一分数加减法 3 易错点1：没有掌握异分母分数加减法的计算法则，易错把分子相加作分子，分母相加作分母。 3 易错点2：通分时，找最小公倍数错误或通分结果不是最简分数。 4 易错点3：在加括号使运算简便的过程中，易弄错运算符号,使变化过程不是恒等变形。 6 易错点4：把小数化成分数时，易写错分母。小数化分数,原来是几位小数,就在1的后面写几个0作分母。 11 易错点5：分数加减法混合运算在解决问题中的应用错误（牛奶兑水问题）。 13 专题二长方体（一） 16 易错点1：棱长总和公式记忆混淆。 16 易错点2：展开图理解错误的特点，只要看到由六个完全图形组成就认为可以组成正方体或长方体。 18 易错点3：计算表面积时,易漏掉部分面的面积。 21 易错点4：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 24 易错点5：拼接或切割后立体图形表面积的变化理解错误。 26 专题三分数乘法 30 易错点1：不理解分数与整数相乘的意义，易出现分子和整数进行约分的错误。 30 易错点2：在解决整数乘分数的实际问题时，常常因为找不准单位“1”而发生错误，因此，在解决这类问题时，要清楚谁是谁的几分之几。 31 易错点3：计算分数乘分数时，易出现分子和分子、分母和分母相互约分的错误，应是分子和分母相互约分。 33 易错点4：倒数是指两个数之间 的相互依存关系，易出现说某个数是倒数的错误。 35 专题四长方体（二） 37 易错点1：体积与容积概念混淆。 37 易错点2：体积单位、容积单位进率记错。 39 易错点3：长方体和正方体体积公式应用错误。 41 易错点4：体积计算时单位不统一。 44 易错点5：排水法测体积应用错误。 47 易错点6：实际问题中体积与表面积混淆。 50 专题五分数除法 53 易错点1：（1）不理解分数除以整数的计算法则,直接把除以一个数变成了乘一个数,容易造成错解；（2）或把被除数转化成它的倒数。 53 易错点2：对商与被除数的大小关系判断不准。 55 易错点3：解决问题时对题中的单位“1”把握不准,导致算法错误。 59 专题六确定位置 64 易错点1：位置的相对性理解不正确，角的度量知识掌握不准确。 64 易错点2：画图时混淆了观测点与被观测物体。 67 易错点3：对路线图理解失误，描述简单的行走路线不完整或画图不完整。 74 专题七用方程解决问题 80 易错点1：不理解题意,找错等量关系,导致列出错误的方程。 80 易错点2：设未知数不规范。 85 易错点3：方程求解易出错。 90 专题八数据的表示和分析 95 易错点1：统计图选择与解读偏差。 95 易错点2：制作复式条形统计图不规范。 97 易错点3：数据对比与分析偏差。 102 易错点4：求平均数时,没有分清总数量或是总份数而出错。 108 专题一分数加减法 易错点1：没有掌握异分母分数加减法的计算法则，易错把分子相加作分子，分 母相加作分母。 【易错专练1】直接写出得数。                                      【答案】；；； 【易错专练2】直接写出得数。                                                【答案】；；；1 ；；； 【易错专练3】直接写出得数。 ＋＝    －＝    ＝ 【答案】；； 【易错专练4】直接写出得数。                                                 【答案】；； ；； 【易错专练5】直接写出得数。                                                                                  【答案】；；；； ；；； 易错点2：通分时，找最小公倍数错误或通分结果不是最简分数。 【易错专练1】直接写出得数。                                                                                                                  【答案】；；；0； ；；； 【易错专练2】直接写出得数。                  【答案】；；；； 【易错专练3】直接写出得数。                     【答案】1；；； ；； 【易错专练4】口算。                                                                                   【答案】；1；；； ；；； 【易错专练5】直接写得数。                                                                                       【答案】；；； ；；； 易错点3：在加括号使运算简便的过程中，易弄错运算符号,使变化过程不是恒等 变形。 【易错专练1】选择你喜欢的方法计算。 6－                    【答案】5；； 【分析】按照减法的性质计算，在－外面加括号，减号变加号； 按照加法交换律计算，先计算－，再计算加法； 按照加法交换律计算，先计算－，再计算加法。 【解答】6－－ ＝6－（＋） ＝6－1 ＝5 ＋－ ＝－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝＋ ＝ ＋（－） ＝－ ＝ 【易错专练2】计算下面各题。（能简算的要简算） －＋      －（＋）     4－－     －＋－ 【答案】；；3；1 【分析】（1）通分后从左到右按顺序计算； （2）按照减法的性质去掉括号后根据交换律进行简算； （3）按照减法的性质进行计算； （4）按照加法交换律和结合律进行简算。 【解答】（1）－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝ （2）－（＋） ＝－－ ＝－－ ＝－ ＝－ ＝ （3）4－－ ＝4－（＋） ＝4－1 ＝3 （4）－＋－ ＝（＋）－（＋） ＝2－1 ＝1 【易错专练3】计算下面各题。（能简算的要简算） －＋      －（＋）     4－－     －＋－ 【答案】；；3；1 【分析】（1）通分后从左到右按顺序计算； （2）按照减法的性质去掉括号后根据交换律进行简算； （3）按照减法的性质进行计算； （4）按照加法交换律和结合律进行简算。 【解答】（1）－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝ （2）－（＋） ＝－－ ＝－－ ＝－ ＝－ ＝ （3）4－－ ＝4－（＋） ＝4－1 ＝3 （4）－＋－ ＝（＋）－（＋） ＝2－1 ＝1 【易错专练4】脱式计算，能简算的要简算。          【答案】；；0 【分析】，从左往右计算，异分母分数相加减，先通分再计算； ，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，交换中间减法和加法的位置，将分母是7的两个分数结合，根据减法的性质，将分母是3的两个分数加起来再计算。 【解答】 【易错专练5】用你喜欢的方法计算。                          【答案】；； 【分析】先通分计算括号里面的减法，即，再算括号外面的减法； 观察算式，发现与分母相同，连同数前面的符号一起交换位置，先计算－，再加上计算出结果； 观察算式，发现与、与分母相同，连同数前面的符号一起交换位置，将与结合、与结合，得，先算同分母分数加减法，最后相加得出结果。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 易错点4：把小数化成分数时，易写错分母。小数化分数,原来是几位小数,就在1的后面写几个0作分母。 【易错专练1】（填小数）。 【答案】8；9；0.75 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数不变； 分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。 【解答】 3÷4＝0.75 即。 【易错专练2】把下面的小数化为分数，分数化为小数。 0.4＝( )            ( )            ( )            0.35＝( ) 【答案】 0.7 1.25 【分析】小数化分数，原来有几位小数就在1的后面加几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后能约分的要约分。把分数化成小数时，用分子除以分母即可；据此解答。 【解答】 【易错专练3】把下面的分数化成小数或把小数化成分数。 0.45＝( )    ( )    0.6＝( ) 【答案】 0.75 【分析】分数化成小数：用分子除以分母。 小数化为分数：先把小数写成分数，原来有几位小数，就在1后面写几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分的要约分。 【解答】0.45 ＝ ＝ ＝3÷4 ＝0.75 0.6＝＝ 【易错专练4】化成小数是( )，0.02化成分数是( )。 【答案】0.625 【分析】分数转化成小数，用分子除以分母即可。 小数化为分数：先把小数写成分数，原来有几位小数，就在1后面写几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分的要约分成最简分数。 【解答】 化成小数是（0.625），0.02化成分数是（）。 【易错专练5】将0.8化成分数是( )；将化成小数是( )。 【答案】 0.35 【分析】根据小数化分数的方法：先把小数写成分数，原来有几位小数，就在1的后面写几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分要约分；根据分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数，据此解答。 【解答】0.8＝＝ ＝7÷20＝0.35 将0.8化成分数是；将化成小数是0.35。 易错点5：分数加减法混合运算在解决问题中的应用错误（牛奶兑水问题）。 【易错专练1】一杯纯果汁，小明喝了杯后，兑满水又喝了一半。小明一共喝了多少杯纯果汁？多少杯水？ 【答案】； 【分析】由题意可知，小明第一次喝了杯纯果汁，还剩下杯纯果汁，第二次喝了杯纯果汁的一半，把两次喝的纯果汁相加就是小明一共喝的果汁；剩下一半中减去第二次喝的果汁就是剩下的水，剩下的水和喝了的水是一样多的。 【解答】（杯） 杯的一半是杯 （杯） （杯） 答：小明一共喝了杯纯果汁，杯水。 【易错专练2】一杯纯果汁，小丽喝了半杯后觉得甜，就兑满了水，又喝了杯就上学去了。小丽一共喝了多少杯纯果汁？ 【答案】杯 【分析】第一次小丽喝了杯纯果汁，还剩下杯纯果汁，再加上杯水，第二次又喝了杯，第二次喝了剩下纯果汁的一半，也就是喝了杯纯果汁，据此解答即可。 【解答】（杯） 答：小丽一共喝了杯纯果汁。 【点睛】本题考查喝牛奶问题，解答本题的关键是理解第二次喝了多少杯纯果汁。 【易错专练3】一杯纯牛奶，李敏喝了半杯后，妈妈先往杯中加入了杯纯牛奶，再兑满水。过了一会儿，李敏又喝了半杯。李敏一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？ 【答案】纯牛奶：杯  水：杯 【分析】李敏喝了半杯是杯，加入杯纯牛奶，此时杯子有＋＝杯纯牛奶，加入了1－＝杯水，喝了一半，即又喝了杯牛奶的一半，杯水的一半。 【解答】＋＝（杯） 1－＝（杯） ＋＝（杯） 的一半是。 答：李敏一共喝了杯纯牛奶，杯水。 【点睛】本题考查了分数加减法应用题，关键是理解一个分数的一半是几分之几。 【易错专练4】一杯纯果汁，小明喝了杯后，兑满水又喝了一半。一共喝了多少杯纯果汁？请在下图中涂色表示出来。 【答案】见详解 【分析】根据题意，把一杯纯果汁看作单位“1”，先分析第一次喝的纯果汁量，再分析第二次喝的纯果汁量（通过对剩余纯果汁的平均分来确定），最后将两次喝的纯果汁量相加。第一次喝了杯纯果汁，剩下的纯果汁为1－＝杯，第二次喝的是剩下纯果汁的一半，也就是把杯纯果汁平均分成2份，喝了其中1份，据此解答。 （涂色：将长方形平均分成3份，先涂1份表示第一次喝的，再涂剩下2份中的1份表示第二次喝的，总共涂2份） 【解答】第一次喝纯果汁：杯 剩余纯果汁：把1杯纯果汁平均分成3份，喝了1份，剩下3－1＝2份，即杯。 第二次喝纯果汁：把剩下的杯纯果汁平均分成2份，每份是2÷2＝1份（以原来的3份为整体，每份是杯），所以第二次喝了杯纯果汁。 一共喝纯果汁：＋＝杯 一共喝了杯纯果汁。 【易错专练5】一杯纯牛奶，小华喝了杯后，觉得太浓了，就兑满了水。又喝了半杯，就没再喝。她一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？ 【答案】杯；杯 【分析】把这杯纯牛奶看作单位“1”，喝了杯则还剩下1－＝杯，兑满水，则需要添加杯水；又喝了半杯，喝的半杯里包括一半的水和一半的牛奶，即兑满水后喝的牛奶是剩下牛奶的一半，喝的水是添加的水的一半，即根据分数的意义求出兑满水后喝了多少杯牛奶和多少杯水，最后再把两次喝的牛奶相加即可。 【解答】1－＝（杯） ＝＝＋ ＋ ＝＋ ＝（杯） ＝＋ 答：她一共喝了杯纯牛奶，杯水。 专题二长方体（一） 易错点1：棱长总和公式记忆混淆。 【易错专练1】一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，求原来长方体的长（ ）厘米 【答案】8 【分析】长方体截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，每个正方形的面有4条棱，所以两个面共增加（4×2）条棱，因为两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，用增加的棱长和除以增加的棱长数量即可求出正方体的棱长，因为一个长方体被截成两个完全相同的正方体，所以长方体的长等于2个正方体的棱长，用正方体的棱长乘2即可求出原来长方体的长，据此解答。 【解答】4×2＝8（条） 32÷8＝4（厘米） 4×2＝8（厘米） 所以，一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，原来长方体的长8厘米。 【点评】解答本题的关键是明确一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，共增加8条棱，且明白长方体的长等于2个正方体的棱长。 【易错专练2】用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是（ ）cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是（ ）cm。 【答案】5 7.8 【分析】由于用这么长的铁丝做一个正方体或者长方体，那么正方体的棱长总和或者长方体的棱长总和是这根铁丝的长度。 根据正方体棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体棱长； 根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【解答】60÷12＝5（cm） 60÷4－3.6－3.6 ＝15－3.6－3.6 ＝11.4－3.6 ＝7.8（cm） 用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是5cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是7.8cm。 【易错专练3】用一根铁丝刚好焊接成一个棱长为8cm的正方体框架。如果用这根铁丝焊接成一个长13cm、高4cm的长方体框架，铁丝将剩余4cm，那么这个长方体的宽应该为多少厘米？（接头处不计） 【答案】6厘米 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝的长度，用铁丝的长度－4求出长方体的棱长总和，再除以4求出长、宽、高之和，减去长和高，即可。 【解答】 （厘米） （厘米） 答：这个长方体的宽应该为6厘米。 【易错专练4】秦兵马俑是世界八大奇迹之一，一个放置兵马俑模型的长方体玻璃储物柜长5dm，宽5dm，高8dm，储物柜外面的每条棱上都贴有装饰条。现在要用同样长的装饰条贴在一个正方体储物柜上。这个正方体储物柜的棱长是多少？（接头处忽略不计） 【答案】6分米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数值计算出这个长方体的棱长总和，也就是这根装饰条的总长度，装饰条的总长度不变，把它贴在一个正方体储物柜上，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和÷12，所得结果即为这个正方体的棱长。 【解答】 （分米）     答：这个正方体储物柜的棱长是6分米。 【易错专练5】在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 【答案】230厘米 【分析】根据题意，彩带的长度＝长方体2条长的长度＋长方体2条宽的长度＋长方体4条高的长度＋蝴蝶结的长度，长方体的长为50厘米，宽为30厘米，高为10厘米，代入数据，即可求出彩带的长度。 【解答】根据分析得出： 50×2＋30×2＋10×4＋30 ＝100＋60＋40＋30 ＝230（厘米） 答：至少需要230厘米长的彩带。 易错点2：展开图理解错误的特点，只要看到由六个完全图形组成就认为可以组 成正方体或长方体。 【易错专练1】下面图形（    ）是从下图的位置沿边剪开得到的。 A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题图，沿着剪刀所在边剪开，剪开的右边部分向右翻转，左边部分向左翻转，顶部、底部分别与长方体的两个较大侧边连接在一起，一上一下。剩下的两个侧面为相对面，展开图不可能连接在一起。据此解题。 【解答】根据分析： 下面图形是从的位置沿边剪开得到的。 故答案为：C 【易错专练2】如图图形是正方体平面展开图的共有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】这道题的核心是识别符合正方体展开特征的图形，排除存在“凹”形、“田”形或重叠面的无效展开图。正方体展开图主要有“141”（第一行1个正方形，第二行4个，第三行1个）、“231”（第一行2个正方形，第二行3个，第三行1个）、“222”（第一行2个正方形，第二行2个，第三行2个）、“33”（第一行3个正方形，第二行3个）四种类型，需据此来判断。 【解答】根据分析： 第一幅图：属于“141”型，是正方体的有效展开图。 第二幅图：同样为“141”型，是有效展开图。 第三幅图：折叠后会出现面的重叠，无法拼成正方体，不是有效展开图。 第四幅图：属于“231”型的变形，符合正方体展开图特征，是有效展开图。 所以四幅图中是正方体平面展开图的共有3个。 故答案为：B 【易错专练3】用做一个，“好”的对面是（ ），“小”的对面是（ ）。 【答案】朋 友 【分析】根据正方体的展开与折叠后的关系：展开图中，中间隔着一个正方形的两个面，折叠后，就是相对的面。 【解答】根据分析得出： “好”与“朋”中间隔着一个正方形，所以“好”的对面是“朋”。 “小”与“友”中间隔着一个正方形，所以“小”的对面是“友”。 即“好”的对面是“朋”，“小”的对面是“友”。 【易错专练4】下图所示图形可以折成一个长方体，这个长方体的长是（ ），宽是（ ），高是（ ）。（单位：厘米） 【答案】9cm/9厘米 3cm/3厘米 3cm/3厘米 【分析】长方体中相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。一般情况下，正对着我们的那条横的棱叫长，竖着的棱叫高，左右两边横着的棱叫宽。 【解答】由图可知，这个长方体的长是9厘米，宽是3厘米，高是3厘米。 【易错专练5】拼一拼，画一画，算一算。 （1）下面哪几个面可以拼成一个长方体？请把序号填在下面的括号里。（单位：厘米） 我选：（    ）可以拼成一个长方体。 （2）请你画出这个长方体的展开图，注意标上数据。 【答案】（1）①④⑤⑥⑦⑧ （2）见详解 【分析】（1）长方体有六个面，前后、左右、上下分别相对，且分别是一样的长方形。图中①⑧（边长2厘米、4厘米）；⑤⑦（边长3厘米、4厘米）；④⑥（边长2厘米、3厘米），分别是一样的长方形，能作为相对的面，据此拼成长方体。 （2）根据（1）所拼成的长方体，以图4这个长方形为下底面展开依次画出相邻的长方形，即展开图（答案不唯一）。 【解答】（1）拼成的长方体如下图所示，①④⑤⑥⑦⑧可以拼成一个长方体。 （2）展开图如图所示（答案不唯一）。 易错点3：计算表面积时,易漏掉部分面的面积。 【易错专练1】用硬纸板给四本书做如图所示的一个封套（单位：cm），做这个封套至少需要（    ）cm2。 A．984 B．744 C．1728 D．1488 【答案】B 【分析】根据题意，封套只有前后左右四个面，所以封套的面积＝（前面＋左面）×2. 【解答】封套的面积： （平方厘米） 故答案为：B 【易错专练2】奇奇用纸箱制作了一个无盖长方体收纳箱。收纳箱的长为9dm，宽为6dm，高为3dm，若要给收纳箱的侧面贴上壁纸，壁纸的面积至少是（ ）dm2。 【答案】90 【分析】根据题意，给无盖长方体收纳箱的侧面贴上壁纸，求壁纸的面积，就是求长方体侧面的面积，根据“长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 【解答】9×3×2＋6×3×2 ＝54＋36 ＝90（dm2） 壁纸的面积至少是90dm2。 【易错专练3】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】1900cm2 【分析】该图形是一个长方体，长为，宽为，高为，代入长方体表面积公式计算即可。 【解答】 【易错专练4】儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 【答案】576平方厘米 【分析】正方体饼干盒的上下面不贴，需要贴彩纸的面只有4个。计算正方体棱长×棱长×4即可计算得出答案。 【解答】一个饼干盒至少需要彩纸的面积为： 12×12×4 ＝144×4 ＝576（平方厘米） 答：一个饼干盒至少需要彩纸576平方厘米。 【易错专练5】一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 【答案】66.2千克 【分析】根据题意，要粉刷教室的顶面和墙壁，即粉刷的是长方体的顶面和4个侧面，求出顶面和4个侧面的面积和，再减去门窗面积，求出需要粉刷的面积，再乘每平方米需要的涂料数量即可。 【解答】需要粉刷的面积：9×6＋9×3×2＋6×3×2－11.6 ＝54＋27×2＋18×2－11.6 ＝54＋54＋36－11.6 ＝108＋36－11.6 ＝144－11.6 ＝132.4（平方米） 132.4×0.5＝66.2（千克） 答：粉刷这间教室共需涂料66.2千克。 易错点4：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 【易错专练1】如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（    ）个面露在外面。 A．14 B．18 C．21 D．23 【答案】C 【分析】分别数出不同方向看到露在外面的面的数量，再相加得到露在外面的面的总数，据此解答。 【解答】如图所示：从前面看，有5个面露在外面； 从后面看，有5个面露在外面； 从左面看，有3个面露在外面； 从右面看，有3个面露在外面； 从上面看，有5个面露在外面； 露在外面的面的总数为个。 故答案为：C 【点评】理解题中“露在外面的面”即是立体图形前面、左面、右面、后面和上面露在外面的面，再数出这些方向露在外面的面的个数再相加，是解题的关键。 【易错专练2】下图是放在墙角的4个正方体，露在外面的面有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【分析】数出从前面、上面和右面看到的小正方形的个数即可，从前面看有3个小正方形，从上面看有3个小正方形，从右面看有3个小正方形。 【解答】3×3＝9（个） 露在外面的面有9个。 故答案为：B 【易错专练3】李老师把棱长为3分米的正方体纸箱放在墙角处（下图），一共放了（ ）个纸箱，有（ ）个面露在外面，露在外面的面积是（ ）平方分米。 【答案】9 16 144 【分析】根据题意，先数纸箱个数：分层数，最上层1个，中间层3个，最下层5个，将各层个数相加得到总纸箱数；再数露在外面的面：从正面、侧面、上面三个方向分别计数，正面数出一定数量的面，侧面数出对应数量的面，上面数出对应数量的面，三者相加得到露在外面的总面数；最后计算露在外面的面积：先根据正方形面积公式“面积＝边长×边长”算出一个面的面积，再用一个面的面积乘露在外面的总面数，据此解答。 【解答】数纸箱个数：1＋3＋5＝9（个） 数露在外面的面：正面5个＋侧面6个＋上面5个＝16（个） 计算露在外面的面积：3×3×16＝9×16＝144（平方分米） 综上所述可得，一共放了9个纸箱，有16个面露在外面，露在外面的面积是144平方分米。 【易错专练4】如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有（ ）个，露在外面的面积是（ ）cm2。 【答案】13 52 【分析】从图观察知道，露在外面的面共有的个数＝前面露出面的个数＋右面露出面的个数＋上面露出面的个数，前面露出的面有3个，右面露出的面有5个，上面露出的面有5个，所以露在外面总的个数是3＋5＋5的和；露在外面的面积＝正方体每个面的面积×露在外面的面共有的个数，正方体每个面的面积是2×2＝4（cm2），乘总的个数即为露在外面的面积。 【解答】3＋5＋5＝13（个） 2×2×13 ＝4×13 ＝52（cm2）。 所以，如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有13个，露在外面的面积是52cm2。 【易错专练5】将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第（3）个图形露在外面的面有（ ）个，第（5）个图形露在外面的面积是（ ）平方分米。 【答案】8 48 【分析】看图可知，第（1）个图形露在外面的面有4个，4＝1×2＋2；第（2）个图形露在外面的面有6个，6＝2×2＋2；第（3）个图形露在外面的面有8个，8＝3×2＋2…由此可知，露在外面的面的数量＝第几个图形就用几×2＋2，正方形面积＝边长×边长，正方形面积×露在外面的面的数量＝露在外面的面积。 【解答】3×2＋2 ＝6＋2 ＝8（个） 5×2＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 2×2×12＝48（平方分米） 第（3）个图形露在外面的面有8个，第（5）个图形露在外面的面积是48平方分米。 易错点5：拼接或切割后立体图形表面积的变化理解错误。 【易错专练1】将两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体包装在一起，此时与两个正方体独立包装相比，节省了（    ）cm2的包装纸。（接口处不计） A．100 B．200 C．400 【答案】B 【分析】与两个正方体独立包装相比，节省了2个面的面积；棱长×棱长＝一个面的面积；一个面的面积×2＝2个面的面积。 【解答】（） （） 所以节省了200的包装纸。 故答案为：B 【易错专练2】如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48平方厘米，原来的正方体表面积是（ ）平方厘米。 【答案】72 【分析】根据题意可得：其中一个长方体的表面积是正方体的4个面的面积，其中一个长方体的表面积÷4＝正方体一个面的面积，正方体一个面的面积×6＝正方体的表面积。 【解答】48÷4＝12（平方厘米） 12×6＝72（平方厘米） 原来的正方体表面积是72平方厘米。 【易错专练3】如图，将4个长是10cm，宽是6cm，高是1cm的长方体盒子包成一包。包装后的表面积是（ ）cm2，比分别包装节约（ ）cm2的包装纸。（接口处不计） 【答案】248 360 【分析】已知4个完全一样的长方体盒子的长、宽、高，先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出包装一个这样的长方体盒子所需包装纸的面积，再乘4，即是分别包装4个这样的长方体所需包装纸的总面积； 把这4个长方体盒子如图中包成一包，则组成新长方体的长是10cm、宽是6cm、高是（1×4）cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出包装后的表面积； 再用分别包装所需包装纸的总面积减去包在一起所需包装纸的面积，即是包在一起比分别包装节约包装纸的面积。 【解答】分别包装的表面积之和： （10×6＋10×1＋6×1）×2×4 ＝（60＋10＋6）×2×4 ＝76×2×4 ＝152×4 ＝608（cm2） 包在一起的高：1×4＝4（cm） 包装后的表面积： （10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 节约：608－248＝360（cm2） 包装后的表面积是（248）cm2，比分别包装节约（360）cm2的包装纸。 【易错专练4】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【答案】图见详解；7200平方厘米 【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【解答】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米） 所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图： （厘米） （平方厘米） 答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。 【易错专练5】如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】126平方厘米 【分析】根据题意，把一个长方体木块平行于底面锯成三个大小相等的小正方体，说明原长方体的长、宽相等，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了4个底面的面积； 用增加的表面积36平方厘米除以4，求出原长方体的底面积为9平方厘米，因为底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，得出原长方体的长、宽都是3厘米，再乘3，即是原长方体的高； 最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原长方体的表面积。 【解答】36÷4＝9（平方厘米） 9＝3×3 所以原长方体的长、宽都是3厘米； 原长方体的高：3×3＝9（厘米） 原长方体的表面积： （3×3＋3×9＋3×9）×2 ＝（9＋27＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是126平方厘米。 专题三分数乘法 易错点1：不理解分数与整数相乘的意义，易出现分子和整数进行约分的错误。 【易错专练1】计算。                           【答案】；；； 【易错专练2】算一算。                                                                                                   【答案】；；；； ；；； 【易错专练3】             【答案】；；；12 【易错专练4】计算。                                                  【答案】；；15；； 8；75；6； 【易错专练5】                                                                                                  【答案】3；16；；；    ；；；； 易错点2：在解决整数乘分数的实际问题时，常常因为找不准单位“1”而发生 错误，因此，在解决这类问题时，要清楚谁是谁的几分之几。 【易错专练1】随着2025年“体重管理年”的正式启动，中国各地掀起减肥热潮。政府、医疗机构、健身行业以及社会各界纷纷响应，倡导健康生活方式，推动全民体重管理意识的提升。李叔叔原来体重是85千克，坚持体育锻炼后，体重减轻了，体重减轻了多少千克？ 【答案】17千克 【分析】将李叔叔原来体重看作单位“1”，李叔叔原来体重×减轻了的对应分率＝减轻了的体重。 【解答】85×＝17（千克） 答：体重减轻了17千克。 【易错专练2】《西游记》是我国古代一部浪漫主义章回长篇小说，淘气买了一本320页的《西游记》，他第一周看了全书的，第二周看的页数是第一周的，他第三周从第几页看起？ 【答案】86页 【分析】把总页数看作单位“1”，用总页数乘​得到第一周看的页数；再把第一周看的页数看作单位“1”，用第一周看的页数乘得到第二周看的页数；第三周开始看的页码，就是前两周总页数再加1。 【解答】320×＝40（页） 40×＝45（页） 40＋45＋1 ＝85＋1 ＝86（页） 答：他第三周从第86页看起。 【易错专练3】明长城全长约8860千米，其中人工墙体约占全长的，天然山险墙约占全长的，其他的是壕堑。人工墙体比天然山险墙长多少千米？ 【答案】3987千米 【分析】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，用一个数乘分率。题目中已知明长城全长约8860千米，其中人工墙体约占全长的，天然山险墙约占全长的，表示人工墙体占8860千米的，天然山险墙占8860千米的。用计算人工墙体的长度，再用计算天然山险墙的长度，最后用人工墙体的长度减去天然山险墙的长度即可。 【解答】根据分析： （千米） 答：人工墙体比天然山险墙长约3987千米。 【易错专练4】 （1）上衣比裤子贵多少元？ （2）T恤的价格是多少元？ 【答案】（1）20元 （2）30元 【分析】（1）将裤子的价格看作单位“1”，贵的部分占裤子的价格的，裤子的价格×＝上衣比裤子贵的钱数； （2）裤子的价格×＝T恤的价格，据此解答。 【解答】（1）80×＝20（元） 答：上衣比裤子贵20元。 （2）80×＝30（元） 答：T恤的价格是30元。 【易错专练5】有甲、乙两个水桶，其中甲桶装满水，乙桶没有装水。把甲桶里水的一半倒入乙桶，刚好装了乙桶的。乙桶可装水30千克，甲桶可装水多少千克？ 【答案】40千克 【分析】甲桶装满水，倒出一半后刚好装满乙桶的。已知乙桶装满水为30千克，先求出倒入乙桶水的质量，这是甲桶原有水量的一半，算出后乘2即可算出甲桶装满水的质量。 【解答】乙桶的容量为： 甲桶倒出的水量为20千克，这是甲桶原有水量的一半，因此甲桶原有水量为： 答：甲桶可装水40千克。 易错点3：计算分数乘分数时，易出现分子和分子、分母和分母相互约分的错误， 应是分子和分母相互约分。 【易错专练1】选择合适的计算法则计算。                      【答案】；30； ； 【分析】（1）（2）分数乘整数的计算法则：用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变。再根据分数的基本性质化成最简分数即可。 （3）（4）分数乘分数的计算法则：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。计算时可先将分子与分母进行交叉约分，使计算简便。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝30 （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ 【易错专练2】计算下面各题。                                【答案】；；； ；； 【易错专练3】计算。                                【答案】12；150； ；； ； 【易错专练4】计算园地                                                                                                                                               【答案】；；；； ；1；；； ；；； 【易错专练5】计算。                                                                                                  【答案】；；；； ；；； 易错点4：倒数是指两个数之间 的相互依存关系，易出现说某个数是倒数的错误。 【易错专练1】下面各组数中，互为倒数的是（    ）。 A．2.4和 B．和0.3 C．7和 【答案】C 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，据此逐一判断。 【解答】A．2.4×＝5.76，5.76≠1，所以2.4和不互为倒数； B．×0.3＝0.1，0.1≠1，所以和0.3不互为倒数； C．7×＝1，所以7和互为倒数。 故答案为：C 【易错专练2】（ ）的倒数是；3.2的倒数是（ ）。 【答案】 /0.3125 【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；把小数化成分数，再把它的分子和分母交换位置即可。 【解答】3.2＝ 的倒数是，3.2的倒数是。 【易错专练3】若a与b互为倒数，则的结果是（ ）。 【答案】12 【分析】互为倒数的两个数的乘积是1，a与b互为倒数，则ab＝1，根据分数乘分数的计算方法，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母，把化为，再把ab＝1代入即可解答。 【解答】a与b互为倒数，则ab＝1。 ＝＝＝＝12 所以若a与b互为倒数，则的结果是12。 【易错专练4】一个数与的积是1，这个数的倒数是（ ）；一个数的倒数是2，这个数是（ ）。 【答案】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此可知：一个数与另一个数的乘积为1，则这两个数互为倒数；求一个数的倒数就是用1除以这个数，据此解答。 【解答】1÷2＝ 一个数与的积是1，这个数的倒数是；一个数的倒数是2，这个数是。 【易错专练5】平行四边形对应的底和高互为倒数，如果底是1.4分米，那么高是（ ）分米。 【答案】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。 求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 小数求倒数时，先把小数化成最简真分数或假分数，再按分数求倒数的方法求解。 【解答】1.4＝＝ 的倒数是； 所以，平行四边形对应的底和高互为倒数，如果底是1.4分米，那么高是分米。 专题四长方体（二） 易错点1：体积与容积概念混淆。 【易错专练1】如下图，在正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩下部分的表面积与原来正方体的表面积相比较，（）；体积与原来体积相比较，（）。 A．不变；原来大 B．不变；现在大 C．原来大；不变 【答案】A 【分析】在正方体顶点处挖去一个小正方体时，原来正方体表面减少3个小正方形面，同时又会新露出3个同样大小的小正方形面，所以表面积不变；挖去一部分后，所占空间变小，因此体积变小。 【解答】根据分析，在正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩下部分的表面积与原来正方体的表面积相比不变；体积与原来体积相比原来大。 【易错专练2】蜡像厂把一个亚冬会吉祥物“滨滨”熔化后，又塑造成另一个亚冬会吉祥物“妮妮”（工艺品为实心，且无损耗），这两件工艺品的体积相比，（    ）。 A．“滨滨”的体积大 B．“妮妮”的体积大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】“滨滨”熔化后，又塑造成“妮妮”过程中因为是实心，且无损耗，所以体积没有变化。 【解答】工艺品为实心且熔化过程中无损耗，所以体积没有变化。 故答案为：C 【易错专练3】工人叔叔在装修过程中，为嵌入式烤箱预留空间的大小由烤箱的（    ）决定；烤箱一次能烤多少东西是由（    ）决定。 A．表面积；侧面积B．体积；容积 C．容积；体积 D．侧面积；容积 【答案】B 【分析】预留空间的大小由物体所占空间的大小决定，即体积；烤箱一次能烤多少东西由其内部能容纳物体的体积决定，即容积。 【解答】嵌入式烤箱预留空间的大小需要根据烤箱所占空间的大小确定，即由烤箱的体积决定； 烤箱一次能烤多少东西取决于其内部可容纳物体的体积，即由烤箱的容积决定。 故答案为：B 【易错专练4】家用的电器中，冰箱、微波炉和电磁炉这三种物品中，（ ）占的空间最大，（ ）的体积最小。 【答案】冰箱 电磁炉 【解答】比较三种物品的体积大小，体积指物体所占空间的大小。 根据生活常识，家用的电器中，冰箱、微波炉和电磁炉这三种物品中，冰箱占的空间最大，电磁炉的体积最小。 【易错专练5】一个玻璃罐所占空间的大小，是这个玻璃罐的（ ），这个玻璃罐里所能容纳物体的体积，是它的（ ）。 【答案】体积 容积 【分析】体积是指物体所占空间的大小；容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积。 【解答】根据分析可知，一个玻璃罐所占空间的大小，是这个玻璃罐的体积，这个玻璃罐里所能容纳物体的体积，是它的容积。 【点睛】此题主要考查学生对容积和体积含义的理解与区分，一个物体有体积，但它不一定有容积。 易错点2：体积单位、容积单位进率记错。 【易错专练1】63m2＝（ ）dm2           5030mL＝（ ）dm3 【答案】6300 5.03 【分析】根据1m2＝100dm2，1dm3＝1000mL，大单位换算成小单位时乘进率，小单位换算成大单位时除以进率，据此解答。 【解答】（1）63×100＝6300（dm2） 63m2＝6300dm2 （2）5030÷1000＝5.03（dm3） 5030mL＝5.03dm3 【易错专练2】1.56立方分米＝（ ）立方厘米    4L20mL＝（ ）L 【答案】1560 4.02 【分析】根据进率：1立方分米＝1000立方厘米，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】1.56×1000＝1560（立方厘米），所以1.56立方分米＝1560立方厘米； 20÷1000＝0.02（L），4＋0.02＝4.02（L），所以4L20mL＝4.02L。 【易错专练3】3800cm3＝（ ）dm3     0.47m3＝（ ）dm3   18.7升＝（ ）毫升 【答案】3.8 470 18700 【分析】根据进率：1dm3＝1000cm3，1m3＝1000dm3，1升＝1000毫升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】3800÷1000＝3.8（dm3），所以3800cm3＝3.8dm3； 0.47×1000＝470（dm3），所以0.47m3＝470dm3； 18.7×1000＝18700（毫升），所以18.7升＝18700毫升。 【易错专练4】填上合适的数。 8500立方分米＝（ ）立方米    6780立方厘米＝（ ）立方分米（ ）立方厘米 1.2升＝（ ）立方厘米         2.7平方米＝（ ）平方厘米 【答案】8.5 6 780 1200 27000 【分析】因为1立方米＝1000立方分米，立方分米换算为立方米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 6780立方厘米＝6000立方厘米＋780立方厘米，因为1立方分米＝1000立方厘米，立方厘米换算为立方分米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 因为1升＝1立方分米＝1000立方厘米，升换算为立方厘米，是大单位换算为小单位，要乘进率1000； 因为1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米，平方米换算为平方厘米，是大单位换算为小单位，要乘进率10000。 【解答】8500÷1000＝8.5，所以8500立方分米＝8.5立方米； 6780立方厘米＝6000立方厘米＋780立方厘米，6000÷1000＝6，所以6780立方厘米＝6立方分米780立方厘米； 1.2×1000＝1200，所以1.2升＝1200立方厘米； 2.7×10000＝27000，所以2.7平方米＝27000平方厘米。 【易错专练5】 3.6立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米    8050毫升＝（ ）升（ ）毫升 2平方米5平方分米＝（ ）平方米      450毫升＝（ ）升＝（ ）立方分米 【答案】3 600 8 50 2.05 0.45 0.45 【分析】单位换算的方法：低级单位换算成高级单位除以进率，高级单位换算成低级单位乘进率，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，1平方米＝100平方分米，1升＝1立方分米，据此换算单位即可。 【解答】0.6×1000＝600，3.6立方米＝3立方米600立方分米； 8000÷1000＝8，8050毫升＝8升50毫升； 5÷100＝0.05，2平方米5平方分米＝2.05平方米；         450÷1000＝0.45，450毫升＝0.45升＝0.45立方分米。 3.6立方米＝3立方米600立方分米；8050毫升＝8升50毫升； 2平方米5平方分米＝2.05平方米；450毫升＝0.45升＝0.45立方分米。 易错点3：长方体和正方体体积公式应用错误。 【易错专练1】计算下面图形的表面积和体积。 【答案】122；84 294；343 【分析】根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出长方体的表面积和体积； 根据公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可求出正方体的表面积和体积。 【解答】（1）表面积： （） 体积： （） （2）表面积： （） 体积： （） 【易错专练2】下面是一个长方体的展开图，请计算这个长方体的表面积和体积。 【答案】238平方厘米；195立方厘米 【分析】从图中可以看出，长13厘米，宽5厘米，但高并不是8厘米。先判断8厘米是哪两条棱的长度之和，从而求出隐藏的那条棱的长度； 找出长、宽、高后，表面积用（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算，体积用长×宽×高计算。 【解答】高＝8－5＝3（厘米）； 表面积：（13×5＋13×3＋5×3）×2＝（65＋39＋15）×2＝119×2＝238（平方厘米） 体积：13×5×3＝195（立方厘米） 【易错专练3】计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：3.5 体积：0.375 【分析】如图所示，图形的表面积等于一个长、宽、高分别为1、0.5、1的长方体的表面积减去两个边长为0.5的正方形面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2代入解答；图形的体积可以把图形沿中间水平方向分割成上面棱长为0.5的正方体和下面长、宽、高分别为1、0.5、0.5的长方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长和长方体体积＝长×宽×高分别计算两个立体图形的体积相加即可。 【解答】表面积：（1×0.5＋1×1＋0.5×1）×2－（1－0.5）×（1－0.5）×2 ＝（0.5＋1＋0.5）×2－0.5×0.5×2 ＝2×2－0.5×0.5×2 ＝4－0.5 ＝3.5（） 体积：1－0.5＝0.5（） 0.5×0.5×0.5＋1×0.5×0.5 ＝0.125＋0.25 ＝0.375（） 【易错专练4】如下图，从一个长方体上挖去一个棱长4厘米的正方体，求剩余部分的体积。 【答案】176立方厘米 【分析】从图中可知，剩余部分的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【解答】8×5×6－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 剩余部分的体积是176立方厘米。 【易错专练5】仔细观察，正确计算。（单位：cm） 组合体体积：             组合体表面积： 【答案】117cm3；126cm2 【分析】（1）组合体的体积＝棱长为5cm的正方体的体积－棱长为2cm的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，3个棱长为3cm的正方体拼成一个长为（3×3）cm、宽为3cm、高为3cm的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 【解答】（1）5×5×5－2×2×2 ＝125－8 ＝117（cm3） 组合体的体积是117cm3。 （2）长：3×3＝9（cm） （9×3＋9×3＋3×3）×2 ＝（27＋27＋9）×2 ＝63×2 ＝126（cm2） 组合体的表面积是126cm2。 易错点4：体积计算时单位不统一。 【易错专练1】乐乐家牛棚的水槽坏掉了，爷爷准备用铁皮做一个长1.9米，宽6分米、高4分米的无盖长方体水槽。至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽的容积是多少升？（铁板厚度不计） 【答案】314平方分米； 456升 【分析】无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；长方体的容积＝长×宽×高；计算之前需统一单位，将1.9米换算为19分米。计算容积时需将结果的单位立方分米换算为升。 【解答】1.9米＝19分米 （平方分米） 答：至少需要314平方分米的铁皮。 （立方分米） （升） 答：这个水槽的容积是456升。 【易错专练2】一辆汽车的油箱里面长8dm，宽5dm，高3.5cm，这个油箱可以装多少升汽油？ 【答案】14 升 【分析】长方体容积＝ 长×宽×高，注意统一单位； 1 立方分米 ＝ 1 升 【解答】3.5 厘米 ＝ 0.35 分米 8 × 5 × 0.35 ＝ 14（立方分米） 14 立方分米 ＝ 14 升 答：这个油箱可以装 14 升汽油。 【易错专练3】小明爸爸准备开车带一家人去自驾游。爸爸汽车的油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米。如果每行驶17千米耗1升汽油，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？ 【答案】1020千米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出油箱容积，根据1立方分米＝1升，1立方分米＝1000立方厘米，统一单位，油箱容积×1升汽油行驶路程＝行驶总路程，据此列式解答。 【解答】50×40×30＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60立方分米＝60升 60×17＝1020（千米） 答：这辆汽车最多行驶1020千米就能耗光油箱中的汽油。 【易错专练4】一个游泳池长50米，宽20米，高1.8米，在游泳池的墙壁和底面铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？如果在池中注水到120厘米高，应注水多少升？ 【答案】1252平方米；1200000升 【分析】已知游泳池贴砖的表面积只有底面、左面、右面、前面和后面的表面积，则游泳池的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可求出贴砖的面积；先把120厘米化为1.2米，然后根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据即可求出水的体积，然后把单位换算成升。 【解答】50×20＋50×1.8×2＋20×1.8×2 ＝1000＋180＋72 ＝1252（平方米） 120厘米＝1.2米 50×20×1.2 ＝1000×1.2 ＝1200（立方米） 1200立方米＝1200000升 答：至少需要1252平方米的瓷砖；应注水1200000升。 【易错专练5】一个长方体铁皮水箱的长是25厘米，宽是16厘米，高是40厘米。 （1）如果要制作这个水箱，至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）现用容积为4升的水桶（每次均装满）往水箱里注水，多少次才能注满水？（水箱厚度忽略不计）。 【答案】40.8平方分米；4次 【分析】（1）要求制作这个水箱，至少需要多少平方分米的铁皮，就是求这个长方体的表面积，，据此计算即可，再根据低级单位化高级单位除以进率，因为1平方分米＝100平方厘米，最后用得到的结果除以100即可得解。 （2）要求将水箱注满需要多少升的水，也就是求长方体的容积，长方体容积的算法和体积相同，，据此可求出长方体的体积，再根据低级单位化高级单位除以进率，1升＝1立方分米＝1000立方厘米，再用结果除以1000即可将单位立方厘米换算成升，最后再除以4即可得解。 【解答】由分析可知： （1）（25×16＋16×40＋25×40）×2÷100 ＝（400＋640＋1000）×2÷100 ＝4080÷100 ＝40.8（平方分米） 答：如果要制作这个水箱，至少需要40.8平方分米的铁皮。 （2）25×16×40÷1000÷4 ＝400×40÷1000÷4 ＝16÷4 ＝4（次） 答：现用容积为4升的水桶（每次均装满）往水箱里注水，4次才能注满水。 【点睛】本题考查长方体表面积和体积公式的应用，注意长方体容积的求法和体积一样。 易错点5：排水法测体积应用错误。 【易错专练1】博物馆有一个长15分米、宽12分米的长方体水箱，里面有10分米深的水。如果在水中放入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 【答案】10.15 分米 【分析】先将正方体铁块的棱长单位厘米换算成分米。根据排水法原理，铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于铁块的体积。先求出铁块的体积，再求出水箱的底面积，用铁块体积除以水箱底面积得到水面上升的高度，最后加上原来的水深即为现在的水深。（正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的底面积＝长×宽） 【解答】30 厘米 = 3 分米 （立方分米） （分米） 答：水箱中水深10.15分米。 【易错专练2】笑笑家豆浆机的盛豆浆容器是一个长方体，从里面量长10厘米、宽8厘米、高15厘米，一天妈妈要做豆浆，先在容器中放了6厘米高的水，然后把一些黄豆陆续放入水中。水面不断升高，当妈妈停止放黄豆时，水面第一次出现两个相对面是正方形的长方体，你算一算妈妈放入水中的黄豆体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【分析】由“水面第一次出现两个相对面是正方形的长方体”可知，当水面高度为8厘米时，左右两个面会首次成为边长8厘米的正方形。由此水面上升高度为8－6＝2厘米，再用长方体体积公式算上升的水的体积，即黄豆体积。 【解答】8－6＝2（厘米） 10×8×2 ＝80×2 ＝160（立方厘米） 答：妈妈放入水中的黄豆体积是160立方厘米。 【点睛】关键点是理解“两个相对面是正方形”对应的水面高度等于容器宽，再通过“上升的水的体积＝黄豆体积”这一关系，用长方体体积公式求解。 【易错专练3】如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】2立方厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，10颗弹珠放入后排开的水可看作长方体，长宽均为10厘米，高为5.2－5＝0.2（厘米）。代入数据先求得10颗弹珠的体积，再除以10即可得解。 【解答】10×10×（5.2－5）÷10 ＝100×0.2÷10 ＝2（立方厘米） 答：平均每颗玻璃弹珠的体积大约是2立方厘米。 【易错专练4】下图展示了淘气测量土豆和红薯的体积时做的实验。请你根据淘气的测量数据，求出土豆和红薯的体积分别是多少立方厘米？（单位：厘米） 【答案】土豆144立方厘米；红薯240立方厘米 【分析】由图可知，原来容器中水位高度是8厘米，放入土豆后水位高度是9.5厘米，则水位升高了（9.5－8）厘米，土豆的体积等于上升部分水的体积，则土豆的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，接着放入红薯后水位高度是12厘米，则水位升高了（12－9.5）厘米，红薯的体积等于上升部分水的体积，则红薯的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。 【解答】土豆的体积：12×8×（9.5－8） ＝12×8×1.5 ＝96×1.5 ＝144（立方厘米） 红薯的体积：12×8×（12－9.5） ＝12×8×2.5 ＝96×2.5 ＝240（立方厘米） 答：土豆的体积是144立方厘米，红薯的体积是240立方厘米。 【易错专练5】王爷爷制作了一个长30厘米，宽15厘米，高20厘米的无盖长方体鱼缸。 （1）王爷爷想购买星星彩灯条装饰鱼缸，至少需要买多少厘米的彩灯条？（提示：彩灯条必须覆盖鱼缸所有棱边，连接处不计） （2）王爷爷制作这样的鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （3）王爷爷在鱼缸里放了一块假山石（完全浸没），水面高度由原来的15.5厘米上升到17.5厘米，这块假山石的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）260厘米； （2）2250平方厘米； （3）900立方厘米 【分析】（1）求彩灯条长度即是求长方体的棱长总和，根据公式：长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，即可求出至少需要买多少厘米的彩灯条； （2）求制作这个鱼缸所需玻璃面积，由于鱼缸无盖，所以只需要计算5个面的面积之和，即一个底面和四个侧面的面积。根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出至少需要多少平方厘米的玻璃。 （3）求假山石的体积，根据放入假山石后水面上升的体积就是假山石的体积，利用长方体体积＝长×宽×高来计算。 【解答】（1）（30＋15＋20）×4 ＝65×4 ＝260（厘米） 答：至少需要买260厘米的彩灯条。 （2）30×15＋30×20×2＋15×20×2 ＝450＋1200＋600 ＝2250（平方厘米） 答：王爷爷制作这样的鱼缸至少需要2250平方厘米的玻璃。 （3）30×15×（17.5－15.5） ＝30×15×2 ＝900（立方厘米） 答：这块假山石的体积是900立方厘米。 易错点6：实际问题中体积与表面积混淆。 【易错专练1】用钢化玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，底面长是2米，宽是0.6米，高是1米，制作这个鱼缸需要多少平方米的钢化玻璃？这个鱼缸最多可以盛多少立方米的水？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】4平方米；1.2立方米 【分析】求制作鱼缸需要钢化玻璃的面积，就是求无盖的长方体的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。求这个鱼缸最多盛水多少立方米，就是求这个长方体鱼缸的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】2×0.6＋（2×1＋0.6×1）×2 ＝1.2＋（2＋0.6）×2 ＝1.2＋2.6×2 ＝1.2＋5.2 ＝6.4（平方米） 2×0.6×1 ＝1.2×1 ＝1.2（立方米） 答：制作这个鱼缸需要6.4平方米的钢化玻璃。这个鱼缸最多可以盛多1.2立方米的水。 【易错专练2】深圳大运中心游泳馆比赛池的长是50米、宽是25米、深是2米。往池里加水至1.8米深，按5元/立方米计算，这池水的水费是多少元？ 【答案】11250元 【分析】已知游泳馆比赛池的长、宽和注水的深度，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式，求出注入水的体积； 然后根据单价×数量＝总价，用每立方米水的价钱乘水的体积，即可求出这池水的水费。 【解答】50×25×1.8 ＝1250×1.8 ＝2250（立方米） 5×2250＝11250（元） 答：这池水的水费是11250元。 【易错专练3】一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 【答案】176立方厘米 【分析】根据题意可知，这个零件的体积相当于长为8厘米、宽为6厘米、高为5厘米的长方体的体积减去棱长为4厘米的正方体体积，根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【解答】8×6×5－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 答：铸造一个零件需要这种金属176立方厘米。 【易错专练4】惠阳体育馆有一个长50米、宽25米、深2米的游泳池。 （1）在它的四周和底面贴瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）水池建好后，向池里放水，水面距池口0.5米。池里有水多少立方米？ 【答案】（1）1550平方米 （2）1875立方米 【分析】（1）由题可知，在它的四周和底面贴瓷砖，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答； （2）求这时池中有多少立方米水，长是50米，宽是25米，水深是（2－0.5）米，根据长方体的体积＝长×宽×高进行解答即可。 【解答】（1）50×25＋（25×2＋50×2）×2 ＝1250＋（50＋100）×2 ＝1250＋150×2 ＝1250＋300 ＝1550（平方米） 答：一共需要贴1550平方米的瓷砖。 （2）50×25×（2－0.5） ＝1250×1.5 ＝1875（立方米） 答：池里有水1875立方米。 【易错专练5】如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 【答案】（1）2500立方米 （2）15小时 【分析】（1）要求建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米，把这个中心游泳池看作一个无盖的长方体，相当于求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可解答。 （2）根据长方体的体积公式，求出注入的水的总体积，再除以150，所得结果即为需要几小时注完。 【解答】（1）50×25×2＝2500（立方米） 答：建造奥体中心游泳池至少需要挖土2500立方米。 （2）50×25×1.8÷150 ＝2250÷150 ＝15（小时） 答：需要15小时注完。 专题五分数除法 易错点1：（1）不理解分数除以整数的计算法则,直接把除以一个数变成了乘一个 数,容易造成错解；（2）或把被除数转化成它的倒数。 【易错专练1】直接写出得数。                                                              3÷7＝ 【答案】；；；；； ；；；； 【易错专练2】直接写得数。                                                   【答案】18；15；；7 ；；；54 【易错专练3】直接写出各题得数。                                                               【答案】；；；； ；；； 【易错专练4】直接写出得数。                                              【答案】；；；20； ；；； 【易错专练5】直接写出得数。                                                                      【答案】；；；； ；15；； 【易错专练6】看谁算得快。                                                                              【答案】；；；； ；42；2.4； 【易错专练7】直接写得数。                                                                   【答案】；；0；； ；；12； 【易错专练8】直接写出得数。                                                               【答案】15；20；； ；；； 易错点2：对商与被除数的大小关系判断不准。 【易错专练1】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 （ ）            （ ）        （ ）（） 【答案】＜ ＞ ＝ 【分析】（1）一个非零数乘小于1的数，积小于这个数； （2）一个非零数除以小于1（不为0）的数，商大于这个数； （3）一个非零数除以另一个不为0的数，相当于乘它的倒数。据此解答。 【解答】＜1，所以，＜； ＜1，所以，＞； 4×＝1，4和互为倒数，所以，a÷4＝a×（a＞0）。 ＜   ＞   a÷4＝a×（a＞0） 【易错专练2】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）                （ ）                （ ） 【答案】＞ ＜ ＝ 【分析】先算出的结果，再比较大小；  （      ）根据除数小于1，商大于被除数，比较大小；（      ），根据除以一个数（不为零）等于乘这个数的倒数，，然后比较大小。 【解答】，，，，所以； ，所以，所以； ，所以。 所以：，，。 【易错专练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）            （ ）             （ ）           （ ） 【答案】＞ ＝ ＜ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； （2）一个数（0除外）除以1，商等于原来的数； 一个数（0除外）乘1，积等于原来的数； （3）先计算出的商，再与比较大小； （4）先把2.4拆成2×1.2，然后根据乘法结合律让先计算，再与另一个算式进行比较。 【解答】（1），所以； （2），，所以； （3），，所以； （4），所以。 【易错专练4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）             （ ） （ ）        （ ） 【答案】＜ ＞ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小；据此分析即可。 【解答】，所以＜； ，所以＞； 1.4＞1，所以＞； 3＞1，所以＜ 【易错专练5】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）    （ ） （ ）      （ ） 【答案】＜ ＞ ＝ ＜ 【分析】在分数除法中，除以一个数等于乘它的倒数。 一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于这个数。 同一个因数乘另一个因数，另一个因数越大，则积越大。 据此分析计算比较即可。 【解答】，，，所以＜； ，，，所以＞； ＝，所以＝； ，，，所以＜。 【易错专练6】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）        （ ） （ ）        （ ） 【答案】＝ ＞ ＞ ＜ 【分析】（1）除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；据此把转化成乘法，再与另一个乘法算式比较大小； （2）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； 两个非0数相加，和大于任意一个加数； （3）分别计算出两个算式的结果，再根据“真分数＜假分数”比较大小； （4）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大。 【解答】（1），所以； （2），，，所以； （3），；，所以； （4），则，；所以。 【易错专练7】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）   （ ）        （ ）          （ ） 【答案】＝ ＜ ＞ ＜ 【分析】分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数；一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数；任何数乘1都等于它自己。据此解答。 【解答】 ，，所以 ，所以 ，，，所以 【易错专练8】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）        （ ）        （ ） 【答案】＜ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）除以一个大于1的数，商小于原数；一个数（0除外）乘一个大于1的数，积大于原数；据此解答第一空； 一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于原数；一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数；据此解答第二空、第三空。 【解答】因为3＞1，所以÷3＜，＞，所以÷3＜ 因为＜1，所以＞，＜，所以＞ 因为＜1，所以＞，×＜，所以＞× 易错点3：解决问题时对题中的单位“1”把握不准,导致算法错误。 【易错专练1】在学校组织的劳动实践基地丰收节上，同学们收获白菜200千克，比萝卜的多20千克，同学们收获萝卜多少千克？ 【答案】240千克 【分析】将萝卜的质量看作单位“1”，白菜的质量减去20千克刚好是萝卜质量的，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答即可。 【解答】（200－20）÷ ＝180÷ ＝180× ＝240（千克） 答：同学们收获萝卜240千克。 【易错专练2】师徒两人共加工零件160个，徒弟加工零件的个数是师傅的。师傅比徒弟多加工零件多少个？ 【答案】40个 【分析】由题意可得等量关系为：师傅加工的零件个数加徒弟加工的零件个数＝160。根据徒弟加工零件的个数是师傅的，设师傅加工的零件个数为个，则徒弟加工的零件个数为个，根据等量关系列方程求解。解出的的值为师傅加工的零件个数，再根据求一个数的几分之几是多少，用具体量乘分率，用师傅加工的零件个数乘计算徒弟加工的零件个数，最后用师傅加工的零件个数减去徒弟加工的零件个数。 【解答】解：设师傅加工的零件个数为个，则徒弟加工的零件个数为个。 （个） （个） 答：师傅比徒弟多加工零件40个。 【易错专练3】据科学家探测发现：月球上的引力大约是地球引力的，也就是说在地球上重120kg的物体，到月球上只重20kg。地球的引力大约是木星引力的，则一名在月球上重15kg的宇航员在木星上重多少千克？ 【答案】225kg 【分析】已知“月球上的引力大约是地球引力的”“地球的引力大约是木星引力的”，用可得月球引力是木星引力的几分之几，根据“求一个数的几分之几用乘法”，设这名宇航员在木星上重应该是kg，可列方程，求出方程的解即可。据此解答。 【解答】解：设这名宇航员在木星上测得的体重应该是kg。                     答：这名宇航员在木星上测得的体重应该是225kg。 【易错专练4】六（1）班同学到劳动实践基地悠然农庄参加拔萝卜劳动。男生已经拔了萝卜总数的，女生已经拔了萝卜总数的，这时男生和女生拔的个数比萝卜总数的一半多220个。同学们一共要拔多少个萝卜？ 【答案】800个 【分析】根据题意男生已经拔了萝卜总数的，女生已经拔了萝卜总数的，这时男生和女生一共拔了萝卜总数的，这些又是总数的一半多220个，总数的一半是萝卜总数的，所以用萝卜总数的减萝卜总数的求出两者占比的差；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法；据此列式计算可求出一共要拔多少个萝卜。 【解答】 （个） 答：同学们一共要拔800个萝卜。 【易错专练5】六年级有三个班，六（1）班有36人，六（2）班的人数是六（1）班的，又是六（3）班的，六（3）班有多少人？ 【答案】40人 【分析】根据题意，六（2）班人数是六（1）班的，把六（1）班的人数看作单位“1”，用乘法先求出六（2）班人数；再根据六（2）班人数是六（3）班的，把六（3）班的人数看作单位“1”，单位“1”未知，用除法求出六（3）班人数。 【解答】 （人） 答：六（3）班有40人。 【易错专练6】神舟十九号载人飞船飞行时间为192天，刷新了中国航天员乘组在轨飞行时长纪录。神舟十九号飞行时间是神舟十八号的，神舟十八号载人飞船飞行时间是多少天？ 【答案】183天 【分析】分析题目，把神舟十八号的飞行时间看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，用神舟十九号的飞行时间除以即可解答。 【解答】192÷ ＝192× ＝183（天） 答：神舟十八号载人飞船的飞行时间是183天。 【易错专练7】某粮食加工厂每天加工1200吨粮食，是原计划每天加工粮食的。该粮食加工厂原计划每天加工多少吨粮食？ 【答案】1500吨 【分析】把原计划每天加工粮食的吨数看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用1200除以，即可求出该粮食加工厂原计划每天加工多少吨粮食。 【解答】1200÷ ＝1200× ＝1500（吨） 答：该粮食加工厂原计划每天加工1500吨粮食。 【易错专练8】某小区2025年春节举行了“欢喜迎新年巧编中国结”非遗手工制作活动。编织一个小中国结要用75厘米长的彩绳，是编织一个大中国结要用彩绳的。编织一个大中国结需要多长的彩绳？ （1）根据信息写出等量关系：___________ （2）列方程解决问题。 【答案】（1）大中国结用彩绳长度×＝小中国结用彩绳长度 （2）125厘米 【分析】（1）已知编织一个小中国结用的彩绳长度是编织一个大中国结用彩绳长度的，这里依据 “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法，所以可以得到等量关系：编织一个大中国结用彩绳的长度×＝75厘米。 （2）列方程解决问题：设编织一个大中国结需要x厘米长的彩绳，根据上述等量关系可列出方程x＝75。然后根据等式的性质解方程，求出x的值。 【解答】（1）综上分析所述，可列出等量关系：编织一个大中国结用彩绳的长度×＝75厘米。 （2）解：设编织一个大中国结需要x厘米彩绳 x＝75 x÷＝75÷ x×＝75× x＝125 答：编织一个大中国结需要125厘米。 专题六确定位置 易错点1：位置的相对性理解不正确，角的度量知识掌握不准确。 【易错专练1】某日，蛟龙号载人潜水器抵达南海，在南海某灯塔南偏西30º方向上，那么灯塔在蛟龙号（    ）方向上。 A．北偏东30° B．北偏东60º C．南偏西60º D．东偏北30º 【答案】A 【分析】根据位置的相对性可知，甲地在乙地的什么方向上，则乙地在甲地的相反方向上，角度不变，距离不变。 【解答】“南”的相反方向是“北”，“西”的相反方向是“东”，角度保持不变。 因此可知，灯塔在蛟龙号北偏东30°方向上。 【易错专练2】北偏东又可以说成（    ）。 A．南偏西 B．东偏北 C．东偏北 D．北偏西 【答案】C 【分析】北和东夹角是90°，北偏东30°，就是从正北向东偏转30°，等于从正东向北偏转（90－30）°。 【解答】90°－30°＝60° 北偏东又可以说成东偏北60°。 【易错专练3】如图，有一个边长50米的等边三角形花圃，小玲想要从点M走到点N，可以（    ）。 A．向南偏西30°方向走50米 B．向南偏西60°方向走50米 C．向北偏东30°方向走50米 D．向北偏东60°方向走50米 【答案】A 【分析】将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。等边三角形的三个内角都是60°，西和南之间的夹角是90°，南偏西也可以说成西偏南，西偏南的角度＝90°－南偏西的角度。 【解答】 如图所示，从点M走到点N，可以向南偏西30°或西偏南60°方向走50米。 【易错专练4】如图，以车站为观测点，超市在车站的（    ）。 A．南偏东45°方向700米处 B．南偏西45°方向700米处 C．北偏西45°方向700米处 D．北偏东45°方向700米处 【答案】D 【分析】先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合图上的夹角确定方向；根据图例可知，一个单位长度代表350米，超市与车站之间共两个单位长度，可以用乘法计算出距离；据此解答即可。 【解答】350×2＝700（米） 由分析可得：以车站为观测点，超市在车站的北偏东45°（或东偏北45°）方向700米处；A、B、C选项中的方向都是错误的，只有D选项的方向与距离都正确，所以D选项说法正确。 【易错专练5】游船在惠州西湖湖心亭的北偏东40°方向，距离湖心亭150米；那么从游船处看湖心亭，湖心亭是在游船的（    ）方向上，距离游船150米。 A．南偏西40° B．北偏东40° C．西偏南40° 【答案】A 【分析】位置的相对性：方向相反，角度相同，距离相等，据此结合“北”对“南”，“东”对“西”解答即可。 【解答】游船在惠州西湖湖心亭的北偏东40°方向，距离湖心亭150米；则以游船为观测点，湖心亭在游船的南偏西40°方向，距离游船150米。 故答案为：A 【易错专练6】笑笑家在超市的北偏东的方向上，距离是800米，超市就在笑笑家（ ）偏（ ）（ ）的方向上，距离是（ ）米。 【答案】南 西 30° 800 【分析】根据物体位置的相对性，笑笑家和超市的方向相反，距离相等。北偏东的相对方向是南偏西30°。 【解答】以超市为观测点，笑笑家在超市的北偏东的方向上，距离是800米；那么，以笑笑家为观测点，超市就在笑笑家南偏西30°方向上，距离是800米。 【易错专练7】如图，以科技馆为观测点。 （1）第十二中学在（ ）（ ）°方向上，距离是（ ）米。 （2）实验小学在（ ）（ ）°方向上，距离是（ ）米。 【答案】（1）东偏北 60 400 （2）东偏南 25 200 【分析】（1）观察图可知，以科技馆为观测点，第十二中学在科技馆以东方向为主方向，在东方向的基础上向北方向偏转60°方向上，图中1段表示200米，有2段，所以距离是200×2＝400米。 （2）以科技馆为观测点，实验小学在科技馆以东方向为主方向，在东方向的基础上向南方向偏转25°方向上，有1段，所以距离是200×1＝200米。 【解答】（1）第十二中学在东偏北60°方向上，距离是400米。（答案不唯一） （2）实验小学在东偏南25°方向上，距离是200米。（答案不唯一） 【易错专练8】如下图所示的是乐园小学的校园示意图。 排球场在圆形花坛（ ）偏（ ）（ ）°方向上，距离圆形花坛（ ）m。羽毛球场在圆形花坛（ ）偏（ ）（ ）°方向上，距离圆形花坛（ ）m。 【答案】南 东 60 150 西 南 45 180 【分析】根据方向和距离确定物体的位置，依据图中所给的方向标，角度以及线段所示长度来确定各地点相对于圆形花坛的位置和距离。 以圆形花坛为观测点，根据图中方向标，排球场在南偏东方向，角度为60°，距离是150m； 以圆形花坛为观测点，根据图中方向标，羽毛球场在西偏南方向，角度为45°，距离是180m，据此解答。 【解答】根据分析得：排球场在圆形花坛南偏东60°方向上，距离圆形花坛150m。羽毛球场在圆形花坛西偏南45°方向上，距离圆形花坛180m。 易错点2：画图时混淆了观测点与被观测物体。 【易错专练1】请根据下面的描述画出平面图。 超市在学校西偏北25°方向400m处，电影院在学校东偏南40°方向600m处，少年宫在学校南偏东20°方向300m处，图书馆在学校南偏西20°方向200m处。 【答案】见详解 【分析】此题以学校为观测点，因此要以学校为中心点建立方向标。以画超市的位置为例，先用量角器量出角度，再在这个方向上从学校开始画4个单位长度，表示4个100m，即400m。同理可画出电影院、少年宫、图书馆的位置。 【解答】平面图如下： 【易错专练2】填一填，画一画。 （1）电影院在学校（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离学校（    ）米。 （2）体育场在学校北偏东70°方向，距离学校300米处，请用▲画出来。 【答案】（1）西；北；60；450； （2）见详解 【分析】（1）描述物体的位置时，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合题中角度描述方向，最后根据两地之间的距离确定物体的位置； （2）以学校为观测点，在学校北偏东70°方向上截取300÷150＝2个单位长度，标出角度，终点处标注体育场，据此解答。 【解答】（1）150×3＝450（米） 以学校为观测点，电影院在学校西偏北60°方向上，距离学校450米。 （2）作图如下： 【易错专练3】按要求做一做。 （1）地铁站在商贸中心（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离商贸中心（    ）米。 （2）公交车站在商贸中心东偏南60°方向上，距离商贸中心200米，请你在图上标出公交车站的位置。 【答案】（1）北；西；40；100； （2）见详解 【分析】（1）描述物体的位置时，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合题中角度描述方向，最后根据两地之间的距离确定物体的位置； （2）以商贸中心为观测点，在商贸中心正东偏南60°方向上截取200÷100＝2厘米，标出角度，终点处标注公交车站，据此解答。 【解答】（1）以商贸中心为观测点，地铁站在商贸中心北偏西40°方向上，距离商贸中心100米。 （2）作图如下： 【易错专练4】（1）奶奶家在军军家（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离军军家（    ）m。 （2）周日，军军去公园玩，他从家出发，向南偏东30°方向走200m就到达公园。请在图中标出公园的位置。 【答案】（1）北；西；40；400 （2）见详解 【分析】（1）以军军家为观测点，奶奶家在军军家北偏西40°方向上；图上奶奶家到军军家的线段长2cm，因为1cm表示200m，所以实际距离为200×2＝400m。 （2）因为1cm表示200m，军军从家向南偏东30°方向走200m到公园，所以在图上从家向南偏东30°方向画1cm长的线段，线段的端点就是公园的位置。 【解答】（1）200×2＝400（m） 奶奶家在军军家北偏西40°方向上，距离军军家400m。 （2）如图： 【易错专练5】以公园为观测点。请在图中标出超市和邮局的位置。 （1）超市在公园东偏北40°方向，距离公园450米。 （2）邮局在公园西偏南60°方向，距离公园300米。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】确定物体的位置时，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合题中角度找出方向，最后根据两地之间的距离确定物体的位置。 （1）以公园为观测点，在公园正东偏北40°方向上截取450÷150＝3个单位长度，终点处标注超市； （2）以公园为观测点，在公园正西偏南60°方向上截取300÷150＝2个单位长度，终点处标注邮局，据此作图。 【解答】（1）（2）作图如下： 【易错专练6】如图，小丁家在小学北偏西45°方向上，距离小学600米。 （1）书店在小学（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离小学（    ）米。 （2）小刚家在小学北偏东30°方向上，距离小学600米，请你在图中标出小刚家的位置。 【答案】（1）西；南；45；400； （2）图见详解 【分析】（1）由图可知，图上1厘米代表实际距离200米，由此计算出书店与小学的实际距离；利用平面图上方向规定：上北下南，左西右东，以学校为观测点，确定出书店的位置。 （2）计算出小刚家与小学的图上距离，再以学校为观测点，画出小刚家的位置。据此解答。 【解答】（1）600÷3＝200（米） 200×2＝400（米） 书店在小学西偏南45°（或南偏西45°）方向上，距离小学400米。 （2）600÷200＝3（厘米） 如图： 【易错专练7】五年级的同学在进行徒步活动。他们从学校出发，先向正东方向走了3千米，然后向正北方向走了2千米，接着向正西方向走了1千米，最后沿西偏南45°方向返回学校。请根据以上信息，画出同学们徒步路线图。 【答案】见详解 【分析】由图可知，图上1厘米代表实际距离1千米，由此计算出行走的各个路段的图上距离，利用平面图上方向规定：上北下南，左西右东，依据题意结合图示去解答。 【解答】3÷1＝3（厘米） 2÷1＝2（厘米） 如图： 。 【易错专练8】按下列描述，在图中标出各个地点。 （1）小刚的家在学校的正东方，距离约800米； （2）电影院在学校南偏西40°方向上，距离约400米； （3）汽车站在学校北偏东30°方向上，距离约800米； （4）邮局在学校北偏西60°方向上，距离约200米。 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【分析】1厘米表示400米，先确定图上的距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”以学校为观察点，确定出小刚家、电影院、汽车站、邮局的位置。 【解答】（1）800÷400＝2（厘米） 如下图： （2）400÷400＝1（厘米） 如下图： （3）800÷400＝2（厘米） 如下图： （4）200÷400＝0.5（厘米） 如下图： 易错点3：对路线图理解失误，描述简单的行走路线不完整或画图不完整。 【易错专练1】根据下图填一填。 （1）小玲从家出发先沿（    ）偏（    ）（    ）°方向走600米到达书店，再沿（    ）偏（    ）45°方向走（    ）米到达电影院。小明从公园出发，沿（    ）偏（    ）（    ）°方向走（    ）米到达电影院。 （2）超市在小玲家西偏北60°方向400米处，请在图中标出超市的位置。 【答案】（1）西；北；20；南；西；400；东；南；30；800 （2）见详解 【分析】（1）确定路线时，注意起始点与目的地，起始点是观测点，以图上的“上北下南，左西右东”确定方向，图例表示图上1厘米相当于实际距离200米，据此用方向、角度和距离描述路线。 （2）超市在小玲家西偏北60°方向400米处，以小玲家为观测点，在小玲家西偏北60°方向上画400÷200＝2厘米长的线段，即是超市。 【解答】（1）200×2＝400（米） 200×4＝800（米） 小玲从家出发先沿西偏北20°（或北偏西70°）方向走600米到达书店，再沿南偏西45°（或西偏南45°）方向走400米到达电影院。小明从公园出发，沿东偏南30°（或南偏东60°）方向走800米到达电影院。 （2）400÷200＝2（厘米） 超市的位置如下图： 【易错专练2】快递已经逐渐演变为现代人便捷生活方式的重要组成部分。如图是一位快递员在钟楼小区门口送快递时的线路图。 （1）快递员从小区门口出发，向（    ）方向行走（    ）米可以到达A栋。 （2）从A栋出发，怎样走可以到达B栋？请你帮他描述路线：向（    ）方向行进（    ）米。 （3）快递员的最后一站是C栋，C栋在B栋南偏东60°方向上，距B栋15米，请你在图上画出C栋的位置。 【答案】（1）北偏西50°；20； （2）北偏东60°；30； （3）图见详解 【分析】（1）图上1厘米代表实际距离5米，小区门口到A栋的图上距离是4厘米，由此计算出小区门口到A栋的实际距离，再根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法及给出的角度确定路线即可； （2）先算出A栋到B栋的实际距离，再以A栋为观测点，根据方位辨别方法及给出的角度确定到B栋的路线即可； （3）先用C栋与B栋的实际距离除以5即可算出C栋与B栋的图上距离，在B栋的南偏东60°的方向画出一条射线，并量出和图上距离相等的长度，这个位置就是C栋的位置。 【解答】（1）90°－40°＝50° 4×5＝20（米） 快递员从小区门口出发，向北偏西50°（西偏北40°）方向行走20米可以到达A栋。 （2）90°－30°＝60° 6×5＝30（米） 从A栋出发，向北偏东60°方向行进30米可以到达B栋。 （3）15÷5＝3（厘米） 作图如下： 【易错专练3】人工智能实验室的“小科”机器人，接到学校的物资配送任务。小科从实验室出发，向北偏东30°方向行驶180米到达图书馆。然后从图书馆出发，向东偏南45°方向行驶240米到达学生食堂。 （1）根据描述，在平面图中标出图书馆和食堂的位置。 （2）小科完成任务后，它原路返回时，先向（ ）方向走（ ）m到图书馆，再向（ ）方向走（ ）m到实验室。 （3）若小科的行驶速度为60米/分，那么它从实验室出发，完成整个配送任务（不包含返回），共用时（ ）分钟。 【答案】（1）见详解 （2）西偏北/北偏西 240 南偏西/西偏南 180 （3）7 【分析】（1）确定实验室的位置为坐标原点，根据指向标确定上北下南、左西右东。以实验室为观测点，用量角器画出北偏东的方向，再根据比例尺（图中1段代表60米），标注图书馆。以图书馆为观测点，用量角器画出东偏南的方向，再根据比例尺（图中1段代表60米），标注学生食堂。 （2）原路返回，根据指向标确定上北下南、左西右东，先以学生食堂为观测点，再以图书馆为观测点。两点之间的距离不变。 （3）根据时间＝总路程÷速度解答。 【解答】（1）（1）确定实验室的位置为坐标原点，根据指向标确定上北下南、左西右东。 （2）以实验室为观测点，用量角器画出北偏东的方向，再根据比例尺（图中1段代表60米），量出3段的长度，标注图书馆。 180÷60＝3（段） （3）以图书馆为观测点，用量角器画出东偏南的方向，量出4段的长度，标注学生食堂。 240÷60＝4（段） 作图如下： （2）从学生食堂返回图书馆：与“东偏南”相反的方向是西偏北（或北偏西－＝），距离为240米。 从图书馆返回实验室：与“北偏东”相反的方向是南偏西（或西偏南－＝），距离为180米。 小科完成任务后，它原路返回时，先向西偏北（或北偏西）方向走240m到图书馆，再向南偏西（或西偏南）方向走180m到实验室。 （3）总路程：180＋240＝420（米） 速度：60米/分 用时：420÷60 ＝7（分钟） 若小科的行驶速度为60米/分，那么它从实验室出发，完成整个配送任务（不包含返回），共用时7分钟。 【易错专练4】12路公共汽车从起点站出发，先向西偏北40°行驶3千米走到A站，然后再向正西行驶5千米到达B站，最后向西偏南50°行驶4千米到达终点站。 （1）根据上面的描述，把12路公共汽车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，描述12路公共汽车原路返回时所行驶的方向和路程。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据地图上的方位是“上北下南、左西右东”，根据题意可知，图上1个单位长度表示1千米，据此画出12路公共汽车行驶的线路图即可； （2）根据方向的相对性，写出公共汽车原路返回的行驶路线。 【解答】（1）作图如下： （2）12路公交车从终点站返回起点：先向东偏北50°行驶4千米到达B点，再向正东行驶5千米达A点，然后向东偏南40°行驶3千米到达起点。 【易错专练5】根据路线图解答下列各题。 （1）小卓玛从家出发，先向（    ）偏（    ）40°方向行走（    ）m到达A地，再向（    ）偏（    ）20°方向行走（    ）m到达B地。 （2）小卓玛最终的目的地是C地。C地在B地的北偏西20°方向200m处。请你在图上标出C地的位置。 【答案】（1）北；西；300；东；北；400 （2）见详解 【分析】（1）在平面中的方向是上北下南左西右东，图中的每一个长度单位表示100米，据此来判断行走的方向及距离。 （2）要标出C点的位置，以B点为观测点，在B点位置建立小“十”字方向标，向北偏西20°方向上画2个单位长度， 标出C点。 【解答】（1）小卓玛从家出发，先向（北）偏（西）40°方向行走（300）m到达A地，再向（东）偏（北）20°方向行走（400）m到达B地。 （2） 【点睛】本题考查了位置与方向，能明确平面中的方向，并按方向、角度、距离画出所在位置是解答本题的关键。 专题七用方程解决问题 易错点1：不理解题意,找错等量关系,导致列出错误的方程。 【易错专练1】甲乙两城相距435千米，两辆摩托车同时从两城相对开出，已知一辆摩托车每小时行84千米，另一辆摩托车每小时行90千米。多少小时后两车相遇？ 【答案】2.5小时 【分析】设小时后两车相遇。先将两辆摩托车的速度求和计算出速度和；再根据等量关系“速度和×相遇时间＝总路程”列出方程并求解。 【解答】解：设小时后两车相遇。 答：2.5小时后两车相遇。 【易错专练2】列方程解决问题：小丁丁每天早上7：59从家出发上学。如果每分钟走80米，那么正好准时到校。如果每分钟走70米，则会迟到3分钟。小丁丁家离学校有多远？ 【答案】1680米 【分析】本题是关于行程问题中的列方程解应用题。解题的关键在于找到不变量，即小丁丁家到学校的距离是不变的。根据“路程速度时间”这一等量关系式，用含有未知数的式子表示出小丁丁在两种速度下的路程，根据两种情况下路程相等建立等量关系，列出方程求得时间，后再求得小丁丁家到学校的距离。直接设小丁丁每分走80米需要的时间为未知数。 【解答】解：设每分走80米需分钟，那么每分走70米需分钟。 （米） 答：小丁丁家离学校 1680 米。 【易错专练3】五（1）班的同学把收集的废旧纸板和塑料制品卖给回收站，一共13.3千克，其中废旧纸板的质量是塑料制品质量的2.5倍，两种废旧物品各有多少千克？（列方程解答） 【答案】废旧纸板 千克，塑料制品 千克 【分析】本题考查列方程解决实际问题中的“和倍问题”。根据题意，已知废旧纸板和塑料制品的总质量以及两者之间的倍数关系。解题时，通常设作为标准的量（即单位“1”的量）为未知数 。本题中塑料制品的质量较小，适合作为单位“1”的量，设塑料制品的质量为 千克，则废旧纸板的质量为 千克。根据“塑料制品质量 ＋ 废旧纸板质量 ＝ 总质量”这一等量关系列出方程，求出 的值后，再计算废旧纸板的质量。 【解答】解：设塑料制品的质量为 千克，则废旧纸板的质量为 千克。 （千克） （千克） 答：废旧纸板有 9.5 千克，塑料制品有 3.8 千克。 【易错专练4】在一次网络评卷中，张老师和顾老师共同批阅同一道题，共有2520份试卷，张老师每分钟可以批阅10份，顾老师每分钟比张老师多批4份。两位老师批阅这些试卷需要多长时间？ 【答案】105分钟 【分析】张老师每分钟可以批阅10份，顾老师每分钟比张老师多批4份，那么顾老师每分钟可以批阅份。设两位老师批阅这些试卷需要分，那么张老师可以批阅份，顾老师可以批阅份，根据张老师批阅的份数＋顾老师批阅的份数＝2520份，列出方程进行求解即可。 【解答】解：设两位老师批阅这些试卷需要分。                                                                        答：两位老师批阅这些试卷需要105分钟。 【易错专练5】在一次区运动会的长跑比赛上，园园以每分190m的速度匀速前进，已经领先海海15m。这时，海海以每分195m的速度开始追赶园园。海海几分后可以追上园园？ 【答案】3分 【分析】根据园园先跑了15米，所以园园与海海两人之间的路程差是15米；等量关系式：海海的路程－园园的路程＝15，据此列出方程并求解即可。 【解答】解：设海海x分后可以追上园园。 答：海海3分后可以追上园园。 【易错专练6】儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 【答案】30件 【分析】设共购进这种女童装上衣件，则卖出件，根据单价×数量＝总价，可得总收入为元，总成本为元，根据总收入－总成本＝盈利钱数，列出方程解答即可。 【解答】解：设共购进这种女童装上衣件。 答：儿童服装商店共购进这种女童装上衣30件。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键是找到等量关系，同时要注意利润是售价减成本。 【易错专练7】将一个长方形的长增加3厘米，宽增加4厘米，就变成一个正方形。正方形面积比长方形大79平方厘米，求原来长方形的面积。 【答案】90平方厘米 【分析】根据题意，长方形的长增加3厘米，宽增加4厘米，就变成一个正方形，说明这个长方形的长比宽多1厘米。先假设原来长方形的宽不变，长增加3厘米，面积就增加一个小长方形，这个小长方形的长正好是原来长方形的宽，小长方形的宽是3厘米；这时得到一个大的长方形，又假设大长方形的长不变，宽增加4厘米，面积又增加一个小长方形，这个小长方形的长正好是原来长方形的长加3的和，小长方形的宽是4厘米；根据增加的两个小长方形的面积和是79平方厘米，列出方程解决。 【解答】解：设原来长方形的长是a厘米，则原来长方形的宽是（a－1）厘米。 （a－1）×3＋（a＋3）×4＝79 3a－3＋4a＋3×4＝79 3a＋4a－3＋12＝79 7a＋9＝79 7a＋9－9＝79－9 7a＝70 7a÷7＝70÷7 a＝10 a－1＝10－1＝9 10×9＝90（平方厘米） 答：原来长方形的面积是90平方厘米。 【点睛】根据长方形的长增加3厘米，宽增加4厘米，就变成一个正方形，说明这个长方形的长比宽多1厘米。再画图理解增加的面积是两个小长方形的面积之和，列方程解答。 【易错专练8】一辆货车和一辆小汽车分别从相距315千米的甲、乙两地同时相对开出，2.5时后两车相遇，已知小汽车的速度是货车的1.8倍，货车和小汽车每时分别行驶多少千米？（列方程解决问题） 【答案】货车：45千米；小汽车：81千米 【分析】解：设货车的速度是x千米，小汽车的速度是货车的1.8倍，则小汽车的速度是1.8x千米。根据路程＝速度×时间，2.5小时货车行驶2.5x千米；2.5小时小汽车行驶（2.5×1.8x）千米；货车行驶的路程＋小汽车行驶的路程＝甲、乙两地的距离，列方程：2.5x＋1.8×2.5x＝315，解方程，即可解答。 【解答】解：设货车的速度是x千米，则小汽车的速度是1.8x千米。 2.5x＋1.8×2.5x＝315 2.5x＋4.5x＝315 7x＝315 x＝315÷7 x＝45 小汽车速度：45×1.8＝81（千米） 答：货车每时行驶45千米，小汽车每时行驶81千米。 易错点2：设未知数不规范。 【易错专练1】水果店运进苹果和香蕉共250千克，苹果的质量是香蕉的1.5倍。运进苹果和香蕉各多少千克？（列方程解决问题） 【答案】苹果：150千克；香蕉：100千克 【分析】由题意可知：香蕉的质量是1倍量，设香蕉的质量是x千克，则苹果的质量是1.5x千克。根据等量关系“苹果的质量＋香蕉的质量＝250”列出方程并解方程即可求出香蕉的质量；再用250千克减去香蕉的质量可求出苹果的质量。 【解答】解：设香蕉的质量是x千克。 1.5x＋x＝250 2.5x＝250 2.5x÷2.5＝250÷2.5 x＝100 250－100＝150（千克） 答：运进苹果150千克，运进香蕉100千克。 【易错专练2】鲜农果园里种着桃树和杏树，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树共有372棵。鲜农果园里杏树有多少棵？（列方程解答） 【答案】279棵 【分析】根据题意，设桃树有x棵，杏树的棵数是桃树的3倍，杏树有3x棵，桃树和杏树共有372棵，列方程：x＋3x＝372，解方程，求出桃树的棵数，进而求出杏树的棵数。 【解答】解：设桃树有x棵，则桃树有3x棵。 x＋3x＝372 4x＝372 x＝372÷4 x＝93 杏树：93×3＝279（棵） 答：鲜农果园里杏树有279棵。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用桃树和杏树棵数之间的关系，设出未知数，找出先关的量，列方程，解方程。 【易错专练3】宁宁和静静共同录入183条学生信息。宁宁从前往后录，每分钟录3条，静静从后往前录，两人同时开始，36.6分钟后录完。静静每分钟录几条信息？（用方程解） 【答案】2条 【分析】根据题意，设静静每分钟录x条信息，根据工作效率和×工作时间＝工作总量，静静和宁宁每分钟工作效率和为（3＋x）条，再用她们的工作效率和乘她们完成录入的时间36.6分钟，等于需要共同录入的学生信息数，据此可列出方程为：（3＋x）×36.6＝183，解方程即可。 【解答】解：设静静每分钟录x条信息。 （3＋x）×36.6＝183 （3＋x）×36.6÷36.6＝183÷36.6 3＋x＝5 3＋x－3＝5－3 x＝2 答：静静每分钟录入2条信息。 【点睛】解答此题的关键是根据题干找到本题的等量关系，再根据等量关系列出方程求解即可。 【易错专练4】服装厂有工人156人，其中女工人数是男工人数的3倍，求有男工、女工各多少人？ 【答案】男工39人；女工117人 【分析】根据题意，男工的人数＋女工的人数＝156人，根据女工人数是男工人数的3倍，设男工有x人，则女工有3x人，根据等量关系列方程解答即可。 【解答】解：设男工有x人，则女工有3x人。 x＋3x＝156 4x＝156 x＝156÷4 x＝39 女工人数：39×3＝117（人） 答：有男工39人，女工117人。 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系。 【易错专练5】智慧老人和淘气今年各多少岁？ 【答案】智慧老人今年66岁，淘气今年11岁。 【分析】根据题意，设淘气今年x岁，智慧老人今年的年龄正好是淘气年龄的6倍，也就是6x岁，且智慧老人今年的年龄比淘气大55岁，即：智慧老人年龄－淘气年龄＝55岁；据此列方程解答即可。 【解答】解：设淘气今年x岁，则智慧老人今年6x岁。 6x－x＝55 5x＝55 x＝11 55＋11＝66（岁） 答：智慧老人今年66岁，淘气今年11岁。 【点睛】抓住重点句子“智慧老人今年的年龄比淘气大55岁，且正好是淘气年龄的6倍”，列出等量关系式，根据等量关系式列方程解答。 【易错专练6】一个长方形的周长是72厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（用多种方法列方程解决问题） 【答案】长27厘米；宽9厘米 【分析】方法1：把宽设为未知数，长方形的长＝宽×3，等量关系式：（长＋宽）×2＝长方形的周长； 方法2：把宽设为未知数，长方形的长＝宽×3，等量关系式：长×2＋宽×2＝长方形的周长； 方法3：把宽设为未知数，由长方形的周长可知，长＝周长÷2－宽，等量关系式：宽×3＝长方形的长；据此解答。 【解答】方法1：解：设这个长方形的宽为x厘米，则长为3x厘米。 （x＋3x）×2＝72 4x×2＝72 8x＝72 x＝72÷8 x＝9 长：3×9＝27（厘米） 答：这个长方形的长是27厘米，宽是9厘米。 方法2：解：设这个长方形的宽为x厘米，则长为3x厘米。 2x＋2×3x＝72 2x＋6x＝72 8x＝72 x＝72÷8 x＝9 长：9×3＝27（厘米） 答：这个长方形的长是27厘米，宽是9厘米。 方法3：解：设这个长方形的宽为x厘米，则长为（72÷2－x）厘米。 3x＝72÷2－x 3x＝36－x 3x＋x＝36 4x＝36 x＝36÷4 x＝9 长：72÷2－9 ＝36－9 ＝27（厘米） 答：这个长方形的长是27厘米，宽是9厘米。 【点睛】本题主要考查列方程解决问题，掌握长方形的周长计算公式是解答题目的关键。 【易错专练7】甲、乙两队合凿一条长700米的隧道，甲队每天凿12.6米，乙队每天凿14.4米，甲队先凿了25米后，甲、乙合作开凿，合作多少天后能凿通隧道？（用方程解） 【答案】25天 【分析】甲队先凿了25米后，这条隧道剩（700－25）米，由甲、乙合作开凿，根据工作效率×工作时间＝工程量列方程并求解。 【解答】解：设合作x天后能凿通隧道。 （12.6＋14.4）x＝700－25 27x＝675 x＝25 答：合作25天后能凿通隧道。 【点睛】本题考查利用方程解决问题，关键是掌握工作效率×工作时间＝工程量这一等量关系。 【易错专练8】港珠澳大桥是一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，位于广东省珠江口伶仃洋区域内，全长55千米。苏通大桥位于江苏省境内，是沈阳—海口高速公路跨越长江的重要枢纽。港珠澳大桥的长度比苏通大桥全长的2倍少9.8千米，苏通大桥全长多少千米？（列方程解决问题） 【答案】32.4千米 【分析】港珠澳大桥的长度比苏通大桥全长的2倍少9.8千米，等量关系为：苏通大桥全长×2－9.8千米＝港珠澳大桥全长。设苏通大桥全长为未知数，根据等量关系列出方程，再利用等式的性质求出方程的解即可。 【解答】解：设苏通大桥全长x千米。 2x－9.8＝55 2x＝55＋9.8 2x＝64.8 x＝64.8÷2 x＝32.4 答：苏通大桥全长32.4千米。 易错点3：方程求解易出错。 【易错专练1】甲、乙两个工程队同时修一条长800米的水渠，他们从两端往中间挖，甲队每天挖22米，乙队每天挖18米，多少天可以完成任务？（用方程解决问题） 【答案】20天 【分析】设x天可以完成任务，则甲队x天可以挖22x米，乙队x天可以挖18x米，根据等量关系：“甲队x天挖的米数＋乙队x天挖的米数＝800米”列方程解答即可。 【解答】解：设x天可以完成任务。 22x＋18x＝800 40x＝800 40x÷40＝800÷40 x＝20 答：20天可以完成任务。 【易错专练2】竹工艺品是指以竹子为原料进行雕刻、绘画等艺术创作的工艺品。师徒二人要加工360件竹工艺品，二人同时加工，师父每小时加工25件，徒弟每小时加工20件。几时能完成这项任务？ 【答案】8时 【分析】已知师徒二人要加工360件竹工艺品，二人同时加工，师父每小时加工25件，徒弟每小时加工20件，则先用师父每小时加工的件数加上徒弟每小时加工的件数，求出师父和徒弟每小时加工的件数之和，再设x时能完成这项任务，根据师父和徒弟每小时加工的件数之和乘以时间等于师徒二人要加工的总件数，据此列出方程解答。 【解答】解：设x时能完成这项任务。                                                              答：8时能完成这项任务。 【易错专练3】兴华小学在落实“五育并举”工作中，组织学生开展了“美德少年我争光”“分享阅读我最棒”等多项活动，这些活动的开展获得了全校师生一致好评，大家争相参与其中。在“分享阅读我最棒”活动准备时，五（1）班和五（2）班的学生分别整理了自己班级的图书角。五（1）班图书角的图书数量是五（2）班的1.6倍，如果五（1）班给五（2）班15本图书，两个班的图书数量就一样多。原来五（1）班、五（2）班图书角各有多少本图书？列方程解决问题。 【答案】五（1）班80本；五（2）班50本 【分析】根据“五（1）班图书角的图书数量是五（2）班的1.6倍”可以设原来五（2）班图书角有本图书，则原来五（1）班图书角有1.6本图书； 根据“五（1）班给五（2）班15本图书，两个班的图书数量就一样多”可得出等量关系：五（1）班原有图书的本数－15＝五（2）班原有图书的本数＋15，据此列出方程，并求解。再用五（2）班的本数乘1.6可得五（1）班本数。 【解答】解：设原来五（2）班图书角有本图书，则原来五（1）班图书角有1.6本图书。 1.6－15＝＋15 1.6－15－＝＋15－ 0.6－15＝15 0.6－15＋15＝15＋15 0.6＝30 0.6÷0.6＝30÷0.6 ＝50 五（1）班原有图书：50×1.6＝80（本） 答：原来五（1）班图书角有80本，原来五（2）班图书角有50本。 【易错专练4】某小学师生138人去公园划船，一只大船能坐6人，一只小船能坐4人，他们租了大小船共27只，正好坐满。问他们租了大小船各多少只？ 【答案】大船15只；小船12只 【分析】根据题意，设大船租了只，则小船租了只，然后根据总人数＝大船人数＋小船人数，即可列出方程。 【解答】解：设大船租了只，则小船租了只。 27－15＝12（只） 答：大船租15只，小船租12只。 【点睛】本题主要考查用方程解决问题，涉及每条船上的人数×船的只数＝总人数三者之间的关系，每条船上的人数是知道的，因此，船的只数和总人数，一个用来设未知数，一个用来列方程。 【易错专练5】A、B两地相距395千米，甲开货车从A地出发，1小时后乙开小轿车从B地出发，相向而行。甲每时行驶50千米，乙每时行驶65千米。乙出发后多长时间甲乙相遇？ 【答案】3小时 【分析】设乙出发后x小时甲乙相遇，根据等量关系，甲先1小时行驶的路程＋甲相遇时行驶的路程＋乙相遇时行驶的路程＝A、B两地相距的路程，列方程解答即可。 【解答】解：设乙出发后x小时甲乙相遇。 50×1＋50x＋65x＝395 50＋50x＋65x＝395 50＋115x＝395 50＋115x－50＝395－50 115x＝345 115x÷115＝345÷115 x＝3（小时） 答：乙出发后3小时甲乙相遇。 【易错专练6】A、B两个码头相距880千米，一艘邮轮和一艘货轮分别从A、B两个码头相对开出，10小时后相遇。货轮的速度是邮轮速度的1.2倍，邮轮和货轮的速度分别是多少千米/时？ 【答案】邮轮40千米/时；货轮48千米/时 【分析】根据“货轮的速度是邮轮速度的1.2倍”，可以设邮轮的速度是千米/时，则货轮的速度1.2千米/时； 根据“速度和×相遇时间＝路程”可得出等量关系：（邮轮的速度＋货轮的速度）×相遇时间＝A、B两个码头的距离，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设邮轮的速度是千米/时，则货轮的速度1.2千米/时。 （＋1.2）×10＝880 2.2×10＝880 22＝880 ＝880÷22 ＝40 货轮的速度：40×1.2＝48（千米/时） 答：邮轮的速度是40千米/时，货轮的速度是48千米/时。 【易错专练7】便利店进了4箱梨后，又进了3箱苹果和1箱梨。 （1）进1箱梨和1箱苹果各需多少元？ （2）如果便利店用250元进了5箱苹果后，用剩下的钱最多能进几箱梨？ 【答案】（1）梨18元；苹果30元 （2）5箱 【分析】（1）从左图可知，进4箱梨共花了72元，得出等量关系：进1箱梨的价钱×梨的箱数＝进4箱梨的总钱数，据此列出方程，并求解； 从右图可知，进3箱苹果和1箱梨共花了108元，得出等量关系：进1箱梨的价钱＋进1箱苹果的价钱×苹果的箱数＝进3箱苹果和1箱梨的总钱数，据此列出方程，并求解。 （2）已知进了5箱苹果，根据“总价＝单价×数量”求出进苹果花的钱数；再用总钱数减去苹果花的钱数，求出剩下的钱数； 求剩下的钱最多能进几箱梨，根据“数量＝总价÷单价”，用剩下的钱数除以1箱梨的价钱，无论结果剩下几元钱，都不够再买1箱梨，所以得数用“去尾法”保留整数。 【解答】（1）解：设进1箱梨需元。 4＝72 4÷4＝72÷4 ＝18 解：设进1箱苹果需元。 18＋3＝108 18＋3－18＝108－18 3＝90 3÷3＝90÷3 ＝30 答：进1箱梨需18元，进1箱苹果需30元。 （2）250－30×5 ＝250－150 ＝100（元） 100÷18≈5（箱） 答：用剩下的钱最多能进5箱梨。 【易错专练8】政府决定修建一条海洋隧道，其中一段隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作20天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作5天，这25天共掘进425米。已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进5米。求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？ 【答案】甲工程队15米；乙工程队10米 【分析】设乙工程队平均每天掘进米，则甲工程队平均每天掘进米，根据，，由题意可知等量关系式：甲工程队的工作效率×20＋（甲工程队的工作效率＋乙工程队的工作效率）×5＝425，据此列方程并求解即可得乙工程队的工作效率，用乙工程队的工作效率＋5，可得甲工程队的工作效率。 【解答】解：设乙工程队平均每天掘进米，则甲工程队平均每天掘进米。 10＋5＝15（米） 答：甲工程队平均每天分别掘进15米，乙工程队平均每天分别掘进10米。 专题八数据的表示和分析 易错点1：统计图选择与解读偏差。 【易错专练1】如果要比较五（1）班和五（2）班在运动会中各个项目得分情况，那么采用（    ）统计图比较合适。 A．单式折线 B．复式条形 C．复式折线 【答案】B 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图能反映数量的增减变化情况，由此根据情况进行选择即可。若有两组及以上数据的，应用复式统计图。据此逐项分析即可。 【解答】A．单式折线统计图只能表示一组数据的变化趋势，无法同时表示两个班级的得分并进行比较，此选项错误； B．复式条形统计图能清楚地表示出两组数据的数量多少，便于直观比较两个班级在各个项目上的得分情况，此选项正确； C．复式折线统计图主要用于表示两组数据的变化趋势，而本题侧重于比较各个项目的得分数量，此选项错误。 采用复式条形统计图比较合适。 【易错专练2】下列信息中，最适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．3月份各种车型销售的辆数 B．各社团参加的学生人数 C．足球联赛各队进球数 D．近6个月的每月收入支出变化数 【答案】D 【分析】折线统计图不仅能看清数量的多少，还能反映数量的增减变化情况。据此解答。 【解答】A．要表示3月份各种车型销售的辆数，适合用条形统计图； B．要表示各社团参加的学生人数，适合用条形统计图； C．要表示足球联赛各队进球数，适合用条形统计图； D．要表示近6个月的每月收入支出变化数，适合用折线统计图。 【易错专练3】近年来，随着生态环境的持续改善，辽宁已成为众多鸟类迁徙停歇、栖息繁殖的理想之地。想要反映每年不同鸟类的数量变化情况和趋势最好选用（    ）。 A．统计表 B．折线统计图 C．复式折线统计图 D．复式条形统计图 【答案】C 【分析】反映统计数量一般应用条形统计图和折线统计图。 只表示数量，一般用条形统计图；表示数量增减变化的情况，一般用折线统计图。 复式折线统计图，不仅能清楚地看出数量的多少和数量的增减变化情况，还能更方便地对两组数据进行比较分析。 复式条形统计图的特点是能清楚地看出数量的多少，便于比较两组数据的多少。 复式条形统计图一般用两种不同颜色的直条来表示不同的类型；复式折线统计图的两条线，一条为实线，另一条为虚线。 根据统计图的特征来选择适合此题的选项。 【解答】这道题想要反映每年不同鸟类的数量变化情况和趋势，重点考虑每年不同鸟类数量的数据一般有两组或两组以上，属于复式统计图；还需要考虑数量变化情况趋势，属于折线统计图，符合此题条件的是复式折线统计图。 故答案为：C 【易错专练4】要了解清远市2024年和2025年的月降水量变化趋势，应绘制（    ）统计图。 A．单式条形 B．复式条形 C．单式折线 D．复式折线 【答案】D 【分析】复式条形统计图适用于比较不同类别的数据在相同项目上的数值，而比较同一事物在不同时间的变化趋势应使用复式折线统计图，据此解答。 【解答】分析可知，要了解清远市2024年和2025年的月降水量变化趋势，应绘制复式折线统计图。 故答案为：D 【易错专练5】校服是一种常见的学生服。在我国，基本每个学校都有自己特定的校服，校服体现了学生的特点及风貌，它不仅在衣着方面起到一定的作用，而且在学生的思想领域也有不可或缺的作用。实验小学一年级的新生要定制新校服，张老师需要把一年级6个班的男、女生具体人数情况绘制成统计图，应绘制下面哪种统计图比较合适？（    ） A．复式条形统计图 B．复式折线统计图 C．单式折线统计图 【答案】A 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。 【解答】因为条形统计图能很容易看出数量的多少，所以为了具体形象地反映一年级6个班的男、女生具体人数情况，应选用复式条形统计图。 故答案为：A 【点睛】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。 易错点2：制作复式条形统计图不规范。 【易错专练1】在体育课上以小组为单位分别做双手投球和单手投球的活动并将数据记录下来，下面是第一活动小组同学的投球情况。 投球者 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 单手投球的距离 12.5 13.0 12.5 11.5 12.0 10.5 13.0 双手投球的距离 11.0 9.5 11.0 13.0 9.0 10.5 12.5 怎样用条形统计图表示上面的两组数据呢？ 【答案】见详解 【分析】①在统计图上方中间写出统计图的名称。 ②确定横轴（表示投球者）和纵轴（表示距离）。 ③在统计图右上方标明图例。（为了把两组数据区分开，要用不同颜色或不同底纹的直条表示） ④在横轴上适当分配直条的位置。（每人要画两个等宽且相邻的直条，每两人的直条间隔相等） ⑤确定纵轴上的单位距离。 ⑥根据数据大小在横轴上画出长短不同的直条。 【解答】绘制复式条形统计图如下： 【易错专练2】下面是中山小学五年级学生在一次体能测试中各项目达标人数统计表。根据统计表提供的信息，把统计图补充完整。 项目 立定跳远 50米短跑 坐位体前屈 800米中长跑 男生 33 37 18 40 女生 35 30 33 27 【答案】见详解 【分析】观察条形统计图，纵轴表示人数，横轴表示项目；从纵轴的数据可知，每格表示（25－20）人，据此把纵轴补充完整；结合统计表中的数据，用直条的长短表示数量的多少，据此把统计图补充完整。 【解答】每格表示：25－20＝5（人） 如图： 【易错专练3】某次体育达标测试，甲、乙两班各50名同学的成绩如下表： 分数段/分 60以下 60－69 70－79 80－89 90－100 甲班/人 2 3 10 15 20 乙班/人 4 5 7 18 16 根据上表中的数据，请用统计图表示各班各分数段的人数情况。 甲、乙两班同学某次体育达标测试的成绩统计图 【答案】见详解 【分析】根据统计表提供的数据在统计图中画出相应长度的条形即可。 【解答】 【点睛】本题主要考查从统计表中获取信息制作条形统计图的能力。 【易错专练4】某花店四个月售出玫瑰和菊花的盆数如下表，根据表中数据完成下面的复式条形统计图。 一月 二月 三月 四月 玫瑰 180 150 170 140 菊花 90 85 108 60 【答案】见详解 【分析】统计图中横轴表示月份，纵轴表示盆数，单位长度表示30盆，根据表格中的数据画出各月份对应的条形，玫瑰花用空白条形表示，菊花用阴影条形表示，最后标注数据，据此解答。 【解答】分析可知： 【点睛】本题主要考查复式条形统计图，掌握条形统计图的绘制方法是解答题目的关键。 【易错专练5】下面是一个社区图书馆双休日借阅情况的统计表。 种类 文艺 旅游 科技 生活 周六 138 186 110 164 周日 176 108 92 198 根据以上的数据制成复式条形统计图。 【答案】见详解 【分析】根据题意，可利用统计表中提供的数据进行复式条形统计图的绘制即可。 【解答】作图如下： 【点睛】此题主要考查的是如何从统计表中获取信息绘制复式条形统计图。 易错点3：数据对比与分析偏差。 【易错专练1】下图是甲、乙两地月平均气温统计图，请根据统计图解决问题。 （1）根据统计图，你说一说两地一年中气温变化的趋势。 （2）有一种植物的生长期为4个月，适宜的生长温度为7℃—10℃，这种植物适合在哪个地方种植？ （3）乐乐家住在乙地，他们一家要在“十一”黄金周去甲地旅游，你认为他们应该做哪些准备？ 【答案】（1）甲乙两地一年温度先逐步升高，7月份达到最高，然后下降。 （2）甲地 （3）温度下降，应该多准备一些保暖的衣服。 【分析】（1）甲地的最低月平均气温是3°C，最高月平均气温是28.8°C，整个折线起伏较大，气温变化明显。乙地的最低月平均气温是17°C，最高月平均气温是28.4°C，整个折线比较平缓，气温变化相对不明显。 （2）甲地11月至来年3月月平均气温在3~11.1°C，适宜种植。乙地月平均气温均不低于17°C，不适宜种植。 （3）乐乐家住在乙地，乙地10月份的月平均气温是24.8°C，此时甲地的月平均气温是17.5°C，气温有些低，所以应准备一些保暖的衣服 【解答】（1）乙地一年12个月气温都比较高，气温变化不大，甲地4一10月气温较高，而其他几个月气温相对较低，气温变化较大。两地都是1一7月气温呈上升趋势，8一12月气温呈下降趋势。综上可知：甲乙两地一年温度先逐步升高，7月份达到最高，然后下降。 （2）这种植物适合在甲地种植。 （3）温度下降，应准备一些保暖的衣服。（答案合理即可） 【易错专练2】下面是某地男生、女生7～15岁平均身高统计表。（单位：厘米） （1）根据表中数据，把上面的折线统计图补充完整。 （2）7～12岁之间，______的平均身高高一些；12岁之后，______的平均身高高一些。______岁时，男女生平均身高相差最大。 （3）晓思的哥哥今年13岁了，身高156厘米。请你对他提出一条建议。 【答案】（1）见详解 （2）女生 男生 15 （3）见详解 【分析】（1）先根据统计表中的男生平均身高的数据，在统计图中描出各点，再依次连接，把折线统计图补充完整。 （2）复式折线统计图中实线表示男生的平均身高，虚线表示女生的平均身高，比较7～12岁之间、12岁之后的两条折线，哪条折线在上方，表示对应的平均身高高一些； 同一年龄时两条折线的差距越大，表示这个年龄段的男女生平均身高相差最大。 （3）结合折线统计图，发现13岁的晓思哥哥的身高比13岁的男生平均身高低，据此提出建议，合理即可。 【解答】（1）如图： （2）7～12岁之间，女生的平均身高高一些；12岁之后，男生的平均身高高一些。15岁时，男女生平均身高相差最大。 （3）建议：多参加体育运动，合理饮食，不挑食，保证充足的睡眠。（答案不唯一） 【易错专练3】表是1月～7月A，B两品牌手机出货量统计表。 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 A品牌手机/万部 250 270 280 200 240 260 320 B品牌手机/万部 300 310 280 320 310 250 280 （1）请把统计图补充完整。 （2）（    ）品牌手机的月平均出货量高一些。 （3）你觉得哪个品牌手机的月出货量有可能还会提高？请说明理由。 【答案】（1）见详解 （2）B （3）见详解 【分析】（1）根据统计表中的数据，完善复式条形统计图即可。 （2）根据平均数的计算方法，分别计算两个品牌手机的月平均出货量，比较解答即可。 （3）结合条形统计图，回答合理即可。 【解答】（1）如图： （2）A品牌手机： （250＋270＋280＋200＋240＋260＋320）÷7 ＝1820÷7 ＝260（万部） B品牌手机：（300＋310＋280＋320＋310＋250＋280）÷7 ＝2050÷7 ≈292.86（万部） 260＜292.86 所以B品牌手机的月平均出货量高一些。 （3）我觉得A品牌手机的月出货量有可能还会提高，因为自6月份开始，A品牌手机的月平均出货量开始超过B品牌手机的月平均出货量。（答案不唯一） 【易错专练4】根据下面两幅统计图回答问题。 （1）从复式折线统计图中可以看出（    ）的成绩提高得快。 （2）从复式条形统计图中可以看出（    ）思考的时间多一些，多（    ）分。 （3）奇思最后三次自测的平均成绩是多少？ （4）请你分析一下成绩提高快的原因。 【答案】（1）奇思 （2）奇思；10 （3）80分 （4）见详解 【分析】（1）观察复式折线统计图，从第2次的自测以后，实线都在虚线的上方，说明奇思的成绩比妙想成绩提高得快。 （2）从复式条形统计图中可知，奇思的思考时间是30分，妙想的思考时间是20分，奇思的思考时间比妙想多，再用减法求出多的时间。 （3）先用加法求出奇思最后三次自测成绩之和，再除以3，即是他最后三次自测的平均成绩。 （4）结合两幅统计图中的信息，得出成绩提高快的原因，合理即可。 【解答】（1）从复式折线统计图中可以看出奇思的成绩提高得快。 （2）30＞20 30－20＝10（分） 从复式条形统计图中可以看出奇思思考的时间多一些，多10分。 （3）（70＋80＋90）÷3 ＝240÷3 ＝80（分） 答：奇思最后三次自测的平均成绩是80分。 （4）成绩提高快的原因：提高学习效率，多读书，勤思考，平时多做一些练习题。（答案不唯一） 【易错专练5】李叔叔开了两家餐饮店，下面是两个店近几年来的营业额统计表。 （1）请根据统计表，完成下面统计图 甲、乙两店近几年营业额统计图 （2）在上图中，你能得到哪些信息？（至少写出2条） （3）李叔叔想开一间文具店，必须关闭一个餐饮店，你会给李叔叔什么样的建议？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）根据统计表提供的数据，绘制完整的统计图； （2）根据统计图，甲店、乙店营业额的趋势，说出得到的信息（答案不唯一）。 （3）关闭一个餐饮店，就要根据营业额的趋势进行解答（答案不唯一）。 【解答】（1）如图： （2）从图中可知，甲店的营业额呈下降趋势，乙店的营业额呈上升趋势。 （3）建议关闭甲店，因为甲店的营业额呈下降奇思，乙店的营业额呈上升趋势。 易错点4：求平均数时,没有分清总数量或是总份数而出错。 【易错专练1】妙想家上半年用电696千瓦时，每千瓦时电的价格是0.55元，平均每个月要付电费多少元？ 【答案】63.8元 【分析】先根据“总电费＝总用电量×每千瓦时电价”，求出上半年的总电费；再用总电费除以月份数6，求出平均每个月要付的电费。据此解答。 【解答】696×0.55÷6 ＝382.8÷6 ＝63.8（元） 答：平均每个月要付电费63.8元。 【易错专练2】把五个人的成绩按从高到低的顺序排列，平均成绩是88分，前三个人的平均成绩是94分，后三个人的平均成绩是85分。第三个人的成绩是多少？ 【答案】97分 【分析】用前三个人的成绩的和加上后三个人的成绩的和再减去五个人的总成绩就是第三个人的成绩。据此解答。 【解答】     （分） 答：第三个人的成绩97分。 【易错专练3】下面是3个小组学生对4种球类运动的喜好程度的排序结果，1表示喜好程度最高。 1 2 3 4 小组1 足球 排球 篮球 羽毛球 小组2 篮球 足球 羽毛球 排球 小组3 足球 羽毛球 篮球 排球 根据上面的结果，将4种球类运动按喜好程度从高到低的顺序排列，并说明理由。 【答案】足球、篮球、羽毛球、排球。理由：足球的平均分约为1.33，篮球的平均分约为2.33，羽毛球的平均分是3，排球的平均分约为3.33，得分越低，喜好程度越高。 【分析】将喜欢足球的得分全部相加，求出足球总分。同理求出排球、篮球以及羽毛球的总分。将各个总分分别除以3，求出平均分。比较平均分，平均分越低喜好程度越高。据此解题。 【解答】足球：（1＋2＋1）÷3 ＝4÷3 ≈1.33 排球：（2＋4＋4）÷3 ＝10÷3 ≈3.33 篮球：（3＋1＋3）÷3 ＝7÷3 ≈2.33 羽毛球：（4＋3＋2）÷3 ＝9÷3 ＝3 3.33＞3＞2.33＞1.33 答：将4种球类运动按喜好程度从高到低的顺序排列为足球、篮球、羽毛球、排球。因为足球的平均分约为1.33，篮球的平均分约为2.33，羽毛球的平均分是3，排球的平均分约为3.33，得分越低，喜好程度越高。 【点睛】本题考查了平均数的意义和求法，本题还可直接求出喜欢各种球类的总分，直接比较总分，总分越低喜好程度越高。 【易错专练4】小王今年刚刚毕业，正好两家公司都在招聘员工。下面是两个公司的内部工资结构表。 A公司员工月工资一览表 职位 总经理 副总经理 经理 职工1 职工2 职工3 平均工资 工资/元 7000 6000 5000 3000 3000 3000 （    ） B公司员工月工资一览表 职位 负责人 职工1 职工2 职工3 平均工资 工资/元 5000 3500 3300 3000 （    ） 请计算两个公司职员的平均工资，请问小王该选哪一家公司，为什么？ 【答案】B公司；理由见详解 【分析】一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数，据此求出两个公司职员的平均工资；选公司时应选职工工资较高的公司；据此解答。 【解答】（7000＋6000＋5000＋3000＋3000＋3000）÷6 ＝27000÷6 ＝4500（元） （5000＋3500＋3300＋3000）÷4 ＝14800÷4 ＝3700（元） 答：A公司的平均工资是4500元，B公司的平均工资是3700元。 小王应该选B公司 理由：应为尽管A公司平均工资高，但是极大数是领导，职工工资比较低，小王刚毕业，应应聘的是职工岗位，B公司职工工资比较高。 答：A公司的平均工资是4500元，B公司的平均工资是3700元。小王应该选B公司。 【点睛】解答此题时，要知道用平均数来分析统计情况，会受极大数、极小数的影响。 【易错专练5】笑笑参加“新苗杯”少儿歌手大奖赛，比赛中有六位评委，笑笑的平均分是90分，如果只去掉一个最低分后，她的平均分是93分，如果只去掉一个最高分后，她的平均分是89分。 （1）笑笑的最低分是多少分？ （2）那么去掉一个最低分和一个最高分后，笑笑的平均分是多少分？ 【答案】（1）75分 （2）92.5分 【分析】（1）平均数＝总数量÷总份数，可推出：总数量＝平均数×总份数；没去分之前的平均分是90分，所以六位评委总分数为：6×90＝540（分）;去掉一个最低分后平均分为93分，所以去掉最低分后，剩下总分为：93×（6－1）＝465（分），所以最低分为：540－465＝75（分） （2）去掉一个最高分后平均分为89分，所以去掉最高分后，剩下总分为：89×（6－1）＝445（分），所以最高分为：540－445＝95（分）； 去掉一个最低分和一个最高分后，笑笑的平均分是：（总分数－最高分－最低分）÷（6－2），算出结果即可。 【解答】（1）由分析可知： 六位评委总分数为：6×90＝540（分） 93×（6－1） ＝93×5 ＝465（分） 最低分为：540－465＝75（分） 答：笑笑的最低分是75分。 （2）89×（6－1） ＝89×5 ＝445（分） 最高分为：540－445＝95（分） 去掉一个最低分和一个最高分后，笑笑的平均分是：（540－75－95）÷（6－2） ＝370÷4 ＝92.5（分） 答：去掉一个最低分和一个最高分后，笑笑的平均分是92.5分. 【点睛】本题考查平均数的应用，注意平均数公式的灵活运用。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级下册数学 （八大专题33个易错点） 目录 专题一分数加减法 3 易错点1：没有掌握异分母分数加减法的计算法则，易错把分子相加作分子，分母相加作分母。 3 易错点2：通分时，找最小公倍数错误或通分结果不是最简分数。 5 易错点3：在加括号使运算简便的过程中，易弄错运算符号,使变化过程不是恒等变形。 6 易错点4：把小数化成分数时，易写错分母。小数化分数,原来是几位小数,就在1的后面写几个0作分母。 7 易错点5：分数加减法混合运算在解决问题中的应用错误（牛奶兑水问题）。 8 专题二长方体（一） 9 易错点1：棱长总和公式记忆混淆。 9 易错点2：展开图理解错误的特点，只要看到由六个完全图形组成就认为可以组成正方体或长方体。 10 易错点3：计算表面积时,易漏掉部分面的面积。 12 易错点4：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 13 易错点5：拼接或切割后立体图形表面积的变化理解错误。 15 专题三分数乘法 16 易错点1：不理解分数与整数相乘的意义，易出现分子和整数进行约分的错误。 16 易错点2：在解决整数乘分数的实际问题时，常常因为找不准单位“1”而发生错误，因此，在解决这类问题时，要清楚谁是谁的几分之几。 17 易错点3：计算分数乘分数时，易出现分子和分子、分母和分母相互约分的错误，应是分子和分母相互约分。 19 易错点4：倒数是指两个数之间 的相互依存关系，易出现说某个数是倒数的错误。 20 专题四长方体（二） 21 易错点1：体积与容积概念混淆。 21 易错点2：体积单位、容积单位进率记错。 22 易错点3：长方体和正方体体积公式应用错误。 23 易错点4：体积计算时单位不统一。 25 易错点5：排水法测体积应用错误。 26 易错点6：实际问题中体积与表面积混淆。 28 专题五分数除法 29 易错点1：（1）不理解分数除以整数的计算法则,直接把除以一个数变成了乘一个数,容易造成错解；（2）或把被除数转化成它的倒数。 29 易错点2：对商与被除数的大小关系判断不准。 31 易错点3：解决问题时对题中的单位“1”把握不准,导致算法错误。 33 专题六确定位置 35 易错点1：位置的相对性理解不正确，角的度量知识掌握不准确。 35 易错点2：画图时混淆了观测点与被观测物体。 38 易错点3：对路线图理解失误，描述简单的行走路线不完整或画图不完整。 41 专题七用方程解决问题 44 易错点1：不理解题意,找错等量关系,导致列出错误的方程。 44 易错点2：设未知数不规范。 46 易错点3：方程求解易出错。 48 专题八数据的表示和分析 50 易错点1：统计图选择与解读偏差。 50 易错点2：制作复式条形统计图不规范。 51 易错点3：数据对比与分析偏差。 54 易错点4：求平均数时,没有分清总数量或是总份数而出错。 57 专题一分数加减法 易错点1：没有掌握异分母分数加减法的计算法则，易错把分子相加作分子，分 母相加作分母。 【易错专练1】直接写出得数。                                      【易错专练2】直接写出得数。                                                【易错专练3】直接写出得数。 ＋＝    －＝    ＝ 【易错专练4】直接写出得数。                                                 【易错专练5】直接写出得数。                                                                                  易错点2：通分时，找最小公倍数错误或通分结果不是最简分数。 【易错专练1】直接写出得数。                                                                                                                  【易错专练2】直接写出得数。                  【易错专练3】直接写出得数。                     【易错专练4】口算。                                                                                   【易错专练5】直接写得数。                                                                                       易错点3：在加括号使运算简便的过程中，易弄错运算符号,使变化过程不是恒等 变形。 【易错专练1】选择你喜欢的方法计算。 6－                    【易错专练2】计算下面各题。（能简算的要简算） －＋      －（＋）     4－－     －＋－ 【易错专练3】计算下面各题。（能简算的要简算） －＋      －（＋）     4－－     －＋－ 【易错专练4】脱式计算，能简算的要简算。          【易错专练5】用你喜欢的方法计算。                          易错点4：把小数化成分数时，易写错分母。小数化分数,原来是几位小数,就在1的后面写几个0作分母。 【易错专练1】（填小数）。 【易错专练2】把下面的小数化为分数，分数化为小数。 0.4＝( )            ( )            ( )            0.35＝( ) 【易错专练3】把下面的分数化成小数或把小数化成分数。 0.45＝( )    ( )    0.6＝( ) 【易错专练4】化成小数是( )，0.02化成分数是( )。 【易错专练5】将0.8化成分数是( )；将化成小数是( )。 易错点5：分数加减法混合运算在解决问题中的应用错误（牛奶兑水问题）。 【易错专练1】一杯纯果汁，小明喝了杯后，兑满水又喝了一半。小明一共喝了多少杯纯果汁？多少杯水？ 【易错专练2】一杯纯果汁，小丽喝了半杯后觉得甜，就兑满了水，又喝了杯就上学去了。小丽一共喝了多少杯纯果汁？ 【易错专练3】一杯纯牛奶，李敏喝了半杯后，妈妈先往杯中加入了杯纯牛奶，再兑满水。过了一会儿，李敏又喝了半杯。李敏一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？ 【易错专练4】一杯纯果汁，小明喝了杯后，兑满水又喝了一半。一共喝了多少杯纯果汁？请在下图中涂色表示出来。 【易错专练5】一杯纯牛奶，小华喝了杯后，觉得太浓了，就兑满了水。又喝了半杯，就没再喝。她一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？ 专题二长方体（一） 易错点1：棱长总和公式记忆混淆。 【易错专练1】一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，求原来长方体的长（ ）厘米 【易错专练2】用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是（ ）cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是（ ）cm。 【易错专练3】用一根铁丝刚好焊接成一个棱长为8cm的正方体框架。如果用这根铁丝焊接成一个长13cm、高4cm的长方体框架，铁丝将剩余4cm，那么这个长方体的宽应该为多少厘米？（接头处不计） 【易错专练4】秦兵马俑是世界八大奇迹之一，一个放置兵马俑模型的长方体玻璃储物柜长5dm，宽5dm，高8dm，储物柜外面的每条棱上都贴有装饰条。现在要用同样长的装饰条贴在一个正方体储物柜上。这个正方体储物柜的棱长是多少？（接头处忽略不计） 【易错专练5】在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 易错点2：展开图理解错误的特点，只要看到由六个完全图形组成就认为可以组 成正方体或长方体。 【易错专练1】下面图形（    ）是从下图的位置沿边剪开得到的。 A．B． C． D． 【易错专练2】如图图形是正方体平面展开图的共有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 【易错专练3】用做一个，“好”的对面是（ ），“小”的对面是（ ）。 【易错专练4】下图所示图形可以折成一个长方体，这个长方体的长是（ ），宽是（ ），高是（ ）。（单位：厘米） 【易错专练5】拼一拼，画一画，算一算。 （1）下面哪几个面可以拼成一个长方体？请把序号填在下面的括号里。（单位：厘米） 我选：（    ）可以拼成一个长方体。 （2）请你画出这个长方体的展开图，注意标上数据。 易错点3：计算表面积时,易漏掉部分面的面积。 【易错专练1】用硬纸板给四本书做如图所示的一个封套（单位：cm），做这个封套至少需要（    ）cm2。 A．984 B．744 C．1728 D．1488 【易错专练2】奇奇用纸箱制作了一个无盖长方体收纳箱。收纳箱的长为9dm，宽为6dm，高为3dm，若要给收纳箱的侧面贴上壁纸，壁纸的面积至少是（ ）dm2。 【易错专练3】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【易错专练4】儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 【易错专练5】一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 易错点4：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 【易错专练1】如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（    ）个面露在外面。 A．14 B．18 C．21 D．23 【易错专练2】下图是放在墙角的4个正方体，露在外面的面有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【易错专练3】李老师把棱长为3分米的正方体纸箱放在墙角处（下图），一共放了（ ）个纸箱，有（ ）个面露在外面，露在外面的面积是（ ）平方分米。 【易错专练4】如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有（ ）个，露在外面的面积是（ ）cm2。 【易错专练5】将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第（3）个图形露在外面的面有（ ）个，第（5）个图形露在外面的面积是（ ）平方分米。 易错点5：拼接或切割后立体图形表面积的变化理解错误。 【易错专练1】将两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体包装在一起，此时与两个正方体独立包装相比，节省了（    ）cm2的包装纸。（接口处不计） A．100 B．200 C．400 【易错专练2】如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48平方厘米，原来的正方体表面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】如图，将4个长是10cm，宽是6cm，高是1cm的长方体盒子包成一包。包装后的表面积是（ ）cm2，比分别包装节约（ ）cm2的包装纸。（接口处不计） 【易错专练4】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【易错专练5】如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 专题三分数乘法 易错点1：不理解分数与整数相乘的意义，易出现分子和整数进行约分的错误。 【易错专练1】计算。                           【易错专练2】算一算。                                                                                                   【易错专练3】             【易错专练4】计算。                                                  【易错专练5】                                                                                                  易错点2：在解决整数乘分数的实际问题时，常常因为找不准单位“1”而发生 错误，因此，在解决这类问题时，要清楚谁是谁的几分之几。 【易错专练1】随着2025年“体重管理年”的正式启动，中国各地掀起减肥热潮。政府、医疗机构、健身行业以及社会各界纷纷响应，倡导健康生活方式，推动全民体重管理意识的提升。李叔叔原来体重是85千克，坚持体育锻炼后，体重减轻了，体重减轻了多少千克？ 【易错专练2】《西游记》是我国古代一部浪漫主义章回长篇小说，淘气买了一本320页的《西游记》，他第一周看了全书的，第二周看的页数是第一周的，他第三周从第几页看起？ 【易错专练3】明长城全长约8860千米，其中人工墙体约占全长的，天然山险墙约占全长的，其他的是壕堑。人工墙体比天然山险墙长多少千米？ 【易错专练4】 （1）上衣比裤子贵多少元？ （2）T恤的价格是多少元？ 【易错专练5】有甲、乙两个水桶，其中甲桶装满水，乙桶没有装水。把甲桶里水的一半倒入乙桶，刚好装了乙桶的。乙桶可装水30千克，甲桶可装水多少千克？ 易错点3：计算分数乘分数时，易出现分子和分子、分母和分母相互约分的错误， 应是分子和分母相互约分。 【易错专练1】选择合适的计算法则计算。                      【易错专练2】计算下面各题。                                【易错专练3】计算。                                【易错专练4】计算园地                                                                                                                                               【易错专练5】计算。                                                                                                  易错点4：倒数是指两个数之间 的相互依存关系，易出现说某个数是倒数的错误。 【易错专练1】下面各组数中，互为倒数的是（    ）。 A．2.4和 B．和0.3 C．7和 【易错专练2】（ ）的倒数是；3.2的倒数是（ ）。 【易错专练3】若a与b互为倒数，则的结果是（ ）。 【易错专练4】一个数与的积是1，这个数的倒数是（ ）；一个数的倒数是2，这个数是（ ）。 【易错专练5】平行四边形对应的底和高互为倒数，如果底是1.4分米，那么高是（ ）分米。 专题四长方体（二） 易错点1：体积与容积概念混淆。 【易错专练1】如下图，在正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩下部分的表面积与原来正方体的表面积相比较，（）；体积与原来体积相比较，（）。 A．不变；原来大 B．不变；现在大 C．原来大；不变 【易错专练2】蜡像厂把一个亚冬会吉祥物“滨滨”熔化后，又塑造成另一个亚冬会吉祥物“妮妮”（工艺品为实心，且无损耗），这两件工艺品的体积相比，（    ）。 A．“滨滨”的体积大 B．“妮妮”的体积大 C．一样大 D．无法比较 【易错专练3】工人叔叔在装修过程中，为嵌入式烤箱预留空间的大小由烤箱的（    ）决定；烤箱一次能烤多少东西是由（    ）决定。 A．表面积；侧面积B．体积；容积 C．容积；体积 D．侧面积；容积 【易错专练4】家用的电器中，冰箱、微波炉和电磁炉这三种物品中，（ ）占的空间最大，（ ）的体积最小。 【易错专练5】一个玻璃罐所占空间的大小，是这个玻璃罐的（ ），这个玻璃罐里所能容纳物体的体积，是它的（ ）。 易错点2：体积单位、容积单位进率记错。 【易错专练1】63m2＝（ ）dm2           5030mL＝（ ）dm3 【易错专练2】1.56立方分米＝（ ）立方厘米    4L20mL＝（ ）L 【易错专练3】3800cm3＝（ ）dm3     0.47m3＝（ ）dm3   18.7升＝（ ）毫升 【易错专练4】填上合适的数。 8500立方分米＝（ ）立方米    6780立方厘米＝（ ）立方分米（ ）立方厘米 1.2升＝（ ）立方厘米         2.7平方米＝（ ）平方厘米 【易错专练5】 3.6立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米    8050毫升＝（ ）升（ ）毫升 2平方米5平方分米＝（ ）平方米      450毫升＝（ ）升＝（ ）立方分米 易错点3：长方体和正方体体积公式应用错误。 【易错专练1】计算下面图形的表面积和体积。 【易错专练2】下面是一个长方体的展开图，请计算这个长方体的表面积和体积。 【易错专练3】计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【易错专练4】如下图，从一个长方体上挖去一个棱长4厘米的正方体，求剩余部分的体积。 【易错专练5】仔细观察，正确计算。（单位：cm） 组合体体积：             组合体表面积： 易错点4：体积计算时单位不统一。 【易错专练1】乐乐家牛棚的水槽坏掉了，爷爷准备用铁皮做一个长1.9米，宽6分米、高4分米的无盖长方体水槽。至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽的容积是多少升？（铁板厚度不计） 【易错专练2】一辆汽车的油箱里面长8dm，宽5dm，高3.5cm，这个油箱可以装多少升汽油？ 【易错专练3】小明爸爸准备开车带一家人去自驾游。爸爸汽车的油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米。如果每行驶17千米耗1升汽油，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？ 【易错专练4】一个游泳池长50米，宽20米，高1.8米，在游泳池的墙壁和底面铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？如果在池中注水到120厘米高，应注水多少升？ 【易错专练5】一个长方体铁皮水箱的长是25厘米，宽是16厘米，高是40厘米。 （1）如果要制作这个水箱，至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）现用容积为4升的水桶（每次均装满）往水箱里注水，多少次才能注满水？（水箱厚度忽略不计）。 易错点5：排水法测体积应用错误。 【易错专练1】博物馆有一个长15分米、宽12分米的长方体水箱，里面有10分米深的水。如果在水中放入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 【易错专练2】笑笑家豆浆机的盛豆浆容器是一个长方体，从里面量长10厘米、宽8厘米、高15厘米，一天妈妈要做豆浆，先在容器中放了6厘米高的水，然后把一些黄豆陆续放入水中。水面不断升高，当妈妈停止放黄豆时，水面第一次出现两个相对面是正方形的长方体，你算一算妈妈放入水中的黄豆体积是多少立方厘米？ 【易错专练3】如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 【易错专练4】下图展示了淘气测量土豆和红薯的体积时做的实验。请你根据淘气的测量数据，求出土豆和红薯的体积分别是多少立方厘米？（单位：厘米） 【易错专练5】王爷爷制作了一个长30厘米，宽15厘米，高20厘米的无盖长方体鱼缸。 （1）王爷爷想购买星星彩灯条装饰鱼缸，至少需要买多少厘米的彩灯条？（提示：彩灯条必须覆盖鱼缸所有棱边，连接处不计） （2）王爷爷制作这样的鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （3）王爷爷在鱼缸里放了一块假山石（完全浸没），水面高度由原来的15.5厘米上升到17.5厘米，这块假山石的体积是多少立方厘米？ 易错点6：实际问题中体积与表面积混淆。 【易错专练1】用钢化玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，底面长是2米，宽是0.6米，高是1米，制作这个鱼缸需要多少平方米的钢化玻璃？这个鱼缸最多可以盛多少立方米的水？（玻璃的厚度忽略不计） 【易错专练2】深圳大运中心游泳馆比赛池的长是50米、宽是25米、深是2米。往池里加水至1.8米深，按5元/立方米计算，这池水的水费是多少元？ 【易错专练3】一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 【易错专练4】惠阳体育馆有一个长50米、宽25米、深2米的游泳池。 （1）在它的四周和底面贴瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）水池建好后，向池里放水，水面距池口0.5米。池里有水多少立方米？ 【易错专练5】如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 专题五分数除法 易错点1：（1）不理解分数除以整数的计算法则,直接把除以一个数变成了乘一个 数,容易造成错解；（2）或把被除数转化成它的倒数。 【易错专练1】直接写出得数。                                                              3÷7＝ 【易错专练2】直接写得数。                                                   【易错专练3】直接写出各题得数。                                                               【易错专练4】直接写出得数。                                              【易错专练5】直接写出得数。                                                                      【易错专练6】看谁算得快。                                                                              【易错专练7】直接写得数。                                                                   【易错专练8】直接写出得数。                                                               易错点2：对商与被除数的大小关系判断不准。 【易错专练1】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 （ ）            （ ）        （ ）（） 【易错专练2】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）                （ ）                （ ） 【易错专练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）            （ ）             （ ）           （ ） 【易错专练4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）             （ ） （ ）        （ ） 【易错专练5】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）    （ ） （ ）      （ ） 【易错专练6】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）        （ ） （ ）        （ ） 【易错专练7】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）   （ ）        （ ）          （ ） 【易错专练8】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）        （ ）        （ ） 易错点3：解决问题时对题中的单位“1”把握不准,导致算法错误。 【易错专练1】在学校组织的劳动实践基地丰收节上，同学们收获白菜200千克，比萝卜的多20千克，同学们收获萝卜多少千克？ 【易错专练2】师徒两人共加工零件160个，徒弟加工零件的个数是师傅的。师傅比徒弟多加工零件多少个？ 【易错专练3】据科学家探测发现：月球上的引力大约是地球引力的，也就是说在地球上重120kg的物体，到月球上只重20kg。地球的引力大约是木星引力的，则一名在月球上重15kg的宇航员在木星上重多少千克？ 【易错专练4】六（1）班同学到劳动实践基地悠然农庄参加拔萝卜劳动。男生已经拔了萝卜总数的，女生已经拔了萝卜总数的，这时男生和女生拔的个数比萝卜总数的一半多220个。同学们一共要拔多少个萝卜？ 【易错专练5】六年级有三个班，六（1）班有36人，六（2）班的人数是六（1）班的，又是六（3）班的，六（3）班有多少人？ 【易错专练6】神舟十九号载人飞船飞行时间为192天，刷新了中国航天员乘组在轨飞行时长纪录。神舟十九号飞行时间是神舟十八号的，神舟十八号载人飞船飞行时间是多少天？ 【易错专练7】某粮食加工厂每天加工1200吨粮食，是原计划每天加工粮食的。该粮食加工厂原计划每天加工多少吨粮食？ 【易错专练8】某小区2025年春节举行了“欢喜迎新年巧编中国结”非遗手工制作活动。编织一个小中国结要用75厘米长的彩绳，是编织一个大中国结要用彩绳的。编织一个大中国结需要多长的彩绳？ （1）根据信息写出等量关系：___________ （2）列方程解决问题。 专题六确定位置 易错点1：位置的相对性理解不正确，角的度量知识掌握不准确。 【易错专练1】某日，蛟龙号载人潜水器抵达南海，在南海某灯塔南偏西30º方向上，那么灯塔在蛟龙号（    ）方向上。 A．北偏东30° B．北偏东60º C．南偏西60º D．东偏北30º 【易错专练2】北偏东又可以说成（    ）。 A．南偏西 B．东偏北 C．东偏北 D．北偏西 【易错专练3】如图，有一个边长50米的等边三角形花圃，小玲想要从点M走到点N，可以（    ）。 A．向南偏西30°方向走50米 B．向南偏西60°方向走50米 C．向北偏东30°方向走50米 D．向北偏东60°方向走50米 【易错专练4】如图，以车站为观测点，超市在车站的（    ）。 A．南偏东45°方向700米处 B．南偏西45°方向700米处 C．北偏西45°方向700米处 D．北偏东45°方向700米处 【易错专练5】游船在惠州西湖湖心亭的北偏东40°方向，距离湖心亭150米；那么从游船处看湖心亭，湖心亭是在游船的（    ）方向上，距离游船150米。 A．南偏西40° B．北偏东40° C．西偏南40° 【易错专练6】笑笑家在超市的北偏东的方向上，距离是800米，超市就在笑笑家（ ）偏（ ）（ ）的方向上，距离是（ ）米。 【易错专练7】如图，以科技馆为观测点。 （1）第十二中学在（ ）（ ）°方向上，距离是（ ）米。 （2）实验小学在（ ）（ ）°方向上，距离是（ ）米。 【易错专练8】如下图所示的是乐园小学的校园示意图。 排球场在圆形花坛（ ）偏（ ）（ ）°方向上，距离圆形花坛（ ）m。羽毛球场在圆形花坛（ ）偏（ ）（ ）°方向上，距离圆形花坛（ ）m。 易错点2：画图时混淆了观测点与被观测物体。 【易错专练1】请根据下面的描述画出平面图。 超市在学校西偏北25°方向400m处，电影院在学校东偏南40°方向600m处，少年宫在学校南偏东20°方向300m处，图书馆在学校南偏西20°方向200m处。 【易错专练2】填一填，画一画。 （1）电影院在学校（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离学校（    ）米。 （2）体育场在学校北偏东70°方向，距离学校300米处，请用▲画出来。 【易错专练3】按要求做一做。 （1）地铁站在商贸中心（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离商贸中心（    ）米。 （2）公交车站在商贸中心东偏南60°方向上，距离商贸中心200米，请你在图上标出公交车站的位置。 【易错专练4】（1）奶奶家在军军家（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离军军家（    ）m。 （2）周日，军军去公园玩，他从家出发，向南偏东30°方向走200m就到达公园。请在图中标出公园的位置。 【易错专练5】以公园为观测点。请在图中标出超市和邮局的位置。 （1）超市在公园东偏北40°方向，距离公园450米。 （2）邮局在公园西偏南60°方向，距离公园300米。 【易错专练6】如图，小丁家在小学北偏西45°方向上，距离小学600米。 （1）书店在小学（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离小学（    ）米。 （2）小刚家在小学北偏东30°方向上，距离小学600米，请你在图中标出小刚家的位置。 【易错专练7】五年级的同学在进行徒步活动。他们从学校出发，先向正东方向走了3千米，然后向正北方向走了2千米，接着向正西方向走了1千米，最后沿西偏南45°方向返回学校。请根据以上信息，画出同学们徒步路线图。 【易错专练8】按下列描述，在图中标出各个地点。 （1）小刚的家在学校的正东方，距离约800米； （2）电影院在学校南偏西40°方向上，距离约400米； （3）汽车站在学校北偏东30°方向上，距离约800米； （4）邮局在学校北偏西60°方向上，距离约200米。 易错点3：对路线图理解失误，描述简单的行走路线不完整或画图不完整。 【易错专练1】根据下图填一填。 （1）小玲从家出发先沿（    ）偏（    ）（    ）°方向走600米到达书店，再沿（    ）偏（    ）45°方向走（    ）米到达电影院。小明从公园出发，沿（    ）偏（    ）（    ）°方向走（    ）米到达电影院。 （2）超市在小玲家西偏北60°方向400米处，请在图中标出超市的位置。 【易错专练2】快递已经逐渐演变为现代人便捷生活方式的重要组成部分。如图是一位快递员在钟楼小区门口送快递时的线路图。 （1）快递员从小区门口出发，向（    ）方向行走（    ）米可以到达A栋。 （2）从A栋出发，怎样走可以到达B栋？请你帮他描述路线：向（    ）方向行进（    ）米。 （3）快递员的最后一站是C栋，C栋在B栋南偏东60°方向上，距B栋15米，请你在图上画出C栋的位置。 【易错专练3】人工智能实验室的“小科”机器人，接到学校的物资配送任务。小科从实验室出发，向北偏东30°方向行驶180米到达图书馆。然后从图书馆出发，向东偏南45°方向行驶240米到达学生食堂。 （1）根据描述，在平面图中标出图书馆和食堂的位置。 （2）小科完成任务后，它原路返回时，先向（ ）方向走（ ）m到图书馆，再向（ ）方向走（ ）m到实验室。 （3）若小科的行驶速度为60米/分，那么它从实验室出发，完成整个配送任务（不包含返回），共用时（ ）分钟。 【易错专练4】12路公共汽车从起点站出发，先向西偏北40°行驶3千米走到A站，然后再向正西行驶5千米到达B站，最后向西偏南50°行驶4千米到达终点站。 （1）根据上面的描述，把12路公共汽车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，描述12路公共汽车原路返回时所行驶的方向和路程。 【易错专练5】根据路线图解答下列各题。 （1）小卓玛从家出发，先向（    ）偏（    ）40°方向行走（    ）m到达A地，再向（    ）偏（    ）20°方向行走（    ）m到达B地。 （2）小卓玛最终的目的地是C地。C地在B地的北偏西20°方向200m处。请你在图上标出C地的位置。 专题七用方程解决问题 易错点1：不理解题意,找错等量关系,导致列出错误的方程。 【易错专练1】甲乙两城相距435千米，两辆摩托车同时从两城相对开出，已知一辆摩托车每小时行84千米，另一辆摩托车每小时行90千米。多少小时后两车相遇？ 【易错专练2】列方程解决问题：小丁丁每天早上7：59从家出发上学。如果每分钟走80米，那么正好准时到校。如果每分钟走70米，则会迟到3分钟。小丁丁家离学校有多远？ 【易错专练3】五（1）班的同学把收集的废旧纸板和塑料制品卖给回收站，一共13.3千克，其中废旧纸板的质量是塑料制品质量的2.5倍，两种废旧物品各有多少千克？（列方程解答） 【易错专练4】在一次网络评卷中，张老师和顾老师共同批阅同一道题，共有2520份试卷，张老师每分钟可以批阅10份，顾老师每分钟比张老师多批4份。两位老师批阅这些试卷需要多长时间？ 【易错专练5】在一次区运动会的长跑比赛上，园园以每分190m的速度匀速前进，已经领先海海15m。这时，海海以每分195m的速度开始追赶园园。海海几分后可以追上园园？ 【易错专练6】儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 【易错专练7】将一个长方形的长增加3厘米，宽增加4厘米，就变成一个正方形。正方形面积比长方形大79平方厘米，求原来长方形的面积。 【易错专练8】一辆货车和一辆小汽车分别从相距315千米的甲、乙两地同时相对开出，2.5时后两车相遇，已知小汽车的速度是货车的1.8倍，货车和小汽车每时分别行驶多少千米？（列方程解决问题） 易错点2：设未知数不规范。 【易错专练1】水果店运进苹果和香蕉共250千克，苹果的质量是香蕉的1.5倍。运进苹果和香蕉各多少千克？（列方程解决问题） 【易错专练2】鲜农果园里种着桃树和杏树，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树共有372棵。鲜农果园里杏树有多少棵？（列方程解答） 【易错专练3】宁宁和静静共同录入183条学生信息。宁宁从前往后录，每分钟录3条，静静从后往前录，两人同时开始，36.6分钟后录完。静静每分钟录几条信息？（用方程解） 【易错专练4】服装厂有工人156人，其中女工人数是男工人数的3倍，求有男工、女工各多少人？ 【易错专练5】智慧老人和淘气今年各多少岁？ 【易错专练6】一个长方形的周长是72厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（用多种方法列方程解决问题） 【易错专练7】甲、乙两队合凿一条长700米的隧道，甲队每天凿12.6米，乙队每天凿14.4米，甲队先凿了25米后，甲、乙合作开凿，合作多少天后能凿通隧道？（用方程解） 【易错专练8】港珠澳大桥是一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，位于广东省珠江口伶仃洋区域内，全长55千米。苏通大桥位于江苏省境内，是沈阳—海口高速公路跨越长江的重要枢纽。港珠澳大桥的长度比苏通大桥全长的2倍少9.8千米，苏通大桥全长多少千米？（列方程解决问题） 易错点3：方程求解易出错。 【易错专练1】甲、乙两个工程队同时修一条长800米的水渠，他们从两端往中间挖，甲队每天挖22米，乙队每天挖18米，多少天可以完成任务？（用方程解决问题） 【易错专练2】竹工艺品是指以竹子为原料进行雕刻、绘画等艺术创作的工艺品。师徒二人要加工360件竹工艺品，二人同时加工，师父每小时加工25件，徒弟每小时加工20件。几时能完成这项任务？ 【易错专练3】兴华小学在落实“五育并举”工作中，组织学生开展了“美德少年我争光”“分享阅读我最棒”等多项活动，这些活动的开展获得了全校师生一致好评，大家争相参与其中。在“分享阅读我最棒”活动准备时，五（1）班和五（2）班的学生分别整理了自己班级的图书角。五（1）班图书角的图书数量是五（2）班的1.6倍，如果五（1）班给五（2）班15本图书，两个班的图书数量就一样多。原来五（1）班、五（2）班图书角各有多少本图书？列方程解决问题。 【易错专练4】某小学师生138人去公园划船，一只大船能坐6人，一只小船能坐4人，他们租了大小船共27只，正好坐满。问他们租了大小船各多少只？ 【易错专练5】A、B两地相距395千米，甲开货车从A地出发，1小时后乙开小轿车从B地出发，相向而行。甲每时行驶50千米，乙每时行驶65千米。乙出发后多长时间甲乙相遇？ 【易错专练6】A、B两个码头相距880千米，一艘邮轮和一艘货轮分别从A、B两个码头相对开出，10小时后相遇。货轮的速度是邮轮速度的1.2倍，邮轮和货轮的速度分别是多少千米/时？ 【易错专练7】便利店进了4箱梨后，又进了3箱苹果和1箱梨。 （1）进1箱梨和1箱苹果各需多少元？ （2）如果便利店用250元进了5箱苹果后，用剩下的钱最多能进几箱梨？ 【易错专练8】政府决定修建一条海洋隧道，其中一段隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作20天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作5天，这25天共掘进425米。已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进5米。求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？ 专题八数据的表示和分析 易错点1：统计图选择与解读偏差。 【易错专练1】如果要比较五（1）班和五（2）班在运动会中各个项目得分情况，那么采用（    ）统计图比较合适。 A．单式折线 B．复式条形 C．复式折线 【易错专练2】下列信息中，最适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．3月份各种车型销售的辆数 B．各社团参加的学生人数 C．足球联赛各队进球数 D．近6个月的每月收入支出变化数 【易错专练3】近年来，随着生态环境的持续改善，辽宁已成为众多鸟类迁徙停歇、栖息繁殖的理想之地。想要反映每年不同鸟类的数量变化情况和趋势最好选用（    ）。 A．统计表 B．折线统计图 C．复式折线统计图 D．复式条形统计图 【易错专练4】要了解清远市2024年和2025年的月降水量变化趋势，应绘制（    ）统计图。 A．单式条形 B．复式条形 C．单式折线 D．复式折线 【易错专练5】校服是一种常见的学生服。在我国，基本每个学校都有自己特定的校服，校服体现了学生的特点及风貌，它不仅在衣着方面起到一定的作用，而且在学生的思想领域也有不可或缺的作用。实验小学一年级的新生要定制新校服，张老师需要把一年级6个班的男、女生具体人数情况绘制成统计图，应绘制下面哪种统计图比较合适？（    ） A．复式条形统计图 B．复式折线统计图 C．单式折线统计图 易错点2：制作复式条形统计图不规范。 【易错专练1】在体育课上以小组为单位分别做双手投球和单手投球的活动并将数据记录下来，下面是第一活动小组同学的投球情况。 投球者 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 单手投球的距离 12.5 13.0 12.5 11.5 12.0 10.5 13.0 双手投球的距离 11.0 9.5 11.0 13.0 9.0 10.5 12.5 怎样用条形统计图表示上面的两组数据呢？ 【易错专练2】下面是中山小学五年级学生在一次体能测试中各项目达标人数统计表。根据统计表提供的信息，把统计图补充完整。 项目 立定跳远 50米短跑 坐位体前屈 800米中长跑 男生 33 37 18 40 女生 35 30 33 27 【易错专练3】某次体育达标测试，甲、乙两班各50名同学的成绩如下表： 分数段/分 60以下 60－69 70－79 80－89 90－100 甲班/人 2 3 10 15 20 乙班/人 4 5 7 18 16 根据上表中的数据，请用统计图表示各班各分数段的人数情况。 甲、乙两班同学某次体育达标测试的成绩统计图 【易错专练4】某花店四个月售出玫瑰和菊花的盆数如下表，根据表中数据完成下面的复式条形统计图。 一月 二月 三月 四月 玫瑰 180 150 170 140 菊花 90 85 108 60 【易错专练5】下面是一个社区图书馆双休日借阅情况的统计表。 种类 文艺 旅游 科技 生活 周六 138 186 110 164 周日 176 108 92 198 根据以上的数据制成复式条形统计图。 易错点3：数据对比与分析偏差。 【易错专练1】下图是甲、乙两地月平均气温统计图，请根据统计图解决问题。 （1）根据统计图，你说一说两地一年中气温变化的趋势。 （2）有一种植物的生长期为4个月，适宜的生长温度为7℃—10℃，这种植物适合在哪个地方种植？ （3）乐乐家住在乙地，他们一家要在“十一”黄金周去甲地旅游，你认为他们应该做哪些准备？ 【易错专练2】下面是某地男生、女生7～15岁平均身高统计表。（单位：厘米） （1）根据表中数据，把上面的折线统计图补充完整。 （2）7～12岁之间，______的平均身高高一些；12岁之后，______的平均身高高一些。______岁时，男女生平均身高相差最大。 （3）晓思的哥哥今年13岁了，身高156厘米。请你对他提出一条建议。 【易错专练3】表是1月～7月A，B两品牌手机出货量统计表。 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 A品牌手机/万部 250 270 280 200 240 260 320 B品牌手机/万部 300 310 280 320 310 250 280 （1）请把统计图补充完整。 （2）（    ）品牌手机的月平均出货量高一些。 （3）你觉得哪个品牌手机的月出货量有可能还会提高？请说明理由。 【易错专练4】根据下面两幅统计图回答问题。 （1）从复式折线统计图中可以看出（    ）的成绩提高得快。 （2）从复式条形统计图中可以看出（    ）思考的时间多一些，多（    ）分。 （3）奇思最后三次自测的平均成绩是多少？ （4）请你分析一下成绩提高快的原因。 【易错专练5】李叔叔开了两家餐饮店，下面是两个店近几年来的营业额统计表。 （1）请根据统计表，完成下面统计图 甲、乙两店近几年营业额统计图 （2）在上图中，你能得到哪些信息？（至少写出2条） （3）李叔叔想开一间文具店，必须关闭一个餐饮店，你会给李叔叔什么样的建议？为什么？ 易错点4：求平均数时,没有分清总数量或是总份数而出错。 【易错专练1】妙想家上半年用电696千瓦时，每千瓦时电的价格是0.55元，平均每个月要付电费多少元？ 【易错专练2】把五个人的成绩按从高到低的顺序排列，平均成绩是88分，前三个人的平均成绩是94分，后三个人的平均成绩是85分。第三个人的成绩是多少？ 【易错专练3】下面是3个小组学生对4种球类运动的喜好程度的排序结果，1表示喜好程度最高。 1 2 3 4 小组1 足球 排球 篮球 羽毛球 小组2 篮球 足球 羽毛球 排球 小组3 足球 羽毛球 篮球 排球 根据上面的结果，将4种球类运动按喜好程度从高到低的顺序排列，并说明理由。 【易错专练4】小王今年刚刚毕业，正好两家公司都在招聘员工。下面是两个公司的内部工资结构表。 A公司员工月工资一览表 职位 总经理 副总经理 经理 职工1 职工2 职工3 平均工资 工资/元 7000 6000 5000 3000 3000 3000 （    ） B公司员工月工资一览表 职位 负责人 职工1 职工2 职工3 平均工资 工资/元 5000 3500 3300 3000 （    ） 请计算两个公司职员的平均工资，请问小王该选哪一家公司，为什么？ 【易错专练5】笑笑参加“新苗杯”少儿歌手大奖赛，比赛中有六位评委，笑笑的平均分是90分，如果只去掉一个最低分后，她的平均分是93分，如果只去掉一个最高分后，她的平均分是89分。 （1）笑笑的最低分是多少分？ （2）那么去掉一个最低分和一个最高分后，笑笑的平均分是多少分？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $