第五单元 三角形（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+10个考点讲练+4个奥数拓展+真题演练 共62题-2025-2026学年人教版数学四年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年人教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第五单元 三角形『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练+4个奥数拓展+真题演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于人教新四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 三角形的概念与表示 4 知识点三 三角形的高 4 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 5 知识点五 三角形三边关系定理 5 知识点六 三角形的分类 5 知识点七 三角形和多边形的内角和 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 三角形的概念及表示方法 6 高频考点二 三角形的高及画法 7 高频考点三 三角形的稳定性及应用 9 高频考点四 两点间线段最短与两点间的距离 11 高频考点五 三角形三边关系 13 高频考点六 三角形的分类 15 高频考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 16 高频考点八 画三角形 18 高频考点九 三角形的内角和 20 高频考点十 多边形的内角和 22 奥数拓展 拔尖冲刺 25 奥数拓展一 三角形三边关系 25 奥数拓展二 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 26 奥数拓展三 三角形的内角和 28 奥数拓展四 多边形的内角和 32 优选真题 实战演练 36 【基础夯实 知识巩固】 36 【拓展提高 能力拔尖】 40 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180° 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 高频考点一 三角形的概念及表示方法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·甘肃临夏·期末）以下图形中一定存在平行线的是（    ）。 A．三角形 B．五边形 C．梯形 D．四边形 【答案】C 【思路引导】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；根据各图形的特征进行判断，三角形是由三条线段围成的封闭图形；四边形是由四条线段围成的封闭图形；五边形是由五条线段围成的封闭图形；梯形是只有一组对边平行的四边形。据此分别分析即可。 【规范解答】A．三角形没有平行线； B．五边形中不一定有平行线； C．梯形有1组对边平行； D．一般四边形没有平行线，但特殊的四边形有平行线，如：长方形、正方形、平行四边形等。 故答案为：C 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南洛阳·期末）小明准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应该准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为( )厘米。（硬纸条的长度是整厘米数） 【答案】 3 3 9 【思路引导】三角形有三条边，所以最少应该准备3根硬纸条；每两根纸条要用一个图钉固定住，所以至少准备3个图钉；根据三角形两边之和大于第三边，先将已知2条边之和算出＝4＋6＝10（厘米），另一条应该小于10厘米，最大为9厘米。 【规范解答】根据分析，他最少应该准备3根硬纸条； 准备3个图钉；如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为9厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·福建莆田·期末）下面方格纸中每一个小方格是一个正方形。 （1）请在小长方形A图中画一条线段，把它分成一个三角形和一个梯形。 （2）在方格纸的空白处画一个与图A周长相等的图形。 【答案】（1）画图见详解（答案不唯一） （2）画图见详解（答案不唯一） 【思路引导】（1）三角形是由三条线段围成的封闭图形，梯形是只有一组对边互相平行的四边形；据此，连接小长方形A的一个顶点和不相邻的一条边中间任意一点，即把小长方形A分成一个三角形和一个梯形。 （2）把每个小正方形的边长看作1，从图A中可以看出，这个小长方形的长是5，宽是3，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，图A的周长是（5＋3）×2，即16；要使画出的图形和图A周长相等，则它们的周长也是16；如果画出长方形，则这个长方形的长与宽的和为5＋3，即8，则长方形的长与宽还可以是7和1、6和2、4和4（正方形）。据此画图。 【规范解答】（1）根据分析，画图如下：（答案不唯一） （2）根据分析，画图如下：（答案不唯一） 高频考点二 三角形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）24-25四年级下·浙江宁波·期末）下图的三角形ABC中，如果以AC为底，那么它的高是( )。 【答案】BF 【思路引导】三角形ABC中，如果以AC为底，那么它的高经过B点向AC边作垂线，要延长CA，高是BF。 【规范解答】根据分析：三角形ABC中，如果以AC为底，那么它的高是BF。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江杭州·期末）如图，两个边长分别是4厘米、3厘米的正方形组成的图形中，三角形ABC底边AB上的高是（    ）厘米。 A．4 B．3 C．1 【答案】B 【思路引导】从三角形的顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是三角形的高，三角形ABC底边AB上的高是3厘米。 【规范解答】三角形ABC底边AB上的高等于小正方形的边长，是3厘米。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·福建泉州·期末）两个正方形的边长分别是5cm和8cm，拼成如下图所示图形，若三角形ABC以线段BC为底边，则高是（    ）。 A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm 【答案】C 【思路引导】三角形的高：从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底；那么三角形ABC以线段BC为底边，则对应的高为大正方形的边长；据此解答。 【规范解答】根据分析如图： 所以三角形ABC以线段BC为底边，则高是8cm。 故答案为：C 高频考点三 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）为了加固这个巨型魔方墙，需要在它的后面支起一根钢管，具体如下图所示，那么钢管的长度不可能是（    ）。 A．15分米 B．30分米 C．28分米 【答案】A 【思路引导】三角形具有稳定性，所以可以连接钢管支点和魔方墙的顶端，此时构成三角形，且钢管的长度是斜边，所以大于22分米，然后利用三角形任意两边之和大于第三边，据此解题。 【规范解答】22＋15＝37（分米） 22分米＜第三边长度＜37分米 15＜22＜28＜30＜37 为了加固这个巨型魔方墙，需要在它的后面支起一根钢管，具体如下图所示，那么钢管的长度不可能是15分米。 故答案为：A 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的（    ）知识可以解释原因。 ①三角形任意两边的和大于第三边    ②两点间所有连线中线段最短 ③三角形具有稳定性 A．只有① B．只有② C．只有③ D．①② 【答案】D 【思路引导】根据三角形三边关系“三角形任意两边的和大于第三边”，可以解释为什么②号路线比①号路线和③号路线组成的路径更短，所以①号路线和③号路线的组合路径不是最短的，而②号路线是最短的路径，这里运用了“三角形任意两条边的和大于第三边”的知识。 从A地到B地有三条路线，②号路线是连接A地和B地的线段。根据“两点之间所有连线中，线段最短”的性质，可知在所有连接A地和B地的路线中，线段②号路线是最短的，所以沿②号路线可以最快从A地到达B地，这里运用了“两点之间的连线中，线段最短”的知识。 “三角形具有稳定性”是指三角形的形状和大小在边长确定的情况下不会改变，与本题中从A地到B地选择最短路线的问题无关。 所以①②知识能解答为什么沿②号路线可以最快从A地到达B地。 【规范解答】根据分析可知： 如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的①三角形任意两边的和大于第三边和②两点间所有连线中线段最短的知识可以解释原因。 故答案为：D 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南信阳·期末）李阿姨家的太阳能热水器支架（如图）需要更换零件，需要更换的钢条的长度可能为( )（填序号）。 ①0.4m        ②3.2m        ③2.8m 支架的设计体现了三角形的( )。 【答案】 ③ 稳定性 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边；三角形具有稳定性，不易变形，人们在生活中经常来利用三角形的稳定性加固物件，例如自行车的三角形车架、三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂车架等，都是利用了三角形的稳定性，起到加固作用，据此即可解答。 【规范解答】1.8－1.4＝0.4（m） 1.8＋1.4＝3.2（m） 需要更换的钢条长度大于0.4m，小于3.2m，三个选项中，只有2.8m符合要求，所以需要更换的钢条的长度可能为③。支架的设计体现了三角形的稳定性。 高频考点四 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北邢台·期末）小文家位于点A处，体育场位于点B处，小文从家去体育场锻炼身体，按路线（    ）走最近。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】两点间所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。据此解答。 【规范解答】由题意得，小文家位于点A处，体育场位于点B处，小文从家去体育场锻炼身体，要想走的路线最短，小文需要从A出发，走到C，最后再走到B，即小文按照路线A→C→B走最近。 故答案为：B 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北沧州·期末）如图，萍萍的羽毛球不小心落到长方形草坪上了，她想把羽毛球捡到草坪外面。 （1）画出萍萍从A点出发去捡羽毛球的最短路线。 （2）画出萍萍捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）两点之间的连线中，线段最短。画出A点和羽毛球这两点间的线段即可。 （2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。画出经过羽毛球到草坪长边的垂线段即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）画出萍萍从A点出发去捡羽毛球的最短路线如下： （2）画出萍萍捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线如下： 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南洛阳·期末）（1）小云从学校到少年宫怎样走最近？在图中将最近路线描黑。 （2）小云所走的最近路线，用线段的知识来解释是因为（    ）；用三角形的三边关系来解释是因为（    ）。 （3）如果按最近路线走，小云每分钟行70米，从学校到少年宫用了13分钟，从学校到少年宫的路程是（    ）米。 【答案】（1）见详解 （2）两点之间线段最短；两边之和大于第三边 （3）910 【思路引导】（1）（2）两点之间线段最短。由题意得，小云从学校到少年宫，要使他走的路线最近，那么只需要走最中间的路线即可；如果把学校、电影院和少年宫三点连接起来，会形成一个三角形。此时学校到电影院、电影院再到少年宫的这两条线段可以看成三角形的两条边，学校到少年宫的这条线段看成第三条边。两边之和大于第三边，所以中间的线路距离最短。如果把学校、书店和少年宫三点连接起来，会形成另一个三角形。此时学校到书店、书店再到少年宫的这两条线段可以看成三角形的两条边，学校到少年宫的这条线段看成第三条边。两边之和大于第三边，所以中间的路程最短。 （3）路程＝速度×时间。由题意得，小云每分钟行70米，从学校到少年宫用了13分钟，直接用70乘13即可算出学校到少年宫的路程。 【规范解答】 （1） （2）小云所走的最近路线，用线段的知识来解释是因为两点之间线段最短；用三角形的三边关系来解释是因为两边之和大于第三边。 （3）70×13＝910（米） 故从学校到少年宫的路程是910米。 高频考点五 三角形三边关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江宁波·期末）如下图，把一根12cm长的绳子剪成三段，围成一个三角形。如果第一刀剪在M处，那么第二刀剪在（    ）处，剪成的三段绳子一定能围成三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】根据题意，要使三段绳子能围成三角形，必须满足任意两段之和大于第三段。把一根12厘米长的绳子剪成三段，围成一个三角形。题图中“M”不是整根绳子的正中点，而当第一刀剪在M处后，只有再在标号③处剪，所得的三段长度才都符合“两边之和大于第三边”的条件，从而一定能够围成三角形。选择正确的答案即可。 【规范解答】根据分析可知： A．如果第二刀剪在①处，则两边之和是M往左的绳子的长度，小于第三边，因此不能围成三角形。 B．如果第二刀剪在②处，则两边之和是M往左的绳子的长度，小于第三边，因此不能围成三角形。 C．如果第二刀剪在③处，则两边之和是③往左的绳子的长度，大于第三边；或者两边之和是M往右的绳子的长度，也大于第三边；因此能围成三角形。 D．如果第二刀剪在④处，M往左的绳子和④往右的绳子长度之和，等于中间的绳子长度，不能围成三角形。 故答案为：C 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北邢台·期末）已知一个三角形的两条边的长度分别是和，则它的第三条边最长是___________cm，最短是___________cm。（长度取整厘米数） 【答案】 19 7 【思路引导】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合已知边7厘米和13厘米，确定第三边的范围，再取整厘米数即可。 【规范解答】根据分析可知： 7＋13＝20（厘米） 13－7＝6（厘米） 20－1＝19（厘米） 6＋1＝7（厘米） 已知一个三角形的两条边的长度分别是7cm 和13cm，则它的第三条边最长是19cm，最短是7cm。（长度取整厘米数） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋中·期末）小明在实践活动中帮基地老师测量了两块三角形地，并把测量结果画成了平面图。（单位：米） 可可看了看这两张图说：“你的测量有误。”想一想，为什么可可没有测量就说小明的测量有误呢？ 【答案】见详解 【思路引导】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。由题意得，可以用三角形三边的关系来验证小明测量出来的两组数据是否满足围成三角形的条件即可。 【规范解答】12＋18＝30（米），30米＜35米，即这三条边无法围成三角形。 26＋30＝56（米），56米＝56米，即这三条边无法围成三角形。 答：小明测量出来的两组结果均不满足围成三角形的条件，所以小明的测量有误。 高频考点六 三角形的分类 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江杭州·期末）（1）小明在直角△DEF的斜边DF上取中点H，连接EH。测量△HDE和△HEF各条边的长度，发现它们都是（    ）三角形。 （2）根据题目，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） 【答案】（1）等腰； （2）等边三角形是等腰三角形吗？ 【思路引导】（1）通过测量△HDE和△HEF，会发现EH＝DH，EH＝HF，有两条边相等的三角形叫等腰三角形，所以它们都是等腰三角形。 （2）提出的问题能够运用所给条件解决即可。 【规范解答】（1）因为EH＝DH，EH＝HF，所以△HDE和△HEF都是等腰三角形。 （2）提出问题：直角三角形斜边上的中线与斜边有什么数量关系？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南许昌·期末）用下面6根小棒，你能围出（    ）种三角形（单位：cm）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此分情况讨论解答即可。 【规范解答】有小棒长度分别为2cm、2cm、5cm、6cm、6cm、6cm。 尝试组合： 选2cm、2cm、5cm：2＋2＝4cm＜5cm，不满足三角形三边关系，不能组成三角形。 选2cm、2cm、6cm：2＋2＝4cm＜6cm，不满足三角形三边关系，不能组成三角形。 选2cm、5cm、6cm：2＋5＝7cm＞6cm，2＋6＝8cm＞5cm，5＋6＝11cm＞2cm，满足三角形三边关系，可以组成三角形。 选2cm、6cm、6cm：2＋6＝8cm＞6cm，6＋6＝12cm＞2cm，满足三角形三边关系，可以组成三角形。 选5cm、6cm、6cm：5＋6＝11cm＞6cm，6＋6＝12cm＞5cm，满足三角形三边关系，可以组成三角形。 选6cm、6cm、6cm：三条边都相等，可以组成等边三角形，满足三角形三边关系。 能组成三角形的种类： 可以组成三角形的组合有2cm、5cm、6cm；2cm、6cm、6cm；5cm、6cm、6cm；6cm、6cm、6cm，共4种。 故答案为：C 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）下图中，有( )个锐角，( )个锐角三角形。( )个钝角，( )个钝角三角形。( )个直角，( )个直角三角形。 【答案】 10 2 2 2 4 4 【思路引导】长方形将两条对角线画出来后，长方形里面一共有20个角。其中，锐角有10个，钝角有2个，直角有4个，平角有4个。图里一共有2个锐角三角形，4个直角三角形，2个钝角三角形。 【规范解答】图中一共有10个锐角，2个锐角三角形。2个钝角，2个钝角三角形。4个直角，4个直角三角形。 【考点剖析】本题考查学生角的分类及三角形分类的掌握。角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 高频考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北邢台·期末）一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【思路引导】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形，可以用腰的长度乘以2再加上底边的长度算出等腰三角形的周长，也就是这根铁丝的长度。如果改围成一个等边三角形，等边三角形的三条边长度相等，直接用前面的得数除以3即可算出等边三角形的每条边长多少分米。 【规范解答】15×2＋24 ＝30＋24 ＝54（分米） 54÷3＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋中·期末）有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是( )厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是( )厘米。 【答案】 6 5 【思路引导】在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。那么比2厘米和5厘米的和小1厘米即为第三边最长的长度；如果要围成一个等腰三角形，假设第三边为2厘米，2＋2＝4（厘米）＜5厘米，不能围成三角形，只能选择第三边是5厘米。 【规范解答】5＋2－1＝6（厘米），如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是6厘米； 由分析可知：如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是5厘米，则三边长是5厘米，5厘米，2厘米符合等腰三角形特征。 即有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是6厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是5厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·湖北武汉·期末）用一根长18厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余，共可以围出________种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有________个。 【答案】 7 4 【思路引导】根据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，结合题意，铁丝的长度是18厘米，即所围成的三角形的周长是18厘米，所以最长边的长度必须小于三条边长度的一半，即18÷2＝9（厘米），即最长边应小于9厘米，从最长边8厘米依次列举出所有可能的情况即可，然后从所有情况中找出等腰三角形（含等边三角形）的个数进行解答即可。 【规范解答】18÷2＝9（厘米） 最长边应小于9厘米。 当最长边是8厘米时，围成的三角形可以是： ①8厘米，8厘米，2厘米； ②8厘米，7厘米，3厘米； ③8厘米，6厘米，4厘米； ④8厘米，5厘米，5厘米； 当最长边是7厘米时，围成的三角形可以是： ①7厘米，7厘米，4厘米； ②7厘米，6厘米，5厘米； 当最长边是6厘米时，围成的三角形可以是： ①6厘米，6厘米，6厘米； 4＋2＋1＝7（种） 所以用一根长18厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余，共可以围出7种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有4个。 【考点剖析】熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键。 高频考点八 画三角形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）画一画，写一写。如图，每个小方格的面积是1平方厘米。 （1）以AB为底，分别画一个高是2厘米的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 （2）观察你所画的直角三角形，它的面积是（    ）平方厘米。并说明理由。 我是这样想的： 【答案】（1）见详解 （2）4；理由见详解 【思路引导】（1）每个小方格的面积是1平方厘米，则每个小方格的边长是1厘米。有一个直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此分别画一个高是2厘米的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 （2）可以将画出的直角三角形补齐成一个长方形，直角三角形的面积是这个长方形面积的一半，根据长方形的面积＝长×宽，先计算出长方形面积再除以2，即可求出直角三角形面积。 【规范解答】（1）如图： （三角形画法不唯一） （2）4×2＝8（平方厘米） 8÷2＝4（平方厘米） 答：它的面积是4平方厘米。因为所画直角三角形的面积是长4厘米、宽2厘米的长方形面积的一半。（理由不唯一） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东济南·期末）请在点子图中画出2个底是5厘米，高是4厘米形状不同的三角形。（相邻两点距离是1厘米） 【答案】见详解 【思路引导】画出2个底是5厘米，高是4厘米形状不同的三角形，根据三角形角的分类和边长，在点子图中先画底是5厘米，高是4厘米的长度，再依此连接点，可以画锐角三角形和直角三角形。 【规范解答】左边的图形是锐角三角形，底是5厘米，高是4厘米，如下图； 右边的图形是直角三角形，底是5厘米，高是4厘米，如下图。 （答案不唯一） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·重庆·期末）按要求在方格图中画三角形（每个小方格边长1cm）。 （1）以线段AB为底，画一个高3cm的三角形ABC，且AC＝BC。 （2）以线段DE为底，画一个高3cm的直角三角形DEF。 【答案】见详解 【思路引导】（1）要画一个以线段AB为底，高为3cm的三角形，且AC＝BC的三角形，即画一个等腰三角形，先找到AB中点，再在中点距离AB所在直线3cm处确定顶点C，最后连接AC和BC； （2）要画一个以线段DE为底，高为3cm的直角三角形，需要利用方格的直角特征，以DE为底边，在距离E点所在直线3cm处确定直角顶点F，使得两条直角边互相垂直，最后连接DF和EF即可。 【规范解答】根据分析画出图形： （答案不唯一） 高频考点九 三角形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西宝鸡·期末）如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )度，原来这块纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 【答案】 67 等腰 锐角 【思路引导】根根据题意，三角形的内角和是180°，用180°减去67°减去46°就是撕去的那个角的度数； 三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； 三角形按边分类：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，等腰三角形的两个底角也是相等的。三条边都相等的三角形叫等边三角形，据此判断。 【规范解答】180°－67°－46° ＝113°－46° ＝67° 一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是67度。 因为67°、67°、46°都是锐角，67°＝67°，所以原来这块纸片的形状是等腰三角形，也是锐角三角形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西安康·期末）如图，一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是( )°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。 【答案】 40 直角 【思路引导】三角形的内角和是180°，等腰三角形的特点是两个底角相等，用180°减100°，即可求出两个底角的和是80°，再除以2即可求出底角的度数是40°。若把这个等腰三角形对折，将顶角100°平分成两个50°的角，再根据三角形内角和，用180°减40°再减50°，即可求出三角形的第三个角，再看这个三角形中最大的角属于什么角，这个三角形就属于什么三角形，因为被分成的两个三角形完全一样，所以其中一个属于什么三角形，另一个也属于什么三角形。 【规范解答】（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 100°÷2＝50° 180°－40°－50° ＝140°－50° ＝90° 一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是40°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是直角三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江宁波·期末）三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 30 60 【思路引导】根据三角形的内角和等于180°、等腰三角形的两个底角相等、平角＝180°解答此题即可，∠1和等腰三角形ADC的顶角组成一个平角，顶角＝180°－∠1，用180°减去顶角再除以2求出∠2，在直角三角形中，∠3＝180°－90°－∠2，据此解答。 【规范解答】180°－60°＝120° （180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° 所以∠2＝30°，∠3＝60°。 高频考点十 多边形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北唐山·期末）如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝( )°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是( )°。 【答案】 25 360 【思路引导】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可得到∠2的度数；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形是一个四边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此解答。 【规范解答】180°－（90°＋65°） ＝180°－155° ＝25° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠2＝25°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形内角和是360°。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋中·期末）八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【答案】图见详解； 1080°； 【思路引导】把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是180°×8＝1440°，通过观察图形可知，在分成8个三角形后，原来八边形的度数和就多了中间的一个周角即360°。所以八边形的内角和等于分成的8个三角形的内角和减去中间一个周角的度数。 【规范解答】 180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是四边形的四个内角。现将四边形的四条边分别延长，形成了∠5、∠6、∠7、∠8四个角，这四个角叫四边形的外角，如图2。 （1）图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是（    ）°。 （2）不测量，你能推理得出∠5、∠6、∠7、∠8这四个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程。 【答案】（1）360 （2）360°；见详解 【思路引导】 （1）如图，可以将四边形分成两个三角形。三角形的内角和是180°，用180°乘2就是四边形的内角和。 （2）∠1与∠5成一个平角，即∠1＋∠5＝180°，同理∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。由此可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°，又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，所以用720°减去360°解答即可。 【规范解答】（1）180°×2＝360° 所以，图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是360° （2）因为∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。 所以，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°。 又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360° 所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝720°－360°＝360° 答：这四个外角的和是360°。 奥数拓展一 三角形三边关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）用下边六根小棒，你能围成（    ）种三角形。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【思路引导】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，根据三角形三边的关系，先选出两根长度为3的小棒，3＋3＝6，6＞3，6＞2，6＞5，第三根小棒可以为3、2、5，那么可以围成三角形的小棒有：3、3、3，3、3、2，3、3、5；选出两根长度为2的小棒，2＋2＝4，4＞3，4＜5，第三根小棒可以为3，那么可以围成三角形的小棒有：2、2、3；因为两根3和两根2都选过了，再选会重复，那么可以选出3、2、5看能不能围成三角形，3＋2＝5，5＝5，那么3、2、5不能围成三角形；据此解答。 【规范解答】根据分析：可以围成三角形的3根小棒有：①3、3、3，②3、3、2，③3、3、5，④2、2、3，所以能围成4种三角形。 故答案为：C 【考点剖析】掌握三角形的三边关系，是解答本题的关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）把一根13厘米长的小棒截成三段（整厘米数），围成一个三角形。这个三角形中最长的一段小棒不能超过（    ）厘米。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。据此可知，最长的一段小棒应小于三角形的周长的一半。这根小棒长13厘米，即三角形的周长为13厘米。13÷2＝6……1，则最长的一段小棒应小于等于6厘米。 【规范解答】13÷2＝6（厘米）……1（厘米） 则这个三角形中最长的一段小棒最长为6厘米，不能超过6厘米。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查三角形的三边关系，常运用三角形的三边关系判断给出的三条线段能否组成一个三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）将一根22米的钢管，锯成三根整米数的小钢管，再围成一个三角形，则这个三角形中最长的一根最多是（    ）米。 A．9 B．10 C．11 【答案】B 【思路引导】根据三角形任意两边的和大于第三边，所以最长边也必须小于三角形周长的一半。 【规范解答】22÷2－1 ＝11－1 ＝10（米） 10＋6＋6＝22（米），所以最长的一根最多是10米。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查的是三角形的三边关系，根据周长为22米，三角形的两边之和大于第三边进行判断。 奥数拓展二 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下面各图中，∠1与∠2相等的是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】第一个图形中，假如∠1和∠2相等，则这个三角形是等腰三角形，很显然这个三角形不是等腰三角形，∠1和∠2也就不相等。 第二个图形中，∠1是锐角，∠2是钝角，则∠1和∠2不相等。 第三个图形中，如图所示：，∠1和∠3组成一个平角，∠3和∠3组成一个平角，则∠1和∠2均为180°－∠3。 第四个图形中，∠1是锐角，∠2是钝角，则∠1和∠2不相等。 【规范解答】根据分析可知，∠1与∠2相等的是。 故答案为：C。 【考点剖析】小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图中有10个点，共连成13个等边三角形，现在已经擦去1个点（用O表示），至少再擦去几个点后，才能使图中一个等边三角形都没有？ （在图中画O表示擦去的点） 【答案】 【思路引导】要使擦去的点最少，那么就找顶点相交的最多的点，据此画出即可。 【规范解答】由分析可得： 【考点剖析】本题考查的是应用与设计作图，首先要理解题意，弄清题目中作图的要求。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个等腰三角形的周长是20厘米，其中一条边长8厘米，它的另外两条边分别长多少厘米？ 【答案】8 cm、4 cm或6 cm、6 cm 【思路引导】本题未说明8是底边长还是腰长，需分类讨论； （1）当8厘米是等腰三角形的腰长时，用周长20厘米减去两个腰的长度就是另一条边的长度，然后用三角形三边关系进行检验即可； （2）当8厘米是等腰三角形的底边长时，用20厘米减去8厘米再除以2即可得到腰长，然后用三角形三边关系进行检验即可。 【规范解答】当8厘米是等腰三角形的腰长时： ＝20－16＝4（厘米），由，，所以此种情况存在，另外两条边的长各是8厘米、4厘米。 当8厘米是等腰三角形的底边长时： ＝12÷2＝6（厘米），因为，，所以此种情况存在，另外两条边的长各是6厘米、6厘米。 答：它的另外两条边分别是8厘米、4厘米或6厘米、6厘米。 【考点剖析】本题考查的是等腰三角形性质的运用，灵活运用等腰三角形的性质是解答本题的关键。 奥数拓展三 三角形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条相等的边叫做等腰三角形的腰。如下图，把一张长方形的纸按照虚线对折，减去四边形部分，并把剩余部分展开，就可以得到一个等腰三角形。 通过观察发现，等腰三角形有两个内角相等，这里两个相等的内角叫做等腰三角形的底角，两腰的夹角叫做等腰三角形的顶角，如上图所示。 例题：已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。 小明通过分析，只给出了一种可能的值，解答如下： 解：如图，原三角形的最大内角为72° 请你探索其他可能的值，仿照小明的画法画出示意图，标出角度，并回答原三角形的最大内角是多少度。 【答案】90°；108°；132°；126°；图见详解 【思路引导】等腰三角形两条腰长度相等，两个底角相等，三角形内角和是180°，根据等腰三角形的特征和三角形内角和画出图形，并确定每个角的大小，然后确定最大角的度数即可。 【规范解答】①如图∠A＝36°，AD＝BD，CD＝BD；∠ABD＝36°； 180°－36°－36° ＝144°－36° ＝108° 所以∠ADB＝108°； ∠BDC＝180°－108°＝72°； （180°－72°）÷2 ＝108°÷2 ＝54° ∠C＝∠BDC＝54° 最大角是36°＋54°＝90°； ② ∠B＝36°，BD＝AB，AD＝DC； （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° ∠BDA＝72°，∠ADC＝180°－72°＝108°； （180°－108°）÷2 ＝72°÷2 ＝36° ∠DAC＝∠C＝36°； 最大角是72°＋36°=108°； ③如图∠ABC＝36°，让∠CBD＝24°，AD＝BD，CD＝BC，∠CDB＝24°， 180°－24°×2 ＝180°－48° ＝132° ∠ABD＝∠BAD＝36°－24°＝12°； 180°－12°×2 ＝180°－24° ＝156° ∠ADB＝156°； 最大角是132°； ④如图∠B＝36°，AD＝AB＝CD，∠ADB＝36°， 180°－36°×2 ＝180°－72° ＝108° ∠BAD＝108° 180°－36°＝144° （180°－144°）÷2 ＝36°÷2 ＝18° ∠C＝∠BAC＝18°； 最大角是108°＋18°＝126° 【考点剖析】分情况讨论，36°可以为顶角也可以为底角，或者是将36°拆分成两个角，三角形内角和是180°，根据依据等腰三角形性质分析内角组合，通过分割条件推导，得出最大内角可能值。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝140°，那么∠A＝______°。 【答案】100 【思路引导】根据三角形的内角和＝180°，可知∠A＝180°－（∠1＋∠2＋∠3＋∠4），∠1＋∠3＝180°－∠5＝180°－140°＝40°，因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，可知∠A＝180°－（∠1＋∠1＋∠3＋∠3）＝∠A＝180°－（40°＋40°），据此解答。 【规范解答】根据分析可知， 180°－140°＝40° 180°－（40°＋40°） ＝180°－80° ＝100° ∠A＝100° 【考点剖析】解答本题的关键是明确三角形的内角和是180°。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图是一张面积为400平方厘米的长方形纸折叠后的样子，这张长方形纸的宽是( )厘米。 【答案】10 【思路引导】根据题图可知这是一个顶角为60°的等腰三角形，根据三角形的内角和是180°，用180°减去60°再除以2可知两个底角的度数为60°，三个角相等的三角形是等边三角形。根据等边三角形三边相等，观察可以发现这张长方形纸的长是20厘米的2倍，用20乘2求出长方形纸的长，最后根据长方形的面积＝长×宽，用400除以长方形纸的长即可求出长方形纸的宽。 【规范解答】（180°－60°）÷2 ＝120°÷2 ＝60° 三角形的三个角相等，是等边三角形，等边三角形的三边相等，长方形纸的长是20厘米的2倍。 20×2＝40（厘米） 400÷40＝10（厘米） 这张长方形纸的宽是10厘米。 【考点剖析】解答本题的关键是要先判断出图中三角形是等边三角形，要熟练掌握等边三角形的特征。 奥数拓展四 多边形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有三个内角，也有三个外角哦。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少呢？我们一起来研究一下！ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180° 所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°， 又因为三角形的内角和＝180° 所以三角形的外角和＝540°－180°＝360°。    【解答应用】 （1）求四边形的外角和 因为四边形的内角和＋外角和＝4×180°＝720°， 又因为四边形的内角和＝360°， 所以四边形的外角和＝_____________。    （2）求五边形的外角和 因为五边形的内角和＋外角和＝_____________， 又因为五边形的内角和＝（    ）°， 所以五边形的外角和＝_____________。    （3）请你根据前面的推导过程，完成六边形外角和的探究过程吧！ （4）你发现多边形的外角和有什么规律吗？ __________________________________________________________________________________ 【答案】（1）720－360＝360° （2）5×180°＝900°；540°；900°－540°＝360° （3）六边形的内角和＋外角和＝6×180°＝1080° 又因为六边形的内角和＝720° 所以六边形的外角和＝1080°－720°＝360° （4）多边形的外角和都等于360°。 【思路引导】（1）由三角形的外角和计算过程可知，四边形的外角和＝四边形的外角和与内角和之和－四边形的内角和。据此解答。 （2）由三角形和四边形的外角和计算过程可知，是几边形，外角和与内角和之和就等于几个180°；五边形的内角和为（5－3）×180°；所以五边形的外角和就是2个180°。 （3）根据三角形、四边形、五边形外角和推导过程，写出六边形外角和推导过程即可。 （4）通过三角形、四边形、五边形、六边形外角和推导过程，可以发现几个图形的外角和都是360°。据此解答。 【规范解答】（1）由分析可知，四边形的外角和为：720°－360°＝360°。 （2）由分析可知，五边形的外角和＋内角和为：5×180°＝900° 五边形的内角和为： （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五边形的外角和为：900°－540°＝360° （3）因为六边形的内角和＋外角和＝6×180°＝1080°， 又因为六边形的内角和＝（6－2）×180°＝4×180°＝720°， 所以五边形的外角和＝1080°－720°＝360°。 （4）根据三角形、四边形、五边形、六边形外角和推导过程可知，多边形外角和都为360°。 【考点剖析】本题主要考查运用多边形内角和与平角的特性求多边形的外角和规律，解答此题时要注意根据已有推导入手。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【答案】(1) 30 60 (2)15 (3)240 【思路引导】（1）斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形三边相等，等边三角形三个角都是60°，而2个∠1＝∠2，所以∠1是∠2度数的一半； （2）因为正方形的边长等于三角形边长，而三角形为等边三角形，三角形的周长为三边之和； （3）等边三角形三个角都是60°，四边形的内角和为360°，所以∠3＋∠4＝360°－60°－60°；据此解答。 【规范解答】（1）60°÷2＝30°，所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是15厘米。 （3）360°－60°－60°＝240°，所以∠3＋∠4＝240°。 【考点剖析】掌握等边三角形的概念，以及四边形的内角和是解答本题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                                    ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【答案】（1）见详解； （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【思路引导】（1）欢欢同学把四边形的4个角剪下来，拼接成一个周角，适用于所有的四边形，方法正确，但拼接的过程过于繁琐；玲玲同学把一个四边形剪拼成4个三角形，这样四个三角形的内角和就比四边形的内角和多出一个周角的度数，用4个三角形内角度数的总和减去一个周角的度数，可以求出四边形的内角和，适用于所有的四边形，方法正确，但这种方法过于繁琐；如图，小华把四边形剪拼成三个三角形，这样四边形的内角和就等于三个三角形内角和的总和减去一个平角的度数，错误；乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，这种方法易操作，适用于所有所有四边形，是正确的推导四边形内角和的方法。 （2）乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，即：四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【规范解答】（1）根据分析可知，乐乐、欢欢、玲玲的方法正确。 （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【考点剖析】本题主要考查了四边形内角和的推导过程，从不同的角度不断尝试探索，获取最简洁、正确的解题方法。 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26四年级上·湖南张家界·期末）用如图所示的升降台可以调节高度，是应用了（    ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形易变形的特性 C．平行四边形易变形的特性 D．平行四边形不易变形的特性 【答案】C 【思路引导】升降台可以调节高度，平行四边形不具有稳定性，易变形，据此解答即可。 【规范解答】根据分析：图中的升降台可以调节高度，是应用了平行四边形易变形的特性。 2．（23-24四年级上·山东济南·期中）一个锐角三角形，任意两个锐角的和（    ）90°。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】锐角三角形的三个内角都是锐角，锐角是小于90°的角，逐项分析任意两个锐角的和与90°的大小关系，判断哪种情况是锐角三角形。 【规范解答】A．假设任意两个锐角的和大于90°，如91°，那么第三个内角是：180°－91°＝89°，89°＜90°，这个三角形是锐角三角形，符合题意； B．假设任意两个锐角的和等于90°，那么第三个内角是：180°－90°＝90°，这个三角形是直角三角形，不符合题意； C．假设任意两个锐角的和小于90°，如89°，那么第三个内角是：180°－89°＝91°，90°＜91°＜180°，这个三角形是钝角三角形，不符合题意； D．在锐角三角形中，任意两个锐角的和大于90°，选项D错误。 故答案为：A 3．（25-26四年级上·安徽淮南·期末）用木条做成下面的形状，其中不能拉成平行四边形的是（    ）。 A．三角形 B．长方形 C．正方形 【答案】A 【思路引导】三角形具有稳定性，形状固定不易变形，无法变形成为平行四边形；长方形、正方形都属于四边形，具有不稳定性，拉动对角就可以变形为平行四边形，因此不能拉成平行四边形的是三角形。 【规范解答】用木条做成下面的形状，其中不能拉成平行四边形的是三角形。 4．（25-26四年级上·广东东莞·期末）如图，一个直角梯形有一个角是45°，那么其他三个内角的度数分别是( )、( )、( )。 【答案】 90° 90° 135° 【思路引导】一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。直角梯形中有两个直角，直角是90°的角。四边形的内角和是360°，用360°减去两个直角与已知内角的度数和，即可算出直角梯形中最后一个内角的度数。据此解答。 【规范解答】360°－（90°＋90°＋45°） ＝360°－225° ＝135° 如题中图，一个直角梯形有一个角是45°，那么其他三个内角的度数分别是90°、90°、135°。 5．（25-26四年级上·河北邢台·期末）当梯形的上底逐渐缩小到一个点时，梯形就转化成______；当梯形的上底增大到与下底相等时，梯形就转化成______。（均选填“三角形”或“平行四边形”） 【答案】 三角形 平行四边形 【思路引导】梯形是一个四边形，当梯形的上底缩短成一个点时，此时只有三个顶点，该图形由梯形转化为三角形；梯形的上底、下底互相平行，当上底增大到与下底相等时，一组对边平行且相等，此时梯形转化为平行四边形，据此解答。 【规范解答】由分析可知： 当梯形的上底逐渐缩短到一个点时，梯形就转化成三角形，当梯形的上底增大到与下底相等时，梯形就转化成平行四边形。 6．（25-26四年级上·广东广州·期末）看图填一填。 ( )°，( )°。 【答案】 60 120 【思路引导】三角形的内角和为180°，所以∠1＝180°－60°－60°；∠1和∠2组成一个平角，所以∠2＝180°－∠1。 【规范解答】∠1＝180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° ∠2＝180°－∠1 ＝180°－60° ＝120° 7．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。一个三角形中至少有两个锐角。已知最小角为46°，则其余两个角均不小于46°。计算最大角的最小可能值：当其余两个角均为46°时，求出第三个角的度数，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，据此判断。 【规范解答】设三角形的最小角为46°。根据三角形内角和为180°，其余两个角的和为134°。由于最小角为46°，其余两个角均不小于46°。因此，最大角的最大可能值为当其中一个角取最小值46°时，另一个角为134°－46°＝88°。88°＜90°，所以最大角小于90°。最小角46°＞0°，且所有角均小于90°，因此这个三角形一定是锐角三角形。 原题说法正确。 故答案为：√ 8．（24-25四年级下·河北廊坊·期末）一个三角形中的两个内角的和是130度，这个三角形一定是钝角三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据三角形内角和定理，第三个角为180°−130°＝50°，若原两个角中存在一个角大于90°，则三角形为钝角三角形；若两个角均为锐角（如80°和50°），则三个角均为锐角，此时为锐角三角形。因此结论不一定成立。据此解答。 【规范解答】三角形的内角和为180°，已知两个内角的和为130°，则第三个角的度数为180°−130°＝50°。钝角三角形的定义是有一个角大于90°的三角形。若原两个角中存在一个角大于90°，则第三个角为50°，此时三角形为钝角三角形；若原两个角均为锐角（如80°和50°），则三个角均为锐角，此时为锐角三角形。因此该三角形不一定是钝角三角形，原说法错误。 故答案为：× 9．（24-25四年级下·江西赣州·期末）计算下面未知角的度数。 【答案】55°；120°；130° 【思路引导】（1）（2）三角形的内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数和，求出未知角的度数。 （3）平角是180°，与135°相邻角的度数是180°－135°＝45°。四边形的内角和为360°，用360°依次减去已知的三个角的度数，即可求出∠1的度数。 【规范解答】（1）180°－（35°＋90°） ＝180°－125° ＝55° 所以，未知角是55°。 （2）180°－（36°＋24°） ＝180°－60° ＝120° 所以，未知角是120°。 （3）180°－135°＝45° 360°－85°－100°－45°＝130° 所以，∠1＝130°。 10．（24-25四年级下·河北邢台·期末）一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【思路引导】首先要知道，同一根铁丝围成不同图形，铁丝长度不变，也就是三角形的周长相等。先算等腰三角形的周长：等腰三角形两条腰相等，所以用两条腰的长度加底边长度。 如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的周长等于铁丝的长度，等边三角形三条边一样长，用周长除以3，就能得到每条边的长度。 【规范解答】（15＋15＋24）÷3 ＝54÷3 ＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26四年级上·贵州黔东南·期末）把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，四个角的和（    ）。 A．不变 B．变大 C．变小 【答案】A 【思路引导】长方形框架拉成平行四边形之后，长方形和平行四边形都是四边形，四边形的内角和是360度，即四个角的和不变。据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知：把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，四个角的和不变。 2．（25-26四年级上·河南三门峡·期末）如图，用橡皮筋在钉子板上围出梯形ABCD，如果只改变D点，其余三个点不变，下列说法错误的是（    ）。 A．线段AD向右延长3厘米，变成了平行四边形 B．线段AD向右延长2厘米，变成了长方形 C．线段AD向左缩短至点D和点A重合，变成了三角形 【答案】B 【思路引导】只有一组对边平行的四边形是梯形。两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形的对边平行且相等。 长方形的对边平行且相等，长方形有四个直角。由三条线段首尾相接围成的图形是三角形。由此分析三个选项，找出错误的即可。 【规范解答】 A．如图，线段AD向右延长3厘米，这样两条对边平行且相等，原图变成了平行四边形，是正确的。 B．如图，线段AD向右延长2厘米，变成了长方形，是错误的。因为变化后的图形的对边不相等，且四个角不是直角。 C．如图，线段AD向左缩短至点D和点A重合，这样原图变成三条线段首尾相接围成的图形，变成了三角形。是正确的。 故答案为：B 3．（24-25四年级下·河南新乡·期末）如图，A、C两点均在直线m上，如果点A和点B固定不动，点C沿直线m向右移动，三角形ABC不可能变成（    ）。 A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 【答案】C 【思路引导】三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类可分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。根据三角形的不同分类标准，结合点C沿直线m向右移动这一条件，分析三角形ABC可能出现的形状，从而得出不可能变成的形状。 【规范解答】A．当点C移动到使得AB＝BC的位置时，三角形ABC就变成了等腰三角形； B．当点C移动到使得∠ABC＞90°的位置时，三角形ABC就变成了钝角三角形； C．等边三角形要求三条边都相等，即AB＝BC＝AC。因为点B固定，点A固定，点C在直线m上无论怎样移动，都很难同时满足AB＝BC＝AC这一条件，所以三角形ABC不可能是等边三角形。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查三角形的分类以及点的移动对三角形形状的影响。 4．（25-26四年级上·湖南张家界·期末）如图，∠1＝40°，∠2＝70°，( )°，是个( )三角形。 【答案】 110 锐角/等腰 【思路引导】如图，三角形的内角和是180°，用180°减去∠1、∠2的度数，就是∠3的度数。∠3和∠4组成一个平角，平角是180°，用180°减去∠3的度数，就是∠4的度数。 根据三个角是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。据此解答。 【规范解答】180°－40°－70° ＝140°－70° ＝70° 180°－70°＝110° ∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70°， 那么，∠1＝40°，∠2＝70°，∠4＝110°，是个锐角三角形（等腰三角形）。 5．（25-26四年级上·山东济宁·期末）如图，四边形ABCD是正方形，三角形BCE是等边三角形。请你算一算，∠1的度数是________，∠2的度数是________。 【答案】 15° 105° 【思路引导】四边形ABCD是正方形，所以∠ABC＝90°，AB＝BC。三角形BCE是等边三角形，所以∠CBE＝60°，BC＝BE，所以AB＝BE。在等腰三角形ABE中，AB＝BE，根据三角形内角和等于180°，由上面信息计算出∠ABE，则∠1＝（180°－∠ABE）÷2。而∠BEF＝∠1，在三角形BFE中，已知∠CBE＝60°，∠BEF＝∠1，所以∠2＝180°－∠CBE－∠BEF，据此解答即可。 【规范解答】∠ABC＝90°，AB＝BC ∠CBE＝60°，BC＝BE 所以AB＝BE，∠BEF＝∠1 ∠ABE＝∠ABC＋∠CBE ＝90°＋60° ＝150° ∠1＝（180°－∠ABE）÷2 ＝（180°－150°）÷2 ＝30°÷2 ＝15° ∠2＝180°－∠CBE－∠BEF ＝180°－60°－15° ＝120°－15° ＝105° 所以∠1的度数是15°，∠2的度数是105°。 6．（23-24四年级下·广东广州·期末）一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或( )或( )厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 【答案】 8 9 10 【思路引导】这根吸管长14厘米，第一段长4厘米，剩下吸管长14－4＝10厘米。等腰三角形的两条腰相等，则这个等腰三角形的三条边可以是4厘米、4厘米、6厘米，或者4厘米、5厘米、5厘米。根据三角形的三边关系，它们能围成等腰三角形，所以第二段就应从4＋4＝8厘米或者4＋5＝9厘米或者14－4＝10厘米处剪开。 【规范解答】14－4－4＝6（厘米） 4＋4＞6 则长4厘米、4厘米、6厘米的三条线段能围成一个三角形。 （14－4）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 4＋5＞5 则长4厘米、5厘米、5厘米的三条线段能围成一个三角形。 4＋4＝8（厘米） 4＋5＝9（厘米） 第二段从8厘米或9厘米或10厘米处剪开。 【考点剖析】本题考查等腰三角形的特性和三角形的三边关系，先根据等腰三角形的特性找出可能的三条边的组合，再根据三角形的三边关系判断这个等腰三角形的三条边的长度。 7．（24-25四年级下·贵州黔西南·期末）计算下面图形中的度数。 【答案】105° 【思路引导】根据题意，已知三角形的三个内角和是180°，直角是90°，图中一个角是55°，三个内角有两个已经知道，要求大三角形的另一个内角，用180°连续减去两个内角的度数即可；∠1就是用180°减去40°，再减去刚求的大三角形的第三个角的度数，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° ∠1＝180°－40°－35° ＝140°－35° ＝105° ∠1的度数是105°。 8．（24-25四年级下·河南郑州·期末）为了保护正方形造型的花圃，园艺师沿着花圃边围了整一圈隔离带，隔离带长40米。过了一个月，花圃换成了等腰三角形的形状，这条隔离带恰好够围一圈。等腰三角形花圃的一条边长是8米，另两条边的长分别是多少米？ 【答案】16米 【思路引导】等腰三角形两腰相等，已知一条边长是8米，可分为腰长8米，底边长8米两种情况讨论，再根据三角形两边之和大于第三边验证是否满足三角形三边关系。 【规范解答】当腰长为8米时： 40－8×2 ＝40－16 ＝24（米） 8＋8＝16，16＜24，不满足三边关系，不符合题意。 当底边长为8米时： （40－8）÷2 ＝32÷2 ＝16（米） 16＋8＞16，16＋16＞8，满足三边关系，符合题意。 所以等腰三角形花圃的边长为8米、16米、16米。 答：另外两条边的长都是16米。 9．（24-25四年级下·内蒙古呼和浩特·期末）我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，其形状是等腰三角形，分为小号、大号两种规格。其中小号的尺寸是底边长100厘米、腰长60厘米；大号的尺寸是底边长120厘米、腰长72厘米。 （1）算式100＋60×2解决的问题是______。 （2）如果一条红领巾中最大的角是120°，这条红领巾的另外两个角分别是多少度？ 【答案】 （1）小号红领巾的周长 （2）30°、30° 【思路引导】（1）红领巾是等腰三角形，两条腰的长度相等，在小号红领巾中100厘米是底边的长度，60厘米是腰的长度，100＋60×2表示小号红领巾的周长是多少厘米。 （2）三角形的内角和是180°，等腰三角形两个底角相等，用180°减去120°再除以2即可解答。 【规范解答】（1）算式100＋60×2解决的问题是小号红领巾的周长。 （2）（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 答：这条红领巾的另外两个角都是30°。 10．五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形    180° 60° 正方形      360° 90° 正五边形       （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图1中∠1的度数吗？ （3）图2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。 【答案】（1）540°；108°； （2）36°； （3）180° 【思路引导】（1）多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，正五边形有5条边，5条边的长度相等，且5个内角也相等，依此计算。 （2）标准的五角星中，每条边的长度都相等，因此∠1所在的小三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，1平角是180°，因此用180°减正五边形其中一个内角的度数，即可计算出∠6的度数，三角形的内角和是180°，因此用180°减2个∠6的度数即可，依此计算。 （3）由（2）可知，一个标准的五角星的每个角都是36°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和为5个36°，依此计算。      【规范解答】（1）（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷5＝108°，即填表如下： 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形 180° 60° 正方形 360° 90° 正五边形 540° 108° （2）180°－108°＝72° 180°－72°－72°＝36° 答：图1中∠1的度数是36°。 （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝36°＋36°＋36°＋36°＋36° ＝180° 【考点剖析】解答此题的关键是要熟练掌握多边形的内角和的计算方法，以及应掌握平角的特点。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2025-2026学年人教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第五单元 三角形『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练+4个奥数拓展+真题演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于人教新四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 三角形的概念与表示 4 知识点三 三角形的高 4 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 5 知识点五 三角形三边关系定理 5 知识点六 三角形的分类 5 知识点七 三角形和多边形的内角和 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 三角形的概念及表示方法 6 高频考点二 三角形的高及画法 6 高频考点三 三角形的稳定性及应用 7 高频考点四 两点间线段最短与两点间的距离 8 高频考点五 三角形三边关系 9 高频考点六 三角形的分类 10 高频考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 10 高频考点八 画三角形 11 高频考点九 三角形的内角和 12 高频考点十 多边形的内角和 12 奥数拓展 拔尖冲刺 14 奥数拓展一 三角形三边关系 14 奥数拓展二 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 14 奥数拓展三 三角形的内角和 15 奥数拓展四 多边形的内角和 16 优选真题 实战演练 18 【基础夯实 知识巩固】 18 【拓展提高 能力拔尖】 20 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180° 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 高频考点一 三角形的概念及表示方法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级上·甘肃临夏·期末）以下图形中一定存在平行线的是（    ）。 A．三角形 B．五边形 C．梯形 D．四边形 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南洛阳·期末）小明准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应该准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为( )厘米。（硬纸条的长度是整厘米数） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·福建莆田·期末）下面方格纸中每一个小方格是一个正方形。 （1）请在小长方形A图中画一条线段，把它分成一个三角形和一个梯形。 （2）在方格纸的空白处画一个与图A周长相等的图形。 高频考点二 三角形的高及画法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）24-25四年级下·浙江宁波·期末）下图的三角形ABC中，如果以AC为底，那么它的高是( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江杭州·期末）如图，两个边长分别是4厘米、3厘米的正方形组成的图形中，三角形ABC底边AB上的高是（    ）厘米。 A．4 B．3 C．1 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·福建泉州·期末）两个正方形的边长分别是5cm和8cm，拼成如下图所示图形，若三角形ABC以线段BC为底边，则高是（    ）。 A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm 高频考点三 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）为了加固这个巨型魔方墙，需要在它的后面支起一根钢管，具体如下图所示，那么钢管的长度不可能是（    ）。 A．15分米 B．30分米 C．28分米 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的（    ）知识可以解释原因。 ①三角形任意两边的和大于第三边    ②两点间所有连线中线段最短 ③三角形具有稳定性 A．只有① B．只有② C．只有③ D．①② 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南信阳·期末）李阿姨家的太阳能热水器支架（如图）需要更换零件，需要更换的钢条的长度可能为( )（填序号）。 ①0.4m        ②3.2m        ③2.8m 支架的设计体现了三角形的( )。 高频考点四 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北邢台·期末）小文家位于点A处，体育场位于点B处，小文从家去体育场锻炼身体，按路线（    ）走最近。 A． B． C． D． 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北沧州·期末）如图，萍萍的羽毛球不小心落到长方形草坪上了，她想把羽毛球捡到草坪外面。 （1）画出萍萍从A点出发去捡羽毛球的最短路线。 （2）画出萍萍捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南洛阳·期末）（1）小云从学校到少年宫怎样走最近？在图中将最近路线描黑。 （2）小云所走的最近路线，用线段的知识来解释是因为（    ）；用三角形的三边关系来解释是因为（    ）。 （3）如果按最近路线走，小云每分钟行70米，从学校到少年宫用了13分钟，从学校到少年宫的路程是（    ）米。 高频考点五 三角形三边关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江宁波·期末）如下图，把一根12cm长的绳子剪成三段，围成一个三角形。如果第一刀剪在M处，那么第二刀剪在（    ）处，剪成的三段绳子一定能围成三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北邢台·期末）已知一个三角形的两条边的长度分别是和，则它的第三条边最长是___________cm，最短是___________cm。（长度取整厘米数） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋中·期末）小明在实践活动中帮基地老师测量了两块三角形地，并把测量结果画成了平面图。（单位：米） 可可看了看这两张图说：“你的测量有误。”想一想，为什么可可没有测量就说小明的测量有误呢？ 高频考点六 三角形的分类 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江杭州·期末）（1）小明在直角△DEF的斜边DF上取中点H，连接EH。测量△HDE和△HEF各条边的长度，发现它们都是（    ）三角形。 （2）根据题目，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南许昌·期末）用下面6根小棒，你能围出（    ）种三角形（单位：cm）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）下图中，有( )个锐角，( )个锐角三角形。( )个钝角，( )个钝角三角形。( )个直角，( )个直角三角形。 高频考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北邢台·期末）一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋中·期末）有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是( )厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是( )厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·湖北武汉·期末）用一根长18厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余，共可以围出________种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有________个。 高频考点八 画三角形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）画一画，写一写。如图，每个小方格的面积是1平方厘米。 （1）以AB为底，分别画一个高是2厘米的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 （2）观察你所画的直角三角形，它的面积是（    ）平方厘米。并说明理由。 我是这样想的： 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东济南·期末）请在点子图中画出2个底是5厘米，高是4厘米形状不同的三角形。（相邻两点距离是1厘米） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·重庆·期末）按要求在方格图中画三角形（每个小方格边长1cm）。 （1）以线段AB为底，画一个高3cm的三角形ABC，且AC＝BC。 （2）以线段DE为底，画一个高3cm的直角三角形DEF。 高频考点九 三角形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西宝鸡·期末）如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )度，原来这块纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 因为67°、67°、46°都是锐角，67°＝67°，所以原来这块纸片的形状是等腰三角形，也是锐角三角形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西安康·期末）如图，一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是( )°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江宁波·期末）三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 高频考点十 多边形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北唐山·期末）如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝( )°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是( )°。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋中·期末）八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是四边形的四个内角。现将四边形的四条边分别延长，形成了∠5、∠6、∠7、∠8四个角，这四个角叫四边形的外角，如图2。 （1）图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是（    ）°。 （2）不测量，你能推理得出∠5、∠6、∠7、∠8这四个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程。 奥数拓展一 三角形三边关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）用下边六根小棒，你能围成（    ）种三角形。 A．6 B．5 C．4 D．3 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）把一根13厘米长的小棒截成三段（整厘米数），围成一个三角形。这个三角形中最长的一段小棒不能超过（    ）厘米。 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）将一根22米的钢管，锯成三根整米数的小钢管，再围成一个三角形，则这个三角形中最长的一根最多是（    ）米。 A．9 B．10 C．11 奥数拓展二 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下面各图中，∠1与∠2相等的是（    ）。 A．B．C． D． 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图中有10个点，共连成13个等边三角形，现在已经擦去1个点（用O表示），至少再擦去几个点后，才能使图中一个等边三角形都没有？ （在图中画O表示擦去的点） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个等腰三角形的周长是20厘米，其中一条边长8厘米，它的另外两条边分别长多少厘米？ 奥数拓展三 三角形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·单元复习）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条相等的边叫做等腰三角形的腰。如下图，把一张长方形的纸按照虚线对折，减去四边形部分，并把剩余部分展开，就可以得到一个等腰三角形。 通过观察发现，等腰三角形有两个内角相等，这里两个相等的内角叫做等腰三角形的底角，两腰的夹角叫做等腰三角形的顶角，如上图所示。 例题：已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。 小明通过分析，只给出了一种可能的值，解答如下： 解：如图，原三角形的最大内角为72° 请你探索其他可能的值，仿照小明的画法画出示意图，标出角度，并回答原三角形的最大内角是多少度。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝140°，那么∠A＝______°。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下图是一张面积为400平方厘米的长方形纸折叠后的样子，这张长方形纸的宽是( )厘米。 奥数拓展四 多边形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有三个内角，也有三个外角哦。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少呢？我们一起来研究一下！ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180° 所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°， 又因为三角形的内角和＝180° 所以三角形的外角和＝540°－180°＝360°。    【解答应用】 （1）求四边形的外角和 因为四边形的内角和＋外角和＝4×180°＝720°， 又因为四边形的内角和＝360°， 所以四边形的外角和＝_____________。    （2）求五边形的外角和 因为五边形的内角和＋外角和＝_____________， 又因为五边形的内角和＝（    ）°， 所以五边形的外角和＝_____________。    （3）请你根据前面的推导过程，完成六边形外角和的探究过程吧！ （4）你发现多边形的外角和有什么规律吗？ __________________________________________________________________________________ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                                    ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26四年级上·湖南张家界·期末）用如图所示的升降台可以调节高度，是应用了（    ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形易变形的特性 C．平行四边形易变形的特性 D．平行四边形不易变形的特性 2．（23-24四年级上·山东济南·期中）一个锐角三角形，任意两个锐角的和（    ）90°。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 3．（25-26四年级上·安徽淮南·期末）用木条做成下面的形状，其中不能拉成平行四边形的是（    ）。 A．三角形 B．长方形 C．正方形 4．（25-26四年级上·广东东莞·期末）如图，一个直角梯形有一个角是45°，那么其他三个内角的度数分别是( )、( )、( )。 5．（25-26四年级上·河北邢台·期末）当梯形的上底逐渐缩小到一个点时，梯形就转化成______；当梯形的上底增大到与下底相等时，梯形就转化成______。（均选填“三角形”或“平行四边形”） 6．（25-26四年级上·广东广州·期末）看图填一填。 ( )°，( )°。 7．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 8．（24-25四年级下·河北廊坊·期末）一个三角形中的两个内角的和是130度，这个三角形一定是钝角三角形。( )（判断对错） 9．（24-25四年级下·江西赣州·期末）计算下面未知角的度数。 10．（24-25四年级下·河北邢台·期末）一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26四年级上·贵州黔东南·期末）把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，四个角的和（    ）。 A．不变 B．变大 C．变小 2．（25-26四年级上·河南三门峡·期末）如图，用橡皮筋在钉子板上围出梯形ABCD，如果只改变D点，其余三个点不变，下列说法错误的是（    ）。 A．线段AD向右延长3厘米，变成了平行四边形 B．线段AD向右延长2厘米，变成了长方形 C．线段AD向左缩短至点D和点A重合，变成了三角形 3．（24-25四年级下·河南新乡·期末）如图，A、C两点均在直线m上，如果点A和点B固定不动，点C沿直线m向右移动，三角形ABC不可能变成（    ）。 A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 4．（25-26四年级上·湖南张家界·期末）如图，∠1＝40°，∠2＝70°，( )°，是个( )三角形。 5．（25-26四年级上·山东济宁·期末）如图，四边形ABCD是正方形，三角形BCE是等边三角形。请你算一算，∠1的度数是________，∠2的度数是________。 6．（23-24四年级下·广东广州·期末）一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或( )或( )厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 7．（24-25四年级下·贵州黔西南·期末）计算下面图形中的度数。 8．（24-25四年级下·河南郑州·期末）为了保护正方形造型的花圃，园艺师沿着花圃边围了整一圈隔离带，隔离带长40米。过了一个月，花圃换成了等腰三角形的形状，这条隔离带恰好够围一圈。等腰三角形花圃的一条边长是8米，另两条边的长分别是多少米？ 9．（24-25四年级下·内蒙古呼和浩特·期末）我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，其形状是等腰三角形，分为小号、大号两种规格。其中小号的尺寸是底边长100厘米、腰长60厘米；大号的尺寸是底边长120厘米、腰长72厘米。 （1）算式100＋60×2解决的问题是______。 （2）如果一条红领巾中最大的角是120°，这条红领巾的另外两个角分别是多少度？ 10．五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形    180° 60° 正方形      360° 90° 正五边形       （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图1中∠1的度数吗？ （3）图2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $