第七单元 用方程解决问题（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+5个考点讲练+7个奥数拓展+真题演练 共49题-2025-2026学年北师大版数学五年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年北师大版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第七单元 用方程解决问题『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练+7个奥数拓展+真题演练 共49题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 形如ax士bx=c方程的解法 3 知识点二 用方程解决相遇问题 3 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 列方程解和差倍问题 3 高频考点二 列方程解年龄问题 4 高频考点三 列方程解相遇问题 4 高频考点四 列方程解稍复杂的行程问题 5 高频考点五 列方程解决稍复杂的实际问题 6 奥数拓展 拔尖冲刺 7 奥数拓展一 列方程解含一个未知数的问题 7 奥数拓展二 列方程解和差倍问题 8 奥数拓展三 列方程解年龄问题 8 奥数拓展四 列方程解相遇问题 8 奥数拓展五 列方程解稍复杂的行程问题 10 奥数拓展六 列方程解含两个未知数的问题 11 奥数拓展七 列方程解决稍复杂的实际问题 11 优选真题 实战演练 12 【基础夯实 知识巩固】 12 【拓展提高 能力拔尖】 13 知识点一 形如ax士bx=c方程的解法 1.解形如“ax士bx=c”的方程时，要先运用乘法分配律转化为“（a土b）x=c”的形式，再根据等式的性质求出x的值。 2.用方程解决含有两个未知数的实际问题，设其中一个未知量为x，另一个未知量用含x的式子表示出来，根据题中的等量关系列方程解答。 知识点二 用方程解决相遇问题 1.相遇问题的特征及等量关系： 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和，就是两地之间的总路程。然后根据速度、时间和路程三者之间的关系列出等量关系： （1）甲走的路程+乙走的路程=总路程 （2）甲走的路程=甲的速度×时间 （3）乙走的路程=乙的速度×时间 2.列方程解决问题的一般步骤： （1）根据题意寻找等量关系；（2）根据等量关系列出方程；（3）解方程；（4）检查结果是否正确。 高频考点一 列方程解和差倍问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）笼子里有白兔、灰兔若干只。白兔的只数是灰兔的5倍，白兔比灰兔多24只，白兔、灰兔各几只？（用方程解） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西吕梁·期末）山西的母亲河是汾河，它孕育了古老的三晋文明，为山西提供了丰富的水资源。太原市汾河景区打造了雁丘园、汾河晚渡、晋汾古韵等一系列文化景观。现在景区内要用长36米的栅栏围一个长方形，长是宽的2倍，那么这个长方形区域的面积是多少平方米？（用方程解决问题） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·福建泉州·期末）同学们去参观闽台缘博物馆。四年级同学比五年级少去60人，五年级去的人数是四年级的3倍。两个年级各去了多少人？（请先画图或写出等量关系，再列方程解决。） 高频考点二 列方程解年龄问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）李老师今年38岁，比笑笑年龄的4倍少6岁，笑笑今年几岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 高频考点三 列方程解相遇问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东茂名·期末）小明和小聪分别骑电动车和自行车，同时从相距2800米的两地相向而行，3.5分钟后相遇。电动车每分钟行驶650米，自行车每分钟行驶多少米？（列方程解答） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西渭南·期末）甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，经过6小时两船相遇。已知乙船的航行速度是甲船航行速度的1.4倍，甲船的航行速度是多少千米/时？（列方程解决） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川成都·期末） （1）在上图标出各建筑物的位置 书店的位置在公园北偏西50°方向上，距离公园1000米处。 超市的位置在公园东偏南40°方向上，距离公园1500米处。 （2）书店与超市相距（    ）米。为了方便出行，这条直线通道被打造成了骑行绿道，小阳和小月相约在绿道碰面，他们同时从书店和超市骑自行车出发，已知小阳的平均车速为220米/分，5分钟后与小月相遇了。小月的平均车速是多少？（先写出等量关系，再用方程解决） 高频考点四 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）淘气家到笑笑家的路程是860米，淘气从家出发，每分步行70米，2分钟后，笑笑也从家出发，每分步行50米。笑笑出发多长时间两人相遇？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）王娟和李丽合作录入一份2870字的稿件，王娟每分录入85个字，李丽每分录入95个字。王娟先开始录入，录入2分，然后李丽再一起录入。她们再录入几分才能录完？题中的等量关系是：( )。解：设她们再录入x分才能录完，可列方程是( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）淘气和笑笑从相距1500米的两地同时出发，相向而行。淘气始终以不变的速度行走，笑笑先以80米/分的速度走了5分钟后，接着又以100米/分的速度继续行走，直至两人相遇。如果从出发到两人第一次相遇经过了8分钟，那么淘气的速度为( )米/分。 高频考点五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·重庆九龙坡·期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员在跳台上完成动作示意图如下。出发台跳台滑雪的得分由距离分、姿势分、助滑分和风速分组成。跳台分为大跳台和标准台两种，其中大跳台项目的距离分计分方法如下： ①运动员的飞行距离正好达到K点距离，得60分； ②如果飞行距离超过K点距离，距离分＝60＋1.8×（飞行距离－K点距离）； ③如果飞行距离达不到K点距离，距离分＝60－1.8×（K点距离－飞行距离）。 在一次大跳台比赛中，K点距离为125米。 (1)甲选手的飞行距离是120米，他这一跳的距离分是多少分？ (2)乙选手在一跳中的距离分是79.8分，他这一跳的飞行距离是多少米？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·上海虹口·期末）学校组织学生参加为期三天的夏令营，为学生分配宿舍。如果每间住4人，那么正好住满；如果每间住6人，那么正好空出10间宿舍。宿舍一共有多少间？学生有多少人？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·上海崇明·期末）图书馆新到一批图书，要平均放在几个新书架上，如果每个书架放60本，那么还缺2个书架；如果每个书架放68本，那么正好放完，一共有几个新书架？这批图书共有多少本？ 奥数拓展一 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南驻马店·期末）如下图所示ABCD是正方形，三角形DEF的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，CD的长是4厘米，求DE的长度。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北唐山·期末）人们的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果店里支持多种付款方式，12月20日店里的付款方式统计如下。请你选择两个合适的信息，提出问题并解答。 A．刷脸支付和移动支付共195单。        B．刷脸支付的单数是现金支付的7.5倍。 C．刷脸支付比现金支付多65单。        D．移动支付的单数是刷脸支付的1.6倍。 我选择的信息是：______。（填字母）我要解决的问题：______。 奥数拓展二 列方程解和差倍问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·上海闵行·小升初真题）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场。如果一场比赛的比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分。比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是( )分。 奥数拓展三 列方程解年龄问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）甲、乙、丙三人的年龄之和是115岁，其中乙的年龄比甲的年龄的4倍大3岁，丙的年龄比乙的年龄的2倍小11岁，则丙的年龄是_________岁。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西大同·期中）爸爸今年48岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍。当妹妹长到哥哥现在的年龄时，爸爸的年龄恰好是兄妹俩的年龄和，哥哥今年多少岁？（列方程解答） 奥数拓展四 列方程解相遇问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广西河池·期末）小明和妈妈相距600米，他们分别从两地同时出发相向而行， （请从以下信息中选择两个信息，将序号填在上面横线上，再提出问题并列方程解答）。 ①妈妈每分钟行75米；           ②小明每分钟行45米； ③妈妈每分钟比小明多走30米；   ④5分钟后相遇； (1)问题：_____________________________________________？（选择信息和提出问题） (2)列方程解答。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·湖南湘西·期末）12月14日，凤凰县“中国南方长城”景区热闹非凡，2025年全国新年登高健身大会暨“体彩杯”凤凰县第五届南长城登高活动在这里举行，来自全县 64 支代表队1000余名运动员汇聚于此，一起登高，迎接新一年的到来。 随着一声发令枪响，参赛人员争先恐后地沿着古老的城墙步道快步前行，蜿蜒崎岖的长城就像一条巨龙盘旋在山峦之上，参赛人员行走在其中，在登山比赛的过程中不仅能强身健体、舒展胸怀，又能欣赏到中国南方长城蕴含着丰富的历史文化遗迹和美丽的自然风光。 本次登山健步走赛程路线以中国南方长城景区为起点，途经A、B两个补给点、营盘寨西门城楼，终点为营盘寨停车场。 根据以上资料中的信息解答下列各题。 （1）本次登高健身活动起点的位置用数对表示是（    ），A补给点的位置用数对表示是（    ）。 （2）如果图中每格的距离代表200米，东东24分钟到达A补给点，明明30分钟到达A补给点。 ①东东平均每分钟行多少千米？ ②明明平均每小时行多少千米？ （3）东东以刚才的速度从A补给点继续向南行400米，然后向东行20分钟后到达B补给点，再向北行1200米到达西门城楼。最后向东行600米到达终点营盘寨停车场，请根据描述，在上图中标出B补给点和营盘寨停车场的位置。 并用数对表示：B补给点（    ），营盘寨停车场（    ）。 （4）本次登高健身活动全程多少千米？（3分） （5）活动结束后，明明打电话要爸爸来接自己，爸爸、明明分别从家、停车场两地同时出发，相向而行，经过1.5小时两人在离中点0.6千米处相遇。已知爸爸速度是明明的1.2倍，相遇时，两人各行了多少千米？（用方程解答） （6）请你根据上面的信息，提出一个数学问题，并解答。 奥数拓展五 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）甲乙两人同时从同一地点驾车背向而行，经过半小时甲突然想起有事要跟乙见面说，于是立即掉头去追乙，甲追上乙需要x小时，甲每小时行80千米，乙每小时行60千米。请根据问题选择正确的算式、含有字母的式子或方程。 ①半小时后甲乙两人相距多少千米？( )。 ②甲从掉头开始去追上乙，共行了多少千米？( )。 ③乙从出发到被甲追上一共行了多少千米？( )。 ④甲几小时后追上乙？正确的方程是( )。 A．（80＋60）×0.5＋60x＝80x B．80×0.5＋60×0.5 C．80x D．60×0.5＋60x 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·广东江门·期中）2022年的某一天，光明学校的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练。跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 奥数拓展六 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北唐山·期末）豆豆用10元买了3支同样的圆珠笔和7本同样的练习本，剩下的钱如果买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元。一支圆珠笔的售价是( )元？（提示：此题是填空题，不必写计算过程。） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·湖北黄石·期末）五年级1班为“三好学生”准备了一批笔记本和钢笔作为奖品，若每位学生分5本笔记本和3支钢笔，则笔记本多8本、钢笔少2支；若每位学生分4本笔记本和2支钢笔，则笔记本多20本、钢笔多10支。请问501班共有多少位“三好学生”？准备的笔记本和钢笔各有多少？ 奥数拓展七 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·山东泰安·期中）用一根长240厘米的铁丝扎成一个长方体框架，把它的每个面糊上，做成一个长方体。已知从这个长方体的一个顶点引出的三条棱中，其中两条相等，另一条是这两条之和的2倍，求这个长方体占多大空间？ 【基础夯实 知识巩固】 1．（21-22五年级下·陕西咸阳·期末）妈妈的体重是52千克，比小芳体重的2倍少8千克。设小芳的体重为x千克，则可列方程为（    ）。 A．2x－8＝52 B．2x＋8＝52 C．8x－2＝52 D．8x＋2＝52 2．（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）淘气的姐姐爱好健身运动，在一次30分钟的健身运动后，姐姐的心跳速度发生了变化，为每分钟140下，是运动前心跳速度的1.5倍还多38下，姐姐运动前每分钟跳多少下？下列等量关系正确的是（    ）。 A．运动后心跳的速度×1.5＋38＝运动前心跳的速度。 B．运动后心跳的速度×1.5－38＝运动前心跳的速度。 C．运动前心跳的速度×1.5＋38＝运动后心跳的速度。 D．运动前心跳的速度×1.5－38＝运动后心跳的速度。 3．（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）下面选项中，不能用方程“2x＋3x＝75”解决的问题是（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25五年级下·广东清远·期末）下图中的等量关系可以用方程( )来表示。 5．（21-22五年级下·广东茂名·期末）妈妈比淘气大30岁，今年妈妈的年龄是淘气的3倍，淘气今年( )岁，妈妈今年( )岁。 6．（24-25五年级上·福建泉州·期末）如图，张老师拿出A、B两种长方体积木共15块，他把这些积木交替而且无规律地拼成一个大的长方体，那么这些积木中A种有( )块，B种有( )块。 7．（23-24五年级下·陕西延安·期末）五（1）班女生有32人，比男生的2倍少14人，则五（1）班男生有26人。( )（判断对错） 8．五年级绘画兴趣小组的女生比男生多12人，且正好是男生的3倍，则五年级绘画兴趣小组有6个男生。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）解方程。                      10．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）某商场地下停车场有普通车位和充电桩车位两种车位。普通车位比充电桩车位多126个，且普通车位个数是充电桩车位个数的4.5倍。这个停车场普通车位和充电桩车位各有多少个？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·四川成都·期末）下列生活情境不可以用60x＋50x＝550来表示的是（    ）。 A．淘气家与笑笑家相距550米，淘气步行速度为60米/分，笑笑步行速度为50米/分，两人同时从家里出发去找对方，经过x分钟相遇。 B．甲、乙两个工程队同时修一条长550米的路，甲队每天修60米，乙队每天修50米，经过x天修完。 C．王师傅和李师傅合作做550个零件，王师傅每分钟做60个零件，李师傅每分钟做50个零件，同时做了x分钟。 D．李阿姨练习打字，一共打了550个字，前面每分钟打60个字，后面每分钟打50个字，共用了x分钟。 2．（24-25五年级下·广东清远·期末）淘气家与笑笑家相距840m，淘气每分步行80m，笑笑每分步行60m，两人同时从家出发，相向而行，经过x分相遇。根据这些信息，下面方程错误的是（    ）。 A．80＋60x＝840 B．840÷x＝80＋60 C．80x＋60x＝840 D．（80＋60）x＝840 3．甲杯中有毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍。如果从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，下面方程中错误的是( )。 A． B． C． 4．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）甲、乙两车同时从相距190千米的两站相对开出，2小时后相遇，甲车每小时行50千米，乙车每小时行( )千米。 5．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）淘气和笑笑在长度为360米的操场跑道上，两人同时从同一起点出发反向而行，淘气每分走70米，笑笑每分走50米，出发后( )分钟两人相遇。 6．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。将容器倒置过来后，发现仍有一部分铁块淹没在水面以下，此时水面的高度为15厘米。那么，这个长方体实心铁块的高度是( )厘米。    7．（24-25五年级下·广东深圳·期末）科技园区某机器人公司的A型机器人比B型机器人多420架，A型机器人的数量是B型机器人的4倍。此公司的A型机器人和B型机器人分别有多少架？ 8．（24-25五年级下·辽宁营口·期末）宠物店里有猫和狗若干只。狗的只数是猫的3倍，狗比猫多6只，猫和狗各几只？（列方程解答） 9．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？ 10．棕马和白马在相距50米的地方同时出发，同向而行，出发时棕马在前，白马在后，如果棕马每秒跑10米，白马每秒跑12米，经过多少秒两马相距70米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第七单元 用方程解决问题『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练+7个奥数拓展+真题演练 共49题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 形如ax士bx=c方程的解法 3 知识点二 用方程解决相遇问题 3 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 列方程解和差倍问题 3 高频考点二 列方程解年龄问题 5 高频考点三 列方程解相遇问题 7 高频考点四 列方程解稍复杂的行程问题 9 高频考点五 列方程解决稍复杂的实际问题 11 奥数拓展 拔尖冲刺 13 奥数拓展一 列方程解含一个未知数的问题 13 奥数拓展二 列方程解和差倍问题 15 奥数拓展三 列方程解年龄问题 15 奥数拓展四 列方程解相遇问题 17 奥数拓展五 列方程解稍复杂的行程问题 21 奥数拓展六 列方程解含两个未知数的问题 24 奥数拓展七 列方程解决稍复杂的实际问题 26 优选真题 实战演练 27 【基础夯实 知识巩固】 27 【拓展提高 能力拔尖】 32 知识点一 形如ax士bx=c方程的解法 1.解形如“ax士bx=c”的方程时，要先运用乘法分配律转化为“（a土b）x=c”的形式，再根据等式的性质求出x的值。 2.用方程解决含有两个未知数的实际问题，设其中一个未知量为x，另一个未知量用含x的式子表示出来，根据题中的等量关系列方程解答。 知识点二 用方程解决相遇问题 1.相遇问题的特征及等量关系： 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和，就是两地之间的总路程。然后根据速度、时间和路程三者之间的关系列出等量关系： （1）甲走的路程+乙走的路程=总路程 （2）甲走的路程=甲的速度×时间 （3）乙走的路程=乙的速度×时间 2.列方程解决问题的一般步骤： （1）根据题意寻找等量关系；（2）根据等量关系列出方程；（3）解方程；（4）检查结果是否正确。 高频考点一 列方程解和差倍问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）笼子里有白兔、灰兔若干只。白兔的只数是灰兔的5倍，白兔比灰兔多24只，白兔、灰兔各几只？（用方程解） 【答案】白兔30只；灰兔6只 【思路引导】求一个数的几倍，用乘法。据此设灰兔x只，则白兔5x只。根据等量关系：白兔的只数－灰兔的只数＝24只，列方程解答即可。 【规范解答】解：设灰兔有x只，则白兔有5x只。 5x－x＝24 4x＝24 4x÷4＝24÷4 x＝6 白兔：5×6＝30（只） 答：白兔30只、灰兔6只。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西吕梁·期末）山西的母亲河是汾河，它孕育了古老的三晋文明，为山西提供了丰富的水资源。太原市汾河景区打造了雁丘园、汾河晚渡、晋汾古韵等一系列文化景观。现在景区内要用长36米的栅栏围一个长方形，长是宽的2倍，那么这个长方形区域的面积是多少平方米？（用方程解决问题） 【答案】72平方米 【思路引导】用长36米的栅栏围一个长方形，即长方形的周长是36米，已知长是宽的2倍，设宽是x米，则长是2x米；根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”可列出方程（2x＋x）×2＝36，先计算出x＋2x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以2，再同时除以3求解出x，即长方形的宽；把x的值代入2x中，计算出2x的值，即长方形的长；最后根据“长方形面积＝长×宽”计算出这个长方形区域的面积。 【规范解答】解：设这个长方形区域的宽是x米，则长是2x米。 （2x＋x）×2＝36 3x×2＝36 3x×2÷2＝36÷2 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 2x＝2×6＝12 12×6＝72（平方米） 答：这个长方形区域的面积是72平方米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·福建泉州·期末）同学们去参观闽台缘博物馆。四年级同学比五年级少去60人，五年级去的人数是四年级的3倍。两个年级各去了多少人？（请先画图或写出等量关系，再列方程解决。） 【答案】四年级去了30人，五年级去了90人 【思路引导】根据题意可知，五年级人数减去四年级人数，得60人。将四年级人数设为x人，那么五年级人数为3x人。再根据数量关系列方程解方程即可。 【规范解答】等量关系为：五年级去的人数－四年级去的人数＝四年级比五年级少去的人数。 解：设四年级去了x人，则五年级去了3x人。 3x－x＝60 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 3×30＝90（人） 答：四年级去了30人，五年级去了90人。 高频考点二 列方程解年龄问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）李老师今年38岁，比笑笑年龄的4倍少6岁，笑笑今年几岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【答案】笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄；11岁 【思路引导】假设笑笑今年有x岁，求一个数的几倍是多少用乘法，所以等量关系式可表示为：笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄，已知李老师今年38岁，把已知的数据和未知数代入到等量关系式中，列出方程，解方程即可求出笑笑的年龄。 【规范解答】等量关系式：笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄 解：设笑笑今年有x岁， x×4－6＝38 4x＝38＋6 4x＝44 x＝44÷4 x＝11 答：笑笑今年11岁。 【考点剖析】此题的解题关键是弄清题意，把笑笑今年的年龄设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 【答案】11岁 【思路引导】（1）根据倍数关系，先用37减去4求出小丽年龄的3倍是多少，然后再除以3即可； （2）根据题意可得等量关系式：小丽年龄的年龄×3＋4岁＝妈妈的年龄，列出方程解答即可。 【规范解答】作图如下： （1）（37－4）÷3 ＝33÷3 ＝11（岁） （2）解：设小丽今年x岁。 3x＋4＝37 3x＋4－4＝37－4 3x÷3＝33÷3 x＝11 答：小丽今年11岁。 【考点剖析】解答本题关键是理解算法的多样性，理解数量之间的互逆关系。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 【答案】49岁 【思路引导】根据题意，爸爸今年比小明大42－8＝34（岁），那么若干年后，爸爸仍然比小明大34岁。设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁，根据“爸爸的年龄－小明的年龄＝34岁”列方程求出若干年后小明的年龄，再求出爸爸那时的年龄。 【规范解答】解：设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁。 4x－11－x＝42－8 3x－11＝34 3x＝45 x＝45÷3 x＝15 爸爸：15×4－11 ＝60－11 ＝49（岁） 答：那时爸爸的年龄是49岁。 【考点剖析】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。明确“若干年后，爸爸仍然比小明大34岁”，然后找出等量关系式是解题的关键。 高频考点三 列方程解相遇问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东茂名·期末）小明和小聪分别骑电动车和自行车，同时从相距2800米的两地相向而行，3.5分钟后相遇。电动车每分钟行驶650米，自行车每分钟行驶多少米？（列方程解答） 【答案】150米 【思路引导】已知两地相距2800米，相遇时间3.5分钟，电动车速度是650米/分钟，设自行车每分钟行驶x米，根据（电动车速度＋自行车速度）×相遇时间＝总路程，代入数值列出方程，求出x的值，也就是自行车每分钟行驶的速度。 【规范解答】解：设自行车每分钟行驶x米。 （650＋x）×3.5＝2800 （650＋x）×3.5÷3.5＝2800÷3.5 650＋x＝800 650＋x－650＝800－650 x＝150 答：自行车每分钟行驶150米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·陕西渭南·期末）甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，经过6小时两船相遇。已知乙船的航行速度是甲船航行速度的1.4倍，甲船的航行速度是多少千米/时？（列方程解决） 【答案】25千米/时 【思路引导】速度和×相遇时间＝总路程。 题目中两船同时出发，相向而行，6 小时后相遇，总路程为 360 千米。我们可以设甲船的速度为千米 / 时，那么乙船的速度就是 1.4 千米 / 时。 根据 “速度和 × 时间 ＝ 总路程” 这个等量关系，我们可以列出方程  （＋1.4）×6＝360 ，然后解方程求出甲船的速度。 【规范解答】解：设甲行驶的速度为千米/时。 答：甲船的航行速度是25千米/时。 【考点剖析】找到“甲行驶的速度×6＋甲行驶的速度×1.4×6＝360千米”等量关系是关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川成都·期末） （1）在上图标出各建筑物的位置 书店的位置在公园北偏西50°方向上，距离公园1000米处。 超市的位置在公园东偏南40°方向上，距离公园1500米处。 （2）书店与超市相距（    ）米。为了方便出行，这条直线通道被打造成了骑行绿道，小阳和小月相约在绿道碰面，他们同时从书店和超市骑自行车出发，已知小阳的平均车速为220米/分，5分钟后与小月相遇了。小月的平均车速是多少？（先写出等量关系，再用方程解决） 【答案】（1）图见详解 （2）2500；等量关系见详解；280米/分 【思路引导】（1）以公园为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，图上1厘米相当于实际距离500米。 在公园北偏西50°方向上画1000÷500＝2厘米长的线段，即是书店的位置； 在公园东偏南40°方向上画1500÷500＝3厘米长的线段，即是超市的位置。 （2）用书店与公园的距离加上超市与公园的距离，即是书店与超市的距离。 已知小阳和小月同时从书店和超市骑自行车出发，根据相遇问题的公式“速度和×相遇时间＝路程”可得出等量关系，据此列出方程，并求解。 【规范解答】（1）1000÷500＝2（厘米） 1500÷500＝3（厘米） 如图： （2）1000＋1500＝2500（米） 书店与超市相距（2500）米。 等量关系：（小阳的平均车速＋小月的平均车速）×相遇时间＝书店与超市的距离 解：设小月的平均车速是米/分。 5（220＋）＝2500 5（220＋）÷5＝2500÷5 220＋＝500 220＋－220＝500－220 ＝280 答：小月的平均车速是280米/分。 高频考点四 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）淘气家到笑笑家的路程是860米，淘气从家出发，每分步行70米，2分钟后，笑笑也从家出发，每分步行50米。笑笑出发多长时间两人相遇？ 【答案】6分 【思路引导】根据题意，用淘气每分走的速度×2，求出淘气2分钟走的路程，再用总路程减去淘气2分钟走的路程，剩下的路程就是笑笑和淘气相遇时，笑笑用的时间和淘气用的时间相同，设笑笑出发x分两人相遇，笑笑每分步行50米，x分步行50x米，淘气每分步行70米，x分步行70x米，两人走的路程和等于淘气家到笑笑家的路程减去淘气先走2分钟的路程，列方程：50x＋70x＝860－70×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】解：设笑笑出发x分后两人相遇。 50x＋70x＝860－70×2 120x＝860－140 120x＝720 x＝720÷120 x＝6 答：笑笑出发6分两人相遇。 【考点剖析】本题考查方程的实际应用，利用速度、时间和距离三者的关系设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程；关键明确，笑笑和淘气相遇时，所走的路程是两家的路程减去淘气先走2分钟的路程。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）王娟和李丽合作录入一份2870字的稿件，王娟每分录入85个字，李丽每分录入95个字。王娟先开始录入，录入2分，然后李丽再一起录入。她们再录入几分才能录完？题中的等量关系是：( )。解：设她们再录入x分才能录完，可列方程是( )。 【答案】 王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数 85×2＋（85＋95）x＝2870 【思路引导】由于王娟先录入2分钟，2分钟之后李丽一起录入，可以用王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数，由于再录入x分钟录完，据此即可列方程。 【规范解答】由分析可知： 等量关系是：王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数。 列方程为：85×2＋（85＋95）x＝2870 【考点剖析】本题主要考查列简易方程，关键是找准等量关系。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）淘气和笑笑从相距1500米的两地同时出发，相向而行。淘气始终以不变的速度行走，笑笑先以80米/分的速度走了5分钟后，接着又以100米/分的速度继续行走，直至两人相遇。如果从出发到两人第一次相遇经过了8分钟，那么淘气的速度为( )米/分。 【答案】100 【思路引导】由题可知：淘气走的路程＋笑笑的路程＝两地的路程，设淘气的速度为x米/分，根据等量关系列方程解答即可。 【规范解答】解：设淘气的速度为x米/分。 8x＋80×5＋100×（8－5）＝1500 8x＋400＋300＝1500 8x＝800 x＝100 【考点剖析】本题主要考查列方程解决行程问题，解题的关键是灵活运用相遇公式。 高频考点五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·重庆九龙坡·期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员在跳台上完成动作示意图如下。出发台跳台滑雪的得分由距离分、姿势分、助滑分和风速分组成。跳台分为大跳台和标准台两种，其中大跳台项目的距离分计分方法如下： ①运动员的飞行距离正好达到K点距离，得60分； ②如果飞行距离超过K点距离，距离分＝60＋1.8×（飞行距离－K点距离）； ③如果飞行距离达不到K点距离，距离分＝60－1.8×（K点距离－飞行距离）。 在一次大跳台比赛中，K点距离为125米。 (1)甲选手的飞行距离是120米，他这一跳的距离分是多少分？ (2)乙选手在一跳中的距离分是79.8分，他这一跳的飞行距离是多少米？ 【答案】(1)54分 (2)136米 【思路引导】第（1）问：根据飞行的距离和125米点距离比较，然后选择下列的计分公式： 第一种计分方式：正好达到125米得60分； 第二种计分方式：超过125米时，距离分＝60＋1.8×（飞行距离－125）； 第三种计分方式：未达到125米时，距离分＝60－1.8×（125－飞行距离）； 第（2）问：因为距离分为79.8分，超过了60分，所以距离超过125米。所以选用“60＋1.8×（飞行距离－125）＝距离分”计分方式，根据这个等量关系列出方程即可解答。 【规范解答】（1）120＜125 60－1.8×（125－120） ＝60－1.8×5 ＝60－9 ＝54（分） 答：他这一跳的距离分是54分。 （2）解：设这位运动员的飞行距离为米。 60＋1.8×（－125）＝79.8    60＋1.8－1.8×125＝79.8     60＋1.8－225＝79.8      60＋1.8＝304.8     1.8＝304.8－60    1.8＝244.8        ＝244.8÷1.8         ＝136 答：他这一跳的飞行距离是136米。 【考点剖析】根据飞行距离与K点距离的关系，选择对应的计分公式，正确进行小数的四则运算。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·上海虹口·期末）学校组织学生参加为期三天的夏令营，为学生分配宿舍。如果每间住4人，那么正好住满；如果每间住6人，那么正好空出10间宿舍。宿舍一共有多少间？学生有多少人？ 【答案】 宿舍30间；学生120人 【思路引导】设宿舍有x间，如果每间住4人，那么正好住满，则学生有4x人；如果每间住6人，则可以住6x人，但是空出10间宿舍，说明可以多住10×6＝60人，即每间住6人比每间住4人可以多住60人，即可列出方程6x－4x＝10×6，求出方程的解，即宿舍的数量，进而计算出学生人数。 【规范解答】解：设宿舍一共有x间，则学生有4x人。 6x－4x＝10×6 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 4×30＝120（人） 答：宿舍有30间，学生有120人。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·上海崇明·期末）图书馆新到一批图书，要平均放在几个新书架上，如果每个书架放60本，那么还缺2个书架；如果每个书架放68本，那么正好放完，一共有几个新书架？这批图书共有多少本？ 【答案】15个；1020本 【思路引导】设一共有x个新书架，如果每个书架放60本，那么还缺2个书架，即每个书架放60本，需要（x＋2）个书架，根据每个书架放的本数×书架个数＝总本数，列出方程求出x的值是新书架个数，通过新书架个数再求出图书总本数即可。 【规范解答】解：设一共有x个新书架。 60×（x＋2）＝68x 60x＋120＝68x 60x＋120－60x ＝68x－60x 8x＝120 8x÷8＝120÷8 x＝15 68×15＝1020（本） 答：一共有15个新书架，这批图书共有1020本。 奥数拓展一 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南驻马店·期末）如下图所示ABCD是正方形，三角形DEF的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，CD的长是4厘米，求DE的长度。 【答案】7厘米 【思路引导】三角形DEF与ABF的面积差，可通过加公共部分（四边形BCDF），转化为三角形BCE与正方形ABCD的面积差。即，则（）－（）＝6，也就是，根据三角形和正方形的面积公式有：，计算出CE的长度，再用CE减4即可计算出DE的长度。 【规范解答】因为， 所以（）－（）＝6， 即，由此可得关于CE的方程： 解： （厘米） 答：DE的长度是7厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北唐山·期末）人们的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果店里支持多种付款方式，12月20日店里的付款方式统计如下。请你选择两个合适的信息，提出问题并解答。 A．刷脸支付和移动支付共195单。        B．刷脸支付的单数是现金支付的7.5倍。 C．刷脸支付比现金支付多65单。        D．移动支付的单数是刷脸支付的1.6倍。 我选择的信息是：______。（填字母）我要解决的问题：______。 【答案】A和D；刷脸支付单数有多少单？ 75（答案不唯一） 【思路引导】首先明确任务是选两个关联信息，提出可解问题，且选择的两个信息必须存在直接数量关联，确保问题可解。 则可以选择A和D，因为A是刷脸与移动支付的总数，D是两者的倍数关系，可将刷脸支付单数设为未知数，利用和倍关系建立方程，提出求刷脸支付单数的问题。 【规范解答】我选择的信息是：A和D。我要解决的问题：刷脸支付单数有多少单？ 解：设刷脸支付单数有x单。 x＋1.6x＝195 2.6x＝195 x＝195÷2.6 x＝75 答：刷脸支付单数有75单。（答案不唯一） 奥数拓展二 列方程解和差倍问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·上海闵行·小升初真题）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场。如果一场比赛的比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分。比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是( )分。 【答案】6 【思路引导】四支球队进行单循环比赛，总比赛场数为6场。比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分，两队的总得分是3＋0＝3分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分，两队的总得分是2＋1＝3分。每场比赛无论比分如何总得分均为3分，因此所有比赛总得分为18分。各队得分是四个连续自然数，设分别为x、x＋1、x＋2、x＋3，其和为18，列方程解答。 【规范解答】一共比赛了：3＋2＋1＝6（场） 总得分：3×6＝18（分） 设四个队中的最低分是x分 x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＝18 4x＋6＝18 4x＋6－6＝18－6 4x＝12 4x÷4＝12÷4 x＝3 所以最高得分为：3＋3＝6（分） 【考点剖析】通过得分情况，可知每场比赛无论比分如何总得分均为3分，因此所有比赛总得分为18分。设最低得分为x，其他几个连续的自然数就可以分别用含有x的式子表示出来，比赛总得分为18分，建立等量关系，列方程解答。 奥数拓展三 列方程解年龄问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）甲、乙、丙三人的年龄之和是115岁，其中乙的年龄比甲的年龄的4倍大3岁，丙的年龄比乙的年龄的2倍小11岁，则丙的年龄是_________岁。 【答案】67 【思路引导】假设甲的年龄是x岁，根据题意可知，甲的年龄×4＋3岁＝乙的年龄，丙的年龄＝乙的年龄×2－11岁，所以乙的年龄是（4x＋3）岁，丙的年龄是[（4x＋3）×2－11]岁，然后根据甲的年龄＋乙的年龄＋丙的年龄＝115岁，列出方程，再求出x的值，最后求出丙的年龄。 【规范解答】解：设甲的年龄是x岁。 x＋4x＋3＋（4x＋3）×2－11＝115 x＋4x＋3＋8x＋6－11＝115 13x＋9－11＝115 13x＋9－11＋11＝115＋11 13x＋9＝126 13x＋9－9＝126－9 13x＝117 13x÷13＝117÷13 x＝9 （4×9＋3）×2－11 ＝（36＋3）×2－11 ＝39×2－11 ＝78－11 ＝67（岁） 丙的年龄是67岁。 【考点剖析】本题主要考查了年龄问题，可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西大同·期中）爸爸今年48岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍。当妹妹长到哥哥现在的年龄时，爸爸的年龄恰好是兄妹俩的年龄和，哥哥今年多少岁？（列方程解答） 【答案】 24岁 【思路引导】设妹妹今年的年龄是岁，则哥哥今年的年龄是岁。当妹妹长到哥哥现在的年龄时，妹妹的年龄是岁，较今年长了（岁），那么哥哥的年龄就是岁，爸爸的年龄也长了岁，就是岁。再根据此时爸爸的年龄恰好是兄妹俩的年龄和列出方程，求出妹妹今年的年龄，从而求出哥哥今年的年龄。 【规范解答】解：设妹妹今年的年龄是岁，则哥哥今年的年龄是岁。 （岁） （岁） 答：哥哥今年岁。 奥数拓展四 列方程解相遇问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·广西河池·期末）小明和妈妈相距600米，他们分别从两地同时出发相向而行， （请从以下信息中选择两个信息，将序号填在上面横线上，再提出问题并列方程解答）。 ①妈妈每分钟行75米；           ②小明每分钟行45米； ③妈妈每分钟比小明多走30米；   ④5分钟后相遇； (1)问题：_____________________________________________？（选择信息和提出问题） (2)列方程解答。 【答案】①②； （1）两人几分钟后相遇？（答案不唯一） （2）5分钟 【思路引导】由题可知，总路程为600米，如果选择①妈妈每分钟行75米和②小明每分钟行45米，可以求出两人的速度和，进而求出相遇时间。所以可以提出问题：两人几分钟后相遇？根据“速度和×相遇时间＝总路程”，先设两人分钟后相遇，再列方程进行解答。 【规范解答】小明和妈妈相距600米，他们分别从两地同时出发相向而行，①、②（请从以下信息中选择两个信息，将序号填在上面横线上，再提出问题并列方程解答）。 （1）问题：两人几分钟后相遇？（答案不唯一） （2）列方程解答。 解：设两人x分钟后相遇。 答：两人5分钟后相遇。 【考点剖析】本题考查行程问题中的相遇问题，解题关键是“速度和×相遇时间＝总路程”。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·湖南湘西·期末）12月14日，凤凰县“中国南方长城”景区热闹非凡，2025年全国新年登高健身大会暨“体彩杯”凤凰县第五届南长城登高活动在这里举行，来自全县 64 支代表队1000余名运动员汇聚于此，一起登高，迎接新一年的到来。 随着一声发令枪响，参赛人员争先恐后地沿着古老的城墙步道快步前行，蜿蜒崎岖的长城就像一条巨龙盘旋在山峦之上，参赛人员行走在其中，在登山比赛的过程中不仅能强身健体、舒展胸怀，又能欣赏到中国南方长城蕴含着丰富的历史文化遗迹和美丽的自然风光。 本次登山健步走赛程路线以中国南方长城景区为起点，途经A、B两个补给点、营盘寨西门城楼，终点为营盘寨停车场。 根据以上资料中的信息解答下列各题。 （1）本次登高健身活动起点的位置用数对表示是（    ），A补给点的位置用数对表示是（    ）。 （2）如果图中每格的距离代表200米，东东24分钟到达A补给点，明明30分钟到达A补给点。 ①东东平均每分钟行多少千米？ ②明明平均每小时行多少千米？ （3）东东以刚才的速度从A补给点继续向南行400米，然后向东行20分钟后到达B补给点，再向北行1200米到达西门城楼。最后向东行600米到达终点营盘寨停车场，请根据描述，在上图中标出B补给点和营盘寨停车场的位置。 并用数对表示：B补给点（    ），营盘寨停车场（    ）。 （4）本次登高健身活动全程多少千米？（3分） （5）活动结束后，明明打电话要爸爸来接自己，爸爸、明明分别从家、停车场两地同时出发，相向而行，经过1.5小时两人在离中点0.6千米处相遇。已知爸爸速度是明明的1.2倍，相遇时，两人各行了多少千米？（用方程解答） （6）请你根据上面的信息，提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）（1，9）；（1，3） （2）东东：0.05千米/分 明明：2.4千米/时 （3）B补给点（6，1） 营盘寨停车场（9，7） 图见详解 （4）4.4千米 （5）明明行驶路程：6千米 爸爸行驶路程：7.2千米 （6）西门城楼的位置用数对表示出来是什么？（6，7） 【思路引导】（1）数对表示位置，先表示列，再表示行。起点南方长城在表格中第一列，第九行，用数对表示为（1，9）；A补给点在第一列，第三行，用数对表示为（1，3） （2）从起点到A点共6个格子，每个格子代表200米，6个格子是6×200＝1200米。利用速度＝路程÷时间，可以计算出东东和明明各自的速度。 （3）每个格子200米，400米是2个格子，东东20分钟行驶的路程用0.05×20计算得1千米即1000米，1000米是5个格子；即东东从A先向南行2个格子，再向东行5个格子就到达B补给点。根据位置得出数对即可。 1200米是6个格子，600米是3个格子，东东从B向北6个格子，再向东3个格子就是终点营盘寨停车场，根据位置得出数对即可。 （4）从起点到A是1200米，从A到B是400＋1000＝1400米，从B到终点是1200＋600＝1800米，所有距离加起来就是全程距离。 （5）设明明速度是x千米/时，爸爸速度是1.2x千米/时。根据1.5小时两人在离中点0.6千米处相遇可得等量关系：爸爸行驶路程－明明行驶路程＝0.6×2；根据等量关系列出方程即可。 （6）西门城楼的位置用数对表示出来是什么？（提出的问题合理即可） 根据B补给点的位置（6，1）向北1200米就是西门城楼；1200米是6个格子，向北6个格子的位置是（6，7） 【规范解答】（1）起点南方长城（1，9）A补给点（1，3） （2）9－3＝6（个） 200×6＝1200（米）＝1.2千米 东东：1.2÷24＝0.05（千米/分） 30分钟＝0.5小时 明明：1.2÷0.5＝2.4（千米/时） 答：东东每分钟行0.05千米，明明每小时行2.4千米。 （3）向南：400÷200＝2（个） 向东：0.05×20＝1（千米）＝1000米 1000÷200＝5（个） 东东从A先向南行2个格，再向东行5个格子到达B补给点，数对表示为B（6，1） 向北：1200÷200＝6（个） 向东：600÷200＝3（个） 东东从B向北行6个格子，再向东行3个格子到达终点营盘寨停车场，数对表示为（9，7） （4）200×6＋400＋0.05×20×1000＋1200＋600 ＝1200＋400＋1000＋1200＋600 ＝4400（米） 4400米＝4.4千米 答：本次登高健身活动全程4.4千米。 （5）解：设明明速度是x千米/时，爸爸速度是1.2x千米/时 1.5×1.2x－1.5x＝0.6×2 1.8x－1.5x＝1.2 0.3x＝1.2 0.3x÷0.3＝1.2÷0.3 x＝4 爸爸速度：1.2×4＝4.8（千米/时） 明明路程：4×1.5＝6（千米） 爸爸路程：4.8×1.5＝7.2（千米） 答：明明行驶路程6千米，爸爸行驶路程7.2千米。 （6）西门城楼的位置用数对表示出来是什么？（答案不唯一） 答：西门城楼的位置用数对为（6，7）。 【考点剖析】本题考查用数对表示位置，明确用数对表示位置的方法是解题的关键。 奥数拓展五 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）甲乙两人同时从同一地点驾车背向而行，经过半小时甲突然想起有事要跟乙见面说，于是立即掉头去追乙，甲追上乙需要x小时，甲每小时行80千米，乙每小时行60千米。请根据问题选择正确的算式、含有字母的式子或方程。 ①半小时后甲乙两人相距多少千米？( )。 ②甲从掉头开始去追上乙，共行了多少千米？( )。 ③乙从出发到被甲追上一共行了多少千米？( )。 ④甲几小时后追上乙？正确的方程是( )。 A．（80＋60）×0.5＋60x＝80x B．80×0.5＋60×0.5 C．80x D．60×0.5＋60x 【答案】 B C D A 【思路引导】先算距离：前半小时两人背向而行，用“速度和×时间”算出相距多远，对应①。 再列方程：甲掉头追乙时，甲走的路程＝之前两人拉开的距离＋乙在追及时间里继续走的路程，据此列出方程④，再分别表示出甲、乙的总路程，对应②和③。 【规范解答】先把整个过程拆成两个阶段来分析： 背向而行阶段：前半小时，甲乙两人背向而行，各自行驶了0.5小时。 甲行驶的距离：80×0.5千米 乙行驶的距离：60×0.5千米 两人相距的总距离：80×0.5＋60×0.5，这对应选项B，也就是问题①的答案。 追及阶段：甲掉头去追乙，追及时间为x小时。 甲在追及阶段行驶的距离：80x，这对应选项C，也就是问题②的答案。 乙在追及阶段继续行驶的距离：60x。 乙从出发到被追上的总行驶距离：前半小时的距离＋追及阶段的距离＝60×0.5＋60x，这对应选项D，也就是问题③的答案。 追及问题的核心是：甲在追及阶段行驶的总路程，等于两人背向而行产生的距离加上乙在追及阶段继续行驶的距离。因此方程为：80x＝（80×0.5＋60×0.5）＋60x，整理后为 （80＋60）×0.5＋60x＝80x，这对应选项A，也就是问题④的答案。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级上·广东江门·期中）2022年的某一天，光明学校的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练。跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 【答案】400米 【思路引导】设跑道长是x米，杨老师跑第一圈的速度是a，则刘老师跑第一圈的速度是a。根据题意，把杨老师第一圈的速度看作单位“1”，则杨老师跑第二圈时的速度是（1＋）a＝a；把刘老师第一圈的速度看作单位“1”，则刘老师跑第二圈的速度便是a×（1＋）＝a。那么杨老师跑第一圈所用时间是，刘老师跑第一圈所用时间是x÷a＝，比杨老师多用－＝。杨老师、刘老师第一次相遇所用时间是x÷（a＋a），按杨老师前进方向距出发点为x÷（a＋a）×a＝x（米）；当刘老师到达出发点时，杨老师自出发点回头又跑了×a＝x；所以，杨老师、刘老师第二次相遇时，共同跑的路程是x－x＝x，按刘老师前进方向距出发点为x ÷（a＋a）×a＝x（米）。要注意刘老师跑第二圈的方向和杨老师跑第一圈的方向相同，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，由此可得：x－x＝190，根据等式的性质解出方程即可。 【规范解答】解：设跑道长是x米，杨老师跑第一圈的速度是a，则刘老师跑第一圈的速度是a。 杨老师跑第二圈时的速度：（1＋）a＝a 刘老师跑第二圈的速度：a×（1＋） ＝a× ＝a 杨老师跑第一圈所用时间： 刘老师跑第一圈所用时间：x÷a ＝x× ＝ 刘老师比杨老师多用时间：x÷a－ ＝x×－ ＝－ ＝ 第一次相遇点按杨老师前进方向距出发点：x÷（a＋a）×a ＝x÷a×a ＝x××a ＝x（米） 杨老师、刘老师第二次相遇时共同跑的路程： x－×a ＝x－x ＝x（米） 第二次相遇按刘老师前进方向距出发点： x ÷（a＋a）×a ＝x ÷×a ＝x ××a ＝x（米） x－x＝190 x－x＝190 x＝190 x×＝190× x＝400 答：这条椭圆形跑道长400米。 【考点剖析】用含有字母的式子分别表示出两位老师第一圈和第二圈的速度、时间，从而用含有字母的式子表示出两次相遇点与出发点的距离是解题的关键。 奥数拓展六 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北唐山·期末）豆豆用10元买了3支同样的圆珠笔和7本同样的练习本，剩下的钱如果买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元。一支圆珠笔的售价是( )元？（提示：此题是填空题，不必写计算过程。） 【答案】1.52 【思路引导】已知：用剩下的钱买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元，说明一支圆珠笔比一本练习本多：0.14＋0.8＝0.94（元），且（10＋0.14）元能买（3＋1）支圆珠笔和7本同样的练习本，设一本练习本的售价是x元，则一支圆珠笔的售价是（x＋0.94）元，且4支圆珠笔的总价＋7本练习本的总价＝（10＋0.14）元，结合单价×数量＝总价，列方程求解即可。（也可找出其他等量关系，列方程求解，方法不唯一） 【规范解答】解：设一本练习本的售价是x元，则一支圆珠笔的售价是（x＋0.94）元 7x＋4（x＋0.94）＝10＋0.14 7x＋4x＋4×0.94＝10＋0.14 7x＋4x＋3.76＝10＋0.14 7x＋4x＋3.76＝10.14 11x＋3.76＝10.14 11x＋3.76－3.76＝10.14－3.76 11x＝6.38 11x÷11＝6.38÷11 x＝0.58 x＋0.94＝0.58＋0.94＝1.52 所以豆豆用10元买了3支同样的圆珠笔和7本同样的练习本，剩下的钱如果买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元。一支圆珠笔的售价是1.52元。 【考点剖析】剩下的钱如果买一支圆珠笔还差0.14元，也就是多加0.14元可以多买1支圆珠笔。 解题关键：用剩下的钱买一支圆珠笔还差0.14元；剩下的钱如果买一本练习本，还剩下0.8元，说明一支圆珠笔比一本练习本多：0.14＋0.8＝0.94（元） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·湖北黄石·期末）五年级1班为“三好学生”准备了一批笔记本和钢笔作为奖品，若每位学生分5本笔记本和3支钢笔，则笔记本多8本、钢笔少2支；若每位学生分4本笔记本和2支钢笔，则笔记本多20本、钢笔多10支。请问501班共有多少位“三好学生”？准备的笔记本和钢笔各有多少？ 【答案】“三好学生”有12人；笔记本有68本；钢笔有34支 【思路引导】设501班共有x位“三好学生”，根据第一种分配方案：笔记本总数＝5x＋8，钢笔总数＝3x−2，根据第二种分配方案：笔记本总数＝4x＋20，钢笔总数＝2x＋10，根据两种分配方案的笔记本的本数不变列方程为5x＋8＝4x＋20，解方程求出x的值，就是501班“三好学生”的总数，再把x的值分别代入5x＋8和2x＋10即可分别求出准备的笔记本和钢笔各有多少。 【规范解答】解：设501班共有x位“三好学生”。 5x＋8＝4x＋20 5x＋8－4x＝4x＋20－4x x＋8＝20 x＋8－8＝20－8 x＝12 把x＝12代入5x＋8，得： 5×12＋8 ＝60＋8 ＝68（本） 把x＝12代入2x＋10，得： 2×12＋10 ＝24＋10 ＝34（支） 答：501班共有12位“三好学生”， 准备的笔记本有68本，钢笔有34支。 【考点剖析】设501班共有x位“三好学生”，找出两种分配方案笔记本的数量，明确两种分配方案的笔记本的本数不变是解题的关键。 奥数拓展七 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 【答案】52平方米 【思路引导】设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米。3名一级技工一天粉刷的总面积是8个房间的面积减去未刷的50平方米，因此每名一级技工一天的粉刷面积为（8个房间总面积－50）÷3；5名二级技工一天粉刷的总面积是10个房间的面积加上多刷的40平方米，因此每名二级技工一天的粉刷面积为（10个房间总面积＋40）÷5。每名一级技工一天粉刷面积－二级技工一天粉刷面积＝10，据此列出方程，先化简，再根据等式的性质求解出x的值即可解答。 【规范解答】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米。 （8x－50）÷3－（10x＋40）÷5＝10 x－－2x－8＝10 x－2x－－8＝10 x－x－－＝10 x－＝10 x－＋＝10＋ x＝ x×＝× x＝52 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是52平方米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·山东泰安·期中）用一根长240厘米的铁丝扎成一个长方体框架，把它的每个面糊上，做成一个长方体。已知从这个长方体的一个顶点引出的三条棱中，其中两条相等，另一条是这两条之和的2倍，求这个长方体占多大空间？ 【答案】 4000立方厘米 【思路引导】根据题意，长方体棱长总和为240厘米，由棱长总和公式可得长、宽、高之和为60厘米。已知其中两条棱相等，第三条棱是这两条之和的2倍，设相等的棱为x，则第三条棱为4x，列方程求解x，再计算体积。 【规范解答】解：设相等的两条棱为，第三条棱为2×（x＋x）＝4x，则 x＝10 第三条棱为：4×10＝40（厘米） 体积为：（立方厘米） 答：这个长方体占4000立方厘米的空间。 【考点剖析】结合长方体棱长的数量关系设未知数，通过棱长总和求出各边长度，再利用体积公式求解空间大小。 【基础夯实 知识巩固】 1．（21-22五年级下·陕西咸阳·期末）妈妈的体重是52千克，比小芳体重的2倍少8千克。设小芳的体重为x千克，则可列方程为（    ）。 A．2x－8＝52 B．2x＋8＝52 C．8x－2＝52 D．8x＋2＝52 【答案】A 【思路引导】根据题目，找等量关系，可以假设小芳的体重为x千克，妈妈的体重是小芳的2倍，就是2x，并且还比2倍少8千克，就是2x－8。 【规范解答】假设小芳体重为x千克，列出方程为： 2x－8＝52 故答案为：A 【考点剖析】这题考查了方程的应用，弄清楚题目意思，找到合适的等量关系是解答此题的关键。 2．（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）淘气的姐姐爱好健身运动，在一次30分钟的健身运动后，姐姐的心跳速度发生了变化，为每分钟140下，是运动前心跳速度的1.5倍还多38下，姐姐运动前每分钟跳多少下？下列等量关系正确的是（    ）。 A．运动后心跳的速度×1.5＋38＝运动前心跳的速度。 B．运动后心跳的速度×1.5－38＝运动前心跳的速度。 C．运动前心跳的速度×1.5＋38＝运动后心跳的速度。 D．运动前心跳的速度×1.5－38＝运动后心跳的速度。 【答案】C 【思路引导】已知姐姐运动后的心跳速度是每分钟140下，是运动前心跳速度的1.5倍还多38下，据此可知运动前心跳速度乘1.5，再加上38，就是运动后的心跳速度，据此得出等量关系。 【规范解答】A．运动后心跳的速度×1.5＋38＝运动前心跳的速度，表示运动前心跳的速度是运动后心跳速度的1.5倍还多38下，不符合题意； B．运动后心跳的速度×1.5－38＝运动前心跳的速度，表示运动前心跳的速度是运动后心跳速度的1.5倍还少38下，不符合题意； C．运动前心跳的速度×1.5＋38＝运动后心跳的速度，表示运动后心跳的速度是运动前心跳速度的1.5倍还多38下，符合题意； D．运动前心跳的速度×1.5－38＝运动后心跳的速度，表示运动后心跳的速度是运动前心跳速度的1.5倍还少38下，不符合题意。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）下面选项中，不能用方程“2x＋3x＝75”解决的问题是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】方程“2x＋3x＝75”表示存在两个数量，一个数量可以用2x表示，另一个数量可以用3x表示，这两个数量的和是75，据此分析各选项，进而确定符合题意答案。 【规范解答】A．从图中可知，数量关系为2x＋3＝75，不是2x＋3x＝75，所以不能用该方程解决。 B．设一段为x元，两段的为2x元，三段的为3x元，总钱数为75元，数量关系为2x＋3x＝75，能用该方程解决。 C．长方形的长分别为2cm和3cm，宽为xcm，总面积为75cm2，根据长方形面积公式，数量关系为（2＋3）x＝75，即2x＋3x＝75，能用该方程解决。 D．两人的速度分别为2米/秒和3米/秒，x秒后相遇，总路程为75米，根据路程＝速度和×时间，数量关系为（2＋3）x＝75，即2x＋3x＝75，能用该方程解决。 不能用方程“2x＋3x＝75”解决的问题是选项A中的。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·广东清远·期末）下图中的等量关系可以用方程( )来表示。 【答案】x＋4x＝97.5 【思路引导】观察图形可知，第一条线段的长度为x，第二条线段的长度是第一条线段的4倍，即4x，两条线段的长度之和为97.5，所以可列出方程x＋4x＝97.5。 【规范解答】第一条线段的长度为x，第二条线段的长度为4x，两条线段的长度之和为97.5。 列出方程：x＋4x＝97.5。 可以用方程x＋4x＝97.5表示图中的等量关系。 5．（21-22五年级下·广东茂名·期末）妈妈比淘气大30岁，今年妈妈的年龄是淘气的3倍，淘气今年( )岁，妈妈今年( )岁。 【答案】 15 45 【思路引导】今年妈妈的年龄是淘气的3倍，假设淘气的年龄是x岁，妈妈的年龄是3x岁，列方程为3x－x＝30，然后解出方程即可，进而求出妈妈的年龄。 【规范解答】解：设淘气的年龄是x岁，妈妈的年龄是3x岁。 3x－x＝30 2x＝30 2x÷2＝30÷2 x＝15 15＋30＝45（岁） 淘气今年15岁，妈妈今年45岁。 【考点剖析】本题主要考查了年龄问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 6．（24-25五年级上·福建泉州·期末）如图，张老师拿出A、B两种长方体积木共15块，他把这些积木交替而且无规律地拼成一个大的长方体，那么这些积木中A种有( )块，B种有( )块。 【答案】 6 9 【思路引导】设A积木用了块，那么B积木用了（）块，等量关系为：A积木的总长度＋B积木的总长度＝48厘米，据此列方程解答求出A积木用了的块数，进而求出B积木用了的块数。 【规范解答】解：设A积木用了块，那么B积木用了块。 （块）、 即这些积木中A种有6块，B种有9块。 7．（23-24五年级下·陕西延安·期末）五（1）班女生有32人，比男生的2倍少14人，则五（1）班男生有26人。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】由题意可知，设男生有x人，再根据等量关系式：男生的人数×2－14＝女生的人数，据此列方程解答即可求出男生的人数，进而作出判断。 【规范解答】解：设男生有x人。 2x－14＝32 2x－14＋14＝32＋14 2x＝46 2x÷2＝46÷2 x＝23 则五（1）班男生有23人。原题干说法错误。 故答案为：× 8．五年级绘画兴趣小组的女生比男生多12人，且正好是男生的3倍，则五年级绘画兴趣小组有6个男生。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】由题，设五年级绘画兴趣小组有男生x个，则女生的人数为3x个，根据女生的人数－男生的人数＝12，据此列方程解答；进而判断对错。 【规范解答】解：设五年级绘画兴趣小组有男生x个，则女生的人数为3x个。 3x－x＝12 2x＝12 x＝6 故答案为：√ 【考点剖析】本题主要考查列方程解决实际问题，解题的关键是找出题中的数量关系。 9．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）解方程。                      【答案】；； 【思路引导】根据等式的性质，方程的两边同时减去，方程右边得，异分母分数相减，需要先通分，和的公分母是，再根据同分母分数计算法则分母不变，分子相减，求出 先计算，根据等式的性质，方程的两边同时除以，求出。 根据等式的性质，方程的两边同时除以，方程右边得，再根据分数除法法则转化为，先约分再计算，求出。 【规范解答】 解： 解： 解： 10．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）某商场地下停车场有普通车位和充电桩车位两种车位。普通车位比充电桩车位多126个，且普通车位个数是充电桩车位个数的4.5倍。这个停车场普通车位和充电桩车位各有多少个？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【答案】普通车位的个数－充电桩车位的个数＝126 普通车位162个；充电桩车位36个 【思路引导】设充电桩车位有x个，则普通车位有4.5x个，根据数量关系“普通车位的个数－充电桩车位的个数＝126”可列出方程为4.5x－x＝126；先化简，再根据等式的性质求出x的值，即为充电桩车位的个数；再将x的值代入4.5x中，求出结果即为普通车位的个数。 【规范解答】等量关系式：普通车位的个数－充电桩车位的个数＝126 解：设这个停车场充电桩车位有x个，则普通车位有4.5x个。 4.5x－x＝126 3.5x＝126 3.5x÷3.5＝126÷3.5 x＝36 4.5x＝4.5×36＝162 答：这个停车场普通车位有162个，充电桩车位有36个。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·四川成都·期末）下列生活情境不可以用60x＋50x＝550来表示的是（    ）。 A．淘气家与笑笑家相距550米，淘气步行速度为60米/分，笑笑步行速度为50米/分，两人同时从家里出发去找对方，经过x分钟相遇。 B．甲、乙两个工程队同时修一条长550米的路，甲队每天修60米，乙队每天修50米，经过x天修完。 C．王师傅和李师傅合作做550个零件，王师傅每分钟做60个零件，李师傅每分钟做50个零件，同时做了x分钟。 D．李阿姨练习打字，一共打了550个字，前面每分钟打60个字，后面每分钟打50个字，共用了x分钟。 【答案】D 【思路引导】根据逐个选项中的信息列方程分析即可。 A．相遇问题：速度和×相遇时间＝路程，据此列方程； B．修完一条长550米的路，就要用甲一共修的路加乙一共修的路，据此列方程； C．合作做完550个零件，就要用王师傅一共做的零件加李师傅一共做的零件，据此列方程； D．李阿姨前面和后面的打字速度不一样，不能用“（前面每分钟打字的个数＋后面每分钟打字的个数）×打字时间＝一共打字的个数”来计算。 【规范解答】A．，即符合题意； B．根据分析，甲共修米，乙共修米，合起来共修550米，即符合题意； C．根据分析，王师傅一共做个零件，李师傅一共做个零件，合作做550个零件，即符合题意； D．分析可知，李阿姨前面和后面的打字速度不一样，且是共用了分钟，不可以用来计算。 故答案为：D 2．（24-25五年级下·广东清远·期末）淘气家与笑笑家相距840m，淘气每分步行80m，笑笑每分步行60m，两人同时从家出发，相向而行，经过x分相遇。根据这些信息，下面方程错误的是（    ）。 A．80＋60x＝840 B．840÷x＝80＋60 C．80x＋60x＝840 D．（80＋60）x＝840 【答案】A 【思路引导】分析题目，可得出等量关系①淘气的速度×相遇时间＋笑笑的速度×相遇时间＝淘气家与笑笑家的距离；②（淘气的速度＋笑笑的速度）×相遇时间＝淘气家与笑笑家的距离；③淘气家与笑笑家的距离÷相遇时间＝淘气的速度＋笑笑的速度；据此列出方程并解答即可。 【规范解答】①根据等量关系：淘气的速度×相遇时间＋笑笑的速度×相遇时间＝淘气家与笑笑家的距离可列出方程80x＋60x＝840； ②根据等量关系：（淘气的速度＋笑笑的速度）×相遇时间＝淘气家与笑笑家的距离可列出方程（80＋60）x＝840； ③根据等量关系：淘气家与笑笑家的距离÷相遇时间＝淘气的速度＋笑笑的速度可列出方程840÷x＝80＋60； 所以给出的方程中错误的是：80＋60x＝840。 故答案为：A 3．甲杯中有毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍。如果从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，下面方程中错误的是( )。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】甲杯中有a毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍，乙杯中的饮料是4×a＝4a（毫升），从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，即乙杯减去30毫升等于甲杯加上30毫升，可列方程，或根据乙杯比甲杯多2倍的30毫升列方程，解答即可。 【规范解答】由分析可列方程： 或。 故答案为：A 【考点剖析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为a，由此列方程解决问题。 4．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）甲、乙两车同时从相距190千米的两站相对开出，2小时后相遇，甲车每小时行50千米，乙车每小时行( )千米。 【答案】45 【思路引导】设乙车每小时行x千米，根据路程＝速度×时间；甲车每小时行50千米，2小时行（50×2）千米；乙车每小时行x千米，2小时行2x千米；甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝190千米，列方程：50×2＋2x＝190，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设乙车每小时行x千米。 50×2＋2x＝190 100＋2x＝190 2x＝190－100 2x＝90 x＝90÷2 x＝45 甲、乙两车同时从相距190千米的两站相对开出，2小时后相遇，甲车每小时行50千米，乙车每小时行45千米。 5．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）淘气和笑笑在长度为360米的操场跑道上，两人同时从同一起点出发反向而行，淘气每分走70米，笑笑每分走50米，出发后( )分钟两人相遇。 【答案】3 【思路引导】分析题目，设出发后x分钟两人相遇，根据淘气的速度×时间＋笑笑的速度×时间＝360米，列出方程70x＋50x＝360，进而解出方程即可。 【规范解答】解：设出发后x分钟两人相遇。 70x＋50x＝360 120x＝360 x＝360÷120 x＝3 因此，出发后3分钟两人相遇。 6．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。将容器倒置过来后，发现仍有一部分铁块淹没在水面以下，此时水面的高度为15厘米。那么，这个长方体实心铁块的高度是( )厘米。    【答案】17 【思路引导】根据题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是x厘米，根据左图，水的高度等于实心铁块的高度，这部分体积等于水的体积＋实心铁块的体积，用这部分的体积减去实心铁块的体积，得出水的体积，即：水的体积＝（25×25×x－125×x）立方厘米；右图中铁块在水中的高位为[x－（25－15）]厘米，水的体积为：（25×25×15）立方厘米－125×[x－（25－15）]立方厘米，由于水的体积不变，列方程：25×25×x－125×x＝（25×25×15）－125×[x－（25－15）]，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设这个长方体实心铁块的高度是x厘米。 25×25×x－125×x＝25×25×15－125×[x－（25－15）] 625x－125x＝625×15－125×[x－10] 500x＝9375－125x＋125×10 500x＋125x＝9375＋1250 625x＝10625 x＝10625÷625 x＝17 这个长方体实心铁块的高度是17厘米。 【考点剖析】本题考查方程的实际应用，利用水的体积不变，以及长方体体积公式，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 7．（24-25五年级下·广东深圳·期末）科技园区某机器人公司的A型机器人比B型机器人多420架，A型机器人的数量是B型机器人的4倍。此公司的A型机器人和B型机器人分别有多少架？ 【答案】560架；140架 【思路引导】设B型机器人有x架，则A型机器人有4x架，根据“A型机器人－B型机器人＝420架”列出方程，解方程求出x的值，进而求出B型机器人的架数。 【规范解答】解：设B型机器人有x架，则A型机器人有4x架。 4x－x＝420 3x＝420 3x÷3＝420÷3 x＝140 420＋140＝560（架） 答：A型机器人有560架，B型机器人有140架。 8．（24-25五年级下·辽宁营口·期末）宠物店里有猫和狗若干只。狗的只数是猫的3倍，狗比猫多6只，猫和狗各几只？（列方程解答） 【答案】猫3只，狗9只 【思路引导】设猫有x只，因为狗的只数是猫的3倍，所以狗有3x只。根据“狗比猫多6只”，可以列出方程：3x－x＝6，解方程即可求出猫的数量，进而求出狗的数量。 【规范解答】解：设猫有x只，则狗有3x只。 3x－x＝6 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 狗的只数：3×3＝9（只） 答：猫有3只，狗有9只。 9．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？ 【答案】18公顷 【思路引导】根据题意，设菜地有x公顷，已知菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，则麦地有（13－x）÷公顷，又因为“麦地的一半和菜地的放在一起是12公顷”，根据这个等量关系列方程解答即可。 【规范解答】由分析得： 解：设菜地有x公顷，则麦地有（13－x）÷公顷。 x＋（13－x）÷×＝12 x＋（13－x）×3×＝12 x＋（13－x）×＝12 x＋－x＝12 －x＝12 x＝－12 x＝ x＝÷ x＝18 答：菜地有18公顷。 【考点剖析】这种等量代换的题，用方程解答比较简单，有两个等量关系，一个等量关系表示另一个未知量，第二个等量关系来解方程。 10．棕马和白马在相距50米的地方同时出发，同向而行，出发时棕马在前，白马在后，如果棕马每秒跑10米，白马每秒跑12米，经过多少秒两马相距70米？ 【答案】60秒 【思路引导】据题意，两匹马在相距50米的地方同时出发，并且同向而行，说明从出发一开始，两匹马之间的距离就是50米，棕马在前，白马在后，经过一段追及，最终白马到了前面，棕马在后面，此时两匹马要求相距70米，由此可以得出整个追及距离是（50＋70）米。此时用两匹马的速度差乘追及时间，就可以等于追及距离。利用此关系式，可以解出追及时间。 【规范解答】解：设经过x秒两马相距70米。 （12－10）x＝50＋70 2x＝120 2x÷2＝120÷2 x＝60 答：经过60秒两马相距70米。 【考点剖析】本题考查了学生对行程问题的掌握，题中关键量要能明确，二者是同向而行，属于追及问题，熟记追及问题的关系式：追及时间×速度差＝追及距离。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null