（易错复习讲义）2025-2026学年四年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破（六大专题29个易错点）（北师大版）

2025-2026学年四年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级下册数学 （六大专题29个易错点） 目录 专题一小数的意义和加减法 3 易错点1：易把数位和位数、数位和计数单位弄混。 3 易错点2：不知道元和分之间的进率,错把元和分之间的进率当作10。（其他单位换算也是如此） 4 易错点3：错误地认为“小数位数越多，小数就越大”。 7 易错点4：在用竖式计算小数加法时,误按整数竖式计算的方法,把右端对齐。 9 易错点5：在计算进位加法或退位减法时，忘记进位或退位。 12 易错点6：混合运算或简便运算时，没有注意运算符号或简算错误。 14 易错点7：解决实际问题时，未正确理解数量关系。 16 专题二认识三角形和四边形 18 易错点1：对三角形分类的方法掌握不准确。 18 易错点2：错误理解三角形内角和。 22 易错点3：错误应用三角形三边关系。 25 易错点4：四边形分类不清（特别是平行四边形和梯形）。 27 易错点5：数复杂图形中某种图形的个数时，出现遗漏或重复。 30 专题三小数乘法 33 易错点1：没有准确理解小数乘整数的意义。 33 易错点2：小数点移动规律掌握错误。 34 易错点3：小数乘法竖式计算中，小数点错误或未补0。 36 易错点4：运用乘法分配律进行简便计算时，应将两个加数分别与因数相乘。注意不要漏掉。 38 易错点5：解决分段计费问题要注意考虑所有部分，漏掉会导致计算错误。 41 专题四观察物体 44 易错点1：没有掌握从侧面观察物体的方法。 44 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 49 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 53 专题五认识方程 55 易错点1：用字母表示数时书写不规范。 55 易错点2：没有找准数量间的等量关系，列式错误。 57 易错点3：等式与方程概念混淆。 59 易错点4：解方程错误。 60 易错点5：解决问题及计算时没有掌握形如ax±b=c( a≠0)这种形式方程的解法。 64 专题六数据的表示和分析 66 易错点1：统计图表的绘制与解读失误 66 易错点2：平均数计算与理解偏差。 70 易错点3：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 72 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 79 专题一小数的意义和加减法 易错点1：易把数位和位数、数位和计数单位弄混。 【易错专练1】0.08里面有8个（    ）。 A．1 B．0.1 C．0.01 【答案】C 【分析】0.08是两位小数，百分位上的数是8，表示8个0.01。 【解答】0.08里面有8个0.01。 故答案为：C 【易错专练2】1.3302中的“0”所在数位的计数单位是（    ）。 A．十分之一 B．百分之一 C．千分之一 D．万分之一 【答案】C 【分析】1.3302中的“0”在千分位上，千分位的计数单位是千分之一，据此解答。 【解答】1.3302中的“0”在千分位上，千分位的计数单位是千分之一。 故答案为：C 【易错专练3】50.08中的5在（ ）位上，表示（ ）个（ ）；8在（ ）位上，表示（ ）个（ ）。 【答案】十 5 十 百分 8 0.01 【分析】把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……表示这样的一份或几份的数是小数，它的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001.……每相邻两个计数单位之间的进率是10。数位上是几，就表示几个该数位所对应的计数单位，解答即可。 【解答】由分析可得：50.08中的5在十位上，表示5个十；8在百分位上，表示8个0.01。 【易错专练4】国宝第一市，天下好运城。据统计：2025年“五一”期间，运城市51家A级景区累计接待游客二百三十三点四七万人次，迎来了文商融合的高光时刻。横线上的数写作（ ）万，这个数中的“4”表示4个（ ）。 【答案】233.47 千 【分析】小数的写法：整数部分按照整数的写法去写，小数点写在整数部分的右下角，小数部分按顺序写出每一个数位上的数字。 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……，分别写作0.1、0.01、0.001…，每相邻两个计数单位之间的进率是10。 【解答】“二百三十三”对应整数部分233，“点”是小数点，“四七”对应小数部分为47，合起来为233.47万。因此“二百三十三点四七万”写作233.47万。 在233.47万中，小数点后的第一位是十分位，对应计数单位为“十分之一万”（即0.1万）。因此，“4”位于十分位，表示4个0.1万，即4个千。 【易错专练5】用3个百分之一和4个十组成的数是（ ）；0.7表示（ ）个0.1，还可以表示（ ）个0.01；1.68里面有（ ）个0.001。 【答案】40.03 7 70 1680 【分析】百分之一可以写成0.01，3个百分之一就是0.03；4个十就是40；所以这个数是40＋0.03＝40.03。0.7的7在十分位上，表示7个0.1，还可以表示70个0.01；同理1.68表示168个0.01，还可以表示1680个0.001，据此解答即可。 【解答】根据分析可知，用3个百分之一和4个十组成的数是40.03；0.7表示7个0.1，还可以表示70个0.01；1.68里面有1680个0.001。 易错点2：不知道元和分之间的进率,错把元和分之间的进率当作10。（其他单位 换算也是如此） 【易错专练1】用小数表示测量结果。      蝴蝶大约宽（ ）分米。    小明重（ ）千克。 【答案】0.8；30.5 【分析】直尺终点的数减去开始的数可得蝴蝶宽，单位是厘米，再除以进率10，可换算成以分米作单位； 低级单位换算成高级单位，用低级单位上的数除以进率，据此解答。 【解答】（厘米） 8厘米＝（8÷10）分米＝0.8分米 30千克500克＝30千克＋（500÷1000）千克＝30千克＋0.5千克＝30.5千克 蝴蝶大约宽0.8分米。 小明重30.5千克。 【易错专练2】铅笔5厘米，用分数表示为（ ）分米，用小数表示为（ ）米。 【答案】 0.05 【分析】（1）把1分米平均分成10份，每份是1厘米，1厘米＝分米。据此将5厘米转化为多少分米。 （2）把1米平均分成100份，每份是1厘米，1厘米＝米，也可以表示为0.01米，即1厘米＝0.01米。据此将5厘米转化为多少米。 【解答】（1）1厘米＝分米，所以5厘米＝分米。 （2）1厘米＝0.01米，所以5厘米＝0.05米。 铅笔5厘米，用分数表示为分米，用小数表示为0.05米。 【易错专练3】52厘米＝（ ）米    3元5分＝（ ）元 【答案】0.52 3.05 【分析】1米＝100厘米，把1米平均分成100份，1份是1厘米，也就是0.01米，所以52厘米是0.52米；1元＝100分，将1元平均分成100份，1份是1分，也就是0.01元，所以5分是0.05元。 【解答】根据分析，52厘米＝0.52米；5分＝0.05元，所以3元5分＝3.05元。 【易错专练4】一只军舰鸟的体重约1千克600克，翼长2米1分米，骨骼重113克。用小数怎么表示呢？ 1千克600克＝（ ）千克   2米1分米＝（ ）米   113克＝（ ）千克 【答案】1.6 2.1 0.113 【分析】根据1千克＝1000克，把1千克平均分成1000份，其中的1份是，用小数表示为0.001千克，1米＝10分米，把1米平均分成10份，其中的1份是，用小数表示为0.1米，据此逐项解答即可。 【解答】600个0.001千克是0.6千克，即600克＝0.6千克，1＋0.6＝1.6千克，所以，1千克600克＝1.6千克 1分米＝0.1米，2＋0.1＝2.1米，所以，2米1分米＝2.1米 113个0.001千克是0.113千克，所以，113克＝0.113千克 1千克600克＝1.6千克   2米1分米＝2.1米   113克＝0.113千克 【易错专练5】单位换算。 5元6角＝（ ）元       2.05吨＝（ ）吨（ ）千克 3米5厘米＝（ ）米           0.5时＝（ ）分 【答案】5.6 2 50 3.05 30 【分析】（1）1元＝10角，将1元平均分成10份，其中1份是1角，用小数表示是0.1元，6角即为0.6元； （2）1吨＝1000千克，将1吨平均分成1000份，其中1份是1千克，用小数表示是0.001吨， 0.05吨中有50个0.001吨，即50千克，所以0.05吨＝50千克； （3）1米＝100厘米，将1米平均分成100份，其中1份是1厘米，用小数表示是0.01米，5厘米即为0.05米； （4）1时＝60分，将1时平均分成10份，其中1份是6分，用小数表示是0.1时，0.5时中有5个0.1时，即5个6分是30分，所以0.5时＝30分。 【解答】5元6角＝5.6元；2.05吨＝2吨50千克； 3米5厘米＝3.05米；0.5时＝30分。 易错点3：错误地认为“小数位数越多，小数就越大”。 【易错专练1】把2.65，2.56，2.065，2.605按照从小到大的顺序排列，排在第二位的是（ ）；排在最后一位的是（ ）。 【答案】2.56 2.65 【分析】比较小数大小时，先比较整数部分，整数部分相同则比较十分位，十分位相同再比较百分位，依次类推。 【解答】2.065、2.56、2.605、2.65 四个数整数部分均为 2，相同。 十分位上：，所以 2.065 最小。 剩下 2.56、2.605、2.65，十分位为 5 的 2.56 较小。 再比较 2.605 和 2.65，百分位 ，所以 。 从小到大排列为： 所以排在第二位的是 2.56；排在最后一位的是 2.65。 【易错专练2】东东、方方、红红三位同学的50m跑成绩分别是8.56秒，8.45秒，8.38秒，（ ）的速度最快。 【答案】红红 【分析】根据题意，相同距离，跑的时间越少，速度越快。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看小数点后面一位，它大这个小数就大。如果相同就再看下一位，直至比较出小数的大小。 【解答】8.56＞8.45＞8.38，所以红红的速度最快。 【易错专练3】把0.27，75.4，6.58，90.4分别填入适当的括号里。 76＞（ ）＞75    90＜（ ）＜91    1＞（ ）＞0    6＜（ ）＜7 【答案】75.4 90.4 0.27 6.58 【分析】小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大…… 要使一个小数小于76而大于75，那么这个小数的整数部分应该是75，满足条件的小数只有75.4； 要使一个小数大于90而小于91，那么这个小数的整数部分应该是90，满足条件的小数只有90.4； 要使一个小数小于1而大于0，那么这个小数的整数部分应该是0，满足条件的小数只有0.27； 要使一个小数大于6而小于7，那么这个小数的整数部分应该是6，满足条件的小数只有6.58。 【解答】由分析可得： 【易错专练4】在里填数字，使它分别符合下列要求。 （1）使这个数最大，这个数是（ ）。 （2）使这个数最小，这个数是（ ）。 （3）使这个数最接近42，这个数是（ ）。 【答案】（1）92.95 （2）12.05 （3）42.05 【分析】题目是对小数的数位（十位、十分位）填数字，题目中的个位是2，百分位5，十位和十分位未知，需根据“最大、最小、最接近42”的要求，结合数位的取值范围（十位为非0数字，十分位为0-9）分析。 【解答】（1）使这个数最大：十位和十分位都填最大的数字9，这个数是92.95​。 （2）使这个数最小：十位填最小的非0数字1，十分位填最小的数字0，这个数是12.05​。 （3）使这个数最接近42：十位填4，十分位填0，此时数为42.05，与42的差最小，这个数是42.05​。 【易错专练5】下面是五名同学立定跳远的成绩统计表，请在颁奖台上写出前三名同学的名字。 姓名 园园 乐乐 小宇 小恒 海海 成绩/米 1.58 1.6 1.59 1.64 1.61 【答案】 【分析】立定跳远的成绩以跳远距离为依据，距离越长排名越靠前，因此需将五名同学的成绩从大到小排序，确定前三名。 【解答】将成绩从大到小排列：1.64＞1.61＞1.6＞1.59＞1.58。 对应名次：第1名：小恒（成绩1.64米） 第2名：海海（成绩1.61米） 第3名：乐乐（成绩1.6米） 颁奖台填写：1处填“小恒”，2处填“海海”，3处填“乐乐”。 易错点4：在用竖式计算小数加法时,误按整数竖式计算的方法,把右端对齐。 【易错专练1】竖式计算。（带*的要验算） 60－53.21＝    20.3＋12.4＝    *21.04－7.58＝ 【答案】6.79；32.7；13.46 【分析】小数加减法计算时，先把小数点对齐（即相同数位对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。带*的题目需要进行验算，验算时用差加上减数看是否等于被减数。 【解答】 验算： 【易错专练2】竖式计算，并验算。 11－9.5＝    13.8＋5.91＝ 验算：    验算： 【答案】1.5；19.71 【分析】小数的加、减法法则：相同数位对齐（小数点对齐），从最低位算起，按整数加减法的法则进行计算，结果中的小数点和相加减的数的小数点对齐。 【解答】                            验算：            验算： 【易错专练3】竖式计算，并验算。 0.46＋0.53＝        12.35－1.34＝ 【答案】0.99；11.01 【分析】小数加减法的计算法则：先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里点上小数点。 小数加法的验算，可以用和减去一个加数，看是否等于另一个加数；小数减法的验算，可以用差加减数，看是否等于被减数。 【解答】                            验算：         验算： 【易错专练4】用竖式计算。 21.6＋5.47    100－39.68    4.23＋5.87    9.45－6.57 【答案】27.07；60.32；10.1；2.88 【分析】小数加减法计算时，先把小数点对齐（即相同数位对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。 【解答】 【易错专练5】用竖式计算。 8.76＋3.59＝      5.6－2.49＝      7.25＋0.25＝      9.5－1.5＝ 【答案】12.35；3.11；7.5；8 【分析】本题主要考查小数的加减法运算，按照小数加减法的计算方法进行计算。 【解答】竖式计算如下： 易错点5：在计算进位加法或退位减法时，忘记进位或退位。 【易错专练1】用竖式计算。 81.25＋36.9＝    52.1－30.27＝    8.9＋7.79＝    41－18.94＝ 【答案】118.15；21.83；16.69；22.06 【分析】小数加减法：小数点对齐，按整数加减法计算，结果点上小数点。 【解答】                                                                                                                                                                       【易错专练2】竖式计算，并验算。 13.47＋3.9＝    2.15－0.89＝    0.93－0.45＝ 【答案】17.37；1.26；0.48 【分析】小数加法，先把小数点对齐，这一步是为了将相同数位对齐，也就是保证个位与个位对齐，十分位与十分位对齐，百分位与百分位对齐等。从末位开始相加，哪一位上的数相加满十就向前一位进1。最后对齐横线上的小数点，在得数中点上小数点。加法验算，交换加数的位置求和，看是否与原算式和相等。 小数减法，同样先把小数点对齐，将相同数位对齐。按照整数减法计算方法计算，哪一位上不够减就要向前一位借1当10。最后对齐横线上的小数点，在得数中点上小数点，小数点位置与被减数和减数的小数点位置对齐。减法验算，用减数加上差，看是否与被减数相同即可。 【解答】13.47＋3.9＝17.37        2.15－0.89＝1.26            0.93－0.45＝0.48 验算：  验算：    验算： 【易错专练3】用竖式计算。                    【答案】21.92；19.2；9.09 【分析】小数加减法的计算法则：先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里点上小数点。 【解答】60.12−38.2＝21.92            3.92＋15.28＝19.2              10.1−1.01＝9.09                                 【易错专练4】列竖式计算。 19.7＋32.8＝              62.9－3.75＝ 4.57＋15.66＝              80－23.95＝ 【答案】52.5；59.15； 20.23；56.05 【分析】小数加减法，当小数位数相同时，相同数位上的数对齐，也就是把各数的小数点对齐。从末位算起，按照整数加减法的法则进行计算。算出得数的小数点要与横线上面的小数点对齐。 当小数位数不同时，根据小数的性质，在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。先在位数较少的小数的末尾添上“0”，变成位数相同的小数加减法，再计算。 【解答】19.7＋32.8＝52.5             62.9－3.75＝59.15                      4.57＋15.66＝20.23              80－23.95＝56.05                        【易错专练5】竖式计算。                【答案】58.22；87.32；21.04 【分析】小数加法和减法的计算方法：要把小数点对齐，也就是相同数位对齐；从最低位算起，各位满十要进一；不够减时要向前一位借1当10再减；被减数是整数时，要添上小数点，并根据减数的小数部分补上0后再减；用竖式计算小数加、减法时，小数点末尾的0不能去掉，把结果写在横式中时，小数点末尾的0要去掉。 【解答】34.9＋23.32＝58.22 100−12.68＝87.32 66.6−45.56＝21.04                    易错点6：混合运算或简便运算时，没有注意运算符号或简算错误。 【易错专练1】脱式计算。（能简算的要简算） 32.8＋4.02＋17.2    2.785＋2.54＋7.46    200－73.4－26.6 【答案】54.02；12.785；100 【分析】（1），根据带符号搬家，将原式化为，再进行计算； （2），根据加法结合律，将原式化为，再进行计算； （3），根据减法的性质，将原式化为，再进行计算。 【解答】（1） （2） （3） 【易错专练2】计算下面各题，能简算的要简算。 45.27＋9.6－14.93      96.8－（32.3＋9.5）       65.5＋12.3＋34.5 【答案】39.94；55；112.3 【分析】第一题按从左到右顺序依次计算加法和减法； 第二题先算括号内加法，再算括号外减法； 第三题利用加法交换律先将能凑整的数相加，再算剩余加法。 【解答】 【易错专练3】计算下面各题。 3.5－2.7＋5.5          12－（10－5.82）          31.26－7.44－2.56 【答案】6.3；7.82；21.26 【分析】3.5－2.7＋5.5，此题可以从左到右依次计算； 12－（10－5.82），此题可以运用减法的性质，去掉括号后简算； 31.26－7.44－2.56，此题可以运用减法的性质，先算（7.44＋2.56），然后再用31.26去减两数之和。据此解答。 【解答】3.5－2.7＋5.5 ＝0.8＋5.5 ＝6.3 12－（10－5.82） ＝12－10＋5.82 ＝2＋5.82 ＝7.82 31.26－7.44－2.56 ＝31.26－（7.44＋2.56） ＝31.26－10 ＝21.26 易错点7：解决实际问题时，未正确理解数量关系。 【易错专练1】小雪、小美和小丽一起到文具店买文具，三人一共花去34.52元，小雪和小美共花去24.84元，小雪和小丽共花去22.53元。三人各花去多少元？ 【答案】小雪花去12.85元；小美花去11.99元；小丽花去9.68元 【分析】小雪和小美、小雪和小丽这两种情况合起来就多算了一次小雪，所以小雪花的钱数＝小雪和小美一共花的钱数＋小雪和小丽一共花的钱数－三人一共花的钱数，那么小美花的钱数＝小雪和小美一共花的钱数－小雪花的钱数，小丽花的钱数＝小雪和小丽一共花的钱数－小雪花的钱数，据此代入数值作答即可。 【解答】小雪：24.84＋22.53－34.52 ＝47.37－34.52 ＝12.85（元） 小美：24.84－12.85＝11.99（元） 小丽：22.53－12.85＝9.68（元） 答：小雪花去12.85元，小美花去11.99元，小丽花去9.68元。 【易错专练2】春节期间，李叔叔乘坐飞机回家，航空公司规定质量不超过20千克的行李可以免费托运。李叔叔的行李箱自重2.59千克，要带的笔记本电脑重1.46千克，要想免费托运行李，他的行李箱最多还能再装多少千克的其他物品？ 【答案】15.95千克 【分析】根据题意可知，用免费托运的最多重量20千克，减去行李的重量和笔记本电脑的重量，即可求出剩下还能装多少千克。 【解答】20－2.59－1.46 ＝17.41－1.46 ＝15.95（千克） 答：李叔叔的行李箱最多还能再装15.95千克的其他物品。 【易错专练3】小慧准备用两根长为2.18米的绳子接在一起做手工（如下图所示），接好后的绳子实际全长多少米？ 【答案】3.71米 【分析】由题意得，小慧准备用两根长为2.18米的绳子接在一起做手工，可以先用加法算出两根绳子一共有多长。接头处的长度为0.65米，直接用前面的得数减去0.65米即可算出接好后的绳子实际全长多少米。 【解答】2.18＋2.18－0.65 ＝4.36－0.65 ＝3.71（米） 答：接好后的绳子实际全长3.71米。 【易错专练4】刘爷爷推着三轮车来到城东集市，将自家菜园种植的黄瓜、西红柿和土豆整齐摆放在摊位上，开始一天的售卖；刘爷爷一天卖菜的收入如下表： 蔬菜 黄瓜 西红柿 土豆 收入／元 24.45 18.52 32.84 （1）卖黄瓜比卖西红柿多收入了多少钱？ （2）卖三种蔬菜一共收入了多少钱？ 【答案】（1）5.93元 （2）75.81元 【分析】（1）由表格可知，刘爷爷卖黄瓜收入24.45元，卖西红柿收入18.52元。求刘爷爷卖黄瓜比卖西红柿多收入了多少钱，用减法计算。 （2）由表格可知，刘爷爷卖黄瓜收入24.45元，卖西红柿收入18.52元，卖土豆收入32.84元。求刘爷爷卖三种蔬菜一共收入了多少钱，用加法计算。 【解答】（1）24.45－18.52＝5.93（元） 答：卖黄瓜比卖西红柿多收入了5.93元。 （2）24.45＋18.52＋32.84 ＝42.97＋32.84 ＝75.81（元） 答：卖三种蔬菜一共收入了75.81元。 【易错专练5】6月5日上午和谐新村环保志愿者在广场开展六五环境日宣传活动。此次活动进一步动员了各界志愿者积极投身到建设美丽乡村、实现人与自然和谐共生的现代化的伟大实践中，为建设美丽乡村魅力中国贡献力量。环保志愿者去捡拾丢弃居民区附近的垃圾，共捡拾了17.25千克的其他垃圾，捡拾的可回收垃圾比其他垃圾少8.8千克，环保志愿者一共捡拾了多少千克的其他垃圾和可回收垃圾？ 【答案】25.7千克 【分析】已知其他垃圾的质量为17.25千克，可回收垃圾比其他垃圾少8.8千克，先计算可回收垃圾的质量，再将两种垃圾的质量相加，得到总质量。 【解答】17.25－8.8＋17.25 ＝8.45＋17.25 ＝25.7（千克） 答：环保志愿者一共捡拾了25.7千克的其他垃圾和可回收垃圾。 专题二认识三角形和四边形 易错点1：对三角形分类的方法掌握不准确。 【易错专练1】一个三角形中最多有（    ）个钝角，最少有（    ）个锐角。以下答案正确的是（    ）。 A．1，1 B．1，2 C．2，2 【答案】B 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。据此作答。 【解答】锐角三角形有3个锐角，直角三角形有1个直角和2个锐角，钝角三角形有1个钝角和2个锐角。所以一个三角形中最多有1个钝角，最少有2个锐角。 故答案为：B 【易错专练2】下面图形中，添一条线段可以得到两个钝角三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个内角为钝角的三角形是钝角三角形。对各个选项进行分析，看哪个选项添一条线段得到两个钝角三角形。 【解答】A．，不能得到两个钝角三角形； B．，不能得到两个钝角三角形； C．，不能得到两个钝角三角形； D．，能得到两个钝角三角形。 故答案为：D 【易错专练3】下图（    ）中被信封遮住的三角形一定是锐角三角形。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】锐角三角形的三个角都是锐角；直角三角形中有一个角是直角，钝角三角形中有一个角是钝角，据此判断选择即可。 【解答】 A．露出的角是一个锐角，另外两个角不能确定，故无法判断这个三角形是不是锐角三角形；     B．露出的角是一个钝角，故可以得出这个三角形一定是钝角三角形；     C．露出的角是一个直角，故可以得出这个三角形一定是直角三角形；     D．露出的两个角都是锐角，通过延长两边可知第三个角也是锐角，故可以得出这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：D 【易错专练4】数一数，填一填。 上图中有（ ）个锐角三角形，（ ）个钝角三角形和（ ）个直角三角形。 【答案】1 5 2 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此解答。 【解答】图中有1个锐角三角形，5个钝角三角形和2个直角三角形。 【易错专练5】找一找，填一填。 图形（ ）是等腰三角形，图形（ ）是等边三角形，图形（ ）是直角三角形，图形（ ）是钝角三角形，图形（ ）是锐角三角形。 【答案】②④⑤ ③ ①④ ⑤⑦ ②③⑥ 【分析】两条腰相等的三角形是等腰三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【解答】 是直角三角形； 是等腰三角形也是锐角三角形； 是等边三角形也是锐角三角形； 是直角三角形也是等腰三角形； 是钝角三角形也是等腰三角形； 是锐角三角形； 是钝角三角形。 图形②④⑤是等腰三角形，图形③是等边三角形，图形①④是直角三角形，图形⑤⑦是钝角三角形，图形②③⑥是锐角三角形。 易错点2：错误理解三角形内角和。 【易错专练1】一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【分析】先明确三角形内角和为180°，再通过假设法根据题目条件求出该内角的度数，最后判断三角形类型。 【解答】题目中提到一个内角正好是其余两个内角之和，假设这个内角的度数看作2份，其余两个内角的度数看作各为1份，则两个内角之和的份数为份。又因为三角形内角和为180°，内角和的总份数为份，那么1份的度数为，这个内角的度数占2份，为。根据三角形按角分类的方法，有一个角是直角（90度）的三角形是直角三角形。因此，一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个直角三角形。 故答案为：B 【易错专练2】三名同学为了验证“三角形内角和是180°”，采用了以下3种不同的方法。方法（    ）不能验证“三角形内角和是180°”。 A．B．C． 【答案】C 【分析】验证“三角形内角和是180°”的核心逻辑是：通过角度计算“内角拼接成平角”等方式，体现三个内角和为180°，需分析三种方法是否符合该逻辑。方法A：通过实际角度相加，直接验证和为180°；方法B：将三个内角剪拼，拼接后形成平角，平角为180°；方法C：仅拆分三角形，未整合三个内角，无法体现和为180°。 【解答】方法A：计算三个内角的和： ，通过角度求和直接验证了三角形内角和为180°，符合要求。 方法B：将三角形的三个内角剪下来拼接，最终三个角组成一个平角，平角的度数是180°，是验证三角形内角和的经典剪拼法，符合要求。 方法C：只是将三角形沿高拆分后拼接，并未把三个内角组合成平角，无法体现三个内角的和为180°，因此不能验证“三角形内角和是180°”。 故答案为：C 【易错专练3】如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是（ ）°，原来这块纸片的形状，按角分是（ ）三角形。 【答案】57 锐角 【分析】根据三角形的内角和是180°计算出撕去角的度数；再根据三角形按角分类规则判断：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【解答】180°－66°－57° ＝114°－57° ＝57° 三个角都大于0°，小于90°。 所以撕去的这个角的度数是57°，原来这块纸片的形状，按角分是锐角三角形。 【易错专练4】航航在折纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝（ ）°。 【答案】240 【分析】等边三角形的三个角相等，都是60°。三角形内角和是180°，∠1是60°，等边三角形剩下的两个角的度数和是180°－60°＝120°。而剪去一个三角形，剩下的是一个四边形。四边形的内角和＝（边数－2）×180°。用四边形的内角和减去120°就是∠2＋∠3的度数之和。 【解答】180°－60°＝120° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°－120°＝240° 所以，∠2＋∠3＝240°。 【易错专练5】求下面未知角的度数。 【答案】∠A＝55°；∠B＝77°；∠C＝65° 【分析】本题可根据三角形内角和为180°以及平角为180°的性质，分别计算三角形中未知角的度数。 第一个三角形：已知三角形ABC是直角三角形，∠B＝90°，∠C＝35°，所以∠A＝180°－∠B－∠C。 第二个三角形：已知∠A＝48°，∠C＝55°，所以∠B＝180°－∠A－∠C。 第三个三角形：已知∠A＝60°，与125°角互补的∠ABC＝180°－125°＝55°，所以∠C＝180°－∠A－∠ABC。据此解答即可。 【解答】∠A＝180°－∠B－∠C ＝180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° ∠B＝180°－∠A－∠C ＝180°－48°－55° ＝132°－55° ＝77° ∠C＝180°－∠A－∠ABC ＝180°－60°－55° ＝120°－55° ＝65° 易错点3：错误应用三角形三边关系。 【易错专练1】两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（    ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】等腰三角形要求至少两条边长度相等。已知两根小棒长度分别为5cm和10cm，不相等，因此第三根小棒的长度必须等于5cm或10cm，才能满足等腰条件。结合三角形的任意两边之和大于第三边，分情况进行讨论即可解答。 【解答】如果选取小棒的长度是5cm： 5＋5＝10（cm） 此时不能构成三角形，所以不能选5cm的小棒。 如果选取第三边的长度是10cm： 10＋10＞5 能构成等腰三角形。 所以再选一根长10cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 故答案为：C 【易错专练2】一个等腰三角形的两条边的长度分别是3cm和7cm，则它的周长是（    ）cm。 A．17 B．15 C．13 D．13或17 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两条腰的长度相等，再根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；由于，所以判断出该三角形的腰长为7cm，底边为3cm，进而根据三角形的周长等于两条腰的长度加上底边的长度，据此解答。 【解答】由于，所以判断出该三角形的腰长为7cm，底边为3cm， （cm） 它的周长是17cm。 故答案为：A 【易错专练3】一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是4cm和7cm，那么第三条边最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。 【答案】10 4 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行分析。 【解答】（cm） （cm） 一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是4cm和7cm，那么第三条边最长是10cm，最短是4cm。 【易错专练4】刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【答案】见详解 【分析】三角形任意两边之和大于第三边；从给定的六根小棒中选取三根进行组合，逐一验证这些组合是否满足三角形的三边关系。据此分析解答。 【解答】根据分析可知： 4＋7＞9，所以4厘米、7厘米和9厘米可以摆成三角形； 7＋9＞13，所以7厘米、9厘米和13厘米可以摆成三角形； 7＋13＞17，所以7厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 7＋17＞21，所以7厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋13＞17，所以9厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 9＋13＞21，所以9厘米、13厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋17＞21，所以9厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 13＋17＞21，所以13厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 答：任选3根小棒可以摆成三角形的有：4厘米、7厘米和9厘米；7厘米、9厘米和13厘米； 7厘米、13厘米和17厘米； 7厘米、17厘米和21厘米； 9厘米、13厘米和17厘米； 9厘米、13厘米和21厘米； 9厘米、17厘米和21厘米； 13厘米、17厘米和21厘米。 【易错专练5】一根铁丝对折一次之后的长度是9.5厘米，现要把它围成一个等腰三角形，若接头处忽略不计，且每条边的长度都是整厘米数，则等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米？请说明理由。 【答案】9厘米；5厘米；见详解 【分析】根据题意，对折一次分成两份，所以用对折后的长度乘2就是原来铁丝的长度。也是等腰三角形的周长。对折一次之后的长度是9.5厘米，那么围成的三角形的最长边是9厘米。等腰三角形的两腰相等。从腰长是9厘米开始，用列表的方式排列出所有的等腰三角形的情况，据此可知等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米。 【解答】9.5×2＝19（厘米） 三角形最长的边是9厘米。那么可以围成的等腰三角形如下所示： 腰 9厘米 8厘米 7厘米 6厘米 5厘米 腰 9厘米 8厘米 7厘米 6厘米 5厘米 底 1厘米 3厘米 5厘米 7厘米 9厘米 答：等腰三角形的腰最长可达9厘米，最短可至5厘米。 易错点4：四边形分类不清（特别是平行四边形和梯形）。 【易错专练1】依次连接方格纸上A、B、C 三个点，再连接①、②、③、④中的某一个点围成四边形。要使围成的四边形是梯形，可以有（    ）种不同的围法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】梯形的上底和下底是平行的，所以围成的图形中有一组平行线，看哪些图形符合进行选择。 【解答】 根据图可知，连①是四边形，连②也是四边形，连③是平行四边形，只有连④才是梯形，所以只有1种； 故答案为：A 【易错专练2】下面各组小棒中，不能围成梯形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据梯形的定义判断，只有一组对边平行的四边形是梯形，所以，梯形不可能四条边都相等。 【解答】 不能围成梯形的是。 故答案为：A 【易错专练3】下面图形中，只有一组平行线的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，明确长方形和正方形都是两组对边分别平行；正五边形没有两条边互相平行，梯形只有一组对边平行，据此即可解答。 【解答】根据分析可知： A．不符合题意。 B．不符合题意。 C．不符合题意。 D．符合题意。 图形中，只有一组平行线的图形是。 故答案为：D 【易错专练4】如图，一个等腰梯形被分成一个平行四边形和一个三角形，其中平行四边形的周长是（ ）厘米。 【答案】22 【分析】平行四边形的对边相等，等腰梯形的上底＝平行四边形的底，等腰梯形的腰＝平行四边形的腰，所以平行四边形的周长＝（底边＋腰）×2，据此作答即可。 【解答】由题图可知，平行四边形的一组对边的长是5厘米，另一组对边的长是6厘米，其周长是： （6＋5）×2 ＝112 ＝22（厘米） 所以其中平行四边形的周长是22厘米。 【易错专练5】拼一拼，填一填。 （1） 和 可以拼成一个平行四边形。 （2） 和 可以拼成一个梯形。 （3） 和 既可以拼成一个长方形又可以拼成一个梯形。 【答案】（1）①（⑤；⑦） ④（⑥；⑧） （2）⑦ ⑧ （3）⑦ ⑧ 【分析】（1）根据平行四边形的性质，要拼成平行四边形需要两个完全相同的三角形或者梯形，所以需要找出图中完全相同的两组三角形或梯形； （2）根据梯形的特点及给出来的图形，要拼成梯形需要两个完全一样的直角梯形； （3）根据长方形和梯形的特点及给出来的图形，两个完全一样的直角梯形既可以拼成梯形也可以拼成长方形。 【解答】（1）①和④是两个完全一样的三角形，所以可以拼成平行四边形；同理⑤和⑥也是两个完全一样的三角形，可以拼成平行四边形；⑦和⑧是两个完全一样的梯形，所以可以拼成平行四边形，三组中选一组作答即可。 （2）⑦和⑧是两个完全一样的直角梯形，可以拼成梯形； （3）⑦和⑧是两个完全一样的直角梯形，可以拼成长方形。 易错点5：数复杂图形中某种图形的个数时，出现遗漏或重复。 【易错专练1】数一数，填一填。 图中有（ ）个长方形。 【答案】9 【分析】根据题意，按小长方形的个数进行分类，分别数出组成的长方形的个数，最后求和即可解答。 【解答】1个小长方形组成的长方形：4个；2个小长方形组成的长方形：4个；3个小长方形组成的长方形：0个；4个小长方形组成的长方形：1个 一共：（个） 所以，图中有9个长方形。 【易错专练2】数一数。 （1）有（ ）个三角形。 （2）有（ ）个四边形。 【答案】（1）10 （2）3 【分析】（1）三角形是由三条线段首尾相接组成的封闭图形，通过观察图形，找出所有符合条件的三角形； （2）四边形是由四条边组成的封闭图形，通过观察图形，找出所有符合条件的四边形。 【解答】（1）从最小的三角形数起：由一个小三角形组成的有4个，由两个小三角形组成的有3个，由三个小三角形组成的有2个，由四个小三角形组成的有1个，，所以一共有10个。 有10个三角形。 （2）由1个小四边形组成的有2个，由2个小四边形组成的有1个，，所以一共有3个。 有3个四边形。 【易错专练3】图中能找到多少个平行四边形？ 【答案】2个 【分析】两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，据此数一数。 【解答】 如图，平行四边形有2个，一共2个平行四边形。 【易错专练4】数一数，填一填。          图中有（ ）个三角形。 【答案】10 【分析】通过分类计数的方法，分别数出由不同数量小三角形组成的三角形个数，再求和。 【解答】观察图形可知，由1个小三角形组成的三角形有5个；由2个小三角形组成的三角形有3个；由3个小三角形组成的三角形有1个；由4个小三角形组成的三角形有0个；由5个小三角形组成的三角形有1个，所以三角形的总个数为（个）。 因此，图中有10个三角形。 【易错专练5】数一数，如图中共有（ ）个梯形。 【答案】9 【分析】梯形是指只有一组对边平行的四边形。平行的这组对边称为梯形的底，通常把较长的底叫下底，较短的底叫上底。不平行的这组对边称为梯形的腰。两底之间的垂直距离称为梯形的高。 由图可知，单个小梯形：图中共有4个。由2个小梯形组成的梯形：横向拼有2个，纵向拼有2个，共2＋2＝4个。由4个小梯形组成的大梯形有1个。然后把数量相加计算出总个数即可。 【解答】单个小梯形：4个； 2个小梯形组成的梯形：2＋2＝4（个） 4个小梯形组成的大梯形：1个； 4＋4＋1＝9（个） 图中共有9个梯形。 专题三小数乘法 易错点1：没有准确理解小数乘整数的意义。 【易错专练1】3个0.2相加是（    ）。 A．0.5 B．0.6 C．3.2 【答案】B 【分析】用0.2乘3即可求出3个0.2相加是多少。 【解答】 所以3个0.2相加是0.6。 故答案为：B 【易错专练2】1.1＋1.1＋2.1＋2.1的结果和（    ）的结果相同。 A．1.1×2＋2.1×2 B．1.1×4 C．2.1×4 【答案】A 【分析】先计算出每个算式的得数，然后比较即可。 【解答】 A. ，计算结果相等； B.，计算结果不相等； C.，计算结果不相等。 故答案为：A 【易错专练3】“福建舰”是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。据新闻报道，“福建舰”的常规巡航速度约为55.2千米/时。若“福建舰”以该速度从上午8：00航行到中午12：00，一共可以航行（ ）千米。 【答案】220.8 【分析】先用结束时间减去开始时间求出航行时间，再根据“路程＝速度×时间”，将速度55.2千米/时和时间代入，即可求出航行的总路程。 【解答】12：00－8：00＝4（小时） 55.2×4＝220.8（千米） 若“福建舰”以该速度从上午8：00航行到中午12：00，一共可以航行220.8千米。 【易错专练4】把2.5＋2.5＋2.5改写成乘法算式是（ ）；把3.5×4改写成加法算式是（ ）。 【答案】2.5×3 3.5＋3.5＋3.5＋3.5 【分析】3个2.5相加等于2.5乘3，等于4个3.5相加，据此解答。 【解答】由分析可知： 把改写成乘法算式是；把改写成加法算式是。 【易错专练5】为了鼓励市民节约用电，某市实行了新的收费制度。每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.8元收费，小丽家12月份用电85千瓦时，需要缴纳电费多少元？ 【答案】44.2元 【分析】小丽家12月份用电85千瓦时，不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费，所以直接用每千瓦时的价格（0.52元）乘用电量（85千瓦时）即可得出小丽家需要缴纳的电费。 【解答】0.52×85＝44.2（元） 答：需要缴纳电费44.2元。 易错点2：小数点移动规律掌握错误。 【易错专练1】如果把38.38的小数点去掉，得到的数就（    ）。 A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的100倍 【答案】C 【分析】把38.38的小数点去掉后得到3838，需要比较3838与原数38.38的关系，判断是扩大还是缩小以及倍数。 【解答】 38.38去掉小数点后是3838，，即得到的数是原数的100倍，也就是扩大到原来的100倍。 故答案为C。 【易错专练2】把0.24的小数点先向右移动三位，再向左移动两位，得到的数相当于把原数（    ）。 A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的100倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】把小数点先向右移动三位，相当于这个数乘1000，向左移动两位相当于这个数除以100，最终把这个数的小数点向右移动一位，相当于把这个数扩大到原来的10倍。据此解答。 【解答】0.24×1000÷100＝2.4 把0.24的小数点先向右移动三位，再向左移动两位，得到的数相当于把原数扩大到原来的10倍。 故答案为：A 【易错专练3】一个数扩大到原来的1000倍后是3500，这个数原来是（    ）。 A．35 B．3.5 C．0.35 D．0.035 【答案】B 【分析】把一个数扩大到它的1000倍，即将这个数的小数点向右移动三位，这时这个数是3500，要求原数，将3500的小数点向左移动三位即可。 【解答】3500的小数点向左移动三位是3.5；所以一个数扩大到原来的1000倍后是3500，这个数原来是3.5。 故答案为：B 【易错专练4】把6.45的小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的（ ）倍；把6.45的小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的（ ）。 【答案】100 【分析】根据小数点位置移动引起数的大小变化规律，小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的100倍。所以把6.45的小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的100倍； 小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的。所以把6.45的小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的。 【解答】根据分析可得： 把6.45的小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的100倍；把6.45的小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的。 【易错专练5】把4.95的小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的（ ）倍，结果是（ ）；把4.95的小数点向左移动三位后结果是（ ）。 【答案】10 49.5 0.00495 【分析】小数点向右移动一位、两位、三位、四位，小数就扩大到原数的10倍、100倍、1000倍、10000倍；小数点向左移动一位、两位、三位、四位，小数就缩小到原数的、、，据此解答。 【解答】由分析可得：把4.95的小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的10倍，结果是49.5；把4.95的小数点向左移动三位后结果是0.00495。 易错点3：小数乘法竖式计算中，小数点错误或未补0。 【易错专练1】竖式计算。 0.74×3.6＝    8.12×6.5＝    0.08×2.4＝ 【答案】2.664；52.78；0.192 【分析】计算小数乘法时，把小数乘法当成整数乘法来计算，算出积。再数两个因数一共有几位小数，积就有几位小数。从积的右边起，数出和因数小数位数总和相同的位数，点上小数点。如果位数不够，就在前面补0凑够位数。据此进行计算即可。 【解答】 【易错专练2】竖式计算。 0.86×6.58＝    0.75×0.12＝    0.84×2.5＝ 【答案】5.6588；0.09；2.1 【分析】计算小数乘法时，把小数乘法当成整数乘法来计算，算出积。再数两个因数一共有几位小数，积就有几位小数。最后从积的右边起，数出和因数小数位数总和相同的位数，点上小数点。如果位数不够，就在前面补0凑够位数。据此进行计算即可。 【解答】 【易错专练3】竖式计算。 4.5×80＝    2.7×60＝    13.6×90＝    2.85×20＝ 【答案】360；162；1224；57 【分析】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足，据此解答。 【解答】                                           【易错专练4】用竖式计算。 0.36×1.8＝    5.43×40＝    6.03×5.6＝    2.25×1.6＝ 【答案】0.648；217.2；33.768；3.6 【分析】计算小数乘法，先按照整数乘法的法则计算，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起，数出几位，点上小数点。 【解答】 【易错专练5】用竖式计算。 8.09×3.6＝    9.25×40＝    5.89×1.3＝ 22.5×3.7＝    0.63×0.12＝    1.08×60＝ 【答案】29.124；370；7.657； 83.25；0.0756；64.8 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。积小数末尾的0根据小数的性质化简。 【解答】8.09×3.6＝29.124         9.25×40＝370        5.89×1.3＝7.657                  22.5×3.7＝83.25          0.63×0.12＝0.0756        1.08×60＝64.8                      易错点4：运用乘法分配律进行简便计算时，应将两个加数分别与因数相乘。注意不要漏掉。 【易错专练1】计算下面各题，能简算的要简算。                  【答案】46.22；0.7；2860 【分析】（1）12.9×3.8－2.8先计算乘法，再计算减法即可； （2）0.36×0.7＋0.64×0.7可以将0.7提出来，则0.36×0.7＋0.64×0.7变化为0.7×（0.36＋0.64），然后先计算括号内的加法，再计算括号外的乘法即可； （3）28.6×101－28.6中的28.6可以看成28.6×1，则28.6×101－28.6变化为28.6×101－28.6×1，将28.6提出来，则28.6×101－28.6×1变化为28.6×（101－1），然后先计算括号内的减法，再计算括号外的乘法即可。 【解答】（1）12.9×3.8－2.8 ＝49.02－2.8 ＝46.22 （2）0.36×0.7＋0.64×0.7 ＝0.7×（0.36＋0.64） ＝0.7×1 ＝0.7 （3）28.6×101－28.6 ＝28.6×101－28.6×1 ＝28.6×（101－1） ＝28.6×100 ＝2860 【易错专练2】脱式计算，能简算的要简算。 12.8＋2.4×9.5    4.8×3.6＋5.2×3.6    （15.4－7.8）×3.5 【答案】35.6；36；26.6 【分析】（1）12.8＋2.4×9.5先计算乘法，再计算加法； （2）根据乘法分配律的逆运算a×b＋a×c＝a×（b＋c），将4.8×3.6＋5.2×3.6转换为3.6×（4.8＋5.2），再按正常运算顺序进行计算。 （3）（15.4－7.8）×3.5先算括号中的减法，再算乘法。 【解答】（1）12.8＋2.4×9.5 ＝12.8＋22.8 ＝35.6 （2）4.8×3.6＋5.2×3.6 ＝3.6×（4.8＋5.2） ＝3.6×10 ＝36 （3）（15.4－7.8）×3.5 ＝7.6×3.5 ＝26.6 【易错专练3】脱式计算。（能简算的要简算） 13.4－16.3×0.5    15.42＋6.78－2.42    18×（2.6＋3.5） 【答案】5.25；19.78；109.8 【分析】13.4－16.3×0.5先算乘法，再算减法； 15.42＋6.78－2.42交换6.78与2.42位置，交换时带上前面的符号，然后把15.42与2.42组合简算，变式为15.42－2.42＋6.78； 18×（2.6＋3.5）先算小括号里的加法，再算乘法。 【解答】13.4－16.3×0.5 ＝13.4－8.15 ＝5.25 15.42＋6.78－2.42 ＝15.42－2.42＋6.78 ＝13＋6.78 ＝19.78 18×（2.6＋3.5） ＝18×6.1 ＝109.8 【易错专练4】脱式计算，能简算的要简算。 4.9＋5.1×0.9             7.6×4.6＋5.4×7.6 【答案】9.49；76 【分析】根据运算法则先计算乘法，再计算加法； 用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将式子转化为：7.6×（4.6＋5.4）再按顺序计算即可。 【解答】 【易错专练5】脱式计算，能简算的要简算。 17.4＋2.6×0.8    （2.5＋0.25）×4    4.5×3.6＋5.5×3.6    4.6×0.7－1.16×0.5 【答案】19.48；11；36；2.64 【分析】17.4＋2.6×0.8先算乘法，再算加法； （2.5＋0.25）×4利用乘法分配律简算（a＋b）×c ＝a×c＋b×c； 4.5×3.6＋5.5×3.6利用乘法分配律的逆运算简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c； 4.6×0.7－1.16×0.5先算4.6乘0.7，再算1.16乘0.5，最后算减法。 【解答】17.4＋2.6×0.8 ＝17.4＋2.08 ＝19.48 （2.5＋0.25）×4 ＝2.5×4＋0.25×4 ＝10＋1 ＝11 4.5×3.6＋5.5×3.6 ＝（4.5＋5.5）×3.6 ＝10×3.6 ＝36 4.6×0.7－1.16×0.5 ＝3.22－0.58 ＝2.64 易错点5：解决分段计费问题要注意考虑所有部分，漏掉会导致计算错误。 【易错专练1】爸爸每月的话费套餐（月租48元）包含160分钟通话和5GB流量，当通话时间和流量超出时按如图标准另外收费。爸爸11月通话150分钟，使用了7.2GB流量，这个月爸爸应缴话费（    ）元。 超出套餐的部分 通话：0.2元/1分 流量：8.8元/GB A．67.36 B．69.36 C．63.36 D．58.56 【答案】A 【分析】150分钟未超160分钟，无额外费；7.2GB超5GB，超出了2.2GB，费用超出套餐的部分乘8.8元；最后总话费：月租48元加流量超出费19.36元。 【解答】150分钟未超160分钟，无额外费； 流量超出： （7.25）×8.8 ＝2.2×8.8 ＝19.36（元） 总话费：48＋19.36＝67.36（元） 这个月爸爸应缴话费67.36。 故答案为：A 【易错专练2】某种流量套餐的计费方式为5元包1GB流量（1GB＝1024MB），超出部分按0.29元/MB计费（不足1MB的按1MB计算）。若本月使用流量1108MB，则需付（ ）元。 【答案】29.36 【分析】先用本月的流量1108MB减去套餐流量1GB，求出超出部分流量，再用超出部分流量乘0.29，求出超出流量的费用，再加上套餐费用5元，即可解答。 【解答】 （MB） （元） （元） 所以某种流量套餐的计费方式为5元包1GB流量（1GB＝1024MB），超出部分按0.29元/MB计费（不足1MB的按1MB计算）。若本月使用流量1108MB，则需付29.36元。 【易错专练3】五（1）班54名师生拍合影，照相馆合影照价格如下：定价28.5元（含4张照片），加印一张照片1.6元。师生每人一张合影照片，一共要（ ）元。 【答案】108.5 【分析】先用师生总人数54减去定价包含的4张照片，求出需要加印的照片数量；再根据加印单价1.6元，用加印单价乘需要加印的照片数量，求出加印的费用；最后将定价28.5元与加印费用相加，即可求出总费用。 【解答】28.5＋（54－4）×1.6 ＝28.5＋50×1.6 ＝28.5＋80 ＝108.5（元） 所以一共要108.5元。 【易错专练4】某市出租车3公里起步，起步价5元，超过3公里，超过的部分每公里收费1.2元。王叔叔的行程是10公里，需要支付多少元？ 【答案】13.4元 【分析】根据题意可知，王叔叔打车共行了10公里，超过了3公里，则费用包括两部分：其中的3公里收费5元；超过3公里的部分收费（10－3）×1.2（元）；最后把两部分费用加起来即可。 【解答】5＋（10－3）×1.2 ＝5＋7×1.2 ＝5＋8.4 ＝13.4（元） 答：他需要付13.4元。 【易错专练5】某市居民每月每户用水收费原来每立方米1.90元，为了提倡“节约用水”，现作如下调整： 用水量 20吨及以下 20吨以上的部分 收费标准 每吨1.90元 每吨2.30元 李大伯家10月份用水30吨，李大伯家10月份水费是多少元？ 【答案】61元 【解答】根据题意，用20乘1.90求出20吨水的价钱，然后用30减20求出超过20吨的用水量，再用超过20吨的用水量乘2.30求出超过20吨的水的价钱，最后把20吨水的价钱加上超过20吨的水的价钱即可。 【解答】20×1.90＝38（元） 30－20＝10（吨） 10×2.30＝23（元） 38＋23＝61（元） 答：李大伯家10月份水费是61元。 专题四观察物体 易错点1：没有掌握从侧面观察物体的方法。 【易错专练1】农历八月十五是我国传统的中秋节，吃月饼是过中秋节不可或缺的习俗。妈妈将准备的几份正方体月饼盒堆在桌子上，如图。从前面看是（    ），从左面看是（    ），从上面看是（    ）。 ①    ②    ③    ④ A．①；③；② B．①；④；③ C．③；②；④ D．③；②；① 【答案】A 【分析】从前面看：从左往右排列，第一列能看到2个小正方形，第二列能看到2个小正方形，第3列能看到1个小正方形； 从左面看：从左往右排列，第一列能看到2个小正方形，第二列能看到1个小正方形； 从上面看：从上往下排列，第一行能看到3个小正方形，第二行能看到1个小正方形且与第一行左对齐。 【解答】由图可知：从前面看是①，从左面看是③，从上面看是②。 【易错专练2】下面的立体图形，从正面看是的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】画出每个选项的正面图，比较后选择。 【解答】A.正面是：符合题意 B.正面是：不符合题意 C.正面是：不符合题意 故答案为：A 【易错专练3】从正面看到的图形是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】画出图形的正面，再对比选择。 【解答】正面： A.与正面图一样 B.与正面图不一样 C.与正面图不一样 故答案为：A 【易错专练4】从侧面看到的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】观察物体时，侧面（这里指左侧或右侧，形状一致）是从物体侧面看的视角。从侧面看到的是两个小正方形排成一列的形状，据此解答。 【解答】从侧面看到的是。 故答案为：B 【易错专练5】如图所示的两个立体图形，从（    ）面看到的形状是不同的。 A．上 B．正 C．左 D．右 【答案】A 【分析】分别从上面、正面、左面、右面观察两个立体图形，对比看到的形状是否相同。 【解答】A．两个立体图形从上面看到的形状分别是、，看到的形状是不同的。 B．两个立体图形从正面看到的形状分别是、，看到的形状是相同的。 C．两个立体图形从左面看到的形状分别是、，看到的形状是相同的。 D．两个立体图形从右面看到的形状分别是、，看到的形状是相同的。 故答案为：A 【易错专练6】请你填一填。（填序号） （1）从侧面看是图A的有（ ）。 （2）从侧面看是图B的有（ ）。 （3）从上面看是图C的有（ ）。 【答案】（1）①③ （2）② （3）② 【分析】图①从侧面看到的形状有2列，左边一列2个正方形，右边一列有1个正方形，即图A；从上面看到的形状有2行，上面一行2个正方形，下面一行1个正方形（左对齐），无符合的图形。 图②从侧面看到的形状是一列2个正方形，即图B；从上面看到的形状是一行3个正方形，即图C。 图③从侧面看到的形状有2列，左边一列2个正方形，右边一列有1个正方形，即图A；从上面看到的形状有2行，上面一行1个正方形（左对齐），下面一行2个正方形，无符合的图形。 【解答】（1）从侧面看是图A的有①③。 （2）从侧面看是图B的有②。 （3）从上面看是图C的有②。 【易错专练7】下面的立体图形中，从左面看是图A的有（ ），从正面看是图B的有（ ），（ ）从左面和上面看到的形状相同。（填序号） 【答案】③④ ①② ② 【分析】 图A显示立体图应该有一层，符合题意的只有③和④；图B显示立体图应该有两层，第一层有1个正方形，第二层有1个正方体，符合题意的只有①和②；图②从左面和上面看到的形状都是。 【解答】 ③和④从左面看是，①和②从正面看是，图②从左面和上面看到的形状都是。 所以，下面的立体图形中，从左面看是图A的有③④，从正面看是图B的有①②，②从左面和上面看到的形状相同。 【易错专练8】按要求填一填。   （1）从正面看到的图形是图A的有（ ）。 （2）从正面看到的图形是图B的有（ ）。 （3）从左面看到的图形是图A的有（ ）。 （4）图（ ）从正面、右面看到的形状相同。 【答案】（1）③ （2）①② （3）③④ （4）②③ 【分析】 ①从正面看，一共分两层，从上往下看，第一层左上角有一个正方形，第二层有2个正方形，也就是，从左面看，一共分两层，从上往下看，第一层左上角有一个正方形，第二层有2个正方形，也就是，从右面看，一共分两层，从上往下看，第一层右上角有一个正方形，第二层有2个正方形，也就是； ②从正面看，一共分两层，从上往下看，第一层左上角有一个正方形，第二层有2个正方形，也就是，从左面看，一共分两层，从上往下看，第一层右上角有一个正方形，第二层有2个正方形，也就是，从右面看，一共分两层，从上往下看，第一层左上角有一个正方形，第二层有2个正方形，也就是； ③从正面看，2个正方形排成一行，也就是；从左面看，2个正方形排成一行，也就是；从右面看，2个正方形排成一行，也就是； ④从正面看，3个正方形排成一行，也就是；从左面看，2个正方形排成一行，也就是；从右面看，2个正方形排成一行，也就是。 【解答】（1）从正面看到的图形是图A的有③。 （2）从正面看到的图形是图B的有①②。 （3）从左面看到的图形是图A的有③④。 （4）图②③从正面、右面看到的形状相同。 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 【易错专练1】笑笑用正方体搭出了一个立体图形，从上面、右面和正面看到的形状如下： 这是由（    ）个小正方体搭成的。 A．3 B．4 C．5 【答案】B 【分析】说明是三个小正方体排成一排，说明有两层，说明上面一层只有一个小正方体，在三个小正方体中间的上面。所以一共由4个小正方体搭成的。 【解答】下一层共3个，第二层1个，一共4个小正方体。 故答案为：B 【点睛】先根据一个方向确定小正方体个数，在此基础上按题目意思添加。 【易错专练2】如图是从一个几何体的不同方向看到的形状，这个几何体是用（    ）个相同的小正方体搭成的。 A．9 B．10 C．11 【答案】B 【分析】根据从上面看到的形状可知：几何体下层有8个正方形，排成2排，每排4个；根据从左面和前面看到的形状可知：上层有2个正方形，位于第二排，最左边和最右边各一个，据此解答。 【解答】8＋2＝10（个） 这个几何体是用10个相同的小正方体搭成的。 故答案为：B 【易错专练3】如下图的立体图形是由8个小正方体搭成的，如果把这个图形的表面涂上红色，那么只有3个面涂红色的小正方体有（ ）个。 【答案】1 【分析】根据题意可知：“把这个图形的表面涂上红色”，即底面也需要计算在其中。由于正方体有6个面，因此首先可以确定的是只有5个面涂红色的小正方体，即只有一面没有涂色的正方体，很显然两个独立凸出的小正方体即为所求，所以只有5个面涂红色的有2个小正方体；接下来考虑只有4个面涂红色的，即只有2个面被遮挡的，很显然几何体四个角上的小正方体即为所求，所以只有4个面涂红色的有4个小正方体；由于几何体是由8个小正方体拼成，现在已经确定了6个小正方体，剩下的2个我们可以通过排除法发现，即第2行第2列和第3行第2列这2个小正方体，其中第2行第2列的小正方体5个面均被遮挡，只有底面被涂色，因此这是只有1面涂色的小正方体；第3行第2列的小正方体3个面被遮挡（正面、左面、右面），因此这是只有3面涂色的小正方体；所以只有3个面涂红色的有1个小正方体。 【解答】根据分析可知： 如下图的立体图形是由8个小正方体搭成的，如果把这个图形的表面涂上红色，那么只有3个面涂红色的小正方体有1个。 【易错专练4】一个立体图形由相同的小正方体搭成，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，搭这个立体图形至少需要（ ）个小正方体。 【答案】5 【分析】根据题意，从上面看到的图形可知，这个图形的下层有3个小正方体；从正面看到的图形可知，这个图形的上层至少有2个小正方体，左右各1个，前后排任意，所以一共有（3＋2）个小正方体。 【解答】一个立体图形由相同的小正方体搭成，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，搭这个立体图形至少需要5个小正方体。 【易错专练5】一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。搭成这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体。 【答案】3 【分析】 从上面看到的形状是，可知下层至少有2个小正方体，从左面看到的形状是，可知上层至少有1个小正方体，那么搭成这样的立体图形，最少需要（2＋1）个小正方体。 【解答】2＋1＝3（个） 一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。搭成这样的立体图形，最少需要3个小正方体。 【易错专练6】如图所示的物体是用（ ）个同样大的正方体摆成的，从（ ）面和（ ）面看到的图形是完全相同的。 【答案】4 右 前 【分析】根据图形可知，此图分两层，第1层有3个小正方体，第2层有1个小正方体，依此计算； 此图从右面和前面看，都可看到2层，第1层都可看到2个小正方形，第2层都可看到1个小正方形，都是左齐，依此填空。 【解答】3＋1＝4（个） 根据分析，填空如下： 图中的物体是用4个同样大的正方体摆成的，从右面和前面看到的图形是完全相同的。 【点睛】解答此题的关键是应熟练掌握对物体三视图的认识。 【易错专练7】数出下列每个立体图形中小正方体的个数。 （ ）个             （ ）个                  （ ）个 【答案】8 9 7 【分析】根据题意可知：每层先分行数，再算出每层个数，最后将它们加起来，即为小正方体的总个数，据此解答。 【解答】第一层按行数：从前往后依次是1个、3个、3个；第二层：1个 （个） 第一层按行数：从前往后依次是2个、3个、2个；第二层：2个 （个） 第一层按行数：从前往后依次是1个、3个、2个；第二层：1个 （个） 故三幅图中小正方体的个数依次是8个，9个，7个。 【易错专练8】图物体共由（ ）个小正方体搭成的；它从正面与（ ）面看到的形状相同。 【答案】5 上 【分析】本题考查了观察物体以及立体图形的拼组知识，结根据立体图形的拼组知识可知，立体图形是由5个小正方体搭成的；根据观察物体的方法，它从正面与上面看到的形状都是有层，底层3个小正方形，上层1个小正方形，右齐，据此解答即可。 【解答】 分析可知，共由5个小正方体搭成的；它从正面与上面看到的形状相同。 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 【易错专练1】用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的是，从左面看到的是，搭这个立体图形最少要用几个小正方体？最多要用几个小正方体？画出这个立体图形从正面看到的图形。 【答案】搭这个立体图形最少要用3个小正方体，最多要用4个小正方体。从正面看到的图形为或或。 【分析】由题目可知，从上面看到的是，所以立体图形是一排2列，从左面看到的是，所以立体图形是一排2层，所以立体图形可能是三个小正方体组成的或，也可能是由四个小正方体组成的。 再根据立体图形画出从正面看到的图形。 【解答】根据分析可得： 搭这个立体图形最少要用3个小正方体，最多要用4个小正方体。从正面看到的图形为或或。 【易错专练2】一个几何体，从前面看到的图形是，摆这个几何体最少需要多少个小正方体？如果这个几何体是用6个小正方体摆成的，那么这个几何体一共有多少种不同的摆法（相邻小正方体之间以面相连）？ 【答案】最少需要5个小正方体。一共有12种不同的摆法。 【分析】根据从前面看到的图形是，要使小正方体的个数最少，底层摆3个，上层摆2个，所以最少需要5个小正方体； 再通过列举不同位置小正方体的摆放情况，得到由6小正方体组成时的不同摆法。当有6个小正方体时，多出来的1个小正方体可以放在底层3个小正方体中任意一个的上面，有3种放法，也可以放在上层2个小正方体中任意一个的上面，有2种放法，所以总共的摆法有种。 【解答】由分析可知， 答：从前面看到的图形是，摆这个几何体最少需要5个小正方体，如果这个几何体是用6个小正方体摆成的，那么这个几何体一共12种不同的摆法（相邻小正方体之间以面相连）。 【点睛】掌握三视图的知识是解题的关键。 【易错专练3】一个几何体，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是那么这个几何体至少由个小正方体组成，最多由个小正方体组成。 【答案】6个；7个 【分析】根据从不同方位看到的几何体的形状可知：这个几何体的下层有4个小正方体，前面3个，后面1个靠左；上层至少有2个，最多有3个，在最左边一列的2个小正方体上放1个或2个，在最右边小正方体的上面放1个，据此解答。 【解答】 如图：，一个几何体，从正面看到的图形是，从上面看到的图形是，这个几何体最少由6个小正方体组成；最多由7个小正方体组成。 【易错专练4】用同样大的小正方体搭成一个立体图形，从前面、上面和右面看到的图形都是。要搭成这样的立体图形，至少要用多少个小正方体？最多可以用多少个小正方体？ 【答案】最少6个，最多8个。 【分析】 （1）如图所示，要想从前面、上面和右面看到的图形都是，最下面一层应该是4个小正方体。上面一层有2个小正方体即可，第二层第一排有1个或者2个小正方体，第二层第二排有1个或者2个小正方体，。即最少要用（4＋2）个小正方体。 （2）如图所示，要想从前面、上面和右面看到的图形都是，一共有2层，每层都有4个小正方体，即最多要用（4＋4）个小正方体。 【解答】4＋2＝6（个） 4＋4＝8（个） 答：要搭成这样的立体图形，至少要用6个小正方体，最多可以用8个小正方体。 专题五认识方程 易错点1：用字母表示数时书写不规范。 【易错专练1】妈妈买了三张电影票，座位号正好是连续的偶数，如果中间一张是m，其余两张分别是（ ）和（ ）。 【答案】m－2 m＋2 【分析】相邻的偶数相差为2，据此解答即可。 【解答】如果中间一张是m，其余两张分别是（m－2）和（m＋2）。 【易错专练2】为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态发展理念，丁楼村号召村民种树，他们种了m棵松树，种的柳树是松树的2.4倍，村民种了（ ）棵柳树，松树和柳树一共种（ ）棵。 【答案】2.4m 3.4m 【分析】已知松树有m棵，柳树的数量是松树的2.4倍，所以用m乘2.4求出柳树的棵数；再把松树的m棵和求出的柳树棵数相加，求出两种树的总棵数。 【解答】柳树：m×2.4＝2.4m（棵） 一共：m＋2.4m＝3.4m（棵） 【易错专练3】教室图书角有漫画书n本，故事书的本数比漫画书的3倍少6本，漫画书和故事书一共有（ ）本。 【答案】4n－6 【分析】先算出故事书的本数是（3n－6）本，再加上漫画书的本数即可。 【解答】3n－6＋n＝4n－6 【易错专练4】9×a＋b＝9ab。（ ） 【答案】× 【分析】根据用字母表示数的知识，等式左边“”表示9与a的积加上b，即；右边“”表示9、a、b的积，即。在一般情况下，不等于。举例说明即可，据此解答。 【解答】等式不成立。因为左边表示与b的和，右边表示9、a、b的积，例如，当、时，左边计算结果为10，右边计算结果为9，两者不相等。因此，该等式不成立。 故答案为：× 【易错专练5】罗老师买钢笔和圆珠笔各x支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支5.6元，买圆珠笔的钱比买钢笔的钱少4.1x元。（ ） 【答案】√ 【分析】根据题意，用钢笔的单价减去圆珠笔的单价，得到圆珠笔比钢笔每支少几元。因为钢笔和圆珠笔的支数一样。再根据单价×数量＝总价。用圆珠笔比钢笔每支少的钱数乘支数＝买圆珠笔比钢笔一共少多少元。 当字母和数字相乘，数字在前，字母在后，中间乘号可以省略。验证是否等于4.1x元。 【解答】圆珠笔比钢笔每支少的钱：5.6－1.5＝4.1（元） 买圆珠笔比买钢笔少用的钱：4.1×x＝4.1x（元） 计算结果与题目中的“少4.1x元”一致，原题表述正确。 故答案为：√ 易错点2：没有找准数量间的等量关系，列式错误。 【易错专练1】妈妈带了一些钱去买日用品，用了136元，还剩下87元。妈妈原来带了多少钱？ （ ）＝剩下的87元 【答案】原来带的钱－买日用品用的136元 【分析】根据题意可知：原来带的钱＝用了的钱＋还剩的钱，代入数据，补全数量关系式即可，据此解答。 【解答】根据分析填空如下： 原来带的钱－买日用品用的136元＝剩下的87元 【易错专练2】一段C米长的公路，修了3天后还剩100米没修，平均每天修20米。 （ ）＝公路总长C米 【答案】平均每天修20米×3天＋还剩的100米 【分析】根据工作总量=工作效率×工作时间，先求出3天一共修的长度，再加上剩下没修的100米，即可得到公路的总长度C米。 【解答】一段C米长的公路，修了3天后还剩100米没修，平均每天修20米。 平均每天修20米×3天＋还剩的100米＝公路总长C米 【易错专练3】请你根据等量关系补充一个条件。 超市运回两箱苹果，每箱15千克，（ ），还剩10千克。 等量关系：运回的苹果的千克数－卖出去的苹果千克数＝剩下的苹果千克数 【答案】卖出去了20千克苹果 【分析】根据等量关系：运回的苹果的千克数－卖出去的苹果千克数＝剩下的苹果千克数，题中已有运回的苹果的千克数——“超市运回两箱苹果，每箱15千克”以及剩下的苹果千克数——“还剩10千克”，还缺“卖出去的苹果千克数”这个条件，再根据等量关系求出卖出去的苹果的质量即可解答。 【解答】（千克） （千克） 卖出去的苹果有20千克。 超市运回两箱苹果，每箱15千克，（卖出去了20千克苹果），还剩10千克。 等量关系：运回的苹果的千克数－卖出去的苹果千克数＝剩下的苹果千克数 【易错专练4】一只黑熊的速度是40千米/时，一匹斑马的速度比黑熊快19.8千米/时，一只猎豹的速度是斑马的2倍。下面等量关系正确的是（ ）。（填序号） ①黑熊的速度×2＝斑马的速度    ②黑熊的速度＋19.8＝斑马的速度 ③斑马的速度－黑熊的速度＝19.8    ④斑马的速度×2＝猎豹的速度 ⑤猎豹的速度÷2＝斑马的速度    ⑥猎豹的速度－19.8＝黑熊的速度 【答案】②③④⑤ 【分析】本题中：黑熊的速度与斑马的速度之间是差的关系、猎豹的速度与斑马的速度之间是倍数关系，据此解答。 【解答】一匹斑马的速度比黑熊快19.8千米/时，据此可以列出等量关系是： 斑马的速度－黑熊的速度＝19.8     黑熊的速度＋19.8＝斑马的速度    斑马的速度－19.8＝ 黑熊的速度 一只猎豹的速度是斑马的2倍，据此可以列出等量关系是： 猎豹的速度÷斑马的速度＝2     斑马的速度×2＝猎豹的速度   猎豹的速度÷2＝斑马的速度 对比选项，所以正确的是：②③④⑤ 一只黑熊的速度是40千米/时，一匹斑马的速度比黑熊快19.8千米/时，一只猎豹的速度是斑马的2倍。下面等量关系正确的是②③④⑤。 【易错专练5】世界卫生组织的标准体重（单位：千克）：男性标准体重是男性身高（单位：厘米）去掉80厘米后的值的0.7；女性标准体重是女性身高（单位：厘米）去掉70厘米后的值的0.6，淘气妈妈对应的标准体重与身高的等量关系是（ ）。 【答案】淘气妈妈的标准体重＝（淘气妈妈的身高－70厘米）×0.6 【分析】已知女性标准体重的计算方法为：女性标准体重是女性身高（单位：厘米）去掉70厘米后的值的0.6。则淘气妈妈的标准体重＝（淘气妈妈的身高－70厘米）×0.6。据此解答。 【解答】世界卫生组织的标准体重（单位：千克）：男性标准体重是男性身高（单位：厘米）去掉80厘米后的值的0.7；女性标准体重是女性身高（单位：厘米）去掉70厘米后的值的0.6，淘气妈妈对应的标准体重与身高的等量关系是淘气妈妈的标准体重＝（淘气妈妈的身高－70厘米）×0.6。 易错点3：等式与方程概念混淆。 【易错专练1】给出下面的式子：①7x＋9y＝45；②11＋7＝18；③5x＞24；④6a＋b；⑤3a＝51；⑥15－7＜9；⑦a＋b＋c＝15；⑧3×5＋9＝24。其中等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 【答案】①②⑤⑦⑧ ①⑤⑦ 【分析】表示左右两边相等的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程。 【解答】①7x＋9y＝45有等号，含未知数，既是等式又是方程； ②11＋7＝18有等号，不含未知数，是等式，不是方程； ③5x＞24有未知数，但不是等式； ④6a＋b有未知数，但不是等式； ⑤3a＝51有等号，含未知数，既是等式又是方程； ⑥15－7＜9没有未知数，也不是等式； ⑦a＋b＋c＝15有等号，含未知数，既是等式又是方程； ⑧3×5＋9＝24有等号，不含未知数，是等式，不是方程； 所以等式有①②⑤⑦⑧；方程有①⑤⑦。 【易错专练2】下列式子中（ ）是等式，（ ）是方程。（填序号） ①      ②     ③      ④       ⑤ 【答案】①②④ ①② 【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【解答】①2y－3＝5：有等号是等式，含未知数y是方程。 ②3x＝9：有等号是等式，含未知数x是方程。 ③2a－5：无等号，既不是等式也不是方程。 ④4＋8＝12：有等号是等式，不含未知数不是方程。 ⑤12m－9m＞4：用大于号，无等号，既不是等式也不是方程。 ①②④是等式，①②是方程。 【易错专练3】在4＋6＝10、15－x＞7、8x、18÷2＝9、x＋7＜22、a－6.5＝7中，等式有（ ）个，其中（ ）是方程。 【答案】3 a－6.5＝7 【分析】含有等号的式子叫等式；含有未知数的等式叫做方程。据此填空即可。 【解答】4＋6＝10；18÷2＝9；a－6.5＝7是等式；a－6.5＝7是方程。 在4＋6＝10、15－x＞7、8x、18÷2＝9、x＋7＜22、a－6.5＝7中，等式有3个，其中a－6.5＝7是方程。 【易错专练4】在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 【答案】②④⑤ ②⑤ 【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。 【解答】①x＋7.9＜16，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；②0.23m＝4.6，含有未知数且是等式，所以是方程；③55＞m÷0.4，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；④15×2.4＝36，是等式，但不含有未知数，所以不是方程；⑤66－x＝38，含有未知数且是等式，所以是方程；则等式有②④⑤，方程有②⑤。 【易错专练5】在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 【答案】②③⑤⑥ ②⑤⑥ 【分析】含有等号的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程。据此解答。 【解答】在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有②③⑤⑥，方程有②⑤⑥。 【点睛】本题考查等式和方程的辨认。根据等式和方程的意义即可解答。 易错点4：解方程错误。 【易错专练1】解方程。 5x＋3＝18           2（x－3）＝10 【答案】x＝3；x＝8 【分析】5x＋3＝18根据等式的性质1，在方程两边同时减去3，再根据等式的性质2，在方程两边同时除以5即可。 2（x－3）＝10根据等式的性质2，在方程两边同时除以2，再根据等式的性质1，在方程两边同时加上3即可。 【解答】5x＋3＝18 解：5x＋3－3＝18－3 5x＝15 5x÷5＝15÷5 x＝3 2（x－3）＝10 解：2（x－3）÷2＝10÷2 x－3＝5 x－3＋3＝5＋3 x＝8 【易错专练2】解方程。 2x＋5＝17      3（x－2）＝12 【答案】x＝6；x＝6 【分析】（1）先根据等式的性质1，方程两边同时减去5；再根据等式的性质2，方程两边同时除以2求解。 （2）先根据等式的性质2，方程两边同时除以3；再根据等式的性质1，方程两边同时加上2求解。 【解答】（1）2x＋5＝17 解：2x＋5－5＝17－5 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 （2）3（x－2）＝12 解：3（x－2）÷3＝12÷3 x－2＝4 x－2＋2＝4＋2 x＝6 【易错专练3】解方程。 x＋6.48＝24.5            2x－130＝180 【答案】x＝18.02；x＝155 【分析】（1）根据等式的性质1，两边同时减去6.48解方程。 （2）根据等式的性质1和2，两边先同时加上130，再同时除以2解方程。 【解答】（1）x＋6.48＝24.5 解：x＋6.48－6.48＝24.5－6.48 x＝18.02 （2）2x－130＝180 解：2x－130＋130＝180＋130 2x＝310 2x÷2＝310÷2 x＝155 【易错专练4】解方程。 10x＋46＝116                7x－49＝112                x÷2.1＝3.5 【答案】x＝7；x＝23；x＝7.35 【分析】10x＋46＝116利用等式的性质1，左右两边同时减46，然后再利用等式的性质2左右两边同时除以10； 7x－49＝112利用等式的性质1，左右两边同时加49，然后再利用等式的性质2左右两边同时除以7； x÷2.1＝3.5利用等式的性质2，左右两边同时乘2.1，据此解题。 【解答】10x＋46＝116 解：10x＋46－46＝116－46 10x＝70 10x÷10＝70÷10 x＝7 7x－49＝112 解：7x－49＋49＝112＋49 7x＝161 7x÷7＝161÷7 x＝23 x÷2.1＝3.5 解：x÷2.1×2.1＝3.5×2.1 x＝7.35 【易错专练5】解方程。 8÷2＝24        3−3.9＝5.1        2＋11＝111 【答案】x＝6；x＝3；y＝50 【分析】（1）运用等式的性质2解方程，将方程左右两边同时乘2再同时除以8即可。 （2）运用等式的性质1和2解方程，先将方程左右两边同时加上3.9，再将方程左右两边同时除以3即可。 （3）运用等式的性质1和2解方程，先将方程左右两边同时减去11，再将方程左右两边同时除以2即可。 【解答】（1）8÷2＝24 解：8÷2×2＝24×2 8＝48 8÷8＝48÷8 ＝6 （2）3−3.9＝5.1 解：3−3.9＋3.9＝5.1＋3.9 3＝9 3÷3＝9÷3 ＝3 （3）2＋11＝111 解：2＋11－11＝111－11 2＝100 2÷2＝100÷2 ＝50 易错点5：解决问题及计算时没有掌握形如ax±b=c( a≠0)这种形式方程的解法。 【易错专练1】某商场打折出售一种照相机，每部y元。如果第1天卖出3部，第2天卖出4部，这些照相机一共卖了4193元钱，那么每部照相机多少元钱？ 【答案】599元 【分析】根据等量关系式：照相机的单价×第一天卖出的数量＋照相机的单价×第二天卖出的数量＝4193，列出方程，先化简左边的等式使得方程变为，再方程两边同时除以7即可求解。 【解答】解：设每部照相机y元。 答：每部照相机599元。 【易错专练2】植树节到了，四（1）班同学参加植树活动。栽了37棵杨树，还栽了4行松树，松树和杨树一共栽了89棵，平均每行松树多少棵？（列方程解答） 【答案】13棵 【分析】设平均每行松树x棵，根据等量关系杨树的棵数＋松树的行数×松树每行的棵数＝总棵数，列出方程，再根据等式性质1和2解方程。 【解答】解：设平均每行松树x棵     37＋4x＝89 37－37＋4x＝89－37 4x＝52 4x÷4＝52÷4 x＝13（棵）    答：平均每行松树13棵。 【易错专练3】截至2025年第一季度，我国5G基站总数已突破439.5万个，实现了“县县通千兆、乡乡通5G”的网络覆盖目标。某电信工程队计划铺设一条电缆，全长439米，已经铺了3天（每天铺的长度相等），还剩64米，求该工程队前3天每天铺设多少米？（先画线段图，再列方程解答） 【答案】图见详解；125米； 【分析】先通过线段图直观表示出电缆的全长、已铺的长度和剩余的长度关系，设每天铺x米，根据等量关系“3天铺的长度＋剩余长度＝总长度”列出方程求解。 【解答】根据题意画出线段图： 解：设该工程队前3天每天铺设x米。 3x＋64＝439 3x＋64－64＝439－64 3x＝375 3x÷3＝375÷3 x＝125 答：该工程队前3天每天铺设125米。 【易错专练4】如图是李老师在书店的购物清单，不小心弄脏了，请你根据清单上的信息计算：《儿童文学》的单价是多少元/本？（列方程解答） 书名 数量 单位 单价/元 总价/元 《数学小灵通》 24 本 12.5 《儿童文学》 15 本 总计金额 伍佰柒拾元整（570元） 【答案】18元/本 【分析】根据单价×数量＝总价，《数学小灵通》的总价为（24×12.5）元，设《儿童文学》的单价为x元，则《儿童文学》的总价为（15x）元；再根据数量关系《数学小灵通》的总价＋《儿童文学》的总价＝570元，列方程解答。 【解答】解：设《儿童文学》的单价是x元/本。 24×12.5＋15x＝570 300＋15x＝570 300＋15x－300＝570－300 15x＝270 15x÷15＝270÷15 x＝18 答：《儿童文学》的单价是18元/本。 【易错专练5】电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，观影人次突破3亿，截至5月5日，总票房已突破158亿，排名全球影史票房第5。该片在某影院上映初期场场爆满，已知影院最大厅有300个座位，比最小厅座位数的3倍还多15个，最小厅在不加座的情况下每次最多可容纳多少名观众？（先写等量关系，再列方程解答） 【答案】95名 【分析】已知最大厅有300个座位，比最小厅座位数的3倍还多15个，要求最小厅在不加座的情况下每次最多可容纳多少名观众，需要先找出等量关系，再列方程求解。根据“最大厅有300个座位，比最小厅座位数的3倍还多15个”，可得到等量关系：最小厅座位数×3＋15＝最大厅座位数。设最小厅在不加座的情况下每次最多可容纳x名观众。列出方程并解答。 【解答】等量关系：最小厅座位数×3＋15个＝最大厅座位数。 解：设最小厅在不加座的情况下每次最多可容纳x名观众。 3x＋15＝300 3x＋15－15＝300－15 3x＝285 3x÷3＝285÷3 x＝95 答：最小厅在不加座的情况下每次最多可容纳95名观众。 专题六数据的表示和分析 易错点1：统计图表的绘制与解读失误 【易错专练1】奇思、淘气、乐乐与笑笑踢毽子的成绩分别是：40个、35个、25个、50个。将他们的成绩绘制成统计图。 【答案】见详解 【分析】根据奇思、淘气、乐乐、笑笑踢毽子的成绩分别是：40个、35个、25个、50个和图中给出的1个△代表5个，可确定乐乐画5个△表示25个，笑笑画10个△表示50个即可作图。根据奇思、淘气、乐乐与笑笑踢毽子的成绩在纵轴用一定单位表示一定的数量，画出统计图即可。 【解答】如图： 【易错专练2】下表是一个病人4月7日6：00至4月8日12：00体温情况统计表。 测量体温时间 4月7日6：00 4月7日12：00 4月7日18：00 4月8日0：00 4月8日6：00 4月8日12：00 体温度数/℃ 39.5 38 39 39.2 38 37.5 根据上表中数据制作折线统计图。 【答案】见详解 【分析】根据表格中的数据，在对应的时间和体温位置描点。4月7日6：00，体温39.5℃，描出该点。4月7日12：00，体温38℃，描出该点。4月7日18：00，体温39℃，描出该点。4月8日0：00，体温39.2℃，描出该点。4月8日6：00，体温38℃，描出该点。4月8日12：00，体温37.5℃，描出该点。用线段依次连接这些点，形成折线统计图，直观展示病人体温的变化趋势。 【解答】 如图： 【易错专练3】淘气投掷五次垒球的成绩如下表，根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩/米 38 35 40 42 41 【答案】见详解 【分析】横轴是次数（第一次～第五次 ），纵轴是成绩（米 ）。第一次成绩38米，就在“第一次”横轴位置与“38米”纵轴位置交点处描点；同理，第二次35米、第三次40米、第四次42米、第五次41米，分别在对应次数与成绩的交点描点；然后用线段依次连接这五个点，形成折线，以此直观呈现五次掷垒球成绩的变化趋势 。 【解答】作图如下： 【易错专练4】下表记录了某地6月的天气情况，请根据表格完成右边的条形统计图。 【答案】见详解 【分析】根据6月的天气情况，用数数的方法数出晴天，阴天，多云，阵雨，雷阵雨各有多少天，然后完成统计图。 【解答】如下图： 【易错专练5】根据统计表将统计图补充完整表示出每种图书的数量。 图书种类 图画书 故事书 工具书 作文书 其他 数量/本 35 40 25 15 30 【答案】见详解 【分析】根据统计表提供的信息，图画书35本、故事书40本、工具书25本、作文书15本、其他30本，绘制统计图即可。 【解答】根据图中数据可知，每格代表5本，则画图如下： 易错点2：平均数计算与理解偏差。 【易错专练1】平平练习投沙包，第一次投了10.84米，第二次投了10.16米，第三次投完后的平均成绩是10米，第三次投了（ ）米。 【答案】9 【分析】根据题意，已知平平练习投沙包，第一次投了10.84米，第二次投了10.16米，第三次投完后的平均成绩是10米，用10乘3，求出三次的总成绩；再减去前两次的成绩之和，即可得到第三次的成绩。列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 10×3－（10.84＋10.16） ＝10×3－21 ＝30－21 ＝9（米） 平平练习投沙包，第一次投了10.84米，第二次投了10.16米，第三次投完后的平均成绩是10米，第三次投了9米。 【易错专练2】淘气3次跳绳的平均成绩是105下，他第一次跳了120下，第二次跳了98下，第三次跳了（ ）下。 【答案】97 【分析】根据题意，用3次的平均成绩乘3算出三次跳绳的总个数。再用三次的总个数减去第一次跳的，再减去第二次跳的，就是第三次跳了几下。 【解答】105×3＝315（下） 315－120－98 ＝195－98 ＝97（下） 所以，第三次跳了97下。 【易错专练3】四（1）班开展“AI人工智能知识大赛”，淘气的兴趣小组成员成绩如表，该小组三名成员的平均分是92分，奇思的成绩是（ ）分。      姓名 淘气 笑笑 奇思 成绩/分 87 92 【答案】97 【分析】由题意可知：用三名成员的平均分乘总人数，求出三名成员的总成绩，再减去淘气和笑笑的成绩，即可求出奇思的成绩。 【解答】92×3＝276（分） 276－（87＋92） ＝276－179 ＝97（分） 所以，奇思的成绩是97分。 【易错专练4】笑笑帮体育老师统计运动会跳绳比赛的成绩，全班36人的平均成绩是125个。后来发现，笑笑把淘气的148个错记成了40个。你能算出全班同学的正确平均成绩吗？ 【答案】128个 【分析】用125乘36，计算出36个人一共跳了多少个，然后再求出148与40的差值是多少，用36个人跳的总个数加上148与40的差，算出实际上全班一共跳了多少个，再除以36，即可算出全班同学正确的平均成绩。据此解答。 【解答】125×36＝4500（个） 148－40＝108（个） 4500＋108＝4608（个） 4608÷36＝128（个） 答：全班同学的正确平均成绩是128个。 【易错专练5】笑笑爬山锻炼身体，上山每分钟行40米，爬了6分钟，原路返回时，下山每分钟行60米，用了4分钟，他上山和下山的平均速度是多少？为什么不能用算式（40＋60）÷2求笑笑上山和下山的平均速度？请用你喜欢的方法说明理由。 【答案】48米/分钟；原因见详解 【分析】根据题意，已知上山每分钟行40米，爬了6分钟，原路返回时，下山每分钟行60米，用了4分钟，要求他上山和下山的平均速度，要根据路程÷时间＝速度，上山路程是40×6＝240米，下山路程也是240米，总路程是240×2＝480米，总时间是6＋4＝10分钟，只有用总路程除以总时间才能得到正确的平均速度；而不能直接将上山和下山的速度相加然后求平均数。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 40×6×2 ＝240×2 ＝480（米） 6＋4＝10（分钟） 480÷10＝48（米/分钟） 不能用（40＋60）÷2求平均速度的原因：平均速度的计算公式是总路程÷总时间。 答：他上山和下山的平均速度是48米/分钟。 易错点3：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 【易错专练1】随着时代的发展，人们了解世界的方法越来越多，手机迅速成为人们必不可少的工具，给人们的生活带来了方便。为了更加合理的使用手机，某学校四年级学生就“你使用手机主要做什么（每位同学只选择一项）”这一问题，对部分学生进行了调查。下面是部分学生使用手机情况统计表。 事项 查资料 玩游戏 看抖音视频 读书打卡 其他 人数 43 96 127 182 14 （1）请根据以上信息绘制条形统计图。 （2）从条形统计图中能得到什么信息？（至少写两条） （3）根据以上调查结果，你想对大家提出什么建议。 【答案】（1）见详解 （2）读书打卡的人数最多；用手机做其他事项的人数最少（答案不唯一） （3）建议见详解 【分析】（1）根据数据分析与统计图表绘制规则，先分析数据（各事项人数），确定纵轴合适刻度（根据最大最小值合理设定，如每格表示20，方便呈现数据），再在对应事项绘制直条表示数量。 （2）根据统计图，观察条形统计图中直条高度（对应人数），比较不同事项人数的多少等关系，提取如人数最多、最少的事项等信息。 （3）基于前面数据分析（各事项人数反映的手机使用倾向），结合合理使用手机的生活逻辑，提出积极、健康使用手机的建议。 【解答】（1）如图所示： （2）信息1：读书打卡的人数最多为182人；信息2：用手机做其他事项的人数最少为14人。（答案不唯一） （3）建议1：可多利用手机查资料、读书打卡，让手机发挥更积极作用；建议2：减少玩游戏、看抖音视频的时间，合理使用手机。（答案不唯一） 【点睛】绘制条形统计图关键是合理确定纵轴刻度，要依据数据中的最大值（182）和最小值（14），选择合适的间隔（每格表示20），保证能清晰、准确呈现数据，让直条高度与人数对应。获取信息核心是对比不同直条的高度，从数据差异中找直观结论，像人数最多、最少的事项，或不同事项人数的差距等，抓住直条高度反映数量多少这一本质。提建议要紧扣统计结果，结合合理使用手机的生活导向，从优化手机使用行为（多积极用途、少娱乐沉迷）出发，把数据反映的问题转化为有针对性的建议，体现统计的实际价值。 【易错专练2】学校开展了“绿色家园我行动”手抄报比赛，各年级参赛作品数量如下： 年级 一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 数量/张 10 25 37 30 45 10 （1）请根据统计表将统计图补充完整。 （2）从统计图中你能想到什么问题？（至少写两个问题）。 【答案】（1）见详解 （2）①哪个年级手抄报数量最多？②哪两个年级手抄报数量相同？ 【分析】（1）统计图中，横轴表示年级，纵轴表示手抄报数量，根据所给表格中的数据，画出相应的条形统计图，并在图中标出手抄报数量。 （2）根据统计图分析，可提出以下问题，①哪个年级手抄报数量最多？②哪两个年级手抄报数量相同？（答案不唯一） 【解答】（1）如图 （2）答：问题是：①哪个年级手抄报数量最多？②哪两个年级手抄报数量相同？ 【易错专练3】清风小学为培养学生的团队协作精神和竞争意识，举办了以“少年逐梦，活力赛场”为主题的运动会。四年级的同学们热情高涨，纷纷在自己擅长的项目上一展风采，下面是四年级学生参加运动会项目的情况统计表。 项目 50米短跑 100米短跑 跳远 跳绳 人数 20 12 14 18 （1）根据上表中的数据完成条形统计图。 （2）上述统计图中，每格表示（    ）人。 （3）参加（    ）项目的人数最多，参加（    ）项目的人数最少。 【答案】（1）见详解；（2）2；（3）50米短跑；100米短跑 【分析】（1）根据统计表数据在统计图中对应位置画直条，并标出数据。 （2）从统计图中观察纵轴每相邻两格的数据相差几代表每格表示几人。 （3）观察哪个项目直条最高人数最多，哪个项目直条最短人数最少。 【解答】（1）如图： （2）2－0＝2（人） 上述统计图中，每格表示2人。 （3）直条最长的是代表50米短跑，直条最短的是代表100米短跑； 参加（50米短跑）项目的人数最多，参加（100米短跑）项目的人数最少。 【易错专练4】下面是学生参加课外兴趣小组的统计情况。 组别 美术组 篮球组 唱歌组 编程组 航模组 人数/人 20 15 10 30 25 （1）把统计表中的结果用条形统计图表示出来。 （2）每格代表（    ）人。参加（    ）课外兴趣小组的人最多，参加（    ）课外兴趣小组的人最少。 （3）参加课外兴趣小组的学生一共有多少人？ 【答案】（1）见详解 （2）5，编程，唱歌 （3）100人 【分析】（1）因为20、15、10、30、25都能被5整除，所以1格表示5人较合适，纵轴的数据依次是0、5、10、15、20、25、30、35，再根据统计表中的数据在统计图中用直条表示出来即可。 （2）从统计图中可知，每格代表5人；直条最长的表示参加这种课外兴趣小组的人数最多，直条最短的表示参加这种课外兴趣小组的人数最少。 （3）用（20＋15＋10＋30＋25）即可求出参加课外兴趣小组的学生总数。 【解答】（1） （2）每格代表5人。参加编程课外兴趣小组的人最多，参加唱歌课外兴趣小组的人最少。 （3）20＋15＋10＋30＋25＝100（人） 答：参加课外兴趣小组的学生一共有100人。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握条形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 【易错专练5】为了践行“光盘行动，节约光荣”意识，光明小学对各个年级学生每天的剩饭菜进行称重统计、每周评比一次，下表是第二学期第十九周的统计情况。 年级 一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 数量/千克 18 18 19 13 17 11 （1）根据统计表中的数据完成条形统计图。 （2）第十九周剩饭菜的数量（    ）年级最多，（    ）年级最少。 （3）根据以上信息，你想对同学们说些什么？ 【答案】（1）见详解 （2）三；六 （3）同学们要节约粮食，践行“光盘行动”（答案不唯一） 【分析】（1）根据统计表中的数据将条形统计图补充完整即可。 （2）在条形统计图中，直条的高低表示数据的多少。由图可知，第十九周剩饭菜的数量三年级最多，六年级最少。 （3）由表格可知，同学们还是存在浪费粮食的情况。同学们要意识到粮食来之不易，要节约粮食，践行“光盘行动”。 【解答】（1） （2）第十九周剩饭菜的数量三年级最多，六年级最少。 （3）答：同学们要节约粮食，践行“光盘行动”。（答案不唯一） 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 【易错专练1】如图是某产品2024年月平均生产量情况统计图。 （1）从（ ）月到（ ）月生产量在增加；从（ ）月到（ ）月生产量在减少。 （2）上半年和下半年的生产量相比，哪个多？多多少？ 【答案】（1）一 六 六 十二 （2） 下半年多；93万台 【分析】（1）观察统计图，根据折线向上弯折时生产量增加，折线向下弯折时生产量在减少。 （2）分别求出上半年（一月至六月）的生产总量和下半年（七月至十二月）的生产总量，先比较多少，再求二者之差，即可解答。 【解答】（1）观察统计图可知： 从（一）月到（六）月生产量在增加；从（六）月到（十二）月生产量在减少。 （2）上半年的生产量： 180＋187＋216＋225＋250＋280 ＝367＋216＋225＋250＋280 ＝583＋225＋250＋280 ＝808＋250＋280 ＝1058＋280 ＝1338（万台） 下半年的生产量： 278＋260＋248＋240＋218＋187 ＝538＋248＋240＋218＋187 ＝786＋240＋218＋187 ＝1026＋218＋187 ＝1244＋187 ＝1431（万台） 1338＜1431 1431－1338＝93（万台） 答：下半年的生产量多，多93万台。 【易错专练2】看图回答问题。 （1）哪个月的平均气温最高？哪个月的平均气温最低？月平均最高气温与月平均最低气温相差多少？ （2）哪两个月之间的平均气温上升得最快？哪两个月之间的平均气温下降得最快？ 【答案】（1）8月；1月；30.5℃。 （2）3月和4月；10月和11月。 【分析】（1）观察统计图，找出哪个月的平均气温最高，哪个月的平均气温最低； （2）分别计算出两个月之间的温度差，再进行比较大小，据此解答。 【解答】（1）由图可知：8月气温最高是32.5℃，1月气温最低是2℃； （℃） 月平均最高气温与月平均最低气温相差30.5℃。 （2）1月和2月：（℃） 2月和3月：（℃） 3月和4月：（℃） 4月和5月：（℃） 5月和6月：（℃） 6月和7月：（℃） 7月和8月：（℃） 8月和9月：（℃） 9月和10月：（℃） 10月和11月：（℃） 11月和12月：（℃） 所以，3月和4月两个月之间的平均气温上升得最快；10月和11月两个月之间的平均气温下降得最快。 【易错专练3】学校开展“绿色行动，节能环保”活动后，全校师生都特别注意节约用电，学校照明用电总量也有所减少。具体情况如下图。 （1）观察折线统计图，学校1—6月照明用电总量整体呈（    ）趋势。（    ）月—（    ）月的照明用电总量下降得最多。 （2）从统计图中，你还能获得哪些数学信息？ 【答案】（1）下降；3；4 （2）1月份用电量最多，6月份用电量最少 【分析】（1）通过观察折线图，1月是920千瓦时，2月是850千瓦时，3月是840千瓦时，4月是750千瓦时，5月是760千瓦时，6月是715千瓦时。用电总量整体呈下降趋势。求几月至几月的照明用电总量下降得最多，分别计算出相邻两个月之间的差，选择差最大的即可。 （2）1月份用电量最多，可以获得6月份用电量最少，合理即可。 【解答】（1）920－850＝70（千瓦时） 850－840＝10（千瓦时） 840－750＝90（千瓦时） 760－750＝10（千瓦时） 760－715＝45（千瓦时） 90＞70＞45＞10 观察折线统计图，学校1—6月照明用电总量整体呈下降趋势。3月—4月的照明用电总量下降得最多。 （2）1月份用电量最多，6月份用电量最少。 （合理即可） 【易错专练4】下面是一个病人的体温记录折线统计图。 看图回答下面的问题： （1）护士每隔几小时给病人量一次体温？ （2）这个病人在4月8日12：00的体温是（    ）。 （3）这个病人的体温在（    ）下降的最快。 （4）图中的横虚线表示（    ）。 （5）从体温看，这个病人的病情有什么变化？ ___________________________________________________。 【答案】（1）6小时； （2）37.5℃； （3）4月7日6：00到12：00； （4）正常体温； （5）这个病人的病情在好转。（合理即可） 【分析】通过观察统计图中时间和体温的对应关系，以及折线的走势来回答各个问题。 （1）观察统计图横坐标，发现相邻两次量体温的时间分别是4月7日6：00和12：00，用12时减去6时计算出量体温相隔的时间. （2）在统计图中找到横坐标为4月8日12：00对应的点，再看该点对应的纵坐标数值，可知这个病人在4月8日12：00的体温是37.5℃。 （3）观察统计图中折线的倾斜程度，4月7日6：00到12：00这段折线下降得最陡，说明这段时间体温下降最快。 （4）看到统计图中的横虚线，其对应的纵坐标数值是37℃，所以图中的横虚线表示正常体温。 （5）从统计图整体来看，体温曲线总体呈下降趋势，逐渐接近正常体温，所以从体温看，这个病人的病情在好转。据此解答。 【解答】（1）12－6＝6（小时） 答：护士每隔6小时给病人量一次体温。 （2）这个病人在4月8日12：00的体温是37.5℃； （3）这个病人的体温在4月7日6：00到12：00下降最快； （4）图中的横虚线表示正常体温。 （5）这个病人的病情在好转。（合理即可） 【易错专练5】知识的遗忘是有规律的，下面是小红学习后几天内记忆单词个数的统计表。 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 个数 80 23 16 14 13 12 12 （1）根据上表绘制一个统计图。 （2）遗忘最快的是第（    ）天到第（    ）天。 （3）由统计图可知，小红知识遗忘的变化情况是（    ）；对你的学习的启示是（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）1；2 （3）先快后慢；温故而知新，要经常复习 【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：先整理数据；利用纵轴和横轴上的长度单位所表示的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。 （2）通过观察折线统计图及图中数据，发现第二天遗忘得最快，越往后遗忘越少，并逐渐稳定。第1天到第2天的折线最陡，说明遗忘速度最快。 （3）观察折线统计图可知，折线随天数增加由陡到缓，越陡说明知识遗忘越快，越缓说明知识遗忘越慢，由此可看出小红知识遗忘的变化情况，也启示我们在学习时要做到及时复习，防止遗忘。（合理即可） 【解答】（1）作图如下： （2）遗忘最快的是第1天到第2天。 （3）由统计图可知，小红知识遗忘的变化情况是先快后慢；对你的学习的启示是温故而知新，要经常复习。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级下册数学 （六大专题29个易错点） 目录 专题一小数的意义和加减法 3 易错点1：易把数位和位数、数位和计数单位弄混。 3 易错点2：不知道元和分之间的进率,错把元和分之间的进率当作10。（其他单位换算也是如此） 4 易错点3：错误地认为“小数位数越多，小数就越大”。 5 易错点4：在用竖式计算小数加法时,误按整数竖式计算的方法,把右端对齐。 6 易错点5：在计算进位加法或退位减法时，忘记进位或退位。 7 易错点6：混合运算或简便运算时，没有注意运算符号或简算错误。 9 易错点7：解决实际问题时，未正确理解数量关系。 9 专题二认识三角形和四边形 11 易错点1：对三角形分类的方法掌握不准确。 11 易错点2：错误理解三角形内角和。 12 易错点3：错误应用三角形三边关系。 13 易错点4：四边形分类不清（特别是平行四边形和梯形）。 14 易错点5：数复杂图形中某种图形的个数时，出现遗漏或重复。 16 专题三小数乘法 17 易错点1：没有准确理解小数乘整数的意义。 17 易错点2：小数点移动规律掌握错误。 18 易错点3：小数乘法竖式计算中，小数点错误或未补0。 19 易错点4：运用乘法分配律进行简便计算时，应将两个加数分别与因数相乘。注意不要漏掉。 20 易错点5：解决分段计费问题要注意考虑所有部分，漏掉会导致计算错误。 21 专题四观察物体 23 易错点1：没有掌握从侧面观察物体的方法。 23 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 25 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 28 专题五认识方程 29 易错点1：用字母表示数时书写不规范。 29 易错点2：没有找准数量间的等量关系，列式错误。 30 易错点3：等式与方程概念混淆。 31 易错点4：解方程错误。 32 易错点5：解决问题及计算时没有掌握形如ax±b=c( a≠0)这种形式方程的解法。 33 专题六数据的表示和分析 34 易错点1：统计图表的绘制与解读失误 34 易错点2：平均数计算与理解偏差。 37 易错点3：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 38 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 41 专题一小数的意义和加减法 易错点1：易把数位和位数、数位和计数单位弄混。 【易错专练1】0.08里面有8个（    ）。 A．1 B．0.1 C．0.01 【易错专练2】1.3302中的“0”所在数位的计数单位是（    ）。 A．十分之一 B．百分之一 C．千分之一 D．万分之一 【易错专练3】50.08中的5在（ ）位上，表示（ ）个（ ）；8在（ ）位上，表示（ ）个（ ）。 【易错专练4】国宝第一市，天下好运城。据统计：2025年“五一”期间，运城市51家A级景区累计接待游客二百三十三点四七万人次，迎来了文商融合的高光时刻。横线上的数写作（ ）万，这个数中的“4”表示4个（ ）。 【易错专练5】用3个百分之一和4个十组成的数是（ ）；0.7表示（ ）个0.1，还可以表示（ ）个0.01；1.68里面有（ ）个0.001。 易错点2：不知道元和分之间的进率,错把元和分之间的进率当作10。（其他单 位换算也是如此） 【易错专练1】用小数表示测量结果。      蝴蝶大约宽（ ）分米。    小明重（ ）千克。 【易错专练2】铅笔5厘米，用分数表示为（ ）分米，用小数表示为（ ）米。 【易错专练3】52厘米＝（ ）米    3元5分＝（ ）元 【易错专练4】一只军舰鸟的体重约1千克600克，翼长2米1分米，骨骼重113克。用小数怎么表示呢？ 1千克600克＝（ ）千克   2米1分米＝（ ）米   113克＝（ ）千克 【易错专练5】单位换算。 5元6角＝（ ）元       2.05吨＝（ ）吨（ ）千克 3米5厘米＝（ ）米           0.5时＝（ ）分 易错点3：错误地认为“小数位数越多，小数就越大”。 【易错专练1】把2.65，2.56，2.065，2.605按照从小到大的顺序排列，排在第二位的是（ ）；排在最后一位的是（ ）。 【易错专练2】东东、方方、红红三位同学的50m跑成绩分别是8.56秒，8.45秒，8.38秒，（ ）的速度最快。 【易错专练3】把0.27，75.4，6.58，90.4分别填入适当的括号里。 76＞（ ）＞75    90＜（ ）＜91    1＞（ ）＞0    6＜（ ）＜7 【易错专练4】在里填数字，使它分别符合下列要求。 （1）使这个数最大，这个数是（ ）。 （2）使这个数最小，这个数是（ ）。 （3）使这个数最接近42，这个数是（ ）。 【易错专练5】下面是五名同学立定跳远的成绩统计表，请在颁奖台上写出前三名同学的名字。 姓名 园园 乐乐 小宇 小恒 海海 成绩/米 1.58 1.6 1.59 1.64 1.61 易错点4：在用竖式计算小数加法时,误按整数竖式计算的方法,把右端对齐。 【易错专练1】竖式计算。（带*的要验算） 60－53.21＝    20.3＋12.4＝    *21.04－7.58＝ 【易错专练2】竖式计算，并验算。 11－9.5＝    13.8＋5.91＝ 验算：    验算： 【易错专练3】竖式计算，并验算。 0.46＋0.53＝        12.35－1.34＝ 【易错专练4】用竖式计算。 21.6＋5.47    100－39.68    4.23＋5.87    9.45－6.57 【易错专练5】用竖式计算。 8.76＋3.59＝      5.6－2.49＝      7.25＋0.25＝      9.5－1.5＝ 易错点5：在计算进位加法或退位减法时，忘记进位或退位。 【易错专练1】用竖式计算。 81.25＋36.9＝    52.1－30.27＝    8.9＋7.79＝    41－18.94＝ 【易错专练2】竖式计算，并验算。 13.47＋3.9＝    2.15－0.89＝    0.93－0.45＝ 【易错专练3】用竖式计算。                    【易错专练4】列竖式计算。 19.7＋32.8＝              62.9－3.75＝ 4.57＋15.66＝              80－23.95＝ 【易错专练5】竖式计算。                易错点6：混合运算或简便运算时，没有注意运算符号或简算错误。 【易错专练1】脱式计算。（能简算的要简算） 32.8＋4.02＋17.2    2.785＋2.54＋7.46    200－73.4－26.6 【易错专练2】计算下面各题，能简算的要简算。 45.27＋9.6－14.93      96.8－（32.3＋9.5）       65.5＋12.3＋34.5 【易错专练3】计算下面各题。 3.5－2.7＋5.5          12－（10－5.82）          31.26－7.44－2.56 易错点7：解决实际问题时，未正确理解数量关系。 【易错专练1】小雪、小美和小丽一起到文具店买文具，三人一共花去34.52元，小雪和小美共花去24.84元，小雪和小丽共花去22.53元。三人各花去多少元？ 【易错专练2】春节期间，李叔叔乘坐飞机回家，航空公司规定质量不超过20千克的行李可以免费托运。李叔叔的行李箱自重2.59千克，要带的笔记本电脑重1.46千克，要想免费托运行李，他的行李箱最多还能再装多少千克的其他物品？ 【易错专练3】小慧准备用两根长为2.18米的绳子接在一起做手工（如下图所示），接好后的绳子实际全长多少米？ 【易错专练4】刘爷爷推着三轮车来到城东集市，将自家菜园种植的黄瓜、西红柿和土豆整齐摆放在摊位上，开始一天的售卖；刘爷爷一天卖菜的收入如下表： 蔬菜 黄瓜 西红柿 土豆 收入／元 24.45 18.52 32.84 （1）卖黄瓜比卖西红柿多收入了多少钱？ （2）卖三种蔬菜一共收入了多少钱？ 【易错专练5】6月5日上午和谐新村环保志愿者在广场开展六五环境日宣传活动。此次活动进一步动员了各界志愿者积极投身到建设美丽乡村、实现人与自然和谐共生的现代化的伟大实践中，为建设美丽乡村魅力中国贡献力量。环保志愿者去捡拾丢弃居民区附近的垃圾，共捡拾了17.25千克的其他垃圾，捡拾的可回收垃圾比其他垃圾少8.8千克，环保志愿者一共捡拾了多少千克的其他垃圾和可回收垃圾？ 专题二认识三角形和四边形 易错点1：对三角形分类的方法掌握不准确。 【易错专练1】一个三角形中最多有（    ）个钝角，最少有（    ）个锐角。以下答案正确的是（    ）。 A．1，1 B．1，2 C．2，2 【易错专练2】下面图形中，添一条线段可以得到两个钝角三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】下图（    ）中被信封遮住的三角形一定是锐角三角形。 A． B． C． D． 【易错专练4】数一数，填一填。 上图中有（ ）个锐角三角形，（ ）个钝角三角形和（ ）个直角三角形。 【易错专练5】找一找，填一填。 图形（ ）是等腰三角形，图形（ ）是等边三角形，图形（ ）是直角三角形，图形（ ）是钝角三角形，图形（ ）是锐角三角形。 易错点2：错误理解三角形内角和。 【易错专练1】一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【易错专练2】三名同学为了验证“三角形内角和是180°”，采用了以下3种不同的方法。方法（    ）不能验证“三角形内角和是180°”。 A．B．C． 【易错专练3】如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是（ ）°，原来这块纸片的形状，按角分是（ ）三角形。 【易错专练4】航航在折纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝（ ）°。 【易错专练5】求下面未知角的度数。 易错点3：错误应用三角形三边关系。 【易错专练1】两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（    ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 【易错专练2】一个等腰三角形的两条边的长度分别是3cm和7cm，则它的周长是（    ）cm。 A．17 B．15 C．13 D．13或17 【易错专练3】一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是4cm和7cm，那么第三条边最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。 【易错专练4】刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【易错专练5】一根铁丝对折一次之后的长度是9.5厘米，现要把它围成一个等腰三角形，若接头处忽略不计，且每条边的长度都是整厘米数，则等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米？请说明理由。 易错点4：四边形分类不清（特别是平行四边形和梯形）。 【易错专练1】依次连接方格纸上A、B、C 三个点，再连接①、②、③、④中的某一个点围成四边形。要使围成的四边形是梯形，可以有（    ）种不同的围法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【易错专练2】下面各组小棒中，不能围成梯形的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】下面图形中，只有一组平行线的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练4】如图，一个等腰梯形被分成一个平行四边形和一个三角形，其中平行四边形的周长是（ ）厘米。 【易错专练5】拼一拼，填一填。 （1） 和 可以拼成一个平行四边形。 （2） 和 可以拼成一个梯形。 （3） 和 既可以拼成一个长方形又可以拼成一个梯形。 易错点5：数复杂图形中某种图形的个数时，出现遗漏或重复。 【易错专练1】数一数，填一填。 图中有（ ）个长方形。 【易错专练2】数一数。 （1）有（ ）个三角形。 （2）有（ ）个四边形。 【易错专练3】图中能找到多少个平行四边形？ 【易错专练4】数一数，填一填。          图中有（ ）个三角形。 【易错专练5】数一数，如图中共有（ ）个梯形。 专题三小数乘法 易错点1：没有准确理解小数乘整数的意义。 【易错专练1】3个0.2相加是（    ）。 A．0.5 B．0.6 C．3.2 【易错专练2】1.1＋1.1＋2.1＋2.1的结果和（    ）的结果相同。 A．1.1×2＋2.1×2 B．1.1×4 C．2.1×4 【易错专练3】“福建舰”是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。据新闻报道，“福建舰”的常规巡航速度约为55.2千米/时。若“福建舰”以该速度从上午8：00航行到中午12：00，一共可以航行（ ）千米。 【易错专练4】把2.5＋2.5＋2.5改写成乘法算式是（ ）；把3.5×4改写成加法算式是（ ）。 【易错专练5】为了鼓励市民节约用电，某市实行了新的收费制度。每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.8元收费，小丽家12月份用电85千瓦时，需要缴纳电费多少元？ 易错点2：小数点移动规律掌握错误。 【易错专练1】如果把38.38的小数点去掉，得到的数就（    ）。 A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的100倍 【易错专练2】把0.24的小数点先向右移动三位，再向左移动两位，得到的数相当于把原数（    ）。 A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的100倍 D．缩小到原来的 【易错专练3】一个数扩大到原来的1000倍后是3500，这个数原来是（    ）。 A．35 B．3.5 C．0.35 D．0.035 【易错专练4】把6.45的小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的（ ）倍；把6.45的小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的（ ）。 【易错专练5】把4.95的小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的（ ）倍，结果是（ ）；把4.95的小数点向左移动三位后结果是（ ）。 易错点3：小数乘法竖式计算中，小数点错误或未补0。 【易错专练1】竖式计算。 0.74×3.6＝    8.12×6.5＝    0.08×2.4＝ 【易错专练2】竖式计算。 0.86×6.58＝    0.75×0.12＝    0.84×2.5＝ 【易错专练3】竖式计算。 4.5×80＝    2.7×60＝    13.6×90＝    2.85×20＝ 【易错专练4】用竖式计算。 0.36×1.8＝    5.43×40＝    6.03×5.6＝    2.25×1.6＝ 【易错专练5】用竖式计算。 8.09×3.6＝    9.25×40＝    5.89×1.3＝ 22.5×3.7＝    0.63×0.12＝    1.08×60＝ 易错点4：运用乘法分配律进行简便计算时，应将两个加数分别与因数相乘。注意不要漏掉。 【易错专练1】计算下面各题，能简算的要简算。                  【易错专练2】脱式计算，能简算的要简算。 12.8＋2.4×9.5    4.8×3.6＋5.2×3.6    （15.4－7.8）×3.5 【易错专练3】脱式计算。（能简算的要简算） 13.4－16.3×0.5    15.42＋6.78－2.42    18×（2.6＋3.5） 【易错专练4】脱式计算，能简算的要简算。 4.9＋5.1×0.9             7.6×4.6＋5.4×7.6 【易错专练5】脱式计算，能简算的要简算。 17.4＋2.6×0.8    （2.5＋0.25）×4    4.5×3.6＋5.5×3.6    4.6×0.7－1.16×0.5 易错点5：解决分段计费问题要注意考虑所有部分，漏掉会导致计算错误。 【易错专练1】爸爸每月的话费套餐（月租48元）包含160分钟通话和5GB流量，当通话时间和流量超出时按如图标准另外收费。爸爸11月通话150分钟，使用了7.2GB流量，这个月爸爸应缴话费（    ）元。 超出套餐的部分 通话：0.2元/1分 流量：8.8元/GB A．67.36 B．69.36 C．63.36 D．58.56 【易错专练2】某种流量套餐的计费方式为5元包1GB流量（1GB＝1024MB），超出部分按0.29元/MB计费（不足1MB的按1MB计算）。若本月使用流量1108MB，则需付（ ）元。 【易错专练3】五（1）班54名师生拍合影，照相馆合影照价格如下：定价28.5元（含4张照片），加印一张照片1.6元。师生每人一张合影照片，一共要（ ）元。 【易错专练4】某市出租车3公里起步，起步价5元，超过3公里，超过的部分每公里收费1.2元。王叔叔的行程是10公里，需要支付多少元？ 【易错专练5】某市居民每月每户用水收费原来每立方米1.90元，为了提倡“节约用水”，现作如下调整： 用水量 20吨及以下 20吨以上的部分 收费标准 每吨1.90元 每吨2.30元 李大伯家10月份用水30吨，李大伯家10月份水费是多少元？ 专题四观察物体 易错点1：没有掌握从侧面观察物体的方法。 【易错专练1】农历八月十五是我国传统的中秋节，吃月饼是过中秋节不可或缺的习俗。妈妈将准备的几份正方体月饼盒堆在桌子上，如图。从前面看是（    ），从左面看是（    ），从上面看是（    ）。 ①    ②    ③    ④ A．①；③；② B．①；④；③ C．③；②；④ D．③；②；① 【易错专练2】下面的立体图形，从正面看是的是（    ）。 A． B． C． 【易错专练3】从正面看到的图形是（    ）。 A． B． C． 【易错专练4】从侧面看到的是（    ）。 A． B． C． 【易错专练5】如图所示的两个立体图形，从（    ）面看到的形状是不同的。 A．上 B．正 C．左 D．右 【易错专练6】请你填一填。（填序号） （1）从侧面看是图A的有（ ）。 （2）从侧面看是图B的有（ ）。 （3）从上面看是图C的有（ ）。 【易错专练7】下面的立体图形中，从左面看是图A的有（ ），从正面看是图B的有（ ），（ ）从左面和上面看到的形状相同。（填序号） 【易错专练8】按要求填一填。   （1）从正面看到的图形是图A的有（ ）。 （2）从正面看到的图形是图B的有（ ）。 （3）从左面看到的图形是图A的有（ ）。 （4）图（ ）从正面、右面看到的形状相同。 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 【易错专练1】笑笑用正方体搭出了一个立体图形，从上面、右面和正面看到的形状如下： 这是由（    ）个小正方体搭成的。 A．3 B．4 C．5 【易错专练2】如图是从一个几何体的不同方向看到的形状，这个几何体是用（    ）个相同的小正方体搭成的。 A．9 B．10 C．11 【易错专练3】如下图的立体图形是由8个小正方体搭成的，如果把这个图形的表面涂上红色，那么只有3个面涂红色的小正方体有（ ）个。 【易错专练4】一个立体图形由相同的小正方体搭成，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，搭这个立体图形至少需要（ ）个小正方体。 【易错专练5】一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。搭成这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体。 【易错专练6】如图所示的物体是用（ ）个同样大的正方体摆成的，从（ ）面和（ ）面看到的图形是完全相同的。 【易错专练7】数出下列每个立体图形中小正方体的个数。 （ ）个             （ ）个                  （ ）个 【易错专练8】图物体共由（ ）个小正方体搭成的；它从正面与（ ）面看到的形状相同。 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 【易错专练1】用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的是，从左面看到的是，搭这个立体图形最少要用几个小正方体？最多要用几个小正方体？画出这个立体图形从正面看到的图形。 【易错专练2】一个几何体，从前面看到的图形是，摆这个几何体最少需要多少个小正方体？如果这个几何体是用6个小正方体摆成的，那么这个几何体一共有多少种不同的摆法（相邻小正方体之间以面相连）？ 【易错专练3】一个几何体，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是那么这个几何体至少由个小正方体组成，最多由个小正方体组成。 【易错专练4】用同样大的小正方体搭成一个立体图形，从前面、上面和右面看到的图形都是。要搭成这样的立体图形，至少要用多少个小正方体？最多可以用多少个小正方体？ 专题五认识方程 易错点1：用字母表示数时书写不规范。 【易错专练1】妈妈买了三张电影票，座位号正好是连续的偶数，如果中间一张是m，其余两张分别是（ ）和（ ）。 【易错专练2】为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态发展理念，丁楼村号召村民种树，他们种了m棵松树，种的柳树是松树的2.4倍，村民种了（ ）棵柳树，松树和柳树一共种（ ）棵。 【易错专练3】教室图书角有漫画书n本，故事书的本数比漫画书的3倍少6本，漫画书和故事书一共有（ ）本。 【易错专练4】9×a＋b＝9ab。（ ） 【易错专练5】罗老师买钢笔和圆珠笔各x支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支5.6元，买圆珠笔的钱比买钢笔的钱少4.1x元。（ ） 易错点2：没有找准数量间的等量关系，列式错误。 【易错专练1】妈妈带了一些钱去买日用品，用了136元，还剩下87元。妈妈原来带了多少钱？ （ ）＝剩下的87元 【易错专练2】一段C米长的公路，修了3天后还剩100米没修，平均每天修20米。 （ ）＝公路总长C米 【易错专练3】请你根据等量关系补充一个条件。 超市运回两箱苹果，每箱15千克，（ ），还剩10千克。 等量关系：运回的苹果的千克数－卖出去的苹果千克数＝剩下的苹果千克数 【易错专练4】一只黑熊的速度是40千米/时，一匹斑马的速度比黑熊快19.8千米/时，一只猎豹的速度是斑马的2倍。下面等量关系正确的是（ ）。（填序号） ①黑熊的速度×2＝斑马的速度    ②黑熊的速度＋19.8＝斑马的速度 ③斑马的速度－黑熊的速度＝19.8    ④斑马的速度×2＝猎豹的速度 ⑤猎豹的速度÷2＝斑马的速度    ⑥猎豹的速度－19.8＝黑熊的速度 【易错专练5】世界卫生组织的标准体重（单位：千克）：男性标准体重是男性身高（单位：厘米）去掉80厘米后的值的0.7；女性标准体重是女性身高（单位：厘米）去掉70厘米后的值的0.6，淘气妈妈对应的标准体重与身高的等量关系是（ ）。 易错点3：等式与方程概念混淆。 【易错专练1】给出下面的式子：①7x＋9y＝45；②11＋7＝18；③5x＞24；④6a＋b；⑤3a＝51；⑥15－7＜9；⑦a＋b＋c＝15；⑧3×5＋9＝24。其中等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 【易错专练2】下列式子中（ ）是等式，（ ）是方程。（填序号） ①      ②     ③      ④       ⑤ 【易错专练3】在4＋6＝10、15－x＞7、8x、18÷2＝9、x＋7＜22、a－6.5＝7中，等式有（ ）个，其中（ ）是方程。 【易错专练4】在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 【易错专练5】在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 易错点4：解方程错误。 【易错专练1】解方程。 5x＋3＝18           2（x－3）＝10 【易错专练2】解方程。 2x＋5＝17      3（x－2）＝12 【易错专练3】解方程。 x＋6.48＝24.5            2x－130＝180 【易错专练4】解方程。 10x＋46＝116                7x－49＝112                x÷2.1＝3.5 【易错专练5】解方程。 8÷2＝24        3−3.9＝5.1        2＋11＝111 易错点5：解决问题及计算时没有掌握形如ax±b=c( a≠0)这种形式方程的解法。 【易错专练1】某商场打折出售一种照相机，每部y元。如果第1天卖出3部，第2天卖出4部，这些照相机一共卖了4193元钱，那么每部照相机多少元钱？ 【易错专练2】植树节到了，四（1）班同学参加植树活动。栽了37棵杨树，还栽了4行松树，松树和杨树一共栽了89棵，平均每行松树多少棵？（列方程解答） 【易错专练3】截至2025年第一季度，我国5G基站总数已突破439.5万个，实现了“县县通千兆、乡乡通5G”的网络覆盖目标。某电信工程队计划铺设一条电缆，全长439米，已经铺了3天（每天铺的长度相等），还剩64米，求该工程队前3天每天铺设多少米？（先画线段图，再列方程解答） 【易错专练4】如图是李老师在书店的购物清单，不小心弄脏了，请你根据清单上的信息计算：《儿童文学》的单价是多少元/本？（列方程解答） 书名 数量 单位 单价/元 总价/元 《数学小灵通》 24 本 12.5 《儿童文学》 15 本 总计金额 伍佰柒拾元整（570元） 【易错专练5】电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，观影人次突破3亿，截至5月5日，总票房已突破158亿，排名全球影史票房第5。该片在某影院上映初期场场爆满，已知影院最大厅有300个座位，比最小厅座位数的3倍还多15个，最小厅在不加座的情况下每次最多可容纳多少名观众？（先写等量关系，再列方程解答） 专题六数据的表示和分析 易错点1：统计图表的绘制与解读失误 【易错专练1】奇思、淘气、乐乐与笑笑踢毽子的成绩分别是：40个、35个、25个、50个。将他们的成绩绘制成统计图。 【易错专练2】下表是一个病人4月7日6：00至4月8日12：00体温情况统计表。 测量体温时间 4月7日6：00 4月7日12：00 4月7日18：00 4月8日0：00 4月8日6：00 4月8日12：00 体温度数/℃ 39.5 38 39 39.2 38 37.5 根据上表中数据制作折线统计图。 【易错专练3】淘气投掷五次垒球的成绩如下表，根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩/米 38 35 40 42 41 【易错专练4】下表记录了某地6月的天气情况，请根据表格完成右边的条形统计图。 【易错专练5】根据统计表将统计图补充完整表示出每种图书的数量。 图书种类 图画书 故事书 工具书 作文书 其他 数量/本 35 40 25 15 30 易错点2：平均数计算与理解偏差。 【易错专练1】平平练习投沙包，第一次投了10.84米，第二次投了10.16米，第三次投完后的平均成绩是10米，第三次投了（ ）米。 【易错专练2】淘气3次跳绳的平均成绩是105下，他第一次跳了120下，第二次跳了98下，第三次跳了（ ）下。 【易错专练3】四（1）班开展“AI人工智能知识大赛”，淘气的兴趣小组成员成绩如表，该小组三名成员的平均分是92分，奇思的成绩是（ ）分。      姓名 淘气 笑笑 奇思 成绩/分 87 92 【易错专练4】笑笑帮体育老师统计运动会跳绳比赛的成绩，全班36人的平均成绩是125个。后来发现，笑笑把淘气的148个错记成了40个。你能算出全班同学的正确平均成绩吗？ 【易错专练5】笑笑爬山锻炼身体，上山每分钟行40米，爬了6分钟，原路返回时，下山每分钟行60米，用了4分钟，他上山和下山的平均速度是多少？为什么不能用算式（40＋60）÷2求笑笑上山和下山的平均速度？请用你喜欢的方法说明理由。 易错点3：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 【易错专练1】随着时代的发展，人们了解世界的方法越来越多，手机迅速成为人们必不可少的工具，给人们的生活带来了方便。为了更加合理的使用手机，某学校四年级学生就“你使用手机主要做什么（每位同学只选择一项）”这一问题，对部分学生进行了调查。下面是部分学生使用手机情况统计表。 事项 查资料 玩游戏 看抖音视频 读书打卡 其他 人数 43 96 127 182 14 （1）请根据以上信息绘制条形统计图。 （2）从条形统计图中能得到什么信息？（至少写两条） （3）根据以上调查结果，你想对大家提出什么建议。 【易错专练2】学校开展了“绿色家园我行动”手抄报比赛，各年级参赛作品数量如下： 年级 一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 数量/张 10 25 37 30 45 10 （1）请根据统计表将统计图补充完整。 （2）从统计图中你能想到什么问题？（至少写两个问题）。 【易错专练3】清风小学为培养学生的团队协作精神和竞争意识，举办了以“少年逐梦，活力赛场”为主题的运动会。四年级的同学们热情高涨，纷纷在自己擅长的项目上一展风采，下面是四年级学生参加运动会项目的情况统计表。 项目 50米短跑 100米短跑 跳远 跳绳 人数 20 12 14 18 （1）根据上表中的数据完成条形统计图。 （2）上述统计图中，每格表示（    ）人。 （3）参加（    ）项目的人数最多，参加（    ）项目的人数最少。 【易错专练4】下面是学生参加课外兴趣小组的统计情况。 组别 美术组 篮球组 唱歌组 编程组 航模组 人数/人 20 15 10 30 25 （1）把统计表中的结果用条形统计图表示出来。 （2）每格代表（    ）人。参加（    ）课外兴趣小组的人最多，参加（    ）课外兴趣小组的人最少。 （3）参加课外兴趣小组的学生一共有多少人？ 【易错专练5】为了践行“光盘行动，节约光荣”意识，光明小学对各个年级学生每天的剩饭菜进行称重统计、每周评比一次，下表是第二学期第十九周的统计情况。 年级 一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 数量/千克 18 18 19 13 17 11 （1）根据统计表中的数据完成条形统计图。 （2）第十九周剩饭菜的数量（    ）年级最多，（    ）年级最少。 （3）根据以上信息，你想对同学们说些什么？ 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 【易错专练1】如图是某产品2024年月平均生产量情况统计图。 （1）从（ ）月到（ ）月生产量在增加；从（ ）月到（ ）月生产量在减少。 （2）上半年和下半年的生产量相比，哪个多？多多少？ 【易错专练2】看图回答问题。 （1）哪个月的平均气温最高？哪个月的平均气温最低？月平均最高气温与月平均最低气温相差多少？ （2）哪两个月之间的平均气温上升得最快？哪两个月之间的平均气温下降得最快？ 【易错专练3】学校开展“绿色行动，节能环保”活动后，全校师生都特别注意节约用电，学校照明用电总量也有所减少。具体情况如下图。 （1）观察折线统计图，学校1—6月照明用电总量整体呈（    ）趋势。（    ）月—（    ）月的照明用电总量下降得最多。 （2）从统计图中，你还能获得哪些数学信息？ 【易错专练4】下面是一个病人的体温记录折线统计图。 看图回答下面的问题： （1）护士每隔几小时给病人量一次体温？ （2）这个病人在4月8日12：00的体温是（    ）。 （3）这个病人的体温在（    ）下降的最快。 （4）图中的横虚线表示（    ）。 （5）从体温看，这个病人的病情有什么变化？ ___________________________________________________。 【易错专练5】知识的遗忘是有规律的，下面是小红学习后几天内记忆单词个数的统计表。 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 个数 80 23 16 14 13 12 12 （1）根据上表绘制一个统计图。 （2）遗忘最快的是第（    ）天到第（    ）天。 （3）由统计图可知，小红知识遗忘的变化情况是（    ）；对你的学习的启示是（    ）。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $