表面涂色的正方体（2大考点，7大易错点，2大题型）-2025-2026学年苏教版五年级下册高频易错期末专项复习讲义

《表面涂色的正方体》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三面涂色小正方体个数规律 填空、选择、判断题基础考点，必考顶点数量应用 两面涂色小正方体计算 填空、计算题高频，核心：棱上去掉两端顶点部分 一面涂色小正方体计算 填空、应用题重点，求每个面中间块状数量 无涂色内部小正方体计算 期末重难点，挖去外层剩正方体积计算 核心考点总结 考点 1 基础规律（大正方体每条棱平均分 n 份，n≥2） 1. 三面涂色：固定在大正方体 8 个顶点位置，永远都是 8 个，和 n 大小无关。 2. 两面涂色：在每条棱中间，去掉两端三面涂色，单条数量＝n－2，总个数＝12×（n－2）（正方体 12 条棱）。 3. 一面涂色：在每个面正中间，去掉四周一圈，单个面数量＝（n－2）×（n－2），总个数＝6×（n－2）×（n－2）（正方体 6 个面）。 4. 内部无涂色：藏在大正方体正中心，全部去掉外层一层，总个数＝（n－2）×（n－2）×（n－2）。 考点 2 关键备注 n 代表大正方体每条棱被平均分成的份数；n＝2 时，无一面、无涂色小正方体；n＝3 四类小正方体全部存在。 本单元高频易错点汇总 易错 1：两面涂色直接用 n 乘 12 错因：忘记每条棱要减去两端 2 个三面涂色。 纠正：两面单条是 n 减 2，再乘 12。 易错 2：一面涂色只用 n 减 2，不平方 错因：单个面只算 n－2，漏乘一遍。 纠正：单个面数量＝（n－2）×（n－2），再乘 6。 易错 3：无涂色直接 n 立方减表层 错因：分步减法容易算错。 纠正：直接套用公式（n－2）的立方。 易错 4：n＝2 乱用一面、无涂色公式 错因：棱长分 2 份，所有小正方体全在顶点、棱上，没有一面和内部方块。 纠正：n＝2：只有三面涂色 8 个。 易错 5：分不清 n 含义 错因：把小正方体总个数当成 n。 纠正：n 是每条棱平均分的份数。 易错 6：记错正方体棱和面数量 错因：棱数记成 8 条，面记成 8 个。 纠正：12 条棱、6 个面、8 个顶点。 易错 7：题目给小正方体总数反求 n 不会 错因：不会开立方找棱长等分份数。 纠正：总块数开立方＝每条棱等分 n。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 每条棱平均分成 3 份，求各类涂色块 精讲：三面涂色＝8 个；两面：12×（3－2）＝12 个；一面：6×1×1＝6 个；无涂色：1×1×1＝1 个。 易错提醒：n=3，n 减 2＝1。 例题 2 棱长等分 4 份 精讲：三面＝8；两面 12×2＝24；一面 6×2×2＝24；无涂色 2×2×2＝8。 易错提醒：统一用 n－2 代入。 例题 3 已知两面涂色 36 个，求 n 精讲：36÷12＝3，n－2＝3，n＝5。 易错提醒：先 ÷12 再求 n。 例题 4 大正方体一共 125 个小正方体 精讲：125 开立方 n＝5，再分别套四个公式。 易错提醒：总数开立方得到等分份数。 例题 5 n＝2 特例 精讲：只有三面涂色 8 个，无一面、无涂色。 易错提醒：n=2 特殊情况。 两大题型 题型一 已知 n，求四类方块计算题 解题妙招：先算 n－2，三面固定 8，两面 12×（n－2），一面 6×（n－2）×（n－2），无涂色（n－2）×（n－2）×（n－2） 1．如图，把一个六面都涂上颜色的正方体木块切成64个大小相同的小正方体，三面涂色的有（    ）个，一面涂色的有（    ）个。 A．8；24 B．12；24 C．24；64 D．12；64 【答案】A 【分析】大正方体顶点处的小正方体是三面涂色，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体数量固定为8个； 处于大正方体每个面中间（非棱、非顶点）的小正方体是一面涂色，每个面上一面涂色的小正方体组成的是边长为（4－2）的正方形，所以每个面上一面涂色的有（4－2）×（4－2）＝ 4（个），正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体数量是4×6＝ 24（个）。 【详解】8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个； （4－2）×（4－2）＝ 4（个） 4×6＝24（个） 2．将一个六个面都涂了红色的正方体木块切割成27个一样大的小正方体（如图）。这些小正方体中，只有一个面涂色的有（    ）个。 A．1 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】每个面最中间的1个小正方体只有一个面涂色，一共有6个面。 【详解】只有一个面涂色的有6个。 3．将一个棱长为5dm的正方体的表面涂上红色，然后将它锯成棱长1dm的小正方体，在这些小正方体中，一个面涂有红色的有（    ）个。 A．8 B．36 C．54 D．125 【答案】C 【分析】因为5÷1＝5，所以大正方体每条棱上面都有5个小正方体；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色，一面涂色的小正方体位于每个面内部区域，每个面有（5－2）×（5－2）个，因此总数为一个面的一面涂色的个数乘6。 【详解】5÷1＝5 一面涂红色的有： （5－2）×（5－2）×6 ＝3×3×6 ＝9×6 ＝54（个） 一个面涂有红色的有54个。 4．把一个棱长为3cm的正方体的表面涂上黄色，再切成若干个棱长为1cm的小正方体，其中三个面都是黄色的小正方体有（    ）。 A．8 B．9 C．27 【答案】A 【分析】三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点位置，根据正方体顶点的个数判断即可。 【详解】正方体有8个顶点，所以三面都涂有黄色的小正方体有8个。 5．手工制作课上，同学们以小组为单位将一个大正方体的表面涂上喜欢的颜色，然后切成27个小正方体，如图，其中两个面涂色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．8 C．36 【答案】A 【分析】每条棱上都有1个两面涂色的小正方体；正方体有12条棱；两面涂色的小正方体数量＝每条棱上两面涂色的小正方体数量×总棱数。 【详解】根据分析： 1×12＝12（个） 即两个面涂色的小正方体有12个。 6．如图，把一个六个面都涂上颜色的正方体木块切成27个大小相同的小正方体，一面涂色的有（    ）个，两面涂色的有（    ）个。 A．6；12 B．8；12 C．12；24 D．24；6 【答案】A 【分析】由图可知，一面涂色的小正方体位于面的中心（不含棱），大正方体有6个面。两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱的中间，每条棱上两面涂色的小正方体有1个，大正方体有12条棱。 【详解】一面涂色的小正方体有：（个） 两面涂色的小正方体有：（个） 7．用27个小正方体拼成一个大正方体后，把它的表面涂上颜色，其中三面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】用27个小正方体拼成一个大正方体后，把它的表面涂上颜色，这些小正方体被分成4类。 第一类，三面涂色的小正方体，在正方体的顶点上，有8个； 第二类，两面涂色的小正方体，在正方体的棱上，个数＝（棱长－2）×12； 第三类，一面涂色的小正方体，在面的中间部分，个数＝（棱长－2）×（棱长－2）×6； 第四类，没有涂色的小正方体，在正方体的内部，个数＝（棱长－2）×（棱长－2）×（棱长－2）。 【详解】因为三面涂色的小正方体只能在8个顶点上，所以三面涂色的小正方体有8个。 8．将棱长3厘米的正方体表面刷上蓝色的漆，再将其分割成棱长1厘米的小正方体（如图），其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．4 【答案】B 【分析】由图可知，每条棱上有3÷1＝3（个）小正方体，两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱的中间，每条棱上两面涂色的小正方体有1个，两面涂色的小正方体一共有（1×12）个。 【详解】1×12＝12（个） 两面涂色的小正方体有12个。 9．用64个同样大小的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色，其中一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个。 【答案】 24 24 【分析】首先确定大正方体的规格：4×4×4＝64，说明拼成的大正方体每条棱上有4个小正方体。 计算一面涂色的小正方体数量：一面涂色的小正方体都在大正方体每个面的中间区域。 计算两面涂色的小正方体数量：两面涂色的小正方体都在大正方体的棱上（不含顶点，顶点的是三面涂色） 【详解】计算一面涂色的小正方体数量：每个面去掉边缘一层后，每边剩余4−2＝2（个）小正方体，单个面一面涂色的数量为2×2＝4（个），大正方体共6个面，总数量为4×6＝24个。 计算两面涂色的小正方体数量：每条棱去掉2个顶点的小正方体后，剩余4−2＝2个两面涂色的小正方体，大正方体共12条棱，总数量为2×12＝24个。 10．下图是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，将这个几何体的表面涂上颜色，一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 6 10 【分析】正方体有8个顶点，三面涂色的小正方体在正方体的顶点上，这个几何体去掉1个三面涂色的小正方体，和它相邻的3个小正方体各多出露出1个外表面，都从原来2面涂色变为3面涂色，所以三面涂色的小正方体有（8－1＋3）个；一面涂色的小正方体位于面上，每个面中间有（n－2）×（n－2）个，一共有6个面，一面涂色的小正方体有（n－2）×（n－2）×6，据此解答。 【详解】一面涂色小正方体： （3－2）×（3－2）×6 ＝1×1×6 ＝1×6 ＝6（个） 三面涂色的小正方体有： 8－1＋3 ＝7＋3 ＝10（个） 11．用棱长1cm的小正方体拼成下面的正方体后，把它的表面涂上颜色。三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 8 36 【分析】首先观察图形，这个大正方体每条棱上有5个小正方体： 三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点位置，看正方体一共有几个顶点，三面涂色的小正方体就是几个。 两面涂色的小正方体在大正方体的棱上（不包含顶点），每条棱上去掉2个顶点处三面涂色的小正方体，就是每条棱上两面涂色的小正方体的个数；正方体一共有12条棱，从而得出两面涂色的总数。 【详解】观图可知，正方体一共有8个顶点，所以三面涂色的正方体只有顶点处的8个， 两面涂色的小正方体在每条棱的中间，正方体一共有12条棱， 523（个） 31236（个） 两面涂色的小正方体有36个。 12．在一块棱长18cm的正方体蛋糕表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱长6cm的小正方体蛋糕。在这些小正方体蛋糕中，两面涂奶油的有( )块。 【答案】12 【分析】因为18÷6＝3，所以每条棱上都有3块小正方体蛋糕，如果每个面都涂奶油，那么两面涂奶油的小正方体蛋糕就在12条棱的中间段，每条棱上有（3－2）块。但由于这个蛋糕底面没有涂奶油，底面4条棱中间段的小正方体不符合两面涂奶油条件，底面4条棱每条有1块两面涂奶油，竖直4条棱每条有2块两面涂奶油，分别计算后相加得到总块数。 【详解】18÷6＝3（块） 4×1＋4×2 ＝4＋8 ＝12（块） 13．一个由棱长2cm的小正方体搭成的棱长18cm的大正方体，给这个大正方体涂上色彩，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没涂色的块数各有多少个？ 【答案】8个；84个；294个；343个 【分析】先用大正方体棱长除以小正方体棱长，计算出大正方体每条棱上包含多少个小正方体。根据正方体的特征进行分析： 三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，正方体有 8 个顶点。所以三面涂色的小正方体有8个。 两面涂色的小正方体是位于大正方体的棱上除去两端的顶点上的小正方体。所以每条棱上有9－2＝7（个）两面涂色的小正方体； 一面涂色的小正方体位于大正方体的6个面上，需要除去四周的棱上的正方体。 没涂色的小正方体位于大正方体的内部，长、宽、高方向上各去掉外层的一排即均减去2个小正方体。 【详解】大正方体每条棱上小正方体的个数： （个） 三面涂色的小正方体位于顶点处，正方体有 8 个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个； 两面涂色的小正方体： （9－2）×12 ＝7×12 ＝84（个） 一面涂色的小正方体： （9－2）×（9－2）×6 ＝7×7×6 ＝49×6 ＝294（个） 没涂色的小正方体： （9－2）×（9－2）×（9－2） ＝7×7×7 ＝49×7 ＝343（个） 答：三面涂色的有8个，两面涂色的有84个，一面涂色的有294个，没涂色的有343个。 14．如图是一个由27块小正方体拼成的大正方体，现在把它的表面全部涂上颜色，想一想： （1）三面涂色的小正方体有多少块？ （2）两面涂色的小正方体有多少块？ （3）一面涂色的小正方体有多少块？ （4）没有涂色的小正方体有多少块？ 【答案】（1）8块 （2）12块 （3）6块 （4）1块 【分析】（1）每个顶点处的小正方体有三面涂色，正方体有8个顶点，据此分析； （2）每条棱中间的小正方体有两面涂色，用每条棱中间部分的小正方体数量×12即可； （3）每个面中间部分的小正方体有一个面涂色，用一个面中间部分的小正方体数量×6即可求解； （4）中间的小正方体没有涂到颜色，中间部分也是由小正方体组成的正方体，用大正方体的总块数减去三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体的个数就是没有涂色的小正方体有多少块。 【详解】（1）三面涂色的小正方体在顶点处，共8块。 （2）（3－2）×12 ＝1×12 ＝12（块） 答：两面涂色的小正方体有12块。 （3）（3－2）×（3－2）×6 ＝1×1×6 ＝6（块） 答：一面涂色的小正方体有6块。 （4）27－8－12－6 ＝19－12－6 ＝7－6 ＝1（块） 答：没有涂色的小正方体有1块。 15．航模组的同学在特长活动的时候制作模型，把一个长方体的6个面都涂上蓝色，然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？ 【答案】3面涂色的有8个；2面涂色的有60个；1面涂色的有136个。 【分析】3面涂色的小正方体在长方体的顶点位置，共8个；2面涂色的小正方体在每条棱的中间，即在每条棱除顶点处的两个小正方体外的中间位置，共有（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4＝60（个）；1面涂色的小正方体在每个面上除棱上的小正方体外的中间位置，在长10厘米、宽6厘米的面上，一面涂色的小正方形组成一个长10－2＝8（厘米）、宽6－2＝4（厘米）的长方形，这个长方形中共有8×4÷（1×1）＝32（个）小正方形，同理可求出在长10厘米、宽5厘米的面上和长6厘米、宽5厘米的面上涂色的小正方形的个数。小正方形的个数即小正方体的个数，所以1面涂色的小正方体有（10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2＝136（个）。 【详解】（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4 ＝8×4＋4×4＋3×4 ＝32＋16＋12 ＝48＋12 ＝60（个） （10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2 ＝8×4×2＋8×3×2＋4×3×2 ＝32×2＋24×2＋12×2 ＝64＋48＋24 ＝112＋24 ＝136（个） 答：3面涂色的有8个，2面涂色的有60个，1面涂色的有136个。 题型二 已知某类数量反求 n 解题妙招：两面数 ÷12＝n－2；一面 ÷6 开平方＝n－2；无涂色开立方＝n－2。 16．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积是1cm3的小正方体，其中2面涂色的小正方体有24个。原来正方体的体积是（    ）cm3。 A．36 B．64 C．125 【答案】B 【分析】正方体有12条棱，且2面涂色的小正方体都在棱上（不包含顶点处的），用2面涂色的小正方体总数除以12求出每条棱上2面涂色的小正方体个数；然后用每条棱上2面涂色的小正方体个数加上2个顶点处的小正方体就是每条棱上小正方体的个数，用小正方体的棱长乘个数即可求出原正方体的棱长。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算即可求出原正方体的体积。 【详解】24÷12＝2（个） 2＋2＝4（个） 1×4＝4（cm） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 原来正方体的体积是64cm3。 17．将一块正方体铁块的表面涂上油漆，然后切割成1立方厘米的小正方体。在这些小正方体中，两面涂油漆的小正方体共有36块。原大正方体铁块的体积是（    ）立方厘米。 A．125 B．250 C．75 【答案】A 【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）。 已知两面涂油漆的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12＋2）个，根据正方体的体积公式V＝a3，求出小正方体的总个数，再用每个小正方体的体积乘小正方体的个数，即可求出原来大正方体的体积。 【详解】大正方体每条棱上有小正方体： 36÷12＋2 ＝3＋2 ＝5（个） 小正方体的总个数： 5×5×5＝125（个） 大正方体的体积： 1×125＝125（立方厘米） 所以，原大正方体铁块的体积是125立方厘米。 故答案为：A 18．一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整厘米数，把它切割成若干个棱长为1厘米的小正方体木块，如果两面涂色的小正方体有4个，那么这个长方体的体积最大是( )立方厘米。 【答案】12 【分析】每条棱中间的那个正方体就是两面涂色的，因为只有四个两面涂色的，说明有8条棱的长度只能切割成2个正方体，长度是2厘米；那么另外四条棱能切割成3个正方体，长度是3厘米。由此判断出长方体的长、宽、高，再计算最大的体积（体积＝长×宽×高）即可。 【详解】 如图，图中涂色的就是四个两面涂色的正方体，则： 长方体的长为：1×3＝3（厘米） 宽和高为：1×2＝2（厘米） 体积为：3×2×2＝12（立方厘米） 19．将一个表面涂色的正方体分别割成若干个体积为1cm3的小正方体，其中两面涂色的有48块，原来正方体的表面积是________cm2，体积是________cm3。 【答案】 216 216 【分析】已知每个小正方体的体积是1cm3，那么每个小正方体的棱长是1cm； 根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有48块，那么大正方体每条棱上有小正方体（48÷12＋2）块，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长； 根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出原来大正方体的表面积和体积。 【详解】每个小正方体的体积是1cm3，那么每个小正方体的棱长是1cm； 48÷12＋2 ＝4＋2 ＝6（块） 大正方体的棱长：1×6＝6（cm） 表面积：6×6×6＝216（cm2） 体积：6×6×6＝216（cm3） 所以，原来正方体的表面积是216cm2，体积是216cm3。 20．把一个长方体木材表面涂成红色，再切成棱长是1厘米的小正方体方块，其中四面红色的有4个，三面红色的有2个，那么这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】6 【分析】根据小正方体涂色的特点可知，四面红色的有4个，三面红色的有2个，那么这个长方体的形状如下图，长方体的长是3厘米、宽是2厘米、高是1厘米； 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个长方体的体积。 【详解】如图： 3×2×1＝6（立方厘米） 这个长方体的体积是6立方厘米。 21．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1cm3的小正方体，其中两面涂色的有36块，原来正方体的体积是________cm3。 【答案】125 【分析】体积1cm3的正方体的棱长为1cm。三面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点处，两面涂色的小正方体位于大正方体的12条棱的中间位置。两面涂色的有36块，用36÷12＝3（个），即得到每条棱的中间部分的小正方体的个数，再加上每条棱两边的顶点处的两个，每条棱上有5个小正方体，则大正方体的棱长为5cm。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长即可求出体积。 【详解】36÷12＋2 ＝3＋2 ＝5（cm） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3）。 原来正方体的体积是125cm3。 22．将一个表面涂有红色的立方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中，有两面涂上红色的小正方体有84块，原来立方体的体积是( )立方厘米。 【答案】729 【分析】正方体也叫立方体。2面涂红色的小正方体的块数＝12×（棱长－2），由此可推导出：正方体的棱长＝2面涂红色的小正方体的块数÷12＋2，即用84÷12＋2可求出原来立方体的棱长；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来立方体的体积。 【详解】84÷12＋2 ＝7＋2 ＝9（厘米） 9×9×9＝729（立方厘米） 所以原来立方体的体积是729立方厘米。 23．把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面涂上颜色的小正方体共有24个，那么这些小正方体一共多少个？ 【答案】64个 【分析】大正方体中，两面涂色的小正方体只在棱上（不含顶点），正方体有12条棱。先用24÷12计算出每条棱上两面涂色的小正方体个数，再用每条棱涂两面的小正方体数量＋2（顶点处的两个）计算出每条棱上小正方体的总个数，最后用“总个数＝每条棱个数×每条棱个数×每条棱个数”计算。 【详解】24÷12＝2（个） 2＋2＝4（个） 4×4×4 =16×4 ＝64（个） 答：这些小正方体一共64个。 24．一个大立方体，在几个面上涂了颜色之后，然后切成小立方体，结果发现有45个立方体没有被涂颜色，请问原来的立方体有多大？—共涂了几个面？ 【答案】125个小立方体大；4个 【分析】去掉涂了颜色的小正方体，没有被涂颜色的小立方体构成一个长方体，根据长方体体积＝长×宽×高，将45分解质因数，确定长方体的长、宽、高，最长的棱长即原大立方体的棱长。最长的棱长－较短棱长＝没有涂色的面，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出原立方体的大小。 【详解】45＝3×3×5 没有被涂颜色的部分是个3×3为底，高5的长方体。 大立方体的棱长是5 因为5－3＝2，所以大立方体的4个侧面都被涂色了，只有上下面没有。 5×5×5＝125 答：原来的立方体有125个小立方体大，一共涂了4个面。 25．一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】125立方厘米 【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12＋2）个，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来大正方体的体积。 【详解】大正方体每条棱上有小正方体： 36÷12＋2 ＝3＋2 ＝5（个） 大正方体的棱长： 1×5＝5（厘米） 大正方体的体积： 5×5×5＝125（立方厘米） 答：原来大正方体的体积是125立方厘米。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《表面涂色的正方体》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三面涂色小正方体个数规律 填空、选择、判断题基础考点，必考顶点数量应用 两面涂色小正方体计算 填空、计算题高频，核心：棱上去掉两端顶点部分 一面涂色小正方体计算 填空、应用题重点，求每个面中间块状数量 无涂色内部小正方体计算 期末重难点，挖去外层剩正方体积计算 核心考点总结 考点 1 基础规律（大正方体每条棱平均分 n 份，n≥2） 1. 三面涂色：固定在大正方体 8 个顶点位置，永远都是 8 个，和 n 大小无关。 2. 两面涂色：在每条棱中间，去掉两端三面涂色，单条数量＝n－2，总个数＝12×（n－2）（正方体 12 条棱）。 3. 一面涂色：在每个面正中间，去掉四周一圈，单个面数量＝（n－2）×（n－2），总个数＝6×（n－2）×（n－2）（正方体 6 个面）。 4. 内部无涂色：藏在大正方体正中心，全部去掉外层一层，总个数＝（n－2）×（n－2）×（n－2）。 考点 2 关键备注 n 代表大正方体每条棱被平均分成的份数；n＝2 时，无一面、无涂色小正方体；n＝3 四类小正方体全部存在。 本单元高频易错点汇总 易错 1：两面涂色直接用 n 乘 12 错因：忘记每条棱要减去两端 2 个三面涂色。 纠正：两面单条是 n 减 2，再乘 12。 易错 2：一面涂色只用 n 减 2，不平方 错因：单个面只算 n－2，漏乘一遍。 纠正：单个面数量＝（n－2）×（n－2），再乘 6。 易错 3：无涂色直接 n 立方减表层 错因：分步减法容易算错。 纠正：直接套用公式（n－2）的立方。 易错 4：n＝2 乱用一面、无涂色公式 错因：棱长分 2 份，所有小正方体全在顶点、棱上，没有一面和内部方块。 纠正：n＝2：只有三面涂色 8 个。 易错 5：分不清 n 含义 错因：把小正方体总个数当成 n。 纠正：n 是每条棱平均分的份数。 易错 6：记错正方体棱和面数量 错因：棱数记成 8 条，面记成 8 个。 纠正：12 条棱、6 个面、8 个顶点。 易错 7：题目给小正方体总数反求 n 不会 错因：不会开立方找棱长等分份数。 纠正：总块数开立方＝每条棱等分 n。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 每条棱平均分成 3 份，求各类涂色块 精讲：三面涂色＝8 个；两面：12×（3－2）＝12 个；一面：6×1×1＝6 个；无涂色：1×1×1＝1 个。 易错提醒：n=3，n 减 2＝1。 例题 2 棱长等分 4 份 精讲：三面＝8；两面 12×2＝24；一面 6×2×2＝24；无涂色 2×2×2＝8。 易错提醒：统一用 n－2 代入。 例题 3 已知两面涂色 36 个，求 n 精讲：36÷12＝3，n－2＝3，n＝5。 易错提醒：先 ÷12 再求 n。 例题 4 大正方体一共 125 个小正方体 精讲：125 开立方 n＝5，再分别套四个公式。 易错提醒：总数开立方得到等分份数。 例题 5 n＝2 特例 精讲：只有三面涂色 8 个，无一面、无涂色。 易错提醒：n=2 特殊情况。 两大题型 题型一 已知 n，求四类方块计算题 解题妙招：先算 n－2，三面固定 8，两面 12×（n－2），一面 6×（n－2）×（n－2），无涂色（n－2）×（n－2）×（n－2） 1．如图，把一个六面都涂上颜色的正方体木块切成64个大小相同的小正方体，三面涂色的有（    ）个，一面涂色的有（    ）个。 A．8；24 B．12；24 C．24；64 D．12；64 2．将一个六个面都涂了红色的正方体木块切割成27个一样大的小正方体（如图）。这些小正方体中，只有一个面涂色的有（    ）个。 A．1 B．6 C．8 D．12 3．将一个棱长为5dm的正方体的表面涂上红色，然后将它锯成棱长1dm的小正方体，在这些小正方体中，一个面涂有红色的有（    ）个。 A．8 B．36 C．54 D．125 4．把一个棱长为3cm的正方体的表面涂上黄色，再切成若干个棱长为1cm的小正方体，其中三个面都是黄色的小正方体有（    ）。 A．8 B．9 C．27 5．手工制作课上，同学们以小组为单位将一个大正方体的表面涂上喜欢的颜色，然后切成27个小正方体，如图，其中两个面涂色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．8 C．36 6．如图，把一个六个面都涂上颜色的正方体木块切成27个大小相同的小正方体，一面涂色的有（    ）个，两面涂色的有（    ）个。 A．6；12 B．8；12 C．12；24 D．24；6 7．用27个小正方体拼成一个大正方体后，把它的表面涂上颜色，其中三面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．9 D．12 8．将棱长3厘米的正方体表面刷上蓝色的漆，再将其分割成棱长1厘米的小正方体（如图），其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．4 9．用64个同样大小的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色，其中一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个。 10．下图是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，将这个几何体的表面涂上颜色，一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体有( )个。 11．用棱长1cm的小正方体拼成下面的正方体后，把它的表面涂上颜色。三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。 12．在一块棱长18cm的正方体蛋糕表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱长6cm的小正方体蛋糕。在这些小正方体蛋糕中，两面涂奶油的有( )块。 13．一个由棱长2cm的小正方体搭成的棱长18cm的大正方体，给这个大正方体涂上色彩，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没涂色的块数各有多少个？ 14．如图是一个由27块小正方体拼成的大正方体，现在把它的表面全部涂上颜色，想一想： （1）三面涂色的小正方体有多少块？ （2）两面涂色的小正方体有多少块？ （3）一面涂色的小正方体有多少块？ （4）没有涂色的小正方体有多少块？ 15．航模组的同学在特长活动的时候制作模型，把一个长方体的6个面都涂上蓝色，然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？ 题型二 已知某类数量反求 n 解题妙招：两面数 ÷12＝n－2；一面 ÷6 开平方＝n－2；无涂色开立方＝n－2。 16．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积是1cm3的小正方体，其中2面涂色的小正方体有24个。原来正方体的体积是（    ）cm3。 A．36 B．64 C．125 17．将一块正方体铁块的表面涂上油漆，然后切割成1立方厘米的小正方体。在这些小正方体中，两面涂油漆的小正方体共有36块。原大正方体铁块的体积是（    ）立方厘米。 A．125 B．250 C．75 18．一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整厘米数，把它切割成若干个棱长为1厘米的小正方体木块，如果两面涂色的小正方体有4个，那么这个长方体的体积最大是( )立方厘米。 19．将一个表面涂色的正方体分别割成若干个体积为1cm3的小正方体，其中两面涂色的有48块，原来正方体的表面积是________cm2，体积是________cm3。 20．把一个长方体木材表面涂成红色，再切成棱长是1厘米的小正方体方块，其中四面红色的有4个，三面红色的有2个，那么这个长方体的体积是( )立方厘米。 21．将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1cm3的小正方体，其中两面涂色的有36块，原来正方体的体积是________cm3。 22．将一个表面涂有红色的立方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中，有两面涂上红色的小正方体有84块，原来立方体的体积是( )立方厘米。 23．把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面涂上颜色的小正方体共有24个，那么这些小正方体一共多少个？ 24．一个大立方体，在几个面上涂了颜色之后，然后切成小立方体，结果发现有45个立方体没有被涂颜色，请问原来的立方体有多大？—共涂了几个面？ 25．一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $