（易错复习讲义）2025-2026学年四年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破（九大专题41个易错点）（人教版）

2025-2026学年四年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级下册数学 （九大专题41个易错点） 目录 专题一四则运算 3 易错点1：没有正确理解加、减法或乘除法间的关系。 3 易错点2：运算顺序错误。 5 易错点3：括号的作用理解不清。 8 易错点4：解决实际问题时，列综合算式不加括号。 11 易错点5：解决租车、租船问题时注意不一定全部坐满，可以空一部分。 13 专题二观察物体（二） 19 易错点1：观察物体时，没有从观察者的角度进行判断。 19 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 25 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 28 专题三运算律 31 易错点1：运算律的理解混淆。 31 易错点2：运算律的滥用（分配律的误用）。 33 易错点3：乘法分配律应用的完整性缺失。 37 易错点4：运算顺序与简便运算的混淆。 39 易错点5：运用减法的性质或除法的性质时,没有注意运算符号的变化。 44 专题四小数的意义和性质 46 易错点1：小数意义理解不清。 46 易错点2：小数的读写错误。 48 易错点3：小数性质应用错误。 49 易错点4：小数大小比较错误。 51 易错点5：小数点移动引起小数大小变化规律掌握不牢。 53 易错点6：小数与单位换算错误。 55 易错点7：求小数的近似数错误。 56 专题五三角形 58 易错点1：对三角形的高理解错误。 58 易错点2：未能正确理解三角形的三边关系。 61 易错点3：对三角形中角的认识或三角形分类理解错误。 65 易错点4：等腰三角形和等边三角形理解错误。 67 易错点5：三角形内角和或多边形内角和运用错误。 69 易错点6：三角形稳定性理解错误。 72 专题六小数的加法和减法 75 易错点1：计算小数加减法时,相同数位未对齐。 75 易错点2：没有掌握小数减法的计算方法。 77 易错点3：小数加减法的简便运算混淆。 79 易错点4：小数加减法的实际应用偏差。 82 专题七图形的运动（二） 85 易错点1：没有明确对称轴的意义和对称轴的基本特征，错误判断轴对称图形。 85 易错点2：没有掌握平移作图的方法，导致作图错误。 87 易错点3：补全轴对称图形时“距离”数错。 90 易错点4：平移巧算周长或面积易错。 93 专题八平均数与条形统计图 96 易错点1：混淆“平均数”与“个体实际值”。 96 易错点2：总数量与总份数“不对应”。 98 易错点3：逆向求总数时“漏乘份数”。 100 易错点4：复式条形统计图绘制不规范或解决问题时数据对比与分析偏差。 103 专题九数学广角—鸡兔同笼 110 易错点1：假设与求解对象“张冠李戴”。 110 易错点2：差额计算忽略“倒扣”机制（常见于得分问题）。 115 易错点3：机械套用“脚差为2”。 119 专题一四则运算 易错点1：没有正确理解加、减法或乘除法间的关系。 【易错专练1】已知327－☐＝16，这个算式中☐的求法是（    ）。 A．被减数－减数＝差 B．加数＝和－另一个加数 C．减数＝被减数－差 D．和＝加数＋另一个加数 【答案】C 【分析】在减法算式中，327是被减数，☐是减数，16是差，要求☐里的数，就是求减数，根据减数＝被减数-差解答即可。 【解答】☐是算式中的减数，减数的求法：减数＝被减数-差， 故答案为：C 【易错专练2】如果，下列算式中不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 需要根据已知的，利用被减数、减数和差之间的关系来判断每个选项是否正确。减数＝被减数－差；差＋减数＝被减数。据此解答。 【解答】 A．因为，根据被减数－差＝减数，那么，所以选项A正确。 B．由，应该是，而不是，所以选项B错误。 C．因为，那么就等于，所以选项C正确。 D．因为，根据差＋减数＝被减数，，所以选项D正确。 故答案为：B 【易错专练3】若●＋★＝■，△÷☐＝☆（☐≠0），则下面算式正确的是（    ）。 A．■＋●＝★ B．★－■＝● C．☆÷□＝△ D．□×☆＝△ 【答案】D 【分析】根据加法的各部分关系：加数＋加数＝和，一个加数＝和－另一个加数，被除数÷除数＝商，商×除数＝被除数，据此解答。 【解答】因为●＋★＝■，所以■－●＝★，■－★＝●。 因为△÷☐＝☆（☐≠0），所以□×☆＝△。 故正确答案为：D 【易错专练4】丽丽用计算器计算一道乘法算式时，将一个因数24输成了4，要想得到正确结果，丽丽应再（    ）。 A．加20 B．乘6 C．除以6 【答案】B 【分析】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几，积也会随之乘相同的数；据此解答。 【解答】将一个因数24输成了4，即：4×6＝24，即要想得到正确结果，丽丽应再乘6。 故答案为：B 【易错专练5】若86－＝0，则＝（ ）；若÷（12×6）＝1，则＝（ ）。 【答案】86 72 【分析】根据减数＝被减数-差，被除数＝除数×商，据此解答。 【解答】若86－＝0，则＝；若÷（12×6）＝1，则. 易错点2：运算顺序错误。 【易错专练1】用脱式计算下面各题。 （120×15－900）÷30        5×[（604＋188）÷33] 【答案】30；120 【分析】（120×15－900）÷30，先算括号内的乘法，再算括号内的减法，最后算括号外的除法。 5×[（604＋188）÷33]，先算小括号内的加法，再算中括号内的除法，最后算括号外的乘法。 【解答】（120×15－900）÷30 ＝（1800－900）÷30 ＝900÷30 ＝30 5×[（604＋188）÷33] ＝5×[792÷33] ＝5×24 ＝120 【易错专练2】递等式计算。 23＋7×120        （）         【答案】863；160；775 【分析】（1）先计算乘法，再计算加法； （2）先算括号里的减法，再算括号外的除法； （3）同级运算，按顺序计算即可。 【解答】23＋7×120 ＝23＋840 ＝863 640÷（60－56） ＝640÷4 ＝160 217÷7×25 ＝31×25 ＝775 【易错专练3】脱式计算。 642－504÷36＋189              150×[（54＋27）÷9] 【答案】817；1350 【分析】根据混合运算顺序，第一个算式应先算除法，再算减法，最后算加法；第二个算式先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法。 【解答】 【易错专练4】脱式计算。 143－540÷9＋52            （374－11×34）×6            380×[215－（150－135）] 【答案】135；0；76000 【分析】第一个算式先算除法，再算减法，最后算加法。 第二个算式先算小括号里面的乘法，再算小括号里的减法，最后算小括号外面的乘法。 第三个算式先算小括号里的减法，再算中括号里的减法，最后算中括号外的乘法。 【解答】 【易错专练5】脱式计算。 35×（70－400÷25）    （20＋620）÷[（42－2）÷2]    1021－21×（96÷12） 【答案】1890；32；853 【分析】同级运算，从左往右依次计算，既有乘除，又有加减的，先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，既有小括号，又有中括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的。 （1）35×（70－400÷25），先算除法，再算减法，最后算乘法，依此计算即可。 （2）（20＋620）÷[（42－2）÷2]，先算两个小括号里的加法和减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法，依此计算即可。 （3）1021－21×（96÷12），先算除法，再算乘法，最后算减法，依此计算即可。 【解答】（1）35×（70－400÷25） ＝35×（70－16）    ＝35×54 ＝1890 （2）（20＋620）÷[（42－2）÷2]     ＝640÷[40÷2] ＝640÷20 ＝32 （3）1021－21×（96÷12） ＝1021－21×8 ＝1021－168 ＝853 易错点3：括号的作用理解不清。 【易错专练1】下列说法正确的是（    ）。 A．的运算顺序是先乘后除最后减。 B．在没有括号的加减混合运算中，要从左往右依次计算。 C．在一道有括号的算式里，应先算中括号里的，再算小括号里的。 【答案】B 【分析】在没有括号的算式中，先乘除后加减，同级运算从左到右；有括号时，先算小括号里的，再算中括号里的。的运算顺序：根据运算规则，应先算除法，再算乘法，最后算减法。因此，顺序是先除后乘最后减，不是先乘后除最后减。在没有括号的加减混合运算中，加法和减法是同级运算，应从左往右依次计算。例如，计算，先算，再算。在一道有括号的算式里，应先算小括号里的，再算中括号里的。以此选择即可。 【解答】根据分析可知： A．的运算顺序是先乘后除最后减。错误。 B．在没有括号的加减混合运算中，要从左往右依次计算。正确。 C．在一道有括号的算式里，应先算中括号里的，再算小括号里的。错误。 故答案为：B 【易错专练2】四年级同学参加植树活动，男生有64人，女生有56人，平均分成8组，每组有多少人？列式正确的是（    ）。 A．（64＋56）÷8 B．64＋56÷8 C．64÷8＋56 【答案】A 【分析】根据题目信息，先利用加法计算男生和女生总人数，根据总人数÷组数＝每组人数，利用除法计算得出答案。 【解答】计算总人数列式为：； 计算每组人数列式为：； 故答案为：A 【易错专练3】要使560÷56－20＋16的结果是28，下面括号添加正确的算式是（    ）。 A．560÷（56－20）＋16 B．560÷[56－（20＋16）] C．560÷（56－20＋16） D．560÷56－（20＋16） 【答案】B 【分析】根据运算顺序规则，分别计算各选项添加括号后的结果，与目标结果28比较，选出正确选项即可。 【解答】选项A： 该选项结果不等于28，所以A错误； 选项B： 结果等于28，所以B正确； 选项C： 结果不等于28，所以C错误； 选项D： 结果不等于28，所以D错误。 故答案为：B 【易错专练4】下列算式中，小括号去掉后，运算顺序仍不改变的是（    ）。 A．6×[（32－4）×5] B．（63×7）＋（12÷3） C．（180－60）÷20 D．（375×0＋10）×25 【答案】B 【分析】有括号的先算括号里的，没有括号时，先算乘除后算加减。 【解答】A.先算小括里的减，再算中括里的乘，最后算括号外的乘，去小括号后，先算中括号中的乘，后算中括号中减，最后算括号外，去小括号后运算顺序改变； B.先算小括号里的乘和除，再算加，去小括号后，还是先算乘和除，再算加，去小括号后运算顺序不改变； C.先算小括号里的减，再算括号外的除，去小括号后，先算除，后算减，去小括号后运算顺序改变； D.先算小括里乘，再算小括里的加，最后算括号外的乘，去小括号后，先算乘，最后算加，去小括号后运算顺序改变。 故答案为：B 【易错专练5】计算，运算顺序是（    ）。 A．乘减加 B．减加乘 C．减→乘→加 D．乘加减 【答案】C 【分析】根据带有中括号的四则运算顺序：一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 【解答】在式子420＋[（315－205）×4]中，根据四则混合运算的运算顺序，先算小括号里是减法，再算中括号里的乘法，最后再算加法。 所以运算顺序是：减→乘→加。 故答案为：C 易错点4：解决实际问题时，列综合算式不加括号。 【易错专练1】书店购进480本儿童绘本，前6天卖出120本。剩下的绘本如果每天比之前多卖出4本，还能卖多少天？ 【答案】15天 【分析】已知：书店购进480本儿童绘本，前6天卖出120本，先用480本减去120本计算出剩下的绘本数量；再用120本除以6天计算出前6天每天卖出多少本，又知：剩下的绘本每天比之前多卖出4本，则现在每天卖：（120÷6＋4）本，用剩下绘本的本数÷现在每天卖的本数＝还能卖的天数，据此列式。 【解答】（480－120）÷（120÷6＋4） ＝360÷（20＋4） ＝360÷24 ＝15（天） 答：还能卖15天。 【易错专练2】小明寒假看书，原计划每天看12页，25天看完；实际每天比原计划多看3页，实际多少天看完了全书？ 【答案】20天 【分析】用原计划每天看的页数×计划看的天数，即12×25，求出这本书的总页数；再用原计划每天看的页数＋3，求出实际每天看的页数，再用这本书的总页数÷实际每天看的页数，即可求出实际看的天数。 【解答】12×25÷（12＋3） ＝12×25÷15 ＝300÷15 ＝20（天） 答：实际20天看完了全书。 【易错专练3】某超市开展酸奶促销活动，一种酸奶“每满5瓶送1瓶”。这种酸奶每瓶售价4.98元/瓶，李叔叔想购买12瓶，实际需要花多少钱？ 【答案】49.8元 【分析】把买的5瓶与送的1瓶看作1组，先计算出12瓶需要买几组，然后用每组应付钱的瓶数乘组数，计算出一共应付钱的瓶数，最后根据总价＝单价×数量，计算出李叔叔需要花多少钱。 【解答】应付瓶数：5×[12÷（5＋1）] ＝5×[12÷6] ＝5×2 ＝10（瓶） 总价格：4.98×10＝49.8（元） 答：实际需要花49.8元。 【易错专练4】航模组有男生8人，女生6人，美术组的人数是航模组的2倍。合唱组有84人，合唱组的人数是美术组的几倍？（列综合算式解答） 【答案】3倍 【分析】先把航模组的男生人数和女生人数加起来，再乘2，即可算出美术组的人数，再用合唱组的人数除以美术组的人数，即可算出合唱组的人数是美术组的几倍。计算时，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。据此解答。 【解答】84÷[（8＋6）×2] ＝84÷[14×2] ＝84÷28 ＝3 答：合唱组的人数是美术组的3倍。 【易错专练5】兄妹家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。兄妹俩同时出发，哥哥到学校后立即返回接妹妹。哥哥接到妹妹时，妹妹离家有多少米？ 【答案】800米 【分析】由题知，哥哥与妹妹相遇时，他们所走的路程相当于从家到学校距离的2倍，也就是1400×2＝2800（米），两人同时出发，根据相遇时间＝路程÷速度和，可以求出两人相遇的时间，再根据路程＝速度×时间，用妹妹每分钟行的速度乘相遇时间，就是妹妹离家的距离。 【解答】1400×2÷（200＋80） ＝1400×2÷280 ＝2800÷280 ＝10（分钟） 80×10＝800（米） 答：哥哥接到妹妹时，妹妹离家有800米。 【点睛】往返相遇问题的路程和＝两地距离×2。 易错点5：解决租车、租船问题时注意不一定全部坐满，可以空一部分。 【易错专练1】有32名同学去公园乘船，每条小船限坐4人，每条大船限坐6人。 （1）怎样租船才能一次运到，且没有空座位？在下面表格中写出3种方案。 方案1 方案2 方案3 小船（条） 大船（条） （2）如果租小船每条80元，租大船每条100元，怎样租船最省钱，需要多少元？ 【答案】（1） 方案1 方案2 方案3 小船（条） 8 5 2 大船（条） 0 2 4 （2） 租2条小船和4条大船最省钱，需要560元。 【分析】根据租船才能一次运到，且没有空座位，结合同学总人数和小船和大船的限坐人数，可先假设都坐小船，利用除法判断商是否为整数，再依次减少小船条数，计算大船条数，判断出3种方案；租金＝小船单价×小船数量＋大船单价×大船数量，比较三个方案的价格，判断怎样租船最省钱，据此解答。 【解答】（1）全租小船时：（条），则方案1为租8条小船，租0条大船； 租7条小船时：（人），（人），4人租1条大船有空座位，则不符合题意； 租6条小船时：（人），（人），（条）（人），剩余2人租1条大船有空座位，则不符合题意； 租5条小船时：（人），（人），（条），则方案2为租5条小船，租2条大船； 租4条小船时：（人），（人），（条）（人），剩余4人租1条大船有空座位，则不符合题意； 租3条小船时：（人），（人），（条）（人），剩余2人租1条大船有空座位，则不符合题意； 租2条小船时：（人），（人），（条），则方案3为租2条小船，租4条大船；   方案1 方案2 方案3 小船（条）      8 5 2 大船（条）      0 2 4 （2）方案1租金：（元） 方案2租金： （元） 方案3租金： （元） 答：租2条小船和4条大船最省钱，需要560元。 【易错专练2】国庆节期间，四年级50名同学去野营。大帐篷每顶住5人，租金100元；小帐篷每顶住4人，租金96元。怎样租帐篷最省钱？ 【答案】租10顶大帐篷最省钱 【分析】先比较两种帐篷的人均租金，确定优先租用大帐篷，再计算全租大帐篷的数量，确定最省钱方案。 【解答】（元） （元） ，应尽量多租大帐篷。 （顶） 答：租10顶大帐篷最省钱。 【点睛】通过比较两种帐篷的人均租金，确定租哪种帐篷更划算。 【易错专练3】10月中旬，张老师组织25名学生租车前往殷墟博物馆参观。 （1）如果每辆车都坐满，可以怎样租车？ （2）如果租一辆小轿车40元，租一辆面包车50元，哪种租车方案最省钱？ 【答案】（1）见详解；（2）租2辆小轿车和3辆面包车最省钱 【分析】（1）一一列举可能出现的情况，张老师组织25名学生租车共有26人，那么小车限乘人数×小车辆数＋面包车限乘人数×面包车辆数＝26，应注意要使每辆车坐满。 （2）由（1）中可知哪些情况正好坐满，先分别算出每种方案需要的钱数，用每辆轿车租车价钱×小车辆数＋每辆面包车租车价钱×面包车辆数＝总价，再进行比较哪种租车方案最省钱。 【解答】（1）一一列举如图表： 从表中可知：方案一：可以租2辆小轿车和3辆面包车；方案二：可以租5辆小轿车和1辆面包车，每辆车都能坐满。 （2）2×40＋3×50 ＝80＋150 ＝230（元） 5×40＋1×50 ＝200＋50 ＝250（元） 230＜250 答：租2辆小轿车和3辆面包车最省钱。 【易错专练4】游泳馆有A、B两类卡，A类卡：150元，限使用6次；B类卡：180元，限使用8次。即将要上五年级的华华在暑假期间准备去游泳馆游泳30次。 （1）怎样购卡最合算？需花费多少元？ （2）爸爸、妈妈想各陪华华游7次，这时他们全家怎样购卡最合算？ 【答案】（1）购买3张B类卡和1张A类卡最合并，需花费690元。 （2）这时他们全家购买2张A类卡和4张B类卡最合算。 【分析】（1）根据题意，已知A类卡：150元，限使用6次；B类卡：180元，限使用8次。首先，用除法计算，比较两类卡的单次使用成本；优先使用单次成本更低的B类卡；华华需要30次，用30除以8，求出商就是B类卡的张数，如果有余数，合理安排A类卡，最后根据价格，计算出总花费即可。 （2）爸爸、妈妈想各陪华华游7次，先计算出全家进入总次数；用总人数除以8，求出B类卡的张数，如果有余数，合理安排A类卡，分别制定方案，最后根据卡的价格，计算出总费用，比较各个方案的总费用，选择费用最低的即可。 【解答】根据分析可知： （1）A类卡：150÷6＝25（元） B类卡：180÷8＝22（元）……4（元） B类卡更便宜 30÷8＝3（张）……6（次） 6÷6＝1（张） 3×180＋1×150 ＝540＋150 ＝690（元） 答：购买3张B类卡和1张A 类卡最合并，需花费690元。 （2）30＋7×2 ＝30＋14 ＝44（次） 44÷8＝5（张）……4（次） 5×180＋1×150 ＝900＋150 ＝1050（元） （4＋8）÷6 ＝12÷6 ＝2（张） （5－1）×180＋2×150 ＝4×180＋300 ＝720＋300 ＝1020（元） 1020＜1050 答：这时他们全家购买2张A类卡和4张B类卡最合算。 【易错专练5】AI实验室需将112个智能垃圾分类机器人从研发区运输至测试区，有两种专用运输车可选： A型运输车：每次运8个机器人，运输费96元/次。 B型运输车：每次运12个机器人，运输费132元/次。 如何安排运输最省钱？运输费最少多少元？ 【答案】安排8次B型运输车和2次A型运输车；1248元 【分析】要确定最省钱的运输方案，需先对比两种车型的单位运输成本（即运输1个机器人的费用），即用运输费除以运的机器人个数；优先选择成本更低的车型；再通过 “满载优先、少留余数” 的原则调整运输次数。 【解答】96÷8＝12（元/个） 132÷12＝11（元/个） 所以B型车单位成本更低，应优先安排B型车运输，剩余机器人用A型车补充。 112÷12＝9（次）……4（个） 9×132＋1×96 ＝1188＋96 ＝1284（元） 若安排9次B型车，剩余4个机器人，需1次A型车（但A型车每次能运8个，仅运4个会浪费运力，运费仍需96 元），此时总运费为1284元； 减少1次B型车（即8次B型车）： 9－1＝8（次） 8×12＝96（个） 112－96＝16（个） 16÷8＝2（次） 16个机器人恰好能装满2次A型车，无浪费运力； 8×132＋2×96 ＝1056＋192 ＝1248（元） 若全用A型车： 112÷8＝14（次） 14×96＝1344（元） 若全用B型车： 112÷12≈10（次） 10×132＝1320（元） 1344＞1320＞1284＞1248 答：最省钱的方案是安排8次B型运输车和2次A型运输车，运输费最少为1248元。 专题二观察物体（二） 易错点1：观察物体时，没有从观察者的角度进行判断。 【易错专练1】如下图，从上面观察这个物体，看到的形状是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据题意，仔细观察图形，从上面看，可以看到三层，上面一层1个小正方形靠右对齐，中间一层3个小正方形，下面一层1个小正方形靠左对齐，以此选择正确的答案即可。 【解答】根据分析可知： 从上面观察物体，看到的形状是。 故答案为：B 【易错专练2】下面的立体图形中，从上面看到的形状不相同的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】分别分析三个立体图形从上面看到的形状： A．从上面看，共4个正方形，前排3个、后排右边1个； B．从上面看，共4个正方形，前排右边1个、后排3个； C．从上面看，共4个正方形，前排3个、后排右边1个。据此解答。 【解答】A．从上面看，是； B．从上面看，是； C．从上面看，是。 综上，选项A和选项C从上面看到的形状相同，选项B从上面看到的形状不相同。 故答案为：B 【易错专练3】观察如图所示的物体，从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】从左面观察所给几何体，看到两行小正方形，上面1个，下面2个，左对齐。 【解答】由分析可知，从左面看到的图形是。 故答案为：A 【易错专练4】下列物体中，从前面和左面看形状分别相同的是（    ）。 A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】画出每个物体的前面和左面看到的形状后可解答。 【解答】 前面和左面看到形状分别相同的是：①②③ 故答案为：C 【易错专练5】分别用5个小正方体搭成如图的三个立体图形，从（    ）看这三个立体图形，看到的形状是完全相同的。 A．正面 B．左面 C．上面 D．右面 【答案】A 【分析】分别分析从正面、左面、上面、右面观察三个立体图形的形状，找出形状完全相同的观察方向。 【解答】 A．从正面看，三个立体图形均为下层3个正方形，上层1个正方形靠左边，即：，形状完全相同，符合题意。 B．从左面看，第一个和第二个立体图形是下层2个正方形，上层1个正方形靠左边，即。第三个立体图形是下层2个正方形，上层1个正方形靠右边，即。形状不同，不符合题意。 C．从上面看，第一个立体图形是上面一层3个正方形，下面一层1个正方形靠右边，即。第二个立体图形是上面一层3个正方形，下面一层1个正方形靠中间，即。第三个立体图形是上面一层3个正方形，下面一层1个正方形靠左边，即。形状不同，不符合题意。 D．从右面看，第一个和第二个立体图形是下层2个正方形，上层1个正方形靠右边，即。第三个立体图形是下层2个正方形，上层1个正方形靠左边，即。形状不同，不符合题意。 故答案为：A 【易错专练6】先仔细观察物体，再将序号填入适当的括号内。 （1）从前面看到的形状是图A的有（ ），形状是图B的有（ ）。 （2）从左面看到的形状是图A的有（ ），形状是图B的有（ ）。 （3）从上面看到的形状是图C的有（ ）；从前面和左面看到的形状都是图B的是（ ）。 【答案】（1）①④ ②③ （2）①③ ②④ （3）②③ ② 【分析】画出每个形体的三视图，再按要求选择即可。 【解答】 （1）从前面看到的形状是图A的有①④，形状是图B的有②③。 （2）从左面看到的形状是图A的有①③，形状是图B的有②④。 （3）从上面看到的形状是图C的有②③；从前面和左面看到的形状都是图B的是②。 【易错专练7】用同样大小的正方体搭出了下面的不同物体，观察并填一填。（填序号） （1）从前面看到的形状是的物体有（ ）。 （2）从左面看到的形状是的物体有（ ）；从上面看到的形状是的物体有（ ）。 （3）从前面看到的形状是的物体有（ ）；从左面看到的形状是的物体有（ ）。 （4）从上面看，看到6个正方形的物体有（ ），看到5个正方形的物体有（ ）。 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】根据从不同方向观察物体的形状特征，逐一分析每个问题。 【解答】从前面看：从上面看：从左面看： 从前面看：从上面看： 从左面看： 从前面看：  从上面看：从左面看： 从前面看：从上面看：从左面看： 从前面看：从上面看：从左面看： 从前面看：从上面看：从左面看： 从前面看：从上面看：从左面看： 从前面看：从上面看：从左面看： （1）从前面看到的形状是的物体有①⑧； （2）从左面看到的形状是的物体有⑤⑧；从上面看到的形状是的物体有③⑤⑧； （3）从前面看到的形状是的物体有② ④ ⑥ ⑦；从左面看到的形状是的物体② ③ ⑥ ⑦； （4）从上面看，看到6个正方形的物体有③⑤⑧，看到5个正方形的物体有① ② ④ ⑥ ⑦。 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 【易错专练1】一个立体图形，从上面看到的形状是，从前面看到的形状是，搭这个立体图形最少需要（ ）个小正方体。 【答案】6 【分析】读题可知，从上面看，能够看到两行小正方形，从前面看，能够看到两层小正方形，两者结合可知，这个物体从左到右，第一列有一层，在第二行，有1个小正方体；第二列有两层，在第二行，有2个小正方体；第三列有两层，不确定是第一行有2个小正方体还是第二行有2个小正方体，但这一列至少有3个小正方体。据此解答。 【解答】由分析可知，第一列有一层，在第二行，有1个小正方体；第二列有两层，在第二行，有2个小正方体；如果第三列第一行有2个小正方体，第二行有1个小正方体，则有1＋2＋2＋1＝6（个）小正方体；如果第三列第一行有2个小正方体，第二行有2个小正方体，则有1＋2＋2＋2＝7（个）小正方体；如果第三列第一行有1个小正方体，第二行有2个小正方体，则有1＋2＋1＋2＝6（个）小正方体。 综上可知，一个立体图形，从上面看到的形状是，从前面看到的形状是，搭这个立体图形最少需要6个小正方体。 【易错专练2】用同样大小的正方体摆成立体图形，从前面看是，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形要用（ ）个小正方体。 【答案】6 【分析】根据题意，用同样大小的正方体摆成立体图形，从前面看是，从上面看是，从左面看是，以为基准面，在每个小正方形中填入小正方体的个数：，然后相加得总数：1＋1＋1＋1＋2＝6（个）。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 1＋1＋1＋1＋2＝6（个） 用同样大小的正方体摆成立体图形，从前面看是，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形要用6个小正方体。 【易错专练3】金金用同样大的小正方体搭了一个几何体，从前面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是，要搭成这个几何体至少需要（ ）个小正方体（至少有一个面与其它小正方体贴合）。 【答案】5 【分析】 由上面看到的图形可知最下面一层有4个小正方体，再通过右面看到的图形最少在这4个小正方体中的1个上面叠放一个小正方体，但还要从前面看到的图形是，所以这个叠放的小正方体只能放在最下层左面一列2个小正方体上方的任意一个即可。 【解答】由分析可知至少需要4＋1＝5（个）； 即金金用同样大的小正方体搭了一个几何体，从前面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是，要搭成这个几何体至少需要5个小正方体。 【易错专练4】一个由小正方体组成的立体图形，从前面看是，从上面看是，从左面看是。这个立体图形至少有（ ）个。 【答案】6 【分析】根据从前面、上面、右面看到的形状可知，这些小正方体分前、后两排，前排下层2个小正方体，中层1个，上层1个，靠左对齐；后排2个小正方体靠右，据此解答。 【解答】根据解析可知，搭成这个立体图形至少需要6个小正方体。 【易错专练5】一个物体从上面看是，从右面看是，搭这样的一个物体至少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个小正方体。 【答案】6 7 【分析】 根据题意，从上面看是，结合右面看是，那么这个物体有上下两层，下层有5个小正方形，上层至少有1个小正方形，最多有2个，据此解答即可。 【解答】最少： 5＋1＝6（个） 最多： 5＋2＝7（个） 所以搭这样的一个物体至少需要6个小正方体，最多需要7个小正方体。 【易错专练6】一个模型由若干个小正方体搭成，已知从左面和前面看到的图形（分别如下所示），请你思考搭建这个模型至少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个小正方体（每个小正方体面与面相接）。 【答案】5 7 【分析】 根据观察物体的方法，结合从前面看到的图形可知，有2层，底层至少有3个小正方体，上层至少有1个小正方体，如图：再这个组合体的后面最多添加2个小正方体，从左面和前面看到的图形不变。。 【解答】在面面相连的情况下，至少需要5个小正方体，最多需要7个小正方体。 【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，是培养学生的观察能力。 【易错专练7】一个由相同的小正方体组成的立体图形，从任何一面看到的图形都是，那么这个立体图形最多由（ ）个小正方体组成。 【答案】8 【分析】 根据从任何一面看到的图形都是，用三视图法画出俯视图， ，再标出层数，可能的情况有、或，最多有8个立方体，如图：。 【解答】 一个由相同的小正方体组成的立体图形，从任何一面看到的图形都是，那么这个立体图形最多由8个小正方体组成。 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 【易错专练1】小明用一些小正方体搭建立体图形，从前面看到的形状是，从上面看到的形状是。搭这个图形最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？ 【答案】最少需要5个；最多需要6个 【分析】根据从前面和上面看到的形状，这个立体图形有2层2行，上层至少有1个，最多有2个；下层有4个，据此得出这个立体图形最少和最多需要小正方体的个数。 【解答】如图所示： 答：搭这个图形最少需要5个小正方体，最多需要6个小正方体。 【易错专练2】用4个同样大的正方体按要求摆一摆。 （1）从上面看是，有几种不同的摆法？ （2）从前面看是，请摆出四种。 【答案】（1）3种 （2）见详解 【分析】（1）根据题意可知，从上面看是横着的三个小正方形，要用4个同样大的正方体摆，则可以摆两层，下层一定是横着摆三个正方体，上层分别在最左边、中间和最右边都可以摆一个小正方体，据此解答即可。 （2）从前面看是横着的两个小正方体，要用4个同样大的正方体摆，则必须摆一层且最多两个小正方体横着摆在一起，据此画出符合的摆法即可。 【解答】 （1）如图： 答：有3种不同的摆法。 （2）如图：（答案不唯一） 【易错专练3】如下图所示，保持从上面看到的图形不变的情况下： （1）如果有5个小正方体，可以怎样摆？ （2）如果有6个小正方体，可以有几种不同的摆法？ （3）最多可以摆几个小正方体？ 【答案】（1）四种 （2）图见详解 （3）无数个 【分析】（1）根据从上面、正面和侧面看到的图形可知，底层有4个小正方体。如果是5个小正方体，要使从上面看到的图形不变，可以从第二层上任意放一个； （2）如果有6个小正方体，要使从上面看到的图形不变，可以从第二层上任意放两个； （3）要使从上面看到的图形不变，可以在底层的4个小正方体的上方加小正方体，可以加无数个。 【解答】（1）如果是5个小正方体，有四种摆法； （2）有10种摆法： （3）最多可以摆无数个小正方体。 【易错专练4】如下图所示，要使从上面看到的图形不变： （1）如果是5个小正方体，可以怎样摆？ （2）如果有6个小正方体，可以有几种不同的摆法？ 【答案】（1）如果是5个小正方体，可以在已知摆出的4个小正方体中的任意一个小正方体的上面再摆上1个小正方体。 （2）有10种不同的摆法。 【分析】第（1）小题只要不改变原图形的行数和列数，在原有小正方体的上层任意摆放一个小正方体都可以。 第（2）小题多出的两个小正方体可以同时加在原来的某一个小立方体的上层（有4种不同的摆法），也可以分开摆放在原来的不同的两个小正方体的上层，有6种不同的搭法，加起来一共是10种不同的摆法。 【解答】由分析可知： （1）如果是5个小正方体，可以在已知摆出的4个小正方体中的任意一个小正方体的上面再摆上1个小正方体。 （2）中可以有10种摆法。 【点睛】本题主要考查从不同方向观察立方体，此题中需要充分考虑多种情况，以免遗漏。 专题三运算律 易错点1：运算律的理解混淆。 【易错专练1】75＋（28＋25）＝（75＋25）＋28只运用了加法结合律。（ ） 【答案】× 【分析】加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 【解答】75＋（28＋25）＝（75＋25）＋28中28和25交换了位置，属于加法交换律，然后75和25结合在一起计算这一步用了加法结合律。 故答案为：× 【易错专练2】38＋133＋57＝38＋（133＋57）运用了乘法结合律。（ ） 【答案】× 【分析】题目中的算式是加法运算，而乘法结合律适用于乘法。加法结合律的表达式为，题目中的算式先将后两个加数相加，属于加法结合律的应用，而非乘法结合律。 【解答】原题算式为：，根据加法结合律的定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。因此，题目中运用的是加法结合律，而非乘法结合律。结论错误。 故答案为：× 【易错专练3】计算（125＋25）×8＝125×8＋25×8运用了乘法结合律。（ ） 【答案】× 【分析】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者是先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个加数，然后把乘得的积相加，用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 通过观察，算式（125＋25）×8＝125×8＋25×8中的两个数字分别与括号外的8相乘，然后求和，因此运用了乘法分配律。 【解答】（125＋25）×8 ＝125×8＋25×8 ＝1000＋200 ＝1200 计算（125＋25）×8＝125×8＋25×8运用了乘法分配律，所以原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】下面的算式中，（    ）运用的不是加法交换律。 A．32＋14＝14＋32 B．42＋81＋58＝42＋58＋81 C．64＋25＝24＋65 【答案】C 【分析】加法交换律：在两个数的加法运算中，交换两个加数的位置，和不变。根据定义判断。 【解答】A. 32与14交换了位置，所以运用了加法交换律。 B.   81与58交换了位置，所以运用了加法交换律。 C. 64与25交换位置应该是，等号右边是，所以运用的不是加法交换律。 故答案为：C 【易错专练5】53×25＋49×25＝（53＋49）×25运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．加法结合律 【答案】A 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加； 乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变； 乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变； 加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 【解答】53×25＋49×25＝（53＋49）×25符合乘法分配律。 故答案为：A 易错点2：运算律的滥用（分配律的误用）。 【易错专练1】怎样简便怎样计算。 102×56              186×14＋14×14 25×43×2×4         483÷[（68－45）×3] 【答案】5712；2800 8600；7 【分析】计算102×56，将102拆分为100＋2，利用乘法分配律变式为100×56＋2×56进行简便计算； 计算186×14＋14×14，利用乘法分配律变式为14×（186＋14）简便计算； 计算25×43×2×4，利用乘法交换律和结合律，变式为（25×4）×（2×43）进行简便计算； 计算483÷[（68−45）×3]，根据四则运算顺序，先算小括号的减法，再算中括号乘法，最后算括号外的除法进行计算。 【解答】102×56 ＝（100＋2）×56 ＝100×56＋2×56 ＝5600＋112 ＝5712 186×14＋14×14 ＝14×（186＋14） ＝14×200 ＝2800 25×43×2×4 ＝（25×4）×（2×43） ＝100×86 ＝8600 483÷[（68－45）×3] ＝483÷[23×3] ＝483÷69 ＝7 【易错专练2】脱式计算，能简算的要简算。 864÷[（27－23）×12]        4×296×25        21＋399×21 【答案】18；29600；8400 【分析】第一题，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 第二题，利用乘法交换律，将式子变为4×25×296，先算4×25的乘积，再用结果乘296，即可进行简算。 第三题，将单独的21变为21×1，利用乘法分配律，提取21，先算括号里的加法1＋399的和，再用21乘其结果，即可进行简算。 【解答】864÷[（27－23）×12] ＝864÷[4×12] ＝864÷48 ＝18 4×296×25 ＝4×25×296 ＝100×296 ＝29600 21＋399×21 ＝21×1＋399×21 ＝21×（1＋399） ＝21×400 ＝8400 【易错专练3】用你喜欢的方法计算。 810÷54    548×19＋548    4000÷8÷125 【答案】15；10960；4 【分析】（1）先将54拆分为9×6，再根据除法的性质a÷（b×c）＝a÷b÷c把810÷（9×6）变成810÷9÷6进行简算。 （2）548×19＋548，运用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式变成548×（19＋1）进行简算。 （3）4000÷8÷125，运用除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）把算式变成4000÷（8×125）进行简算。 【解答】（1）810÷54 ＝810÷（9×6） ＝810÷9÷6 ＝90÷6 ＝15 （2）548×19＋548 ＝548×（19＋1） ＝548×20 ＝10960 （3）4000÷8÷125 ＝4000÷（8×125） ＝4000÷1000 ＝4 【易错专练4】用简便方法计算下面各题。 21×32＋58×68＋32×37             12×21＋23×12＋52×11 【答案】5800；1100 【分析】利用乘法交换律，将原式转化为，再利用乘法分配律，将原式转化为，再继续使用乘法分配律进行简算； 利用乘法分配律，将原式转化为，再将44拆成，再利用乘法分配律进行简便计算。 【解答】 【易错专练5】怎样算简便就怎样算。 25＋66＋34            560÷[（72－58）×5] 6000÷8÷125            16×92＋8×16 【答案】125；8；6；1600 【分析】25＋66＋34运用加法结合律，先算66与34的和，再与25相加； 560÷[（72－58）×5]先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的除法； 6000÷8÷125运用除法的性质，先把后两个除数8与125相乘，再算6000除以它们的积； 16×92＋8×16运用乘法分配律，先算92与8的和，再把它们的和与16相乘。据此计算。 【解答】25＋66＋34 ＝25＋（66＋34） ＝25＋100 ＝125 560÷[（72－58）×5] ＝560÷[14×5] ＝560÷70 ＝8 6000÷8÷125 ＝6000÷（8×125） ＝6000÷1000 ＝6 16×92＋8×16 ＝16×（92＋8） ＝16×100 ＝1600 易错点3：乘法分配律应用的完整性缺失。 【易错专练1】小马虎在计算（5＋△）×6时把括号漏掉了，这样计算的结果和正确结果相比，（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．相等 【答案】B 【分析】计算（5＋△）×6时漏掉了括号，算式变为5＋△×6。把原来的算式利用乘法分配律去掉括号，再与漏掉括号的式子比较即可解答。 【解答】（5＋△）×6 ＝5×6＋△×6 ＝30＋△×6 因为5＜30，则5＋△×6＜30＋△×6。 所以这样计算的结果和正确结果相比变小了。 【易错专练2】以下不符合25×44的简便算法是（    ）。 A．25×（40×4） B．25×（40＋4） C．25×（4×11） 【答案】A 【分析】根据题意，利用乘法分配律或结合律，将44拆分为40＋4或4×11，以便与25相乘得到整百数。需逐一分析各选项是否合理。 【解答】根据分析可知： A．25×（40×4）＝25×160＝4000，与原式结果不符，拆分方式错误，不属于简便算法。 B．25×44＝25×（40＋4）＝25×40＋25×4＝1000＋100＝1100，符合25×44的简便算法。 C．25×44＝25×（4×11）＝（25×4）×11＝100×11＝1100，符合25×44的简便算法。 故答案为：A 【易错专练3】小乐在计算（20＋□）×5时，错算成20＋□×5，结果比正确答案少（    ）。 A．20 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【分析】正确计算（20＋□）×5时，先根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c改写成20×5＋□×5，与错算成20＋□×5相比，都有□×5，只是20×5与20不相同，所以只需求出20×5与20的差值即可。 【解答】（20＋□）×5＝20×5＋□×5 20×5＋□×5与20＋□×5相比，相差： 20×5－20 ＝100－20 ＝80 小乐在计算（20＋□）×5时，错算成20＋□×5，结果比正确答案少80。 故答案为：B 【易错专练4】用简便方法计算。 （25×145）×40       205×37－37×5       102×48 【答案】145000；7400；4896 【分析】计算（25×145）×40，根据乘法交换律a×b＝b×a和乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），变式为25×40×145进行简算； 计算205×37－37×5，根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变式为（205－5）×37进行简算； 计算102×48，把102拆分成100＋2，变式为（100＋2）×48，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变式为100×48＋2×48进行简算。 【解答】（25×145）×40 ＝25×40×145 ＝1000×145 ＝145000 205×37－37×5 ＝（205－5）×37 ＝200×37 ＝7400 102×48 ＝（100＋2）×48 ＝100×48＋2×48 ＝4800＋96 ＝4896 【易错专练5】计算。 55×66＋66×77＋77×88＋88×99 【答案】24200 【分析】通过观察式子中各项的特点，发现每一项都有公因数，利用乘法分配律进行简便计算。乘法分配律为（a×c＋b×c＝（a＋b）×c，我们可以逐步提取公因数来简化计算。 【解答】55×66＋66×77＋77×88＋88×99 ＝11×5×11×6＋11×6×11×7＋11×7×11×8＋11×8×11×9 ＝11×11×（5×6＋6×7＋7×8＋8×9） ＝121×（30＋42＋56＋72） ＝121×200 ＝24200 【点睛】这道题的关键是通过观察各项数字的公因数，提取公因数来简化计算。在计算过程中，还涉及到对数字的分解变形，将数字转化为含有相同因数的形式，以便进一步利用乘法分配律进行简便运算。 易错点4：运算顺序与简便运算的混淆。 【易错专练1】计算下面各题。 789－12－188＋11         531÷[（82－79）×3] 39×98＋39×2                  25×77×4 【答案】600；59； 3900；7700 【分析】（1）根据加法交换律、加法结合律和减法的性质，式子可写成：（789＋11）－（12＋188），然后计算即可； （2）先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法； （3）根据乘法分配律，式子可写成：39×（98＋2），然后计算即可； （4）根据乘法交换律，先算25×4，再乘77即可。 【解答】789－12－188＋11 ＝（789＋11）－（12＋188） ＝800－200 ＝600 531÷[（82－79）×3] ＝531÷[3×3] ＝531÷9 ＝59 39×98＋39×2 ＝39×（98＋2） ＝39×100 ＝3900 25×77×4 ＝25×4×77 ＝100×77 ＝7700 【易错专练2】用你喜欢的方法计算。 320÷（8×8）        125×14×8        2300÷25 【答案】5；14000；92 【分析】320÷（8×8），利用除法的性质去掉括号，将式子变为320÷8÷8，按顺序计算即可简算。 125×14×8，利用乘法交换律可得：125×8×14，按顺序计算即可简算。 2300÷25，根据商不变的规律，被除数和除数同时乘4，商不变，进行简算。 【解答】320÷（8×8） ＝320÷8÷8 ＝40÷8 ＝5 125×14×8 ＝125×8×14 ＝1000×14 ＝14000 2300÷25 ＝（2300×4）÷（25×4） ＝9200÷100 ＝92 【易错专练3】脱式计算。（能简算的要简算） 900－150÷6×20    125×64－56×125    25×17×4 【答案】400；1000；1700 【分析】第一题，按照四则运算顺序，先算乘除，后算减法；乘除运算中，从左到右依次计算。 第二题，利用乘法分配律的逆运算a×c－b×c＝（a－b）×c进行简便计算。 第三题，观察到25和4相乘能得到整百数，利用乘法交换律a×b×c＝a×c×b进行简便计算。 【解答】900－150÷6×20 ＝900－25×20 ＝900－500 ＝400 125×64－56×125 ＝125×（64－56） ＝125×8 ＝1000 25×17×4 ＝25×4×17 ＝100×17 ＝1700 【易错专练4】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 42×2－84÷7        237＋1253＋63－253 87×99＋87          186÷[（160＋200）÷60] 【答案】72；1300； 8700；31 【分析】42×2－84÷7，先算乘法和除法，再算减法； 237＋1253＋63－253，利用加法交换律a＋b＝b＋a和结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），变算式为：（237＋63）＋（1253－253）进行简算； 87×99＋87，先把87变成87×1，即87×99＋87×1，再利用乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c），变算式为：（99＋1）×87进行简算； 186÷［（160＋200）÷60］，先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外面的除法。 【解答】42×2－84÷7 ＝84－12 ＝72 237＋1253＋63－253 ＝（237＋63）＋（1253－253） ＝300＋1000 ＝1300 87×99＋87 ＝87×99＋87×1 ＝（99＋1）×87 ＝100×87 ＝8700 186÷［（160＋200）÷60］ ＝186÷［360÷60］ ＝186÷6 ＝31 【易错专练5】脱式计算，能简算的要简算。 265×105－265×5     360÷[15×（101－93）]        125×56 99×19＋19            523－32－68                  240÷15÷4 【答案】26500；3；7000； 1900；432；4 【分析】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：265×（105－5），再进行计算。 （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法。 （3）根据乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：125×8×7，再进行计算。 （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：（99＋1）×19，再进行计算。   （5）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：532－（32＋68），再进行计算。   （6）根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），变算式为：240÷（15×4），再进行计算。 【解答】265×105－265×5     ＝265×（105－5） ＝265×100 ＝26500     360÷[15×（101－93）]   ＝360÷[15×8]       ＝360÷120 ＝3      125×56 ＝125×8×7 ＝1000×7 ＝7000   99×19＋19 ＝（99＋1）×19 ＝100×19 ＝1900                     523－32－68 ＝532－（32＋68） ＝532－100 ＝432                              240÷15÷4 ＝240÷（15×4） ＝240÷60 ＝4 易错点5：运用减法的性质或除法的性质时,没有注意运算符号的变化。 【易错专练1】当☆＝（ ）时（填“82”、“153”、“48”），算式就可以转换成进行简便运算，最后计算结果是（ ）。 【答案】82 353 【分析】根据减法的运算性质a－b－c＝a－（b＋c），把算式转换成进行简便运算，说明218＋☆和是整百数，使653减整百数更方便计算。据此选择，并计算即可。 【解答】218＋82＝300，整百数，653－300＝353； 218＋153＝371，不是整百数； 218＋48＝266，不是整百数； 当☆＝（82）时（填“82”、“153”、“48”），算式就可以转换成进行简便运算，最后计算结果是（353）。 【易错专练2】用计算器算“680÷40”时，发现数字键“4”坏了，如果还用这个计算器，你会怎么样计算？请写出算式（ ）。 【答案】680÷5÷8 【分析】把40分成5×8，再利用除法的性质，一个数连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，算式为680÷5÷8，据此解答即可。 【解答】680÷40 ＝680÷（5×8） ＝680÷5÷8 用计算器算“680÷40”时，发现数字键“4”坏了，如果还用这个计算器，我会把40分成5和8，用680除以5再除以8，算式为680÷5÷8。（答案不唯一） 【易错专练3】某商场举办促销活动，冰箱每台优惠660元，标价满5000元的再减340元。王阿姨想买一台标价5598元的冰箱只需付多少钱？ 【答案】4598元 【分析】原价满5000元可以优惠340元，先减去660元就是优惠价，再减去340元，就是王阿姨要付的钱数。列式为5598－660－340，再根据减法的性质简算：a－b－c＝a－（b＋c）。 【解答】5598－660－340 ＝5598－（660＋340） ＝5598－1000 ＝4598（元） 答：王阿姨想买一台标价5598元的冰箱只需付4598元。 【易错专练4】端午节与春节、清明节、中秋节并称为中国汉族的四大传统节日。自古以来端午节便有划龙舟及食粽等节日活动。自2008年起，端午节被列为国家法定节假日。端午节，食品厂为敬老院的爷爷奶奶特制了3600个粽子，每20个装一袋，每3袋装一盒，一共装了多少盒？ 【答案】60盒 【分析】根据题意，已知食品厂为敬老院的爷爷奶奶特制了3600个粽子，每20个装一袋，每3袋装一盒，用3600除以20，先算除一共装多少袋；再除以3，就是一共装多少盒；计算时根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），进行简便计算即可。 【解答】根据分析可知： 3600÷20÷3 ＝3600÷（20×3） ＝3600÷60 ＝60（盒） 答：一共装了60盒。 【易错专练5】为了支援灾区人民，省红十字协会决定往灾区运送18000袋大米，这些大米需要25辆同样的卡车分4次才能全部运完。一辆卡车一次可以运送多少袋大米？ 【答案】180袋 【分析】由题意得，省红十字协会决定往灾区运送18000袋大米，这些大米需要25辆同样的卡车分4次才能全部运完，可以先用18000除以25算出每辆卡车一共需要运多少袋大米，然后再除以4即可算出一辆卡车一次可以运送多少袋大米。计算时，利用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）可使计算简便。 【解答】18000÷25÷4 ＝18000÷（25×4） ＝18000÷100 ＝180（袋） 答：一辆卡车一次可以运送180袋大米。 专题四小数的意义和性质 易错点1：小数意义理解不清。 【易错专练1】把整数“1”平均分成1000份，表示这样46份的数是（    ）。 A．4.6 B．0.46 C．0.046 D．46 【答案】C 【分析】小数的意义：把一个整体平均分成10份、100份、1000份……，这样的一份或几份可以用分母是10、100、1000……的分数来表示，也可以用小数来表示。 【解答】把整数“1”平均分成1000份，每份是0.001，表示这样46份的数是0.046。 【易错专练2】公元3世纪，中国数学家刘徽用“丈、尺、寸”等单位表示小数。比如“3丈1尺4寸”可以表示“3.14”这个小数，“10丈1寸”就是小数（    ）。 A．10.1 B．10.01 C．10.10 D．10.001 【答案】B 【分析】分析题目，根据小数的意义可知：几丈表示几个一，几尺表示几个0.1，几寸表示几个0.01，“10丈1寸”表示10个1和1个0.01，据此写出这个小数即可。 【解答】“10丈1寸”表示10个1和1个0.01，即10.01。 公元3世纪，中国数学家刘徽用“丈、尺、寸”等单位表示小数。比如“3丈1尺4寸”可以表示“3.14”这个小数，“10丈1寸”就是小数10.01。 故答案为：B 【易错专练3】在学校“节约用水”宣传周，小明记录了家里一周的用水量。周一用了2.5吨，周二用了2.05吨。“2.5”中的“5”表示5个（ ），“2.05”中的“5”表示5个（ ）。 【答案】十分之一/0.1 百分之一/0.01 【分析】“2.5”中的“5”在十分位上，十分位的计数单位是十分之一（0.1）。“2.05”中的“5”在百分位上，百分位的计数单位是百分之一（0.01）。 【解答】“2.5”中的“5”表示5个十分之一或0.1，“2.05”中的“5”表示5个百分之一或0.01。 【易错专练4】一个小数，小数点右边第一位上是6，左边第一位上是8，左边第二位上是4。这个数是（ ），它里面有（ ）个0.1。 【答案】48.6 486 【分析】小数分为整数部分和小数部分，小数点右边第一个数位是十分位，十分位上是几就表示几个十分之一；小数点左边第一个数位是个位，个位上是几就表示几个一；小数点左边第二个数位是十位，十位上是几就表示几个十，据此解答。 【解答】因此，一个小数，小数点右边第一位上是6，左边第一位上是8，左边第二位上是4。这个数是48.6，它里面有486个0.1。 【易错专练5】6.503中的“6”在（ ）位上，表示6个（ ）；“5”在（ ）位上，表示5个（ ）；“3”在（ ）位上，表示3个（ ）。 【答案】个 一 十分 十分之一 千分 千分之一 【分析】小数分为整数部分和小数部分，小数点左边第一个数位是个位，个位上是几就表示几个一；小数点右边第一个数位是十分位，十分位上是几就表示几个十分之一；小数点右边第二个数位是百分位，百分位上是几就表示几个百分之几；小数点右边第三个数位是千分位，千分位上是几就表示几个千分之几，据此解答。 【解答】因此，6.503中的“6”在个位上，表示6个一；“5”在十分位上，表示5个十分之一；“3”在千分位上，表示3个千分之一。 易错点2：小数的读写错误。 【易错专练1】一个数由3个一、9个0.1和5个0.001组成，这个数是（ ），读作（ ）。 【答案】3.905 三点九零五 【分析】小数的写法：从高位到低位依次写出各个数位上的数字，数位上一个单位也没有的用“0”补足。一个数由3个一、9个0.1和5个0.001组成，那么这个数的个位上是3，十分位上是9，千分位上是5，据此写出。 小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每一位上的数，据此解答。 【解答】由分析可知，一个数由3个一、9个0.1和5个0.001组成，这个数是3.905，读作三点九零五。 【易错专练2】二十五点零零四写作（ ）；五点二一写作（ ）。 【答案】25.004 5.21 【分析】小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每个数位上的数字，据此写出这个小数。 【解答】二十五点零零四写作25.004；五点二一写作5.21。 【易错专练3】352.01读作（ ）102.98读作（ ）。 【答案】三百五十二点零一 一百零二点九八 【分析】读小数时先读整数部分，整数部分按整数读法来读，再读小数点，小数点读作点，最后读小数部分，小数部分从左到右依次读出每一位上的数字。 【解答】352.01读作三百五十二点零一；102.98读作一百零二点九八。 【易错专练4】写出下面横线上的数。 （1）一只北极熊的体重是零点七五吨。             写作：（ ） （2）成年人的头发直径约是零点零七毫米。         写作：（ ） （3）马里亚纳海沟最深处约为十一点零三四千米。   写作：（ ） 【答案】（1）0.75 （2）0.07 （3）11.034 【分析】小数的写法：整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分依次写出每一位上的数字；据此解答。 【解答】（1）一只北极熊的体重是零点七五吨。写作：0.75 （2）成年人的头发直径约是零点零七毫米。写作：0.07 （3）马里亚纳海沟最深处约为十一点零三四千米。写作：11.034 【易错专练5】用4，0，9，6这几个数字和小数点“.”按要求写出下面各数。（每个数字都要用上并且只能用一次）。 （1）小于1且小数部分是三位的小数：________________________________________。 （2）大于9且小数部分是三位的小数：________________________________________。 （3）0不读出来且小数部分是两位的小数：________________________________________。 【答案】（1）0.469，0.496，0.649，0.694，0.946，0.964 （2）9.046，9.064，9.406，9.460，9.604，9.640 （3）40.69，40.96，60.49，60.94，90.46，90.64 【分析】根据题意写出符合题意的小数。小于1的三位小数，即整数部分是0且小数部分有三位，从小到大依次列举出来即可；大于9的三位小数，即整数部分是9且小数部分有三位，从小到大依次列举出来即可；0不读出来的两位小数，即0需要放在整数的末尾，即保证整数部分有2位，小数部分也有两位，依次从小到大列举出来即可；据此解答。 【解答】（1），，，，， （2），，，，， （3），，，，， 易错点3：小数性质应用错误。 【易错专练1】4.3，4.30，4.300这三个数（    ）。 A．大小相等，精确度也相同B．大小相等，但精确度不同 C．4.300大 【答案】B 【分析】根据小数的性质，在小数的末尾去掉或添上0，小数的大小不变；4.3表示精确到十分位，4.30表示精确到百分位，4.300表示精确到千分位。据此判断即可。 【解答】根据分析可知，4.3，4.30，4.300这三个数，大小相等，但精确度不同。 【易错专练2】把2.73改写成三位小数是（    ）。 A．2.730 B．2.703 C．2.073 【答案】A 【分析】由小数的性质可知，小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，把2.73改写成三位小数应该在小数的末尾添上“0”，据此解答。 【解答】分析可知，把2.73改写成三位小数是2.730。 故答案为：A 【易错专练3】一个数由4个十和7个百分之一组成，这个数写作（ ），读作（ ），把它改写成用“千分之一”作单位且大小不变的小数是（ ）。 【答案】40.07 四十点零七 40.070 【分析】根据题意可知，这个小数十位上的数是4，百分位上的数是7，其余数位都是0，据此写出这个小数即可。小数的读法：整数部分是“0”的就读作“零”，整数部分不是“0”的按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分是几就依次读出每个数位上的数字。把这个小数改写成以千分之一为计数单位的数，也就是把这个小数改写成三位数，小数的性质是小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，依此填空。 【解答】根据分析可知，一个数由4个十和7个百分之一组成，这个数写作40.07，读作四十点零七，把它改写成用“千分之一”作单位且大小不变的小数是40.070。 【易错专练4】化简下面各数。 6.7760＝   80.000＝   3.0020＝   0.020＝   60.0250＝ 【答案】6.776；80；3.002；0.02；60.025 【分析】根据小数的性质，一个小数在末尾添上0或者去掉0小数的大小不变。据此解答即可。 【解答】6.7760＝6.776    80.000＝80   3.0020＝3.002   0.020＝0.02   60.0250＝60.025 【易错专练5】不改变数的大小，把下面各数写成三位小数。 1.8＝          3＝          46.07＝ 25＝          0.98＝        121.6＝ 0.60＝        4.7＝         100＝ 【答案】1.800；3.000；46.070 25.000；0.980；121.600 0.600；4.700；100.000 【分析】小数的性质：小数的末尾添加0或去掉0，小数的大小不变；据此即可解答。 【解答】1.8＝1.800          3＝3.000          46.07＝46.070 25＝25.000          0.98＝0.980        121.6＝121.600 0.60＝0.600        4.7＝4.700         100＝100.000 易错点4：小数大小比较错误。 【易错专练1】30.8＜42.5＜44.6＜4☐.2，☐里最小填（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】比较两个小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的小数大；若整数部分相同，再比较小数部分，小数部分大的小数大。44.6的整数部分是44，小数部分是0.6；4□.2的整数部分是4□（即），小数部分是0.2要使，需先比较整数部分44与4□的大小；当时，，因为，所以不成立；当时，，因为，所以成立因此□需大于4，最小填5。 【解答】A.当时，，不成立，故A错误； B.当时，，成立，故B正确； C.当时，，成立，但不是最小值，故C错误； D.当时，，成立，但不是最小值，故D错误。 故答案为：B 【易错专练2】甲、乙、丙、丁四人50米短跑的成绩是：甲8.1秒，乙7.95秒，丙8.02秒，丁9.5秒，他们中跑得最快的是（ ）。 【答案】乙 【分析】比较四人短跑用的时间，用时最短的，跑得最快。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【解答】9.5＞8.1＞8.02＞7.95 乙用时最短，所以他们中跑得最快的是乙。 【易错专练3】下面是几位同学100米赛跑的成绩，请排出他们从快到慢的名次。 姓名 张明 李娜 晓军 周彤 程静 成绩米/秒 7.48 16.39 16.66 17.02 16.09 【答案】张明、程静、李娜、晓军、周彤 【分析】将他们每个人的成绩进行大小排序，时间用得最少的人跑得最快。 小数比较大小的方法：先看整数部分，整数部分大的，这个小数就大；整数部分相同，就看十分位上的数，十分位上的数大，这个小数就大，十分位上的数相同，再比较百分位上的数，百分位上的数大，这个小数就大，以此类推。依此解答。 【解答】7.48＜16.09＜16.39＜16.66＜17.02 因此，他们从快到慢的名次分别为：张明、程静、李娜、晓军、周彤。 【易错专练4】悦悦爸爸和军军、龙龙、佳佳的爸爸都参加了“半马”比赛，成绩如下： 姓名 悦悦爸爸 军军爸爸 龙龙爸爸 佳佳爸爸 成绩/时 1.67 1.82 1.62 2.01 （1）请给爸爸们排名次：第一________；第二________；第三________；第四________。 （2）你是怎么为他们排名的：________________________________________。 【答案】（1）龙龙爸爸 悦悦爸爸 军军爸爸 佳佳爸爸 （2）见详解 【分析】（1）路程一样，用时越短则成绩越好，比较四个人的成绩，最小的成绩最好，据此排列即可； （2）根据小数的比较，先比较整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同，就比较十分位上的数，然后依次进行比较即可，小数越小则代表成绩越好。（答案不唯一） 【解答】（1）（1）1.67、1.82、1.62、2.01整数部分1＜2，2.01最大，佳佳爸爸第四名； 1.67、1.82、1.62整数部分都是1，十分位上6＜8，1.82第二大，军军爸爸第三名； 1.67和1.62整数部分都是1，十分位上都是6，百分位上2＜7，1.62最小，龙龙爸爸第一名，悦悦爸爸第二名。 爸爸们的名次为：第一龙龙爸爸；第二悦悦爸爸；第三军军爸爸；第四佳佳爸爸。 （2）根据小数的比较，小数越小则代表用时最短，用时最短则成绩最好排第一名。 【易错专练5】用3、0、2、1四个数字和小数点，按要求写出下面各数。 （1）写出小于1的两位小数，并按从小到大的顺序排列。（在每一个小数中，每个数字只能用一次） （2）写出大于30小于100的一位小数，并按从大到小的顺序排列。（在每一个小数中，每个数字只能用一次） 【答案】（1）0.32、0.31、0.23、0.21、0.13、0.12；0.12＜0.13＜0.21＜0.23＜0.31＜0.32 （2）30.1、30.2、31.0、31.2、32.0、32.1；32.1＞32.0＞31.2＞31.0＞30.2＞30.1 【分析】（1）根据多位小数的大小比较，小于1的两位小数，则整数部分是0，另外三个数任意组合出两位小数，然后排序即可。 （2）大于30小于100的一位小数，则整数部分是30、31或32，据此写出所有一位小数，然后排序即可。 【解答】（1）小于1的两位小数：0.32、0.31、0.23、0.21、0.13、0.12； 0.12＜0.13＜0.21＜0.23＜0.31＜0.32； （2）大于30小于100的一位小数：30.1、30.2、31.0、31.2、32.0、32.1。 32.1＞30.0＞31.2＞31.0＞30.2＞30.1。 易错点5：小数点移动引起小数大小变化规律掌握不牢。 【易错专练1】把6.25的小数点向右移动一位是（ ），把3.56的小数点去掉后相当于扩大到原来的（ ）倍。 【答案】62.5 100 【分析】小数点向右移动一位相当于把原数乘10，小数就扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位相当于把原数乘100，小数就扩大到原来的100倍；小数点向右移动三位相当于把原数乘1000，小数就扩大到原来的1000倍。 【解答】把6.25的小数点向右移动一位是62.5，把3.56的小数点去掉，也就是把3.56的小数点向右移动两位，相当于扩大到原来的100倍。 【易错专练2】0.365里面有（ ）个千分之一，把56缩小到它的是（ ）。 【答案】365 0.056 【分析】0.365的计数单位是千分之一（0.001）， 将0.365去掉小数点后的数是多少，它就包含多少个这样的单位。把一个数缩小到它的一千分之一，就是用这个数除以1000，即小数点向左移动三位。 【解答】根据分析，0.365里面有365个千分之一，把56缩小到它的是0.056。 【易错专练3】0.76扩大到原来的1000倍是（ ），23.8缩小到原来的是（ ）。 【答案】760 0.238 【分析】0.76扩大到原来的1000倍，是小数点向右移动三位，也就是乘1000。 23.8缩小到原来的，是将小数点向左移动两位，即除以100。 【解答】0.76×1000＝760 23.8÷100＝0.238 0.76扩大到原来的1000倍是760，23.8缩小到原来的是0.238。 【易错专练4】两个数相除的商是5.36，将被除数的小数点先向左移动两位，再向右移动一位，得到的商是（ ）。 【答案】0.536 【分析】被除数的小数点左移两位，即除以100，再向右移动一位，即乘10，根据被除数乘一个数，商也乘这个数；被除数除以一个数（0除外），商也除以这个数，解答即可。 【解答】5.36÷100×10 ＝0.0536×10 ＝0.536 即得到的商是0.536。 【易错专练5】把5.098的小数点向右移动两位是（ ），它是原数的（ ）；如果把原数小数点向左移动一位它是原数的（ ）。 【答案】509.8 100倍 【分析】根据小数点位置移动引起数的大小变化规律可知：把5.098的小数点向右移动两位是 509.8，它是原小数的100倍；把原小数点向左移动一位是 0.5098，它是原小数的 。 【解答】根据分析： 把5.098的小数点向右移动两位是 509.8，它是原数的100倍；如果把原数小数点向左移动一位它是原数的 。 易错点6：小数与单位换算错误。 【易错专练1】0.47公顷＝（ ）平方米        （ ） 【答案】4700 0.72 【分析】1公顷＝10000平方米；1dm2＝100cm2；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率。 【解答】0.47×10000＝4700（平方米） 所以0.47公顷＝4700平方米 72÷100＝0.72（dm2） 所以72cm2＝0.72dm2 【易错专练2】700平方分米＝（ ）平方米    25公顷＝（ ）平方千米 【答案】7 0.25 【分析】1平方米＝100平方分米，1平方千米＝100公顷。大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率。 【解答】700÷100＝7，700平方分米＝7平方米 25÷100＝0.25，25公顷＝0.25平方千米 【易错专练3】在括号里填上合适的数。 530厘米＝（ ）米   3吨60千克＝（ ）吨 2.5公顷＝（ ）平方米   10.6元＝（ ）元（ ）角 【答案】5.3 3.06 25000 10 6 【分析】进行单位换算时，根据不同单位之间的进率：高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【解答】（1）1米＝100厘米，530÷100＝5.3，530厘米＝5.3米。 （2）1吨＝1000千克，60÷1000＝0.06，3＋0.06＝3.06，3吨60千克＝3.06吨。 （3）1公顷＝10000平方米，2.5×10000＝25000，2.5公顷＝25000平方米。 （4）1元＝10角，0.6×10＝6，10.6元＝10元6角。 【易错专练4】40.5平方千米＝（ ）公顷    60800平方米＝（ ）公顷 5700000平方米＝（ ）平方千米    3.4公顷＝（ ）平方米 【答案】4050 6.08 5.7 34000 【分析】1平方千米＝100公顷，高级单位换算低级单位乘进率，即40.5×100； 1公顷＝10000平方米，低级单位换算高级单位除以进率，即60800÷10000； 1平方千米＝1000000平方米，低级单位换算高级单位除以进率，即5700000÷1000000； 1公顷＝10000平方米，高级单位换算低级单位乘进率，即3.4×10000。 【解答】40.5平方千米＝40.5×100＝4050公顷 60800平方米＝60800÷10000＝6.08公顷 5700000平方米＝5700000÷1000000＝5.7平方千米 3.4公顷＝3.4×10000＝34000平方米 所以，40.5平方千米＝4050公顷，60800平方米＝6.08公顷，5700000平方米＝5.7平方千米，3.4公顷＝34000平方米。 【易错专练5】540厘米＝（ ）米       5200平方米＝（ ）公顷 3.2吨＝（ ）千克           400000平方米＝（ ）平方千米 【答案】5.4 0.52 3200 0.4 【分析】因为1米＝100厘米，厘米换算为米，是小单位换算为大单位，要除以进率100； 因为1公顷＝10000平方米，平方米换算为公顷，是小单位换算为大单位，要除以进率10000； 因为1吨＝1000千克，吨换算为千克，是大单位换算为小单位，要乘进率1000； 因为1平方千米＝100公顷＝1000000平方米，平方米换算为平方千米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000000。 【解答】540÷100＝5.4，所以540厘米＝5.4米； 5200÷10000＝0.52，所以5200平方米＝0.52公顷； 3.2×1000＝3200，所以3.2吨＝3200千克； 400000÷1000000＝0.4，所以400000平方米＝0.4平方千米。 易错点7：求小数的近似数错误。 【易错专练1】有一个小数，用“四舍五入”法取近似数约是6.0，这个小数可能是（    ）。 A．5.94 B．5.99 C．6.06 D．6.12 【答案】B 【分析】因为“四舍”得到6.0时，原小数的十分位是0，百分位小于5；“五入”得到6.0时，原小数的十分位是9，百分位大于等于5，所以可以据此确定符合条件的小数。 【解答】A．5.94用“四舍五入”法取近似数约是5.9，不符合题意； B．5.99用“四舍五入”法取近似数约是6.0，符合题意； C．6.06用“四舍五入”法取近似数约是6.1，不符合题意； D．6.12用“四舍五入”法取近似数约是6.1，不符合题意。 【易错专练2】一个三位小数“四舍五入”保留两位后是8.80，这个数最大是（    ）。 A．8.804 B．8.809 C．8.795 【答案】A 【分析】要找到最大的三位小数，需考虑“四舍”的情况，即千分位上的数小于5时直接舍去。若考虑“五入”的情况，则原数会更小，不符合“最大值”的要求。 【解答】原数“四舍”后保留两位小数是8.80，则千分位上可能是0、1、2、3、4，其中最大的是4。 所以，这个数最大是8.804。 【易错专练3】省略千分位后面的尾数。 6.8492≈              3.9848≈              0.0428≈              19.9996≈ 【答案】6.849；3.985；0.043；20.000 【易错专练4】文具店为了促销，将笔记本的实际售价（两位小数）用“四舍五入”法保留一位小数后标注在海报上，这样标价会比实际售价更简洁，方便顾客快速查看。已知一款笔记本的海报标价为3.8元，这款笔记本的实际售价最高可能是（ ）元，最低可能是（ ）元。 【答案】 【分析】四舍五入法：在取小数近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位数字是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进1，根据四舍五入法求小数近似数的规则，分别分析实际售价最高和最低的情况。 【解答】已知海报标价为3.8元，是保留一位小数后的结果，要使实际售价最高，那么就是通过四舍得到3.8的。四舍时，百分位上的数要小于5，所以百分位最大是4，此时实际售价最高，为3.84元。 要使实际售价最低，那么就是通过五入得到3.8的，五入时，百分位上的数要大于或等于5，所以百分位最小是5，此时十分位是7，实际售价最低，为3.75元。 【易错专练5】阅读下面的资料，再填空：2024年6月25日嫦娥六号任务取得圆满成功。这次月球之旅，嫦娥六号历时53天，任务往返约768800千米，最后成功从月球背面带回1935.3克的背面样品，这是人类历史上首次从月球背面采集月壤。 （1）横线上的数改写成用“万”作单位的数是（ ），保留一位小数约是（ ）。 （2）嫦娥六号带回的月壤重（ ）千克，保留整数是（ ）千克。 【答案】（1）76.88万 76.9万 （2）1.9353 2 【分析】（1）将768800改写成用“万”作单位的数，即小数点向左移动4位，得到76.88万，然后保留一位小数，看百分位，百分位上是8，“五入”后得到76.9万； （2）将月壤重量1935.3克换算成千克，即小数点向左移动3位，得到1.9353千克，然后保留整数，因为十分位上是9，对十分位进行四舍五入，即得到2千克。 【解答】（1）横线上的数是768800，改写成用“万”作单位的数： 将小数点向左移动4位，得到76.88万。 保留一位小数：76.88万的百分位是8，8＞5，向十分位进一，十分位上：8＋1＝9，故是76.9万； 所以横线上的数改写成用“万”作单位的数是76.88万，保留一位小数约是76.9万。 （2）月壤重1935.3克，换算成千克： 因为1千克＝1000克，所以1935.3克换算成“千克”作单位，即小数点向左移动3位，得到1.9353千克； 保留整数：1.9353的十分位是9，9＞5，向个位进一，个位上：1＋1＝2，故是2千克； 所以嫦娥六号带回的月壤重1.9353千克，保留整数是2千克。 专题五三角形 易错点1：对三角形的高理解错误。 【易错专练1】如下图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，来判断AB边上的高。 在三角形 ABC中，AB边为底边时，从C点向AB边所在直线作垂线，垂足为B点，所以AB边上的高是从C点到AB边的垂线段。 【解答】A.线段BD是从B点向AC边作的垂线段，是AC边上的高，故不正确。 B.线段AC是三角形的一条边，不是AB边上的高，故不正确。 C.线段BC是从C点向AB边作的垂线段，是AB边上的高，故正确。 故答案为：C 【易错专练2】写出下列三角形的底和高。 （1）图①中三角形的底是（ ），高是（ ）。 （2）图②中三角形的底是（ ），高是（ ）。 （3）图③中三角形的底是（ ），高是（ ）。 【答案】（1）AB CD （2）AB（AC） AC（AB） （3）AB CD 【分析】三角形的“底”是选取的一条边，“高”是从对应顶点向这条边作的垂线段（与底边垂直）。需根据每个图中垂线的对应关系确定底和高。 【解答】（1）图①：垂线是从C向AB作的，因此AB是底，对应的垂线段是高； 图①底是AB，高是CD； （2）图②：垂线是从C向AB作的（AB为水平边且与高垂直），因此AB是底，对应的垂线段是高； 图②底是AB，高是AC； （3）图③：垂线是从C向AD作的（AD是AB的延长线，作为底边），因此AB是底，对应的垂线段CD是高。 图③底是AB，高是CD。 【易错专练3】填一填。 （1）在图中括号里写出三角形各部分的名称。 （2）每个三角形中都有（    ）条边，（    ）个角，（    ）个顶点，（    ）条高。 （3）图中的三角形可以表示为（    ）。 【答案】（1）； （2）3；3 ；3；3；   （3）三角形ABC 【分析】由图可知，图中点A，点B，点C是顶点，即有3个顶点；线段AB，线段BC，线段AC是边，即有3条边；∠A，∠B，∠C是角，即有3个角。从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。所以图中三角形有3条高，线段AD是高，点D是垂足。用三角形的三个顶点的字母来表示三角形，据此解答。 【解答】由分析可知，（1）如图所示： （2）每个三角形中都有3条边，3个角，3个顶点，3条高。 （3）图中的三角形可以表示为三角形ABC。 【易错专练4】如下图，在一组平行线之间有3个三角形，从数学角度观察，3个三角形有什么共同点？ 【答案】同底等高 【分析】平行线间的距离处处相等。由题意得，在一组平行线之间有3个三角形，那么这3个三角形的高相等。由图可知，这三个三角形的底相同，所以这3个三角形等底等高。 【解答】根据题意作图如下： 答：这3个三角形同底等高。 【易错专练5】画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】要作三角形指定底边上的高，则从这条底边相对的三角形顶点向它或者它的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段就是这条边上的高，据此作图。 【解答】作图如下： 易错点2：未能正确理解三角形的三边关系。 【易错专练1】一个三边长均为整厘米数的三角形的两边的长分别是8厘米和3厘米，第三边的长度最大为（ ）厘米，最小为（ ）厘米。 【答案】10 6 【分析】根据三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边，结合题意列出合理的不等式；进行解答即可。 【解答】求最长边：8＋3＝11，两边之和大于第三边，11＞第三边长，10厘米是最长边； 求最短边：8－3＝5，两边的差小于第三边，5＜第三边长，6厘米就是最短边。 一个三边长均为整厘米数的三角形的两边的长分别是8厘米和3厘米，第三边的长度最大为（10）厘米，最小为（6）厘米。 【易错专练2】把一根12cm长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形，这个三角形三条边的长度可能分别是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm，还可能分别是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm。 【答案】3 4 5 4 4 4 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，且三边总长为12cm。最长边必须小于12÷2＝6cm，即不超过5cm。列举满足条件的整厘米数组合，验证每组是否满足三角形的三边关系。 【解答】总长12cm，最长边必须小于12÷2＝6cm，因此最长边小于6cm。 组合一（3cm、4cm、5cm），3＋4＋5＝12（cm），且3＋4＞5，满足三角形三边关系； 组合二（4cm、4cm、4cm），4＋4＋4＝12（cm），且4＋4＞4，满足三角形三边关系； 组合三（2cm、5cm、5cm），2＋5＋5＝12（cm），且2＋5＞5，满足三角形三边关系。 有三种可能，题目要求两组可能的组合，因此可任选两组。 即： 这个三角形三条边的长度可能分别是3cm、4cm和5cm，还可能分别是4cm、4cm和4cm。（答案不唯一） 【易错专练3】海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 【答案】第一张图：10＋13＝23＜25，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 第二张图：30＋42＝72，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 【分析】三角形的基本性质是任意两边之和大于第三边，以此可判断测量是否有误。 【解答】第一张图：，，不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 第二张图：，同样不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 所以乐乐知道海海测量有误。 答：因为海海测量的三角形两边之和等于第三边，不符合三角形两边之和大于第三边的性质，所以测量有误。 【易错专练4】三角形的一条边长是12厘米，另外两条边长（整米厘米）的和是20厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【答案】5厘米和15厘米、6厘米和14厘米、7厘米和13厘米、8厘米和12厘米、9厘米和11厘米、10厘米和10厘米。 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知其中一条边是12厘米，另外两条边的和是20厘米，据此列出所有符合条件的情况即可。 【解答】三条边分别是12厘米、1厘米、19厘米时：12＋1＝13（厘米），13＜19，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 12厘米、2厘米、18厘米：12＋2＝14（厘米），14＜19，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 12厘米、3厘米、17厘米，12＋3＝15（厘米），15＜17，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 12厘米、4厘米、16厘米：12＋4＝16（厘米），16＝16，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 12厘米、5厘米、15厘米：12＋5＝17（厘米），17＞15，12－5＝7（厘米），7＜15，能围成三角形； 12厘米、6厘米、14厘米：12＋6＝18（厘米），18＞14，12－6＝6（厘米），6＜14，能围成三角形； 12厘米、7厘米、13厘米：12＋7＝19（厘米），19＞13，12－7＝5（厘米），5＜13，能围成三角形； 12厘米、8厘米、12厘米：12＋8＝20（厘米），20＞12，12－8＝4（厘米），4＜12，能围成三角形； 12厘米、9厘米、11厘米：11＋9＝20（厘米），20＞12，11－9＝2（厘米），2＜12，能围成三角形； 12厘米、10厘米、10厘米：10＋10＝20（厘米），20＞12，10－10＝0，0＜12，能围成三角形。 答：这两条边长可以分别是5厘米和15厘米、6厘米和14厘米、7厘米和13厘米、8厘米和12厘米、9厘米和11厘米、10厘米和10厘米。 【易错专练5】把一根长10厘米的铁丝剪成3段，再首尾相连围成三角形。（在整厘米处剪） （1）若从4厘米处剪了一刀，再在（    ）厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确吗？请举例说明理由。 【答案】（1）6、7或8 （2）飞飞的说法正确；因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。 【分析】（1）根据题意，明确三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知铁丝长10厘米，从4厘米处剪了一刀，剩下10－4＝6（厘米），另外两边之和是6厘米，可以分成5厘米、1厘米，4厘米、2厘米，3厘米、3厘米，分别进行验证，4＋1＝5，所以不能分成5厘米、1厘米；4＋2＝6＞4，3＋3＝6＞4，另外两边4厘米、2厘米，3厘米、3厘米成立；可以在4＋2＝6（厘米），4＋3＝7（厘米）、4＋4＝8（厘米）处处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。以此答题即可。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确，因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： （1）10－4＝6（厘米） 4＋1＝5 4＋2＝6＞4 3＋3＝6＞4 4＋2＝6（厘米） 4＋3＝7（厘米） 4＋4＝8（厘米） 若从4厘米处剪了一刀，再在6、7或8厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）4＋1＝5 飞飞的说法正确；因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。 易错点3：对三角形中角的认识或三角形分类理解错误。 【易错专练1】一个三角形里虽然有两个锐角，但这个三角形不一定是锐角三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】若一个三角形中有两个锐角，第三个角可能是锐角、直角或钝角。只有当三个角均为锐角时才是锐角三角形，因此结论成立。 【解答】假设三角形中有两个锐角，若第三个角为锐角（小于90°），则三角形是锐角三角形；若第三个角为直角（等于90°），则为直角三角形；若第三个角为钝角（大于90°），则为钝角三角形。因此，虽然有两个锐角，但三角形类型不确定。题干说法正确。 故答案为：√ 【易错专练2】一个三角形中最大的角是100°，这个三角形一定是钝角三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。据此解答。 【解答】由题意得，一个三角形中最大的角是100°，100°＞90°，即这个角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练3】图中有（ ）个锐角三角形，（ ）个直角三角形，（ ）个钝角三角形。 【答案】1 4 5 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【解答】如图： 锐角三角形有：③＋④，共1个； 直角三角形有：③、④、②＋③、①＋②＋③，共4个； 钝角三角形有：①、②、①＋②、②＋③＋④、①＋②＋③＋④，共5个。 因此，图中有1个锐角三角形，4个直角三角形，5个钝角三角形。 【易错专练4】有一块三角形玻璃碎成了三块（如图），如果到玻璃店再重新配一块形状完全一样的玻璃，最省事的办法是带着第（ ）块玻璃。 【答案】① 【分析】根据三角形分类和特性，一个三角形最少有两个锐角，如果已知三角形的两个锐角，可以判断出三角形的形状，如果只知道一个锐角无法判断三角形的形状。据此解答。 【解答】把第①块玻璃残缺的那两条边延长就得到了原来三角形玻璃的形状。 所以，最省事的办法是带着第①块玻璃。 【易错专练5】下面的三个纸袋里各有一个三角形，都有一个角露在外面。你能猜一猜它们分别可能是什么三角形吗？ （ ）三角形      （ ）三角形         （ ）三角形 【答案】直角 直角/锐角/钝角 钝角 【分析】等于90°的角是直角，小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角； 在三角形中，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形；据此解答。 【解答】（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有一个角是锐角的三角形有可能是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形； （3）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 易错点4：等腰三角形和等边三角形理解错误。 【易错专练1】已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长（ ）厘米。 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的性质确定第三边的两种可能长度，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，从而确定三角形第三条边的长度。 【解答】第三条边的长度可能为5厘米或者10厘米。 第一种情况：三角形的三条边长度分别为5厘米、5厘米、10厘米，再利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），其中不满足三角形的三边关系，因此不能构成三角形； 第二种情况：三角形的三条边长度分别为5厘米、10厘米、10厘米，再利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），其中或都满足三角形的三边关系，因此能构成三角形； 所以它的第三条边长为10厘米。 【易错专练2】有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是（ ）厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是（ ）厘米。 【答案】6 5 【分析】在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。那么比2厘米和5厘米的和小1厘米即为第三边最长的长度；如果要围成一个等腰三角形，假设第三边为2厘米，2＋2＝4（厘米）＜5厘米，不能围成三角形，只能选择第三边是5厘米。 【解答】5＋2－1＝6（厘米），如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是6厘米； 由分析可知：如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是5厘米，则三边长是5厘米，5厘米，2厘米符合等腰三角形特征。 即有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是6厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是5厘米。 【易错专练3】一个等腰三角形形状的风筝，两条边长分别是54厘米和27厘米，这个风筝的周长是多少厘米？ 【答案】135厘米 【分析】根据等腰三角形的性质，第三条边的长度可能是54厘米或27厘米。需要依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能组成三角形的情况，再计算三角形的周长。 【解答】分两种情况讨论： 第一种情况：当腰长是27厘米，底边长是54厘米时。 因为27＋27＝54，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。 第二种情况：当腰长是54厘米，底边长是27厘米时。 因为54＋27＞54，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。 周长计算如下： 54＋54＋27 ＝108＋27 ＝135（厘米） 答：这个风筝的周长是135厘米。 【易错专练4】一根铁丝刚好可以围成一个边长是8cm的等边三角形，若把它重新围成一条边长是6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的底和腰各是多少厘米？ 【答案】底是6cm，腰是9cm 【分析】先计算铁丝的总长度，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，根据三角形三边关系判断哪种情况成立，从而确定底和腰的长度；据此解答。 【解答】（cm） 如果腰是6cm，那么底是 （cm） 因为，所以围不成三角形，则这个等腰三角形的底是6cm。 腰长： （cm） 答：这个等腰三角形的底是6厘米，腰长是9厘米。 【易错专练5】一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形，可以用腰的长度乘以2再加上底边的长度算出等腰三角形的周长，也就是这根铁丝的长度。如果改围成一个等边三角形，等边三角形的三条边长度相等，直接用前面的得数除以3即可算出等边三角形的每条边长多少分米。 【解答】15×2＋24 ＝30＋24 ＝54（分米） 54÷3＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 易错点5：三角形内角和或多边形内角和运用错误。 【易错专练1】如图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】50 22 【分析】在包含∠1的直角三角形中，根据三角形内角和等于180°，用180°减去90°和已知的40°，即可求出∠1的角度；在包含∠2的直角三角形中，根据三角形内角和等于180°，用180°减去90°，再减去已知的18°与∠1的度数和，求出∠2的角度。 【解答】∠1＝180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° ∠2＝180°－90°－（18°＋50°） ＝90°－68° ＝22° 【易错专练2】在三角形ABC中∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝70°。那么∠5等于（ ）°。 【答案】125 【分析】因为∠A＝70°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为：180°－70°＝110°。因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2＋∠4的度数为：110°÷2＝55°。据此即可求出∠5的度数为：180°－55°＝125°。 【解答】∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数：180°－70°＝110° ∠2＋∠4的度数：110°÷2＝55° ∠5的度数：180°－55°＝125° 因此∠5的度数为125°。 【易错专练3】如图，已知等腰梯形中∠1＝45°，那么∠2＝（ ）。 【答案】135° 【分析】等腰梯形是一个四边形，一个四边形的内角和是360°，等腰梯形的两底角相等，用360°减去2个45°，求出的差再除以2，即可求出∠2的度数。 【解答】360°－2×45° ＝360°－90° ＝270° 270°÷2＝135° 所以∠2＝135°。 【易错专练4】如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝（ ）°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是（ ）°。 【答案】25 360 【分析】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可得到∠2的度数；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形是一个四边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此解答。 【解答】180°－（90°＋65°） ＝180°－155° ＝25° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠2＝25°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形内角和是360°。 【易错专练5】如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【答案】； 【分析】通过观察图形，利用三角形内角和为180°以及四边形内角和为360°的性质，结合已知角的度数逐步计算出∠2和∠7的度数。 【解答】在包含∠2、∠8和∠4的三角形中，已知∠8=90°，∠4=70°，根据三角形内角和为180°， 可得 在包含∠1、∠2和∠3的平角中，已知∠2=20°，∠3=90°，根据平角为180°， 可得 在包含∠7、∠6、∠1和∠5的四边形中，已知∠6=120°，∠1=70°，∠5=90°，根据四边形内角和为360°。 可得 = 答：∠2的度数为20°，∠7的度数为80°。 易错点6：三角形稳定性理解错误。 【易错专练1】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的（ ）性。 【答案】稳定 【分析】三角形具有不易变形的特点，这种特性被称为稳定性。 【解答】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的稳定性。 【易错专练2】如下图，小红利用课余时间搭建了一座相当牢固的“桥”，这是利用了（ ）。 【答案】三角形的稳定性 【分析】小红利用课余时间搭建了一座相当牢固的“桥”，是由三角形组成的，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。依此填空。 【解答】如下图，小红利用课余时间搭建了一座相当牢固的“桥”，这是利用了三角形的稳定性。 【易错专练3】如图，这种外推式窗户用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不易吹动窗户。请你利用学过的知识解释这样设计的原理。 【答案】利用了三角形的稳定性。 【分析】观察图形发现，当用一根钢条把窗户撑住时，窗户、钢条和窗框之间形成了一个三角形结构。三角形具有稳定性，它的形状不容易改变，据此作答。 【解答】答：这种窗户设计利用了三角形的稳定性，当用一根钢条把窗户撑住时，窗户、钢条和窗框之间形成了一个三角形结构，因此不易被吹动。 【易错专练4】爷爷给菜地设计篱笆，他想了以下几种方案，哪种方案设计的篱笆最牢固？为什么？ 【答案】②；理由见详解 【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造；四边形具有易变形的特性，即不稳定性，升降机、晾衣架等都利用了平行四边形的这种特性。据此解答。 【解答】答：方案②设计的篱笆最牢靠。方案①和方案③篱笆中间的形状是长方形或者平行四边形，它们都易变形。而方案②篱笆中间的形状是三角形，三角形具有稳定性，所以方案②设计的篱笆最牢靠。 【易错专练5】王宇同学为克服自己的惰性，把电影《哪吒2》中哪吒说的“我命由我，不由天”做成座右铭相框时时勉励自己。为了使相框立着放置，他选择用三角形支架。 （1）这里选用三角形支架是应用了三角形的____________这一特性。 （2）网上有3种组合的木条： ①8cm    15cm    6cm ②7cm    7cm    14cm ③10cm    8cm    6cm 你会建议王宇选第（ ）种组合的木条。（填序号）说说你的想法：__________________________________________________________________。 【答案】（1）稳定性 （2）③ 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，8＋6＞10，10－6＜8，只有③符合三角形的三边关系，则能围成三角形。 【分析】（1）根据三角形具有稳定性这一特性进行解答； （2）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此依次分析①、②、③，看哪种组合符合三角形的三边关系，就选这种组合。 【解答】（1）这里选用三角形支架是应用了三角形的稳定性这一特性。 （2）①8＋6＜15，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； ②7＋7＝14，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； ③8＋6＞10，10－6＜8，符合三角形的三边关系，能围成三角形； 建议王宇选第③种组合的木条。 想法：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，8＋6＞10，10－6＜8，只有③符合三角形的三边关系，则能围成三角形。 专题六小数的加法和减法 易错点1：计算小数加减法时,相同数位未对齐。 【易错专练1】竖式计算并验算。 12.68＋6.34＝         50－18.76＝ 【答案】19.02；31.24 【分析】小数加、减法的计算法则： 计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）。再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。小数加法用交换加数的位置进行验算，小数减法用差加减数进行验算。 【解答】12.68＋6.34＝19.02                               50－18.76＝31.24 验算：    验算： 【易错专练2】用竖式计算，带*的要验算。 7.6＋5.68＝                    15－9.07＝                    *8.6－5.63＝ 【答案】13.28；5.93；2.97 【分析】竖式计算小数加减法法则：竖式计算小数加减法时，首先需要将小数点对齐，即把相同数位对齐，然后从低位开始逐位相加或相减。最后，得数里对齐横线上的小数点，点上小数点，若得数的小数部分末尾有零，一般要把0去掉。减法可以用差加减数验算。 【解答】7.6＋5.68＝13.28 15－9.07＝5.93 *8.6－5.63＝2.97                      验算： 【易错专练3】列竖式计算并验算。 8.73＋3.26＝                          108－18.57＝ 【答案】11.99；89.43 【分析】（1）计算小数加法：相同数位对齐，从最低位开始加起，哪一位满十就要向前一位进一，和的小数点要和加数的小数点对齐，据此计算，再根据和－一个加数＝另一个加数进行验算； （2）计算小数减法：相同数位对齐，从最低位开始减起，哪一位不够减就向前一位借一当十继续减，差的小数点要和被减数的小数点对齐，据此计算，再根据差＋减数＝被减数进行验算。 【解答】8.73＋3.26＝11.99                     108－18.57＝89.43 验算：       验算： 【易错专练4】用竖式计算。（带☆的要验算） 7.06＋6.89＝                ☆19.1－1.26＝ 【答案】13.95；17.84 【分析】计算小数加减法，将小数点对齐，再按照整数加减法的计算法则进行计算，最后将得数的小数点对齐，减法验算时，把差与减数相加即可。 【解答】7.06＋6.89＝13.95 ☆19.1－1.26＝17.84 验算： 【易错专练5】用竖式计算。（带※的要验算） 65.7＋4.89＝    ※100－27.3＝ 【答案】70.59；72.7； 【分析】小数之间的加法计算：将两个小数的小数点及相同数位对齐，从最低位加起，满十进一……结果点上小数点并化简。 小数之间的减法计算：将两个小数的小数点及相同数位对齐，从最低位减起，不够减就从前一位“退一当十”再减……结果点上小数点。减法的验算方法是：被减数＝差＋减数。 【解答】65.7＋4.89＝70.59           ※100－27.3＝72.7                                    验算： 易错点2：没有掌握小数减法的计算方法。 【易错专练1】列竖式计算画“☆”的算式写出验算。 139.08－38.9＝    ☆203－73.98＝ 【答案】100.18；129.02 【分析】在进行小数加减法运算时，要把小数点对齐，也就是相同数位对齐，末尾可以补0占位，然后按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点位置点上小数点。减法用差加减数看是否等于被减数的方法验算。 【解答】139.08－38.9＝100.18      203－73.98＝129.02             验算： 【易错专练2】用竖式计算下面各题，带※的要验算。 20－12.59＝         ※11.4－2.8＝ 【答案】7.41；8.6 【分析】笔算小数加减法时，先将小数点对齐，从右边最末一位开始算起。计算加法时哪位相加满十要向前进“1”；计算减法时，哪位不够减，要从前一位退“1”再减。减法可以用被减数－差＝减数、差＋减数＝被减数进行验算。 【解答】20－12.59＝7.41      11.4－2.8＝8.6              验算： 【易错专练3】用竖式计算。 31.75－29.8＝        10－2.36＝ 【答案】1.95；7.64 【分析】列竖式时，首要原则是将小数点对齐，也就是确保相同数位（个位对个位，十分位对十分位等）对齐。补零占位：当参与运算的小数位数不同时，可根据需要在末尾补0以便计算。得数的小数部分末尾如果有0，一般要去掉0进行化简。 【解答】31.75－29.8＝1.95 10－2.36＝7.64              【易错专练4】用竖式计算。 36.12－7.89＝    80.1－25.27＝ 【答案】28.23；54.83 【分析】小数的加减法计算，小数点对齐，也就是相同数位对齐，从最右边算起，满十向前一位进一，不够减时，需要向前一位借一与本位合在一起去减。 【解答】 【易错专练5】列竖式计算，带有*号的算式要验算。 5.34－3.4＝        *15－5.8＝ 【答案】1.94；9.2 【分析】计算小数加减法时，将小数点对齐，按照整数加减法的计算法则进行计算，最后将得数的小数点对齐，对于减法的验算，将差与减数相加即可。 【解答】5.34－3.4＝1.94 *15－5.8＝9.2 验算： 易错点3：小数加减法的简便运算混淆。 【易错专练1】用你喜欢的方法计算。（能简算的要简算） 3.5－1.72＋6.08        8.24－（3.7＋1.76）        51.23－7.44－2.56 【答案】7.86；2.78；41.23 【分析】3.5－1.72＋6.08 从左往右依次计算。 8.24－（3.7＋1.76）先算小括号里的，再算小括号外的。 51.23－7.44－2.56根据减法的性质变成51.23－（7.44＋2.56）使得计算简便。 【解答】3.5－1.72＋6.08 ＝1.78＋6.08 ＝7.86 8.24－（3.7＋1.76） ＝8.24－5.46 ＝2.78 51.23－7.44－2.56 ＝51.23－（7.44＋2.56） ＝51.23－10 ＝41.23 【易错专练2】仔细计算。 13.8－6.43－3.55    32.8＋（17.2－4.02）    4.15＋38.7－22.96 【答案】3.82；45.98；19.89 【分析】同级运算从左往右依次计算。 同级运算有括号的先算括号里面的。 同级运算从左往右依次计算。 【解答】 【易错专练3】脱式计算。 15.3－11.6＋4.7    21.32－（6.32＋8.3）    30－（16.5－3.8） 【答案】8.4；6.7；17.3 【分析】第一题，加减为同级运算，交换数的位置时需连同数前的运算符号一同交换，15.3与4.7相加可凑成整数，调整算式为：15.3＋4.7－11.6，然后从左到右依次计算即可。 第二题，括号前是减号，去掉括号后括号内的加号要变为减号，算式变为：21.32－6.32－8.3，然后从左到右依次计算即可。 第三题，先算小括号里的减法，再算括号外的减法。 【解答】15.3－11.6＋4.7 ＝15.3＋4.7－11.6 ＝20－11.6 ＝8.4 21.32－（6.32＋8.3） ＝21.32－6.32－8.3 ＝15－8.3 ＝6.7 30－（16.5－3.8） ＝30－12.7 ＝17.3 【易错专练4】简便计算。 7.36－1.68－0.32        2.28－（1.35＋0.28）        36.89－7.5－2.5＋0.11 【答案】5.36；0.65；27 【分析】由题目可知：根据减法性质：计算出结果即可，据此解答。 【解答】 【易错专练5】怎样简便怎样计算。 8.26－5.3＋1.74                 35.08－12.43－7.57             27.5－11.25＋23.5－18.75 【答案】4.7；15.08；21 【分析】（1）利用加法交换律，将8.26与1.74先相加，再减去5.3。 （2）根据减法的性质，先算的和，再用35.08减去这个和。 （3）利用加法交换律和减法的性质，将27.5与23.5相加，11.25与18.75相加，再用前者的和减去后者的和。 【解答】（1） （2） （3） 易错点4：小数加减法的实际应用偏差。 【易错专练1】骑行是一种健康自然的运动旅游方式，一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保。文叔叔周末常常去骑行，本周末的骑行目标是55千米。第一小时骑行了22.38千米，第二小时骑行了23.62千米，他还要骑行多少千米才能完成预定目标？ 【答案】9千米 【分析】根据题意，总共要骑行的路程减去第一小时和第二小时骑行的路程等于他还要骑行的路程，计算时可以利用减法的性质进行简算，先用22.38加上23.62，求出已骑行的路程，再用55减去已骑行的路程即可解答。 【解答】55－22.38－23.62 ＝55－（22.38＋23.62） ＝55－46 ＝9（千米） 答：他还要骑行9千米才能完成预定目标。 【易错专练2】四（1）班的强强同学原来体重42.4千克，他在三个月的时间内通过锻炼和改善饮食习惯体重下降6.8千克，但比目标体重还重3.2千克。强强的目标体重是多少千克？（用最简便的方法解答） 【答案】32.4千克 【分析】强强在三个月的时间内减重6.8千克，即比原来的体重（42.4千克）减少了6.8千克，那么强强现在的体重是42.4千克减去6.8千克；这时强强的体重比目标体重还重3.2千克，那么强强的目标体重还要再减去3.2千克。两次减掉的数加起来正好是10千克，可以利用减法的性质进行简便计算。 【解答】42.4－6.8－3.2 ＝42.4－（6.8＋3.2） ＝42.4－10 ＝32.4（千克） 答：强强的目标体重是32.4千克。 【易错专练3】郑州黄河风景名胜区是以灿烂的黄河历史文化、优美的山林绿地为特色的新型游览胜地。贝贝一家打车前往郑州黄河风景名胜区，实际支付时发现有2项优惠，实际需要支付多少钱？ 订单总额：28.5元 满15元立减：3.64元 平台无门槛优惠券：2.36元 实付金额：*元 【答案】22.5元 【分析】实付金额＝订单总额－满15元立减的钱数－平台无门槛优惠券，据此代入数据计算即可求出实付的钱数。 【解答】28.5－3.64－2.36 ＝28.5－（3.64＋2.36） ＝28.5－6 ＝22.5（元） 答：实际需要支付22.5元钱。 【易错专练4】下面是李阿姨的超市购物小票，她一共花了多少钱？ 商品 单价/元 数量/千克 金额/元 玉米 6.60 1.382 9.12 大蒜 4.50 1.011 4.55 生姜 3.60 3.022 10.88 香蕉 5.80 0.940 5.45 【答案】30元 【分析】根据题目可知，要求购物一共花的钱数，就是把4种商品的总价相加就可以，据此解答。 【解答】9.12＋4.55＋10.88＋5.45 ＝（9.12＋10.88）＋（4.55＋5.45） ＝20＋10 ＝30（元） 答：一共花了30元。 【易错专练5】买文具。 （1）张宇买了一个文具盒、一块橡皮和一支钢笔，一共花了多少元？ （2）李强买了一支钢笔和一本笔记本，付给收银员20元，应找回多少元？ 【答案】（1）22.35元 （2）8.35元 【分析】（1）用一个文具盒的钱数加上一块橡皮的钱数，再加上一支钢笔的钱数，可以计算出张宇一共花了多少元。注意计算时，利用小数加法运算律可以使计算简便。 （2）用一支钢笔的钱数加上一本笔记本的钱数，可以计算出两种商品的钱数之和，再用付出的钱数减去应花的钱数，可以计算出应找回多少元。 【解答】（1）12.6＋2.35＋7.4 ＝12.6＋7.4＋2.35 ＝20＋2.35 ＝22.35（元） 答：一共花了22.35元。 （2）20－（7.4＋4.25） ＝20－11.65 ＝8.35（元） 答：应找回8.35元。 【点睛】本题解题关键是根据小数加法与小数减法的意义列式计算，熟练掌握小数加减法的计算方法。 专题七图形的运动（二） 易错点1：没有明确对称轴的意义和对称轴的基本特征，错误判断轴对称图形。 【易错专练1】下面图形中，有3条对称轴的是（    ）。 A．等腰梯形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答。 【解答】A．等腰梯形只有1条对称轴，错误； B．等边三角形有3条对称轴，正确； C．等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，只有1条对称轴，错误。 所以有3条对称轴的是等边三角形。 【易错专练2】下面图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，分别画出每个图形的对称轴，然后再对比选出最多的。 【解答】 A．长方形有2条对称轴； B．等边三角形有3条对称轴； C．正方形有4条对称轴； D．长方形内切圆有2条对称轴。 4＞3＞2 所以，对称轴条数最多的是。 【易错专练3】下面图形中，有（    ）个轴对称图形。              A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形就是轴对称图形，我们逐个判断：图1（房子）：沿竖直中线对折，左右可以完全重合，是轴对称图形；图2：沿竖直中线对折，左右可以完全重合，是轴对称图形；图3（显示器）：横线左多右少，分布不对称，对折后无法重合，不是轴对称图形； 图4（人形图标）：沿竖直中线对折，左右可以完全重合，是轴对称图形。 【解答】下面图形中，有3个轴对称图形。 【易错专练4】以虚线为对称轴，正确画出点M的对称点的是图（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】对称轴是图中的虚线，找对称点的方法是：从点M向对称轴作垂线，再在对称轴的另一侧取与点M到对称轴距离相等的点，这个点就是点M的对称点。 【解答】A．对称轴是竖线，且点M的对称点位置不符合“到对称轴距离相等”的要求。 B．对称轴是横线，点M的对称点也不符合距离相等的要求。 C．对称轴是斜线，点M的对称点满足“到对称轴距离相等、连线垂直于对称轴”的条件。 【易错专练5】“数学”的英文大写为“MATHS”，其中不是轴对称图形的字母是（    ）。 A．M B．T C．H D．S 【答案】D 【分析】轴对称图形的定义是：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。 【解答】字母M、T、H都能沿中间竖线对折后，两侧完全重合，都是轴对称图形； 字母S找不到这样的直线让它对折后两侧完全重合，因此不是轴对称图形。 易错点2：没有掌握平移作图的方法，导致作图错误。 【易错专练1】画出图形向右平移8格后的图形。 【答案】见详解 【分析】左边图形的各个顶点分别向右平移8格，再依次连接起来，即可得出平移后的图形。 【解答】如图： 【易错专练2】把下面的图形先向右平移10格，再向下平移3格。 【答案】见详解 【分析】先找出该图形的五个关键顶点，再将这5个顶点依次先向右平移10格，再向下平移3格，最后在新的位置上依次连接这五个顶点。 【解答】 【易错专练3】小鱼先向左平移8格，再向上平移2格。 【答案】见详解 【分析】找出构成图形的关键点，确定平移方向（先向左，再向上）和平移距离（先8格，再2格），由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，最后根据原图画出平移后的图形，据此作图。 【解答】作图如下： 【易错专练4】画出图A的轴对称图形，再将整个图形向右平移6格。 【答案】见详解 【分析】补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。再根据平移的特征，把这个轴对称图形的各个顶点分别向右平移6格，依次连接，即可得到平移后的图形。 【解答】根据图A指定虚线所在对称轴为线画出的对称图形如下图，以及将整个图形向右平移6格后图形如下图所示： 【易错专练5】请在方格纸上画出小船先向右平移5格，再向下平移4格后的图形。 【答案】见详解 【分析】观察小船的形状，找出能定义其轮廓的关键顶点（比如船身的几个端点、船帆的顶点等）。 第一次平移（向右移5格）：将每个关键点沿着水平方向（向右）移动5个方格的距离，标记出每个点平移后的位置。 第二次平移（向下移4格）：把第一次平移后得到的每个关键点，再沿着竖直方向（向下）移动4个方格的距离，再次标记位置。 按照小船原来的形状，依次连接第二次平移后所有关键点，得到最终平移后的图形。 【解答】根据分析，画图如下： 易错点3：补全轴对称图形时“距离”数错。 【易错专练1】按要求画一画，以虚线为对称轴，画出下列图形的轴对称图形。 【答案】图见详解 【分析】根据题意，以虚线为对称轴，依据轴对称图形的性质：对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，先找出原图形各顶点关于对称轴的对称点，再依次连接这些对称点，即可画出轴对称图形，据此解答。 【解答】 【易错专练2】画出下列图形的另一半，使它们都成为轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】确定每个图形的对称轴，也就是图中的那条虚线。在已知的半边图形上，找出所有顶点和线段的端点，这些是决定图形形状的关键点。根据“对称点到对称轴的距离相等”这一性质，数出每个关键点到对称轴的格子数，然后在对称轴的另一侧，相同距离的位置画出对应的对称点。按照原来图形的顺序，依次连接这些对称点，就能得到图形的另一半，从而形成一个完整的轴对称图形。 【解答】由分析作图如下： 【易错专练3】以虚线为对称轴，画出下列图形的轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原图形的关键对称点，最后依次连接各点，据此作图。 【解答】作图如下： 【易错专练4】中国古代人讲究对称美，所以在汉字的演变过程中，有许多汉字是对称的。请你利用对称的特征，写出汉字的另一半。 【答案】详见解析 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条线叫做图形的对称轴。根据轴对称图形的特征，写出另一半即可。 【解答】由分析可得： 【易错专练5】画出下面轴对称图形的另一半。 【答案】见详解 【分析】绘制该轴对称图形另一半的步骤如下：①确定关键点：找出已知图形的所有顶点（包括拐角处的点）； ②找对应点：过每个关键点作对称轴（虚线）的垂线，测量该点到对称轴的距离，在对称轴另一侧相同距离处标记出对应点； ③连接对应点：按照已知图形的线段连接顺序，依次连接所有对应点，即可得到图形的另一半。 【解答】 易错点4：平移巧算周长或面积易错。 【易错专练1】某广场有一个长方形花坛，为迎接国庆节，园艺工人将花坛平均分成4份，在阴影部分种虞美人，其余部分种含笑花，如下图。种虞美人的面积是多少平方米？如果每平方米的虞美人要68元，那么一共要花多少钱？ 【答案】36平方米；2448元。 【分析】已知长方形花坛长12m，要平均分成4份，用长除以份数可得到每份的长度，由图可知，种虞美人的部分通过分割平移后拼接可看作一个边长为每份长度的2倍的正方形，先算出边长，根据正方形面积公式：正方形面积＝边长×边长，计算种虞美人的面积；已知虞美人每平方米的价格，求总共花费＝种虞美人面积×每平方米虞美人的价格。 【解答】（m） （m） （m²） （元） 答：种虞美人的面积是36平方米。一共要花2448元。 【易错专练2】如图，公园内有一块长22米、宽14米的长方形空地。在空地上铺设一条宽2米的曲折石子小路，其余地方铺草坪。你能算出草坪的面积吗？ 【答案】240平方米 【分析】可先将左上的草坪先向下，再向右分别平移2米，从而将两部分的草坪组成一个长方形，通过平移可知，草坪的面积等于长为（22－2）米，宽为（14－2）米的长方形的面积，再根据长方形的面积＝长×宽，据此解答即可。 【解答】（22－2）×（14－2） ＝20×12 ＝240（平方米） 答：草坪的面积是240平方米。 【易错专练3】古典园林素有“有山皆是园，无水不成景”之说，水赋予园林更多的生机和活力。下图是园林的水池示意图，求出水池（阴影部分）的面积。 【答案】540平方米 【分析】由题意可知：把最上面6米宽的阴影部分挪到最下面正好可以把白色部分重合，这样就组成了一个完整长方形。根据长方形的面积＝长×宽计算水池的面积即可。 【解答】由分析可得： 30×（6×3） ＝30×18 ＝540（平方米） 答：水池的面积是540平方米。 【易错专练4】如图。在长32米、宽20米的长方形草坪上修筑宽度为2米的小路，余下部分种花草。种花草（涂色部分）的面积是多少平方米？ 【答案】540平方米 【分析】由题意得，在长32米、宽20米的长方形草坪上修筑宽度为2米的小路，余下部分种花草。可以将2米的小路向右方和下方平移，得到的图形如下图： 由图可知，种花草的部分是一个长为（32－2）米，宽为（20－2）米的长方形。长方形的面积＝长×宽，直接将数据代入即可算出种花草的面积是多少平方米。 【解答】32－2＝30（米） 20－2＝18（米） 30×18＝540（平方米） 答：种花草的面积是540平方米。 【易错专练5】如图，一个边长为20厘米的正方形，上面横竖各有两张长方形纸条，形成一个“井”字，纸条宽都是2厘米。求“井”字部分的面积。 【答案】144平方厘米 【分析】如果求一道纸条的面积，比较好求，20×2＝40（平方厘米），但是其中有多个交叉重叠部分，直接求解有一定难度，这时可以通过平移，将横向纸条向上或向下平移，将纵向纸条向左或右平移，形成如图形。 中间白色部分是一个边长为20－2×2＝20－4＝16厘米的正方形，用大正方形的面积减去白色部分的面积，就是“井”字部分的面积。 【解答】20×20－（20－2×2）×（20－2×2） ＝20×20－（20－4）×（20－4） ＝20×20－16×16 ＝400－256 ＝144（平方厘米）。 答：“井”字部分的面积是144平方厘米。 专题八平均数与条形统计图 易错点1：混淆“平均数”与“个体实际值”。 【易错专练1】李春，王芳，张强三人的平均体重为45千克，李春体重45千克，王芳比李春重，张强的体重（    ）。 A．小于45千克 B．等于45千克 C．超过45千克 【答案】A 【分析】已知三人平均体重为45千克，用平均体重乘人数可以计算出三人的总体重45×3＝135（千克）。已知李春体重为45千克，用三人总体重减去李春的体重可以得到王芳和张强的体重和135－45＝90（千克）。王芳比李春重，那么王芳的体重45千克。王芳的体重＝90－张强的体重45千克，那么张强的体重90－45＝45（千克）。据此作答。 【解答】根据分析可知，张强的体重小于45千克。 【易错专练2】学校足球队队员的平均身高是157厘米，小军身高155厘米，他不可能是学校足球队队员。（ ） 【答案】× 【分析】平均数是一组数据的总和除以数据的个数，表示数据的集中趋势。一个数据值低于平均数，并不意味着它一定不属于该数据集；只要其他数据值高于平均数，就能使整体平均数保持在给定值。本题中，平均身高为157厘米，小军身高155厘米低于平均，但他仍可能是足球队队员，因为其他队员的身高可能高于157厘米，从而补偿并维持平均身高为157厘米，据此判断即可。 【解答】学校足球队队员的平均身高是157厘米，小军身高155厘米，他也可能是学校足球队队员，原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练3】中国男性平均寿命大约是75岁，小吉的爷爷一定会活到75岁。（ ） 【答案】× 【分析】根据平均数的特点，它反映一组数据的整体情况，处在这组数据的中间，比最大的数据小，比最小的数据大，也就是说这组数据中有比平均数大的数，也有比平均数小的数。所以，根据题意，中国男性平均寿命大约是75岁，则小吉的爷爷可能活得比75岁长，也可能活得比75岁短。据此判断。 【解答】根据分析可知： 中国男性平均寿命大约是75岁，小吉的爷爷不一定会活到75岁。原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】乐乐家今年前半年平均每月用水量是8吨，那么乐乐家5月份的用水量不可能比8吨多。（ ） 【答案】× 【分析】平均数代表的是一组数据的一般水平。它一般比这组数据的最小值大，一般比这组数据的最大值小。由题意得，乐乐家今年前半年平均每月用水量是8吨，那么乐乐家5月份的用水量可能比8吨多，可能比8吨少，还有可能等于8吨。 【解答】由分析得，乐乐家今年前半年平均每月用水量是8吨，那么乐乐家5月份的用水量可能比8吨多。原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练5】乐乐身高1.6米，在平均水深1.1米的水塘里玩，不会有危险。（ ） 【答案】× 【分析】平均水深1.1米表示水塘各区域深度的平均值为1.1米，但实际某些区域的水深可能高于或低于这个值。乐乐身高1.6米，若水塘存在深度超过1.6米的区域，就会有危险；据此判断。 【解答】乐乐身高1.6米，在平均水深1.1米的水塘里玩，可能会有危险。原题说法错误。 故答案为：× 易错点2：总数量与总份数“不对应”。 【易错专练1】一辆货车载满货物从甲地开出，3小时行驶了120千米到达乙地，卸完货物后原路返回，2小时后到达甲地。这辆货车往返甲乙两地平均每小时行驶（ ）千米。 【答案】48 【分析】先求出往返的总路程，即甲地到乙地路程的2倍，甲地到乙地的行驶时间是3小时，乙地到甲地的行驶时间是2小时，相加求出往返的总时间，最后根据“平均速度＝总路程÷总时间”求出这辆货车往返甲乙两地平均每小时行驶的路程，据此解答。 【解答】120×2÷（3＋2） ＝120×2÷5 ＝240÷5 ＝48（千米） 所以，这辆货车往返甲乙两地平均每小时行驶48千米。 【易错专练2】有五个数，它们的平均数是138，把它们从小到大排列后，前三个数的平均数是127，后三个数的平均数是148，中间的数是（ ）。 【答案】135 【分析】根据平均数×总份数＝总数，先用138乘5求出五个数的和；用127乘3和148乘3求出前三个数的和及后三个数的和；用前三个数的和加上后三个数的和再减去五个数的和，即可求出中间的数，据此解答。 【解答】五个数的和： 前三个数的和： 后三个数的和： 中间的数： 所以，中间的数是135。 【易错专练3】小芳参加小歌手比赛，5位评委的评分分别是97分、97分、95分、96分、93分，比赛计分规则是“先去掉1个最高分和1个最低分，再算平均分”，那么，小芳最后的得分是（ ）分。 【答案】96 【分析】根据题意，五位评委的评分分别是97分、97分、95分、96分、93分。  最高分是97分（有两个97分，但只去掉一个）。 最低分是93分（只有一个）。去掉一个最高分（97分）和一个最低分（93分）后，剩下的分数是：97分、95分、96分。先求剩余三个分数的和，再除以3，列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 97＝97＞96＞95＞93 （97＋96＋95）÷3 ＝288÷3 ＝96（分） 小芳参加小歌手比赛，5位评委的评分分别是97分、97分、95分、96分、93分，比赛计分规则是“先去掉1个最高分和1个最低分，再算平均分”，那么，小芳最后的得分是96分。 【易错专练4】阳光实验小学四年级有6个班，五年级有5个班。四年级平均每班有42名学生，五年级平均每班有44名学生。四、五年级一共有多少名学生？ 【答案】472 名 【分析】用平均每个班的人数乘班级的数量分别计算出四年级和五年级的学生总数，再将两个年级的人数相加，即可求出四、五年级一共有多少名学生。 【解答】6×42＋5×44 ＝252＋220 ＝472（名） 答：四、五年级一共有472名学生。 【易错专练5】甲、乙、丙、丁四个小朋友共有彩色玻璃球200颗，甲给乙26颗，乙给丙36颗，丙给丁32颗，丁给甲4颗后四人的颗数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？ 【答案】甲原来有72颗，乙原来有60颗，丙原来有46颗，丁原来有22颗。 【分析】玻璃球的总颗数不变，先求出最后四人相等时每人的颗数，然后根据每人“给出”和“得到”的数量变化，利用逆推原理（原有数量＝现有数量－得到数量＋给出数量）分别求出四人原来的颗数。 【解答】200÷4＝50（颗） 甲原来有：50－4＋26＝72（颗） 乙原来有：50－26＋36＝60（颗） 丙原来有：50－36＋32＝46（颗） 丁原来有：50－32＋4＝22（颗） 答：甲原来有72颗，乙原来有60颗，丙原来有46颗，丁原来有22颗。 易错点3：逆向求总数时“漏乘份数”。 【易错专练1】图是一张从重庆北站到武汉汉口的火车票。这列火车的平均速度是169千米/小时。吴阿姨乘这列火车于当天22：57到达汉口。你能算出重庆北站到汉口的铁路长多少千米吗？ 【答案】845千米 【分析】根据题图可知火车从17时57分出发，到达时间是当天的22时57分，用到达时间减去出发时间就是从重庆北站到武汉汉口所用时间，再乘上火车的平均速度即可求解。 【解答】22时57分－17时57分＝5时 5×169＝845（千米） 答：从重庆北站到汉口的铁路长845千米。 【易错专练2】随着共享经济的到来，我国外卖行业的消费需求和规模都在持续扩大。如表是某外卖公司对外卖骑手李师傅一周送单量的数据跟踪。 星期 一 二 三 四 五 六 日 送单量/单 32 31 36 28 33 40 45 （1）李师傅平均每天送多少单外卖？ （2）照这周平均每天送单量来计算，李师傅8月份一共可以送出多少单外卖？ 【答案】（1）35单； （2）1085单 【分析】（1）李师傅平均每天送单量＝总送单量÷送单时间，由此列式计算； （2）8月份有31天，用（1）计算结果乘31可计算李师傅8月份一共可以送出多少单外卖。 【解答】（1）（32＋31＋36＋28＋33＋40＋45）÷7 ＝（63＋36＋28＋33＋40＋45）÷7 ＝（99＋28＋33＋40＋45）÷7 ＝（127＋33＋40＋45）÷7 ＝（160＋40＋45）÷7 ＝（200＋45）÷7 ＝245÷7 ＝35（单） 答：李师傅平均每天送35单外卖。 （2）35×31＝1085（单） 答：李师傅8月份一共可以送出1085单外卖。 【易错专练3】健步走是人们喜爱的一种运动方式。健步走时，人们可以根据个人需要，选择合适的速度，每次走30～60分钟，累计不少于6000步，就能达到较好的锻炼效果。按照孙老师今天的健步走计划，他一共能走多少步？ 【答案】5680步 【分析】根据题意，16分钟走完1600步，先用1600÷16求出前16分钟平均每分钟走多少步，再加上剩下时间比前16分钟平均每分钟多走的步数，求出剩下时间平均每分钟走的步数，用计划走的时间减去16分钟，求出剩下的时间，用剩下的时间乘剩下时间平均每分钟走的步数，求出剩下时间走的步数，最后加上1600步，即可求出他一共能走多少步。 【解答】1600÷16＝100（步） （50－16）×（100＋20） ＝34×120 ＝4080（步） 4080＋1600＝5680（步） 答：他一共能走5680步。 【易错专练4】下面是某自行车专卖店今年前三个月卖出的自行车数量。按照这三个月平均每月卖出自行车的数量计算，这个专卖店今年全年能卖出多少辆自行车？ 月份 一月 二月 三月 数量（辆） 69 61 50 【答案】720辆 【分析】首先用三个月的总辆数，然后再除以3计算出平均一个月卖的数量，一年有12个月，再用平均一个月卖的数量×12即可解题。 【解答】（69＋61＋50）÷3 ＝（130＋50）÷3 ＝180÷3 ＝60（辆） 60×12＝720（辆） 答：这个专卖店今年全年能卖出720辆自行车。 【易错专练5】如图，这是快递站工作人员王叔叔六月份一周的工作量。 星期 一 二 三 四 五 六 七 件数 57 62 55 50 68 56 65 （1）王叔叔这个周平均每天送多少件快递？ （2）根据这个周平均每天的工作量，你能算出王叔叔在六月份送出多少件快递吗？ 【答案】（1）59件 （2）1770件 【分析】（1）要求这周平均每天送多少件快递，可以将每天的件数相加，再用总数除以7天，据此作答。 （2）根据这周平均每天的工作量，可以用平均每天的件数乘六月份的天数得到王叔叔在六月份送出多少件快递，六月是小月有30天，据此作答。 【解答】（1）57＋62＋55＋50＋68＋56＋65 ＝（57＋62）＋（55＋50）＋（68＋56）＋65 ＝119＋105＋124＋65 ＝224＋124＋65 ＝348＋65 ＝413（件） 413÷7＝59（件） 答：王叔叔这个周平均每天送59件快递。 （2）六月份有30天。 59×30＝1770（件） 答：王叔叔在六月份送出1770件快递。 易错点4：复式条形统计图绘制不规范或解决问题时数据对比与分析偏差。 【易错专练1】根据数据绘制复式条形统计图。 项目 男生人数 女生人数 阅读 15 20 运动 25 18 问题：男生和女生在哪个项目上差异最大？相差多少人？ 【答案】图见详解；运动项目；7人 【分析】复式条形统计图的绘制：先确定横轴为项目类别，标注“阅读”、“运动”，纵轴为人数，刻度从0到25，每格代表5人；再用不同的直条分别表示男生和女生，在阅读项目下，对应男生15人、女生20人绘制直条，运动项目下对应男生25人、女生18人绘制直条，最后添加图例区分性别，并标注标题和日期即可。 分别计算两个项目的男、女生人数差，再比较大小即可解答。 【解答】如图： 20－15＝5（人） 25－18＝7（人） 5＜7 答：男生和女生在运动项目上差异最大，相差7人。 【易错专练2】下面是某小学体育老师收集到该校四年级学生喜欢篮球、足球、跑步和跳绳四项运动的相关数据。（每个学生都参加了信息采集，每个学生只选一个最喜欢的项目。） 项目 篮球 足球 跑步 跳绳 男生人数 58 43 24 14 女生人数 25 22 38 50 （1）根据统计表补充完成上面的统计图。 （2）从统计图中可看出，男生喜欢（    ）项目的人数最多，女生喜欢（    ）项目的人数最少。 （3）喜欢篮球的男生比喜欢足球的女生多（    ）人。 （4）这个学校四年级学生共有（    ）人。 【答案】（1）见详解； （2）篮球；足球； （3）36； （4）274 【分析】（1）根据统计表中跑步的人数信息在统计图中对应位置画出直条，注意图例中女生为斜条，男生为黑色直条，并标注数据。 （2）从统计图中观察黑色直条最长的为男生喜欢项目最多的人数，斜条最短的为女生喜欢项目最少的人数。 （3）喜欢篮球的男生人数减去喜欢足球的女生人数即为所求。 （4）男生各项人数相加，女生各项人数相加，再把男女生总人数相加即为这个学校四年级学生总人数。 【解答】（1）如图： （2）黑色直条最长的为男生篮球人数，斜条最短的为女生足球人数。 所以从统计图中可看出，男生喜欢（篮球）项目的人数最多，女生喜欢（足球）项目的人数最少。 （3）58－22＝36（人） 喜欢篮球的男生比喜欢足球的女生多（36）人。 （4）50＋38＋22＋25＝135（人） 14＋24＋43＋58＝139（人） 135＋139＝274（人） 这个学校四年级学生共有274人。 【易错专练3】根据统计图回答下列问题。 （1）一、二、三年级得近视的男生共有多少人？ （2）哪个年级得近视的人数最多？ （3）你知道哪些用眼行为会伤害眼睛，你还知道护眼行为有哪些？ 【答案】（1）18人 （2）六年级 （3）见详解 【分析】（1）把一年级、二年级、三年级得近视的男生人数加起来，即可解答； （2）计算出各年级近视的人数，比较作出判断； （3）所写出的行为只要符合题意即可，据此解答。 【解答】（1）3＋5＋10＝18（人） 答：一、二、三年级得近视的男生共有18人。 （2）一年级：3＋2＝5（人） 二年级：5＋4＝9（人） 三年级：10＋11＝21（人） 四年级：19＋22＝41（人） 五年级：25＋25＝50（人） 六年级：32＋30＝62（人） 62＞50＞41＞21＞9＞5 所以六年级得近视的人数最多。 （3）对眼睛有害的行为：长时间连续使用电子设备；在昏暗或强光环境下用眼；揉眼睛等； 保护眼睛的行为：每20分钟远眺20秒；保持正确用眼距离；确保环境光线适宜；少接触电子产品，多做眼保健操。（答案不唯一） 【易错专练4】刘叔叔购买了A、B两款无人机，为测试无人机的飞行时间，刘叔叔分别对两款无人机做了四次试飞试验， 把测试结果记录在统计表和统计图中。 无人机飞行时间测试情况统计表 单位：分 类别 A款 B款 第一次 36 35 第二次 38 37 第三次 30 36 第四次 28 36 （1）把条形统计图补充完整。 （2）所有测试结果中，时间最长的一次是（    ）款无人机的测试结果。 （3）B款无人机平均飞行时长是（    ）分。 （4）如果让你从中购买一款无人机，你会选A款还是B款？说说你的理由。 【答案】（1）见详解 （2）A （3）36 （4）B款；整体稳定且平均时间较长 【分析】（1）统计图中纵轴一格代表5分钟，结合统计表中第二次飞行时间补全统计图。 （2）比较四次两款飞机的飞行时间，然后看时间最长的一次是哪款无人机的测试结果。 （3）将B款四次飞行时间相加求和，然后再除以4即可计算出B款无人机平均飞行时长。 （4）B款四次飞行时间平均是36分钟，且4次成绩都在35分钟以上，所以比较稳定，选择B款。合理即可。 【解答】 （1） （2）38＞37＞36＞35＞30＞28 所有测试结果中，时间最长的一次是A款无人机的测试结果。 （3）（35＋37＋36＋36）÷4 ＝（72＋36＋36）÷4 ＝（108＋36）÷4 ＝144÷4 ＝36（分） B款无人机平均飞行时长是36分。 （4）我会选择B款，B款整体稳定且平均时间较长。 【易错专练5】武陟县嘉应观风景区2025年五一期间售票情况如下表所示： 日期 成人票售出数量（张） 儿童票售出数量（张） 5月1日 1200 900 5月2日 1000 600 5月3日 600 400 （1）根据上面的信息，将统计图补充完整 （2）售票最多的是5月（    ）日，共售出（    ）张。 （3）5月2日成人票比儿童票多售出（    ）张。 （4）如果你是嘉应观景区管理人员，针对五一期间的售票情况，你有什么想法？ 【答案】（1）见详解 （2）1；2100 （3）400 （4）想法：可以在景区内多设一些儿童喜欢的游乐器材，多吸引儿童，也会使儿童的售票数增加。（答案不唯一） 【分析】（1）根据统计表，完成统计图的制作。 （2）将三天的成人票售出的数量和儿童票售出的数量相加，再比较，就知道哪一天售票最多，是多少张。 （3）用5月2日成人票的售票张数减去儿童票的售票张数，就是多售出多少张。 （4）根据信息，提出自己的想法，合理即可。 【解答】（1）如图： （2）5月1日：1200＋900＝2100（张） 5月2日：1000＋600＝1600（张） 5月3日：600＋400＝1000（张） 1000＜1600＜2100 售票最多的是5月1日，共售出2100张。 （3）1000－600＝400（张） 所以，5月2日成人票比儿童票多售出400张。 （4）想法：可以在景区内多设一些儿童喜欢的游乐器材，多吸引儿童，也会使儿童的售票数增加。（答案不唯一） 专题九数学广角—鸡兔同笼 易错点1：假设与求解对象“张冠李戴”。 【易错专练1】六年级同学制作了94件蝴蝶标本，贴在11块展板上展出。每块小展板贴6件，每块大展板贴10件。两种展板各有多少块？ 【答案】大展板有7块，小展板有4块 【分析】根据题意，假设11块展板全是大展板，计算出标本的总件数，与实际总件数进行比较，求出差值。再用差值除以每块大展板与小展板贴标本件数的差，即可求出小展板的数量，最后用展板总数减去小展板数量求出大展板的数量。 【解答】假设 11 块展板全是大展板。 小展板： ＝ ＝ ＝4（块） 大展板： （块） 答：大展板有7块，小展板有4块。 【易错专练2】运输队给某商家运1800件货物，约定每件货物的运费为3元，如运输途中有损坏，则取消该件货物的运费，且每件损毁货物还需赔偿商家50元，这批货物运到后，运输队共收到货款5082元。损坏了几件货物？ 【答案】6件 【分析】假设这批货物在运输过程中一件都没有损坏，那么运输队就可以拿到全部货物的运费。但实际收到的货款比这个全额运费要少，这部分少收的钱，就是因为货物损坏造成的损失。每损坏一件货物，运输队会损失两部分钱：一是拿不到这件货物的运费，二是还要额外支付一笔赔偿金，所以，损坏一件货物造成的总损失，就是运费损失加上赔偿金的总和。最后用总共少收的钱，除以损坏一件货物造成的总损失，就可以算出损坏的货物数量。 【解答】假设1800件货物全部安全运到。 1800×3－5082 ＝5400－5082 ＝318（元） 318÷（3＋50） ＝318÷53 ＝6（件） 答：损坏了6件货物。 【易错专练3】笼子里有蜘蛛、蝉、蜻蜓三种动物共18只，共有腿116条，共有翅膀22对。其中一只蜘蛛8条腿：一只蝉6条腿，1对翅膀；一只蜻蜓6条腿，2对翅膀。问蜘蛛、蝉、蜻蜓各有几只？ 【答案】4只；6只；8只 【分析】根据生活常识，蜘蛛没有翅膀，所以22对翅膀是蝉和蜻蜓的。由题意可知，蜘蛛有8条腿，蝉和蜻蜓都有6条腿。先假设这18只动物全部是6条腿，求出一共有多少条腿，再用实际腿的数量减去求出的腿的数量再除以（8－6）条腿，就可以得出蜘蛛的数量。用总动物数减去蜘蛛的数量即可得到蝉和蜻蜓的数量，再假设剩下的动物全是蝉，求出一共有多少对翅膀，再用翅膀的总数量减去求出的翅膀数量再除以（2－1）对翅膀即可求出蜻蜓的数量，再用蝉和蜻蜓的数量减去蜻蜓的数量即可求出蝉的数量。 【解答】先假设18只动物全是6条腿的，那么蜘蛛的只数就是： 116－18×6 ＝116－108 ＝8（条） 8÷（8－6） ＝8÷2 ＝4（只） 蝉和蜻蜓的数量有：18－4＝14（只） 再假设剩下的14只全是蝉，那么蜻蜓的只数就是： 22－14×1 ＝22－14 ＝8（对） 8÷（2－1） ＝8÷1 ＝8（只） 则蝉有：14－8＝6（只） 答：蜘蛛有4只，蝉有6只，蜻蜓有8只。 【易错专练4】为响应国家全民健身号召，新安县教育体育局将匹克球纳入校园特色赛事，助力师生体育锻炼。在赛事器材筹备环节，工作人员把80个匹克球分装在1个大盒和5个同样的小盒里，正好全部装满；且每个大盒比每个小盒多装8个匹克球。大盒里装了多少个匹克球？每个小盒呢？ 【答案】大盒20个；小盒12个 【分析】假设6个全是小盒，也就是把1个大盒换成1个小盒，每个大盒比每个小盒多装8个匹克球，此时球的总数比80个少8个，每个小盒里装小球的数量＝所有小盒里小球的总数量÷小盒的数量，每个大盒里装小球的数量＝每个小盒里装小球的数量＋8个，据此解答。 【解答】（80－8）÷（1＋5） ＝72÷6 ＝12（个） 12＋8＝20（个） 答：每个大盒里装了20个球，每个小盒里装了12个球。 【易错专练5】星光餐厅有2人桌和4人桌，共10张，坐满可供32人同时用餐。这个餐厅的2人桌、4人桌各多少张？ 【答案】2人桌4张、4人桌6张 【分析】假设该餐厅都是2人桌，则容纳2×10＝20（人）就餐，比实际少容纳32－20＝12（人）就餐，是因为每张2人桌比4人桌少容纳4－2＝2（人）就餐，用比实际少容纳的人数除以每张2人桌比4人桌少容纳的人数即可求出4人桌的张数，进而求出2人桌的张数。 【解答】假设该餐厅都是2人桌； 2×10＝20（人） 32－20＝12（人） 4－2＝2（人） 12÷2＝6（张） 10－6＝4（张） 答：这个餐厅的2人桌4张、4人桌6张。 【易错专练6】温县陈家沟景区举办武术表演活动，包括太极拳和太极剑的精彩展示。每个太极拳表演者需配2件白色练功服，每个太极剑表演者需配3件蓝色练功服。已知参加表演的总人数是40人，共准备了95件练功服，请问太极拳表演者和太极剑表演者各有多少人？ 【答案】25人；15人 【分析】属于鸡兔同笼问题，假设40个人全都是太极拳表演者，则需要40×2＝80（件）练功服，但是共准备了95件练功服，多出了95－80＝15（件），是因为太极剑表演者也当成了太极拳表演者，每名太极剑表演者比太极拳表演者多1件练功服，15件练功服就是15÷1＝15（人），所以太极剑表演者有15人，用40－15可算出太极拳表演者有几人。 【解答】假设40个人全都是太极拳表演者。 40×2＝80（件） 95－80＝15（件） 15÷1＝15（人） 40－15＝25（人） 答：太极拳表演者有25人，太极剑表演者有15人。 【易错专练7】在生物考察站中，科学家发现一处特殊区域内节肢动物的生存密度反常。通过夜间红外摄像记录，统计到共有25只蜘蛛和螳螂在此区域活动。科学家通过捕捉统计，发现所有个体的腿总数达到170条，已知每只蜘蛛有8条腿，每只螳螂有6条腿，那么蜘蛛和螳螂各有多少只？ 【答案】蜘蛛10只；螳螂15只 【分析】根据题意，先假设25只全是蜘蛛，然后算出腿一共有多少条，再计算腿的数量与实际的差值，因为每只蜘蛛比每只螳螂多8－6＝2条腿，所以用差值除以2，即算得螳螂有多少只，再用一共的只数减去螳螂的只数就是蜘蛛的只数，据此解答。 【解答】根据分析可得： 先假设25只全是蜘蛛，则腿有：25×8＝200（条） 比实际多200－170＝30（条） 因为每只蜘蛛的腿比每只螳螂的腿多：8－6＝2 （条） 所以螳螂有：30÷2＝15（只） 蜘蛛有：25－15＝10（只） 验证： 蜘蛛腿数：10×8＝80（条） 螳螂腿数：15×6＝90（条） 总腿数：80＋90＝170（条）（符合题意） 答：蜘蛛有10只，螳螂有15只。 【易错专练8】在学校丰富多彩的社团活动中，手工社团备受欢迎。手工社团25名同学一起参与折纸花活动，他们共折了179朵纸花，已知女生每人折8朵，男生每人折5朵，那么在这个手工社团中，男女生各有多少人？ 【答案】男生7人；女生18人 【分析】假设全是男生，共有5×25＝125（朵），比实际少了179－125＝54（朵），把女生人数看作男生人数，每个人少算了8－5＝3（朵），所以有女生54÷3＝18（人），然后总人数减女生的人数得到男生人数。 【解答】（朵） （朵） 女生：（人） 男生：（人） 答：在这个手工社团中，男生有7人，女生18人。 易错点2：差额计算忽略“倒扣”机制（常见于得分问题）。 【易错专练1】篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分，在一场比赛中，孙磊投了13个球，进了8个，没有罚球，总共得了19分，孙磊在这场比赛中投进了几个2分球？ 【答案】5个 【分析】假设孙磊投进8个球全是3分球，那么总共24分，假设的分数比实际多了5分，而把一个2分错看成3分，多算1分，所以总共看错了5个球，那么2分球是5个；据此解答。 【解答】（分） （分） （分） （个） 答：孙磊在这场比赛中投进了5个2分球。 【易错专练2】数学是一门关键学科，对于小学生而言，掌握数学知识尤为关键。它不仅能够锻炼我们的逻辑思维与解决问题的能力，还能激发我们的创新精神，提升生活技能。为了拓宽学生的数学视野，并为他们提供一个展示才华的舞台，兴义市一所小学举办了数学竞赛活动，团体赛项目共20题，每答对一道题加3分，答错一道题扣1分，未作答不加分也不扣分，四（2）班代表队在团体赛中有2题未作答，最后得了38分，他们答对了几道题？ 【答案】14道 【分析】团体赛共20题，有2题未作答，则实际作答的题目数量为：20－2＝18道。如果18道题全答对，按照“每答对1题加3分”的规则，可得分数为：18×3＝54（分）已知实际总得分是 38 分，比“全答对”的理论得分少了：54－38＝16（分）答对1题得3分，答错1题扣1分。因此，“答错1题”比“答对1题”不仅少得3分，还要多扣1分，两者的分数差距为：3＋1＝4（分）总分数少了16分，而每答错1题会导致少得4分，因此答错的题目数量为：16÷4＝4（道）实际作答18道题，减去答错的4道，剩下的就是答对的题目数量：18－4＝14（道） 【解答】实际作答题目数量：20－2＝18（道） 答错的题数为：（18×3－38）÷（3＋1） ＝（54－38）÷4 ＝16÷4 ＝4（道） 答对的题数：18－4＝14（道） 答：他们答对了14道题。 【易错专练3】丽丽家4月份一共投放垃圾20次，获得积分84个，她家这个月正确投放垃圾多少次？ 社区为了更好地开展垃圾分类工作，规定：每次正确投放垃圾可获得5个积分，错误投放倒扣3个积分。 【答案】18次 【分析】本题是鸡兔同笼类问题，可以用假设法来解决。假设丽丽家20次全部正确投放，总积分应为20×5＝100分，而实际获得84分，相差16分。每次错误投放比正确少：5＋3＝8分，那么直接用相差的分数除以8即可算出错误的次数。最后再用20减去错误的次数即可算出丽丽家这个月正确投放垃圾多少次。 【解答】20×5＝100（分） 100－84＝16（分） 5＋3＝8（分） 16÷8＝2（次） 20－2＝18（次） 答：丽丽家这个月正确投放垃圾18次。 【易错专练4】一次口算竞赛，共20道题，评分规则是：答对1道题得5分，答错或不答扣1分。小花同学参加的口算竞赛得了76分。小花答对了几道题？ 【答案】16道 【分析】假设全答对了，得分是（分），再用（分），错题或不答题应扣1分，与答对相比少（5＋1）分，少的24分就是答错或不答的结果，用24除以答错或不答题比答对少的分数，得到错题或不答题的数量，再用20减错题或不答题可得答对的题。据此解答。 【解答】 （道） 答：小花答对了16道题。 【易错专练5】游玩回家后，双胞胎兄弟俩进行数学竞赛，由爸爸出题，规则是：做对一题得10分，做错一题扣3分，两人各做了10道题，聪聪得了61分，乐乐得了48分。聪聪和乐乐各做对了几题？ 【答案】聪聪做对了7道题；乐乐做对了6道题 【分析】本题属于“鸡兔同笼”问题的变式，即得失问题。解题关键在于理解做对一题与做错一题之间的分数差。若采用假设法，假设全部做对，计算出假设总分与实际得分的差值，再除以每题的分差（做对得分与做错扣分之和），即可求出做错的题数，进而求出做对的题数。 【解答】10×10＝100（分） 10＋3＝13（分） 100－61＝39（分） 39÷13＝3（题） 10－3＝7（题） 100－48＝52（分） 52÷13＝4（题） 10－4＝6（题） 答：聪聪做对了7道题，乐乐做对了6道题。 【易错专练6】为响应国家住建部《生活垃圾分类制度实施方案》要求，某社区全面推行“绿色账户”积分管理制度。小区规定：每次正确投放垃圾可获得8个积分，错误投放垃圾倒扣3个积分。小明家6月份一共投放垃圾30次，共获得185积分，小明家6月份正确投放垃圾多少次？ 【答案】25次 【分析】假设全是正确投放，则应该有8×30＝240（分），比实际获得的总积分少了240－185＝55（分），又因为每次错误投放比正确投放少得积分8＋3＝11（分），用除法求出实际少的总积分里有多少个每次投放错误少得积分，即可求出错误投放的次数；再用投放总次数减去错误投放的次数，求出正确投放的次数。 【解答】假设全是正确投放，则错误投放的次数为： （8×30－185）÷（8＋3） ＝（240－185）÷11 ＝55÷11 ＝5（次） 正确投放次数：30－5＝25（次） 答：小明家6月份正确投放垃圾25次。 【易错专练7】某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分，问他做对几题？ 【答案】16题 【分析】假设小华都做对了。那么应得的分数是20×5＝100（分），相差（100－76）分。而把错题看成正确的，每一题多看（5＋1）分，用相差的总分除以每题相差的分数，就是错的题数。再用总题数减去错的几题就是做对几题。 【解答】20×5＝100（分） 100－76＝24（分） 5＋1＝6（分） 24÷6＝4（题） 20－4＝16（题） 答：他做对16题。 【易错专练8】学校举办“古诗文默写大赛”，共有30道题。比赛规则如下：“默对一题得8分，默错或未默一题扣3分。”小明在比赛中获得了174分，请问他默对了多少道题？ 【答案】24道 【分析】假设30道题全部默对，则得分为（30×8）分，而实际得分174分，即比实际得分多了（30×8－174）分，因为默对一题得8分，默错或未默一题扣3分，差值为（8＋3）分，用比实际多得的分数除以默对一题和默错或未默一题的差值即可求出默错或未默的题数，默对的题数＝总题数－默错或未默的题数，据此解答。 【解答】默错或未默的题数： （30×8－174）÷（8＋3） ＝（240－174）÷11 ＝66÷11 ＝6（道） 默对的题数：30－6＝24（道） 答：他默对了24道题。 易错点3：机械套用“脚差为2”。 【易错专练1】一个旅行团共14人去游玩，一共租了6辆脚踏车，每辆车刚好坐满，其中3人脚踏车有( )辆，2人脚踏车有( )辆。 【答案】2 4 【分析】假设6辆都是3人脚踏车，则一共可以坐6×3＝18（人），比实际人数多了18－14＝4（人），这是因为有一部分2人脚踏车当成了3人脚踏车，每辆3人脚踏车比2人脚踏车可以多坐3－2＝1（人），4÷1＝4（辆），说明有4辆2人脚踏车，则3人脚踏车为6－4＝2（辆）。 【解答】假设6辆都是3人脚踏车： 6×3＝18（人） 18－14＝4（人） 3－2＝1（人） 4÷1＝4（辆） 6－4＝2（辆） 所以其中3人脚踏车有2辆，2人脚踏车有4辆。 【易错专练2】自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子，自行车有多少辆？ 【答案】4辆 【分析】假设全是三轮车，则一共有轮子3×10＝30个，这比已知的26个轮子多出了30－26＝4个，因为1辆三轮车比1辆自行车多3－2＝1个轮子，每把一辆自行车当成一辆三轮车就多算1个轮子，共多的轮子数量里有几个1，就有几辆自行车。 【解答】（3×10－26）÷（3－2） ＝（3×10－26）÷1 ＝（30－26）÷1 ＝4÷1 ＝4（辆） 答：自行车有4辆。 【易错专练3】某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是52个。请问智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 【答案】智能清扫机器人有8台，智能配送机器人有7台。 【分析】假设15台全部是智能清扫机器人，即3×15＝45（个），比实际少了52－45＝7（个）轮子，智能配送机器人比智能清扫机器人每台多：4－3＝1（个）轮子，即智能配送机器人的台数是：7÷1＝7（台），智能清扫机器人台数是：15－7＝8（台） 【解答】52－3×15 ＝52－45 ＝7（个） 7÷（4－3） ＝7÷1 ＝7（台） 15－7＝8（台） 答：智能清扫机器人有8台，智能配送机器人有7台。 【易错专练4】为缓解停车难情况，我县新增多处停车场，其中某停车场有三轮车和小轿车共20辆，正好有76个轮子，小轿车和三轮车各有多少辆？ 【答案】小轿车16辆；三轮车4辆 【分析】根据题意，假设全是三轮车，则共有的轮子数是20×3＝60（个），然后与实有的轮子数相比，计算出轮子的数量差，用76－60＝16（个），就是因为每辆小轿车比三轮车多了4－3＝1（个）轮子，由此求出小轿车的数量16÷1＝16（辆），进而用20减去16，求得三轮车的数量，据此解答。 【解答】根据分析可知： （76－20×3）÷（4﹣3） ＝（76－60）÷1 ＝16÷1 ＝16（辆） 20－16＝4（辆） 答：小轿车有16辆，三轮车有4辆。 【易错专练5】动物园里，孔雀（2条腿）和梅花鹿（4条腿）关在一起。管理员数了数，一共有15个头和40条腿。孔雀和梅花鹿各有多少只？ 【答案】孔雀有10只；梅花鹿有5只。 【分析】根据题意，假设全是梅花鹿，那么15乘4，就是腿的总数，再减去实际的40，就是多出来的腿的数量；再计算出孔雀（2条腿）和梅花鹿（4条腿）的腿的数量差，最后用多出来的腿的数量除以数量差，就是孔雀的数量；用15减去10，就是梅花鹿的数量；列式计算即可。 【解答】根据分析可知： （15×4－40）÷（4－2） ＝（60－40）÷2 ＝20÷2 ＝10（只） 15－10＝5（只） 答：孔雀有10只，梅花鹿有5只。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级下册数学 （九大专题41个易错点） 目录 专题一四则运算 3 易错点1：没有正确理解加、减法或乘除法间的关系。 3 易错点2：运算顺序错误。 4 易错点3：括号的作用理解不清。 5 易错点4：解决实际问题时，列综合算式不加括号。 7 易错点5：解决租车、租船问题时注意不一定全部坐满，可以空一部分。 8 专题二观察物体（二） 9 易错点1：观察物体时，没有从观察者的角度进行判断。 9 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 12 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 14 专题三运算律 15 易错点1：运算律的理解混淆。 15 易错点2：运算律的滥用（分配律的误用）。 16 易错点3：乘法分配律应用的完整性缺失。 17 易错点4：运算顺序与简便运算的混淆。 18 易错点5：运用减法的性质或除法的性质时,没有注意运算符号的变化。 20 专题四小数的意义和性质 21 易错点1：小数意义理解不清。 21 易错点2：小数的读写错误。 22 易错点3：小数性质应用错误。 23 易错点4：小数大小比较错误。 24 易错点5：小数点移动引起小数大小变化规律掌握不牢。 25 易错点6：小数与单位换算错误。 26 易错点7：求小数的近似数错误。 27 专题五三角形 28 易错点1：对三角形的高理解错误。 28 易错点2：未能正确理解三角形的三边关系。 30 易错点3：对三角形中角的认识或三角形分类理解错误。 31 易错点4：等腰三角形和等边三角形理解错误。 32 易错点5：三角形内角和或多边形内角和运用错误。 34 易错点6：三角形稳定性理解错误。 35 专题六小数的加法和减法 37 易错点1：计算小数加减法时,相同数位未对齐。 37 易错点2：没有掌握小数减法的计算方法。 38 易错点3：小数加减法的简便运算混淆。 39 易错点4：小数加减法的实际应用偏差。 40 专题七图形的运动（二） 41 易错点1：没有明确对称轴的意义和对称轴的基本特征，错误判断轴对称图形。 41 易错点2：没有掌握平移作图的方法，导致作图错误。 42 易错点3：补全轴对称图形时“距离”数错。 44 易错点4：平移巧算周长或面积易错。 46 专题八平均数与条形统计图 48 易错点1：混淆“平均数”与“个体实际值”。 48 易错点2：总数量与总份数“不对应”。 49 易错点3：逆向求总数时“漏乘份数”。 50 易错点4：复式条形统计图绘制不规范或解决问题时数据对比与分析偏差。 52 专题九数学广角—鸡兔同笼 55 易错点1：假设与求解对象“张冠李戴”。 55 易错点2：差额计算忽略“倒扣”机制（常见于得分问题）。 57 易错点3：机械套用“脚差为2”。 59 专题一四则运算 易错点1：没有正确理解加、减法或乘除法间的关系。 【易错专练1】已知327－☐＝16，这个算式中☐的求法是（    ）。 A．被减数－减数＝差 B．加数＝和－另一个加数 C．减数＝被减数－差 D．和＝加数＋另一个加数 【易错专练2】如果，下列算式中不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】若●＋★＝■，△÷☐＝☆（☐≠0），则下面算式正确的是（    ）。 A．■＋●＝★ B．★－■＝● C．☆÷□＝△ D．□×☆＝△ 【易错专练4】丽丽用计算器计算一道乘法算式时，将一个因数24输成了4，要想得到正确结果，丽丽应再（    ）。 A．加20 B．乘6 C．除以6 【易错专练5】若86－＝0，则＝（ ）；若÷（12×6）＝1，则＝（ ）。 易错点2：运算顺序错误。 【易错专练1】用脱式计算下面各题。 （120×15－900）÷30        5×[（604＋188）÷33] 【易错专练2】递等式计算。 23＋7×120        （）         【易错专练3】脱式计算。 642－504÷36＋189              150×[（54＋27）÷9] 【易错专练4】脱式计算。 143－540÷9＋52            （374－11×34）×6            380×[215－（150－135）] 【易错专练5】脱式计算。 35×（70－400÷25）    （20＋620）÷[（42－2）÷2]    1021－21×（96÷12） 易错点3：括号的作用理解不清。 【易错专练1】下列说法正确的是（    ）。 A．的运算顺序是先乘后除最后减。 B．在没有括号的加减混合运算中，要从左往右依次计算。 C．在一道有括号的算式里，应先算中括号里的，再算小括号里的。 【易错专练2】四年级同学参加植树活动，男生有64人，女生有56人，平均分成8组，每组有多少人？列式正确的是（    ）。 A．（64＋56）÷8 B．64＋56÷8 C．64÷8＋56 【易错专练3】要使560÷56－20＋16的结果是28，下面括号添加正确的算式是（    ）。 A．560÷（56－20）＋16 B．560÷[56－（20＋16）] C．560÷（56－20＋16） D．560÷56－（20＋16） 【易错专练4】下列算式中，小括号去掉后，运算顺序仍不改变的是（    ）。 A．6×[（32－4）×5] B．（63×7）＋（12÷3） C．（180－60）÷20 D．（375×0＋10）×25 【易错专练5】计算，运算顺序是（    ）。 A．乘减加 B．减加乘 C．减→乘→加 D．乘加减 易错点4：解决实际问题时，列综合算式不加括号。 【易错专练1】书店购进480本儿童绘本，前6天卖出120本。剩下的绘本如果每天比之前多卖出4本，还能卖多少天？ 【易错专练2】小明寒假看书，原计划每天看12页，25天看完；实际每天比原计划多看3页，实际多少天看完了全书？ 【易错专练3】某超市开展酸奶促销活动，一种酸奶“每满5瓶送1瓶”。这种酸奶每瓶售价4.98元/瓶，李叔叔想购买12瓶，实际需要花多少钱？ 【易错专练4】航模组有男生8人，女生6人，美术组的人数是航模组的2倍。合唱组有84人，合唱组的人数是美术组的几倍？（列综合算式解答） 【易错专练5】兄妹家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。兄妹俩同时出发，哥哥到学校后立即返回接妹妹。哥哥接到妹妹时，妹妹离家有多少米？ 易错点5：解决租车、租船问题时注意不一定全部坐满，可以空一部分。 【易错专练1】有32名同学去公园乘船，每条小船限坐4人，每条大船限坐6人。 （1）怎样租船才能一次运到，且没有空座位？在下面表格中写出3种方案。 方案1 方案2 方案3 小船（条） 大船（条） （2）如果租小船每条80元，租大船每条100元，怎样租船最省钱，需要多少元？ 【易错专练2】国庆节期间，四年级50名同学去野营。大帐篷每顶住5人，租金100元；小帐篷每顶住4人，租金96元。怎样租帐篷最省钱？ 【易错专练3】10月中旬，张老师组织25名学生租车前往殷墟博物馆参观。 （1）如果每辆车都坐满，可以怎样租车？ （2）如果租一辆小轿车40元，租一辆面包车50元，哪种租车方案最省钱？ 【易错专练4】游泳馆有A、B两类卡，A类卡：150元，限使用6次；B类卡：180元，限使用8次。即将要上五年级的华华在暑假期间准备去游泳馆游泳30次。 （1）怎样购卡最合算？需花费多少元？ （2）爸爸、妈妈想各陪华华游7次，这时他们全家怎样购卡最合算？ 【易错专练5】AI实验室需将112个智能垃圾分类机器人从研发区运输至测试区，有两种专用运输车可选： A型运输车：每次运8个机器人，运输费96元/次。 B型运输车：每次运12个机器人，运输费132元/次。 如何安排运输最省钱？运输费最少多少元？ 专题二观察物体（二） 易错点1：观察物体时，没有从观察者的角度进行判断。 【易错专练1】如下图，从上面观察这个物体，看到的形状是（    ）。 A． B． C． 【易错专练2】下面的立体图形中，从上面看到的形状不相同的是（    ）。 A． B． C． 【易错专练3】观察如图所示的物体，从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． 【易错专练4】下列物体中，从前面和左面看形状分别相同的是（    ）。 A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【易错专练5】分别用5个小正方体搭成如图的三个立体图形，从（    ）看这三个立体图形，看到的形状是完全相同的。 A．正面 B．左面 C．上面 D．右面 【易错专练6】先仔细观察物体，再将序号填入适当的括号内。 （1）从前面看到的形状是图A的有（ ），形状是图B的有（ ）。 （2）从左面看到的形状是图A的有（ ），形状是图B的有（ ）。 （3）从上面看到的形状是图C的有（ ）；从前面和左面看到的形状都是图B的是（ ）。 【易错专练7】用同样大小的正方体搭出了下面的不同物体，观察并填一填。（填序号） （1）从前面看到的形状是的物体有（ ）。 （2）从左面看到的形状是的物体有（ ）；从上面看到的形状是的物体有（ ）。 （3）从前面看到的形状是的物体有（ ）；从左面看到的形状是的物体有（ ）。 （4）从上面看，看到6个正方形的物体有（ ），看到5个正方形的物体有（ ）。 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 【易错专练1】一个立体图形，从上面看到的形状是，从前面看到的形状是，搭这个立体图形最少需要（ ）个小正方体。 【易错专练2】用同样大小的正方体摆成立体图形，从前面看是，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形要用（ ）个小正方体。 【易错专练3】金金用同样大的小正方体搭了一个几何体，从前面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是，要搭成这个几何体至少需要（ ）个小正方体（至少有一个面与其它小正方体贴合）。 【易错专练4】一个由小正方体组成的立体图形，从前面看是，从上面看是，从左面看是。这个立体图形至少有（ ）个。 【易错专练5】一个物体从上面看是，从右面看是，搭这样的一个物体至少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个小正方体。 【易错专练6】一个模型由若干个小正方体搭成，已知从左面和前面看到的图形（分别如下所示），请你思考搭建这个模型至少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个小正方体（每个小正方体面与面相接）。 【易错专练7】一个由相同的小正方体组成的立体图形，从任何一面看到的图形都是，那么这个立体图形最多由（ ）个小正方体组成。 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 【易错专练1】小明用一些小正方体搭建立体图形，从前面看到的形状是，从上面看到的形状是。搭这个图形最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？ 【易错专练2】用4个同样大的正方体按要求摆一摆。 （1）从上面看是，有几种不同的摆法？ （2）从前面看是，请摆出四种。 【易错专练3】如下图所示，保持从上面看到的图形不变的情况下： （1）如果有5个小正方体，可以怎样摆？ （2）如果有6个小正方体，可以有几种不同的摆法？ （3）最多可以摆几个小正方体？ 【易错专练4】如下图所示，要使从上面看到的图形不变： （1）如果是5个小正方体，可以怎样摆？ （2）如果有6个小正方体，可以有几种不同的摆法？ 专题三运算律 易错点1：运算律的理解混淆。 【易错专练1】75＋（28＋25）＝（75＋25）＋28只运用了加法结合律。（ ） 【易错专练2】38＋133＋57＝38＋（133＋57）运用了乘法结合律。（ ） 【易错专练3】计算（125＋25）×8＝125×8＋25×8运用了乘法结合律。（ ） 【易错专练4】下面的算式中，（    ）运用的不是加法交换律。 A．32＋14＝14＋32 B．42＋81＋58＝42＋58＋81 C．64＋25＝24＋65 【易错专练5】53×25＋49×25＝（53＋49）×25运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．加法结合律 易错点2：运算律的滥用（分配律的误用）。 【易错专练1】怎样简便怎样计算。 102×56              186×14＋14×14 25×43×2×4         483÷[（68－45）×3] 【易错专练2】脱式计算，能简算的要简算。 864÷[（27－23）×12]        4×296×25        21＋399×21 【易错专练3】用你喜欢的方法计算。 810÷54    548×19＋548    4000÷8÷125 【易错专练4】用简便方法计算下面各题。 21×32＋58×68＋32×37             12×21＋23×12＋52×11 【易错专练5】怎样算简便就怎样算。 25＋66＋34            560÷[（72－58）×5] 6000÷8÷125            16×92＋8×16 易错点3：乘法分配律应用的完整性缺失。 【易错专练1】小马虎在计算（5＋△）×6时把括号漏掉了，这样计算的结果和正确结果相比，（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．相等 【易错专练2】以下不符合25×44的简便算法是（    ）。 A．25×（40×4） B．25×（40＋4） C．25×（4×11） 【易错专练3】小乐在计算（20＋□）×5时，错算成20＋□×5，结果比正确答案少（    ）。 A．20 B．80 C．100 D．120 【易错专练4】用简便方法计算。 （25×145）×40       205×37－37×5       102×48 【易错专练5】计算。 55×66＋66×77＋77×88＋88×99 易错点4：运算顺序与简便运算的混淆。 【易错专练1】计算下面各题。 789－12－188＋11         531÷[（82－79）×3] 39×98＋39×2                  25×77×4 【易错专练2】用你喜欢的方法计算。 320÷（8×8）        125×14×8        2300÷25 【易错专练3】脱式计算。（能简算的要简算） 900－150÷6×20    125×64－56×125    25×17×4 【易错专练4】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 42×2－84÷7        237＋1253＋63－253 87×99＋87          186÷[（160＋200）÷60] 【易错专练5】脱式计算，能简算的要简算。 265×105－265×5     360÷[15×（101－93）]        125×56 99×19＋19            523－32－68                  240÷15÷4 易错点5：运用减法的性质或除法的性质时,没有注意运算符号的变化。 【易错专练1】当☆＝（ ）时（填“82”、“153”、“48”），算式就可以转换成进行简便运算，最后计算结果是（ ）。 【易错专练2】用计算器算“680÷40”时，发现数字键“4”坏了，如果还用这个计算器，你会怎么样计算？请写出算式（ ）。 【易错专练3】某商场举办促销活动，冰箱每台优惠660元，标价满5000元的再减340元。王阿姨想买一台标价5598元的冰箱只需付多少钱？ 【易错专练4】端午节与春节、清明节、中秋节并称为中国汉族的四大传统节日。自古以来端午节便有划龙舟及食粽等节日活动。自2008年起，端午节被列为国家法定节假日。端午节，食品厂为敬老院的爷爷奶奶特制了3600个粽子，每20个装一袋，每3袋装一盒，一共装了多少盒？ 【易错专练5】为了支援灾区人民，省红十字协会决定往灾区运送18000袋大米，这些大米需要25辆同样的卡车分4次才能全部运完。一辆卡车一次可以运送多少袋大米？ 专题四小数的意义和性质 易错点1：小数意义理解不清。 【易错专练1】把整数“1”平均分成1000份，表示这样46份的数是（    ）。 A．4.6 B．0.46 C．0.046 D．46 【易错专练2】公元3世纪，中国数学家刘徽用“丈、尺、寸”等单位表示小数。比如“3丈1尺4寸”可以表示“3.14”这个小数，“10丈1寸”就是小数（    ）。 A．10.1 B．10.01 C．10.10 D．10.001 【易错专练3】在学校“节约用水”宣传周，小明记录了家里一周的用水量。周一用了2.5吨，周二用了2.05吨。“2.5”中的“5”表示5个（ ），“2.05”中的“5”表示5个（ ）。 【易错专练4】一个小数，小数点右边第一位上是6，左边第一位上是8，左边第二位上是4。这个数是（ ），它里面有（ ）个0.1。 【易错专练5】6.503中的“6”在（ ）位上，表示6个（ ）；“5”在（ ）位上，表示5个（ ）；“3”在（ ）位上，表示3个（ ）。 易错点2：小数的读写错误。 【易错专练1】一个数由3个一、9个0.1和5个0.001组成，这个数是（ ），读作（ ）。 【易错专练2】二十五点零零四写作（ ）；五点二一写作（ ）。 【易错专练3】352.01读作（ ）102.98读作（ ）。 【易错专练4】写出下面横线上的数。 （1）一只北极熊的体重是零点七五吨。             写作：（ ） （2）成年人的头发直径约是零点零七毫米。         写作：（ ） （3）马里亚纳海沟最深处约为十一点零三四千米。   写作：（ ） 【易错专练5】用4，0，9，6这几个数字和小数点“.”按要求写出下面各数。（每个数字都要用上并且只能用一次）。 （1）小于1且小数部分是三位的小数：________________________________________。 （2）大于9且小数部分是三位的小数：________________________________________。 （3）0不读出来且小数部分是两位的小数：________________________________________。 易错点3：小数性质应用错误。 【易错专练1】4.3，4.30，4.300这三个数（    ）。 A．大小相等，精确度也相同B．大小相等，但精确度不同 C．4.300大 【易错专练2】把2.73改写成三位小数是（    ）。 A．2.730 B．2.703 C．2.073 【易错专练3】一个数由4个十和7个百分之一组成，这个数写作（ ），读作（ ），把它改写成用“千分之一”作单位且大小不变的小数是（ ）。 【易错专练4】化简下面各数。 6.7760＝   80.000＝   3.0020＝   0.020＝   60.0250＝ 【易错专练5】不改变数的大小，把下面各数写成三位小数。 1.8＝          3＝          46.07＝ 25＝          0.98＝        121.6＝ 0.60＝        4.7＝         100＝ 易错点4：小数大小比较错误。 【易错专练1】30.8＜42.5＜44.6＜4☐.2，☐里最小填（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【易错专练2】甲、乙、丙、丁四人50米短跑的成绩是：甲8.1秒，乙7.95秒，丙8.02秒，丁9.5秒，他们中跑得最快的是（ ）。 【易错专练3】下面是几位同学100米赛跑的成绩，请排出他们从快到慢的名次。 姓名 张明 李娜 晓军 周彤 程静 成绩米/秒 7.48 16.39 16.66 17.02 16.09 【易错专练4】悦悦爸爸和军军、龙龙、佳佳的爸爸都参加了“半马”比赛，成绩如下： 姓名 悦悦爸爸 军军爸爸 龙龙爸爸 佳佳爸爸 成绩/时 1.67 1.82 1.62 2.01 （1）请给爸爸们排名次：第一________；第二________；第三________；第四________。 （2）你是怎么为他们排名的：________________________________________。 【易错专练5】用3、0、2、1四个数字和小数点，按要求写出下面各数。 （1）写出小于1的两位小数，并按从小到大的顺序排列。（在每一个小数中，每个数字只能用一次） （2）写出大于30小于100的一位小数，并按从大到小的顺序排列。（在每一个小数中，每个数字只能用一次） 易错点5：小数点移动引起小数大小变化规律掌握不牢。 【易错专练1】把6.25的小数点向右移动一位是（ ），把3.56的小数点去掉后相当于扩大到原来的（ ）倍。 【易错专练2】0.365里面有（ ）个千分之一，把56缩小到它的是（ ）。 【易错专练3】0.76扩大到原来的1000倍是（ ），23.8缩小到原来的是（ ）。 【易错专练4】两个数相除的商是5.36，将被除数的小数点先向左移动两位，再向右移动一位，得到的商是（ ）。 【易错专练5】把5.098的小数点向右移动两位是（ ），它是原数的（ ）；如果把原数小数点向左移动一位它是原数的（ ）。 易错点6：小数与单位换算错误。 【易错专练1】0.47公顷＝（ ）平方米        （ ） 【易错专练2】700平方分米＝（ ）平方米    25公顷＝（ ）平方千米 【易错专练3】在括号里填上合适的数。 530厘米＝（ ）米   3吨60千克＝（ ）吨 2.5公顷＝（ ）平方米   10.6元＝（ ）元（ ）角 【易错专练4】40.5平方千米＝（ ）公顷    60800平方米＝（ ）公顷 5700000平方米＝（ ）平方千米    3.4公顷＝（ ）平方米 【易错专练5】540厘米＝（ ）米       5200平方米＝（ ）公顷 3.2吨＝（ ）千克           400000平方米＝（ ）平方千米 易错点7：求小数的近似数错误。 【易错专练1】有一个小数，用“四舍五入”法取近似数约是6.0，这个小数可能是（    ）。 A．5.94 B．5.99 C．6.06 D．6.12 【易错专练2】一个三位小数“四舍五入”保留两位后是8.80，这个数最大是（    ）。 A．8.804 B．8.809 C．8.795 【易错专练3】省略千分位后面的尾数。 6.8492≈              3.9848≈              0.0428≈              19.9996≈ 【易错专练4】文具店为了促销，将笔记本的实际售价（两位小数）用“四舍五入”法保留一位小数后标注在海报上，这样标价会比实际售价更简洁，方便顾客快速查看。已知一款笔记本的海报标价为3.8元，这款笔记本的实际售价最高可能是（ ）元，最低可能是（ ）元。 【易错专练5】阅读下面的资料，再填空：2024年6月25日嫦娥六号任务取得圆满成功。这次月球之旅，嫦娥六号历时53天，任务往返约768800千米，最后成功从月球背面带回1935.3克的背面样品，这是人类历史上首次从月球背面采集月壤。 （1）横线上的数改写成用“万”作单位的数是（ ），保留一位小数约是（ ）。 （2）嫦娥六号带回的月壤重（ ）千克，保留整数是（ ）千克。 专题五三角形 易错点1：对三角形的高理解错误。 【易错专练1】如下图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC 【易错专练2】写出下列三角形的底和高。 （1）图①中三角形的底是（ ），高是（ ）。 （2）图②中三角形的底是（ ），高是（ ）。 （3）图③中三角形的底是（ ），高是（ ）。 【易错专练3】填一填。 （1）在图中括号里写出三角形各部分的名称。 （2）每个三角形中都有（    ）条边，（    ）个角，（    ）个顶点，（    ）条高。 （3）图中的三角形可以表示为（    ）。 【易错专练4】如下图，在一组平行线之间有3个三角形，从数学角度观察，3个三角形有什么共同点？ 【易错专练5】画出下面三角形指定底边上的高。 易错点2：未能正确理解三角形的三边关系。 【易错专练1】一个三边长均为整厘米数的三角形的两边的长分别是8厘米和3厘米，第三边的长度最大为（ ）厘米，最小为（ ）厘米。 【易错专练2】把一根12cm长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形，这个三角形三条边的长度可能分别是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm，还可能分别是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm。 【易错专练3】海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 【易错专练4】三角形的一条边长是12厘米，另外两条边长（整米厘米）的和是20厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【易错专练5】把一根长10厘米的铁丝剪成3段，再首尾相连围成三角形。（在整厘米处剪） （1）若从4厘米处剪了一刀，再在（    ）厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确吗？请举例说明理由。 易错点3：对三角形中角的认识或三角形分类理解错误。 【易错专练1】一个三角形里虽然有两个锐角，但这个三角形不一定是锐角三角形。（ ） 【易错专练2】一个三角形中最大的角是100°，这个三角形一定是钝角三角形。（ ） 【易错专练3】图中有（ ）个锐角三角形，（ ）个直角三角形，（ ）个钝角三角形。 【易错专练4】有一块三角形玻璃碎成了三块（如图），如果到玻璃店再重新配一块形状完全一样的玻璃，最省事的办法是带着第（ ）块玻璃。 【易错专练5】下面的三个纸袋里各有一个三角形，都有一个角露在外面。你能猜一猜它们分别可能是什么三角形吗？ （ ）三角形      （ ）三角形         （ ）三角形 易错点4：等腰三角形和等边三角形理解错误。 【易错专练1】已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长（ ）厘米。 【易错专练2】有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是（ ）厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是（ ）厘米。 【易错专练3】一个等腰三角形形状的风筝，两条边长分别是54厘米和27厘米，这个风筝的周长是多少厘米？ 【易错专练4】一根铁丝刚好可以围成一个边长是8cm的等边三角形，若把它重新围成一条边长是6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的底和腰各是多少厘米？ 【易错专练5】一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 易错点5：三角形内角和或多边形内角和运用错误。 【易错专练1】如图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【易错专练2】在三角形ABC中∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝70°。那么∠5等于（ ）°。 【易错专练3】如图，已知等腰梯形中∠1＝45°，那么∠2＝（ ）。 【易错专练4】如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝（ ）°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是（ ）°。 【易错专练5】如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 易错点6：三角形稳定性理解错误。 【易错专练1】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的（ ）性。 【易错专练2】如下图，小红利用课余时间搭建了一座相当牢固的“桥”，这是利用了（ ）。 【易错专练3】如图，这种外推式窗户用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不易吹动窗户。请你利用学过的知识解释这样设计的原理。 【易错专练4】爷爷给菜地设计篱笆，他想了以下几种方案，哪种方案设计的篱笆最牢固？为什么？ 【易错专练5】王宇同学为克服自己的惰性，把电影《哪吒2》中哪吒说的“我命由我，不由天”做成座右铭相框时时勉励自己。为了使相框立着放置，他选择用三角形支架。 （1）这里选用三角形支架是应用了三角形的____________这一特性。 （2）网上有3种组合的木条： ①8cm    15cm    6cm ②7cm    7cm    14cm ③10cm    8cm    6cm 你会建议王宇选第（ ）种组合的木条。（填序号）说说你的想法：__________________________________________________________________。 专题六小数的加法和减法 易错点1：计算小数加减法时,相同数位未对齐。 【易错专练1】竖式计算并验算。 12.68＋6.34＝         50－18.76＝ 【易错专练2】用竖式计算，带*的要验算。 7.6＋5.68＝                    15－9.07＝                    *8.6－5.63＝ 【易错专练3】列竖式计算并验算。 8.73＋3.26＝                          108－18.57＝ 【易错专练4】用竖式计算。（带☆的要验算） 7.06＋6.89＝                ☆19.1－1.26＝ 【易错专练5】用竖式计算。（带※的要验算） 65.7＋4.89＝    ※100－27.3＝ 易错点2：没有掌握小数减法的计算方法。 【易错专练1】列竖式计算画“☆”的算式写出验算。 139.08－38.9＝    ☆203－73.98＝ 【易错专练2】用竖式计算下面各题，带※的要验算。 20－12.59＝         ※11.4－2.8＝ 【易错专练3】用竖式计算。 31.75－29.8＝        10－2.36＝ 【易错专练4】用竖式计算。 36.12－7.89＝    80.1－25.27＝ 【易错专练5】列竖式计算，带有*号的算式要验算。 5.34－3.4＝        *15－5.8＝ 易错点3：小数加减法的简便运算混淆。 【易错专练1】用你喜欢的方法计算。（能简算的要简算） 3.5－1.72＋6.08        8.24－（3.7＋1.76）        51.23－7.44－2.56 【易错专练2】仔细计算。 13.8－6.43－3.55    32.8＋（17.2－4.02）    4.15＋38.7－22.96 【易错专练3】脱式计算。 15.3－11.6＋4.7    21.32－（6.32＋8.3）    30－（16.5－3.8） 【易错专练4】简便计算。 7.36－1.68－0.32        2.28－（1.35＋0.28）        36.89－7.5－2.5＋0.11 【易错专练5】怎样简便怎样计算。 8.26－5.3＋1.74                 35.08－12.43－7.57             27.5－11.25＋23.5－18.75 易错点4：小数加减法的实际应用偏差。 【易错专练1】骑行是一种健康自然的运动旅游方式，一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保。文叔叔周末常常去骑行，本周末的骑行目标是55千米。第一小时骑行了22.38千米，第二小时骑行了23.62千米，他还要骑行多少千米才能完成预定目标？ 【易错专练2】四（1）班的强强同学原来体重42.4千克，他在三个月的时间内通过锻炼和改善饮食习惯体重下降6.8千克，但比目标体重还重3.2千克。强强的目标体重是多少千克？（用最简便的方法解答） 【易错专练3】郑州黄河风景名胜区是以灿烂的黄河历史文化、优美的山林绿地为特色的新型游览胜地。贝贝一家打车前往郑州黄河风景名胜区，实际支付时发现有2项优惠，实际需要支付多少钱？ 订单总额：28.5元 满15元立减：3.64元 平台无门槛优惠券：2.36元 实付金额：*元 【易错专练4】下面是李阿姨的超市购物小票，她一共花了多少钱？ 商品 单价/元 数量/千克 金额/元 玉米 6.60 1.382 9.12 大蒜 4.50 1.011 4.55 生姜 3.60 3.022 10.88 香蕉 5.80 0.940 5.45 【易错专练5】买文具。 （1）张宇买了一个文具盒、一块橡皮和一支钢笔，一共花了多少元？ （2）李强买了一支钢笔和一本笔记本，付给收银员20元，应找回多少元？ 专题七图形的运动（二） 易错点1：没有明确对称轴的意义和对称轴的基本特征，错误判断轴对称图形。 【易错专练1】下面图形中，有3条对称轴的是（    ）。 A．等腰梯形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 【易错专练2】下面图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】下面图形中，有（    ）个轴对称图形。              A．4 B．3 C．2 D．1 【易错专练4】以虚线为对称轴，正确画出点M的对称点的是图（    ）。 A． B． C． 【易错专练5】“数学”的英文大写为“MATHS”，其中不是轴对称图形的字母是（    ）。 A．M B．T C．H D．S 易错点2：没有掌握平移作图的方法，导致作图错误。 【易错专练1】画出图形向右平移8格后的图形。 【易错专练2】把下面的图形先向右平移10格，再向下平移3格。 【易错专练3】小鱼先向左平移8格，再向上平移2格。 【易错专练4】画出图A的轴对称图形，再将整个图形向右平移6格。 【易错专练5】请在方格纸上画出小船先向右平移5格，再向下平移4格后的图形。 易错点3：补全轴对称图形时“距离”数错。 【易错专练1】按要求画一画，以虚线为对称轴，画出下列图形的轴对称图形。 【易错专练2】画出下列图形的另一半，使它们都成为轴对称图形。 【易错专练3】以虚线为对称轴，画出下列图形的轴对称图形。 【易错专练4】中国古代人讲究对称美，所以在汉字的演变过程中，有许多汉字是对称的。请你利用对称的特征，写出汉字的另一半。 【易错专练5】画出下面轴对称图形的另一半。 易错点4：平移巧算周长或面积易错。 【易错专练1】某广场有一个长方形花坛，为迎接国庆节，园艺工人将花坛平均分成4份，在阴影部分种虞美人，其余部分种含笑花，如下图。种虞美人的面积是多少平方米？如果每平方米的虞美人要68元，那么一共要花多少钱？ 【易错专练2】如图，公园内有一块长22米、宽14米的长方形空地。在空地上铺设一条宽2米的曲折石子小路，其余地方铺草坪。你能算出草坪的面积吗？ 【易错专练3】古典园林素有“有山皆是园，无水不成景”之说，水赋予园林更多的生机和活力。下图是园林的水池示意图，求出水池（阴影部分）的面积。 【易错专练4】如图。在长32米、宽20米的长方形草坪上修筑宽度为2米的小路，余下部分种花草。种花草（涂色部分）的面积是多少平方米？ 【易错专练5】如图，一个边长为20厘米的正方形，上面横竖各有两张长方形纸条，形成一个“井”字，纸条宽都是2厘米。求“井”字部分的面积。 专题八平均数与条形统计图 易错点1：混淆“平均数”与“个体实际值”。 【易错专练1】李春，王芳，张强三人的平均体重为45千克，李春体重45千克，王芳比李春重，张强的体重（    ）。 A．小于45千克 B．等于45千克 C．超过45千克 【易错专练2】学校足球队队员的平均身高是157厘米，小军身高155厘米，他不可能是学校足球队队员。（ ） 【易错专练3】中国男性平均寿命大约是75岁，小吉的爷爷一定会活到75岁。（ ） 【易错专练4】乐乐家今年前半年平均每月用水量是8吨，那么乐乐家5月份的用水量不可能比8吨多。（ ） 【易错专练5】乐乐身高1.6米，在平均水深1.1米的水塘里玩，不会有危险。（ ） 易错点2：总数量与总份数“不对应”。 【易错专练1】一辆货车载满货物从甲地开出，3小时行驶了120千米到达乙地，卸完货物后原路返回，2小时后到达甲地。这辆货车往返甲乙两地平均每小时行驶（ ）千米。 【易错专练2】有五个数，它们的平均数是138，把它们从小到大排列后，前三个数的平均数是127，后三个数的平均数是148，中间的数是（ ）。 【易错专练3】小芳参加小歌手比赛，5位评委的评分分别是97分、97分、95分、96分、93分，比赛计分规则是“先去掉1个最高分和1个最低分，再算平均分”，那么，小芳最后的得分是（ ）分。 【易错专练4】阳光实验小学四年级有6个班，五年级有5个班。四年级平均每班有42名学生，五年级平均每班有44名学生。四、五年级一共有多少名学生？ 【易错专练5】甲、乙、丙、丁四个小朋友共有彩色玻璃球200颗，甲给乙26颗，乙给丙36颗，丙给丁32颗，丁给甲4颗后四人的颗数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？ 易错点3：逆向求总数时“漏乘份数”。 【易错专练1】图是一张从重庆北站到武汉汉口的火车票。这列火车的平均速度是169千米/小时。吴阿姨乘这列火车于当天22：57到达汉口。你能算出重庆北站到汉口的铁路长多少千米吗？ 【易错专练2】随着共享经济的到来，我国外卖行业的消费需求和规模都在持续扩大。如表是某外卖公司对外卖骑手李师傅一周送单量的数据跟踪。 星期 一 二 三 四 五 六 日 送单量/单 32 31 36 28 33 40 45 （1）李师傅平均每天送多少单外卖？ （2）照这周平均每天送单量来计算，李师傅8月份一共可以送出多少单外卖？ 【易错专练3】健步走是人们喜爱的一种运动方式。健步走时，人们可以根据个人需要，选择合适的速度，每次走30～60分钟，累计不少于6000步，就能达到较好的锻炼效果。按照孙老师今天的健步走计划，他一共能走多少步？ 【易错专练4】下面是某自行车专卖店今年前三个月卖出的自行车数量。按照这三个月平均每月卖出自行车的数量计算，这个专卖店今年全年能卖出多少辆自行车？ 月份 一月 二月 三月 数量（辆） 69 61 50 【易错专练5】如图，这是快递站工作人员王叔叔六月份一周的工作量。 星期 一 二 三 四 五 六 七 件数 57 62 55 50 68 56 65 （1）王叔叔这个周平均每天送多少件快递？ （2）根据这个周平均每天的工作量，你能算出王叔叔在六月份送出多少件快递吗？ 易错点4：复式条形统计图绘制不规范或解决问题时数据对比与分析偏差。 【易错专练1】根据数据绘制复式条形统计图。 项目 男生人数 女生人数 阅读 15 20 运动 25 18 问题：男生和女生在哪个项目上差异最大？相差多少人？ 【易错专练2】下面是某小学体育老师收集到该校四年级学生喜欢篮球、足球、跑步和跳绳四项运动的相关数据。（每个学生都参加了信息采集，每个学生只选一个最喜欢的项目。） 项目 篮球 足球 跑步 跳绳 男生人数 58 43 24 14 女生人数 25 22 38 50 （1）根据统计表补充完成上面的统计图。 （2）从统计图中可看出，男生喜欢（    ）项目的人数最多，女生喜欢（    ）项目的人数最少。 （3）喜欢篮球的男生比喜欢足球的女生多（    ）人。 （4）这个学校四年级学生共有（    ）人。 【易错专练3】根据统计图回答下列问题。 （1）一、二、三年级得近视的男生共有多少人？ （2）哪个年级得近视的人数最多？ （3）你知道哪些用眼行为会伤害眼睛，你还知道护眼行为有哪些？ 【易错专练4】刘叔叔购买了A、B两款无人机，为测试无人机的飞行时间，刘叔叔分别对两款无人机做了四次试飞试验， 把测试结果记录在统计表和统计图中。 无人机飞行时间测试情况统计表 单位：分 类别 A款 B款 第一次 36 35 第二次 38 37 第三次 30 36 第四次 28 36 （1）把条形统计图补充完整。 （2）所有测试结果中，时间最长的一次是（    ）款无人机的测试结果。 （3）B款无人机平均飞行时长是（    ）分。 （4）如果让你从中购买一款无人机，你会选A款还是B款？说说你的理由。 【易错专练5】武陟县嘉应观风景区2025年五一期间售票情况如下表所示： 日期 成人票售出数量（张） 儿童票售出数量（张） 5月1日 1200 900 5月2日 1000 600 5月3日 600 400 （1）根据上面的信息，将统计图补充完整 （2）售票最多的是5月（    ）日，共售出（    ）张。 （3）5月2日成人票比儿童票多售出（    ）张。 （4）如果你是嘉应观景区管理人员，针对五一期间的售票情况，你有什么想法？ 专题九数学广角—鸡兔同笼 易错点1：假设与求解对象“张冠李戴”。 【易错专练1】六年级同学制作了94件蝴蝶标本，贴在11块展板上展出。每块小展板贴6件，每块大展板贴10件。两种展板各有多少块？ 【易错专练2】运输队给某商家运1800件货物，约定每件货物的运费为3元，如运输途中有损坏，则取消该件货物的运费，且每件损毁货物还需赔偿商家50元，这批货物运到后，运输队共收到货款5082元。损坏了几件货物？ 【易错专练3】笼子里有蜘蛛、蝉、蜻蜓三种动物共18只，共有腿116条，共有翅膀22对。其中一只蜘蛛8条腿：一只蝉6条腿，1对翅膀；一只蜻蜓6条腿，2对翅膀。问蜘蛛、蝉、蜻蜓各有几只？ 【易错专练4】为响应国家全民健身号召，新安县教育体育局将匹克球纳入校园特色赛事，助力师生体育锻炼。在赛事器材筹备环节，工作人员把80个匹克球分装在1个大盒和5个同样的小盒里，正好全部装满；且每个大盒比每个小盒多装8个匹克球。大盒里装了多少个匹克球？每个小盒呢？ 【易错专练5】星光餐厅有2人桌和4人桌，共10张，坐满可供32人同时用餐。这个餐厅的2人桌、4人桌各多少张？ 【易错专练6】温县陈家沟景区举办武术表演活动，包括太极拳和太极剑的精彩展示。每个太极拳表演者需配2件白色练功服，每个太极剑表演者需配3件蓝色练功服。已知参加表演的总人数是40人，共准备了95件练功服，请问太极拳表演者和太极剑表演者各有多少人？ 【易错专练7】在生物考察站中，科学家发现一处特殊区域内节肢动物的生存密度反常。通过夜间红外摄像记录，统计到共有25只蜘蛛和螳螂在此区域活动。科学家通过捕捉统计，发现所有个体的腿总数达到170条，已知每只蜘蛛有8条腿，每只螳螂有6条腿，那么蜘蛛和螳螂各有多少只？ 【易错专练8】在学校丰富多彩的社团活动中，手工社团备受欢迎。手工社团25名同学一起参与折纸花活动，他们共折了179朵纸花，已知女生每人折8朵，男生每人折5朵，那么在这个手工社团中，男女生各有多少人？ 易错点2：差额计算忽略“倒扣”机制（常见于得分问题）。 【易错专练1】篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分，在一场比赛中，孙磊投了13个球，进了8个，没有罚球，总共得了19分，孙磊在这场比赛中投进了几个2分球？ 【易错专练2】数学是一门关键学科，对于小学生而言，掌握数学知识尤为关键。它不仅能够锻炼我们的逻辑思维与解决问题的能力，还能激发我们的创新精神，提升生活技能。为了拓宽学生的数学视野，并为他们提供一个展示才华的舞台，兴义市一所小学举办了数学竞赛活动，团体赛项目共20题，每答对一道题加3分，答错一道题扣1分，未作答不加分也不扣分，四（2）班代表队在团体赛中有2题未作答，最后得了38分，他们答对了几道题？ 【易错专练3】丽丽家4月份一共投放垃圾20次，获得积分84个，她家这个月正确投放垃圾多少次？ 社区为了更好地开展垃圾分类工作，规定：每次正确投放垃圾可获得5个积分，错误投放倒扣3个积分。 【易错专练4】一次口算竞赛，共20道题，评分规则是：答对1道题得5分，答错或不答扣1分。小花同学参加的口算竞赛得了76分。小花答对了几道题？ 【易错专练5】游玩回家后，双胞胎兄弟俩进行数学竞赛，由爸爸出题，规则是：做对一题得10分，做错一题扣3分，两人各做了10道题，聪聪得了61分，乐乐得了48分。聪聪和乐乐各做对了几题？ 【易错专练6】为响应国家住建部《生活垃圾分类制度实施方案》要求，某社区全面推行“绿色账户”积分管理制度。小区规定：每次正确投放垃圾可获得8个积分，错误投放垃圾倒扣3个积分。小明家6月份一共投放垃圾30次，共获得185积分，小明家6月份正确投放垃圾多少次？ 【易错专练7】某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分，问他做对几题？ 【易错专练8】学校举办“古诗文默写大赛”，共有30道题。比赛规则如下：“默对一题得8分，默错或未默一题扣3分。”小明在比赛中获得了174分，请问他默对了多少道题？ 易错点3：机械套用“脚差为2”。 【易错专练1】一个旅行团共14人去游玩，一共租了6辆脚踏车，每辆车刚好坐满，其中3人脚踏车有( )辆，2人脚踏车有( )辆。 【易错专练2】自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子，自行车有多少辆？ 【易错专练3】某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是52个。请问智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 【易错专练4】为缓解停车难情况，我县新增多处停车场，其中某停车场有三轮车和小轿车共20辆，正好有76个轮子，小轿车和三轮车各有多少辆？ 【易错专练5】动物园里，孔雀（2条腿）和梅花鹿（4条腿）关在一起。管理员数了数，一共有15个头和40条腿。孔雀和梅花鹿各有多少只？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $