（易错复习讲义）2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破（八大专题34个易错点）（人教版）

2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级下册数学 （八大专题34个易错点） 目录 专题一观察物体（三） 3 易错点1：根据三个视图还原立体图形时，空间想象不足。 3 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 7 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 10 专题二因数和倍数 12 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义,不能正确地进行判断。 13 易错点2：求一个数的因数或倍数时，找不全或找重复。 14 易错点3：2、5、3的倍数特征应用错误。 16 易错点4：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆 19 易错点5：分解质因数时，概念不清或过程错误。 21 专题三长方体和正方体 24 易错点1：概念与棱长关系混淆。 24 易错点2：没有掌握正方体的四类展开图。 26 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 29 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 32 易错点5：误认为任意两个体积或容积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 36 易错点6：单位不统一导致计算错误。 38 易错点7：体积与容积的混淆。 41 专题四分数的意义和性质 45 易错点1：没有理解分数单位的意义。 45 易错点2：分数与除法关系混淆。 48 易错点3：没有正确理解假分数的特征。 50 易错点4：忽略了分数的基本性质的限制条件。 52 易错点5：最大公因数与约分错误。 54 易错点6：最小公倍数与通分错误。 56 易错点7：分数与小数互化不熟练。 59 专题五图形的运动（三） 61 易错点1：旋转角度计算错误。 61 易错点2：对旋转的特性理解不准确，导致作图错误。 65 易错点3：解决问题时,不能灵活运用平移、轴对称、旋转之间的联系。 71 专题六分数的加法和减法 75 易错点1：误将分母不同的分数直接相加、减。 75 易错点2：未遵循分数加减混合运算的运算顺序。 77 易错点3：解决问题时未找准单位“1”或理解错误。 85 专题七折线统计图 89 易错点1：对复式折线统计图的特点不了解,导致判断错误。 89 易错点2：绘制折线统计图时,遗漏标题,同时横轴单位长度不统一。 91 易错点3：读取具体数据时，对应点找不准。 96 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 101 专题八数学广角—找次品 107 易错点1：没有掌握找次品的思路和方法，从而造成错解。 107 易错点2：题意细节疏忽。 111 专题一观察物体（三） 易错点1：根据三个视图还原立体图形时，空间想象不足。 【易错专练1】校园文化节上，一组同学展示了一个由正方体积木搭成的“文化图腾”。如图是从三个不同方向看到的图形，则搭成这个“文化图腾”需要（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】从上面看到的图形可知这个几何体有2行3列，前面一行至少有2个小正方体，后面一行至少有3个小正方体。从前面和左面看到的图形可知这个几何体有3层，第2层有2个小正方体，第3层有1个小正方体。前面一行：第1层2个，第2层2个，第3层1个，共2＋2＋1＝5个；后面一行：第1层3个，第2层0个，第3层0个，共3＋0＋0＝3个；总数为5＋3＝8个。 【解答】前面一行：2＋2＋1＝5 后面一行：3＋0＋0＝3 总数：5＋3＝8 所以搭成这个“文化图腾”需要8个小正方体。 故答案为：C 【易错专练2】用相同的小正方体摆成一个立体图形，从不同方向观察得到的图形如图所示。从上面观察这个几何体，用数字表示在这个位置上所用的小正方体个数（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上面看到的图形，可知这个立体图形的下层有4个小正方体，根据从前面和左面看到的图形可知，这个立体图形有两层，上层有1个小正方体且在第二行的左边，据此解答。 【解答】如图： 从上面观察这个几何体，用数字表示在这个位置上所用的小正方体个数 故答案为：D 【易错专练3】摆一摆，填一填。（填序号） 上面这些几何体中，从前面看是的有（ ），其中从左面看是的有（ ），也满足从上面看是的有（ ）。综合以上所述，可以确定这个几何体是（ ）。 【答案】①②④ ②④ ④ ④ 【分析】从前面看到是，共两层，下层有两个小正方体，右侧上层有1个小正方体，符合的只有； 从左面看到是，共两层，下层有两个小正方体，左侧上层有1个小正方体，符合的只有； 从上面看是，将视角从上向下看，最前面有一个小正方体，后面的有两个小正方体，符合的只有； 综上可知，每个条件都符合的只有。据此填空即可。 【解答】从前面看是的有，从左面看是的有，从上面看是的有，综合以上所述，可以确定这个几何体是。 【点睛】通过分别分析每个几何体从前面、左面、上面观察得到的图形，逐步筛选出符合所有条件的几何体。 【易错专练4】一个用同样的小正方体搭成的几何体，从前面、左面、上面看到的图形如图所示，搭成这个几何体用了 个小正方体。 【答案】8 【分析】 从前面看，搭成的几何体有上、下两层；从左面看，该几何体有前、后两列，且上面一层前列没有小正方体，后列有三个小正方体，从上面看，搭成几何体的下层有5个小正方体；几何体如图：。 【解答】2＋2＋2＋1＋1＝8（个） 搭成这个几何体用了8个小正方体。 【易错专练5】若干个大小相同的小正方体堆在一起，从前面、右面和上面三个方向观察得到如图所示的图形，请问：这些正方体有多少个？ 【答案】5个 【分析】通过从不同分析观察的图形来确定小正方体的数量。 观察可知小正方体一共摆了两层两排，从前面和上面看到的图可以知道第一层第一排有3个小正方体，第一层第二排有1个小正方体，从前面和右面看到的图可以知道第二层第二排有1个小正方体，一共有2＋2＋1＝5（个）。 【解答】根据分析，小正方体摆放可以如下图： 2＋2＋1＝5（个） 答：这些正方体有5个。 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 【易错专练1】一个立体图形，从左面看是，上面看是，要搭成这个立体图形，最少需要（    ）个小正方体，最多需要（    ）个小正方体。 A．5；7 B．6；5 C．7；8 D．8；5 【答案】A 【分析】由左面和上面看到的图形可知，这些小正方体分前、后排，且有上、下两层。结合上面视图，底层为：后排一行3个，前排1个居左，底层共3＋1＝4（个）小正方体。结合左面视图，上层小正方体只能放在后排（因为左视图显示后排有2层，前排只有1层），因此上层在后排最少放1个，最多放3个。据此可计算最少和最多需要的小正方体数量。 【解答】如图： 底层固定数量：3＋1＝4（个） 最少需要的数量：4＋1＝5（个） 最多需要的数量：4＋3＝7（个） 最少需要5个小正方体，最多需要7个小正方体。 故答案为：A 【点睛】解题关键——先由上面视图确定小正方体的底面位置总数，再由左面视图确定每个位置的最大堆叠层数；最少需保证左视图的层数要求即可，最多则在不违反左视图的前提下，每个位置都堆到最大层数。 【易错专练2】小辰用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形最多要用（    ）个小正方体。 A．6 B．8 C．9 【答案】C 【分析】要确定最多用多少个小正方体，需结合图片从上面看的形状（底层布局）和从左面看的形状（层数限制）分析。从上面看的形状显示，底层有 5 个小正方体。从左面看的形状显示，立体图形最多有 2 层；再确定总数量。 【解答】1．先看从上面看的图形，确定底层有 5 个小正方体（布局：第1列2个，第2、3、4列各1个）。 2．再看从左面看的图形，知道立体图形可以有2层。 3．要最多，就在底层的第二行每个小正方体的上方都放1个（符合左面视图的层数要求），上层可以放 4 个。 4．总数：5＋4＝9个。 故答案为：C。 【点睛】解题关键： 抓“底层布局”：“从上面看”直接决定底层的数量和排列，是解题的基础。 抓“层数限制”：“左面/正面”视图决定了每一列（或每一行）的最大层数，是确定上层数量的核心限制。 【易错专练3】一个立体图形，从正面看是，从右面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用（ ）个小正方体，最多可用（ ）个小正方体。 【答案】3 5 【分析】根据题意，最少时，是3个小正方体分上、下两层，下层分前、后两排，前排1个，后排1个，前后错开拼接，上层1个，在后排；最多时，下层4个，分前、后两排，每排2个，前后齐；上层1个，在后排左边。 【解答】从正面、右面看到的形状，搭成这个立体图形，如下图： 所以，一个立体图形，从正面看是，从右面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用3个小正方体，最多可用5个小正方体。 【易错专练4】一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭这样一个立体图形，最少要用（ ）个小正方体，最多要用（ ）个小正方体。 【答案】5 7 【分析】从上面看到的形状是，说明第一层（底层）有3个小正方体；从正面看到的形状是，说明立体图形有三层，第二层和第三层在左边一列，最少有2个小正方体（第二层1个、第三层1个），最多有4个小正方体（第二层2个，第三层2个），据此解答。 【解答】最少：3＋2＝5（个） 最多：3＋4＝7（个） 因此，搭这样一个立体图形，最少要用5个小正方体，最多要用7个小正方体。 【易错专练5】由几个小正方体拼成的一个几何体，从前面看到的图形是，从上面看到的图形是。 （1）拼成这个几何体，至少要用（    ）个小正方体。 （2）拼成这个几何体，最多要用（    ）个小正方体。在方格纸上画出此时从左面看到的图形。 【答案】（1）6 （2）7；见详解 【分析】（1）上面视图显示底层有3列（左、中、右），左、右列各有2个位置，中间列有1个位置，所以底层至少有5个小正方体；前面视图显示左列有2层，中、右列各1层，因此左列上层至少有1个小正方体。至少需要：（个）。 （2）在前面和上面视图的基础上，底层有5个小正方体；前面视图左列有2层，所以左列上层有1个；中、右列前面视图显示各1层，但第二排的左列上层可以加1个小正方体且不影响前面视图。最多需要：（个）。 此时从左面看到的图形：有2层，底层2个小正方形（对应左、中列），上层2个小正方形。 【解答】（1）由分析可知， 拼成这个几何体至少要用6个小正方体。 （2）由分析可知， 拼成这个几何体最多要用7个小正方体。 从左面看到的图形如上述所示。 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 【易错专练1】一个几何体，从前面看到的图形是，摆这个几何体最少需要多少个小正方体？如果这个几何体是用6个小正方体摆成的，那么这个几何体一共有多少种不同的摆法（相邻小正方体之间以面相连）？ 【答案】最少需要5个小正方体。一共有12种不同的摆法。 【分析】根据从前面看到的图形是，要使小正方体的个数最少，底层摆3个，上层摆2个，所以最少需要5个小正方体； 再通过列举不同位置小正方体的摆放情况，得到由6小正方体组成时的不同摆法。当有6个小正方体时，多出来的1个小正方体可以放在底层3个小正方体中任意一个的上面，有3种放法，也可以放在上层2个小正方体中任意一个的上面，有2种放法，所以总共的摆法有种。 【解答】由分析可知， 答：从前面看到的图形是，摆这个几何体最少需要5个小正方体，如果这个几何体是用6个小正方体摆成的，那么这个几何体一共12种不同的摆法（相邻小正方体之间以面相连）。 【点睛】掌握三视图的知识是解题的关键。 【易错专练2】用6个同样的小正方体摆几何体，要使得从前面看和从左面看得到的图形和下面的几何体一样，一共有几种摆法？ 【答案】5种。 【分析】用枚举法，不重不漏画出所有可能。 【解答】从前面和左面看，分别是，，所以用6个完全一样的小正方体摆几何体，使得从前面和左面看到的图形和原来的几何体一样，有如下5种摆法： 答：一共有5种摆法。 【易错专练3】在如图所示的几何体中，最少再添上几个同样的小正方体，从前面、左面和上面看到的图形就都是？最多呢？ 【答案】答：最少添上2个同样的小正方体；最多添上4个同样的小正方体。 【分析】要使搭成的立体图形从前面、左面和上面看到的图形都是，最少的情况：下层4个，排成2排，每排2个，全部对齐，即再添加1个，上层有2个，前排后排的对角线位置各放置1个，即再添加1个即可，所以最少再添上2个； 最多的情况：下层有4个，排成2排，每排2个，全部对齐，即再添加1个；上层有4个，排成2排，每排2个，全部对齐，即再添加3个，所以最多再添加4个。 【解答】（个） （个） 答：最少添上2个同样的小正方体；最多添上4个同样的小正方体。 【易错专练4】刚刚搭建了一个几何体，从正面、上面和左面看到的都是如图所示的形状，他是用几个小正方体搭建的？ 【答案】4个 【分析】这个立体图形，从正面看是3个正方形，说明从正面看是由3个小正方体组成的，分两层，下层2个，上层1个居右；从上面看也是3个正方形，并且在右边上面最少还有1个小正方体，从左面看两列，右边一列两个小正方体，据此解答。 【解答】由分析知至少要用4个小正方体。 【易错专练5】超市中，售货员将若干个大小相同的正方体纸箱搭成一个货物堆，这个货物堆从正面、左面、上面三个方向看到的都是下图所示的形状。这堆货物可能怎样摆，请画草图表示或文字描述。（至少表示出两种不同的摆法） 【答案】见详解 【分析】根据从正面、侧面、上面三个方向看到的都是如图所示的形状，可以推测，这个货物堆可能是由6个小正方体纸箱堆成：下面放4个摆成“田”字形，上面在对角各放一个； 或者由8个小正方体纸箱堆成：上下各4个，摆成每边2个纸箱的正方体。（答案不唯一 ） 【解答】这个货物堆可能是由6个小正方体纸箱堆成：下面放4个摆成"田”字形，上面在对角各放一个；或者由8个小正方体纸箱堆成：上下各4个，摆成正方体。 画出草图： （答案不唯一，答出两种不同的摆法即可） 【点睛】本题主要考查从不同方位观察物体，关键是根据从不同方位观察到的物体的形状，推测其由几个小正方体拼成。 专题二因数和倍数 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义,不能正确地进行判断。 【易错专练1】下面各组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．8和18 B．51和17 C．3.2和4 【答案】B 【分析】在整数范围内，若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。据此分析选项。 【解答】A.，商不是整数，所以8和18 没有因数和倍数的关系，不符合。 B.，商是整数，所以51是17的倍数，17是51的因数，二者有因数和倍数的关系，符合。 C.因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，3.2是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合。 故答案选：B 【易错专练2】48÷6＝8，（ ）和（ ）是48的因数，48是（ ）和（ ）的倍数。 【答案】6 8 6 8 【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数； 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 【解答】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。 【易错专练3】3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。（ ） 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的定义，当且仅当被除数、除数、商均为整数时，才能讨论因数与倍数的关系。本题中3.6和0.4均为小数，不符合整数条件，因此结论错误。 【解答】因数和倍数只在整数范围内讨论。虽然3.6÷0.4＝9成立，但3.6和0.4均为小数，不符合整数要求，因此3.6不是0.4的倍数，0.4也不是3.6的因数。原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】已知x＝3y（x，y都是非0自然数），那么x是y的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数。即对于非 0 自然数a 和b，若存在非0自然数k使得a＝k×b，则称a是b的倍数。 题目中x＝3y，且x、y均为非0自然数，符合倍数的定义，所以x是y的倍数。 【解答】已知x＝3y，且x、y都是非 0 自然数。 对等式进行变形，可得除法算式：x÷y＝3。 被除数x、除数y均为非 0 自然数； 商是整数3，且计算过程中没有余数。 该结果完全符合“倍数”的定义，即x能被y整除，因此x是y的倍数。 举例验证： 当y＝1时，x＝3×1＝3，3是1的倍数； 当y＝2时，x＝3×2＝6，6是2的倍数； 当y＝5时，x＝3×5＝15，15是5的倍数。 故答案为：√ 【易错专练5】因为，所以27是倍数，3和9是因数。（ ） 【答案】× 【分析】在整数除法中，若被除数除以除数得到的商是整数且无余数，则被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的关系，必须明确指出某个数是另一个数的因数或倍数，不能单独存在。题目中未明确27是哪些数的倍数，3和9是哪些数的因数，因此表述错误。 【解答】根据，说明27是9和3的倍数，9和3是27的因数。题目中“27是倍数，3和9是因数”的表述未明确依存关系，正确的应为“27是9和3的倍数，9和3是27的因数”；原题干说法错误。 故答案为：× 易错点2：求一个数的因数或倍数时，找不全或找重复。 【易错专练1】48的全部因数共有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【答案】C 【分析】根据因数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数。进行分析。 【解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个。 故答案为：C 【易错专练2】一个数的最大因数和最小倍数都是15，这个数是（    ）。 A．3 B．15 C．25 D．30 【答案】B 【分析】根据因数和倍数的概念：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，据此解答。 【解答】根据分析可知： 一个数的最大因数和最小倍数都是15，这个数是15。 故答案为：B 【易错专练3】一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】32 4 【分析】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【解答】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 【易错专练4】12的因数有（ ）个，其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）；13的最小倍数是（ ）。 【答案】6 1 12 13 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此列举出12的所有因数，数出因数的个数，并得出它的最小因数和最大因数。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此得出13的最小倍数。 【解答】12的因数：1，2，3，4，6，12；共有6个； 12的因数有（6）个，其中最小的因数是（1），最大的因数是（12）；13的最小倍数是（13）。 【易错专练5】《西游记》是我国的四大名著之一，主要讲述了唐僧师徒历经九九八十一难去西天取经的故事。81的因数有（ ），81的最小倍数是（ ）。 【答案】1，3，9，27，81 81 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 【解答】81＝1×81＝3×27＝9×9 81的因数有（1，3，9，27，81），81的最小倍数是（81）。 易错点3：2、5、3的倍数特征应用错误。 【易错专练1】在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8； 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除； 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能同时被2，3，5整除的数需要同时满足以上三个条件，即个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除；在四位数150中，个位数字是0，已经满足能被2和5整除的条件，只需考虑各个数位上的数字之和能被3整除；据此解答。 【解答】 150中已知数字1、5、0的和为：1＋5＋0＝6；因为6能被3整除，所以里的数字加上6之后仍需是3的倍数；里可填的数字是一位数，找出符合是3的倍数的：6＋0＝6；6＋3＝9；6＋6＝12；6＋9＝15 所以，里可填0、3、6、9，共有4种填法。 故答案为：C 【易错专练2】4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是3的倍数，又是5的倍数。请你想一想，翻开的两个页码依次可能是（    ）。 A．32，33 B．34，35 C．62，63 D．74，75 【答案】D 【分析】同时是3和5倍数的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，由此找出符合题意的两个页码。 【解答】A．分析可知，32、33都不是5的倍数，所以翻开的两个页码不可能是32，33； B．分析可知，3＋4＝7，3＋5＝8，7和8都不是3的倍数，则34、35都不是3的倍数，所以翻开的两个页码不可能是34，35； C．分析可知，62、63都不是5的倍数，所以翻开的两个页码不可能是62，63； D．分析可知，75是5的倍数，7＋5＝12，12是3的倍数，则75既是3的倍数，又是5的倍数，所以翻开的两个页码依次可能是74，75。 综上所述，翻开的两个页码依次可能是74，75。 故答案为：D 【易错专练3】一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3，这个两位数最大是（ ）。 【答案】90 【分析】2的倍数：个位是0，2，4，6，8的数；3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数；5的倍数：个位是0或5的数；要使这个两位数同时是2，5、3的倍数，个位一定是0，从最大的个位是0的两位数90开始试起，据此填空即可。 【解答】90÷2＝45 90÷5＝18 90÷3＝30 一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3，这个两位数最大是90。 【易错专练4】寻找最大数与最小数。 （1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是多少？ （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是多少？ 【答案】（1）68580（2）26850 【分析】需要构造五位数并满足同时是2、3、5的倍数的条件。解题时先确定个位数字，再计算各位数字之和是否满足3的倍数要求，最后根据题目要求选择最大或最小的数。 （1）同时是2和5的倍数，个位必须是0。因此五位数最后一个数字为0。原数为685后加两位数字，构造为685X0其中X为第四位。各位数字之和，必须是3的倍数。X为2，5，8时原数是3的倍数。为使五位数最大，X应取最大的可能值8，五位数为68580，验证：是3的倍数。 （2）构造五位数为A685B，个位B为0以满足2和5的倍数条件， 五位数形式为A6850，其中A为首位数字 （不能为0）。各位数字之和，必须是3的倍数。A为2，5，8时原数是3的倍数。为使五位数最小，A应取最小的可能值2。五位数为26850，验证：是3的倍数。 【解答】（1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是68580； （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是26850。 【点评】根据2,3,5的倍数特征，判断末尾为0，结合题目要求填出最大最小的数。 【易错专练5】按要求在括号里填上最小的数字。 （1）28（ ）（2和3的倍数）。 （2）65（ ）（2和5的倍数）。 （3）1（ ）5（3和5的倍数）。 （4）（ ）80（2、3和5的倍数）。 【答案】（1）2（2）0（3）0（4）1 【分析】根据2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数； 根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数； 根据5的倍数特征：个位上的数字是0和5的数是5的倍数，据此填空即可。 【解答】（1）要使填上括号的数后，是2和3的倍数，即该数得以0、2、4、6、8结尾，并且各个数位上的数字之和是3的倍数； 当括号里填0时，此数为280，2＋8＋0＝10，不为3的倍数； 当括号里填2时，此数为282，2＋8＋2＝12，为3的倍数，所以此时括号里填2，该数为282。 （2）要使填上括号的数后，是2和5的倍数，即该数得以0结尾，所以括号里填0，该数为650。 （3）要使填上括号的数后，各个数位上的数字之和是3的倍数； 当括号里填0时，此数为105，1＋0＋5＝6，为3的倍数； 所以此时括号里填0，该数为105。 （4）要使填上括号的数后，各个数位上的数字之和是3的倍数； 当括号里填1时，此数为180，1＋8＋0＝9，为3的倍数； 所以此时括号里填1，该数为180。 易错点4：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆 【易错专练1】在数0、25、64、70、671、248、165、77、88、9中，偶数的个数是（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】偶数：能被2整除的数，即个位是2，4，6，8，0的数，据此解答。 【解答】偶数有：0，64，70，248，88，有5个。 故答案为：D 【易错专练2】下列各数，既是奇数又是合数的数是（    ）。 A．9 B．12 C．17 【答案】A 【分析】需要同时满足“奇数”和“合数”两个条件即为答案。 奇数的定义：不能被 2 整除的整数（如 1、3、5、9、17 等）。 合数的定义：除了 1 和它本身，还有其他因数的正整数（如 4、6、8、9、12 等）。 【解答】A．9是奇数，9的因数除了1和9之外，还有3，所以A符合题意； B．12是偶数，12的因数除了1和12之外，因数还有2、6、3、4，B不满足奇数这一条件，所以B不符合题意； C．17是奇数，17的因数除了1和17之外，没有其他因数，C不满足合数的条件，所以C不符合题意； 故答案为：A 【点评】需要学生熟练的掌握“奇数”和“合数”的概念。 【易错专练3】两个质数的乘积不一定是合数，两个奇数的和一定是偶数。（ ） 【答案】× 【分析】根据质数和合数的定义，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数，合数是大于1且有至少三个因数的自然数。两个质数相乘，积的因数包括1和这两个质数，因此积一定是合数。两个奇数相加，根据奇偶性运算规律，和一定是偶数。据此判断即可。 【解答】例如，质数2和3相乘得6，6的因数有1、2、3、6，6是合数；质数3和5相乘得15，15的因数有1、3、5、15，15是合数。所以，“两个质数的乘积不一定是合数”的说法错误。两个奇数相加，和是偶数，例如，1＋3＝4（偶数），3＋5＝8（偶数），符合奇偶性运算规律。因此，原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】从1、2、3、4中任选一个数字，选出的数是质数和合数的可能性相等。（ ） 【答案】× 【分析】根据质数和合数的定义，质数是除了1和它本身以外没有其他因数的自然数；合数是除了1和它本身还有其他因数的自然数。1既不是质数也不是合数。在数字1、2、3、4中，质数有2和3共两个，合数只有4一个。总共有四个数字，每个数字被选中的可能性相同。选到质数的可能性为，选到合数的可能性为，两者不相等，因此说法错误。 【解答】在给定的数字1、2、3、4中： 1的因数只有1，不符合质数或合数的定义，既不是质数也不是合数； 2的因数只有1和2两个，是质数； 3的因数只有1和3两个，是质数； 4的因数有1、2、4，是合数。 因此，质数有2个（2和3），合数有1个（4）。 总数字个数为4个，每个数字被选中的可能性相同。 选到质数的可能性为：。 选到合数的可能性为：。 由于，所以选到质数和合数的可能性不相等。 故答案为：× 【易错专练5】在2，5，9，68，17，91这几个数字中，质数有（ ），奇数有（ ），既是偶数又是合数的数有（ ）。 【答案】2、5、17 5、9、17、91 68 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【解答】在2，5，9，68，17，91这几个数字中，质数有2、5、17，奇数有5、9、17、91，既是偶数又是合数的数有68。 易错点5：分解质因数时，概念不清或过程错误。 【易错专练1】把下面各数分解质因数。 56    75    117 【答案】56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；117＝3×3×13 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 【解答】 56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；117＝3×3×13 【易错专练2】用短除法把下面各数分解质因数。 56        81 【答案】 56＝2×2×2×7；81＝3×3×3×3 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到。如4＝2×2，15＝3×5。其中每个质数都是这个合数的因数，叫这个合数的质因数，这个求质因数的过程叫作分解质因数。据此解答。 【解答】           56＝2×2×2×7；81＝3×3×3×3 【易错专练3】把下面各数分解质因数。 78    33    58    46 【答案】78＝2×3×13；33＝3×11；58＝2×29；46＝2×23 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】 78＝2×3×13 33＝3×11 58＝2×29 46＝2×23 【易错专练4】用短除法把下列各数分解质因数。 98                 35              54 【答案】98＝2×7×7；35＝5×7；54＝2×3×3×3 【分析】用“短除法”分解质因数方法：先用一个能整除这个合数的最小质数去除，如果所得的商是合数，继续用一个能整除这个商最小的质数去除，直到得出的商是质数，最后把各个除数与最后的商写成连乘形式。 【解答】 98＝2×7×7 35＝5×7 54＝2×3×3×3 【易错专练5】用短除法分解质因数。 114         87       32 【答案】114＝2×3×19；87＝3×29 ；32＝2×2×2×2×2 【分析】分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，最后把所得的质数写成相乘的形式即可。 【解答】114＝2×3×19 87＝3×29 32＝2×2×2×2×2                       专题三长方体和正方体 易错点1：概念与棱长关系混淆。 【易错专练1】五年级同学计划去敬老院探望老人家，花花准备了一个礼物包装盒，是一个长方体，该长方体长32厘米，宽18厘米，棱长总和是320厘米，它的高是（    ）厘米。 A．110 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】这道题的关键是熟知：长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，则长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽。题目中已知长方体的棱长总和是320厘米，且长是32厘米，宽是18厘米。代入公式计算即可。 【解答】根据分析： （厘米） 所以，长方体的高是30厘米。 【易错专练2】张大伯要用木板制作一个封闭的长方体木箱，他已经准备了长6分米、宽4分米和长5分米、宽4分米的长方形木板各2块，他还需要准备（ ）块长（ ）分米、宽（ ）分米的长方形木板。 【答案】2 6 5 【分析】一个长方体有6个面：前后、左右、上下，一般情况下每个面都是长方形，所以木箱的每个面都需要一块木板。对于一个长方体，面的大小有三种可能：长×宽、长×高、宽×高，每个都有两个。他已经有：2个长6分米、宽4分米的木板，我们看作是长与高组成的前后面；2个长5分米、宽4分米的木板，我们看作是宽与高组成的左右面，还差2个长与宽组成的上下面，由此得出还需要准备的长方形木板的大小。 【解答】张大伯已经有：2个长6分米、宽4分米的木板，看作是长与高组成的前后面；2个长5分米、宽4分米的木板，看作是宽与高组成的左右面，还差2个长与宽组成的上下面，则还需要准备2块长6分米、宽5分米的长方形木板。 【易错专练3】用一根96dm长的木条正好可以做一个正方体框架，这个正方体的棱长是（ ）dm；如果用这根木条做一个宽和高都是7dm的长方体框架，那么它的长是（ ）dm。 【答案】8 10 【分析】已知用一根96dm长的木条正好可以做一个正方体框架，那么正方体框架的棱长总和等于这条木条的长度；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出这个正方体的棱长。 如果用这根木条做一个宽和高都是7dm的长方体框架，那么长方体框架的棱长总和等于这条木条的长度；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长＝棱长总和÷4－宽－高，据此求出它的长。 【解答】96÷12＝8（dm） 96÷4－7－7 ＝24－7－7 ＝10（dm） 用一根96dm长的木条正好可以做一个正方体框架，这个正方体的棱长是（8）dm；如果用这根木条做一个宽和高都是7dm的长方体框架，那么它的长是（10）dm。 【易错专练4】同学们准备了下面纸板各若干张围长方体和正方体。 笑笑要围成一个棱长总和为120cm的正方体，可以用（ ）张（ ）号纸板。奇思要围成一个长、宽、高均不同的长方体，可以选择的是（ ）号、（ ）号和（ ）号，每种纸板各（ ）张。 【答案】6 ⑤ ① ③ ④ 2 【分析】正方体有6个面，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，求出正方体棱长，选择相应边长的正方形6张即可围成要求的正方体； 长方体有6个面，相对的面完全一样，12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。据此根据长方体的特征选择3对，每对完全一样的长方形即可。 【解答】120÷12＝10（cm） 笑笑要围成一个棱长总和为120cm的正方体，可以用6张⑤号纸板。奇思要围成一个长、宽、高均不同的长方体，可以选择的是①号、③号和④号，每种纸板各2张。 【易错专练5】灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 【答案】30厘米 【分析】已知王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架，又用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和，即是正方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，据此解答。 【解答】 （厘米） （厘米） 答：正方体灯笼框架的棱长最长是30厘米。 易错点2：没有掌握正方体的四类展开图。 【易错专练1】正方体的展开图有6个面，下面左图给出了其中的5个面。从右图A、B、C、D中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图，这个面是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】正方体展开图共有11种，分为4类：“一四一”型：有6种；“二三一”型：有3种；“二二二”型：有1种。“三三”型：有1种。 【解答】 根据正方体的展开图这个面是D面。 【易错专练2】如图，一个正方体的六个面上分别写着：“有志者事竟成”。根据这个正方体不同的摆法，可以判断出“成”字对面的汉字是（    ）。 A．者 B．志 C．事 【答案】A 【分析】根据正方体的特征可知：正方体相对的面不相邻，从第一个摆法可知：“有”与“成”“事”相邻，从第二个摆法可知：“有”与“志”“者”相邻，所以“有”和剩下的“竟”相对；从第一个摆法可知：“事”与“成”“有”相邻，从第三个摆法可知：“事”与“竟”“者”相邻，所以“事”和剩下的“志”相对；所以“成”和剩下的“者”相对。 【解答】根据分析可知：“成”字对面的汉字是“者”。 【易错专练3】有4个正方体，其展开图分别如下图所示。只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时，它才能吃到喜欢的食物。想一想，正方体（ ）中的动物可以吃到它喜欢的食物。（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到动物是否可以吃到它喜欢的食物。 【解答】①属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小猫和它喜欢的食物鱼在正方体的相对面上，所以①中的动物可以吃到它喜欢的食物。 ②属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小猴子和它喜欢的食物桃子在正方体的相对面上，所以②中的动物可以吃到它喜欢的食物。 ③属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小兔子和它喜欢的食物胡萝卜不在正方体的相对面上，小兔子相对的面是3，胡萝卜相对的面是1，所以③中的动物不可以吃到它喜欢的食物。 ④属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小狗和它喜欢的食物骨头在正方体的相对面上，所以④中的动物可以吃到它喜欢的食物。 由此可知，正方体①②④中的动物可以吃到它喜欢的食物。 【易错专练4】将图甲围成图形乙的正方体，则在面①CDHE；②BCEF；③ABFG；④ADHG中，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面（ ）。（填序号） 【答案】④ 【分析】分析题意，根据正方体展开图的11种特征来分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案。 【解答】据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形ADHG上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④。 【点睛】本题考查了正方体的展开图，关键是根据上面、底面，弄清围成后前、后、左、右四个面的位置，再确定标志所在的面。 【易错专练5】按要求操作。 （1）在上图中添上3个同样大小的正方形，使它成为一个正方体表面的展开图。 （2）分别用相同的图形标出与◇、△、○相对的面。 【答案】图见详解 【分析】要依据正方体展开图的多种常见模型（如“一四一”型、“二三一”型、“三三”型、“二二二”型），来判断添加正方形后形成的展开图是否合理，以及确定相对面，根据已知条件，已有3个正方形，还需添加3个正方形，这里以常见的“一四一”型作图，据此解答。 【解答】 （答案不唯一） 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 【易错专练1】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5dm、宽4dm、高3dm。做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 【答案】74平方分米 【分析】因为鱼缸无盖，所以求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据，即可解答。 【解答】 （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要74平方分米的玻璃。 【易错专练2】学校要粉刷新教室的四壁和天花板。教室的长是8米，宽是5米，高是3.2米，门窗的面积是14.5平方米。如果每平方米需要花12元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？ 【答案】1304.4元 【分析】粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，粉刷面积×每平方米需要的涂料费＝花费的总钱数，据此列式解答。 【解答】8×5＋8×3.2×2＋5×3.2×2－14.5 ＝40＋51.2＋32－14.5 ＝108.7（平方米） 108.7×12＝1304.4（元） 答：粉刷这个教室需要花费1304.4元。 【易错专练3】明明家有一个长方体鱼缸（无盖），长6分米，宽5分米，高4分米。 （1）这个长方体鱼缸的下面和右面的玻璃打碎了，要修好这个鱼缸，至少需要购买多少平方分米相配套的玻璃？ （2）妈妈在修好的鱼缸里注入3分米高的水，此时水与鱼缸接触的面积是多少平方分米？ 【答案】（1）50平方分米 （2）96平方分米 【分析】根据题意，要修好这个鱼缸需要求鱼缸的下面和右面的玻璃的面积之和，下面的玻璃是长6分米，宽5分米的长方形，右面的玻璃是宽5分米，高4分米的长方形，计算出下面和右面的面积再相加即可；水与鱼缸接触的部分为底面和四周的四个面，底面是长6分米，宽5分米的长方形，前后两个面是长是6分米，高是3分米的长方形，左右两个面是宽5分米，高3分米的长方形，将这些面的面积相加就是水与鱼缸接触的面积，据此解答。 【解答】（1）6×5＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方分米） 答：至少需要购买50平方分米相配套的玻璃。 （2）6×5＋6×3×2＋5×3×2 ＝30＋18×2＋15×2 ＝30＋36＋30 ＝66＋30 ＝96（平方分米） 答：水与鱼缸接触的面积是96平方分米。 【易错专练4】有一个底面是正方形的长方体铁皮油桶。如果把它的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，做这样的一个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】72平方分米 【分析】底面是正方形的长方体铁皮油桶的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，则长方体底面棱长（即长方体的长和宽）为80÷4＝20（厘米），长方体的高是80厘米，根据：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可。 【解答】80÷4＝20（厘米） （20×20＋20×80＋20×80）×2 ＝（400＋1600＋1600）×2 ＝（2000＋1600）×2 ＝3600×2 ＝7200（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米 7200÷100＝72（平方分米） 答：做这样的一个油桶至少需要铁皮72平方分米。 【易错专练5】德宏盈江有着“中国犀鸟谷”的美誉。为了给小犀鸟们营造一个舒适的环境，工作人员准备为小犀鸟修建一个长60厘米、宽50厘米、高35厘米的长方体鸟巢。除去犀鸟进出洞口400平方厘米，做这个鸟巢需要多少平方厘米的木板？ 【答案】13300平方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出长方体的表面积，再减去洞口的面积即可得到木板的面积。 【解答】（60×50＋60×35＋50×35）×2－400 ＝（3000＋2100＋1750）×2－400 ＝6850×2－400 ＝13700－400 ＝13300（平方厘米） 答：做这个鸟巢需要13300平方厘米的木板。 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【易错专练1】把下图的长方体木块切割成两个完全一样的长方体，表面积最多可以增加（      ）平方厘米。 A．200 B．300 C．400 D．600 【答案】D 【分析】把图中的长方体木块切割成两个完全一样的长方体，共有三种切法：①平行于上（下）面进行切割，表面积增加了两个底面的面积；②平行于左（右）面进行切割，表面积增加了两个左（右）面的面积；③平行于前（后）面进行切割，表面积增加了两个前（后）面的面积；，分别算出面积进行比较即可。 【解答】由图知：长方体的长为20厘米，宽为10厘米，高为15厘米； 前（后）面的面积：（平方厘米） 两个前（后）面的面积：（平方厘米） 左（右）面的面积：（平方厘米） 两个左（右）面的面积：（平方厘米） 上（下）面的面积：（平方厘米） 两个上（下）面的面积：（平方厘米） 所以，表面积最多可以增加600平方厘米。 故答案为：D 【易错专练2】把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 （1）原来的长方体木料的宽是（ ）分米，高是（ ）分米。 （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多（ ）平方分米。 【答案】（1）4 4 （2）64 【分析】（1）原来的长方体木料的宽＝高＝原来的长方体木料的长÷平均锯的段数，注意先要进行单位换算； （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料多的表面积＝（截的段数－1）×2×（横截面的棱长×棱长）。 【解答】（1）1.2米＝12分米 12÷3＝4（分米） 原来的长方体木料的宽是4分米，高是4分米。 （2）（3－1）×2×（4×4） ＝2×2×16 ＝4×16 ＝64（平方分米） 【易错专练3】一根长方体木料长12分米，宽和高都是3分米，把它锯成3段（如图），表面积最少增加（ ）平方分米；最多增加（ ）平方分米。 【答案】36 144 【分析】把长方体木料锯成3段，需要锯2次，每锯一次增加两个截面的面积，所以锯2次共增加4个截面的面积。长方体木料有三种不同的面，分别为12×3、12×3和3×3 ，比较这3种面的面积大小可知3×3这个面的面积最小，12×3这个面的面积最大，求表面积增加最少的就按照截面面积最小的计算，求表面积增加最多的就按照截面面积最大的计算。 【解答】①求表面积最少增加多少：当截面为3×3的面时，增加的表面积最少，增加的面积为3×3×4＝36（平方分米）； ②求表面积最多增加多少：当截面为12×3的面时，增加的表面积最多，增加的面积为12×3×4＝144（平方分米）。 因此，面积最少增加36平方分米；最多增加144平方分米。 【易错专练4】两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【答案】0.0304平方米 【分析】把两个长方体面积最小的面拼成一起，拼成的长方体的表面积最大，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入求出一个长方体的表面积，再乘2，等于2个长方体的表面积和，然后减去2个最小面的面积，即等于拼成后的长方体的最大表面积，最后把平方厘米换算成平方米即可解答。 【解答】（10×4＋10×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝82×2×2－24 ＝328－24 ＝304（平方厘米） ＝0.0304平方米 答：拼成后的长方体表面积是0.0304平方米。 【易错专练5】五月初，杭州各地茶农忙于采摘和售卖茶叶，明明正在打包一个长方体茶叶礼盒（如图），打结处用了15厘米的绸带。 （1）打包这个茶叶礼盒至少需要用多少厘米长的绸带？ （2）如果把这样的两盒一起包装，那么最少需要多少平方分米的包装纸？（先画出示意图，再解答） 我画的图： 我的解答： 【答案】（1）423厘米；（2）图见详解；122平方分米 【分析】（1）观察图形可知，绸带的长度由6条高、4条长、2条宽以及打结处的长度组成。那么绸带长度＝长×4＋宽×2＋高×6＋打结长度，长方体的长是50厘米、宽是50厘米、高是18厘米，打结长度15厘米。把数据代入计算即可。 （2）要使包装纸最少，需把两盒最大的面（长×宽的面，即50×50的面）重合。将两个长方体上下叠放，使50×50的面重合，新长方体长50厘米、宽50厘米、高18×2＝36厘米。根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把数据代入计算需要的包装纸。 【解答】（1）50×4＋50×2＋18×6＋15 ＝200＋100＋108＋15 ＝423（厘米） 答：打包这个茶叶礼盒至少需要用423厘米长的绸带。 （2）画图如下： 我画的图： 我的解答： 18×2＝36（厘米） （50×50＋50×36＋50×36）×2 ＝（2500＋1800＋1800）×2 ＝6100×2 ＝12200（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米 12200÷100＝122（平方分米） 答：最少需要122平方分米的包装纸。 易错点5：误认为任意两个体积或容积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【易错专练1】（ ）                0.07（ ） 2200（ ）                9000（ ） 【答案】4060 70 2.2 9 【分析】高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换成高级单位除以进率； ①1m3＝1000dm3，4.06m3换算成dm3，用4.06乘1000，小数点向右移动三位即可； ②1dm3＝1000 cm3，0.07 dm3换算成cm3，用0.07乘1000，小数点向右移动三位即可； ③1dm3＝1000 cm3，2200 cm3换算成dm3，用2200除以1000，小数点向左移动三位即可； ④1m3＝1000dm3，9000dm3换算m3，用9000除以1000，小数点向左移动三位即可； 【解答】4.06×1000＝4060，因此4.06m3＝4060dm3 0.07×1000＝70，因此，0.07dm3＝70cm3 2200÷1000＝2.2，因此，2200cm3＝2.2dm3 9000÷1000＝9，因此，9000dm3＝9m3 【易错专练2】7.05立方米＝（ ）立方分米    2.13立方分米＝（ ）立方分米（ ）立方厘米 【答案】7050 2 130 【分析】1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，大单位转换为小单位需乘进率，小单位转换为大单位需除以进率。据此解答。 【解答】7.05×1000＝7050（立方分米） 2.13立方分米＝2立方分米＋0.13立方分米，0.13×1000＝130（立方厘米），所以2.13立方分米＝2立方米130立方厘米 【易错专练3】9000立方厘米＝（ ）立方米   4.07立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米 5.6立方米＝（ ）升        9.08立方分米＝（ ）升＝（ ）毫升 【答案】0.009 4 70 5600 9.08 9080 【分析】根据1立方米＝1000000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方米＝1000升，1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，大单位换算成小单位时乘进率，小单位换算成大单位时除以进率，据此解答。 【解答】（1）9000÷1000000＝0.009（立方米） 所以9000立方厘米＝0.009立方米。 （2）0.07×1000＝70（立方分米） 所以4.07立方米＝4立方米70立方分米。 （3）5.6×1000＝5600（升） 所以5.6立方米＝5600升。 （4）9.08立方分米＝9.08升 9.08×1000＝9080（毫升） 所以9.08立方分米＝9.08升＝9080毫升。 【易错专练4】5600立方厘米＝（ ）立方分米；3.2升＝（ ）毫升；960毫升＝（ ）立方分米；0.38立方米＝（ ）立方分米。 【答案】5.6 3200 0.96 380 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1立方分米＝1升，1立方米＝1000立方分米，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【解答】5600÷1000＝5.6（立方分米），5600立方厘米＝5.6立方分米。 3.2×1000＝3200（毫升），3.2升＝3200毫升。 960÷1000＝0.96（升）、0.96升＝0.96立方分米，960毫升＝0.96立方分米。 0.38×1000＝380（立方分米），0.38立方米＝380立方分米。 【易错专练5】在下面括号里填上适当的数。 5400立方厘米＝（ ）立方分米          530平方分米＝（ ）平方米 790立方分米＝（ ）立方厘米           1.2立方米＝（ ）立方厘米 【答案】5.4 5.3 790000 1200000 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1平方米＝100平方分米，1立方米＝1000000立方厘米，进行换算即可。 【解答】5400立方厘米÷1000＝5.4立方分米；530平方分米÷100＝5.3平方米 790立方分米×1000＝790000立方厘米；1.2立方米×1000000＝1200000立方厘米 【点睛】单位大变小乘进率，单位小变大除以进率。 易错点6：单位不统一导致计算错误。 【易错专练1】一个长方体鱼缸，从里面量长是50厘米，宽是25厘米，水深12厘米，现将一些鹅卵石放入水中后（水淹没鹅卵石），水深14厘米。这些鹅卵石的体积一共是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】2500立方厘米；2.5立方分米 【分析】水面升高部分的体积就是鹅卵石的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，求出鹅卵石的体积；1立方分米＝1000立方厘米，再把立方厘米化为立方分米。 【解答】50×25×（14－12） ＝50×25×2 ＝1250×2 ＝2500（立方厘米） 2500立方厘米＝2.5立方分米 答：这些鹅卵石的体积一共是2500立方厘米，合2.5立方分米。 【易错专练2】乐乐家有一个长方体的无盖玻璃鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高25厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水面离缸口大约多少分米？ （3）乐乐又往水里放入了一些造景用的装饰物（完全浸没在水中），水面上升了0.2分米，这些造景用装饰物的体积一共是多少立方分米？ 【答案】 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃65平方分米。 （2）水面离缸口大约0.5分米。 （3）造景用装饰物的体积一共是4立方分米。 【分析】①做鱼缸所需的玻璃即是无盖长方体的表面积，所以是求它的5个面的面积； ②要求注入40升水后水面离缸口的距离，先用水的体积除以鱼缸底面积求出水深，再用鱼缸高度减去水深即可； ③往水里放入完全浸没的装饰物，水面上升的体积即为装饰物的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求出；据此解答。 【解答】①50厘米＝5分米 40厘米＝4分米 25厘米＝2.5分米 （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃65平方分米。 ②5×4＝20（平方分米） 40÷20＝2（分米） 2.5－2＝0.5（分米） 答：水面离缸口大约0.5分米。 ③20×0.2＝4（立方分米） 答：造景用装饰物的体积一共是4立方分米。 【易错专练3】如下图，A，B是两块不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后，焊接成一个底面是正方形的无盖的长方体铁桶。哪块铁皮焊接成的铁桶装水更多？多多少升？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】B铁皮焊接成的铁桶装水更多；多4升 【分析】根据长方体的体积公式：，图①焊接成长方体的底面边长是厘米，高是厘米；图②焊接成长方体的底面边长是厘米，高是厘米，把数据分别代入公式求出它们的体积，然后单位换算，最后进行比较即可。 【解答】A：（厘米） （立方厘米） 立方厘米立方分米升 B：（厘米） （立方厘米） 立方厘米立方分米升 （升） 答：B铁皮焊接成的铁桶装水更多，多4升。 【点睛】此题考查的是理解长方体展开图的特征及应用，长方体的体积公式及应用，解题的关键是根据题意得出长方体的长、宽、高。 【易错专练4】一个长方体的容器，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，容器内装满水后，将铁块完全没入水中，水溢出，然后将铁块取出，这时容器中的水面降低了9厘米。铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】5.4立方分米 【分析】铁块的体积就等于下降部分水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算出铁块的体积是多少立方厘米，再根据1立方分米＝1000立方厘米，把立方厘米化为立方分米。 【解答】30×20×9 ＝600×9 ＝5400（立方厘米） 5400立方厘米＝5.4立方分米 答：铁块的体积是5.4立方分米。 【易错专练5】一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 【答案】15厘米 【分析】已知长方体容器平放时，从里面量的长是20厘米，宽是16厘米，水深7厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出水的体积； 如果把这个容器竖起来放，再完全浸没一个西红柿，此时水的体积加上西红柿的体积等于一个底面积为“10×16”的长方体的体积，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水面的高度。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【解答】20×16×7 ＝320×7 ＝2240（立方厘米） 0.16立方分米＝160立方厘米 （160＋2240）÷（10×16） ＝2400÷160 ＝15（厘米） 答：此时水面的高度是15厘米。 易错点7：体积与容积的混淆。 【易错专练1】小明家有一个长2.5分米、宽1.5分米、高2分米的长方体鱼缸。小明给鱼缸装满水后就出门了，大概6小时后回到家发现鱼缸底部的密封环坏了，水几乎都漏完了。这个鱼缸平均每小时大约漏多少升水？ 【答案】1.25升 【分析】鱼缸装满水时的容积即为水的总量，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，计算容积，并利用1立方分米＝1升进行单位换算。水在6小时内几乎漏完，因此平均每小时漏水量等于总水量除以时间。 【解答】2.5×1.5×2 ＝3.75×2 ＝7.5（立方分米） 7.5立方分米＝7.5升 7.5÷6＝1.25（升） 答：这个鱼缸平均每小时大约漏1.25升水。 【易错专练2】在长方体玻璃缸中沉入一石块（全部浸没）。沉入前水面高6cm，沉入后水面升高到10cm且溢出125mL水。玻璃缸里面长30cm、宽20cm。这块石块的体积是多少？ 【答案】2525 【分析】根据题意，玻璃缸为长方体，根据长方体体积公式（其中a为长，b为宽，h为高），这里，，，可求出上升的水的体积； 石块的体积等于玻璃缸内上升的水的体积加上溢出的水的体积，已知溢出的水的体积为125mL，因为，所以，将上升的水的体积与溢出的水的体积相加即可。 【解答】 （） 答：这块石块的体积是2525。 【易错专练3】一个长方体的水池，从里面量，尺寸如下图。水池内固定了一个小长方体铁块。铁块底面是边长10厘米的正方形，高是24厘米。现在往水池里面注水，水管以每分钟4.2立方分米的流量注水，至少需要多长时间能将小长方体淹没？ 【答案】8分钟 【分析】要淹没小长方体铁块，需注入的水的体积＝（水池底面积－铁块底面积）×铁块的高度（即淹没所需的水深），再根据时间＝注水体积÷注水流量计算时间。 【解答】计算需注水的体积： （50×30－10×10）×24 ＝（1500－100）×24 ＝1400×24 ＝33600（立方厘米） 33600立方厘米＝33.6立方分米 计算注水时间： 33.6÷4.2＝8（分钟） 答：至少需要8分钟能将小长方体淹没。 【易错专练4】一块长方形铁板，长30厘米，宽25厘米，在它的4个角分别剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图所示），然后做成一个无盖水箱。这个水箱的容积是多少毫升？（铁板厚度忽略不计） 【答案】1500毫升 【分析】先求出做成无盖水箱后的长、宽、高，再根据长方体容积公式V＝abh（a为长，b为宽，h为高）计算容积，据此解答。 【解答】计算水箱的长：原长方形铁板长30厘米，两个角各剪去一个边长5厘米的小正方形，所以水箱的长为： 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 计算水箱的宽：原长方形铁板宽25厘米，所以水箱的宽为： 25－5×2 ＝25－10 ＝15（厘米） 计算水箱的高：剪去的小正方形边长就是水箱的高，即5厘米。 计算水箱容积： 20×15×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 因为1立方厘米＝1毫升，所以1500立方厘米＝1500毫升。 答：这个水箱的容积是1500毫升。 【易错专练5】一块长方形铁皮长50厘米，宽40厘米。现在要从这张铁皮的四角上各剪去一个边长10厘米的正方形，制成一个无盖铁盒。如果焊接处和铁皮厚度忽略不计，这个长方体铁盒的容积是多少升？表面积是多少平方厘米？ 【答案】6升；1600平方厘米 【分析】已知长方形铁皮的长是50厘米，宽是40厘米，从四角各剪去一个边长10厘米的正方形，那么铁盒的长为50－10×2＝30厘米，宽为40－10×2＝20厘米，因为是从四角剪去边长10厘米的正方形来制作铁盒，所以铁盒的高就是剪去的正方形的边长，即10厘米；然后根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出该长方体铁盒的容积，再根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米，将立方厘米换算为升作单位。 该无盖长方体铁盒的表面积由底面积和四周四个面的面积组成，已知铁盒长30厘米、宽20厘米、高10厘米；再根据“长方形面积＝长×宽”分别计算出底面积、前后两个面的面积、左右两个面的面积，最后将这些面积相加即可得到表面积。 【解答】50－10×2 ＝50－20 ＝30（厘米） 40－10×2 ＝40－20 ＝20（厘米） 30×20×10 ＝600×10 ＝6000（立方厘米） 6000立方厘米＝6立方分米＝6升 答：这个长方体铁盒的容积是6升。 30×20＋30×10×2＋20×10×2 ＝600＋300×2＋200×2 ＝600＋600＋400 ＝1200＋400 ＝1600（平方厘米） 答：表面积是1600平方厘米。 专题四分数的意义和性质 易错点1：没有理解分数单位的意义。 【易错专练1】一根绳子用去，还剩米，用去的和剩下的相比（    ）。 A．用去的长 B．剩下的长 C．无法比较 【答案】B 【分析】由题意可知，把一根绳子的全长看作单位“1”，用去的分率是，剩下的分率是，单位“1”相同，只需要比较用去的和剩下的分率即可解决本题，即比较和的大小即可。 【解答】剩下分率： 因为＜，所以剩下的长。 故答案为：B 【点睛】明确单位“1”相同，掌握比较分率大小的方法是解决这个题的关键。 【易错专练2】的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，再加（ ）个分数单位就是最小的质数。 【答案】 12 2 【分析】将带分数转化为假分数 ，分母是7，分数单位就是，分子是12，就有12个这样的分数单位。 最小的质数是2，即，有14个，因此需要再加2个分数单位。 【解答】 2＝ 14－12＝2 因此，的分数单位是 ，它有12个这样的分数单位，再加2个分数单位就是最小的质数。 【易错专练3】的分数单位是（ ），有（ ）个这样的单位，再去掉（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 19 3 【分析】化成假分数，把单位“1”平均分成4份，每份是，根据分数单位的意义，它的分数单位就是，它有19个这样的分数单位； 最小的合数是4，用减去最小合数4，求出差的分子是几，即为去掉几个这样的分数单位就是最小的合数。 【解答】，即的分数单位是，有19个这样的单位； ，即再去掉3个这样的分数单位就是最小的合数。 【易错专练4】和有什么关系（    ）。 A．大小相等 B．分数单位相同 C．意义相同 【答案】A 【分析】的意义是：将单位“1”平均分成4份，其中的3份就表示，分数单位是。 的意义是：将单位“1”平均分成8份，其中的6份就表示，分数单位是。 根据分数的基本性质，将与通分，进而比大小来判断即可。 【解答】A．，，所以和大小相等，符合题意； B．的分数单位是，的分数单位是，所以和的分数单位不相同，不符合题意； C．的意义是：将单位“1”平均分成4份，其中的3份就表示，的意义是：将单位“1”平均分成8份，其中的6份就表示，所以和的意义不相同，不符合题意。 故答案为：A 【易错专练5】下面各数中，分数单位最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分母是几，分数单位就是几分之一；再根据同分子分数比较大小的方法：分子相同，分母越大，分数越小，据此解答。 【解答】A．的分数单位是； B．的分数单位是； C．的分数单位是； D．的分数单位是。 因为5＜8＜9＜20，所以＞＞＞，分数单位最大的是。分数单位最大的是。 故答案为：A 易错点2：分数与除法关系混淆。 【易错专练1】乐乐和园园在网上购买电影票时，发现她们所选场次的电影票的出售情况如下图所示。该场次已售票数占总票数的几分之几？最佳观影区内的票数占总票数的几分之几？ 【答案】该场次已售票数占总票数的。最佳观影区内的票数占总票数的。 【分析】由图可知，共有9列，7行，即总票数为：9×7。已售14张，最佳观影区有6列，3行，即最佳观影区总票数为：6×3。求一个数是另一个数的几分之几用除法计算即可。 【解答】 答：该场次已售票数占总票数的，最佳观影区内的票数占总票数的。 【易错专练2】王叔叔的奶茶店今天上午一共卖出48杯奶茶，其中到店自取的有36杯。到店自取的奶茶杯数占总卖出量的几分之几？（用最简分数表示） 【答案】 【分析】用到店自取的奶茶杯数除以总卖出量，再根据分数的基本性质约分即可。 【解答】 答：到店自取的奶茶杯数占总卖出量的。 【易错专练3】乐园小学要举办文艺汇演，准备用蓝、黄、红三种颜色的气球共88个装饰会场，按3个蓝气球、2个黄气球、1个红气球的顺序排。三种颜色的气球各占总数的几分之几？ 【答案】；； 【分析】把3＋2＋1＝6（个）气球作为1组，看88个气球里有几组，用除法计算，88÷6＝14（组）……4（个），说明这些气球里有14组由3个蓝气球、2个黄气球和1个红气球组成的气球，剩下的4个气球中有3个蓝气球和1个黄气球。分别计算出各种颜色气球的数量，再除以总数即可。 【解答】（组）……（个） 蓝气球：（个）   黄气球：（个）   红气球：（个）   答：蓝气球占总数的，黄气球占总数的，红气球占总数的。 【易错专练4】四月份有18天晴天，6天阴天，其余是雨天。雨天的天数占四月份总天数的几分之几？ 【答案】 【分析】四月份的总天数为30天，雨天的天数＝四月份的总天数－晴天天数－阴天天数；求雨天的天数占四月份总天数的几分之几，就是用雨天的天数除以这个月的总天数。 【解答】四月份有30天，雨天：30－18－6＝6（天） 答：雨天的天数占四月份总天数的。 【易错专练5】班级组织活动，一共准备了96个气球，已经吹好8个。已经吹好的气球个数是没吹气球个数的几分之几？ 【答案】 【分析】已知总共准备了96个气球，已经吹好8个，那么没吹的气球个数为：96－8＝88（个）。根据“求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算”，用已吹好的气球个数除以没吹的气球个数，即用8除以88计算即可。 【解答】96－8＝88（个） 8÷88＝ 答：已经吹好的气球个数是没吹气球个数的。 易错点3：没有正确理解假分数的特征。 【易错专练1】分子是8的假分数有（    ）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。题目中分子是8，要使分数为假分数，分母需满足“小于或等于8”，且分母为大于0的整数（分母不能为0）。据此解答。 【解答】根据分析可知，分母可以是1、2、3、4、5、6、7、8，对应的假分数分别为：、、、、、、、，共8个。 【易错专练2】下面分数中，既是真分数又是最简分数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】真分数是分子小于分母的分数；分子、分母只有公因数1的分数叫作最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫作最简分数。 【解答】A．＝，，所以是真分数但不是最简分数，不符合题意； B．，是真分数，且分子和分母是互质数，是最简分数，符合题意； C．＝，，所以不是真分数，也不是最简分数，不符合题意； D．＝1，，不是真分数，也不是最简分数，不符合题意。 故答案为：B 【易错专练3】如果是假分数，是真分数，那么（    ）。（a为整数） A．a＞5 B．a＝6 C．a＝5 D．a的值无法确定 【答案】C 【分析】根据假分数和真分数的定义，分子大于或等于分母的分数叫假分数，分子小于分母的分数叫真分数。根据是假分数，可知a≥5，根据是真分数，可知a＜6，所以可知a＝5。 【解答】根据a≥5且a＜6，可知a＝5。 故答案为：C 【易错专练4】如果是假分数，那么A最大是（ ）；如果是真分数，那么A最小是（ ）。 【答案】7 8 【分析】这道题需根据真分数和假分数的定义确定分母A 的取值范围，再结合“最大”“最小”的要求筛选出具体数值。还需熟记假分数的分子大于或等于分母，真分数的分子小于分母，据此解答。 【解答】根据分析： 1．求是假分数时 A的最大值： 因，所以A的值有1、2、3、4、5、6、7，其中最大的是7，即A最大是7。 2．求是真分数时A的最小值： 因，所以A的值有8、9、10、11、12……其中最小的是8，即A最小是8。 【易错专练5】分数（是自然数），当（ ）时，它是真分数；当（ ）时，它是假分数；当（ ）时，它的值是0。 【答案】小于5 大于等于5 等于0 【分析】真分数是指分子小于分母的分数。对于分数（是自然数），分母是5，因此当a＜5，且a＞0时，它是真分数。假分数是指分子大于或等于分母的分数。对于分数，分母是5，因此当a≥5（且a是自然数）时，它是假分数。分数值为0时，分子必须为0（分母不能为0）。对于分数，因此当a＝0时，它的值是0。 【解答】真分数是分子小于分母的分数；假分数是分子大于或等于分母的分数；分数值为0时，分子必须为0。 当小于5时，它是真分数；当大于等于5时，它是假分数；当等于0时，它的值是0。 易错点4：忽略了分数的基本性质的限制条件。 【易错专练1】把的分子加上6，要使分数值不变，分母应该（ ）。 【答案】乘3或者加上16 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变；据此解答。 【解答】把的分子加上6，分子变成，相当于分子乘，要使分数值不变，分母也要乘3，此时分母是，，因此分母应该乘3或加上16。 【易错专练2】的分母加上12，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）。 【答案】10 【分析】根据分数的基本性质，分母加上12后变为18，即分母扩大到原来的3倍。要使分数大小不变，分子也需扩大到原来的3倍，从而求出需要加上的数。据此解答。 【解答】原分数为，分母加上12后变为：6＋12＝18； 18÷6＝3，此时分母扩大到原来的3倍； 分子也应扩大到原来的3倍，即：5×3＝15； 因此，分子需要加上：15－5＝10。 的分母加上12，要使分数的大小不变，分子应加上10。 【易错专练3】的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该（ ）。 【答案】增加27 【分析】根据分数的基本性质，分数的分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，本题中，要将分子增加6转化成分子乘以几，再确定分母的变化。 【解答】2＋6＝8 8÷2＝4 4×9－9 ＝36－9 ＝27 所以分母应增加27（或乘4）。 【易错专练4】把的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）；的分母乘3，要使分数的大小不变，分子应（ ）。 【答案】18 乘3/加14/加上14 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个相同的数（0除外），分数的大小不变，对于，当分子加上10时，要使分数的大小不变，分母应根据分数的基本性质进行相应的变化；对于，当分母乘3，要使分数的大小不变，分子也应根据分数的基本性质进行相应的变化。 【解答】的分子加上10，分子变为，，即分子变为原分子的3倍，要使分数的大小不变，分母也应乘3，分母变为：，分母应加上；的分母乘3，要使分数的大小不变，分子也应乘3。 因此把的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应加上18；的分母乘3，要使分数的大小不变，分子应乘3。 【易错专练5】把的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘（ ）；把的分子加10，要使分数的大小不变，分母应加（ ）。 【答案】4 16 【分析】根据分数的基本性质，分子、分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，把的分母乘4，要使分数的大小不变，分子也应乘4； 把的分子加10，分子变为5＋10＝15，扩大到原来的15÷5＝3倍，即分子乘3，要使分数的大小不变，分母也应乘3，变为8×3＝24，用扩大后的分母减去原来的分母即为分母应加上的数。 【解答】把的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘4； （5＋10）÷5 ＝15÷5 ＝3 8×3－8 ＝24－8 ＝16 把的分子加10，要使分数的大小不变，分母应加16。 易错点5：最大公因数与约分错误。 【易错专练1】用短除法求最大公因数。 24和60                      42和28 【答案】12；14 【分析】短除法就是用质数依次去除要计算的几个数，直到所得的商互质，再把所有除数相乘，就能得到它们的最大公因数. 【解答】 24和60的最大公因数是2×2×3＝12 42和28的最大公因数是2×7＝14 【易错专练2】求出下面每组数的最大公因数。 18和48          15和21          17和51 【答案】6；3；17 【分析】根据题意，求两个数的最大公因数，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小的数；如果两个数是一般关系，可以利用分解质因数的方法，把两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是最大公因数；据此解答。 【解答】根据分析可知： 18和48 18＝2×3×3 48＝2×2×2×2×3 所以18和48的最大公因数是2×3＝6。 15和21 15＝3×5 21＝3×7 所以15和21的最大公因数是3。 17和51 17是质数，17×3＝51，所以17和51成倍数关系， 17和51的最大公因数是17。 【易错专练3】把下面的分数化成最简分数。          【答案】；； 【分析】把分数化成最简分数，需要找出分子和分母的最大公因数，然后用分子和分母同时除以这个最大公因数，得到分子分母互质的最简分数。 【解答】 【易错专练4】把下面的分数化成最简分数。 ＝        ＝        ＝ 【答案】；； 【分析】根据分数的基本性质，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫作约分，约分方法：找到分子和分母的最大公因数，将分子分母同时除以这个最大公因数，最终得到分子分母只有公因数1的最简分数。 【解答】； ：16和27的公因数只有1，所以就是最简分数； 【易错专练5】把下面各分数约分。                      【答案】；；；；； 【分析】约分的核心是用分子分母的最大公因数同时除分子分母，先找出每个分数分子和分母的最大公因数。那么将分子、分母分别除以这个最大公因数，得到最简分数。 【解答】 易错点6：最小公倍数与通分错误。 【易错专练1】求最大公因数和最小公倍数。 和    和 【答案】最大公因数：6；1；最小公倍数：36；420 【分析】（1）用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。最大公因数等于短除号左边的数相乘，最小公倍数等于所有的除数和最后的商相乘。 （2）用分解质因数的方法，将每个数都写成质数相乘的形式。两个数共同的质因数的乘积就是最大公因数，两个数里出现过的所有质因数的乘积就是最小公倍数。 【解答】（1） 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×3×2×3＝36 （2）分解质因数： 15＝3×5 28＝2×2×7 15和28没有共同的质因数，是互质数，最大公因数是1。 互质数的最小公倍数是它们的乘积，15×28＝420。 【易错专练2】求下面各组数的最小公倍数。 36和18           72和64          12和11 【答案】36；576；132 【分析】求两个数的最小公倍数，如果这两个数是倍数关系，则这两个数的最小公倍数是其中较大的数；如果这两个数互质，则这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积；如果这两个数既不是倍数关系，也不互质，则先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。 【解答】36÷18＝2 36是18的2倍， 所以36和18的最小公倍数是36； 72＝2×2×2×3×3 64＝2×2×2×2×2×2 2×2×2×2×2×2×3×3＝576 所以72和64的最小公倍数是576； 12和11互质； 12×11＝132 所以12和11的最小公倍数是132。 【易错专练3】先通分，再比较大小。 和           和        和 【答案】＝；＝；＜； ＝；＞； ＝；＝；＞ 【分析】先找出两个分数分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此把分数化成以最小公倍数为分母的分数即可；通分后，再对两个分数比较大小，分子大的分数值大，分子小的分数值小。 【解答】＝；＝；＜，所以＜； ＝；＞，所以＞； ＝；＝；＞，所以＞ 【易错专练4】将下面各组分数先通分，再比较大小。 和    和    和 【答案】；； ；； ；； 【分析】通分就是把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，先找两个分数分母的最小公倍数作公分母，再根据分数的基本性质把分子分母同时扩大相同倍数，化成同分母分数后，比较分子大小，分子大的分数就大。 【解答】，，因为，所以； ，，因为，所以； ，因为，所以。 【易错专练5】张大伯家农家乐种植了一些草莓，周末，五（1）班同学到张大伯家农家乐摘草莓。第一组10人摘了8千克，第二组12人摘了10千克，第三组14人摘了12千克。哪一组平均每人摘的草莓最多？ 【答案】第三组 【分析】根据“平均数＝总数量÷总份数”，分别计算出三组平均每人摘草莓的质量。计算结果用分数表示，得到三个异分母分数后，利用通分的方法将它们化成同分母分数，再比较。 【解答】第一组平均每人摘： （千克） 第二组平均每人摘： （千克） 第三组平均每人摘： （千克） 比较、和的大小： 5、6和7的最小公倍数是210。 因为 所以 答：第三组平均每人摘的草莓最多。 易错点7：分数与小数互化不熟练。 【易错专练1】下面（    ）中的两个数相等。 A．0.5和 B．和 C．和0.35 D．0.22和 【答案】C 【分析】将分数转化为小数，比较两者是否相等。分数化小数：用分子除以分母，得到对应的小数值。 【解答】A．＝1÷4＝0.25，因为0.25≠0.5，所以0.5和不相等。 B．＝2÷3≈0.67，＝5÷6≈0.83，因为0.67≠0.83，所以和不相等。 C．＝7÷20＝0.35，0.35＝0.35，所以和0.35相等。 D．＝2÷9＝0.222…，0.22≠0.222…，所以0.22和不相等。 因此，和0.35中的两个数相等。 【易错专练2】在这5个分数中，不能化成有限小数的有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分别用分子除以分母，再观察得数。有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 【解答】6÷15＝0.4 4÷15＝0.266…… 3÷16＝0.1875 34÷85＝0.4 19÷35＝ 不能化成有限小数的有2个。 【易错专练3】在0.36，，，中，最大的数是（ ），最小的数是（ ），（ ）和（ ）相等。 【答案】 0.36 0.36 【分析】将所有分数统一转化为小数形式（分子除以分母），再比较小数的大小。 【解答】＝9÷25＝0.36 ＝7÷16≈0.438 ＝5÷13≈0.385 0.36和0.385的十分位是3，0.438的十分位是4，4＞3，所以0.438最大，即最大。 0.36的百分位是6，0.385的百分位是8，6＜8，所以0.36＜0.385，即0.36（或）最小。 因为＝0.36，所以0.36和相等。 【易错专练4】小明0.8小时走了3千米，小华小时走了3千米，谁的速度快？ 【答案】小华 【分析】速度＝路程÷时间，路程相同，比较时间。时间越短，速度越快，据此解答。 【解答】0.8＝＝ ＝ ＞，小明的速度小于小华的速度，即小华的速度快。 答：小华速度快。 【易错专练5】甲、乙、丙三人跑同一段路，甲用了小时，乙用了小时，丙用了0.8小时。谁的速度最快？ 【答案】甲的速度最快。 【分析】当路程相同时，时间花的越少，说明速度越快。本题可以将两个分数转化成小数（分子÷分母），然后比较三个小数的大小即可。 【解答】（小时） （小时） 答：甲的速度最快。 专题五图形的运动（三） 易错点1：旋转角度计算错误。 【易错专练1】丽丽早上7：30出门去上学，到学校门口刚好是7：45，这期间，钟面上的分针按（ ）时针方向旋转了（ ）°。 【答案】顺 90 【分析】钟面上分针是按照顺时针方向旋转的，分针旋转一周是360°，旋转一周需要60分钟，先求出分针每分钟旋转的度数，7：30到7：45一共是15分钟，用分针每分钟旋转的度数乘经过时间求出分针一共旋转的度数。 【解答】分析可知，分针绕钟面顺时针旋转一周是360°，一共需要60分钟。 360°÷60＝6° 7：45－7：30＝15（分钟） 15×6°＝90° 丽丽早上7：30出门去上学，到学校门口刚好是7：45，这期间，钟面上的分针按顺时针方向旋转了90°。 【易错专练2】如图，如果台秤上的物品减少1kg，那么指针将会沿（ ）方向旋转（ ）°。 【答案】逆时针 90 【分析】从图中可知，台秤上的物品重2kg，如果减少1kg，指针将从2kg指向1kg，据此得出指针的旋转方向和角度。 【解答】如果台秤上的物品减少1kg，那么指针将会沿（逆时针）方向旋转（90）°。 【易错专练3】如图：已知在三角形中，＝90°，°，三角形是由三角形旋转后得到的图形，°，那么，三角形是由三角形绕点（ ）按逆时针方向旋转得到的；旋转了（ ）°。 【答案】A 30 【分析】旋转中心是旋转过程中位置不变的点。观察图形和题意，三角形AB'C'由ABC旋转而来，点A的位置没变化，所以旋转中心就是点A。 旋转角是对应线段与旋转中心形成的夹角，这里看AB旋转到AB'的角度即可。已知∠BAC＝45°，∠CAB'＝15°，用45°－15°＝30°，这个差值就是旋转的度数。 【解答】45°－15°＝30° 所以三角形是由三角形绕点A按逆时针方向旋转得到的；旋转了30°。 【易错专练4】将绕中心点（ ）时针旋转得到。 【答案】逆 【分析】根据图形旋转的方向特征，判断给定图形绕中心点旋转的方向。 通过观察可知，给定图形绕中心点旋转后得到的图形，是按照与钟表指针转动相反的方向旋转了90°，此方向为逆时针方向。 【解答】将绕中心点逆时针旋转得到。 【易错专练5】如图，图③先向（ ）平移（ ）格到O点位置，再绕点O沿（ ）方向旋转（ ）到图①的位置。 【答案】左 4 逆时针 90° 【分析】确定平移方向和距离，观察其中一个对应点的平移情况即可，据此观察图③的平移格数；再根据旋转后图形的位置的要素，一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度，位置不变的点是旋转中心，钟面指针的转动方向是顺时针方向，据此解答。 【解答】如图，图③先向左平移4格到O点位置，再绕点O沿逆时针（或顺时针）方向旋转90°（或270°）到图①的位置。 【易错专练6】 （1）指针从“11”绕点O顺时针旋转（ ）°到“1”。 （2）指针从“6”绕点O逆时针旋转（ ）°到“3”。 【答案】（1）60 （2）90 【分析】钟表表盘是一个周角，周角等于360°，被平均分成12个大格，每个大格的角度为；顺时针是和钟表指针正常转动一致的方向，逆时针则相反。 （1）需确定从“11”顺时针到“1”经过的大格数，再计算对应的旋转角度。 （2）需确定从“6”逆时针到“3”经过的大格数，再计算对应的旋转角度。 【解答】（1）从“11”绕点O顺时针旋转到“1”经过了2个大格数。 所以指针从“11”绕点O顺时针旋转60°到“1”。 （2）从“6”绕点O逆时针旋转到“3”经过了3个大格数。 所以指针从“6”绕点O逆时针旋转90°到“3”。 【易错专练7】 （1）图①是三角形ABC绕点（ ）沿（ ）时针方向旋转（ ）°得到的。 （2）图②是平行四边形ABCD绕点（ ）沿（ ）时针方向旋转（ ）°得到的。 【答案】（1）A 逆 90 （2）D 顺 90 【分析】旋转是指在平面内，将一个图形绕某一点（称为旋转中心）按一定的方向和角度进行转动，得到一个新的图形的变换过程。旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。 【解答】（1）图①是三角形ABC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到的。 （2）图②是平行四边形ABCD绕点D沿顺时针方向旋转90°得到的。 【易错专练8】下图中，指针从“12”绕点O逆时针旋转（ ）度到“8”，指针从“6”绕点O顺时针旋转120°到（ ）。 【答案】120 10 【分析】钟表是一个周角（360°），被12个数字平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度为：360°÷12＝30°。从“12”逆时针到“8”，经过了12－8＝4个大格；每个大格30°，因此总角度为4×30°＝120°。已知每个大格30°，因此120°对应的大格数为120°÷30°＝4个；从“6”开始顺时针移动4个大格，即6＋4＝10，所以指针到达“10”。 【解答】360°÷12＝30° 12－8＝4（个） 4×30°＝120° 所以指针从“12”绕点O逆时针旋转120度到“8”。 120°÷30°＝4（个） 6＋4＝10 所以指针从“6”绕点O顺时针旋转120°到10。 易错点2：对旋转的特性理解不准确，导致作图错误。 【易错专练1】画出三角形绕点A逆时针旋转90°后的图形，并标出对应点。 【答案】见详解 【分析】作旋转一定角度后的图形步骤：（1）根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；（2）分析所作图形，找出构成图形的关键点；（3）找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；（4）作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 【解答】 【易错专练2】（1）画出长方形绕O逆时针旋转90°后的图形。 （2）画出三角形AOB绕O点顺时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。与时针转动方向相同的是顺时针旋转，反之就是逆时针旋转。 【解答】（1）（2）作图如下： 【易错专练3】画出图形A绕点O顺时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】与时钟指针旋转方向一致的是顺时针方向，与时钟指针旋转方向相反的是逆时针方向。旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和旋转角度，所以根据旋转的特征，把图形绕点O按顺时针方向旋转90°，点O保持不变，其余各部分分别绕O点按顺时针方向旋转相同的度数，即可得到旋转后的图形。 【解答】由分析可作图： 【易错专练4】在图中画出绕O点逆时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】根据旋转的特征，图形ABCO绕点O逆时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图形。 【解答】如图： 【易错专练5】画出图A绕O点顺时针旋转90度后的图形。 【答案】见详解 【分析】根据旋转的特征，这个图形绕点O顺时针旋转90°后，点O位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 【解答】 如图： 【易错专练6】画出绕点O按逆时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】 根据旋转的特征，将绕点O逆时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 【解答】画图如下： 【易错专练7】画出图①绕点O逆时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】根据旋转的特征，将图①绕点O逆时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 【解答】如图： 【易错专练8】请画出三角形A绕点O顺时针旋转90°后得到的图形B。 【答案】见详解 【分析】根据旋转的特征，将三角形A绕点O顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形B。 【解答】如图： 易错点3：解决问题时,不能灵活运用平移、轴对称、旋转之间的联系。 【易错专练1】小小设计师。 请你利用图形的对称、平移、旋转的知识在方格纸上设计一幅美丽的图案，并用简洁的语言描述基本图形的运动过程。 【答案】见详解 【分析】首先确定一个简单的基本图形，因为要利用对称、平移、旋转变换，所以基本图形需简洁易操作，比如正方形、圆形或简单的多边形。然后选择一种或多种变换方式：如果选择平移，那么要确定平移的方向和格数；如果选择旋转，那么要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；如果选择对称，那么要确定对称轴的位置。最后按确定的变换规则逐步操作基本图形，组合成完整图案，再用语言依次描述每一步的运动过程。 【解答】以中间竖着的长方形为基本图形，经过180度旋转，再上下平移，就得到了现有图形，而且是以中线为对称轴的对称图形。 画图为： 【易错专练2】请将下面的图形绕点O旋转，设计一幅美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】根据旋转的特征，可以将图形绕点O分别顺时针旋转90°、180°，逆时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出一幅美丽的图案。 【解答】如图： （答案不唯一） 【易错专练3】如图是七巧板，通过平移、旋转或轴对称的方法设计你喜欢的图形。 【答案】见详解 【分析】确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。图形的设计就是指运用以上三种基本的变换图形的方法，或是综合运用其中的两种，对图形进行变换，设计出美丽的图案。 【解答】 （画法不唯一） 【易错专练4】利用旋转设计一幅美丽图案。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】设计方案不唯一。根据旋转的特征，这个图案绕它的正面一个角的顶点旋转，再旋转，再旋转，与原来的图形要组成一个美丽的图形。 【解答】（设计方案不唯一）。 【点睛】此题的解题关键是掌握旋转的特性，发挥空间想象力，创作出美丽的图形。 【易错专练5】按要求画一画。 （1）把下面的三角形绕点O依次旋转变换，制作一幅美丽的图案。 （2）把下面的平行四边形依次向右平移变换，制作一幅美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】图案的设计就是指运用三种基本的变换图形的方法，或是综合运用其中的两种，对图形进行变换，设计出美丽的图案。 【解答】（画法不唯一） 【点睛】决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 【易错专练6】在下面的图形中涂上颜色，设计出你喜欢的图案。 【答案】见详解 【分析】根据自己的喜好进行涂色，设计成自己喜欢的图案，也可根据轴对称的原则设计对称的图案。 【解答】画图如下： （答案不唯一） 【点睛】本题主要考查学生的动手操作能力和审美观念以及轴对称知识。 专题六分数的加法和减法 易错点1：误将分母不同的分数直接相加、减。 【易错专练1】直接写出得数。                               【答案】；；； ；；； 【易错专练2】直接写出得数。                                                                                           【答案】；；0； ；；；1 【易错专练3】直接写得数。                                                               【答案】；；； 1；；； 【易错专练4】直接写出得数。                                                                                           【答案】；；；； 1；；；0；1 【易错专练5】直接写出得数。                                               【答案】；；1 ；；3 【易错专练6】直接写出得数。                                                   【答案】；；1；； ；；； 【易错专练7】直接写出得数。                                            【答案】；；； ；；； 【易错专练8】直接写出得数。（结果用最简分数表示）                           【答案】3；；；； ；；； 易错点2：未遵循分数加减混合运算的运算顺序。 【易错专练1】计算下面各题，能简算的要简算。          【答案】0； 【分析】（1）根据加法交换律与减法的性质，将同分母分数相加，原式化为，再进行计算。 （2）按照运算顺序，从左向右进行计算，也可根据运算性质调整顺序，原式化为：，再进行计算。 【解答】（1）                ＝              ＝1－1                             ＝0                                （2） ＝ ＝ ＝ 【易错专练2】计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】；； 【分析】第一题：先计算括号里的加法，再计算括号外的减法。 第二题：利用带符号搬家简便计算。 第三题：利用减法性质简便计算。 【解答】1－（＋） ＝1－（＋） ＝1－ ＝ ＋－ ＝－＋ ＝＋ ＝＋ ＝ －－ ＝－（＋） ＝－1 ＝ 【易错专练3】用递等式计算，能用简便方法用简便方法。                          【答案】；；0 【分析】，先算减法，再算加法。 ，先算括号内的减法，再算括号外的加法。 ，交换与的位置，注意交换时运算符号也一并交换，再利用减法的性质进行计算。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝1－1 ＝0 【易错专练4】脱式计算。           【答案】；； 【分析】（1）根据减法的性质，先将同分母分数进行合并，再进行计算； （2）运用加法交换律，先将同分母分数进行合并，再进行计算； （3）先通分计算括号里的减法，再计算括号外的减法。 【解答】 【易错专练5】计算下面各题，能简算的要简算。                 【答案】；； 【分析】，根据加法交换律，交换后边两个加数的位置，再从左往右算； ，加法交换律和加法结合律，转化成，同时算出两边小括号里的加法，再算括号外的加法； ，加法交换律和加法结合律，转化成，同时算出两边小括号里的加法，再算括号外的加法。 【解答】 【易错专练6】脱式计算。（能简算的要简算）                【答案】；； 【分析】（1）先交换“”和“”的位置，然后根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把算式变成进行简算； （2）将的括号去掉变成进行简算； （3）给后两项添加括号变成进行简算。 【解答】（1） （2） （3） 【易错专练7】计算下面各题（能简便的用简便方法计算）。                                    【答案】；或              或；或 【分析】（1）根据去括号法则，把算式转化为，再根据带符号搬家，把等式转化为，进行简便运算。 （2）根据加法交换律和加法结合律，把算式转化为，进行简便运算。 （3）根据减法的运算性质，把算式转化为，进行简便运算。 （4）根据加法交换律和加法结合律，把算式转化为，进行简便运算。 【解答】 （或） （或） （或） 【易错专练8】脱式计算。                   【答案】；； ； 【分析】，先算加法，再算减法，异分母分数相加减，先通分再计算； ，从左往右计算； ，先算小括号里的减法，再算中括号里的减法，最后算加法； ，先算小括号里的加法，再从左往右计算。 【解答】 易错点3：解决问题时未找准单位“1”或理解错误。 【易错专练1】五（1）班全班同学进行卫生大扫除，擦门窗的占，擦桌子的占，其余的扫地。扫地的同学占全班同学的几分之几？ 【答案】 【分析】把全班同学人数看作单位“1”，已知擦门窗的同学占全班同学的，擦桌子的同学占全班同学的，其余的扫地。根据减法的意义，用单位“1”依次减去擦门窗和擦桌子所占的分率，即可求出扫地的同学占全班同学的几分之几。 【解答】 答：扫地的同学占全班同学的。 【易错专练2】红旗小学创建了各类兴趣小组，同学们踊跃参加，且每人只能参加一项。参加围棋小组的人数占总人数的，参加绘画小组的人数占总人数的，参加器乐小组的人数比参加围棋小组和绘画小组的人数之和少占总人数的。参加器乐小组的人数占总人数的几分之几？ 【答案】 【分析】把参加兴趣小组的总人数看作单位“1”，参加围棋小组的分率＋参加绘画小组的分率－少占的分率＝参加器乐小组的人数占总人数的分率。 【解答】 答：参加器乐小组的人数占总人数的。 【易错专练3】一条公路需要改建，工程队第一个月改建了全长的，第二个月比第一个月少改建了全长的，一共改建了全长的几分之几？ 【答案】 【分析】把公路全长看作单位“1”，用第一个月改建的分率减去即可得到第二个月改建了全长的几分之几，最后加上第一个月改建的分率即可得到一共改建了全长的几分之几。 【解答】－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝ 答：一共改建了全长的。 【易错专练4】某市规定住宅小区的绿地面积应不少于总面积的。某小区居民楼的面积占小区总面积的，道路面积占小区总面积的，其余区域是绿地。该小区的绿地面积符合规定吗？ 【答案】该小区的绿地面积不符合规定 【分析】将小区总面积看作单位“1”，用单位“1”依次减去居民楼面积占比和道路面积占比，即可得到绿地面积占比；再将此绿地面积与规定的绿地面积比较，判断是否符合规定。据此解答。 【解答】     因为，所以 答：该小区的绿地面积不符合规定。 【易错专练5】环保小组三个同学去公园清理“白色垃圾”。明明清理了千克，比亮亮多清理了千克，芳芳比亮亮多清理了千克，芳芳清理了多少千克“白色垃圾”？ 【答案】千克 【分析】用明明清理的质量减去千克求出亮亮清理的质量，再用亮亮清理的质量加上千克即可求出芳芳清理了多少千克“白色垃圾”。 【解答】－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝ ＝（千克） 答：芳芳清理了千克“白色垃圾”。 【易错专练6】“茶之为饮，发乎神农氏，闻于鲁周公。”中国是茶的故乡，茶文化的发源地。为人敬茶要倒七分满（茶杯的），先倒入茶杯的的水，再放入茶叶（茶叶占茶杯的），等茶叶充分舒展开，再倒水至七分满，第二次需要倒入茶杯的几分之几的水？ 【答案】 【分析】七分满占茶杯的几分之几－先倒入茶杯的几分之几的水－茶叶占茶杯的几分之几＝第二次需要倒入茶杯的几分之几的水。 【解答】－－ ＝－－ ＝－ ＝ ＝ 答：第二次需要倒入茶杯的的水。 【易错专练7】五（1）班分小组采集树种，第一组采集千克，比第二组多采集了千克，第二组比第三组少采集了千克。第三组采集树种多少千克？ 【答案】千克 【分析】用第一组采集的树种的重量－比第二组多采集的重量，即－，求出第二组采集树种的重量；再用第二组采集树种的重量＋第二组比第三组少采集的重量，即－＋，即可解答。 【解答】－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝（千克） 答：第三组采集树种千克。 【易错专练8】说理。 一杯纯牛奶，乐乐第一次喝了杯，之后加满水；第二次喝了杯，再加满水；第三次喝了半杯，又加满水；第四次全部喝完。乐乐喝的水多，还是牛奶多？请你帮乐乐分析一下吧？ 【答案】水多 【分析】因为最开始是一杯纯牛奶，且最后全部喝完，所以乐乐喝的牛奶总量就是1杯。乐乐每次加的水的量就是每次喝掉部分后添加的量，最后全部喝完，所以喝的水的总量就是每次添加水的量之和。第一次加了杯水；第二次加了杯水；第三次加了半杯，即杯水。将这三次加的水量相加计算即可。 【解答】乐乐喝的牛奶总量就是1杯；第三次加了半杯，即杯水。 ＞1 答：乐乐喝的水多。 专题七折线统计图 易错点1：对复式折线统计图的特点不了解,导致判断错误。 【易错专练1】医生为了清楚了解一位发热病人一天的体温变化情况，应选用（    ）统计图表示较合适。 A．单式折线 B．单式条形 C．复式折线 D．复式条形 【答案】A 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少； 折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况； 【解答】根据题意，题目要求清楚了解一位发热病人一天的体温变化情况，重点在于反映数据的变化情况，因此应选用折线统计图。题目中对象为一位发热病人，只涉及一组数据，因此应选用单式统计图。 综合以上分析，应选用单式折线统计图。 A．单式折线统计图，既能反映一组数据，又能反映变化情况，符合题意，此选项正确。 B．单式条形统计图，只能反映数量的多少，不能清楚反映变化情况，此选项错误。 C．复式折线统计图，用于两组及以上数据的趋势比较，本题只有一位病人，此选项错误。 D．复式条形统计图，用于两组及以上数据的数量比较，本题只有一位病人且需反映变化，此选项错误。 【易错专练2】下列信息中，最适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．3月份各种车型销售的辆数 B．各社团参加的学生数 C．足球联赛各队进球数 D．近6个月的每月收入支出变化数 【答案】D 【分析】条形统计图可以清楚地看出数量的多少。 折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 【解答】A．3月份各种车型销售的辆数，最适合用条形统计图表示； B．各社团参加的学生数，最适合用条形统计图表示； C．足球联赛各队进球数，最适合用条形统计图表示； D．近6个月的每月收入支出变化数，最适合用折线统计图表示。 【易错专练3】下列信息资料中，适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．学校各年级的人数。 B．四年级各班红领巾义卖活动的收入。 C．9月份气温变化情况。 D．风度书房的各种图书册数。 【答案】C 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；由此根据情况选择即可。若有两组及以上数据，应用复式统计图。 【解答】A．要表示学校各年级的人数，最好选用条形统计图； B．要表示四年级各班红领巾义卖活动的收入，最好选用条形统计图； C．要表示9月份气温变化情况，最好选用折线统计图； D．要表示风度书房的各种图书册数，最好选用条形统计图。 故答案为：C 【易错专练4】聪聪想用统计图反映自己种植的豌豆苗和豆芽一周内的生长变化情况，比较适合的是（    ）统计图。 A．单式折线 B．单式条形 C．复式折线 D．复式条形 【答案】C 【分析】条形统计图：从图中直观地看出数量的多少，便于比较；折线统计图：不仅能看清数量的多少，还能反映数量的增减变化情况；单式条形统计图用于展示单一数据系列，而复式条形统计图用于同时展示多个数据系列；据此解答即可。 【解答】由分析可知： 聪聪想用统计图反映自己种植的豌豆苗和豆芽一周内的生长变化情况，因为需要反映两个量的增减变化，比较适合的是复式折线统计图。 故答案为：C 【易错专练5】2024年巴黎奥运会开幕在即，需统计各项信息，下面适合用折线统计图表示的是（    ）。 ①参加田赛、径赛、游泳比赛的运动员人数。    ②历届奥运会中国金牌数。 ③短跑运动苏炳添最近10次训练成绩。    ④上一届运动会中国、美国等国金牌数。 A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】B 【分析】折线统计图主要反映数据的变化趋势，条形统计图反映数据的大小，扇形统计图不仅能反映数据的大小，还能反映部分数量与总数量之间的关系。据此逐项分析即可。 【解答】①参加田赛、径赛、游泳比赛的运动员人数用条形统计图； ②历届奥运会中国金牌数用折线统计图； ③短跑运动苏炳添最近10次训练成绩用折线统计图； ④上一届运动会中国、美国等国金牌数用条形统计图。 因此②③适合用折线统计图表示 故答案为：B 易错点2：绘制折线统计图时,遗漏标题,同时横轴单位长度不统一。 【易错专练1】AQI是环境空气质量指数的缩写。其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大。以下是五年级思思同学上网查到的2024年和2025年淮安市1－5月份，每个月空气质量最差一天的AQI数据。 淮安市2024年和2025年1－5月每月空气质量最差一天的AQI数据统计表 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 2024年 275 150 100 175 50 2025年 175 450 475 360 150 请根据以上表格中数据完成折线统计图。 【答案】作图见详解 【分析】虚线表示2024年数据，实线表示2025年数据；根据各数量的多少，在方格图的纵、横的交点上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 【解答】 【易错专练2】旧电池中含有重金属会污染环境，某校环保小组利用周末来收集旧电池，并积极做好保护环境的宣传工作，下面是他们今年1－5月份收集的1号和5号旧电池的数量统计表。 请根据表中数据完成折线统计图。 【答案】见详解 【分析】折线统计图的绘制方法： （1）根据图纸的大小，确定纵轴和横轴每一个单位的长度； （2）根据纵轴、横轴的单位长度，画出纵轴和横轴，并画出方格图； （3）根据各数量的多少，在方格图的纵线或横线（或纵、横的交点）上描出表示数量多少的点； （4）把各点用线段顺次连接起来； （5）写出标题，注明单位，可以写明调查日期或制图日期。复式折线统计图还要画出图例。 【解答】1－5月份收集的1号和5号旧电池的数量统计图。 【点睛】复式折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。复式折线统计图表示2个及以上的量的增减变化情况。 【易错专练3】根据条形统计图完成折线统计图。      【答案】见详解 【分析】根据条形统计图，先描出各点，再依次连接即可，实线表示一厂工业产值，虚线表示二厂工业产值。 【解答】 【点睛】此题考查的目的是理解掌握统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 【易错专练4】下面是某地区7～13岁男、女生平均身高统计图。（单位：厘米） 年龄 7岁 8岁 9岁 10岁 11岁 12岁 13岁 男生 125 132 133 140 145 150 157 女生 123 127 135 141 145 152 156 （1）请根据统计表绘制复式折线统计图。 （2）比较男生与女生平均身高的变化情况，你能得出什么结论？ 【答案】见详解 【分析】（1）实线表示男生数据，虚线表示女生数据；根据各数量的多少，在方格图的纵、横的交点上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 （2）根据折线统计图的变化进行分析，折线往上表示上升趋势，折线往上坡度越陡表示长高越快，据此写出几条结论即可。 【解答】（1）某地区7～13岁男、女生平均身高统计图 （2）在7～13岁之间，男女生身高均呈现均匀上升的趋势，男生在9岁～13岁长高比较快，女生在8岁～13岁长高比较快，且男女生增长的情况相差不大（答案不唯一）。 【易错专练5】某家电商场A、B两种彩电2024年1～6月销售情况统计如下。请你根据表中的数据，完成折线统计图。 【答案】见详解。 【分析】根据统计表中的数据，绘制复式折线统计图。统计图的横轴是月份，纵轴是销售量，实线是A牌，虚线是B牌，根据数量的多少先描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来即可。 【解答】 易错点3：读取具体数据时，对应点找不准。 【易错专练1】如图所示是王教授春节期间开车从长沙回老家巴东过年的过程。下面说法错误的是（    ）。 A．开车4小时后休息了1个小时。 B．长沙到老家巴东相距640km。 C．8时～9时，汽车行驶了255km。 D．9时～10时车的速度最快。 【答案】C 【分析】由折线统计图可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，单位长度表示100千米，折线越陡汽车速度越快，折线越缓汽车速度越慢； A．当折线平行于横轴时，汽车行驶路程不变，此时间段为休息时间； B．15时汽车行驶的路程就是长沙到老家巴东的总路程； C．9时汽车行驶了180千米，8时汽车行驶了75千米，8时～9时，汽车一共行驶了（180－75）千米； D．根据“速度＝路程÷时间”分别求出汽车每小时行驶的路程，最后比较大小，据此解答。 【解答】A．11时－7时＝4（小时） 12时－11时＝1（小时） 所以，7时~11时汽车行驶了4小时，11时~12时休息了1个小时，原说法正确。 B．由折线统计图可知，7时出发，15时到达目的地，一共行驶了640千米，所以长沙到老家巴东相距640km，原说法正确。 C．180－75＝105（km） 所以，8时~9时，汽车行驶了105km，原说法错误。 D．7时~8时：（75－0）÷1＝75÷1＝75（千米/时） 8时~9时：（180－75）÷1＝105÷1＝105（千米/时） 9时~10时：（300－180）÷1＝120÷1＝120（千米/时） 10时~11时：（410－300）÷1＝110÷1＝110（千米/时） 11时~12时：（410－410）÷1＝0÷1＝0（千米/时） 12时~13时：（500－410）÷1＝90÷1＝90（千米/时） 13时~14时：（580－500）÷1＝80÷1＝80（千米/时） 14时~15时：（640－580）÷1＝60÷1＝60（千米/时） 因为120＞110＞105＞90＞80＞75＞60＞0，所以9时~10时汽车的速度最快，原说法正确。 【易错专练2】下图是某商场2024年各月份的利润情况统计图，下面说法不正确的是（    ）。 A．1~4月份的利润一直在减少 B．4~12月份的利润一直在增加 C．4月份的利润最少，是20万元 【答案】B 【分析】观察统计图可知，1~4月份的折线呈下降趋势，说明1~4月份的利润一直在减少；4~10月份的折线呈上升趋势，说明4~10月份的利润一直在增加；10月到11月的利润下降，11月到12月的利润上升，折线的最高点在10月，最低点在4月，说明10月份的利润最高，是50万元，4月份的利润最少，是20万元。 【解答】A．1~4月份的利润一直在减少；原题干说法正确； B．4~10月份的利润一直在增加；原题干说法错误； C．4月份的利润最少，是20万元；原题干说法正确； 故答案为：B 【易错专练3】下图是小明一次生病期间体温情况统计图。 下面表述错误的是（    ）。 A．5月8日6时，小明的体温是三天中最高的。 B．小明每隔6小时量一次体温。 C．5月8日6时到5月9日6时，小明的体温较高。 D．5月10日18时后，小明的体温不会超过37℃。 【答案】D 【分析】根据折线统计图的走势，5月8日6时体温是最高的，5月8日6时到5月9日6时，小明的体温较高。再根据折线统计图横轴上的测量时间可知，小明每隔6小时量一次体温。小明5月10日的体温时而超过37℃，时而低于37℃，那么不能准确推断5月10日18时后小明的体温。 【解答】A．5月8日6时，小明的体温是39.5℃，是三天中最高的。原说法正确； B．小明每隔6小时量一次体温。原说法正确； C．5月8日6时到5月9日6时，小明体温都在38℃以上，体温较高。原说法正确； D．5月10日18时后，不能保证小明的体温不会超过37℃。原说法错误。 故答案为：D 【易错专练4】甲、乙两城市为解决空气污染问题，对城市及周边环境污染进行了综合治理。在治理的过程中，环保部门每月都对两城市的空气质量进行监测，连续10个月的空气污染指数如图所示。其中，空气污染指数≤50时，空气质量为优；50＜空气污染指数≤100时，空气质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染。这10次监测结果显示空气质量为优的次数甲城市比乙城市：（    ）。 A．多 B．少 C．无法确定 【答案】B 【分析】由图可知，实线表示甲城市空气污染指数，虚线表示乙城市空气污染指数，空气污染指数≤50时，空气质量为优；甲城市八月份空气污染指数为50，乙城市八月份、九月份、十月份空气污染指数小于等于50，据此解答。 【解答】分析可知，甲城市八月份空气污染指数为50，空气质量为优；乙城市八月份、九月份、十月份空气质量为优；所以，这10次监测结果显示空气质量为优的次数甲城市比乙城市少。 故答案为：B 【点睛】根据复式折线统计图提供的信息解决有关实际问题是解答题目的关键。 【易错专练5】根据下图，下面选项中的数量关系正确的是（    ）。 A．苏州和上海2025年每月最低气温的情况 B．2025年每月某商场羽绒服和T恤的销售量情况 C．2025年某景区各月的人流量情况 D．小卡和小红两人2025年身高变化情况 【答案】B 【分析】复式折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。复式折线统计图表示2个及以上的量的增减变化情况。从图中可知：统计图中有两条折线，一条用实线表示，另一条用虚线表示。这两条折线在不同的时间段内有上升也有下降，且变化趋势相反，即一条上升时另一条下降，反之亦然。据此逐项分析。 【解答】A．气温的变化通常会有一定的季节性规律，比如夏季气温高，冬季气温低。而且，两个相邻地区的气温变化趋势应该大致相同，不会出现图中两条折线如此交错复杂的变化。该选项不符合题意。 B．羽绒服和T恤的销售量会受到季节的影响。冬季气温低，羽绒服销售量会增加，T恤销售量会减少；夏季气温高，羽绒服销售量会减少，T恤销售量会增加。从图中可以看到，两条折线的变化趋势是相反的，这符合羽绒服和T恤销售量随季节变化的情况。该选项符合题意。 C．景区的人流量虽然会受到季节、节假日等因素的影响，只用一条折线表示即可，通常不会出现图中两条折线频繁交错且波动幅度较大的情况。该选项不符合题意。 D．一般来说，人的身高在一年中不会频繁地上升和下降，而是会随着时间逐渐增长（对于儿童）或保持稳定（对于成人）。该选项不符合题意。 所以选项中的数量关系正确的是2025年每月某商场羽绒服和T恤的销售量情况。 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 【易错专练1】《哪吒2》在电影市场上取得了巨大的成功，其精彩的剧情、独特的人物塑造以及精良的制作都给观众留下了深刻的印象。以下是《哪吒2》在某市上映首周的票房数据。 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 票房（万元） 4000 4800 4500 4200 5000 7000 6500 （1）根据表格中的数据绘制折线统计图，并标注数据。 某市《哪吒2》上映首周票房数据统计图 （2）星期三的票房收入是星期五票房收入的。（填最简分数） （3）如果你是影院经理，这些信息对你有什么帮助？ 【答案】（1）见详解 （2） （3）从票房数据可以看出，星期六和星期日的票房明显高于工作日，可以在星期六和星期日适当增加《哪吒2》的排片场次，以满足观众的观影需求，从而提高票房收入。 【分析】（1）绘制折线统计图，需要根据表格中的数据在横坐标上找到星期一~星期日对应的位置，在纵坐标上找到与票房数据对应的刻度，在坐标图上准确描点，然后用线段依次连接这些点，并标注相应的数据。 （2）根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用星期三的票房收入除以星期五的票房收入，再化简分数，即可解答。（分子与分母只有公因数1的分数是最简分数。） （3）从影院经理的角度分析这些票房数据，可以了解电影在不同日期的受欢迎程度，以便合理安排排片等。 【解答】（1）如图： （2）4500÷5000＝＝ 星期三的票房收入是星期五票房收入的。 （3）从票房数据可以看出，星期六和星期日的票房明显高于工作日，可以在星期六和星期日适当增加《哪吒2》的排片场次，以满足观众的观影需求，从而提高票房收入。（答案不唯一，合理即可） 【易错专练2】下面是护士为一位病人测量体温的统计图。 （1）护士每隔（    ）小时给该病人量一次体温，这位病人的最高体温是（    ）摄氏度。 （2）病人的体温在哪一段时间里下降最快？哪一段时间体温比较稳定？ （3）从体温上观察，这位病人的病情是好转还是恶化？ 【答案】（1）6；39.5； （2）5月8日0时至6时；5月8日18时至5月9日12时；（后一问答案不唯一） （3）好转 【分析】（1）折线统计图中，横轴两格相隔时间即为量体温间隔时间，折线中最高点即为最高体温； （2）体温下降最快的时间是一段时间的折线下降越陡，即两个数差值最大；体温较稳定即折线中起伏不大，数值相差不大。据此可得出答案。 （3）一般体温稳定标志着病人的病情开始稳定，开始好转。 【解答】（1）护士每隔6小时给该病人量一次体温，这位病人的最高体温是39.5摄氏度。 （2）答：病人的体温在5月8日0时至6时，体温下降最快；5月8日18时至5月9日12时病人体温比较稳定。（后一问答案不唯一） （3）答：从病人体温看，5月8日6时开始体温稳定，即这位病人的病情好转。 【易错专练3】如图是2023年3月下旬一旅游公司接待游览四川乐山大佛的人数情况统计图。 （1）游览四川乐山大佛最多的时候人数和最少的时候人数相差（    ）人。 （2）3月下旬的前5天平均每天有（    ）人游览。 （3）你认为4月初游览四川乐山大佛的人会增加还是减少？并说明理由。 【答案】（1）550； （2）394； （3）我认为4月初游览四川乐山大佛的人会减少；理由见详解： 【分析】（1）观察统计图，找出用游览四川乐山大佛最多时候的人数和最少时候的人数，用游览四川乐山大佛最多的时候人数－最少的时候人数即可； （2）先求出3月下旬前5天的游览总人数，再除以5即可； （3）根据3月下旬的后3天的变化趋势作答（合理即可）。例如从29号到31号人数逐渐减少，可以预计4月初是下降趋势。 【解答】（1）（人） 游览四川乐山大佛最多的时候人数和最少的时候人数相差550人。 （2） ＝1970÷5 ＝394（人） 3月下旬的前5天平均每天有394人游览。 （3）我认为4月初游览四川乐山大佛的人会减少。理由：3月下旬的后3天连续呈下降趋势（答案不唯一）。 【易错专练4】学校计划举行跳绳比赛，王老师要从班级里跳绳成绩突出的张宁和李静两人中选一人参赛。下表记录了张宁和李静近5次一分钟跳绳的成绩。 （1）根据表中的数据，完成上面的折线统计图。 （2）第（ ）次两人一分钟跳绳的成绩相差最大。 （3）李静一分钟跳绳的成绩呈（ ）趋势。（填“上升”或“下降”） （4）通过对数据的整理与分析，你认为派（ ）去参加跳绳比赛更合适。理由是___________。 【答案】（1）见详解 （2）5 （3）上升 （4）李静 李静的成绩稳步提高，状态越来越好。 【分析】（1）根据统计表数据，完成折线统计图即可。 （2）将两人五次的成绩相减，再比较。找出最大的，就是哪一次成绩相差最大。 （3）根据表示李静的折线的变化情况。判断是上升还是下降。 （4）结合复式折线统计图中两条折线的变化趋势，得出结论，理由合理即可。 【解答】（1）如图： （2）160－150＝10（次） 168－158＝10（次） 162－161＝1（次） 166－160＝6（次） 170－153＝17（次） 17＞10＞6＞1 第5次两人一分钟跳绳的成绩相差最大。 （3）如图，李静一分钟跳绳的成绩呈上升趋势。 （4）通过对数据的整理与分析，你认为派李静去参加跳绳比赛更合适。理由是李静的成绩稳步提高，状态越来越好。 【易错专练5】观察统计图回答问题。 某市于2021年提出《打赢蓝天保卫战三年行动计划》后，2024年某市空气质量首次全面达标。下面是2020年和2024年该市各月空气质量达到优良情况的统计图。 （1）2024年空气质量达到优良天数最多的是（    ）月，有（    ）天。 （2）对比这两年相应各月空气质量达到优良的天数，2024年比2020年多的有（    ）个月。 （3）对于该市开展打赢蓝天保卫战的行动，你觉得效果如何？如果我们东莞市也开展此行动，你有什么建议？ 【答案】（1）12；30； （2）10； （3）效果良好；对东莞市的建议：可以绿色出行，减少工业废气排放 【分析】（1）实线代表2024年某市空气质量达到优良的情况，根据折线的上下起伏，找出最高点对应的月份即是优良天数最多的月份，并确定具体的天数即可； （2）虚线代表2020年某市空气质量达到优良的情况，实线代表2024年某市空气质量达到优良的情况，对比这两年相应各月空气质量达到优良的天数，找到实线位置比虚线位置高的月份，即是2024年比2020年多的月份； （3）从统计图中可以看出2024年空气质量达到优良的天数整体比2020年多，据此判断效果；对于东莞市的建议：可以从环保角度出发，比如：绿色出行，减少工业废气排放等，答案不唯一。 【解答】（1）根据折线统计图可知：2024年空气质量达到优良天数最多的是12月，有30天。 （2）根据折线统计图可知：2024年比2020年空气质量达到优良的天数多的月份有：1月，2月，4月，5月，6月，7月，8月，9月，10月，12月；一共有10个月。 对比这两年相应各月空气质量达到优良的天数，2024年比2020年多的有10个月。 （3）答：从统计图中可以看出2024年空气质量达到优良的天数整体比2020年多，因此开展打赢蓝天保卫战的行动效果良好；对东莞市的建议：可以绿色出行，减少工业废气排放。 （答案不唯一） 专题八数学广角—找次品 易错点1：没有掌握找次品的思路和方法，从而造成错解。 【易错专练1】有12袋瓜子，其中11袋同样重，有1袋质量轻一些，用天平称，至少称几次能保证找出这袋轻的瓜子？ 【答案】3次 【分析】根据找次品的规律，有1个质量不同，且知道轻重的情况下：2、3个物体是称1次；4~9个是称2次；10~27个是称3次，……据此解答即可。 【解答】把12袋瓜子平均分成3份，每份4袋；第一次，任取2份分别放在天平两边，若天平平衡，则质量较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，则质量较轻的一袋在天平较高一端的4袋中；第二次，将含有质量较轻的4袋平均分成2份，分别放在天平两端，较轻的一袋在天平较高一端的2袋中；第三次，取含有质量较轻的2袋分别放在天平两端，即可找到较轻的一袋瓜子。 答：至少称3次能保证找出这袋轻的瓜子。 【点睛】此题考查了对找次品的规律的灵活运用。 【易错专练2】在9枚一模一样的金币中，有一枚比真金币轻的假金币。如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假金币？请把称的过程写下来。 【答案】2次，过程见详解 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止，据此答题即可。 【解答】第一次把9枚金币平均分成三份，每份3枚，任取其中两份，分别放在天平两端；若天平不平衡，则第二次从天平较高端的3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端，若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币，若天平不平衡，则天平较高端的是假金币；若第一次天平平衡，则第二次从未取的那3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端，若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币，若天平不平衡，则天平较高端的是假金币。所以至少称2次能保证找出这枚假金币。 答：至少称2次能保证找出这枚假金币。 【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 【易错专练3】一箱药品有15盒，其中14盒的质量相同，有一盒的质量不足轻一点，如果用天平称，至少称几次能保证找出那盒质量不足的？ 【答案】3次 【分析】天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两边的质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点把15盒药品分成5盒、5盒、5盒三份，先称其中的两份，若平衡，则次品在剩余的一份中，若不平衡，则次品在天平的较高一端；进而继续将较高端分成2盒、2盒、1盒，利用上面方法继续比较，直至找出质量不足的那一盒药品。 【解答】把15这盒分成5盒，5盒，5盒三份。 第一次：任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻一盒，即在未取的5盒中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，取天平秤较高端的一份继续； 第二次：把在天平秤较高端5盒，任取4盒，平均分成两份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那盒即为质量不足的，若天平秤不平衡，取天平秤较高端的一份继续； 第三次：把天平秤较高端的两盒，分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为质量不足的。 答：至少称3次能保证找出那盒质量不足的。 【点睛】本题主要考查找次品，关键是注意每次取药品的盒数。 【易错专练4】有几瓶糖果，其中1瓶被吃了几颗，其余的质量相等。如果用天平称4次就能保证找到那瓶被吃了几颗的，那么这些糖果最多有几瓶？ 【答案】81瓶 【分析】根据题意，先把这几瓶分成三份，如果瓶子数量是三的倍数的话，则三分瓶子数量相同，如果不是三的倍数，则分成两份相同和一份不同的情况，拿两份相同放到天平上，若两份质量不相同，则那瓶再较轻的一份，若质量相同，则在另外没称的一份。接下来步骤同上。 【解答】所以要看糖果的瓶数是多少瓶，这个数在3n﹣1和3n之间，则需要称的最少次数是n次。所以如果瓶数小于81瓶则可4次称出，如果大于81瓶，则4次不能称出。 答：这些糖果最多有81瓶。 【点睛】当物品的数量在27~81个时，即33＜物品的数量≤34，至少称4次能保证找出次品。 【易错专练5】一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称几次能保证找出这袋橙子来？ 【答案】3次 【分析】根据找次品的方法来找出15袋中质量不足的1袋。 【解答】把15袋橙子分成5袋，5袋，5袋三份， 第一次：任取两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则较轻一袋，即在未称的5袋中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，那么含有质量不足的1袋就在比较轻的那一份里； 第二次：把确定含有质量不足的那一份，再分成3份：2袋，2袋，1袋。取出2袋，2袋的2份分别放在天平两端，若天平平衡，则未取那袋即为质量不足的，若天平不平衡，那么含有质量不足的1袋就在比较轻的那一份里； 第三次：把确定含有质量不足的那两袋分别放在天平两端，哪袋比较轻即为质量不足的那一袋。 答：至少称3次能保证找出这袋橙子来。 【点睛】本题主要考查学生依据天平平衡原理解决问题的能力，注意每次称量时取的袋数。 【易错专练6】有15块外表相同的积木，其中有一块是次品，次品比正品稍轻一点，用天平至少几次才能保证一定找出次品？你是怎样称的？ 【答案】3次；过程见详解 【分析】第一次：把15个零件分成（5、5、5）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平上翘的那一组里有次品； 第二次：把有次品的5个零件分成（2、2、1）三组，先称量（2、2）两组，若天平平衡，则另外的那1个是次品；若天平不平衡，则天平上翘的那一组里有次品； 第三次：把天平上翘的那一组再分为（1、1）两组，则天平上翘的那一端即为次品；据此解答。 【解答】用天平秤，至少3次就一定能找出次品。 【点睛】解答本题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。 【易错专练7】有20颗外形完全相同的珠子，其中有一颗是假的，且比真珠子轻一些。用天平至少称几次能保证把假珠子找出来？（写出简单的过程） 【答案】3次，过程见详解 【分析】可进行三次称量：第一次分成7、7、6三份，用相同数量的两份称量，若平衡则假珠子在6个珠子的一份中，再重复上述两次操作即可找出假珠子；若不平衡则假珠子在高的一端，重复上述操作两次可找出假珠子。据此可得出答案。 【解答】至少需要称3次； 过程： 把20颗外形完全相同的珠子分成（7，7，6）三份， 第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端； 第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端； ②如果假珠子在6个一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端； 第三次：①把3分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，假的那颗在天平上升一端； ②如果假珠子在2个一组里，则把2分成（1，1），把两颗珠子放在天平上称，假的那颗在天平上升一端； 所以用天平至少称3次能保证把假珠子找出来。 【点睛】本题主要考查的是找次品方法的应用，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。 【易错专练8】有11个零件，其中有一个是次品，比正品重，用天平至少称几次就一定能找出这个次品？请写出你称的过程。 【答案】3次，过程见详解 【分析】根据题意，一个次品比正品略重一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。 【解答】要由分析可得： 第一次：在天平左右两端各放4个，如果天平平衡，说明次品在剩下的三个中；如果不平衡，天平较低的一端的零件中有次品； 第二次：如果次品在三个中，天平左右两端各放一共，如果平衡，剩下的一个就是次品，如果不平衡，较低的那端的零件就是次品；如果次品在四个中，天平左右两端各放两个，次品在较低的两个零件中； 第三次：把次品所在的两个零件分别放在天平左右两端，较低的一端的那个零件就是次品。 所以至少称3次就一定能找出这个次品。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量重的零件是次品。 易错点2：题意细节疏忽。 【易错专练1】有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 【答案】这两袋不合格的产品分别是④⑥。 【分析】因为不合格产品轻10克，已知①＋②比③＋④重，说明③和④中有不合格产品，⑤＋⑥与③＋④一样重，说明⑤和⑥中有不合格产品，又因为⑤＋③比⑥＋④重，所以④和⑥是不合格产品。 【解答】由分析可得： 这两袋不合格的产品分别是④号和⑥号。 【易错专练2】外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【答案】88克 【分析】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。 【解答】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5） ＝3×10＋5×8＋2×9 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 答：这20个球的总重量是88克。 【易错专练3】有5袋食盐，其中4袋每袋500克，另有1袋不是500克，但不知道比500克轻还是重。假如用天平称，至少称几次能保证找出质量不是500克的那一袋？用文字或图表示找的过程。 【答案】3次；过程见解答 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。因为不知道次品偏轻还是偏重，所以要先用天平称一次，确定哪个物品不是次品，用这个物品和可能是次品的物品进行比较，进而找出次品。 【解答】把5袋食盐依次标号为①、②、③、④、⑤。用天平称，第一次称，左边放①、②，右边放③、④，天平外是⑤。如果平衡，那么⑤就是次品；如果不平衡，那么次品在①—④中，⑤不是次品。 第二次称，在①—④中任取2袋，例如取①和③，分别放在天平两边称。如果不平衡，那么次品在这2袋中，然后天平一边仍然放①，另一边换成⑤，由于⑤不是次品，所以这时如果天平平衡，那么①不是次品，③是次品；如果天平不平衡，那么①就是次品。 如果天平上①与③平衡，那么次品是②或④，第三次称，此时称一下②和⑤，如果天平平衡，那么④是次品；如果天平不平衡，那么②是次品。 至少称3次能保证找出质量不是500克的那一袋。 【易错专练4】一架天平，有75克、10克的砝码各一个，要把450克的盐分成140克、150克、160克共三份，至少要用天平称几次？如何称？ 【答案】三次，过程见详解 【分析】要使称量的次数少，尽量多用75克的砝码，少用10克的砝码，同时把称出的盐的质量，当作砝码使用；据此解答即可。 【解答】第一次，用75克的砝码称出75克盐； 第二次，用75克的砝码和称出75克盐；直接称出75＋75＝150（克）盐一份； 第三次，再用10克的砝码和称出150克盐，直接称出160克盐一份； 剩下的就是140克不用称了。 答：至少要用天平称三次。 【易错专练5】有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？ 【答案】2次 【分析】本题的目的是弄清楚伪币比真币轻还是重，但在称时我们还是可以使用三分法来分物品，把4枚硬币分为（1，1，2）先称数量相同的两份，再根据情况称剩下的一份（方法不唯一）。 【解答】 把4枚硬币分为（1，1，2），第一次称前两份：若天平平衡，说明这两枚都是真币，把这两枚放在天平一端，剩下一份（有伪币）放在另一端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。 若天平不平衡，说明这两枚中有一枚是假币，剩下的一份为真币，分别放在天平两端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。（方法不唯一） 答：至少用天平称2次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重。 【易错专练6】小丽买来3盒巧克力，其中的一盒为次品（可能比其他两盒轻一些，也可能比其他两盒重一些），小丽说：“我用天平称，至少称一次就能保证找出这盒次品”。小丽说得对不对？ 【答案】不对 【分析】如图示，第一种情况，看图1，天平称红色和绿色的巧克力，天平是平衡的，可以确定没有次品。第二种情况，看图2，红色和绿色一起称，天平向红色这边倾斜，仍然不知道哪个才是次品，第三种情况，看图3，蓝色和绿色一起称，天平向蓝色这边倾斜，结合前面2种情况，绿色比红色和蓝色都要轻，据此判断，绿色巧克力是次品。 图1                     图2                      图3 【解答】根据题意，小丽说的至少称一次就能保证找出这盒次品，因为不确定哪个是次品至少要称2次，才能找到次品，所以小丽说的不对。 答：小丽说的不对。 【易错专练7】仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】将16箱分成（5、5、6），先称（5、5），只考虑最不利的情况，平衡，次品在6箱中；再将6箱分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2箱；再称1次即可确定次品，共3次。 答：最少要称3次。 【点睛】关键是掌握找次品的最优策略。 【易错专练8】红红家有5瓶相同的药，每颗药丸重10克，只有一瓶受到污染的药丸质量发生了变化，但是不知道是变轻了，还是变重了。给你一台无砝码的天平，至少称几次能保证找出这瓶受污染的药？ 【答案】3次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。 【解答】5瓶药分别是1、2、3、4、5； 第一次称：把1、2和3、4分别放在天平两边，有三种情况： ①1、2＝3、4，5是次品； ②1、2＞3、4，5是标准，1、2可能是重次品，或者3、4可能是轻次品； ③1、2＜3、4，5是标准，1、2可能是轻次品，或者3、4可能是重次品； 第二次称：假设是上面第②种情况，1、2＞3、4.把1和2分别放在天平两边，有三种情况： ①1＝2，次品在3、4中，1和2是标准品，且知道3、4是轻次品； 第三次，把1和3称，有两种情况（1）1＞3，3是轻次品，（2）1＝3，4是轻次品； ②1＞2，1是重次品或者2是轻次品，3和4是标准品；第三次，把1和3称，有两种情况：A、1＞3，1是重次品，B、1＝3，2是重次品。 答：至少称3次能保证找出这瓶受污染的药。 【点睛】此题麻烦就在不知道次品是轻还是重，而且天平没有砝码；不但要缩小次品的范围，还要弄清楚次品是轻还是重，所以要分多种情况进行分析。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级下册数学 （八大专题37个易错点） 目录 专题一观察物体（三） 3 易错点1：根据三个视图还原立体图形时，空间想象不足。 3 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 5 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 6 专题二因数和倍数 8 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义,不能正确地进行判断。 8 易错点2：求一个数的因数或倍数时，找不全或找重复。 9 易错点3：2、5、3的倍数特征应用错误。 10 易错点4：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆 11 易错点5：分解质因数时，概念不清或过程错误。 12 专题三长方体和正方体 13 易错点1：概念与棱长关系混淆。 13 易错点2：没有掌握正方体的四类展开图。 14 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 16 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 17 易错点5：误认为任意两个体积或容积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 19 易错点6：单位不统一导致计算错误。 20 易错点7：体积与容积的混淆。 22 专题四分数的意义和性质 24 易错点1：没有理解分数单位的意义。 24 易错点2：分数与除法关系混淆。 25 易错点3：没有正确理解假分数的特征。 26 易错点4：忽略了分数的基本性质的限制条件。 27 易错点5：最大公因数与约分错误。 28 易错点6：最小公倍数与通分错误。 29 易错点7：分数与小数互化不熟练。 30 专题五图形的运动（三） 31 易错点1：旋转角度计算错误。 31 易错点2：对旋转的特性理解不准确，导致作图错误。 33 易错点3：解决问题时,不能灵活运用平移、轴对称、旋转之间的联系。 37 专题六分数的加法和减法 38 易错点1：误将分母不同的分数直接相加、减。 38 易错点2：未遵循分数加减混合运算的运算顺序。 40 易错点3：解决问题时未找准单位“1”或理解错误。 42 专题七折线统计图 44 易错点1：对复式折线统计图的特点不了解,导致判断错误。 44 易错点2：绘制折线统计图时,遗漏标题,同时横轴单位长度不统一。 46 易错点3：读取具体数据时，对应点找不准。 49 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 52 专题八数学广角—找次品 55 易错点1：没有掌握找次品的思路和方法，从而造成错解。 55 易错点2：题意细节疏忽。 57 专题一观察物体（三） 易错点1：根据三个视图还原立体图形时，空间想象不足。 【易错专练1】校园文化节上，一组同学展示了一个由正方体积木搭成的“文化图腾”。如图是从三个不同方向看到的图形，则搭成这个“文化图腾”需要（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．9 【易错专练2】用相同的小正方体摆成一个立体图形，从不同方向观察得到的图形如图所示。从上面观察这个几何体，用数字表示在这个位置上所用的小正方体个数（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】摆一摆，填一填。（填序号） 上面这些几何体中，从前面看是的有（ ），其中从左面看是的有（ ），也满足从上面看是的有（ ）。综合以上所述，可以确定这个几何体是（ ）。 【易错专练4】一个用同样的小正方体搭成的几何体，从前面、左面、上面看到的图形如图所示，搭成这个几何体用了 个小正方体。 【易错专练5】若干个大小相同的小正方体堆在一起，从前面、右面和上面三个方向观察得到如图所示的图形，请问：这些正方体有多少个？ 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 【易错专练1】一个立体图形，从左面看是，上面看是，要搭成这个立体图形，最少需要（    ）个小正方体，最多需要（    ）个小正方体。 A．5；7 B．6；5 C．7；8 D．8；5 【易错专练2】小辰用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形最多要用（    ）个小正方体。 A．6 B．8 C．9 【易错专练3】一个立体图形，从正面看是，从右面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用（ ）个小正方体，最多可用（ ）个小正方体。 【易错专练4】一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭这样一个立体图形，最少要用（ ）个小正方体，最多要用（ ）个小正方体。 【易错专练5】由几个小正方体拼成的一个几何体，从前面看到的图形是，从上面看到的图形是。 （1）拼成这个几何体，至少要用（    ）个小正方体。 （2）拼成这个几何体，最多要用（    ）个小正方体。在方格纸上画出此时从左面看到的图形。 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 【易错专练1】一个几何体，从前面看到的图形是，摆这个几何体最少需要多少个小正方体？如果这个几何体是用6个小正方体摆成的，那么这个几何体一共有多少种不同的摆法（相邻小正方体之间以面相连）？ 【易错专练2】用6个同样的小正方体摆几何体，要使得从前面看和从左面看得到的图形和下面的几何体一样，一共有几种摆法？ 【易错专练3】在如图所示的几何体中，最少再添上几个同样的小正方体，从前面、左面和上面看到的图形就都是？最多呢？ 【易错专练4】刚刚搭建了一个几何体，从正面、上面和左面看到的都是如图所示的形状，他是用几个小正方体搭建的？ 【易错专练5】超市中，售货员将若干个大小相同的正方体纸箱搭成一个货物堆，这个货物堆从正面、左面、上面三个方向看到的都是下图所示的形状。这堆货物可能怎样摆，请画草图表示或文字描述。（至少表示出两种不同的摆法） 专题二因数和倍数 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义,不能正确地进行判断。 【易错专练1】下面各组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．8和18 B．51和17 C．3.2和4 【易错专练2】48÷6＝8，（ ）和（ ）是48的因数，48是（ ）和（ ）的倍数。 【易错专练3】3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。（ ） 【易错专练4】已知x＝3y（x，y都是非0自然数），那么x是y的倍数。（ ） 【易错专练5】因为，所以27是倍数，3和9是因数。（ ） 易错点2：求一个数的因数或倍数时，找不全或找重复。 【易错专练1】48的全部因数共有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【易错专练2】一个数的最大因数和最小倍数都是15，这个数是（    ）。 A．3 B．15 C．25 D．30 【易错专练3】一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 【易错专练4】12的因数有（ ）个，其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）；13的最小倍数是（ ）。 【易错专练5】《西游记》是我国的四大名著之一，主要讲述了唐僧师徒历经九九八十一难去西天取经的故事。81的因数有（ ），81的最小倍数是（ ）。 易错点3：2、5、3的倍数特征应用错误。 【易错专练1】在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【易错专练2】4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是3的倍数，又是5的倍数。请你想一想，翻开的两个页码依次可能是（    ）。 A．32，33 B．34，35 C．62，63 D．74，75 【易错专练3】一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3，这个两位数最大是（ ）。 【易错专练4】寻找最大数与最小数。 （1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是多少？ （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是多少？ 【易错专练5】按要求在括号里填上最小的数字。 （1）28（ ）（2和3的倍数）。 （2）65（ ）（2和5的倍数）。 （3）1（ ）5（3和5的倍数）。 （4）（ ）80（2、3和5的倍数）。 易错点4：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆 【易错专练1】在数0、25、64、70、671、248、165、77、88、9中，偶数的个数是（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【易错专练2】下列各数，既是奇数又是合数的数是（    ）。 A．9 B．12 C．17 【易错专练3】两个质数的乘积不一定是合数，两个奇数的和一定是偶数。（ ） 【易错专练4】从1、2、3、4中任选一个数字，选出的数是质数和合数的可能性相等。（ ） 【易错专练5】在2，5，9，68，17，91这几个数字中，质数有（ ），奇数有（ ），既是偶数又是合数的数有（ ）。 易错点5：分解质因数时，概念不清或过程错误。 【易错专练1】把下面各数分解质因数。 56    75    117 【易错专练2】用短除法把下面各数分解质因数。 56        81 【易错专练3】把下面各数分解质因数。 78    33    58    46 【易错专练4】用短除法把下列各数分解质因数。 98                 35              54 【易错专练5】用短除法分解质因数。 114         87       32 专题三长方体和正方体 易错点1：概念与棱长关系混淆。 【易错专练1】五年级同学计划去敬老院探望老人家，花花准备了一个礼物包装盒，是一个长方体，该长方体长32厘米，宽18厘米，棱长总和是320厘米，它的高是（    ）厘米。 A．110 B．20 C．30 D．40 【易错专练2】张大伯要用木板制作一个封闭的长方体木箱，他已经准备了长6分米、宽4分米和长5分米、宽4分米的长方形木板各2块，他还需要准备（ ）块长（ ）分米、宽（ ）分米的长方形木板。 【易错专练3】用一根96dm长的木条正好可以做一个正方体框架，这个正方体的棱长是（ ）dm；如果用这根木条做一个宽和高都是7dm的长方体框架，那么它的长是（ ）dm。 【易错专练4】同学们准备了下面纸板各若干张围长方体和正方体。 笑笑要围成一个棱长总和为120cm的正方体，可以用（ ）张（ ）号纸板。奇思要围成一个长、宽、高均不同的长方体，可以选择的是（ ）号、（ ）号和（ ）号，每种纸板各（ ）张。 【易错专练5】灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 易错点2：没有掌握正方体的四类展开图。 【易错专练1】正方体的展开图有6个面，下面左图给出了其中的5个面。从右图A、B、C、D中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图，这个面是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【易错专练2】如图，一个正方体的六个面上分别写着：“有志者事竟成”。根据这个正方体不同的摆法，可以判断出“成”字对面的汉字是（    ）。 A．者 B．志 C．事 【易错专练3】有4个正方体，其展开图分别如下图所示。只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时，它才能吃到喜欢的食物。想一想，正方体（ ）中的动物可以吃到它喜欢的食物。（填序号） 【易错专练4】将图甲围成图形乙的正方体，则在面①CDHE；②BCEF；③ABFG；④ADHG中，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面（ ）。（填序号） 【易错专练5】按要求操作。 （1）在上图中添上3个同样大小的正方形，使它成为一个正方体表面的展开图。 （2）分别用相同的图形标出与◇、△、○相对的面。 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 【易错专练1】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5dm、宽4dm、高3dm。做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 【易错专练2】学校要粉刷新教室的四壁和天花板。教室的长是8米，宽是5米，高是3.2米，门窗的面积是14.5平方米。如果每平方米需要花12元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？ 【易错专练3】明明家有一个长方体鱼缸（无盖），长6分米，宽5分米，高4分米。 （1）这个长方体鱼缸的下面和右面的玻璃打碎了，要修好这个鱼缸，至少需要购买多少平方分米相配套的玻璃？ （2）妈妈在修好的鱼缸里注入3分米高的水，此时水与鱼缸接触的面积是多少平方分米？ 【易错专练4】有一个底面是正方形的长方体铁皮油桶。如果把它的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，做这样的一个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【易错专练5】德宏盈江有着“中国犀鸟谷”的美誉。为了给小犀鸟们营造一个舒适的环境，工作人员准备为小犀鸟修建一个长60厘米、宽50厘米、高35厘米的长方体鸟巢。除去犀鸟进出洞口400平方厘米，做这个鸟巢需要多少平方厘米的木板？ 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【易错专练1】把下图的长方体木块切割成两个完全一样的长方体，表面积最多可以增加（      ）平方厘米。 A．200 B．300 C．400 D．600 【易错专练2】把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 （1）原来的长方体木料的宽是（ ）分米，高是（ ）分米。 （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多（ ）平方分米。 【易错专练3】一根长方体木料长12分米，宽和高都是3分米，把它锯成3段（如图），表面积最少增加（ ）平方分米；最多增加（ ）平方分米。 【易错专练4】两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【易错专练5】五月初，杭州各地茶农忙于采摘和售卖茶叶，明明正在打包一个长方体茶叶礼盒（如图），打结处用了15厘米的绸带。 （1）打包这个茶叶礼盒至少需要用多少厘米长的绸带？ （2）如果把这样的两盒一起包装，那么最少需要多少平方分米的包装纸？（先画出示意图，再解答） 我画的图： 我的解答： 易错点5：误认为任意两个体积或容积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【易错专练1】（ ）                0.07（ ） 2200（ ）                9000（ ） 【易错专练2】7.05立方米＝（ ）立方分米    2.13立方分米＝（ ）立方分米（ ）立方厘米 【易错专练3】9000立方厘米＝（ ）立方米   4.07立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米 5.6立方米＝（ ）升        9.08立方分米＝（ ）升＝（ ）毫升 【易错专练4】5600立方厘米＝（ ）立方分米；3.2升＝（ ）毫升；960毫升＝（ ）立方分米；0.38立方米＝（ ）立方分米。 【易错专练5】在下面括号里填上适当的数。 5400立方厘米＝（ ）立方分米          530平方分米＝（ ）平方米 790立方分米＝（ ）立方厘米           1.2立方米＝（ ）立方厘米 易错点6：单位不统一导致计算错误。 【易错专练1】一个长方体鱼缸，从里面量长是50厘米，宽是25厘米，水深12厘米，现将一些鹅卵石放入水中后（水淹没鹅卵石），水深14厘米。这些鹅卵石的体积一共是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【易错专练2】乐乐家有一个长方体的无盖玻璃鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高25厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水面离缸口大约多少分米？ （3）乐乐又往水里放入了一些造景用的装饰物（完全浸没在水中），水面上升了0.2分米，这些造景用装饰物的体积一共是多少立方分米？ 【易错专练3】如下图，A，B是两块不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后，焊接成一个底面是正方形的无盖的长方体铁桶。哪块铁皮焊接成的铁桶装水更多？多多少升？（铁皮的厚度忽略不计） 【易错专练4】一个长方体的容器，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，容器内装满水后，将铁块完全没入水中，水溢出，然后将铁块取出，这时容器中的水面降低了9厘米。铁块的体积是多少立方分米？ 【易错专练5】一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 易错点7：体积与容积的混淆。 【易错专练1】小明家有一个长2.5分米、宽1.5分米、高2分米的长方体鱼缸。小明给鱼缸装满水后就出门了，大概6小时后回到家发现鱼缸底部的密封环坏了，水几乎都漏完了。这个鱼缸平均每小时大约漏多少升水？ 【易错专练2】在长方体玻璃缸中沉入一石块（全部浸没）。沉入前水面高6cm，沉入后水面升高到10cm且溢出125mL水。玻璃缸里面长30cm、宽20cm。这块石块的体积是多少？ 【易错专练3】一个长方体的水池，从里面量，尺寸如下图。水池内固定了一个小长方体铁块。铁块底面是边长10厘米的正方形，高是24厘米。现在往水池里面注水，水管以每分钟4.2立方分米的流量注水，至少需要多长时间能将小长方体淹没？ 【易错专练4】一块长方形铁板，长30厘米，宽25厘米，在它的4个角分别剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图所示），然后做成一个无盖水箱。这个水箱的容积是多少毫升？（铁板厚度忽略不计） 【易错专练5】一块长方形铁皮长50厘米，宽40厘米。现在要从这张铁皮的四角上各剪去一个边长10厘米的正方形，制成一个无盖铁盒。如果焊接处和铁皮厚度忽略不计，这个长方体铁盒的容积是多少升？表面积是多少平方厘米？ 专题四分数的意义和性质 易错点1：没有理解分数单位的意义。 【易错专练1】一根绳子用去，还剩米，用去的和剩下的相比（    ）。 A．用去的长 B．剩下的长 C．无法比较 【易错专练2】的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，再加（ ）个分数单位就是最小的质数。 【易错专练3】的分数单位是（ ），有（ ）个这样的单位，再去掉（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。 【易错专练4】和有什么关系（    ）。 A．大小相等 B．分数单位相同 C．意义相同 【易错专练5】下面各数中，分数单位最大的是（    ）。 A． B． C． D． 易错点2：分数与除法关系混淆。 【易错专练1】乐乐和园园在网上购买电影票时，发现她们所选场次的电影票的出售情况如下图所示。该场次已售票数占总票数的几分之几？最佳观影区内的票数占总票数的几分之几？ 【易错专练2】王叔叔的奶茶店今天上午一共卖出48杯奶茶，其中到店自取的有36杯。到店自取的奶茶杯数占总卖出量的几分之几？（用最简分数表示） 【易错专练3】乐园小学要举办文艺汇演，准备用蓝、黄、红三种颜色的气球共88个装饰会场，按3个蓝气球、2个黄气球、1个红气球的顺序排。三种颜色的气球各占总数的几分之几？ 【易错专练4】四月份有18天晴天，6天阴天，其余是雨天。雨天的天数占四月份总天数的几分之几？ 【易错专练5】班级组织活动，一共准备了96个气球，已经吹好8个。已经吹好的气球个数是没吹气球个数的几分之几？ 易错点3：没有正确理解假分数的特征。 【易错专练1】分子是8的假分数有（    ）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 【易错专练2】下面分数中，既是真分数又是最简分数的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】如果是假分数，是真分数，那么（    ）。（a为整数） A．a＞5 B．a＝6 C．a＝5 D．a的值无法确定 【易错专练4】如果是假分数，那么A最大是（ ）；如果是真分数，那么A最小是（ ）。 【易错专练5】分数（是自然数），当（ ）时，它是真分数；当（ ）时，它是假分数；当（ ）时，它的值是0。 易错点4：忽略了分数的基本性质的限制条件。 【易错专练1】把的分子加上6，要使分数值不变，分母应该（ ）。 【易错专练2】的分母加上12，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）。 【易错专练3】的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该（ ）。 【易错专练4】把的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）；的分母乘3，要使分数的大小不变，分子应（ ）。 【易错专练5】把的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘（ ）；把的分子加10，要使分数的大小不变，分母应加（ ）。 易错点5：最大公因数与约分错误。 【易错专练1】用短除法求最大公因数。 24和60                      42和28 【易错专练2】求出下面每组数的最大公因数。 18和48          15和21          17和51 【易错专练3】把下面的分数化成最简分数。          【易错专练4】把下面的分数化成最简分数。 ＝        ＝        ＝ 【易错专练5】把下面各分数约分。                      易错点6：最小公倍数与通分错误。 【易错专练1】求最大公因数和最小公倍数。 和    和 【易错专练2】求下面各组数的最小公倍数。 36和18           72和64          12和11 【易错专练3】先通分，再比较大小。 和           和        和 【易错专练4】将下面各组分数先通分，再比较大小。 和    和    和 【易错专练5】张大伯家农家乐种植了一些草莓，周末，五（1）班同学到张大伯家农家乐摘草莓。第一组10人摘了8千克，第二组12人摘了10千克，第三组14人摘了12千克。哪一组平均每人摘的草莓最多？ 易错点7：分数与小数互化不熟练。 【易错专练1】下面（    ）中的两个数相等。 A．0.5和 B．和 C．和0.35 D．0.22和 【易错专练2】在这5个分数中，不能化成有限小数的有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【易错专练3】在0.36，，，中，最大的数是（ ），最小的数是（ ），（ ）和（ ）相等。 【易错专练4】小明0.8小时走了3千米，小华小时走了3千米，谁的速度快？ 【易错专练5】甲、乙、丙三人跑同一段路，甲用了小时，乙用了小时，丙用了0.8小时。谁的速度最快？ 专题五图形的运动（三） 易错点1：旋转角度计算错误。 【易错专练1】丽丽早上7：30出门去上学，到学校门口刚好是7：45，这期间，钟面上的分针按（ ）时针方向旋转了（ ）°。 【易错专练2】如图，如果台秤上的物品减少1kg，那么指针将会沿（ ）方向旋转（ ）°。 【易错专练3】如图：已知在三角形中，＝90°，°，三角形是由三角形旋转后得到的图形，°，那么，三角形是由三角形绕点（ ）按逆时针方向旋转得到的；旋转了（ ）°。 【易错专练4】将绕中心点（ ）时针旋转得到。 【易错专练5】如图，图③先向（ ）平移（ ）格到O点位置，再绕点O沿（ ）方向旋转（ ）到图①的位置。 【易错专练6】 （1）指针从“11”绕点O顺时针旋转（ ）°到“1”。 （2）指针从“6”绕点O逆时针旋转（ ）°到“3”。 【易错专练7】 （1）图①是三角形ABC绕点（ ）沿（ ）时针方向旋转（ ）°得到的。 （2）图②是平行四边形ABCD绕点（ ）沿（ ）时针方向旋转（ ）°得到的。 【易错专练8】下图中，指针从“12”绕点O逆时针旋转（ ）度到“8”，指针从“6”绕点O顺时针旋转120°到（ ）。 易错点2：对旋转的特性理解不准确，导致作图错误。 【易错专练1】画出三角形绕点A逆时针旋转90°后的图形，并标出对应点。 【易错专练2】（1）画出长方形绕O逆时针旋转90°后的图形。 （2）画出三角形AOB绕O点顺时针旋转90°后的图形。 【易错专练3】画出图形A绕点O顺时针旋转90°后的图形。 【易错专练4】在图中画出绕O点逆时针旋转90°后的图形。 【易错专练5】画出图A绕O点顺时针旋转90度后的图形。 【易错专练6】画出绕点O按逆时针旋转90°后的图形。 【易错专练7】画出图①绕点O逆时针旋转90°后的图形。 【易错专练8】请画出三角形A绕点O顺时针旋转90°后得到的图形B。 易错点3：解决问题时,不能灵活运用平移、轴对称、旋转之间的联系。 【易错专练1】小小设计师。 请你利用图形的对称、平移、旋转的知识在方格纸上设计一幅美丽的图案，并用简洁的语言描述基本图形的运动过程。 【易错专练2】请将下面的图形绕点O旋转，设计一幅美丽的图案。 【易错专练3】如图是七巧板，通过平移、旋转或轴对称的方法设计你喜欢的图形。 【易错专练4】利用旋转设计一幅美丽图案。 【易错专练5】按要求画一画。 （1）把下面的三角形绕点O依次旋转变换，制作一幅美丽的图案。 （2）把下面的平行四边形依次向右平移变换，制作一幅美丽的图案。 【易错专练6】在下面的图形中涂上颜色，设计出你喜欢的图案。 专题六分数的加法和减法 易错点1：误将分母不同的分数直接相加、减。 【易错专练1】直接写出得数。                               【易错专练2】直接写出得数。                                                                                           【易错专练3】直接写得数。                                                               【易错专练4】直接写出得数。                                                                                           【易错专练5】直接写出得数。                                               【易错专练6】直接写出得数。                                                   【易错专练7】直接写出得数。                                            【易错专练8】直接写出得数。（结果用最简分数表示）                           易错点2：未遵循分数加减混合运算的运算顺序。 【易错专练1】计算下面各题，能简算的要简算。          【易错专练2】计算下面各题，能简算的要简算。                   【易错专练3】用递等式计算，能用简便方法用简便方法。                          【易错专练4】脱式计算。           【易错专练5】计算下面各题，能简算的要简算。                 【易错专练6】脱式计算。（能简算的要简算）                【易错专练7】计算下面各题（能简便的用简便方法计算）。                                    【易错专练8】脱式计算。                   易错点3：解决问题时未找准单位“1”或理解错误。 【易错专练1】五（1）班全班同学进行卫生大扫除，擦门窗的占，擦桌子的占，其余的扫地。扫地的同学占全班同学的几分之几？ 【易错专练2】红旗小学创建了各类兴趣小组，同学们踊跃参加，且每人只能参加一项。参加围棋小组的人数占总人数的，参加绘画小组的人数占总人数的，参加器乐小组的人数比参加围棋小组和绘画小组的人数之和少占总人数的。参加器乐小组的人数占总人数的几分之几？ 【易错专练3】一条公路需要改建，工程队第一个月改建了全长的，第二个月比第一个月少改建了全长的，一共改建了全长的几分之几？ 【易错专练4】某市规定住宅小区的绿地面积应不少于总面积的。某小区居民楼的面积占小区总面积的，道路面积占小区总面积的，其余区域是绿地。该小区的绿地面积符合规定吗？ 【易错专练5】环保小组三个同学去公园清理“白色垃圾”。明明清理了千克，比亮亮多清理了千克，芳芳比亮亮多清理了千克，芳芳清理了多少千克“白色垃圾”？ 【易错专练6】“茶之为饮，发乎神农氏，闻于鲁周公。”中国是茶的故乡，茶文化的发源地。为人敬茶要倒七分满（茶杯的），先倒入茶杯的的水，再放入茶叶（茶叶占茶杯的），等茶叶充分舒展开，再倒水至七分满，第二次需要倒入茶杯的几分之几的水？ 【易错专练7】五（1）班分小组采集树种，第一组采集千克，比第二组多采集了千克，第二组比第三组少采集了千克。第三组采集树种多少千克？ 【易错专练8】说理。 一杯纯牛奶，乐乐第一次喝了杯，之后加满水；第二次喝了杯，再加满水；第三次喝了半杯，又加满水；第四次全部喝完。乐乐喝的水多，还是牛奶多？请你帮乐乐分析一下吧？ 专题七折线统计图 易错点1：对复式折线统计图的特点不了解,导致判断错误。 【易错专练1】医生为了清楚了解一位发热病人一天的体温变化情况，应选用（    ）统计图表示较合适。 A．单式折线 B．单式条形 C．复式折线 D．复式条形 【易错专练2】下列信息中，最适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．3月份各种车型销售的辆数 B．各社团参加的学生数 C．足球联赛各队进球数 D．近6个月的每月收入支出变化数 【易错专练3】下列信息资料中，适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．学校各年级的人数。 B．四年级各班红领巾义卖活动的收入。 C．9月份气温变化情况。 D．风度书房的各种图书册数。 【易错专练4】聪聪想用统计图反映自己种植的豌豆苗和豆芽一周内的生长变化情况，比较适合的是（    ）统计图。 A．单式折线 B．单式条形 C．复式折线 D．复式条形 【易错专练5】2024年巴黎奥运会开幕在即，需统计各项信息，下面适合用折线统计图表示的是（    ）。 ①参加田赛、径赛、游泳比赛的运动员人数。    ②历届奥运会中国金牌数。 ③短跑运动苏炳添最近10次训练成绩。    ④上一届运动会中国、美国等国金牌数。 A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①② 易错点2：绘制折线统计图时,遗漏标题,同时横轴单位长度不统一。 【易错专练1】AQI是环境空气质量指数的缩写。其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大。以下是五年级思思同学上网查到的2024年和2025年淮安市1－5月份，每个月空气质量最差一天的AQI数据。 淮安市2024年和2025年1－5月每月空气质量最差一天的AQI数据统计表 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 2024年 275 150 100 175 50 2025年 175 450 475 360 150 请根据以上表格中数据完成折线统计图。 【易错专练2】旧电池中含有重金属会污染环境，某校环保小组利用周末来收集旧电池，并积极做好保护环境的宣传工作，下面是他们今年1－5月份收集的1号和5号旧电池的数量统计表。 请根据表中数据完成折线统计图。 【易错专练3】根据条形统计图完成折线统计图。      【易错专练4】下面是某地区7～13岁男、女生平均身高统计图。（单位：厘米） 年龄 7岁 8岁 9岁 10岁 11岁 12岁 13岁 男生 125 132 133 140 145 150 157 女生 123 127 135 141 145 152 156 （1）请根据统计表绘制复式折线统计图。 （2）比较男生与女生平均身高的变化情况，你能得出什么结论？ 【易错专练5】某家电商场A、B两种彩电2024年1～6月销售情况统计如下。请你根据表中的数据，完成折线统计图。 易错点3：读取具体数据时，对应点找不准。 【易错专练1】如图所示是王教授春节期间开车从长沙回老家巴东过年的过程。下面说法错误的是（    ）。 A．开车4小时后休息了1个小时。 B．长沙到老家巴东相距640km。 C．8时～9时，汽车行驶了255km。 D．9时～10时车的速度最快。 【易错专练2】下图是某商场2024年各月份的利润情况统计图，下面说法不正确的是（    ）。 A．1~4月份的利润一直在减少 B．4~12月份的利润一直在增加 C．4月份的利润最少，是20万元 【易错专练3】下图是小明一次生病期间体温情况统计图。 下面表述错误的是（    ）。 A．5月8日6时，小明的体温是三天中最高的。 B．小明每隔6小时量一次体温。 C．5月8日6时到5月9日6时，小明的体温较高。 D．5月10日18时后，小明的体温不会超过37℃。 【易错专练4】甲、乙两城市为解决空气污染问题，对城市及周边环境污染进行了综合治理。在治理的过程中，环保部门每月都对两城市的空气质量进行监测，连续10个月的空气污染指数如图所示。其中，空气污染指数≤50时，空气质量为优；50＜空气污染指数≤100时，空气质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染。这10次监测结果显示空气质量为优的次数甲城市比乙城市：（    ）。 A．多 B．少 C．无法确定 【易错专练5】根据下图，下面选项中的数量关系正确的是（    ）。 A．苏州和上海2025年每月最低气温的情况 B．2025年每月某商场羽绒服和T恤的销售量情况 C．2025年某景区各月的人流量情况 D．小卡和小红两人2025年身高变化情况 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 【易错专练1】《哪吒2》在电影市场上取得了巨大的成功，其精彩的剧情、独特的人物塑造以及精良的制作都给观众留下了深刻的印象。以下是《哪吒2》在某市上映首周的票房数据。 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 票房（万元） 4000 4800 4500 4200 5000 7000 6500 （1）根据表格中的数据绘制折线统计图，并标注数据。 某市《哪吒2》上映首周票房数据统计图 （2）星期三的票房收入是星期五票房收入的。（填最简分数） （3）如果你是影院经理，这些信息对你有什么帮助？ 【易错专练2】下面是护士为一位病人测量体温的统计图。 （1）护士每隔（    ）小时给该病人量一次体温，这位病人的最高体温是（    ）摄氏度。 （2）病人的体温在哪一段时间里下降最快？哪一段时间体温比较稳定？ （3）从体温上观察，这位病人的病情是好转还是恶化？ 【易错专练3】如图是2023年3月下旬一旅游公司接待游览四川乐山大佛的人数情况统计图。 （1）游览四川乐山大佛最多的时候人数和最少的时候人数相差（    ）人。 （2）3月下旬的前5天平均每天有（    ）人游览。 （3）你认为4月初游览四川乐山大佛的人会增加还是减少？并说明理由。 【易错专练4】学校计划举行跳绳比赛，王老师要从班级里跳绳成绩突出的张宁和李静两人中选一人参赛。下表记录了张宁和李静近5次一分钟跳绳的成绩。 （1）根据表中的数据，完成上面的折线统计图。 （2）第（ ）次两人一分钟跳绳的成绩相差最大。 （3）李静一分钟跳绳的成绩呈（ ）趋势。（填“上升”或“下降”） （4）通过对数据的整理与分析，你认为派（ ）去参加跳绳比赛更合适。理由是___________。 【易错专练5】观察统计图回答问题。 某市于2021年提出《打赢蓝天保卫战三年行动计划》后，2024年某市空气质量首次全面达标。下面是2020年和2024年该市各月空气质量达到优良情况的统计图。 （1）2024年空气质量达到优良天数最多的是（    ）月，有（    ）天。 （2）对比这两年相应各月空气质量达到优良的天数，2024年比2020年多的有（    ）个月。 （3）对于该市开展打赢蓝天保卫战的行动，你觉得效果如何？如果我们东莞市也开展此行动，你有什么建议？ 专题八数学广角—找次品 易错点1：没有掌握找次品的思路和方法，从而造成错解。 【易错专练1】有12袋瓜子，其中11袋同样重，有1袋质量轻一些，用天平称，至少称几次能保证找出这袋轻的瓜子？ 【易错专练2】在9枚一模一样的金币中，有一枚比真金币轻的假金币。如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假金币？请把称的过程写下来。 【易错专练3】一箱药品有15盒，其中14盒的质量相同，有一盒的质量不足轻一点，如果用天平称，至少称几次能保证找出那盒质量不足的？ 【易错专练4】有几瓶糖果，其中1瓶被吃了几颗，其余的质量相等。如果用天平称4次就能保证找到那瓶被吃了几颗的，那么这些糖果最多有几瓶？ 【易错专练5】一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称几次能保证找出这袋橙子来？ 【易错专练6】有15块外表相同的积木，其中有一块是次品，次品比正品稍轻一点，用天平至少几次才能保证一定找出次品？你是怎样称的？ 【易错专练7】有20颗外形完全相同的珠子，其中有一颗是假的，且比真珠子轻一些。用天平至少称几次能保证把假珠子找出来？（写出简单的过程） 【易错专练8】有11个零件，其中有一个是次品，比正品重，用天平至少称几次就一定能找出这个次品？请写出你称的过程。 易错点2：题意细节疏忽。 【易错专练1】有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 【易错专练2】外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【易错专练3】有5袋食盐，其中4袋每袋500克，另有1袋不是500克，但不知道比500克轻还是重。假如用天平称，至少称几次能保证找出质量不是500克的那一袋？用文字或图表示找的过程。 【易错专练4】一架天平，有75克、10克的砝码各一个，要把450克的盐分成140克、150克、160克共三份，至少要用天平称几次？如何称？ 【易错专练5】有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？ 【易错专练6】小丽买来3盒巧克力，其中的一盒为次品（可能比其他两盒轻一些，也可能比其他两盒重一些），小丽说：“我用天平称，至少称一次就能保证找出这盒次品”。小丽说得对不对？ 【易错专练7】仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？ 【易错专练8】红红家有5瓶相同的药，每颗药丸重10克，只有一瓶受到污染的药丸质量发生了变化，但是不知道是变轻了，还是变重了。给你一台无砝码的天平，至少称几次能保证找出这瓶受污染的药？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $