第四单元 长方体（二）（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共56题-2025-2026学年北师大版数学五年级下册真题汇编必刷冲关练

null2025-2026学年北师大版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第四单元 长方体（二）『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 体积和容积的认识 3 知识点二：体积和容积的单位 4 知识点三 长方体的体积 5 知识点四 正方体的体积 5 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 5 知识点六 剪角折叠求体积问题 5 知识点七：等积变形问题 6 知识点八 排水法求不规则物体体积 6 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 6 考点讲练 真题汇总 7 高频考点一 长方体的体积 7 高频考点二 正方体的体积 7 高频考点三 体积的等积变形（长方体、正方体） 8 高频考点四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 9 高频考点五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 10 高频考点六 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 11 高频考点七 体积与容积单位间的进率及换算 12 高频考点八 长方体、正方体的容积 13 高频考点九 不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 14 高频考点十 组合体的体积（长方体、正方体） 15 奥数拓展 拔尖冲刺 16 奥数拓展一 长方体的体积 16 奥数拓展二 正方体的体积 17 奥数拓展三 体积的等积变形（长方体、正方体） 18 奥数拓展四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 19 奥数拓展五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 20 奥数拓展六 体积与容积单位间的进率及换算 21 奥数拓展七 不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 22 奥数拓展八 组合体的体积（长方体、正方体） 24 优选真题 实战演练 25 【基础夯实 知识巩固】 25 【拓展提高 能力拔尖】 30 知识点一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二：体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算：1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算：高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系：如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系： 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系： 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七：等积变形问题 1. 等积变形问题：在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一 长方体的体积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济南·期末）把1.5m长的长方体木料锯成3段，表面积增加96dm2，原来木料的体积是( )dm3。 【答案】360 【思路引导】表面积增加了4个底面面积，求出每个底面面积，根据长方体体积＝底面积×高，计算出体积。 【规范解答】96÷4＝24（dm2） 24×（1.5×10） ＝24×15 ＝360（dm3） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期末）某高校游泳馆内修建了一个长12米、宽8米、深2米的长方体泳池，在泳池四壁及底面贴上瓷砖，需要贴瓷砖的面积有多大？建好后，池内水深要达到1.5米，至少要放入多少立方米的水？ 【答案】176平方米；144立方米 【思路引导】贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；水的体积＝长×宽×水深，据此列式解答。 【规范解答】贴瓷砖的面积： （平方米） 水的体积： （立方米） 答：需要贴瓷砖的面积是平方米，至少要放入立方米的水。 高频考点二 正方体的体积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河北保定·期末）曲阳石雕，是中国传统雕刻艺术的瑰宝。王师傅从下面的长方体大理石料上截下一块体积最大的正方体石材制作浮雕，这块正方体石材的体积是( )dm3。 【答案】125 【思路引导】分析题目，截下的最大的正方体的棱长等于长方体最短的一条棱，即正方体的棱长是5dm，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【规范解答】9＞6＞5 5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     【答案】40升 【思路引导】根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的容积（体积）公式：V＝abh，用长方体玻璃缸内水的体积加上正方体的铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出水的体积。 【规范解答】4×4×4＋6×5×3.2－6×5×4 ＝64＋96－120 ＝160－120 ＝40（立方分米） 40立方分米＝40升 答：缸里的水溢出40升。 【考点剖析】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 高频考点三 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆綦江·期末）把一个棱长为6厘米的正方体铁块，熔铸成一个长9厘米，宽6厘米的长方体，这个长方体的高是( )厘米。 【答案】4 【思路引导】将一个正方体铁块熔铸成一个长方体铁块，体积不变。已知正方体铁块的棱长为6厘米，利用正方体体积＝棱长×棱长×棱长求出铁块的体积。再利用长方体的高＝体积÷长÷宽，用铁块的体积除以长方体的长（9厘米），再除以长方体的宽（6厘米）求出高。 【规范解答】 （立方厘米） （厘米） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）在一个长30厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，然后把水倒入一个棱长为20厘米的正方体容器中，这时水深是多少厘米？ 【答案】11.25厘米 【思路引导】长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，已知长方体容器长30厘米、宽15厘米、高10厘米，且装满水，水的体积等于长方体容积，把数据代入公式得：30×15×10＝4500（立方厘米）。正方体底面积公式为：面积＝棱长×棱长，已知正方体容器棱长20厘米，则底面积为：20×20＝400（平方厘米）。水倒入正方体容器后，形状变为“以正方体底面积为底、水深为高的长方体”，根据“长方体的高＝体积÷底面积”，把体积4500立方厘米，底面积400立方厘米代入计算即可。 【规范解答】30×15×10＝4500（立方厘米） 20×20＝400（平方厘米） 4500÷400＝11.25（厘米） 答：这时水深是11.25厘米。 高频考点四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆綦江·期末）一个长方体木块的长是30cm，宽是21cm，高是18cm，把它切成大小相等的小正方体，不能有剩余，小正方体木块的棱长最大是( )cm，一共能切成( )块。 【答案】 3 420 【思路引导】把长方体切成无剩余的等大小正方体，小正方体棱长必须同时整除长方体的长、宽、高，要使小正方体木块的棱长最大，即为30、21、18这三个数的最大公因数。得到小正方体棱长后，分别计算长方体的长、宽、高方向能切出的小正方体数量，再将三个方向的数量相乘，即可得到总块数。 【规范解答】30＝2×3×5 21＝3×7 18＝2×3×3 30、21、18的最大公因数是3，所以小正方体木块的棱长最大是3cm。 （30÷3）×（21÷3）×（18÷3） ＝10×7×6 ＝70×6 ＝420（块） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）非遗传承人王叔叔想雕刻一件物品，选好材料后为方便雕刻先对材料进行了初步处理，他把长8cm，宽6cm，高9cm的长方体木料削成了一个最大的正方体，则这个长方体材料体积减小了( )cm3。 【答案】216 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体中削成的最大正方体的棱长与长方体最短的棱长度相等。用长方体体积减去最大正方体的体积求出体积减少的部分。 【规范解答】8×6×9－6×6×6 ＝432－216 ＝216（cm3） 高频考点五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆秀山·期末）( )    ( )L 【答案】 8630 4.8 【思路引导】大单位换算为小单位，要乘进率；小单位换算为大单位，要除以进率。逐一计算。 【规范解答】因为1m3＝1000dm3，m3换算为dm3，是大单位换算为小单位，要乘进率1000，即8.63×1000＝8630，所以8.63m3＝8630dm3； 因为1L＝1000mL，mL换算为L，是小单位换算为大单位，要除以进率1000，即4800÷1000＝4.8，所以4800mL＝4.8L。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北十堰·期末）在括号里填上适当的最简分数。 4小时40分钟＝( )小时     450立方分米＝( )立方米 【答案】 【思路引导】根据1小时＝60分钟，1立方米＝1000立方分米，低级单位转换成高级单位除以单位间的进率，结果用分数表示并化为最简分数。据此解答。 【规范解答】40÷60＝＝（小时） 4＋＝（小时） 所以4小时40分钟＝小时 450÷1000＝＝ 所以450立方分米＝立方米 高频考点六 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期末）450毫升＝( )升   0.32立方分米＝( )立方厘米   15分＝( )时 【答案】 0.45 320 0.25 【思路引导】（1）根据1升＝1000毫升，从小单位换算成大单位，除以进率； （2）根据1立方分米＝1000立方厘米，从大单位换算成小单位，乘进率； （3）根据1时＝60分，从小单位换算成大单位，除以进率。 【规范解答】（1）450÷1000＝0.45（升），因此450毫升＝0.45升。 （2）0.32×1000＝320（立方厘米），因此0.32立方分米＝320立方厘米。 （3）15÷60＝0.25（时），因此15分＝0.25时。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆大渡口·期末）爸爸将一桶3升的菜籽油分装在容积是450毫升的小油瓶中，最少需要( )个这样的小油瓶。 【答案】7 【思路引导】先把3升换算成3000毫升，再用总容积除以每个小油瓶的容积，即可计算出所需油瓶数量，结果用进一法取整。 【规范解答】3升＝3000毫升 （个） 最少需要7个这样的小油瓶。 高频考点七 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.9分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，那么缸里的水将溢出多少升？ 【答案】11.2升 【规范解答】长方体的体积（容积）＝长×宽×高，正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长。根据题意可得，正方体铁块的体积＋原有水的体积－长方体玻璃缸的容积＝溢出的水的容积。正方体铁块的棱长为4分米，原有水在长方体玻璃缸里，长为8分米，宽为6分米，高为2.9分米，长方体玻璃缸的长为8分米，宽为6分米，高为4分米，代入公式后进行计算。最后结果的单位“立方分米”要换算为“升”。1立方分米＝1升。 【解答】（立方分米） （立方分米） （立方分米） （立方分米） 11.2立方分米＝11.2升 答：缸里的水将溢出11.2升。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江台州·期末） 4800毫升＝( )立方分米( )立方厘米    2.5公顷＝( )平方米 汽车油箱的容积大约是60( )。      粉笔盒的体积约为800( )。 【答案】 4 800 25000 升/L 立方厘米/cm3 【思路引导】根据1立方分米＝1000立方厘米，1毫升＝1立方厘米即可换算； 1公顷＝10000平方米，用2.5乘进率10000即可换算； 两瓶矿泉水的容积约为1升，由此即可填空； 成年人的指尖体积约为1立方厘米，由此即可填空。 【规范解答】4800÷1000＝4.8（立方分米），即4800毫升＝4立方分米800立方厘米； 2.5×10000＝25000（平方厘米），即2.5公顷＝25000平方米； 汽车油箱的容积大约是60升； 粉笔盒的体积约为800立方厘米。 高频考点八 长方体、正方体的容积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆大渡口·期末）下图是魔术师使用的特殊无盖长方体箱子，从里面量，长1米，宽0.5米，高0.6米。当把鸽子放入后，魔术师会拉动透明的线，让挂在箱面左侧正中间的布料拉开，鸽子就被藏到了布料下方，呈现出消失的画面。已知箱子底部、内部四周和遮盖布料都采用同一种材质。 请提出一个与上面已知信息相关联的数学问题并解决。 问题：________________________________？ 解答： 【答案】问题：箱子的容积是多少？ 0.3立方米 【思路引导】根据题目给出的无盖长方体箱子的内部长、宽、高信息我们可以从长方体容积计算的角度提出问题，因为长方体容积的计算需要用到内部的长、宽、高，与题目信息关联紧密。长方体的容积（体积）计算公式为V＝长×宽×高。 【规范解答】根据分析： 问题：箱子的容积是多少？ 1×0.5×0.6 ＝0.5×0.6 ＝0.3（立方米） 答：箱子的容积是0.3立方米。 （答案不唯一） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）王奶奶家用一个长8dm，宽5dm的长方体水箱装水，用来洗澡。一天，王奶奶洗澡前，水箱里水位高度是6dm，洗完澡后，水位高度是3.5dm。王奶奶洗澡共用去( )L水。 【答案】100 【思路引导】根据题意，水面下降部分水的体积就是王奶奶洗澡共用去的水的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高计算，并根据1dm3＝1L换算单位即可。 【规范解答】8×5×（6－3.5） ＝8×5×2.5 ＝100（dm3） 100dm3＝100L 高频考点九 不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北黄石·期末）用排水法测量土豆和红薯的体积，已知长方体容器长15厘米，宽15厘米，高20厘米。仔细观察实验过程，比较土豆和红薯的体积，谁的体积大？大多少？ 【答案】 红薯；225立方厘米 【思路引导】排水法中物体的体积等于容器底面积乘水面上升的高度。先分别算出土豆和红薯使水面上升的高度，再比较高度差，最后用底面积乘高度差算出体积差。 【规范解答】土豆使水面上升：13－10＝3（厘米） 红薯使水面上升：17－13＝4（厘米） 因为4＞3，所以红薯体积大。 体积差：15×15×（4－3） ＝15×15×1 ＝225（立方厘米） 答：红薯的体积大，大225立方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）2个西红柿浸没在盛了200毫升水的量杯后（水未溢出），水位上升至556毫升，平均每个西红柿的体积是( )立方厘米。 【答案】178 【思路引导】量杯初始水的体积为200毫升，放入2个西红柿后总体积为556毫升。因为西红柿浸没在水中且水未溢出，所以2个西红柿的总体积＝水位上升后的总体积－初始水的体积，即：556－200＝356（毫升）。1毫升＝1立方厘米，因此356毫升＝356立方厘米。用2个西红柿的总体积除以数量2即可得单个西红柿体积。 【规范解答】556－200＝356（毫升） 356毫升＝356立方厘米 356÷2＝178（立方厘米） 平均每个西红柿的体积是178立方厘米。 高频考点十 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）只列综合算式，不计算。 下图是由棱长为2厘米的小正方体拼成的组合体，这个组合体的体积是多少立方厘米？ 列式：________________________ 【答案】2×2×2×4 【思路引导】观察可知这个组合体由4个小正方体组成，根据，代入数据计算小正方体的体积再乘4即可。 【规范解答】2×2×2×4＝32（立方厘米） 下图是由棱长为2厘米的小正方体拼成的组合体，这个组合体的体积是多少立方厘米？ 列式：2×2×2×4 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·陕西西安·期末）计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】580cm2；776cm3 【思路引导】看图可知，长方体的棱上挖去一个正方体，减少了2个正方形的面，又出现了4个正方形的面，因此这个立体图形的表面积＝完整的长方体表面积＋正方形面积×2，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；这个立体图形的体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】（12×10＋12×7＋10×7）×2＋4×4×2 ＝（120＋84＋70）×2＋32 ＝274×2＋32 ＝548＋32 ＝580（cm2） 12×10×7－4×4×4 ＝840－64 ＝776（cm3） 这个立体图形的表面积和体积分别是580cm2、776cm3。 奥数拓展一 长方体的体积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川成都·期中）一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是32平方分米，这个长方体的体积是多少？ 【答案】12立方分米 【思路引导】已知形成的长方体的底面积是6平方分米，长方体的表面积是32平方分米，那么长方体的侧面积（前后左右四个面的面积之和）＝表面积－底面积×2；因为长方体的侧面积＝底面周长×高，那么长方体的高＝侧面积÷底面周长；再根据长方体的体积＝底面积×高，求出这个长方体的体积。 【规范解答】长方体的侧面积： 32－6×2 ＝32－12 ＝20（平方分米） 长方体的高：20÷10＝2（分米） 长方体的体积：6×2＝12（立方分米） 答：这个长方体的体积是12立方分米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）素养提升：一个长10厘米、宽8厘米的长方体容器中的水深6厘米。现将一根底面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与容器底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【思路引导】长方体容器中放入长方体铁棒后，水的体积没有变化，由于放入的铁棒占据了部分底面积，所以底面积等于原来长方体容器的底面积－铁棒的底面积；这时，水的形状变成一个中间被抽去一个长方体的中空的长方体，求这样一个中空的长方体的体积，根据：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，即可求出现在水的高度。 【规范解答】10×8×6÷（10×8－20） ＝80×6÷（80－20） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：现在水深8厘米。 【考点剖析】明确水的体积不变以及熟练掌握和运用长方体体积公式是解答本题的关键。 奥数拓展二 正方体的体积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图都是用棱长1cm的小正方体搭成的，它们的体积依次是( )，( )，( )。 【答案】 4 10 20 【思路引导】小正方体的棱长是1cm，所以每个小正方体的体积是13＝1cm3。分别数出这三个图形中小正方体的个数，即可求出它们的体积。 【规范解答】棱长是1cm的小正方体的体积是：13＝1cm3 第一个图形中小正方体的个数是：3＋1＝4，所以体积是4cm3 第二个图形中小正方体的个数是：6＋3＋1＝10，所以体积是10cm3 第三个图形中小正方体的个数是：10＋6＋3＋1＝20，所以体积是20cm3 【考点剖析】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体盒子里，最多能放( )个棱长2厘米的小正方体。 【答案】12 【思路引导】长方体的长决定了一行可以放几个小正方体，宽度决定了可以放几列、高度决定了可以放几层。由此解答。 【规范解答】6÷2＝3（个） 4÷2＝2（个） 5÷2＝2（个）……1（厘米） 3×2×2 ＝6×2 ＝12（个） 【考点剖析】本题考查了长方体和正方体的体积，培养同学们的空间想象能力。 奥数拓展三 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南周口·期中）中国冶铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，早在齐国就有“断山木，鼓山铁”。现有一名工匠将一个棱长为3dm的正方体铁块锻造成一个长4.5dm，宽0.8dm的长方体铁块，这个长方体铁块的高是( )dm。 【答案】7.5 【思路引导】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【规范解答】3×3×3 ＝9×3 ＝27（） 27÷（4.5×0.8） ＝27÷3.6 ＝7.5（dm） 即这个长方体铁块的高是7.5dm。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·贵州六盘水·期中）一个长方体容器（如图），长是40厘米，宽是25厘米，高是20厘米。装入水后，水深15厘米，然后把这个容器盖紧，转动容器，使最小的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【答案】30厘米 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，算出容器内的水体积；再根据长方体的高＝体积÷底面积解决。最小的面是左右面。 【规范解答】（40×25×15）÷（25×20） ＝15000÷500 ＝30（厘米） 答：这时里面的水深是30厘米。 奥数拓展四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·陕西渭南·期中）将一个长11厘米，宽9厘米，高7厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．1331 B．729 C．512 D．343 【答案】D 【思路引导】从长方体中截出体积最大的正方体，正方体的棱长等于长方体长、宽、高中最短的棱的长度。根据正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出正方体的体积即可。 【规范解答】长方体长11厘米、宽9厘米、高7厘米，最短的棱是7厘米， 即体积最大的正方体的棱长为7厘米。 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 这个正方体的体积是343立方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）我国古代建筑多采用木质材料，在修复一座老木屋时，需要从一根长1.5米、宽0.8米、高0.6米的长方体木料上锯掉一个最大的正方体，剩下木料的体积是多少立方米？ 【答案】0.504立方米 【思路引导】要从长方体木料上锯下一个最大的正方体，该正方体的棱长必须等于长方体长、宽、高中最短的那条棱的长度。长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用原长方体体积减去锯下的正方体体积即可求出剩下木料的体积。 【规范解答】1.5×0.8×0.6 ＝1.2×0.6 ＝0.72（立方米） 1.5＞0.8＞0.6 0.6×0.6×0.6 ＝0.36×0.6 ＝0.216（立方米） 0.72－0.216＝0.504（立方米） 答：剩下木料的体积是0.504立方米。 奥数拓展五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）棱长为1dm的正方体盒子中，可以放多少个体积为1cm3的小正方体？ 分析与解答：求棱长是1dm的正方体盒子中可以放多少个体积为1cm3的小正方体，就是求相邻体积单位之间的进率；棱长为1dm的正方体，体积就是( )dm3，找一个1dm3的正方体盒子，用棱长是1cm的正方体往里摆。每行放( )个，摆( )行，这样一层就摆好了，然后这样一层一层地摆，正好摆10层就装满了这个盒子，一共摆了( )个小正方体，说明1dm3＝( )cm3。 【答案】 1 10 10 1000 1000 【思路引导】棱长为1dm的正方体，体积是：1×1×1＝1（dm³），因为1dm＝10cm，所以在棱长为1dm的正方体盒子中，放棱长为1cm的正方体，每行可以放10个，可以摆10行，一层就摆好了，一层一层地摆，可以摆10层，所以共可以放：10×10×10＝1000（个）。所以1dm³＝1000cm³ 【规范解答】由分析可知：求棱长是1dm的正方体盒子中可以放多少个体积为1cm3的小正方体，就是求相邻体积单位之间的进率；棱长为1dm的正方体，体积就是1dm3，找一个1dm3的正方体盒子，用棱长是1cm的正方体往里摆。每行放10个，摆10行，这样一层就摆好了，然后这样一层一层地摆，正好摆10层就装满了这个盒子，一共摆了1000个小正方体，说明1dm3＝1000cm3。 【考点剖析】本题考查相邻体积单位之间的进率的推导方法，学生需理解推导的过程，并牢记此结论。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个无盖的长方体木箱，木板的厚度是3厘米，从外面量长46厘米，宽31厘米，高33厘米。这个木箱的容积是多少立方分米？ 【答案】30立方分米 【思路引导】根据长方体的容积公式：v＝abh，首先求出木箱里面的长、宽、高，然后把数据代入公式解答即可。 【规范解答】（46－3×2）×（31－3×2）×（33－3） ＝40×25×30 ＝1000×30 ＝30000（立方厘米） 30000立方厘米＝30立方分米， 答：这个木箱的容积是30立方分米。 【考点剖析】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用。注意：单位不统一时要换算单位。 奥数拓展六 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济南·期末）一块长方形的铁皮长45厘米，宽28厘米。从四个角上各剪去一个边长7厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子的容积是多少升？ 【答案】升 【思路引导】根据题意，从长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为7厘米的正方形，做成的盒子的高即为剪去正方形的边长。盒子的长等于原铁皮的长减去2个剪去的边长，盒子的宽等于原铁皮的宽减去2个剪去的边长。据此代入长方体容积公式“容积长宽高”计算出盒子的容积，最后根据1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，将体积单位从立方厘米换算为升，除以进率。 【规范解答】盒子的长： （厘米） 盒子的宽： （厘米） 盒子的容积： （立方厘米） 3038÷1000＝3.038（升） 答：这个盒子的容积是升。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图是一个长方体玻璃水箱，小明给空着的水箱中慢慢地注入水，水在长方体水箱中也形成了长方体。 （1）当小明注入多少毫升水时，水形成的长方体会第一次出现正方形的面？ （2）小明继续给水箱中注水，水所形成的长方体会第二次出现正方形的面吗？若会，请计算小明第二次又注入了多少毫升水。 【答案】（1）1500毫升 （2）会；750毫升 【思路引导】（1）根据题意，水形成的长方体第一次出现正方形的面，则水形成的长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为10厘米（这时水的侧面是正方形）。长方体的体积＝长×宽×高，据此可以求出水的体积。 （2）继续注水，水形成的长方体会第二次出现正方形面，这个长方体的长是15厘米，宽是10厘米，高是15厘米（水的前、后面是正方形）。第二次注入的水形成的长方体长15厘米，宽10厘米，高（15－10）厘米，根据长方体的体积公式即可解答。 【规范解答】（1）15×10×10＝1500（立方厘米）＝1500毫升 答：当小明注入1500毫升水时，水形成的长方体会第一次出现正方形的面。 （2）15×10×（15﹣10） ＝15×10×5 ＝750（立方厘米）＝750毫升 答：小明继续给水箱中注水，水所形成的长方体会第二次出现正方形的面。小明第二次又注入了750毫升水。 【考点剖析】本题考查长方体体积的应用。明确水形成的长方体出现正方形面时的长、宽、高是解题的关键。 奥数拓展七 不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级·全国·随堂练习）观察下面的三幅图，在装水的杯子中放入大球和小球，小球的体积是多少立方厘米？大球的体积是多少立方厘米？ 【答案】 小球：2cm3；大球：7cm3 【思路引导】溢出水的体积等于杯子内球的体积；对比图1和图2可知，1个大球＋1个小球的体积为9立方厘米，对比图1和图3可知，1个大球＋5个小球的体积是17立方厘米；用17立方厘米减去9立方厘米，即可求出个小球的体积，进而求出1个小球的体积；最后用9立方厘米减去1个小球的体积，即可求出1个大球的体积，据此解答。 【规范解答】1个小球：（立方厘米） 1个大球：（立方厘米） 答：小球的体积是2立方厘米，大球的体积是7立方厘米。 【考点剖析】本题考查了不规则体积的算法，解答此题关键是明白从满装水的杯子中放入物体后，溢出水的体积就是放入物体的体积。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·陕西咸阳·期中）实验小组用一个长方体量杯测量玻璃球的体积（如图）。 过程如下： ①往量杯里倒入适量的水，水面高度是量杯高度的； ②把玻璃球完全放入水中，水面上升后的高度是10厘米。 (1)量杯里水的容积是多少毫升？ (2)玻璃球的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】(1)768毫升 (2)192立方厘米 【思路引导】（1）把长方体量杯的高看作单位“1”，水面高度是量杯高度的，单位“1”已知，用乘法，用长方体量杯的高×，求出长方体量杯里水的高度，再根据长方体容积＝长×宽×高，据此求出量杯里水的容积，注意单位换算。 （2）水面上升部分体积就是玻璃球的体积，用上升后的高度－原来高度，求出上升的高度；根据公式：不规则物体的体积＝容器的底面积×水面变化的高度。据此即可求解 【规范解答】（1）20×＝8（厘米） 12×8×8 ＝96×8 ＝768（立方厘米） 768立方厘米＝768毫升。 答：量杯里水的容积是768毫升。 （2）12×8×（10－8） ＝96×2 ＝192（立方厘米） 答：玻璃球的体积大约是192立方厘米。 奥数拓展八 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江大庆·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】262；253 【思路引导】组合体凹进去的3个面，通过平移，可以组成一个完整的长方体，组合体表面积＝长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； 组合体体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【规范解答】 （） （） 所以图形的表面积是262，体积是253。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·辽宁·暑假作业）计算下面立体图形的表面积和体积。 【答案】152平方分米；88立方分米 【思路引导】由图可知：在大长方体的顶点处去掉一个小长方体，虽然体积减少了，但是表面积不变。根据长方体的表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，求出立体图形的表面积。长方体的体积V＝abh，用大长方体的体积减去小长方体的体积，求出立体图形的体积。 【规范解答】立体图形的表面积： ＝（48＋16＋12）×2 ＝（64＋12）×2 ＝76×2 ＝152（平方分米） 立体图形的体积： ＝48×2－4×2×1 ＝96－8 ＝88（立方分米） 图形的表面积是152平方分米，体积是88立方分米。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·山东济南·期末）体积是64cm3的正方体木块，放在桌子上的占地面积是（    ）。 A．64cm2 B．4cm2 C．16cm2 D．8cm2 【答案】C 【思路引导】先根据正方体体积公式，由已知体积反推出棱长a；由于正方体的占地面积就是它的底面积，再根据正方形面积公式计算即可。 【规范解答】已知正方体体积，因为，所以该正方体的棱长。 （cm2） 所以占地面积是。 2．（24-25五年级下·山东济南·期末）一个长a分米，宽b分米，高h分米的长方体，如果高增加4分米，那么体积增加（    ）立方分米。 A．4ab B．4bh C．4ah D．4abh 【答案】A 【思路引导】根据长方体体积的变化规律：当长方体的长和宽不变，只有高发生变化时，增加的体积部分可以看作是一个新的长方体，其长和宽与原长方体相同，高为增加的高度，长方体的体积＝长×宽×高。 【规范解答】 已知原长方体的长为a分米，宽为b分米，高增加了4分米。 增加的体积列式为：a×b×4。 根据含有字母的式子的书写规范，数字应写在字母前面，乘号可以省略，即4ab。 所以一个长a分米，宽b分米，高h分米的长方体，如果高增加4分米，那么体积增加4ab立方分米。 3．（24-25五年级下·广东广州·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．999个奇数相加，和一定是奇数 B．棱长为6厘米的正方体，表面积与体积刚好相等 C．折线统计图能非常方便地看出所有数据的平均数是多少 D．一个数越大，它的因数个数就越多 【答案】A 【思路引导】根据奇数和偶数的性质：“偶数＋偶数＝偶数；奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数”； 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，表面积和体积单位不一致无法比较； 折线统计图特点：不但可以表示数量的多少，还可以清楚地看出数量的增减变化情况； 求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1、2、3……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数，因数的多少与数的大小无关。 【规范解答】A．999个奇数相加，和一定是奇数，说法正确； B．棱长为6厘米的正方体，表面积和体积无法比较，题干说法错误； C．折线统计图能非常方便地看出数据的增减情况，题干说法错误； D．一个数的大小与因数个数无关，题干说法错误。 4．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）0.05L＝( )mL    ( )    3L50mL＝( )L 【答案】 50 0.4 3.05 【思路引导】1L＝1000mL，高级单位转低级单位乘进率，用0.05乘1000解答即可；50除以1000解答即可；1m3＝1000dm3，只用把400dm3转换成m3作单位，用400除以1000换算单位即可。 【规范解答】0.05×1000＝50，即0.05L＝50mL 400÷1000＝0.4，即400dm3＝0.4m3 50÷1000＝0.05，3L50mL＝3L＋0.05L＝3.05L，即3L50mL＝3.05L 5．（24-25五年级下·广东广州·期末）一个长方体形状的鱼缸，内部底面积是5dm2，深2.2dm。往鱼缸内部放入一个苹果，再注入10.7L水后，苹果完全浸没在水中，且水面刚好与鱼缸顶部齐平，没有水溢出来。这个苹果的体积是( )dm3。 【答案】/ 【思路引导】不规则物体的体积测量方法已知长方体鱼缸的底面积和高，可以求出长方体鱼缸的容积，，根据：，将注入水的体积单位转换成立方分米，用鱼缸的容积减去注入水的体积，就可以得到苹果的体积。 【规范解答】（） （） 6．（24-25五年级下·山东济南·期末）一个正方体底面不变，高增加3厘米，得到一个长方体，表面积比原来增加了108平方厘米，原来正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】729 【思路引导】高增加后上下底面面积没有变化，所以增加的表面积是增加部分的4个侧面积。 用增加的表面积除以4，得到单个新增侧面的面积，再根据长方形面积公式，用单个侧面面积除以 增加的高3厘米，即可得到正方体的棱长。 最后根据正方体体积公式代入求得的棱长计算体积。 【规范解答】（平方厘米） （厘米） （立方厘米） 7．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）长方体的长、宽、高都扩大到原来的4倍，体积就扩大到原来的64倍。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据长方体的体积公式“体积＝长×宽×高”，结合积的变化规律进行分析。当长方体的长、宽、高都扩大到原来的4倍时，体积扩大的倍数等于长、宽、高扩大倍数的乘积，计算该乘积并与题干中的倍数进行比较即可判断。 【规范解答】 长方体的长、宽、高都扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的64倍。 故答案为：√ 8．（24-25五年级下·山东济宁·期末）把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体。它们体积相等，表面积不相等。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】橡皮泥的总量没有变化，只是形状被改变，所以捏成正方体和长方体时，它们的体积都等于橡皮泥的总体积，因此体积是相等的。在体积相同的情况下，正方体的表面积是所有长方体中最小的。当把正方体捏成长方体时，长、宽、高的差异会变大，会导致长方体的表面积比原来的正方体更大，因此两者的表面积不相等。 【规范解答】把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体，橡皮泥的总量没有增加或减少，只是形状发生了改变，所以体积相等。 假设正方体的棱长是2厘米。 表面积为：2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 假设长方体长4厘米、宽2厘米、高1厘米。 表面积为：（4×2＋4×1＋2×1）×2 ＝（8＋4＋2）×2 ＝（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 24≠28，表面积不相等。 故答案为：√ 9．（24-25五年级下·浙江台州·期末）有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。请你算出它的表面积和体积。（长度单位：厘米） 【答案】252平方厘米；232立方厘米 【思路引导】零件的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；零件的体积＝长方体体积－挖去部分正方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】表面积：（8×5＋8×6＋5×6）×2＋2×2×4 ＝（40＋48＋30）×2＋16 ＝118×2＋16 ＝236＋16 ＝252（平方厘米） 体积：8×6×5－2×2×2 ＝240－8 ＝232（立方厘米） 10．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）学习了《有趣的测量》后，同学们分组尝试测量一个不规则物体的体积。四名同学合作完成了如下的操作。 步骤1：笑笑从里面测量长方体玻璃缸的长是2.5分米，宽是2分米，高是6分米。 步骤2：淘气往长方体玻璃缸中共倒入14升水。 步骤3：妙想小心翼翼的把一块石头放入缸中，水刚好淹没了这块石头。 步骤4：奇思测出这时水面高度是3.2分米。 请根据他们的操作过程，计算这块石头的体积。 【答案】2立方分米 【思路引导】根据题意，石头的体积等于放入石头后水和石头的总体积减去原来水的体积。已知长方体玻璃缸的长、宽以及放入石头后的水面高度，可以利用长方体体积公式计算出总体积，根据1升＝1立方分米，将升换算成立方分米，最后列综合算式进行脱式计算。 【规范解答】14升＝14立方分米 （立方分米） 答：这块石头的体积是2立方分米。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·山东济南·期末）如图是一个玻璃鱼缸（无盖），长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米。 (1)这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？ (2)做这个鱼缸需要多少玻璃？ (3)把一块长8分米宽6分米高4分米的铁块完全沉入水中，水面上升多少分米？ 【答案】(1)96平方分米 (2)496平方分米 (3)2分米 【思路引导】（1）鱼缸的占地面积即为长方体的底面积，根据公式“长×宽”计算即可。 （2）鱼缸无盖，只需要计算5个面的面积，即1个底面积加上4个侧面积（即长×宽＋长×高×2＋宽×高×2）。 （3）铁块完全沉入水中，水面上升的体积等于铁块的体积。先根据“长方体体积=长×宽×高”求出铁块体积，再根据“上升高度＝铁块体积÷鱼缸底面积”进行计算。 【规范解答】（1）12×8＝96（平方分米） 答：这个玻璃鱼缸占地面积是96平方分米。 （2）12×8＋12×10×2＋8×10×2 ＝12×8＋（12×10＋8×10）×2 ＝96＋（120＋80）×2 ＝96＋200×2 ＝96＋400 ＝496（平方分米） 答：做这个鱼缸需要496平方分米玻璃。 （3）铁块的体积： 8×6×4 ＝48×4 ＝192（立方分米） 水面上升的高度： 192÷（12×8） ＝192÷96 ＝2（分米） 答：水面上升2分米。 2．（24-25五年级下·天津西青·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．一根绳子，剪掉它的，还有 B．一个正方体的棱长是6cm，它的表面积和体积相等 C．在100g水中加入30g盐，这时盐占盐水的 D．物体的体积大，但它的容积不一定大 【答案】D 【思路引导】根据分数的意义，面积和体积的定义，容积的定义相关内容，逐项分析即可。 【规范解答】A．一根绳子，剪掉它的，单位“1”是绳子，应该是还剩下它的，题中的单位“1”不能确定是不是绳子，说法错误； B．正方体的体积和表面积单位不同，无法比较，说法错误； C．在100g水中加入30g盐，这时盐占盐水的30÷（100＋30）＝30÷130＝＝，说法错误； D．体积代表物体所占空间的大小，容积代表物体所能容纳空间的大小，所以容积的大小是看物体的容纳空间大小，不是看它的体积，说法正确。 说法中正确的是物体的体积大，但它的容积不一定大。 3．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）一个长方体，如果高减少4分米就变成一个正方体，它的表面积比原来减少96平方分米。那么原来长方体的体积是（    ）立方分米。 A．90 B．160 C．250 D．360 【答案】D 【思路引导】表面积减少的是侧面积，高减少4分米就变成一个正方体，说明这个原来长方体的底面是正方形。减少的表面积÷减少的高＝底面周长，底面周长÷4＝正方体棱长，即原来长方体的长和宽，正方体棱长＋减少的高＝原来长方体的高，长方体体积＝长×宽×高。 【规范解答】底面周长：（分米） 底面边长：（分米） 原来长方体的高：（分米） 原来长方体的体积：（立方分米） 原来长方体的体积是360立方分米。 4．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）手工课上，淘气用橡皮泥捏成了一个棱长是6厘米的正方体。笑笑用同样多的橡皮泥捏成了一个高是9厘米的长方体，长方体的占地面积是( )平方厘米。 【答案】24 【思路引导】用同样多的橡皮泥捏成不同形状的物体，体积不变。先根据正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出橡皮泥的体积，也就是长方体的体积。再根据长方体的体积公式：长方体的体积＝底面积×高，可得底面积＝体积÷高，长方体的占地面积就是它的底面积。 【规范解答】正方体的体积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 长方体的占地面积（底面积）：216÷9＝24（平方厘米） 5．一个长方体，它的正面、上面和左面的面积分别是35平方厘米、40平方厘米、56平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】280 【思路引导】设这个长方体的长宽高分别为a，b，h厘米，则：ah＝35平方厘米，ab＝40平方厘米，bh＝56平方厘米；根据“长方体的体积＝长×宽×高”进行解答即可。 【规范解答】设这个长方体的长宽高分别为a，b，h厘米 因为：ah＝35平方厘米，ab＝40平方厘米，bh＝56平方厘米 所以：（abh）2＝35×40×56 即（abh）2＝78400 因为280×280＝78400 所以这个长方体的体积是280立方厘米。 【考点剖析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用。 6．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）计算下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积：612cm2；体积：648cm3 【思路引导】该图形可看作由一个长方体和一个正方体组成，一个是长24cm、宽3cm、高6cm的长方体；另一个是棱长为6cm的正方体。 因为正方体与长方体相接的面会被遮挡，只需要计算正方体的4个侧面积，再加上长方体的表面积即可。长方体表面积公式为：S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高）。正方体的侧面积公式为：S＝4×a×a（a为棱长），把数据分别代入公式计算后再相加即可。 长方体体积公式为V＝abh，正方体体积公式为V＝a×a×a，把数据分别代入公式计算后再相加即可得出该图形的体积。 【规范解答】（24×3＋24×6＋3×6）×2 ＝（72＋144＋18）×2 ＝（216＋18）×2 ＝234×2 ＝468（cm2） 4×6×6＝144（cm2） 表面积：468＋144＝612（cm2） 体积：24×3×6＋6×6×6 ＝432＋216 ＝648（cm3） 该图形的表面积是612cm2，体积是648cm3。 7．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）一个长方体粮仓，从里面量得长是米，宽是米，高米。仓内存放小麦高度是米，如果每立方米小麦重千克，这个粮仓存放的小麦重多少吨？ 【答案】 吨 【思路引导】小麦在粮仓内形成的形状也是长方体，其长和宽与粮仓内部长和宽相同，高为小麦的高度。利用长方体体积公式：体积＝长×宽×高，计算小麦的体积。注意应使用小麦高度米，而非粮仓高度米。根据“总质量体积每立方米质量”计算小麦的总质量，每立方米的质量千克。最后将质量单位从千克换算成吨，。 【规范解答】 （立方米） （千克） （吨） 答：这个粮仓存放的小麦重吨。 8．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）小兰有一块棱长是4厘米的正方体橡皮泥，现在她把这块橡皮泥捏成一个长方体，如果长是8厘米，宽是4厘米，那么这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】2厘米 【思路引导】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出橡皮泥的体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，计算出长方体的高。 【规范解答】 （厘米） 答：这个长方体的高是2厘米。 9．（23-24五年级下·山西吕梁·期末）如图，仓库里有A、B两种规格的铁皮各若干张，从中选出5张铁皮焊成一个无盖水箱。 （1）你能想出几种不同的选法？并算出每种选法做成的水箱容积各是多少升？ （2）如果选定容积最大且节省材料的方法做成水箱，请你算出需要多少平方分米铁皮？ （3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸没一个铁块后，水面离箱口0.5分米，铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）三种；216升；252升；252升 （2）198平方分米 （3）126立方分米 【思路引导】（1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相对。由此可知，有三种不同的选法，①选5张A；②选1张A和4张B；③选2张A和3张B。根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答。 （2）根据（1）所得容积，选出容积最大且表面积小的选法，第②和③容积一样大，但A的面积小于B，所以③的表面积小，计算需要铁皮的面积即可。 （3）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铁块和水的体积和，然后减去水的体积就是铁块的体积。 【规范解答】（1）第一种：选5张A，即是一个棱长为6分米的正方体： 6×6×6＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 第二种：1张A和4张B，即是一个长6分米，宽6分米，高7分米的长方体： 7×6×6＝252（立方分米） 252立方米＝252升 第三种：2张A和3张B，即是一个长7分米，宽6分米，高6分米的长方体： 6×6×7＝252（立方分米） 252立方分米＝252升 （2）6×6×2＋6×7×3 ＝72＋126 ＝198（平方分米） 答：需要198平方分米铁皮。 （3）6×7×（6－0.5） ＝42×5.5 ＝231（立方分米） 105升＝105立方分米 231－105＝126（立方分米） 答：铁块的体积是126立方分米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式 10．一个长是，宽是的长方体木块，体积是。 （1）这个长方体的高是（    ）。 （2）如果从这个长方体木块中截取一个最大的正方体，正方体的体积是原长方体体积的几分之几？ （3）这个长方体木块最多能截取（    ）个像上面（2）题中一样的正方体，截完后原来长方体剩余木块的表面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）3；（2）；（3）2；122平方厘米 【思路引导】（1）长方体的高＝体积÷底面积 （2）因为正方体的棱长都是相等的，所以如果这个长方体木块中截取一个最大的正方体，则正方体的棱长＝长方体最短的棱长，用求出的正方体的体积÷长方体的体积即可。 （3）用8÷3＝2（个）……2（厘米），可以算出一行可以剪2个，同理算出可以剪1行和1层，再把结果相乘即可求得剪出的个数； （4）根据题意可知，剩下图形的面积只是比原来图形少了2个长为6厘米、宽为3厘米的长方形面积，据此解答即可。 【规范解答】（1）120÷（8×5） ＝120÷40 ＝3（cm） （2）3×3×3＝27（立方厘米） 27÷120＝＝ 答：正方体的体积是原长方体体积的。 （3）8÷3＝2（个）……2（厘米） 5÷3＝1（个）……2（厘米） 3÷3＝（1个） 1×1×2＝2（个） （8×5＋5×3＋8×3）×2－6×3×2 ＝（40＋15＋24）×2－36 ＝158－36 ＝122（平方厘米） 答：最多能截取2个，截完后原来长方体剩余木块的表面积是122平方厘米。 【考点剖析】1、长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；2、图形剪切前后注意表面积的变化，弄清楚哪些面是没有变化的，哪些面是增加多少或是减少多少。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第四单元 长方体（二）『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 体积和容积的认识 3 知识点二：体积和容积的单位 4 知识点三 长方体的体积 5 知识点四 正方体的体积 5 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 5 知识点六 剪角折叠求体积问题 5 知识点七：等积变形问题 6 知识点八 排水法求不规则物体体积 6 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 6 考点讲练 真题汇总 7 高频考点一 长方体的体积 7 高频考点二 正方体的体积 7 高频考点三 体积的等积变形（长方体、正方体） 8 高频考点四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 8 高频考点五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 8 高频考点六 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 8 高频考点七 体积与容积单位间的进率及换算 8 高频考点八 长方体、正方体的容积 9 高频考点九 不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 9 高频考点十 组合体的体积（长方体、正方体） 10 奥数拓展 拔尖冲刺 10 奥数拓展一 长方体的体积 10 奥数拓展二 正方体的体积 11 奥数拓展三 体积的等积变形（长方体、正方体） 11 奥数拓展四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 12 奥数拓展五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 12 奥数拓展六 体积与容积单位间的进率及换算 12 奥数拓展七 不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 13 奥数拓展八 组合体的体积（长方体、正方体） 14 优选真题 实战演练 15 【基础夯实 知识巩固】 15 【拓展提高 能力拔尖】 16 知识点一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二：体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算：1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算：高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系：如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系： 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系： 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七：等积变形问题 1. 等积变形问题：在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一 长方体的体积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济南·期末）把1.5m长的长方体木料锯成3段，表面积增加96dm2，原来木料的体积是( )dm3。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期末）某高校游泳馆内修建了一个长12米、宽8米、深2米的长方体泳池，在泳池四壁及底面贴上瓷砖，需要贴瓷砖的面积有多大？建好后，池内水深要达到1.5米，至少要放入多少立方米的水？ 高频考点二 正方体的体积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河北保定·期末）曲阳石雕，是中国传统雕刻艺术的瑰宝。王师傅从下面的长方体大理石料上截下一块体积最大的正方体石材制作浮雕，这块正方体石材的体积是( )dm3。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     高频考点三 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆綦江·期末）把一个棱长为6厘米的正方体铁块，熔铸成一个长9厘米，宽6厘米的长方体，这个长方体的高是( )厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）在一个长30厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，然后把水倒入一个棱长为20厘米的正方体容器中，这时水深是多少厘米？ 高频考点四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆綦江·期末）一个长方体木块的长是30cm，宽是21cm，高是18cm，把它切成大小相等的小正方体，不能有剩余，小正方体木块的棱长最大是( )cm，一共能切成( )块。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）非遗传承人王叔叔想雕刻一件物品，选好材料后为方便雕刻先对材料进行了初步处理，他把长8cm，宽6cm，高9cm的长方体木料削成了一个最大的正方体，则这个长方体材料体积减小了( )cm3。 高频考点五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆秀山·期末）( )    ( )L 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北十堰·期末）在括号里填上适当的最简分数。 4小时40分钟＝( )小时     450立方分米＝( )立方米 高频考点六 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期末）450毫升＝( )升   0.32立方分米＝( )立方厘米   15分＝( )时 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆大渡口·期末）爸爸将一桶3升的菜籽油分装在容积是450毫升的小油瓶中，最少需要( )个这样的小油瓶。 高频考点七 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.9分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，那么缸里的水将溢出多少升？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江台州·期末） 4800毫升＝( )立方分米( )立方厘米    2.5公顷＝( )平方米 汽车油箱的容积大约是60( )。      粉笔盒的体积约为800( )。 高频考点八 长方体、正方体的容积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆大渡口·期末）下图是魔术师使用的特殊无盖长方体箱子，从里面量，长1米，宽0.5米，高0.6米。当把鸽子放入后，魔术师会拉动透明的线，让挂在箱面左侧正中间的布料拉开，鸽子就被藏到了布料下方，呈现出消失的画面。已知箱子底部、内部四周和遮盖布料都采用同一种材质。 请提出一个与上面已知信息相关联的数学问题并解决。 问题：________________________________？ 解答： 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）王奶奶家用一个长8dm，宽5dm的长方体水箱装水，用来洗澡。一天，王奶奶洗澡前，水箱里水位高度是6dm，洗完澡后，水位高度是3.5dm。王奶奶洗澡共用去( )L水。 高频考点九 不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北黄石·期末）用排水法测量土豆和红薯的体积，已知长方体容器长15厘米，宽15厘米，高20厘米。仔细观察实验过程，比较土豆和红薯的体积，谁的体积大？大多少？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）2个西红柿浸没在盛了200毫升水的量杯后（水未溢出），水位上升至556毫升，平均每个西红柿的体积是( )立方厘米。 高频考点十 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）只列综合算式，不计算。 下图是由棱长为2厘米的小正方体拼成的组合体，这个组合体的体积是多少立方厘米？ 列式：________________________ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·陕西西安·期末）计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 奥数拓展一 长方体的体积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川成都·期中）一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是32平方分米，这个长方体的体积是多少？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）素养提升：一个长10厘米、宽8厘米的长方体容器中的水深6厘米。现将一根底面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与容器底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深多少厘米？ 奥数拓展二 正方体的体积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图都是用棱长1cm的小正方体搭成的，它们的体积依次是( )，( )，( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体盒子里，最多能放( )个棱长2厘米的小正方体。 奥数拓展三 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南周口·期中）中国冶铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，早在齐国就有“断山木，鼓山铁”。现有一名工匠将一个棱长为3dm的正方体铁块锻造成一个长4.5dm，宽0.8dm的长方体铁块，这个长方体铁块的高是( )dm。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·贵州六盘水·期中）一个长方体容器（如图），长是40厘米，宽是25厘米，高是20厘米。装入水后，水深15厘米，然后把这个容器盖紧，转动容器，使最小的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 奥数拓展四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·陕西渭南·期中）将一个长11厘米，宽9厘米，高7厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．1331 B．729 C．512 D．343 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）我国古代建筑多采用木质材料，在修复一座老木屋时，需要从一根长1.5米、宽0.8米、高0.6米的长方体木料上锯掉一个最大的正方体，剩下木料的体积是多少立方米？ 奥数拓展五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）棱长为1dm的正方体盒子中，可以放多少个体积为1cm3的小正方体？ 分析与解答：求棱长是1dm的正方体盒子中可以放多少个体积为1cm3的小正方体，就是求相邻体积单位之间的进率；棱长为1dm的正方体，体积就是( )dm3，找一个1dm3的正方体盒子，用棱长是1cm的正方体往里摆。每行放( )个，摆( )行，这样一层就摆好了，然后这样一层一层地摆，正好摆10层就装满了这个盒子，一共摆了( )个小正方体，说明1dm3＝( )cm3。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个无盖的长方体木箱，木板的厚度是3厘米，从外面量长46厘米，宽31厘米，高33厘米。这个木箱的容积是多少立方分米？ 奥数拓展六 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济南·期末）一块长方形的铁皮长45厘米，宽28厘米。从四个角上各剪去一个边长7厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子的容积是多少升？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图是一个长方体玻璃水箱，小明给空着的水箱中慢慢地注入水，水在长方体水箱中也形成了长方体。 （1）当小明注入多少毫升水时，水形成的长方体会第一次出现正方形的面？ （2）小明继续给水箱中注水，水所形成的长方体会第二次出现正方形的面吗？若会，请计算小明第二次又注入了多少毫升水。 奥数拓展七 不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级·全国·随堂练习）观察下面的三幅图，在装水的杯子中放入大球和小球，小球的体积是多少立方厘米？大球的体积是多少立方厘米？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·陕西咸阳·期中）实验小组用一个长方体量杯测量玻璃球的体积（如图）。 过程如下： ①往量杯里倒入适量的水，水面高度是量杯高度的； ②把玻璃球完全放入水中，水面上升后的高度是10厘米。 (1)量杯里水的容积是多少毫升？ (2)玻璃球的体积大约是多少立方厘米？ 奥数拓展八 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江大庆·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·辽宁·暑假作业）计算下面立体图形的表面积和体积。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·山东济南·期末）体积是64cm3的正方体木块，放在桌子上的占地面积是（    ）。 A．64cm2 B．4cm2 C．16cm2 D．8cm2 2．（24-25五年级下·山东济南·期末）一个长a分米，宽b分米，高h分米的长方体，如果高增加4分米，那么体积增加（    ）立方分米。 A．4ab B．4bh C．4ah D．4abh 3．（24-25五年级下·广东广州·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．999个奇数相加，和一定是奇数 B．棱长为6厘米的正方体，表面积与体积刚好相等 C．折线统计图能非常方便地看出所有数据的平均数是多少 D．一个数越大，它的因数个数就越多 4．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）0.05L＝( )mL    ( )    3L50mL＝( )L 5．（24-25五年级下·广东广州·期末）一个长方体形状的鱼缸，内部底面积是5dm2，深2.2dm。往鱼缸内部放入一个苹果，再注入10.7L水后，苹果完全浸没在水中，且水面刚好与鱼缸顶部齐平，没有水溢出来。这个苹果的体积是( )dm3。 6．（24-25五年级下·山东济南·期末）一个正方体底面不变，高增加3厘米，得到一个长方体，表面积比原来增加了108平方厘米，原来正方体的体积是( )立方厘米。 7．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）长方体的长、宽、高都扩大到原来的4倍，体积就扩大到原来的64倍。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·山东济宁·期末）把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体。它们体积相等，表面积不相等。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·浙江台州·期末）有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。请你算出它的表面积和体积。（长度单位：厘米） 10．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）学习了《有趣的测量》后，同学们分组尝试测量一个不规则物体的体积。四名同学合作完成了如下的操作。 步骤1：笑笑从里面测量长方体玻璃缸的长是2.5分米，宽是2分米，高是6分米。 步骤2：淘气往长方体玻璃缸中共倒入14升水。 步骤3：妙想小心翼翼的把一块石头放入缸中，水刚好淹没了这块石头。 步骤4：奇思测出这时水面高度是3.2分米。 请根据他们的操作过程，计算这块石头的体积。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·山东济南·期末）如图是一个玻璃鱼缸（无盖），长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米。 (1)这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？ (2)做这个鱼缸需要多少玻璃？ (3)把一块长8分米宽6分米高4分米的铁块完全沉入水中，水面上升多少分米？ 2．（24-25五年级下·天津西青·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．一根绳子，剪掉它的，还有 B．一个正方体的棱长是6cm，它的表面积和体积相等 C．在100g水中加入30g盐，这时盐占盐水的 D．物体的体积大，但它的容积不一定大 3．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）一个长方体，如果高减少4分米就变成一个正方体，它的表面积比原来减少96平方分米。那么原来长方体的体积是（    ）立方分米。 A．90 B．160 C．250 D．360 4．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）手工课上，淘气用橡皮泥捏成了一个棱长是6厘米的正方体。笑笑用同样多的橡皮泥捏成了一个高是9厘米的长方体，长方体的占地面积是( )平方厘米。 5．一个长方体，它的正面、上面和左面的面积分别是35平方厘米、40平方厘米、56平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 6．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）计算下面图形的表面积和体积。 7．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）一个长方体粮仓，从里面量得长是米，宽是米，高米。仓内存放小麦高度是米，如果每立方米小麦重千克，这个粮仓存放的小麦重多少吨？ 8．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）小兰有一块棱长是4厘米的正方体橡皮泥，现在她把这块橡皮泥捏成一个长方体，如果长是8厘米，宽是4厘米，那么这个长方体的高是多少厘米？ 9．（23-24五年级下·山西吕梁·期末）如图，仓库里有A、B两种规格的铁皮各若干张，从中选出5张铁皮焊成一个无盖水箱。 （1）你能想出几种不同的选法？并算出每种选法做成的水箱容积各是多少升？ （2）如果选定容积最大且节省材料的方法做成水箱，请你算出需要多少平方分米铁皮？ （3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸没一个铁块后，水面离箱口0.5分米，铁块的体积是多少立方分米？ 10．一个长是，宽是的长方体木块，体积是。 （1）这个长方体的高是（    ）。 （2）如果从这个长方体木块中截取一个最大的正方体，正方体的体积是原长方体体积的几分之几？ （3）这个长方体木块最多能截取（    ）个像上面（2）题中一样的正方体，截完后原来长方体剩余木块的表面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $