第三单元 小数乘法（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+12个考点讲练+6个奥数拓展+真题演练 共55题-2025-2026学年北师大版数学四年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年北师大版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第三单元 小数乘法『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+12个考点讲练+6个奥数拓展+真题演练 共55题） 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 小数乘法的意义 4 知识点二 乘法的变化规律 4 知识点三 积不变规律 4 知识点四 小数乘整数计算方法 4 知识点五 小数乘小数的计算方法 4 知识点六 小数四则混合 4 知识点七 积的近似数 5 知识点八 小数点位置移动引起小数大小变化的规律 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 小数与整数的乘法与解决问题 6 高频考点二 小数点向右移动引起小数大小变化的规律 7 高频考点三 小数点向左移动引起小数大小变化的规律 8 高频考点四 运用小数点移动解决小数的单位换算问题 8 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 10 高频考点六 积的变化规律（小数乘法) 11 高频考点七 小数与小数的乘法与解决问题 12 高频考点八 因数和积的大小关系（小数乘法） 13 高频考点九 分段计费问题（小数乘法) 14 高频考点十 小数的连乘运算 16 高频考点十一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 17 高频考点十二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 18 奥数拓展 拔尖冲刺 20 奥数拓展一 小数与整数的乘法与解决问题 20 奥数拓展二 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 22 奥数拓展三 积的小数位数与乘数小数位数的关系 23 奥数拓展四 积的小数位数与乘数小数位数的关系 24 奥数拓展五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 25 奥数拓展六 积的变化规律（小数乘法） 27 优选真题 实战演练 28 【基础夯实 知识巩固】 28 【拓展提高 能力拔尖】 32 知识点一 小数乘法的意义 ① 小数乘小数的意义表示求一个数的十分之几、百分之几……是多少。 ② 小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。可以说是求几个相同加数和的简便运算，也可以说是求这个小数的整数倍是多少。 如：2.3×5 表示求 5 个 2.3 的和是多少。也可以表示求 2.3 的 5 倍是多少。 知识点二 乘法的变化规律 ① 在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大（或缩小）a 倍，积也扩大（或缩小）a 倍。 ② 在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数扩大b 倍，积就扩大a×b 倍。 ③ 在乘法里，一个因数缩小a 倍，另外一个因数缩小b 倍，积就缩小a×b 倍。 知识点三 积不变规律 在乘法里，一个因数扩大 a 倍，另外一个因数缩小 a 倍，积不变。 知识点四 小数乘整数计算方法 ① 先把小数扩大成整数 ② 按整数乘法乘法法则计算出积 ③ 看被乘数有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ➃ 若积的末尾有 0 可以去掉 知识点五 小数乘小数的计算方法 ① 先把小数扩大成整数 ② 按整数乘法乘法法则计算出积 ③ 看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够，要在前面用 0 补足。 知识点六 小数四则混合 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同：同级运算，从左往右；两级运算，先乘除后加减；有括号的，先算括号里的。 乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法，应用这些运算定律，可以使计算简便。 乘法交换律 a×b=b×a 乘法结合律 (a×b)×c＝a×(b×c)乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c a×(b—c)=a×b — a×c 知识点七 积的近似数 保留 a 位小数，就看第 a+1 位，再用四舍五入的方法取值。 保留整数：表示精确到个位， 看十分位上的数；保留一位小数：表示精确到十分位，看百分位上的数；保留两位小数： 表示精确到百分位，看千分位上的数；…… ⭐ 按实际需要用“四舍五入法”保留一定的小数位数，求积的近似值。 知识点八 小数点位置移动引起小数大小变化的规律 ① 小数点位置移动引起小数大小变化的规律： 小数点向左移动一位、两位、三位……这个数就缩小到原来的 1/10 、 1/100 、 1/1000……小数点向右移动一位、两位、三位……这个数就扩大到原来的 10 倍、100 倍、1000 倍…… ② 小数点右移，位数不够时，要添“0”补位，小数点移动完后，整数最高位前边的“0”要去掉； 小数点左移，位数不够时，也用“0”补足，点上小数点，若整数部分没有数，用“0”表示，若小数末尾有 0，根据小数的性质，应把末尾的“0”去掉。 ③ 积的小数位数与乘数的小数位数的关系：在小数乘法中，两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数。 ➃ 积的近似值的求法：一般要先算了正确的积，再根据题目要求或生活习惯用“四舍五入” ⑤ 比较大小： 一个数乘以一个大于 1 的数，积大于它本身。例如：6.5×1.5＞6.5 一个数乘以一个等于 1 的数，积等于它本身。例如：6.5×1=6.5 一个数乘以一个小于 1 的数，积小于它本身。例如：6.5×0.9＜6.5 高频考点一 小数与整数的乘法与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西吕梁·期末）用竖式计算。 40－12.09＝        5.04×28＝ 【答案】27.91；141.12 【思路引导】小数加、减法运算法则：先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点即可（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）；小数的乘法计算法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点，如果位数不够，就用“0”补足；据此解答即可。 【规范解答】40－12.09＝27.91                  5.04×28＝141.12                     【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·广东惠州·期末）苗苗家两个月的电话费和上网费缴费情况如下表，先把表填完整，再解决问题。 电话费 上网费 合计 4月 87.25元 41.7元 5月 74.80元 41.7元 （1）4月份的电话费比5月份多多少元？ （2）苗苗家全年的上网费是多少元？（上网费用每月固定） 【答案】表见详解；（1）12.45元；（2）500.4元 【思路引导】4月份的电话费加上网费的和填到4月的合计栏中，5月份的电话费加上网费的和填到5月的合计栏中，完善统计表。 （1）4月份的电话费减去5月份的电话费等于4月份比5月份多的电话费。 （2）每月上网费是41.7元，一年有12个月，所以41.7乘12即全年的上网费。 【规范解答】87.25＋41.7＝128.95（元） 74.80＋41.7＝116.5（元） 电话费 上网费 合计 4月 87.25元 41.7元 128.95元 5月 74.80元 41.7元 116.5元 （1）87.25－74.80＝12.45（元） 答：4月份的电话费比5月份多12.45元。 （2）41.7×12＝500.4（元） 答：苗苗家全年的上网费是500.4元。 高频考点二 小数点向右移动引起小数大小变化的规律 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）将小数5.24扩大到原来的10倍是( )；将小数36.8缩小到原来的( )（填分数）后是0.368。 【答案】 52.4 【思路引导】小数点向右移动一位，也就是小数乘10，小数扩大到原数的10倍；小数点向左移动两位，小数除以100，小数缩小到原数的。据此解答。 【规范解答】根据分析可知，将小数5.24扩大到原来的10倍是52.4；将小数36.8缩小到原来的后是0.368。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋城·期末）某科研团队利用人工智能技术对一个游泳池进行虚拟建模分析。将游泳池的长和宽的小数点分别向左移动两位后，呈现出下图的数据，那么游泳池实际的长是( )米，宽是( )米。 【答案】 50 21 【思路引导】根据小数点移动引起小数大小变化的规律，如果一个数扩大（或缩小）到原数的10倍（或）、100倍（或）、1000倍（或）……只要把小数点向右（或向左）移动一位、两位、三位……位数不够时，要用“0”补足；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，小数点向左移动两位也就是一个数缩小到原数的，我们只需要把变化之后的长和宽的小数点向右移动两位即可，所以游泳池实际的长是50米，宽是21米。 高频考点三 小数点向左移动引起小数大小变化的规律 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西运城·期末）把36缩小到原来的( )是0.036；把9.7的小数点向右移动两位后是( )。 【答案】 970 【思路引导】小数点的移动规律是：小数点向右移动一位相当于把原数乘10，小数就扩大到原数的10倍；移动两位相当于把原数乘100，小数就扩大到原数的100倍；移动三位相当于把原数乘1000，小数就扩大到原数的1000倍……小数点向左移动一位相当于把原数除以10，小数就缩小到原数的；移动两位相当于把原数除以100，小数就缩小到原数的；移动三位相当于把原数除以1000，小数就缩小到原数的……以此计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 36÷1000＝0.036 9.7×100＝970 把36缩小到原来的是0.036；把9.7的小数点向右移动两位后是970。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西汉中·期末）找规律填数。 (1)2.44，4.44，6.44，( )，( )。 (2)3300，330，33，( )，( )。 【答案】(1) 8.44 10.44 (2) 3.3 0.33 【思路引导】（1）因为4.44－2.44＝2，6.44－4.44＝2，所以可知这串数字是依次加2的规律，用6.44＋2可算出第四个数字，再用第四个数字加2算出第五个数字； （2）因为3300÷10＝330，330÷10＝33，所以可知这串数字是依次除以10的规律，每次小数点向左移动1位即可，33的小数点向左移动一位得出第四个数字，再向左移动一位得出第五个数字。 【规范解答】（1）6.44＋2＝8.44，8.44＋2＝10.44，所以2.44，4.44，6.44，8.44，10.44。 （2）33÷10＝3.3， 3.3÷10＝0.33，所以3300，330，33，3.3，0.33。 高频考点四 运用小数点移动解决小数的单位换算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽亳州·期末）10米20厘米＝( )米     1.82元＝( )元 ( )角( )分 207平方厘米＝( )平方分米    4千克31克＝( )千克 【答案】 10.2 1 8 2 2.07 4.031 【思路引导】（1）1米＝100厘米，将20厘米的单位换为米，将20的小数点向左移动两位即可，即20厘米＝0.2米，再加上10米，即可求出10米20厘米等于多少米。 （2）1.82元＝1元＋0.8元＋0.02元，1元＝10角，将0.8元的单位换为角，将0.8的小数点向右移动一位，即0.8元＝8角，1元＝100分，将0.02元的单位换为分，将0.02的小数点向右移动两位，即0.02元＝2分，所以1.82元＝1元8角2分。 （3）1平方分米＝100平方厘米，将207平方厘米的单位换为平方分米，将207的小数点向左移动两位，即207平方厘米＝2.07平方分米。 （4）1千克＝1000克，将31克的单位换为千克，将31的小数点向左移动3位，即31克＝0.031千克，再加上4千克，即可求出4千克31克等于多少千克。 【规范解答】（1）20厘米＝0.2米 10米20厘米＝10米＋0.2米＝10.2米 （2）1.82元＝1元＋0.8元＋0.02元 0.8元＝8角 0.02元＝2分 所以1.82元＝1元8角2分。 （3）207平方厘米＝2.07平方分米 （4）31克＝0.031千克 4千克31克＝4千克＋0.031千克＝4.031千克 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）认真阅读下面材料，回答问题。 中国空间站的天和核心舱长16米6分米，重22.5吨，空间站在高速运动，速度达7.68千米/秒。北京时间2025年4月24日23时49分，神舟二十号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5小时。本次为径向端口对接，成功验证复杂构型下的径向快速交会对接技术，为未来空间站扩展任务积累经验。 (1)7.68是一个( )位小数，读作：( )；6在( )位上，这个小数百分位上的8表示( )个( )。 (2)16米6分米＝( )米    6.5小时＝( )分钟    22.5吨＝( )吨( )千克 【答案】(1) 两 七点六八 十分 8 0.01/百分之一/ (2) 16.6 390 22 500 【思路引导】（1）小数的读法：整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按顺序依次读出每一位上的数字。7.68读作：七点六八。小数的数位顺序表如下： 　 整数部分 小数点 小数部分 数位 …… 万位 千位 百位 十 位 个 位 . 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 …… 计数单位 …… 万 千 百 十 个 十 分 之 一 百分之一 千分之一 万分之一 …… 由小数的数位顺序表可知，在小数7.68中，“6”在十分位上。“8”在百分位上，表示8个0.01或8个百分之一或8个。 （2）16米6分米＝（      ）米，只需要把6分米转化为多少米。小单位转化为大单位，需要除以它们之间的进率10，相当于把小数点向左移动一位；6.5小时＝（      ）分钟，大单位转化为小单位，需要乘上它们之间的进率60；22.5吨＝（      ）吨（      ）千克，只需要把0.5吨转化为多少千克。大单位转化为小单位，需要乘上它们之间的进率1000，相当于把小数点向右移动三位。 【规范解答】（1）7.68是一个两位小数，读作：七点六八；6在十分位上，这个小数百分位上的8表示8个0.01或8个百分之一或8个。 （2）6÷10＝0.6，所以6分米＝0.6米，16米6分米＝16.6米。 6.5×60＝390，所以6.5小时＝390分钟。 0.5×1000＝500，所以0.5吨＝500千克，22.5吨＝22吨500千克。 16米6分米＝16.6米；6.5小时＝390分钟；22.5吨＝22吨500千克 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·江西景德镇·期末）不计算，能判断的计算结果错误的理由是（    ）。 ①积的小数部分的位数不对 ②积的末尾数字“4”与乘法口诀“二九十八”相矛盾 ③正确的结果应该比还要大 A．①、②和③ B．①和② C．①和③ D．②和③ 【答案】D 【思路引导】9.9和6.2都是一位小数，所以积应该是两位小数。9.9的十分位乘6.2的十分位，也就是9×2＝18，所以结果的最低位数字应该是8；9.9＞9，6.2＞6，所以9.9×6.2＞9×6，据此解题。 【规范解答】①积的小数部分的位数不对，说法错误，数位正确。 ②积的末尾数字“4”与乘法口诀“二九十八”相矛盾，说法正确。 ③正确的结果应该比还要大，说法正确。 不计算，能判断的计算结果错误的理由是②和③。 故答案为：D 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）根据53×15＝795，可以判断出下面算式正确的是（    ）。 A．5.3×15＝7.95 B．0.53×1.5＝7.95 C．5.3×0.15＝0.795 【答案】C 【思路引导】小数乘法是按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点；三个选项都是先计算出53×15的积，再根据因数一共有几位小数来确定积的小数位，据此即可解答。 【规范解答】A．5.3×15算式中，两个因数一共有一位小数，积应该是一位小数，所以5.3×15＝79.5，原算式计算错误。      B．0.53×1.5算式中，两个因数一共有三位小数，积应该是三位小数，所以0.53×1.5＝0.795，原算式计算错误。      C．5.3×0.15算式中，两个因数一共有三位小数，积应该是三位小数，所以5.3×0.15＝0.795，原算式计算正确。 故答案为：C 高频考点六 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽宿州·期末）与的积相等的算式是（    ）。 A．4 B．4 C．0 【答案】B 【思路引导】一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），积也扩大到原来几倍或缩小到原来的几分之一；如果一个因数扩大到原来几倍或缩小到原来的几分之一，另一个因数反而缩小到原来的几分之一或扩大到相同的倍数（0除外），那么积不变。 【规范解答】A．45.8×350，4.58扩大到原来的10倍，3.5扩大到原来的100倍，则积扩大到原来的1000倍； B．45.8×0.35，4.58扩大到原来的10倍，3.5缩小到原来的，积不变； C．0.458×0.35，4.58缩小到原来的，3.5缩小到原来的，则积缩小到原来的。 故答案为：B 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）根据15×17＝255，在括号里填上正确的数。 15×1.7＝( )                   1.5×1.7＝( ) 【答案】 25.5 2.55 【思路引导】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）相同的数；若两个因数同时变化，则积的变化为两个因数变化的倍数相乘后的结果。 【规范解答】15×17＝255， 15×1.7现第二个因数17变为1.7（缩小到原来的），第一个因数15不变。积应缩小到原来的，即25.5。 1.5×1.7现第一个因数15变为1.5（缩小到原来的），第二个因数17变为1.7（缩小到原来的）；积应缩小到原来的，即2.55。 所以15×1.7＝25.5，1.5×1.7＝2.55。 高频考点七 小数与小数的乘法与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）列竖式计算。 9.85＋3.47＝                 4.63－2.78＝                37.9×1.4＝ 【答案】13.32；1.85；53.06 【思路引导】计算小数加法时，首先对齐小数点，然后从最低位开始加，满十向前一位进一，最后所得结果的小数点与横线上的小数点对齐； 计算小数减法时，首先对齐小数点，然后从最低位开始减，不够减就向前一位借一当十，最后所得结果的小数点与横线上的小数点对齐； 小数乘法，将两个小数视为整数，按照整数乘法的法则计算出积。然后确定两小数因数中一共有几位小数，点上小数点，从积的右边起数出几位小数（与因数中小数位数总和相同），然后点上小数点。积的小数末尾有0去掉即可。 【规范解答】9.85＋3.47＝13.32         4.63－2.78＝1.85           37.9×1.4＝53.06                              【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南开封·期末）某小学倡议“节约环保从我做起”。该学校6名少先队员利用课余时间对某早餐店一次性筷子的使用情况展开调查，发现这个早餐店第一周消耗筷子的钱数是78.5元，第二周消耗筷子的钱数是第一周的1.2倍，这个快餐店两个周一共消耗筷子的钱数是多少元？ 【答案】 172.7元 【思路引导】先用78.5元乘1.2求出第二周消耗筷子的钱数，再加上第一周消耗筷子的钱数即可求解。 【规范解答】78.5×1.2＝94.2（元） 94.2＋78.5＝172.7（元） 答：这个快餐店两个周一共消耗筷子的钱数是172.7元。 高频考点八 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2×0.5( )0.5    3.6米( )3米6分米    4.08( )4.80    7.86( )7.86×0.7 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＞ 【思路引导】（1）（4）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大，一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小；依此比较。 （2）3.6米和3米6分米比较大小，需要先把单位化统一，根据1米＝10分米，6分米换算成以米为单位，需要除以进率10，即6分米＝0.6米，再加上3米为3.6米，进行比较即可。 （3）小数比较大小的方法：先看整数部分，整数部分大的，这个小数就大；整数部分相同，就看十分位上的数，十分位上的数大，这个小数就大。4.08和4.80比较大小，整数部分相同，十分位上0＜8，所以4.08＜4.80。 【规范解答】（1）2＞1，即2×0.5＞0.5； （2）3米6分米＝3.6米，3.6米＝3米6分米； （3）4.08＜4.80； （4）1＞0.7，即7.86＞7.86×0.7。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 25克( )0.025千克   0.506( )0.65 7.26×1.2( )7.26   5.38×0.2( )5.38 【答案】 ＝ ＜ ＞ ＜ 【思路引导】1千克＝1000克，根据进率统一单位再比较大小。根据小数点移动引起小数大小变化的规律可知，克换算成千克，除以进率1000，小数点向左移动三位即可。 小数大小的比较方法，先比较小数的整数部分，整数部分大的这个小数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的这个小数就大，如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的这个小数就大，以此类推。 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原数。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数。 【规范解答】根据分析可知，25克换算成千克，需要把小数点向左移动三位，所以25克＝0.025千克。 整数部分相同，十分位5＜6，所以0.506＜0.65。 1.2＞1，所以7.26×1.2＞7.26。 0.2＜1，所以5.38×0.2＜5.38。 高频考点九 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川成都·期末）生活中的数学。 租金说明 3分钟内归还免费 1.5元/0.5小时 注：①不足0.5小时按0.5小时计费 ②每24小时封顶30元 （1）2024年起，国家倡导“健康体重·一起行动”，实施“体重管理年”活动。乐乐一家在学跳操。经记录，乐乐本周跳操540分钟，妈妈本周跳操610分钟。妈妈本周跳操时长比爸爸的3倍少50分钟，爸爸本周跳操多少分钟？（用方程解） （2）乐乐一家周末在东安湖公园游玩，途中爸爸手机快没电了，于是租了一个充电宝。他当天忘记归还，等到周一才还。结果爸爸共租用充电宝24.6小时，他至少需要支付多少元？ 【答案】（1）220分钟 （2）33元 【思路引导】（1）根据题意可知，爸爸本周跳操时间×3－50分钟＝妈妈本周跳操时间，设爸爸本周跳操x分钟，根据等量关系式列方程即可解答。 （2）24.6小时超过24小时，每24小时封顶30元，前24小时需要30元，还剩下24.6－24＝0.6（小时），0.6小时大于0.5小时，小于1小时，所以按2个0.5小时计费，费用为1.5×2＝3（元），总费用为30＋3＝33（元），据此即可解答。 【规范解答】（1）解：设爸爸本周跳操x分钟。 3x－50＝610 3x－50＋50＝610＋50 3x＝660 3x÷3＝660÷3 x＝220 答：爸爸本周跳操220分钟。 （2）24.6小时，前24小时按30元封顶计费，剩下0.6小时按2个0.5小时计费。 30＋1.5×2 ＝30＋3 ＝33（元） 答：他至少需要支付33元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川成都·期末）林老师从家出发，乘坐出租车到距离家14.6千米的体育馆观看足球比赛，下面是林老师所在城市的出租车收费标准，到达目的地后，林老师需要支付多少钱的车费？ 里程 收费 3千米及以内 10元（起步价） 超过3千米的部分 1.8元/千米（不足1千米按1千米计算） 【答案】31.6元 【思路引导】根据出租车收费标准，总费用由起步价和超过3千米部分的费用组成。总里程14.6千米中，超过3千米的部分为14.6－3＝11.6（千米），按“不足1千米按1千米计算”的规则，需按12千米计算。超过部分的费用为12×1.8元，再加上起步价10元，即可求出总费用。 【规范解答】14.6－3＝11.6（千米） 12×1.8＝21.6（元） 10＋21.6＝31.6（元） 答：林老师需要支付31.6元的车费。 高频考点十 小数的连乘运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北邯郸·期中）阳光小学开展“回收废纸再利用”活动，回收1千克废纸，可生产0.8千克再生纸。四（1）班有36人，如果每人回收2.5千克废纸，那么这个班回收的废纸能生产多少千克再生纸？ 【答案】72千克 【思路引导】先用36乘2.5求出这个班回收废纸的总重，再乘上0.8即可求出废纸能生产的再生纸重量。 【规范解答】36×2.5×0.8 ＝90×0.8 ＝72（千克） 答：这个班回收的废纸能生产72千克再生纸。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）脱式计算。 0.4×3.54×0.25        8.6＋1.4×2.6        11.7×4.3＋5.7×11.7        16.74＋5.0－6.74＋4.4 【答案】 0.354；12.24；117；19.4 【思路引导】（1）根据乘法交换律：a×b＝b×a和乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：（0.4×0.25）×3.54，再进行计算。 （2）先算乘法，再算加法。 （3）运用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：11.7×（4.3＋5.7），再进行计算。 （4）调整运算顺序，变算式为：（16.74－6.74）＋5.0＋4.4，再进行计算。 【规范解答】0.4×3.54×0.25 ＝（0.4×0.25）×3.54 ＝0.1×3.54 ＝0.354 8.6＋1.4×2.6 ＝8.6＋3.64 ＝12.24 11.7×4.3＋5.7×11.7 ＝11.7×（4.3＋5.7） ＝11.7×10 ＝117 16.74＋5.0－6.74＋4.4 ＝（16.74－6.74）＋5.0＋4.4 ＝10＋5.0＋4.4 ＝19.4 高频考点十一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西运城·期末）用你喜欢的方法计算。 15.6－5.6×1.8      12.5×9.7×0.8       0.4×99＋0.4      13.9－4.56＋6.1－5.44 【答案】5.52；97；40；10 【思路引导】根据四则混合运算顺序，同级运算，从左往右依次计算，既有乘除，又有加减的，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）先算乘法，再算减法。   （2）根据乘法交换律：a×b＝b×a，变算式为：12.5×0.8×9.7，再进行计算。 （3）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：0.4×（99＋1），再进行计算。 （4）根据加法交换律：a＋b＝b＋a和减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：13.9＋6.1－（4.56＋5.44），再进行计算。 【规范解答】15.6－5.6×1.8 ＝15.6－10.08 ＝5.52          12.5×9.7×0.8     ＝12.5×0.8×9.7 ＝10×9.7 ＝97         0.4×99＋0.4 ＝0.4×（99＋1） ＝0.4×100 ＝40           13.9－4.56＋6.1－5.44 ＝13.9＋6.1－4.56－5.44 ＝（13.9＋6.1）－（4.56＋5.44） ＝20－10 ＝10 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西吕梁·期末）脱式计算。（能简算的要写出简算过程） 12.8＋2.04×9.5            6.4×5.9＋3.6×5.9            2.6＋2.4×0.35 【答案】32.18；59；3.44 【思路引导】第（1）（3）小题都是乘加混合运算，先算乘法，再算加法。 第（2）小题乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先算6.4与3.6的和，再与5.9相乘。据此进行计算即可。 【规范解答】（1）12.8＋2.04×9.5 ＝12.8＋ 19.38 ＝32.18 （2） 6.4×5.9＋3.6×5.9 ＝5.9×（6.4＋3.6） ＝5.9×10 ＝59 （3）2.6＋2.4×0.35 ＝2.6＋0.84 ＝3.44 高频考点十二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·甘肃定西·期末）脱式计算，能简算的要简算。 0.7×101－0.7                 3.8×2.3＋0.38×77                0.125×4.7×8 12.5－1.68－2.32              8÷[4.92－（1.7＋1.22）]          9.8－（5.8＋1.32） 【答案】70；38；4.7 8.5；4；2.68 【思路引导】（1）根据乘法分配律，先计算101－1，再用0.7乘这个差。 （2）根据积的变化规律可知，0.38×77＝3.8×7.7，再根据乘法分配律，先计算2.3＋7.7，再用3.8乘这个和。 （3）根据乘法交换律，交换4.7和8的位置，先计算0.125×8，再用积乘4.7。 （4）根据减法的性质，先计算1.68＋2.32，再用12.5减去这个和。 （5）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法。 （6）根据减法的性质，先计算9.8－5.8，再用差减去1.32。 【规范解答】0.7×101－0.7 ＝0.7×（101－1） ＝0.7×100 ＝70 3.8×2.3＋0.38×77 ＝3.8×2.3＋3.8×7.7 ＝3.8×（2.3＋7.7） ＝3.8×10 ＝38 0.125×4.7×8 ＝0.125×8×4.7 ＝1×4.7 ＝4.7 12.5－1.68－2.32 ＝12.5－（1.68＋2.32） ＝12.5－4 ＝8.5 8÷[4.92－（1.7＋1.22）]   ＝8÷[4.92－2.92] ＝8÷2 ＝4 9.8－（5.8＋1.32） ＝9.8－5.8－1.32 ＝4－1.32 ＝2.68 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东惠州·期末）下面算式中，与8.8×1.25的结果不相等的是（    ）。 A．8×1.25＋0.8 B．（8×1.25）×1.1 C．8×1.25＋0.8×1.25 【答案】A 【思路引导】计算8.8×1.25时，可以把8.8转化为8＋0.8，然后利用乘法分配律使计算简便。也可以把8.8转化为8×1.1，然后利用乘法交换律和乘法结合律使计算简便。 【规范解答】8.8×1.25 ＝（8＋0.8）×1.25 ＝8×1.25＋0.8×1.25 8.8×1.25 ＝（8×1.1）×1.25 ＝8×1.1×1.25 ＝8×1.25×1.1 ＝（8×1.25）×1.1 所以与8.8×1.25的结果相等的算式有（8×1.25）×1.1和8×1.25＋0.8×1.25，与8.8×1.25的结果不相等的算式为8×1.25＋0.8。 故答案为：A 奥数拓展一 小数与整数的乘法与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南商丘·期中）脱式计算。（能简算的要简算）                                    【答案】11.3；6.426 10；86.2 【思路引导】对于47.16－（12.7＋23.16），可利用减法的性质进行简便运算； 对于1.02×6.3，可将1.02拆分为（1＋0.02），再利用乘法分配律计算； 对于12.5×0.02×40，可利用乘法结合律进行简便运算； 对于5.4×8.62＋8.62×4.6，可利用乘法分配律进行简便运算。 【规范解答】47.16－（12.7＋23.16） ＝47.16 －12.7－23.16 ＝47.16－23.16－12.7 ＝24－12.7 ＝11.3 1.02×6.3 ＝（1＋0.02）×6.3 ＝1×6.3＋0.02×6.3 ＝6.3＋0.126 ＝6.426 12.5×0.02×40 ＝12.5×（0.02×40） ＝12.5×0.8 ＝10 5.4×8.62＋8.62×4.6 ＝8.62×（5.4＋4.6） ＝8.62×10 ＝86.2 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·吉林长春·期末）有两只小蚂蚁同时从一个等腰三角形的顶点A出发（如图），分别沿两腰爬行。甲蚂蚁每秒爬行0.6分米，乙蚂蚁每秒爬行0.5分米，5秒后在D点相遇，这时BD的长度是1分米，则CD的长度是多少分米？ 【答案】0.5分米 【思路引导】速度×时间＝路程，用0.6乘5可以计算出甲蚂蚁爬的分米数，也就是点A经过点B到点D的分米数，再减去BD的长度可以计算出AB的长度；等腰三角形的两腰相等，那么AB的长度与AC的长度相等，用0.5乘5可以计算出乙蚂蚁爬的分米数，也就是点A经过点C到点D的分米数，再减去AC的长度，可以计算出CD的长度；据此解答。 【规范解答】AB长度： 0.6×5－1 ＝3－1 ＝2（分米） AB＝AC＝2分米 0.5×5－2 ＝2.5－2 ＝0.5（分米） 答：CD的长度是0.5分米。 【考点剖析】掌握等腰三角形的特点，以及速度、时间与路程之间的关系，是解答本题的关键。 奥数拓展二 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）班委去买奖品，1.8元的奖品买了25份，2.5元的奖品买了15份． （1）买这两种奖品一共花去多少元？ （2）他们带了100元，应找回多少元？ （3）余下的钱还想买20份0.8元的奖品，够吗？ 【答案】（1）82.5元 （2）17.5元 （3）够 【规范解答】（1）1.8×25+2.5×15=82.5（元） 答：买这两种奖品一共花去82.5元． （2）100-82.5=17.5（元） 答：他们带了100元，应找回17.5元． （3）0.8×20=16（元） 17.6>16    够 答：余下的钱够买20份0.8元的奖品． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小红把爸爸妈妈给的零用钱存放在小盒子里。两个月后，她用其中的一半去买练习本，后来又存入了8角4分，她又用其中比一半少8分的钱买了课外书籍，结果还剩下1元4角4分。问买练习本之前她共存了多少钱？ 【答案】3.76元 【思路引导】原来的钱除以2，加上8角4分，再除以2，加上8分，最后剩1元4角4分，从后往前倒推，除变乘，加变减。 【规范解答】1元4角4分＝1.44元，8角4分＝0.84元，8分＝0.08元； （元） 【考点剖析】本题考查的是还原问题，通常用倒推法进行求解，倒推时，每一步都要变成原来的逆运算。 奥数拓展三 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一根木料，第一次用去它的一半少0.8米，第二次用去剩下的一半多1.2米，最后还剩下2.7米，这根木料原来长多少米？ 【答案】14米 【思路引导】“第二次用去剩下的一半多1.2米，最后还剩下2.7米”，那么（2.7＋1.2）米就是第一次用去后剩余长度的一半，再乘2，就是第一次用去后剩余的长度；“第一次用去它的一半少0.8米”，那么原木料长度的一半＝第一次用去后剩余的长度－0.8，最后可得木料原来的长度＝原木料长度的一半×2，据此列式解答。 【规范解答】（2.7＋1.2）×2 ＝3.9×2 ＝7.8（米） （7.8－0.8）×2 ＝7×2 ＝14（米） 答：这根木料原来长14米。 【考点剖析】本题考查的是倒推问题，从结果出发，逐步向前一步一步推理列式解答。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·山东烟台·期末）下面的算式是借助长方形的面积计算3.5×3.2的过程。仔细观察，少算了图中（    ）部分的面积。 3.5×3.2＝3×3＋0.5×3＋0.2×3 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】结合图由题意可知：大长方形被分成了3个小长方形和1个正方形，3个小长方形和1个正方形的面积和等于长方形的面积。根据“长方形面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长”分析解答。 【规范解答】由图可知，图中是一个长为3.5米，宽为3.2米的长方形，“3×3＋0.5×3＋0.2×3”计算的是①、②和④的面积。所以③的面积没有计算上。在计算过程中3.5×3.2＝3×3＋0.5×3＋0.2×3，少算了③的面积。 奥数拓展四 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）在里填上合适的数，使竖式成立。 【答案】见解析 【思路引导】（1）因为积的末尾是9，7与7相乘末位是9，所以第二个因数是0.07，，，，因数的个位是2，，，，因数的十位是1，即。 （2）因为积的末尾是5，3与5相乘末位是5，所以第二个因数是7.5，，积的十位为0，，，，，第二个因数的个位可以是2、4、6或8，积的十位是1，那么第二个因数应该是2.3，即，进行计算即可。 （3）一个因数是8.9，另一个因数是一位小数。先看成89与两位数相乘，先看整数部分的乘法，8乘两位数得到的是两位数，9乘两位数得到的是三位数。由于8乘两位数是两位数，若十位数字大于等于2 ， 8乘这个数就会是三位数，所以两位数的十位数字只能是1。同样的，个位上的数字如果是1，1乘两位数得到的是两位数；如果是3，是三位数，所以个位上的数字只能是2，即，进行计算即可。 【规范解答】由分析可知：               【考点剖析】这种竖式数字谜问题，常常把已知的数字作为解答的突破口，结合数字的特点和数位知识以及计算法则解答。 奥数拓展五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下面是两个小数a和b，这两个小数的和、积、商分别是多少？          ( ) ( ) ( ) 【答案】 300 【思路引导】根据题意可知：a是小数点后有1994＋2－1＝1995位的小数，b是小数点后有1996＋2－1＝1997位小数，那么把a和b的小数点向右移动1997位，那么a就成了10500，b就成了35；因为10500＋35＝10535，10500×35＝367500，10500÷35＝300；所以a＋b的结果是10535的小数点向左移动1997位，a×b的结果是367500的小数点向左移动1997×2＝3994位，a÷b根据被除数与除数同时扩大相同的倍数（0除外），商不变，可以得出结果就是10500÷35的结果；据此解答即可。 【规范解答】 a＋b＝ a×b＝ a÷b＝300 【考点剖析】此题考查了多位小数的计算，关键是明确小数点的位数即可。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）已知，，求a×b的值。 【答案】 【思路引导】两个小数相乘，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和，a是位小数，b是位小数，，末尾有3个0，由此即可求出a×b的值。 【规范解答】 a×b的值为。 【考点剖析】本题主要考查了小数的巧算，找准小数点的位置是本题解题的关键。 奥数拓展六 积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一块菜地（如图），如果长不变，宽增加到36米，扩大后的菜地面积比原来增加了多少平方米？ 依依：□ （平方米） 壮壮：□ （米） （平方米） （平方米） （1）上面是2个同学解决问题的过程，你认为谁的解法是正确的？请你在他们名字旁的□里画“√”。 （2）在你认为正确的解法中，你最喜欢谁的解法？请你用文字说明这种解法的思路。 【答案】（1）依依：√；壮壮：√ （2）见详解 【思路引导】（1）依依同学运用乘法积的变化规律，先算出宽变为原来的几倍，再算出宽比原来增加了倍，再用菜地原本的面积乘菜地面积增加的倍数，即可算出扩大后菜地面积比原来增加了多少平方米； 壮壮同学先根据长方形的面积公式，计算出菜地原本的长是多少，再计算出扩大后菜地的面积是多少，最后用扩大后菜地的面积减去原本的面积，即可算出扩大后菜地面积比原来增加了多少。 （2）根据自己的喜好选择一种解题方法，说出解题思路即可。（答案不唯一） 【规范解答】（1）由分析可知，两位同学的计算过程都是正确的，扩大后的面积比原来面积增加了960平方米。 （2）我最喜欢依依的解题思路。依依先算出了增加后的宽是原本宽的几倍，再算出宽增加了多少倍，然后根据乘法积的变化规律，算出扩大后的面积比原本增加960平方米。 【考点剖析】本题主要考查积的积的变化规律和长方形面积公式的灵活运用，解答此题时要注意认真审题。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）根据规律，直接写出其它算式的得数。 ①12345679×9＝111111111            ②12345679×18＝222222222            ③12345679×27＝333333333 ④12345679×36＝( )        ⑤12345679×45＝( )        ⑥12345679×54＝( ) ⑦12345679×( )＝999999999 【答案】 444444444 555555555 666666666 81 【思路引导】观察左边算式，第一个因数都相同，另一个因数都是9的倍数，第一个因数是9的1倍，结果就是9个1； 同理第二个算式，因数18是9的2倍，结果就是9个2； 同理第三个算式，因数27是9的3倍，结果就是9个3；同理计算出后面的算式即可。 【规范解答】④12345679×36＝444444444 ⑤12345679×45＝555555555 ⑥12345679×54＝666666666 ⑦12345679×81＝999999999 【考点剖析】关键是根据给出的式子，找出变化的规律，再由规律解决问题。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）下面各题与5.6×9.7的结果相等的算式是（    ）。 A．0.56×0.97 B．0.56×97 C．56×9.7 D．0.56×970 【答案】B 【思路引导】根据积的变化规律，若一个因数乘（或除以）几，0除外，另一个因数除以（或乘）相同的数，积不变。原式为5.6×9.7，需判断选项中各算式是否符合此规律。 【规范解答】A．5.6×9.7＝（5.6÷10）×（9.7×10）＝0.56×97；所以5.6×9.7与0.56×0.97结果不相等； B．5.6×9.7＝（5.6÷10）×（9.7×10）＝0.56×97 C．5.6×9.7＝（5.6×10）×（9.7÷10）＝56×0.97，所以5.6×9.7与56×9.7结果不相等； D．5.6×9.7＝（5.6÷10）×（9.7×10）＝0.56×97，所以5.6×9.7与0.56×970结果不相等； 下面各题与5.6×9.7的结果相等的算式是0.56×97。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·四川成都·期中）已知A÷B＝2.14，如果A扩大到原来的10倍，B不变，那么商变为（    ）。 A．2.14 B．21.4 C．214 D．0.214 【答案】B 【思路引导】除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商就乘几或除以几。据此解答。 【规范解答】2.14×10＝21.4 所以商变为21.4。 故答案为：B 3．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）已知（△、口、○都不为0），△、口、○表示的三个数中最大的是（    ）。 A．△ B．口 C．○ 【答案】C 【思路引导】根据乘积相等时，一个乘数越小，对应另一个乘数越大，比较已知三个乘数的大小，即可确定对应的另一个乘数的大小关系。 【规范解答】0.85＜0.99＜1.01，所以○＞△＞口。 已知（△、口、○都不为0），△、口、○表示的三个数中最大的是○。 故答案为：C 4．（24-25四年级下·广东佛山·期末）在下面的括号里填上合适的数。 3.9平方米＝( )平方分米                2千克50克＝( )千克 【答案】 390 2.05 【思路引导】把3.9平方米换算成平方分米，因为1平方米＝100平方分米，把平方米换算成平方分米要乘进率100； 把2千克50克换算成千克，因为1千克＝1000克，把克换算成千克要除以进率1000。 【规范解答】3.9×100＝390（平方分米），所以3.9平方米＝390平方分米； 50÷1000＝0.05（千克），所以2千克50克＝2.05千克。 5．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.6×0.99( )3.6      1.5×1.01( )1.5       51×0.01( )51÷100 【答案】 ＜ ＞ ＝ 【思路引导】（1）（2）根据积和因数的大小关系进行判断，一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 （3）51×0.01相当于51的小数点向左移动两位；51÷100相当于51的小数点向左移动两位，所以相同。 【规范解答】0.99＜1，所以3.6×0.99＜3.6； 1.01＞1，所以1.5×1.01＞1.5； 51×0.01＝0.51，51÷100＝0.51，所以51×0.01＝51÷100。 6．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）根据25×152＝3800，直接写出下面各题的得数。 25×15.2＝( )   0.0025×152＝( )    2.5×1.52＝( ) 【答案】 380 0.38 3.8 【思路引导】根据积的变化规律，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，积也乘（或除以）相同的数；若两个因数都变化，则积的变化为两个因数变化的乘积。以此答题即可， 【规范解答】25×15.2＝25×（152÷10）＝25×152÷10＝3800÷10＝380 0.0025×152＝（25÷10000）×152＝25×152÷10000＝3800÷10000＝0.38 2.5×1.52＝（25÷10）×（152÷100）＝25×152÷10÷100＝3800÷10÷100＝3.8 7．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）把0.96的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，0.96就缩小到原来的。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】把一个小数扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……，就是这个数分别乘10、100、1000…，小数点就向右移动一位、两位、三位……，把一个小数缩小到原来的、、…，就是把这个数分别除以10、100、1000…，小数点就向左移动一位、两位、三位……，据此解答即可。 【规范解答】小数点向右移动两位：0.96×100＝96 小数点再向左移动三位：96÷1000＝0.096 0.096＝0.96÷10＝0.096 因此，0.96经过两次移动后缩小到原来的，判断正确。 故答案为：√ 8．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）3.25×2.7的积是三位小数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据小数乘法的计算法则，两个因数共有三位小数（3.25有两位，2.7有一位），因此积的小数位数应为三位。计算后验证积的末尾是否有0，若没有，则积的小数位数保持不变。 【规范解答】3.25是两位小数，2.7是一位小数，因数中共有2＋1＝3位小数，325×27＝8775，将小数点向左移动三位，结果为8.775，末尾没有0，因此积是三位小数。 故答案为：√ 9．（24-25四年级下·广东佛山·期末）脱式计算。 16－6.85－3.15        4.5×13.8－4.5×3.8            2.4×0.6＋1.5×0.8            4×5.63×2.5 【答案】6；45；2.64；56.3； 【思路引导】16－6.85－3.15，运用减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），变式为16－（6.85＋3.15）进行简算； 4.5×13.8－4.5×3.8，根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c），变式为4.5×（13.8－3.8）进行简算； 2.4×0.6＋1.5×0.8，先计算乘法，再计算加法； 4×5.63×2.5，根据乘法交换律a×b＝b×a，变式为4×2.5×5.63进行简算。 【规范解答】16－6.85－3.15 ＝16－（6.85＋3.15） ＝16－10 ＝6 4.5×13.8－4.5×3.8 ＝4.5×（13.8－3.8） ＝4.5×10 ＝45 2.4×0.6＋1.5×0.8 ＝1.44＋1.2 ＝2.64 4×5.63×2.5 ＝4×2.5×5.63 ＝10×5.63 ＝56.3 10．（24-25四年级下·广东佛山·期末）竖式计算。 30－7.84＝                            2.05×4.3＝ 【答案】22.16；8.815； 【思路引导】在进行小数加减法运算时，要把小数点对齐，也就是相同数位对齐，然后按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点位置点上小数点。小数乘小数的计算方法，先按整数乘法计算方法计算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 【规范解答】30－7.84＝22.16      2.05×4.3＝8.815           【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．把两个小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是360° B．7.0与7.00的大小相等，意义不同 C．只有一组对边平行的图形是梯形 D．两个小数相乘，积一定比其中的一个小数大 【答案】B 【思路引导】A．任意三角形的内角和都是180°，与拼法无关； B．根据小数的基本性质可知：7.0＝7.00；根据小数的意义可知，7.0的计数单位是0.1，7.00的计数单位是0.01；所以它们的大小相等，计数单位不同；据此解答； C．梯形是只有一组对边平行的四边形，只有一组对边平行的图形可能是四边形，也可能是五边形等； D．可以举例0.3×0.2＝0.06，0.06比0.3和0.2都小。 【规范解答】A．把两个小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是180°，题干说法错误； B．7.0与7.00的大小相等，意义不同，题干说法正确； C．只有一组对边平行的四边形是梯形，题干说法错误； D．两个小数相乘，积不一定比其中的一个小数大，例如0.3×0.2＝0.06，0.06比0.3和0.2都小。题干说法错误。 故答案为：B 2．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）如果a×0.2＝b×0.3（a，b都不等于0），则（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】根据等式a×0.2＝b×0.3，两个非零因数的积一定，一个因数大，另一个因数则小，以此来比较a和b。 【规范解答】a×0.2＝b×0.3，根据分析，因为0.2＜0.3，所以a＞b。 故答案为：A 3．（23-24四年级下·吉林长春·期末）2.□8×□.2是一个两位小数乘一位小数的算式，那么下面这些数中有可能是它得数的是（    ）。 A．32.516 B．6.36 C．7.296 【答案】C 【思路引导】根据算式2.□8×□.2可知，积是一个三位小数。又因为2.□8＜3，□.2＜10，那么2.□8×□.2＜3×10，即积要小于30，据此即可选择。 【规范解答】A．32.516大于30，不符合题意； B．6.36不是三位小数，不符合题意； C．7.296小于30且是三位小数，符合题意。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查小数乘法，解答本题的关键在于根据算式判断出积是一个三位小数。 4． （24-25四年级下·山西吕梁·期末） 2.7分＝( )元       1千克50克＝( )千克 1.4时＝( )分          6.25平方米＝( )平方分米 【答案】 0.027 1.05 84 625 【思路引导】因为1元＝100分，所以1分＝0.01元，2.7分就等于2.7×0.01＝0.027（元）； 因为1千克＝1000克，所以1克＝0.001千克，50克换算成千克为50×0.001＝0.05（千克），所以1千克50克就等于1＋0.05＝1.05（千克）； 因为1时＝60分，所以1.4时就等于1.4×60＝84（分）； 因为1平方米＝100平方分米，所以6.25平方米就等于6.25×100＝625（平方分米）。 【规范解答】根据分析可得，2.7分＝0.027元；1千克50克＝1.05千克； 1.4时＝84分；6.25平方米＝625平方分米 5．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）两个乘数的积是2.85，如果其中一个乘数扩大到原来的100倍，另一个乘数缩小到原来的( )，那么所得的积是( )。 【答案】 （答案不唯一） 0.285（答案不唯一） 【思路引导】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，一个因数扩大到原来的几倍或缩小为原来的几分之一，积也扩大到原来的几倍或缩小为原来的几分之一。两个乘数的积是2.85，其中一个乘数扩大到原来的100倍，假设另一个因数缩小到原来的，则积缩小到原来的，据此解答即可。 【规范解答】根据分析：假设另一个因数缩小到原来的 2.85×100÷1000＝0.285 两个乘数的积是2.85，如果其中一个乘数扩大到原来的100倍，另一个乘数缩小到原来的，那么所得的积是0.285。 （答案不唯一） 6．（24-25四年级下·甘肃张掖·期末）一个数（0除外）的1.09倍比原来的数大。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数（0除外）乘上一个比1大的数，积会比原来的数大。据此解答。 【规范解答】由题意得，求一个数（0除外）的1.09倍是多少，直接用这个数乘上1.09。1.09＞1，所以这个数乘上1.09一定大于原来的数。原题说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）脱式计算。 42.9－18.46－1.54            36.7×2.8＋3.67×72            8.8×6×12.5 【答案】22.9；367；660 【思路引导】（1）根据减法的性质，从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，先算18.46＋1.54的和，然后再用42.9减去和即可。 （2）积不变规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时除以（或乘）相同的数，它们的积不变。根据积不变的规律，36.7×2.8可变成3.67×28，算式变为3.67×28＋3.67×72 ，根据乘法分配律，提取相同的因数3.67，先计算28加72的和，再乘3.67即可。 （3）把8.8拆分成8×1.1，算式变为8×1.1×6×12.5，再利用乘法交换律，交换1.1和12.5的位置，算式变为8×12.5×6×1.1，再从左往右计算即可。 【规范解答】（1） （2） （3） 8．（24-25四年级下·广东佛山·期末）响应顺德绿色制造倡议，推动节能减排，从企业做起，一起实现“节能增效”。某家电工厂将传统注塑机换成节能注塑机，每台每天可减少耗电0.18千瓦时，若工厂改造12台这样的设备，一个月（按30天算）可减少耗电多少千瓦时？ 【答案】64.8千瓦时 【思路引导】由题意可知：先用12×0.18计算出12台设备每天可减少的耗电量，再乘30，即可求出一个月（按30天算）可减少耗电多少千瓦时。 【规范解答】12×0.18×30 ＝2.16×30 ＝64.8（千瓦时） 答：一个月（按30天算）可减少耗电64.8千瓦时。 9．（24-25四年级下·广东佛山·期末）“中国苹果看陕西，陕西苹果看洛川”，洛川苹果是陕西省著名水果品种，也是国家地理标志保护产品。 （1）妈妈在电商促销日购买了900克苹果，优惠了多少元？ 苹果（900克） 原价：25.90元 促销价：22.79元 （2）笑笑今天吃了300克苹果，笑笑摄入的糖量超标了吗？ 每100克苹果可食用部分 钠：1.7毫克 蛋白质：0.9克 糖：10.3克 营养学家建议：正常人每日摄入糖的总量应控制在30~40克，超过40克可能对健康不利。 【答案】（1）3.11元； （2）没有超标； 【思路引导】（1）根据题意，用原价减去促销价即可求出优惠了多少元。 （2）根据题意，300克里面有3个100克，用每100克苹果的含糖量乘3即可求出300克苹果的含糖量，再和40克比较，如果大于40克则超标，如果小于或等于40克则没超标。 【规范解答】（1）25.90－22.79＝3.11（元） 答：妈妈在电商促销日那天买了900克苹果，优惠了3.11元。 （2）10.3×（300÷100） ＝10.3×3 ＝30.9（克） 40＞30.9 答：笑笑今天吃了300克苹果，笑笑摄入的糖量没有超标。 10．买文具。 名称 书包 文具盒 彩笔 故事书 擦子 单价（元） 16.50 5.30 6.50 3.40 1.20 （1）张老师买5个文具盒，一共用多少元？ （2）小红买一个书包、一盒彩笔和3个擦子，共用去多少元？ （3）如果给你30元，买上面哪些物品，你能刚好全部用完？ 【答案】（1）26.5元 （2）26.6元 （3）一个书包、一盒彩笔、三个擦子和一本故事书。 【思路引导】用文具盒的单价乘5，计算出张老师买5个文具盒的总价即可； 先用擦子的单价乘3，计算出3个擦子的价格，再用一个书包、一盒彩笔和3个擦子的价格相加算出总价； 根据各个物品的单价，计算出怎样搭配能够刚好把30元用完。 【规范解答】（1）5.3×5＝26.5（元） 答：张老师买5个文具盒。一共用26.5元。 （2）16.5＋6.5＋3×1.2＝16.5＋6.5＋3.6＝23＋3.6＝26.6（元） 答：小红买一个书包、一盒彩笔和3个擦子，共用去26.6元。 （3）16.5＋6.5＋3×1.2＋3.4＝16.5＋6.5＋3.6＋3.4＝23＋3.6＋3.4＝26.6＋3.4＝30（元） 答：一个书包、一盒彩笔、三个擦子和一本故事书，刚好把30元全部用完。 【考点剖析】在解题过程中要仔细观察表格中的数据，在“把30元全部花完”的问题中，可以结合前两道小题的答案，再进行搭配。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2025-2026学年北师大版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第三单元 小数乘法『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+12个考点讲练+6个奥数拓展+真题演练 共55题） 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 小数乘法的意义 4 知识点二 乘法的变化规律 4 知识点三 积不变规律 4 知识点四 小数乘整数计算方法 4 知识点五 小数乘小数的计算方法 4 知识点六 小数四则混合 4 知识点七 积的近似数 5 知识点八 小数点位置移动引起小数大小变化的规律 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 小数与整数的乘法与解决问题 6 高频考点二 小数点向右移动引起小数大小变化的规律 6 高频考点三 小数点向左移动引起小数大小变化的规律 7 高频考点四 运用小数点移动解决小数的单位换算问题 7 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 7 高频考点六 积的变化规律（小数乘法) 8 高频考点七 小数与小数的乘法与解决问题 8 高频考点八 因数和积的大小关系（小数乘法） 8 高频考点九 分段计费问题（小数乘法) 8 高频考点十 小数的连乘运算 9 高频考点十一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 10 高频考点十二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 10 奥数拓展 拔尖冲刺 11 奥数拓展一 小数与整数的乘法与解决问题 11 奥数拓展二 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 11 奥数拓展三 积的小数位数与乘数小数位数的关系 12 奥数拓展四 积的小数位数与乘数小数位数的关系 13 奥数拓展五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 13 奥数拓展六 积的变化规律（小数乘法） 13 优选真题 实战演练 14 【基础夯实 知识巩固】 14 【拓展提高 能力拔尖】 15 知识点一 小数乘法的意义 ① 小数乘小数的意义表示求一个数的十分之几、百分之几……是多少。 ② 小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。可以说是求几个相同加数和的简便运算，也可以说是求这个小数的整数倍是多少。 如：2.3×5 表示求 5 个 2.3 的和是多少。也可以表示求 2.3 的 5 倍是多少。 知识点二 乘法的变化规律 ① 在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大（或缩小）a 倍，积也扩大（或缩小）a 倍。 ② 在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数扩大b 倍，积就扩大a×b 倍。 ③ 在乘法里，一个因数缩小a 倍，另外一个因数缩小b 倍，积就缩小a×b 倍。 知识点三 积不变规律 在乘法里，一个因数扩大 a 倍，另外一个因数缩小 a 倍，积不变。 知识点四 小数乘整数计算方法 ① 先把小数扩大成整数 ② 按整数乘法乘法法则计算出积 ③ 看被乘数有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ➃ 若积的末尾有 0 可以去掉 知识点五 小数乘小数的计算方法 ① 先把小数扩大成整数 ② 按整数乘法乘法法则计算出积 ③ 看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够，要在前面用 0 补足。 知识点六 小数四则混合 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同：同级运算，从左往右；两级运算，先乘除后加减；有括号的，先算括号里的。 乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法，应用这些运算定律，可以使计算简便。 乘法交换律 a×b=b×a 乘法结合律 (a×b)×c＝a×(b×c)乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c a×(b—c)=a×b — a×c 知识点七 积的近似数 保留 a 位小数，就看第 a+1 位，再用四舍五入的方法取值。 保留整数：表示精确到个位， 看十分位上的数；保留一位小数：表示精确到十分位，看百分位上的数；保留两位小数： 表示精确到百分位，看千分位上的数；…… ⭐ 按实际需要用“四舍五入法”保留一定的小数位数，求积的近似值。 知识点八 小数点位置移动引起小数大小变化的规律 ① 小数点位置移动引起小数大小变化的规律： 小数点向左移动一位、两位、三位……这个数就缩小到原来的 1/10 、 1/100 、 1/1000……小数点向右移动一位、两位、三位……这个数就扩大到原来的 10 倍、100 倍、1000 倍…… ② 小数点右移，位数不够时，要添“0”补位，小数点移动完后，整数最高位前边的“0”要去掉； 小数点左移，位数不够时，也用“0”补足，点上小数点，若整数部分没有数，用“0”表示，若小数末尾有 0，根据小数的性质，应把末尾的“0”去掉。 ③ 积的小数位数与乘数的小数位数的关系：在小数乘法中，两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数。 ➃ 积的近似值的求法：一般要先算了正确的积，再根据题目要求或生活习惯用“四舍五入” ⑤ 比较大小： 一个数乘以一个大于 1 的数，积大于它本身。例如：6.5×1.5＞6.5 一个数乘以一个等于 1 的数，积等于它本身。例如：6.5×1=6.5 一个数乘以一个小于 1 的数，积小于它本身。例如：6.5×0.9＜6.5 高频考点一 小数与整数的乘法与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西吕梁·期末）用竖式计算。 40－12.09＝        5.04×28＝ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·广东惠州·期末）苗苗家两个月的电话费和上网费缴费情况如下表，先把表填完整，再解决问题。 电话费 上网费 合计 4月 87.25元 41.7元 5月 74.80元 41.7元 （1）4月份的电话费比5月份多多少元？ （2）苗苗家全年的上网费是多少元？（上网费用每月固定） 高频考点二 小数点向右移动引起小数大小变化的规律 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）将小数5.24扩大到原来的10倍是( )；将小数36.8缩小到原来的( )（填分数）后是0.368。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西晋城·期末）某科研团队利用人工智能技术对一个游泳池进行虚拟建模分析。将游泳池的长和宽的小数点分别向左移动两位后，呈现出下图的数据，那么游泳池实际的长是( )米，宽是( )米。 高频考点三 小数点向左移动引起小数大小变化的规律 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西运城·期末）把36缩小到原来的( )是0.036；把9.7的小数点向右移动两位后是( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西汉中·期末）找规律填数。 (1)2.44，4.44，6.44，( )，( )。 (2)3300，330，33，( )，( )。 高频考点四 运用小数点移动解决小数的单位换算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽亳州·期末）10米20厘米＝( )米     1.82元＝( )元 ( )角( )分 207平方厘米＝( )平方分米    4千克31克＝( )千克 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）认真阅读下面材料，回答问题。 中国空间站的天和核心舱长16米6分米，重22.5吨，空间站在高速运动，速度达7.68千米/秒。北京时间2025年4月24日23时49分，神舟二十号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5小时。本次为径向端口对接，成功验证复杂构型下的径向快速交会对接技术，为未来空间站扩展任务积累经验。 (1)7.68是一个( )位小数，读作：( )；6在( )位上，这个小数百分位上的8表示( )个( )。 (2)16米6分米＝( )米    6.5小时＝( )分钟    22.5吨＝( )吨( )千克 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·江西景德镇·期末）不计算，能判断的计算结果错误的理由是（    ）。 ①积的小数部分的位数不对 ②积的末尾数字“4”与乘法口诀“二九十八”相矛盾 ③正确的结果应该比还要大 A．①、②和③ B．①和② C．①和③ D．②和③ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）根据53×15＝795，可以判断出下面算式正确的是（    ）。 A．5.3×15＝7.95 B．0.53×1.5＝7.95 C．5.3×0.15＝0.795 高频考点六 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽宿州·期末）与的积相等的算式是（    ）。 A．4 B．4 C．0 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）根据15×17＝255，在括号里填上正确的数。 15×1.7＝( )                   1.5×1.7＝( ) 高频考点七 小数与小数的乘法与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）列竖式计算。 9.85＋3.47＝                 4.63－2.78＝                37.9×1.4＝ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南开封·期末）某小学倡议“节约环保从我做起”。该学校6名少先队员利用课余时间对某早餐店一次性筷子的使用情况展开调查，发现这个早餐店第一周消耗筷子的钱数是78.5元，第二周消耗筷子的钱数是第一周的1.2倍，这个快餐店两个周一共消耗筷子的钱数是多少元？ 高频考点八 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2×0.5( )0.5    3.6米( )3米6分米    4.08( )4.80    7.86( )7.86×0.7 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 25克( )0.025千克   0.506( )0.65 7.26×1.2( )7.26   5.38×0.2( )5.38 高频考点九 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川成都·期末）生活中的数学。 租金说明 3分钟内归还免费 1.5元/0.5小时 注：①不足0.5小时按0.5小时计费 ②每24小时封顶30元 （1）2024年起，国家倡导“健康体重·一起行动”，实施“体重管理年”活动。乐乐一家在学跳操。经记录，乐乐本周跳操540分钟，妈妈本周跳操610分钟。妈妈本周跳操时长比爸爸的3倍少50分钟，爸爸本周跳操多少分钟？（用方程解） （2）乐乐一家周末在东安湖公园游玩，途中爸爸手机快没电了，于是租了一个充电宝。他当天忘记归还，等到周一才还。结果爸爸共租用充电宝24.6小时，他至少需要支付多少元？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川成都·期末）林老师从家出发，乘坐出租车到距离家14.6千米的体育馆观看足球比赛，下面是林老师所在城市的出租车收费标准，到达目的地后，林老师需要支付多少钱的车费？ 里程 收费 3千米及以内 10元（起步价） 超过3千米的部分 1.8元/千米（不足1千米按1千米计算） 高频考点十 小数的连乘运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北邯郸·期中）阳光小学开展“回收废纸再利用”活动，回收1千克废纸，可生产0.8千克再生纸。四（1）班有36人，如果每人回收2.5千克废纸，那么这个班回收的废纸能生产多少千克再生纸？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）脱式计算。 0.4×3.54×0.25        8.6＋1.4×2.6        11.7×4.3＋5.7×11.7        16.74＋5.0－6.74＋4.4 高频考点十一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西运城·期末）用你喜欢的方法计算。 15.6－5.6×1.8      12.5×9.7×0.8       0.4×99＋0.4      13.9－4.56＋6.1－5.44 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西吕梁·期末）脱式计算。（能简算的要写出简算过程） 12.8＋2.04×9.5            6.4×5.9＋3.6×5.9            2.6＋2.4×0.35 高频考点十二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·甘肃定西·期末）脱式计算，能简算的要简算。 0.7×101－0.7                 3.8×2.3＋0.38×77                0.125×4.7×8 12.5－1.68－2.32              8÷[4.92－（1.7＋1.22）]          9.8－（5.8＋1.32） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东惠州·期末）下面算式中，与8.8×1.25的结果不相等的是（    ）。 A．8×1.25＋0.8 B．（8×1.25）×1.1 C．8×1.25＋0.8×1.25 奥数拓展一 小数与整数的乘法与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南商丘·期中）脱式计算。（能简算的要简算）                                    【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·吉林长春·期末）有两只小蚂蚁同时从一个等腰三角形的顶点A出发（如图），分别沿两腰爬行。甲蚂蚁每秒爬行0.6分米，乙蚂蚁每秒爬行0.5分米，5秒后在D点相遇，这时BD的长度是1分米，则CD的长度是多少分米？ 奥数拓展二 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）班委去买奖品，1.8元的奖品买了25份，2.5元的奖品买了15份． （1）买这两种奖品一共花去多少元？ （2）他们带了100元，应找回多少元？ （3）余下的钱还想买20份0.8元的奖品，够吗？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小红把爸爸妈妈给的零用钱存放在小盒子里。两个月后，她用其中的一半去买练习本，后来又存入了8角4分，她又用其中比一半少8分的钱买了课外书籍，结果还剩下1元4角4分。问买练习本之前她共存了多少钱？ 奥数拓展三 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一根木料，第一次用去它的一半少0.8米，第二次用去剩下的一半多1.2米，最后还剩下2.7米，这根木料原来长多少米？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·山东烟台·期末）下面的算式是借助长方形的面积计算3.5×3.2的过程。仔细观察，少算了图中（    ）部分的面积。 3.5×3.2＝3×3＋0.5×3＋0.2×3 A． ① B．② C．③ D．④ B． 奥数拓展四 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）在里填上合适的数，使竖式成立。 奥数拓展五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）下面是两个小数a和b，这两个小数的和、积、商分别是多少？          ( ) ( ) ( ) 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·全国·专题练习）已知，，求a×b的值。 奥数拓展六 积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一块菜地（如图），如果长不变，宽增加到36米，扩大后的菜地面积比原来增加了多少平方米？ 依依：□ （平方米） 壮壮：□ （米） （平方米） （平方米） （1）上面是2个同学解决问题的过程，你认为谁的解法是正确的？请你在他们名字旁的□里画“√”。 （2）在你认为正确的解法中，你最喜欢谁的解法？请你用文字说明这种解法的思路。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）根据规律，直接写出其它算式的得数。 ①12345679×9＝111111111            ②12345679×18＝222222222            ③12345679×27＝333333333 ④12345679×36＝( )        ⑤12345679×45＝( )        ⑥12345679×54＝( ) ⑦12345679×( )＝999999999 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）下面各题与5.6×9.7的结果相等的算式是（    ）。 A．0.56×0.97 B．0.56×97 C．56×9.7 D．0.56×970 2．（24-25五年级上·四川成都·期中）已知A÷B＝2.14，如果A扩大到原来的10倍，B不变，那么商变为（    ）。 A．2.14 B．21.4 C．214 D．0.214 3．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）已知（△、口、○都不为0），△、口、○表示的三个数中最大的是（    ）。 A．△ B．口 C．○ 4．（24-25四年级下·广东佛山·期末）在下面的括号里填上合适的数。 3.9平方米＝( )平方分米                2千克50克＝( )千克 5．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.6×0.99( )3.6      1.5×1.01( )1.5       51×0.01( )51÷100 6．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）根据25×152＝3800，直接写出下面各题的得数。 25×15.2＝( )   0.0025×152＝( )    2.5×1.52＝( ) 7．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）把0.96的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，0.96就缩小到原来的。( )（判断对错） 8．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）3.25×2.7的积是三位小数。( )（判断对错） 9．（24-25四年级下·广东佛山·期末）脱式计算。 16－6.85－3.15        4.5×13.8－4.5×3.8            2.4×0.6＋1.5×0.8            4×5.63×2.5 10．（24-25四年级下·广东佛山·期末）竖式计算。 30－7.84＝                            2.05×4.3＝ 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．把两个小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是360° B．7.0与7.00的大小相等，意义不同 C．只有一组对边平行的图形是梯形 D．两个小数相乘，积一定比其中的一个小数大 2．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）如果a×0.2＝b×0.3（a，b都不等于0），则（    ）。 A． B． C． 3．（23-24四年级下·吉林长春·期末）2.□8×□.2是一个两位小数乘一位小数的算式，那么下面这些数中有可能是它得数的是（    ）。 A．32.516 B．6.36 C．7.296 4． （24-25四年级下·山西吕梁·期末） 2.7分＝( )元       1千克50克＝( )千克 1.4时＝( )分          6.25平方米＝( )平方分米 5．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）两个乘数的积是2.85，如果其中一个乘数扩大到原来的100倍，另一个乘数缩小到原来的( )，那么所得的积是( )。 6．（24-25四年级下·甘肃张掖·期末）一个数（0除外）的1.09倍比原来的数大。( )（判断对错） 7．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）脱式计算。 42.9－18.46－1.54            36.7×2.8＋3.67×72            8.8×6×12.5 8．（24-25四年级下·广东佛山·期末）响应顺德绿色制造倡议，推动节能减排，从企业做起，一起实现“节能增效”。某家电工厂将传统注塑机换成节能注塑机，每台每天可减少耗电0.18千瓦时，若工厂改造12台这样的设备，一个月（按30天算）可减少耗电多少千瓦时？ 9．（24-25四年级下·广东佛山·期末）“中国苹果看陕西，陕西苹果看洛川”，洛川苹果是陕西省著名水果品种，也是国家地理标志保护产品。 （1）妈妈在电商促销日购买了900克苹果，优惠了多少元？ 苹果（900克） 原价：25.90元 促销价：22.79元 （2）笑笑今天吃了300克苹果，笑笑摄入的糖量超标了吗？ 每100克苹果可食用部分 钠：1.7毫克 蛋白质：0.9克 糖：10.3克 营养学家建议：正常人每日摄入糖的总量应控制在30~40克，超过40克可能对健康不利。 10．买文具。 名称 书包 文具盒 彩笔 故事书 擦子 单价（元） 16.50 5.30 6.50 3.40 1.20 （1）张老师买5个文具盒，一共用多少元？ （2）小红买一个书包、一盒彩笔和3个擦子，共用去多少元？ （3）如果给你30元，买上面哪些物品，你能刚好全部用完？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $