（易错复习讲义）2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破（六大专题27个易错点）（苏教版）

2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级下册数学 （六大专题27个易错点） 目录 专题一扇形统计图 3 易错点1：对扇形统计图的特点认识错误。 3 易错点2：被扇形统计图中的表面信息迷惑、误导。 4 易错点3：不了解每种统计图的特点，选错统计图。 6 易错点4：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 7 易错点5：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 10 专题二圆柱和圆锥 13 易错点1：圆锥的特点认识错误。 13 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 15 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 16 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 17 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 19 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 20 专题三解决问题的策略 22 易错点1：策略选择不当，机械套用。 22 易错点2：画图策略运用错误。 23 易错点3：假设策略中的调整错误（“鸡兔同笼”变式）。 25 易错点4：列举策略不完整、无序列举。 26 专题四比例 28 易错点1：混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化。 28 易错点2：没有理解比例的概念,导致判断错误。 29 易错点3：对比例的基本性质理解不透彻，错误运用比例的基本性质解比例。 30 易错点4：用比例解实际问题时判断比例关系错误。 31 易错点5：比例尺相关问题混淆。 32 专题五确定位置 33 易错点1：错误判断方向。 33 易错点2：画图时混淆了观测点与被观测物体。 36 易错点3：描述简单的行走路线不完整。 39 专题六正比例与反比例 43 易错点1：对正比例关系中两种量理解有误。 43 易错点2：错误理解反比例的意义。 44 易错点3：对正比例图像认识不深刻。 45 易错点4：比例关系的实际应用错误。 47 专题一扇形统计图 易错点1：对扇形统计图的特点认识错误。 【易错专练1】甲、乙两个扇形统计图中女生都占65%，那么这两个扇形统计图表示的女生人数一定相等。（ ） 【易错专练2】用扇形统计图表示六年级的男、女生人数与总人数之间的关系，其中男生人数占整个圆的，女生人数占整个圆的。（ ） 【易错专练3】如图是甲、乙两个班男、女生人数分布统计图，我们可以说甲班的男生一定比乙班的男生人数多。（ ） 易错点2：被扇形统计图中的表面信息迷惑、误导。 【易错专练1】六年级一班收看学法交流类的学生有16人，约占总人数的20%。（每人只收看一类节目） （1）收看（    ）类节目的人数最多。 （2）收看音乐欣赏类的人数约占总人数的15%，收看音乐欣赏类的约有多少人？ 【易错专练2】为了环境保护，健康生活，社区提倡业主垃圾分类。张茹妈妈年前大扫除，清理生活垃圾情况如下图： （1）其他垃圾一共1.5千克，张茹妈妈本次清理生活垃圾一共多少千克？ （2）废纸的重量占生活垃圾总质量的百分之几？是多少千克？ （3）厨房垃圾的质量比废金属多百分之几？ 【易错专练3】如图是某校六年级全体学生某次数学竞赛成绩的统计图。 （1）这个统计图用整个圆表示 的人数。 （2）如果不及格人数比及格人数少40人，这个学校六年级一共有多少人？ 【易错专练4】便民超市周末促销，如图是香蕉、西瓜、苹果的销售情况统计图，其中西瓜售出450千克。 （1）三种水果一共售出多少千克？ （2）苹果售出多少千克？ 【易错专练5】下图是某果园2023年各种水果种植棵数统计图，根据统计图填空。 （1）如果果园种植总棵数是500棵，那么苹果树种植了（ ）棵，梨树种植了（ ）棵。 （2）如果橘子树种植了360棵，那么苹果树种植了（ ）棵，梨树种植了（ ）棵。 易错点3：不了解每种统计图的特点，选错统计图。 【易错专练1】要反映七月份每天商场出售的空调数量情况，应选用（    ）。 A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上均可 【易错专练2】想要清楚地反映各部分数量和总量的关系，最好用（    ）统计图。 A．扇形 B．条形 C．折线 D．以上均可 【易错专练3】下列情况最适合用扇形统计图表示的是（    ）。 A．学校每个兴趣小组的人数 B．小青从一年级到六年级的身高变化情况 C．李叔叔家各类支出占总支出的百分比 D．六（2）班同学参加体育测试的成绩 【易错专练4】为普及象群知识，了解成年野象一周的日食量情况应绘制（ ）统计图；想了解三十年来野象数量的增减变化情况应绘制（ ）统计图，要想了解野象在亚洲地区分布的百分比选用（ ）统计图比较合适。 【易错专练5】成都新安小学六一班同学到熊猫园参加了社会实践，他们想将了解到的情况用合适的统计图表示出来，要比较几只大熊猫一天的睡眠时长选用（ ）统计图，要了解大熊猫在我国各省的数量占比情况选用（ ）统计图。 易错点4：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 【易错专练1】《国家学生体质健康标准》六年级男生1分钟跳绳评分等级如下表。下面是甲乙两组各10名男生参加跳绳测试的成绩。（单位：次/分） 甲组：130，150，95，100，188，105，162，63，197，140 乙组：137，125，154，110，146，135，130，100，113，150 （1）按成绩段整理数据，并完成表格。 成绩段/次 不及格65以下 及格65~134 良好135~146 优秀147及以上 优秀率 甲组/人 乙组/人 （2）我认为（ ）组男生跳绳成绩更好，依据是 。 【易错专练2】某新兵排在一次实弹射击训练中，每人射击5发子弹，成绩如下。（单位：环） 28 37 38 37 36 38 32 41 35 30 34 37 34 42 40 39 38 39 43 36 （1）根据上表中的数据，分段统计，填入下表。 成绩段/环 40及40以上 36~39 32~35 31及31以下 人数 （2）如果成绩达到40环的为优秀，那么这次训练成绩的优秀率是多少？ （3）人数最多的成绩段是（    ）环，人数最少的成绩段是（    ）环。最多的比最少的多百分之几？ 【易错专练3】下面是四（1）班男生的身高记录。（单位：cm） 130  129  128  130  135  136  139  126  144  137 140  127  134  133  143  133  136  138  134  136 128  135  139  124  138  125  142  130  138  141 （1）我会整理数据。 身高段/cm 120~124 125~129 130~134 135~139 140~144 人数 6 5 （2）根据数据完成统计图。 （3）如果130cm及以上身高为达标，那么该班男生身高的达标率约是（    ）。 【易错专练4】下面记录的是某校四（2）班同学立定跳远的成绩（均为整数厘米）。（单位：厘米） 110  146  140  147  131  135  127  159  143  132 119  124  143  139  132  142  143  150  138  145 130  152  155  122  136  140  133  144  129  129 （1）完成下表。 成绩段/厘米 110～119 120～129 130～139 140～149 150～159 人数/人 （2）成绩段在（    ）厘米的人数最多，在（    ）厘米的人数最少。 （3）李军的跳远成绩在四（2）班排名第八，他跳远的成绩在哪个成绩段内？ 【易错专练5】六年级各班举办英语听写比赛，六（1）班和六（2）班得奖选手的成绩如下。（单位：分） 六（1）班：84  83  82  94  89  87  80  97  89  91  80  82  81  84  85 六（2）班：85  84  81  88  90  96  92  86  89  93  82  81  98  86  84 （1）六（1）班得奖选手中特等奖有1名，一等奖有2名，二等奖有4名，三等奖有8名，请你写出各奖项的分数档。 奖项 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 分数档/分 （2）请按上面的分数档分段整理数据，并制成条形统计图。 分数段/分 六（1）班/人 六（2）班/人 （3）说说你认为哪个班得奖选手的比赛成绩好些，并说明理由。 易错点5：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 【易错专练1】下图是2024年下半年甲、乙两家专卖店扫地机器人销售量统计图，看图回答问题。 （1）甲、乙两家专卖店（ ）月份扫地机器人销售量相差最少，相差（ ）台。 （2）7月份，甲专卖店的销售量比乙专卖店多百分之几？（请列式计算） 【易错专练2】根据统计图回答问题。 （1）羊毛衫的销售量在______月最大，衬衫的销售量在_____月最小； （2）在这幅统计图上，衬衫与羊毛衫的销售量在_____月时，差距最小； （3）由上图可知，衬衫与羊毛衫的销售量随着季节的变化而变化，请说明去年7－12月衬衫与羊毛衫的销售量的变化规律？ 【易错专练3】甲乙两名同学在一次投篮训练中的成绩如图所示。 ①第（    ）次投篮中两人投中个数相同。 ②甲的单次最好成绩比乙的单次最好成绩高出百分之几？ ③谁的平均成绩更好？ 【易错专练4】下面是A、B两市2008年上半年降水量情况统计图。 （1）（    ）月份两个城市的降水量相差最大。 （2）（    ）月份两个城市的降水量最接近，相差（    ）毫米。 （3）A市上半年平均每月降水（    ）毫米。 （4）B市第一季度平均每月降水（    ）毫米。 【易错专练5】营山某凉面店记录了最近一周两种特色凉面的销量（单位：碗），数据如下： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 营山凉面 110 120 115 125 150 160 155 鸡丝凉面 90 80 92 85 120 130 115 （1）根据上表数据，在上图中绘制两种特色凉面销量的折线统计图。 （2）两种特色凉面总销量最高的是星期（    ），星期（    ）总销量比前一天增加的最多。 （3）观察复式折线统计图，你有什么发现？ 专题二圆柱和圆锥 易错点1：圆锥的特点认识错误。 【易错专练1】下面的图形中，是圆柱体的在图形下面的括号里画“”，是圆锥体的在图形下面的括号里画“” （    ）      （    ）         （    ）          （    ）      （    ）         （    ） 【易错专练2】海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 【易错专练3】一个底面直径为8cm的圆锥（如图），从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72cm2。这个圆锥的高是（ ）cm。 【易错专练4】如图，圆锥的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米，底面周长是（ ）厘米。 【易错专练5】如图，圆锥的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米，底面周长是（ ）厘米。 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【易错专练1】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【易错专练2】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【易错专练3】塑料大棚是一种用覆盖塑料薄膜搭成的拱形棚，供栽培蔬菜，被誉为中国农产品产量出现革命性增长的主要功臣。下面塑料大棚长20米，两端各是一个直径6米的半圆形，搭建这个塑料大棚大约用了（    ）平方米的塑料薄膜。 A．216.66 B．244.92 C．433.32 【易错专练4】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【易错专练5】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【易错专练1】把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的9倍。（ ） 【易错专练2】把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的9倍。（ ） 【易错专练3】一个圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的体积就扩大4倍。（ ） 【易错专练4】一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。（ ） 【易错专练5】一个长方体和一个圆锥的底面积和高都相等，这个长方体的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【易错专练1】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【易错专练2】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【易错专练3】如图，李师傅把一个棱长为3分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，要削去（ ）立方分米的木头，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要削去（ ）立方分米的木头。（结果用π表示） 【易错专练4】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 【易错专练5】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【易错专练1】一个圆柱体油箱，从里面量直径是40厘米，高是60厘米。 （1）做这样一个油桶，至少需用铁皮多少平方分米？ （2）如果1升汽油重0.85千克，这个油桶可装汽油多少千克？（得数保留整千克数） 【易错专练2】一个圆锥形沙堆，底面半径2米，高1.5米，用这个沙堆在8米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【易错专练3】李师傅用白铁皮制作直径10厘米、长12分米的烟囱。制作25节需要白铁皮多少平方分米？（接缝处按1厘米计算） 【易错专练4】压路机的滚筒是圆柱形，底面直径1米，轮宽15分米。前轮滚动两周，压过路面的面积是多少平方米？ 【易错专练5】每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。天星小学计划给校园的50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克石灰水，要求树干刷白的高度为1.2米。这批大树的平均直径是20厘米，至少需要多少克石灰水？ 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【易错专练1】把一个高是40厘米的圆柱锯成两个完全相同的小圆柱，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【易错专练2】把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【易错专练3】一根圆木长1.5米，如果把它截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米。每段小圆木的底面半径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【易错专练4】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。 【易错专练5】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 专题三解决问题的策略 易错点1：策略选择不当，机械套用。 【易错专练1】一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子。车棚里放着自行车和三轮车共8辆，数数车轮共有18个。问：自行车有几辆，三轮车有几辆？ 【易错专练2】五（1）班同学去植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，第一小组8人一共种了21棵树，这个小组男生和女生各有几人？ 【易错专练3】董宇辉到新疆助农直播，当地农民用四轮拖拉机和三轮小货车共32辆运送农产品，两种车的轮子共有108个，你能算一算四轮拖拉机和三轮小货车各有多少辆吗？（可以选择你喜欢的方法计算） 【易错专练4】运动公园出租两人自行车和四人自行车供游客骑行观光。五年级有70名同学到公园秋游，租用了两种自行车共25辆，所有座位恰好坐满，两种自行车各租了多少辆？ 【易错专练5】张老师购入了一台电车，充电主要有两种方式：使用家用充电桩，每次充电费15元；使用户外快充充电桩，每次充电费30元。这个月张老师的电车一共充电12次，充电总花费为240元。请问，这个月张老师使用家用充电桩充电多少次？使用户外快充充电桩多少次？ 易错点2：画图策略运用错误。 【易错专练1】某电子厂现在生产一批电脑，按3∶2∶1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间。已知甲车间要生产270台，则乙、丙两个车间分别要生产多少台？（先画图表示题意，再解答） 【易错专练2】一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答） 上衣： 裤子： 【易错专练3】观光果园是集果品生产、休闲旅游、科普示范、娱乐健身于一体的新型果园。一家观光果园里梨树的棵数是桃树棵数的，是苹果树棵数的。已知苹果树比桃树多160棵，则梨树、桃树、苹果树各有多少棵？ 【易错专练4】松树棵数是柏树棵数的，松树比柏树少48棵。松树和柏树各有多少棵？（先完成下面的线段图，再解答） 【易错专练5】两个仓库共有货物840吨。从甲仓库取出的货物放入乙仓库，两个仓库的货物就一样多，原来两个仓库各有货物多少吨？（先把线段图补充完整，再解答） 易错点3：假设策略中的调整错误（“鸡兔同笼”变式）。 【易错专练1】游乐场在周六这天售出成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，周六这天售出成人票多少张？ 【易错专练2】在校园爱心义卖会上，五（1）班“爱心小铺”售卖的柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元。活动结束时，30杯饮料全部卖完，收银盒里共收到爱心款项126元。柠檬水和水果茶各卖了多少杯？ 【易错专练3】足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【易错专练4】《西京杂记》记载：“扑满者，以土为器，以蓄钱具，其有入窍而无出窍，满则扑之。”这里的“扑满”指的是存钱罐。思思也有存钱的习惯，她的存钱罐里有50元和20元的纸币共18张，总共600元。50元和20元的纸币各有多少张？ 【易错专练5】为响应国家住建部《生活垃圾分类制度实施方案》要求，某社区全面推行“绿色账户”积分管理制度。小区规定：每次正确投放垃圾可获得8个积分，错误投放垃圾倒扣3个积分。小明家6月份一共投放垃圾30次，共获得185积分，小明家6月份正确投放垃圾多少次？ 易错点4：列举策略不完整、无序列举。 【易错专练1】乐乐家用大小两种袋子装104千克大米，一共用了10个袋子。每个大袋子能装12千克，每个小袋子能装8千克，大袋子和小袋子各用了多少个？（用列表法解决） 大袋子/个 小袋子/个 大米总质量/千克 【易错专练2】一场篮球比赛，淘气投中了11个球（全部是两分球或三分球），一共得了25分。他分别投中了多少个两分球和三分球？请你用列表的方法解决问题。 两分球/个 三分球/个 总得分 答：______________________________。 【易错专练3】米脂是陕北地区唯一荣获“中国千年古县”称号的县区，文化积淀深厚，旅游资源丰富。王导游用960元买了20张景点门票，其中一部分是半价的儿童票，一部分是60元一张（全价）的成人票。成人票和儿童票各有多少张？ 【易错专练4】实验小学48名同学们去东湖划船，湖边有两种船，大船限乘6人，小船限乘4人。他们一共租了9条船，刚好都坐满。大船、小船各租了多少条？（用列表法解答） 【易错专练5】今年植树节李叔叔花了734元买了茶树和楠木两种树苗，一共56棵，茶树苗每棵16元，楠木苗每棵7元。茶树苗和楠木苗分别有多少棵？ （1）请写出列表解答的过程，并在括号里填写得数。 树苗总数/棵 茶树/棵 楠木/棵 总价/元 答：茶树苗买了（    ）棵，楠木苗买了（    ）棵。 （2）现在，李叔叔发现7棵树苗没有成活，没有成活的占树苗总数的几分之几？成活的占树苗总数的几分之几？（请用最简分数表示） 专题四比例 易错点1：混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化。 【易错专练1】把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是（    ）。 A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的 D．周长扩大到原来的4倍 【易错专练2】长方形的长是4cm，宽是3cm，把它按2∶1的比变化，变化后图形面积是（    ）。 A．12cm2 B．24cm2 C．6cm2 D．48cm2 【易错专练3】一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，得到的图形的面积是（    ）cm2。 A．32 B．72 C．128 D．256 【易错专练4】把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是（ ）；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是（ ）。 【易错专练5】一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 易错点2：没有理解比例的概念,导致判断错误。 【易错专练1】下面哪一个数不能和0.75、2、组成比例。（    ） A． B． C．0.25 D． 【易错专练2】当＝（    ）时，能组成比例。 A．1 B．无法确定 C． D． 【易错专练3】下面各组中的两个比能组成比例的是（    ）。 A．24∶10和46∶18B．11∶33和22∶66C．0.8∶5和16∶25 D．0.4∶0.2和 【易错专练4】在比例中，两个比的比值是最小的质数，这个比例的两个内项分别是8.4和6，这个比例可能是（ ）。 【易错专练5】把6×8＝16×3改写成4个比例：6∶3＝（ ），3∶8＝（ ），16∶6＝（ ），3∶6＝（ ）。 易错点3：对比例的基本性质理解不透彻，错误运用比例的基本性质解比例。 【易错专练1】有2.5、4和10这三个数，再添上一个数，就可以组成一个比例，添上的数不能是（    ）。 A．1 B．1.6 C．6.25 D．16 【易错专练2】一个比例的两个外项的积是最小的合数，一个内项是，另一个内项是（ ）。 【易错专练3】解比例。 0.6∶4＝2.4∶x         【易错专练4】解方程。 14.4∶＝18∶5                       【易错专练5】解方程或比例。 ＝            ＝∶                         ÷＝ 易错点4：用比例解实际问题时判断比例关系错误。 【易错专练1】王阿姨冲了两杯浓度一样的牛奶，第一杯用了40克奶粉和160克水；第二杯用了200克的水，第二杯放了多少克奶粉？（用比例解） 【易错专练2】果园里的桃树和苹果树棵数的比是5∶6，其中桃树有90棵，苹果树有多少棵？（用比例解答） 【易错专练3】小明家这个月用电106度，电费是63.6元，小英家这个月用电95度，小英家这个月的电费是多少元？（用比例知识解答） 【易错专练4】商场里甲、乙两款电子手表的价格比是5∶3，它们都打相同的折扣，折后甲款手表降价175元，乙款手表降价多少元？ 【易错专练5】一个书架上摆着两层书，如果从上层拿走20%，下层拿走25%后，上下两层剩下的图书数之比为2∶3，已知书架的上层原来有60本书，这个书架的下层原有多少本书？ 易错点5：比例尺相关问题混淆。 【易错专练1】兰新高铁（兰州——乌鲁木齐）是世界第一条高原高铁，在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得它的图上距离约是36厘米。这条高铁的实际距离是多少千米？ 【易错专练2】“天上瑶池，人间九寨”，是对九寨沟美景的高度赞美。家住重庆的米妮，在比例尺是1∶2500000的地图上，量得重庆到九寨沟的距离约24厘米，如果米妮的爸爸以80千米/时的速度自驾去九寨沟，多长时间可以到达？ 【易错专练3】青岛地铁1号线海底隧道是国内最深的海底隧道和最长的地铁海底隧道。在一幅比例尺是1∶100000的地图上，量得它的全长为8.1厘米；在另一幅比例尺是1∶90000的地图上，量得它的全长为多少厘米？ 【易错专练4】李白诗中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的大致意思是乘舟从白帝城到江陵一天就到了。华华为了验证李白是否“撒谎”，找到了一幅比例尺为1∶4000000的地图，量得从白帝城到江陵的距离约是15cm。假设船的速度为30千米/时，那么李白“撒谎”了吗？请通过计算说明。（一天记为24时） 【易错专练5】某校为了开展劳动教育，把一块三角形土地开辟成菜地，该三角形菜地底是75米，高是60米，把它画在比例尺是1∶500的平面图上，这个三角形菜地的图上面积是多少平方厘米？ 专题五确定位置 易错点1：错误判断方向。 【易错专练1】如图，以学校为观测点，图书馆在学校北偏东方向1200米处，那么图书馆的位置在点（    ）处。 A．M B．O C．P 【易错专练2】小明在小红南偏东方向20米处，小红在小明的（    ）。 A．南偏西 20米处 B．北偏东方向20米处 C．北偏西 20米处 D．北偏西方向20米处 【易错专练3】我国北斗卫星显示：台风中心位于A市北偏西25°方向，则A市位于台风中心（    ）方向。 A．北偏西25° B．南偏东65° C．西偏北25° D．东偏南65° 【易错专练4】一架飞机从某机场向南偏东40°方向飞行了1800千米，原航道返回时，要向（    ）。 A．北偏东40°方向飞行1800千米 B．南偏西40°方向飞行1800千米 C．北偏西40°方向飞行1800千米 D．南偏东40°方向飞行1800千米 【易错专练5】下图中点A、B、C为某部队军事演习区域，三点构成一个边长约400km的等边三角形，则B点在A点（    ）。 A．东偏北60°400km处 B．东偏北30°400km处 C．西偏南30°400km处 D．南偏西30°400km处 【易错专练6】在军事和医学上，人们通常将时钟和方向结合起来，用几点钟方向形象直观地描述物体的位置。结合钟面想一想，如果12点钟方向表示正北方，那么5点钟方向就是（ ）偏（ ）（ ）°方向。 【易错专练7】如图，以灯塔为观察点，B岛在（ ）偏（ ）60°的方向上，距离是（ ）千米。 【易错专练8】一架朝北偏东30°方向飞行的飞机，接到指挥塔发出的指令：“前方有不明飞行物，请立即返航”。返航的飞机应该朝（ ）偏（ ）（ ）°方向飞行。 易错点2：画图时混淆了观测点与被观测物体。 【易错专练1】淘气和笑笑相约到博物馆参观。淘气从家出发向北步行约2千米到达博物馆；笑笑家在博物馆北偏东方向3千米处，请在图中表示出淘气家和笑笑家的位置。 【易错专练2】周日，果果去游乐园玩，根据描述在图中表示出游乐设施的位置。 海盗船在摩天轮北偏西45°方向800米处，碰碰车在摩天轮南偏东70°方向1200米处，旋转木马在摩天轮南偏西30°方向400米处。 【易错专练3】根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）图书馆在火车站的北偏西60°方向8km处。 （2）文文家在火车站的东偏南45°方向6km处。 （3）湖心公园在火车站的南偏西25°方向4km处。 【易错专练4】红兴谷研学营地举行“三军协同”作战模拟演习。请你作为总指挥，在指挥中心（军工智慧馆）完成以下部署： 陆军阵地：位于指挥中心的北偏东50°方向，距离750米。 海军舰队（旅顺号护卫舰）：位于指挥中心的南偏西35°方向，距离600米。 空军基地（无人机平台）：位于指挥中心的东偏南40°方向，距离450米。 请在下图中准确标出三支队伍的位置。 【易错专练5】在平面图上标出各个地点的位置。 （1）小明家在学校的正西方向900米处。 （2）电影院在学校的东偏北45°方向600米处。 （3）邮局在小明家的西偏北30°方向1200米处。 【易错专练6】航模小组用3架航模飞机进行模拟飞行，它们的位置如图。 （1）②号机在①号机的（ ）偏（ ）（ ）°方向上，距离是（ ）m。 （2）③号机在②号机的北偏西20°方向上，距离是20m。根据描述，在图中用“·”标出③号机的位置。 【易错专练7】图书馆在教学楼的西北方200米处。体育馆在教学楼的东南方100米处。 （1）按1∶10000的比例尺在图中标出图书馆和体育馆的位置。 （2）请用一句话说明图书馆和体育馆所处的位置关系。 【易错专练8】请根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）凉亭在街心花园的北偏东40°方向500米处。 （2）文化宫在街心花园的东偏南30°方向600米处。 （3）银行在街心花园的西偏北45°方向400米处。 易错点3：描述简单的行走路线不完整。 【易错专练1】六年级同学要在梅园开展“赏梅探知”活动，需规划路线。以入口为起点，路线如下：入口（北偏西35°，100米）粉梅坡（东偏北25°，150米）梅文化长廊（正西方向，200米）出口。 （1）根据上面的描述，把六一班学生赏梅的路线图画完整。 （2）根据路线图，写出六一班学生从出口返回入口的路线。 （3）如果从终点返回起点用了30分钟，六一班学生返回时的平均速度是多少？ 【易错专练2】 （1）如图，小蚂蚁从点A出发，先向北偏东（    ）方向爬2cm到达点B，接着又向（    ）偏（    ）方向爬2cm到达点C。 （2）小蚂蚁接着又向南偏西方向爬2cm到达点D，最后沿直线回到点A。请你根据描述补画小蚂蚁的爬行路线。 （3）以点C为圆心，BC为半径，画一个圆。 【易错专练3】人工智能给人们生活带来了方便。这是小康社区快递站的智能机器人行走路线图。 （1）智能机器人从快递站出发，向（ ）方向行走（ ）米可以到达A栋。从A栋出发，向（ ）方向行走（ ）米可以到达B栋。 （2）C栋位于B栋南偏东30°、距B栋15米的位置上。请你在图上画出C栋的位置。 【易错专练4】下图是小强家与学校的位置示意图，根据要求回答问题。 （1）社区医院在学校的东偏南50°方向300m处。请在图中画出社区医院的位置。 （2）小强说：“放学后，我从学校出发，沿着南偏西30°方向走400m就到家了。”你认为小强描述的回家路线正确吗？（    ）（括号里填“正确”或“不正确”）。如果不正确，请在下面写出正确的回家路线。 正确的回家路线是：_____________________________。 【易错专练5】星期天，亮亮从家出发，先向西偏北30°方向走300m到达邮局，然后向南偏西60°方向走400m到达超市，最后向北偏西45°方向走100m到达图书馆。 （1）根据上面的描述，在图中画出亮亮去图书馆的路线。 （2）亮亮在图书馆看完书后沿原路回家，请你写一写他回家的路线。 （3）城市规划中，亮亮家附近有一个半径为100m的圆形荷花池，请你在下图中用圆规画出这个圆形的荷花池，并用标出荷花池的圆心、半径、直径。 【易错专练6】同学们参加夏令营，老师说从宿舍向北偏西60°方向走50米处是卫生间，再向正西方向走100米到达训练场，再向南偏西45°方向走150米到达食堂。 （1）根据老师的叙述，在上图中画出各场所的位置。 （2）同学们在食堂吃完饭后，经过训练场和卫生间最后返回宿舍，写出他们返回时的路线。 （3）如果同学们从宿舍经过卫生间和训练场到达食堂再原路返回一共用时10.8分钟并且返回时间与去时的时间之比为5∶4，那么去时用了多少分钟？ 专题六正比例与反比例 易错点1：对正比例关系中两种量理解有误。 【易错专练1】以下（    ）中的两种量成正比例。 A．一个人的身高和年龄 B．速度一定，行驶的时间和总路程 C．做题的时间一定，做每道题所用的时间与做题的数量 【易错专练2】x和y表示两种相关联的量，同时5x－7y＝0，x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【易错专练3】下面有关正方体的一些量，成正比例关系的一组是（    ）。 A．体积与棱长 B．表面积与棱长 C．底面积与表面积 【易错专练4】下面表示x和y（均不为0）成正比例的式子是（    ）。 A．x＋y＝12 B．x－y＝12 C．xy＝12 D．x∶y＝12 【易错专练5】圆柱的高一定。圆柱的体积与（    ）成正比例。 A．底面周长 B．底面半径 C．底面面积 D．底面直径 易错点2：错误理解反比例的意义。 【易错专练1】下面各题中两种相关联的量成反比例的是（    ）。 A．长方形的长和宽 B．圆的周长一定，直径和 C．三角形面积一定，它的底和高 D．正方体的表面积和底面积 【易错专练2】下列选项中，说法错误的是（    ）。 A．三角形面积一定，底与高成反比例 B．一个人的年龄与体重成正比例 C．购买苹果的单价一定，数量与总价成正比例 D．工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例 【易错专练3】如果A与B成正比例，B与C成反比例，那么A与C（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【易错专练4】下面三个关系式中，x和y成反比例关系的是（    ）。（x，y均不为0） A．（x＋1）y＝8 B． C． 【易错专练5】商品的总价、商品的单价、商品的数量这三种相关联的量中，当（    ）一定时，其他两种量成反比例。 A．商品的总价 B．商品的单价 C．商品的数量 D．无法确定 易错点3：对正比例图像认识不深刻。 【易错专练1】下图是关于（    ）的图象。 A． B． C． D． 【易错专练2】下图描述了某游泳池进水管打开后的进水情况，按图中的速度给这个游泳池注水750m3，一共需要（    ）分钟。 A．25 B．50 C．75 D．150 【易错专练3】如图表示两个相关联变量的关系，这两个变量可能是（    ）。 A．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和地砖的块数 B．某班今天的出勤人数和缺勤的人数 C．工程队修一条路，平均每天修路的长度和所需的天数 D．笔记本的单价一定，购买笔记本的数量和所用的总钱数 【易错专练4】如图所示的图象表示甲、乙两辆汽车行驶的时间和路程情况。 （1）甲汽车的速度是（ ）千米/分，乙汽车的速度是（ ）千米/分。 （2）行驶12km路程，甲汽车比乙汽车少用（ ）分钟。 （3）两车同时出发，8分钟后甲汽车比乙汽车多行（ ）km。 【易错专练5】下图是甲、乙两个水龙头打开后的出水量情况对比。 （1）水龙头的出水量和打开时间成（ ）比例关系。 （2）从图像上看，流量更大的水龙头是（ ）。 （3）甲水龙头打开40分钟的出水量是（ ）升；乙水龙头出水8升时用时大约（ ）分钟。 易错点4：比例关系的实际应用错误。 【易错专练1】可可妈妈要用方砖铺地。用边长4分米的方砖铺需要90块，如果改用面积36平方分米的方砖需多少块？（用比例知识解答） 【易错专练2】制作一种饮品，每200克的水中需要加入40克的原浆，按照这样的比例计算，如果有1500克的水，需要准备多少克的原浆？（列比例解答） 【易错专练3】邢氏刺绣是河北省级非物质文化遗产。某同学在尝试刺绣时需要购买一种丝线，丝线长度和应付金额如下表。 长度/m 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 24 48 72 96 120 … （1）判断这种丝线的长度和应付金额是否成正比例，并说明理由。 （2）300元可以买多少米这种丝线？购买35m这种丝线需要多少元？ 【易错专练4】一辆汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 （1）写出行驶路程和时间的比，填在表中。 （2）根据上面的结果写出两个比例。 （3）算一算：行驶60分钟，小汽车行驶多少千米？ 【易错专练5】同学们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？ （1）用列表法整理题中的信息和所求问题。 每行站的人数 站的行数 （2）题目里相关联的两种量是（                 ）与（                 ）。 （3）根据“同学们做操”可知，（    ）是一定的，也就是说每行站的人数与站的行数的（    ）一定，因此这两种相关联的量成（    ）比例关系。 （4）请你用比例知识解答。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级下册数学 （六大专题27个易错点） 目录 专题一扇形统计图 3 易错点1：对扇形统计图的特点认识错误。 3 易错点2：被扇形统计图中的表面信息迷惑、误导。 4 易错点3：不了解每种统计图的特点，选错统计图。 8 易错点4：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 11 易错点5：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 18 专题二圆柱和圆锥 24 易错点1：圆锥的特点认识错误。 24 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 27 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 30 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 33 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 36 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 39 专题三解决问题的策略 43 易错点1：策略选择不当，机械套用。 43 易错点2：画图策略运用错误。 46 易错点3：假设策略中的调整错误（“鸡兔同笼”变式）。 50 易错点4：列举策略不完整、无序列举。 53 专题四比例 58 易错点1：混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化。 58 易错点2：没有理解比例的概念,导致判断错误。 60 易错点3：对比例的基本性质理解不透彻，错误运用比例的基本性质解比例。 63 易错点4：用比例解实际问题时判断比例关系错误。 67 易错点5：比例尺相关问题混淆。 69 专题五确定位置 71 易错点1：错误判断方向。 71 易错点2：画图时混淆了观测点与被观测物体。 75 易错点3：描述简单的行走路线不完整。 83 专题六正比例与反比例 90 易错点1：对正比例关系中两种量理解有误。 90 易错点2：错误理解反比例的意义。 92 易错点3：对正比例图像认识不深刻。 95 易错点4：比例关系的实际应用错误。 99 专题一扇形统计图 易错点1：对扇形统计图的特点认识错误。 【易错专练1】甲、乙两个扇形统计图中女生都占65%，那么这两个扇形统计图表示的女生人数一定相等。（ ） 【答案】× 【分析】虽然在两个扇形统计图甲和乙中，女生都占65%，但是甲、乙两个扇形统计图所表示总人数不一定相同。据此判断。 【解答】由分析可得：因为甲、乙两个扇形统计图所表示总人数不一定相同，例如扇形统计图甲表示100人，则表示的女生人数为100×65%＝65（人），扇形统计图乙表示200人，则表示的女生人数为200×65%＝130（人）。 所以甲乙两个扇形统计图表示的女生人数不一定相等，所以原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练2】用扇形统计图表示六年级的男、女生人数与总人数之间的关系，其中男生人数占整个圆的，女生人数占整个圆的。（ ） 【答案】× 【分析】六年级人数只有男生、女生，把男生、女生人数之和看作一个整体，用一整个圆的面积表示，即男、女生人数所占的分率之和是100%。 【解答】 男、女生人数之和不可能大于 原题说法错误。 故答案为：× 【点评】用整个圆的面积表示一个整体，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，各部分表示的分率之和是100%。 【易错专练3】如图是甲、乙两个班男、女生人数分布统计图，我们可以说甲班的男生一定比乙班的男生人数多。（ ） 【答案】× 【分析】根据扇形统计图的特点：扇形统计图是用整个圆的面积表示总量，用圆内的扇形面积表示各部分量占总量的百分比；据此结合部分量判断即可。 【解答】已知部分量与总量的百分比，不知道具体的总量和部分量，只知道百分比，没法求出甲乙两班总人数和男生人数，也就没法比较两班的男生人数。所以说原题说法错误。 故答案为：× 【点评】本题考查的目的是理解并掌握扇形统计图的特点及作用，并能根据统计图提供的信息，解答实际问题。 易错点2：被扇形统计图中的表面信息迷惑、误导。 【易错专练1】六年级一班收看学法交流类的学生有16人，约占总人数的20%。（每人只收看一类节目） （1）收看（    ）类节目的人数最多。 （2）收看音乐欣赏类的人数约占总人数的15%，收看音乐欣赏类的约有多少人？ 【答案】（1）故事天地 （2）收看音乐欣赏类的约有12人。 【分析】（1）已知收看学法交流类的人数约占总人数的20%，收看音乐欣赏类的人数约占总人数的15%，从扇形统计图可知，收看故事天地类的人数占比大于收看学法交流类的人数占比所以收看故事天地类的人数最多； （2）已知收看学法交流类的有16人，约占总人数的20%，根据“已知一个数的百分之几是多少求这个数用除法”，可求出总人数。收看音乐欣赏类的人数约占总人数的15%，根据“求一个数的百分之几是多少用乘法”，可求出收看音乐欣赏类的人数。 【解答】（1）收看故事天地类节目的人数最多。 （2）（人） （人） 答：收看音乐欣赏类的约有12人。 【易错专练2】为了环境保护，健康生活，社区提倡业主垃圾分类。张茹妈妈年前大扫除，清理生活垃圾情况如下图： （1）其他垃圾一共1.5千克，张茹妈妈本次清理生活垃圾一共多少千克？ （2）废纸的重量占生活垃圾总质量的百分之几？是多少千克？ （3）厨房垃圾的质量比废金属多百分之几？ 【答案】（1）10千克   （2）30%；3千克   （3）20% 【分析】（1）由题意可知，把生活垃圾的总量看作单位“1”，已知其他垃圾有1.5千克，占总量的15%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，可得垃圾总数。 （2）用1减除废纸外的垃圾对应的百分率可得废纸对应的百分率，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用垃圾总数乘废纸对应的百分率即可得解。 （3）根据题意，将废金属看作为单位“1”，根据求一个数比另一个数多百分之几，用多的数量除以另一个数，可用厨房垃圾的质量的百分比减废金属的百分比的差再除以废金属的百分比，即可得解。 【解答】（1）（千克） 答：张茹妈妈本次清理生活垃圾一共10千克。 （2） （千克） 答：废纸的重量占生活垃圾总质量的30%，是3千克。 （3） 答：厨房垃圾的质量比废金属多20%。 【易错专练3】如图是某校六年级全体学生某次数学竞赛成绩的统计图。 （1）这个统计图用整个圆表示 的人数。 （2）如果不及格人数比及格人数少40人，这个学校六年级一共有多少人？ 【答案】（1）六年级全体学生 （2）200人 【分析】（1）这是一个扇形统计图，用整个圆表示这个学校六年级总人数。 （2）把六年级总人数看作单位“1”，用单位”1“减去优、良、及格人数所占的百分率就是不及格人数所占的百分率，再用减法计算出不及格人数比及格人数少占总人数的百分率，再用除法计算即可。 【解答】（1）这个统计图用整个圆表示六年级全体学生的人数。 （2）1－30%－40%－25%＝5% 40÷（25%－5%） ＝40÷0.2 ＝200（人） 答：这个学校六年级一共有200人。 【易错专练4】便民超市周末促销，如图是香蕉、西瓜、苹果的销售情况统计图，其中西瓜售出450千克。 （1）三种水果一共售出多少千克？ （2）苹果售出多少千克？ 【答案】（1）1000千克；（2）250千克 【分析】（1）把三种水果一共售出的总数看作单位“1”，已知售出西瓜450千克，对应的百分率是45%，用售出西瓜的数量除以所对应的分率就是三种水果一共售出的数量； （2）把三种水果一共售出的总数看作单位“1”，用单位“1”减去香蕉所占的百分率减去西瓜所占的百分率就是苹果所占的百分率，再用三种水果一共售出的数量乘苹果所占的百分率就是苹果售出多少千克。 【解答】（1）450÷45%＝1000（千克） 答：三种水果一共售出1000千克。 （2）1000×（100%－30%－45%） ＝1000×（70%－45%） ＝1000×25% ＝250（千克） 答：苹果售出250千克。 【易错专练5】下图是某果园2023年各种水果种植棵数统计图，根据统计图填空。 （1）如果果园种植总棵数是500棵，那么苹果树种植了（ ）棵，梨树种植了（ ）棵。 （2）如果橘子树种植了360棵，那么苹果树种植了（ ）棵，梨树种植了（ ）棵。 【答案】（1）240 140 （2）720 420 【分析】（1）把果园种植果树总棵数看作单位“1”，苹果树种植棵数占总棵数的48%，用果树总棵数×48%，求出苹果树种植棵数；梨树种植棵数占总棵数的28%，用果树总棵数×28%，求出梨树种植棵数； （2）把果园种植果树的总棵数看作单位“1”，橘子树种植棵数占总棵数的24%，对应的是橘子种植棵数360棵，求单位“1”，用360÷24%，求出总棵数，苹果树种植棵数占总棵数的48%，用总棵数×48%，求出苹果树种植棵数；梨树种植棵数占总棵数的28%，用总棵数×28%，求出梨树种植棵数。 【解答】（1）500×48%＝240（棵） 500×28%＝140（棵） 如果果园种植总棵数是500棵，那么苹果树种植了240棵，梨树种植了140棵。 （2）360÷24%＝1500（棵） 1500×48%＝720（棵） 1500×28%＝420（棵） 如果橘子树种植了360棵，那么苹果树种植了720棵，梨树种植了420棵。 易错点3：不了解每种统计图的特点，选错统计图。 【易错专练1】要反映七月份每天商场出售的空调数量情况，应选用（    ）。 A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上均可 【答案】A 【分析】先明确三种统计图的特点，再根据题目中“反映每天空调数量情况”的需求选择合适的统计图类型。 【解答】A.条形统计图的主要特点是能够清晰地展示不同类别数据的具体数量，便于比较各类别之间的数量多少。题目中需要反映七月份每天商场出售的空调数量情况，即需要清楚呈现每天具体的销售数量，符合条形统计图的适用场景。条形统计图适用于展示具体数量的多少，可直观比较每天的空调销售数量。该统计图适用； B.折线统计图的主要特点是不仅能表示数量的多少，还能反映数量的增减变化趋势。题目中仅要求反映每天的销售数量，并没有关注数量的变化趋势，所以折线统计图不符合需求折线统计图侧重反映数量变化趋势，题目未涉及变化趋势，故该统计图不适用； C.扇形统计图的主要特点是用于表示各部分数量与总数量之间的关系，即各部分占总体的百分比。题目中不需要体现部分与整体的比例关系，因此扇形统计图不适用扇形统计图用于展示部分与整体的比例关系，题目未涉及此需求，故该统计图不适用； D.折线统计图和扇形统计图不适用，该选项错误。 故答案为：A 【易错专练2】想要清楚地反映各部分数量和总量的关系，最好用（    ）统计图。 A．扇形 B．条形 C．折线 D．以上均可 【答案】A 【解答】分析各种统计图的特点，根据统计图的特点选择符合题目要求的统计图。 【点评】A.扇形统计图:用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比，能清楚地反映出各部分数量与总量之间的关系。题目要求“清楚地反映各部分数量和总量的关系”，根据上述特点，扇形统计图符合该要求。 B.条形统计图:能清楚地表示出每个项目的具体数量，便于比较不同类别之间的数量多少。不符合题目要求； C.折线统计图:不仅能表示出数量的多少还能清晰地反映数量的增减变化情况。不符合题目要求； D.条形统计图和折线统计图不符合题目要求，所以并不是所有选项都正确。 故答案为：A 【易错专练3】下列情况最适合用扇形统计图表示的是（    ）。 A．学校每个兴趣小组的人数 B．小青从一年级到六年级的身高变化情况 C．李叔叔家各类支出占总支出的百分比 D．六（2）班同学参加体育测试的成绩 【答案】C 【分析】条形统计图用直条的长短表示数量的多少，从图中直观地看出数量的多少，便于比较；折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况；扇形统计图中用整个圆表示总数量，圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数量的百分比，通过扇形统计图可以清楚地看出各部分数量与总数量之间，部分数量与部分数量之间的关系，据此选择合适的统计图。 【解答】A．学校每个兴趣小组的人数，强调数量的比较，选择条形统计图比较合适； B．小青从一年级到六年级的身高变化情况，强调数量的增减变化情况，选择折线统计图比较合适； C．李叔叔家各类支出占总支出的百分比，强调各部分数量占总数量的百分比情况，选择扇形统计图比较合适； D．六（2）班同学参加体育测试的成绩，强调数量的比较，选择条形统计图比较合适。 故答案为：C 【易错专练4】为普及象群知识，了解成年野象一周的日食量情况应绘制（ ）统计图；想了解三十年来野象数量的增减变化情况应绘制（ ）统计图，要想了解野象在亚洲地区分布的百分比选用（ ）统计图比较合适。 【答案】条形 折线 扇形 【分析】条形统计图能够直接表示出数据的多少；折线统计图能够表现出数据的增减变化；扇形统计图能够表现出个体数量占总量的百分比，根据三种统计图的特点解答。 【解答】了解成年野象一周的日食量情况应绘制条形统计图；想了解三十年来野象数量的增减变化情况应绘制折线统计图，要想了解野象在亚洲地区分布的百分比选用扇形统计图比较合适。 【易错专练5】成都新安小学六一班同学到熊猫园参加了社会实践，他们想将了解到的情况用合适的统计图表示出来，要比较几只大熊猫一天的睡眠时长选用（ ）统计图，要了解大熊猫在我国各省的数量占比情况选用（ ）统计图。 【答案】条形 扇形 【分析】条形统计图从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于相互比较。 折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。 扇形统计图能清楚地看出各部分数量与总数量之间的关系。 【解答】根据分析，要比较几只大熊猫一天的睡眠时长选用条形统计图，要了解大熊猫在我国各省的数量占比情况选用扇形统计图。 易错点4：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 【易错专练1】《国家学生体质健康标准》六年级男生1分钟跳绳评分等级如下表。下面是甲乙两组各10名男生参加跳绳测试的成绩。（单位：次/分） 甲组：130，150，95，100，188，105，162，63，197，140 乙组：137，125，154，110，146，135，130，100，113，150 （1）按成绩段整理数据，并完成表格。 成绩段/次 不及格65以下 及格65~134 良好135~146 优秀147及以上 优秀率 甲组/人 乙组/人 （2）我认为（ ）组男生跳绳成绩更好，依据是 。 【答案】（1）见详解 （2）甲组 甲组的优秀率高于乙组（40%＞20%） 【分析】（1）根据各个成绩段，数出相应的人数即可。用各组各自的优秀的人数÷总人数10人×100%＝各自的优秀率。 （2）根据各自的优秀率来判断谁的成绩更好 【解答】（1）甲组不及格65以下有1人，及格65~134有4人，良好135~146有1人，优秀147及以上有4人。4÷10×100%＝0.4×100%＝40%。 乙组不及格65以下有0人，及格65~134有5人，良好135~146有3人，优秀147及以上有2人。2÷10×100%＝0.2×100%＝20%。 具体填写如下： 成绩段/次 不及格65以下 及格65~134 良好135~146 优秀147及以上 优秀率 甲组/人 1 4 1 4 40% 乙组/人 0 5 3 2 20% （2）根据分析，我认为甲组男生跳绳成绩更好，依据是甲组的优秀率高于乙组（40%＞20%）。 【易错专练2】某新兵排在一次实弹射击训练中，每人射击5发子弹，成绩如下。（单位：环） 28 37 38 37 36 38 32 41 35 30 34 37 34 42 40 39 38 39 43 36 （1）根据上表中的数据，分段统计，填入下表。 成绩段/环 40及40以上 36~39 32~35 31及31以下 人数 （2）如果成绩达到40环的为优秀，那么这次训练成绩的优秀率是多少？ （3）人数最多的成绩段是（    ）环，人数最少的成绩段是（    ）环。最多的比最少的多百分之几？ 【答案】（1）见详解 （2）20% （3）36~39；31及31以下；400% 【分析】（1）先把所有射击成绩逐一列出，确保数据无遗漏。对照“40及以上、36~39、32~35、31及31以下”四个成绩段，逐个统计每个段内的成绩数量，得到对应人数。 （2）优秀为40环及以上，先确定优秀人数（4人），再统计总射击人数（20人）。根据“优秀率＝优秀人数÷总人数×100%”，代入数值计算即可。 （3）对比各成绩段的人数（10人、4人、4人、2人），得出人数最多的是36~39环，最少的是31及31以下环。先算人数差值（10－2＝8人），再用“差值÷最少人数×100%”，求出最多比最少多的百分比。 【解答】（1）填表如下： 成绩段/环 40及40以上 36~39 32~35 31及31以下 人数 4 10 4 2 （2）4÷20×100% ＝0.2×100% ＝20% 答：如果成绩达到40环的为优秀，那么这次训练成绩的优秀率是20%。 （3）10＞4＞2 所以人数最多的成绩段是36~39环，人数最少的成绩段是31及31以下环。 （10－2）÷2×100% ＝8÷2×100% ＝4×100% ＝400% 答：最多的比最少的多400%。 【易错专练3】下面是四（1）班男生的身高记录。（单位：cm） 130  129  128  130  135  136  139  126  144  137 140  127  134  133  143  133  136  138  134  136 128  135  139  124  138  125  142  130  138  141 （1）我会整理数据。 身高段/cm 120~124 125~129 130~134 135~139 140~144 人数 6 5 （2）根据数据完成统计图。 （3）如果130cm及以上身高为达标，那么该班男生身高的达标率约是（    ）。 【答案】（1）1；7；11；（2）图见详解；（3）76.7% 【分析】（1）根据给出身高范围数出数据填写即可； （2）根据（1）中数据补全统计图，并在条形柱上标上数据。 （3）根据题干的统计可知男生有30人，用130厘米及以上身高的人数除以男生总人数乘100%即可。 【解答】（1）120~124有1人； 130~134有7人； 135~139有11人； 由此填表： 身高段/cm 120~124 125~129 130~134 135~139 140~144 人数 1 6 7 11 5 （2）有（1）中数据补全统计图，如下图： （3）7＋11＋5＝23（人） 所以该班男生身高的达标率约是76.7%。 【易错专练4】下面记录的是某校四（2）班同学立定跳远的成绩（均为整数厘米）。（单位：厘米） 110  146  140  147  131  135  127  159  143  132 119  124  143  139  132  142  143  150  138  145 130  152  155  122  136  140  133  144  129  129 （1）完成下表。 成绩段/厘米 110～119 120～129 130～139 140～149 150～159 人数/人 （2）成绩段在（    ）厘米的人数最多，在（    ）厘米的人数最少。 （3）李军的跳远成绩在四（2）班排名第八，他跳远的成绩在哪个成绩段内？ 【答案】（1）2，5，9，10，4 （2）140～149，110～119 （3）140～149厘米 【分析】（1）需逐个统计每个成绩段的人数，即分别数出在110～119、120～129、130～139、140～149、150～159厘米区间内的成绩个数；（2）比较各成绩段的人数，找出最多和最少的；（3）成绩在150～159厘米的有4人，在140～149厘米的有10人，4＋10＝14（人），150～159厘米的人数和140～149厘米的人数相加超过8名，而排名第八名超过了成绩在150～159厘米的人数，所以李军的跳远成绩在140～149厘米段内。 【解答】（1）110～119厘米：110、119，共2人； 120～129厘米：127、124、122、129、129，共5人； 130～139厘米：131、135、132、139、132、138、130、136、133，共9人； 140～149厘米：146、140、147、143、143、142、143、140、145、144，共10人； 150～159厘米：159、150、152、155，共4人。 （2）因为10＞9＞5＞4＞2，所以成绩段在140～149厘米的人数最多，在110～119厘米的人数最少。 （3）因为成绩在150～159厘米的有4人，150～159厘米的人数和140～149厘米的人数共有14人，8名比4名大，比14名小，则李军的跳远成绩在140～149厘米段内。 答：李军的跳远成绩在140～149厘米段内。 【易错专练5】六年级各班举办英语听写比赛，六（1）班和六（2）班得奖选手的成绩如下。（单位：分） 六（1）班：84  83  82  94  89  87  80  97  89  91  80  82  81  84  85 六（2）班：85  84  81  88  90  96  92  86  89  93  82  81  98  86  84 （1）六（1）班得奖选手中特等奖有1名，一等奖有2名，二等奖有4名，三等奖有8名，请你写出各奖项的分数档。 奖项 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 分数档/分 （2）请按上面的分数档分段整理数据，并制成条形统计图。 分数段/分 六（1）班/人 六（2）班/人 （3）说说你认为哪个班得奖选手的比赛成绩好些，并说明理由。 【答案】（1）       奖项   特等奖   一等奖   二等奖   三等奖 分数档分 95及以上     90~94    85~89    80~84 （2） 分数段分 95及以上    90~94   85~89 80~84 六（1）班人      1        2      4      8 六（2）班人      2         3      5       5 （3）我认为六（2）班得奖选手的比赛成绩好些，因为在得奖人数相同的情况下，六（2）班得特等奖、一等奖、二等奖的人数都比六（1）班的人数多。 【分析】为了合理地对数据进行分段，一般按照以下步骤操作：首先将所有数据从大到小排列，再根据最大值和最小值来确定数据区段。通常以5，10，20等为区段，但没有硬性要求，数据区段的划分应根据实际情况灵活选择。 六（1）班选手得分由高到低依次为97，94，91，89，89，87，85，84，84，83，82，82，81，80，80，然后按奖项人数设定分数档即可。 六（2）班选手得分由高到低依次为98，96，93，92，90，89，88，86，86，85，84，84，82，81，81，然后按奖项人数设定分数档即可。 【解答】（1）六（1）班得奖选手中特等奖有1名，一等奖有2名，二等奖有4名，三等奖有8名，请你写出各奖项的分数档，如下：       奖项   特等奖   一等奖   二等奖   三等奖 分数档分 95及以上     90~94    85~89    80~84 （2）请按上面的分数档分段整理数据，并制成条形统计图，如下： 分数段分 95及以上    90~94   85~89 80~84 六（1）班人      1        2      4      8 六（2）班人      2         3      5       5 （3）我认为六（2）班得奖选手的比赛成绩好些，因为在得奖人数相同的情况下，六（2）班得特等奖、一等奖、二等奖的人数都比六（1）班的人数多。 易错点5：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 【易错专练1】下图是2024年下半年甲、乙两家专卖店扫地机器人销售量统计图，看图回答问题。 （1）甲、乙两家专卖店（ ）月份扫地机器人销售量相差最少，相差（ ）台。 （2）7月份，甲专卖店的销售量比乙专卖店多百分之几？（请列式计算） 【答案】（1）12 8 （2）70% 【分析】（1）观察复式折线统计图，两数据点相距越近表示销售量相差越少。据此确定销售量相差最少的月份，求差即可。 （2）将7月份乙专卖店销售量看作单位“1”，7月份甲专卖店和乙专卖店销售量的差÷7月份乙专卖店销售量＝7月份甲专卖店的销售量比乙专卖店多百分之几。 【解答】（1）73－65＝8（台） 甲、乙两家专卖店12月份扫地机器人销售量相差最少，相差8台。 （2）（85－50）÷50 ＝35÷50 ＝0.7 ＝70% 答：7月份，甲专卖店的销售量比乙专卖店多70%。 【易错专练2】根据统计图回答问题。 （1）羊毛衫的销售量在______月最大，衬衫的销售量在_____月最小； （2）在这幅统计图上，衬衫与羊毛衫的销售量在_____月时，差距最小； （3）由上图可知，衬衫与羊毛衫的销售量随着季节的变化而变化，请说明去年7－12月衬衫与羊毛衫的销售量的变化规律？ 【答案】（1）12；12        （2）10              （3）从夏季到冬季，衬衫的销售量逐渐减少，羊毛衫的销售量逐渐增加。 【分析】（1）观察统计图可知，羊毛衫的销售量看实线在12月处最高，所以销售量在12月最大，衬衫的销售量看虚线在12月处最低，所以销售量在12月最小； （2）观察统计图可知，羊毛衫与衬衫实线与虚线相交于10月至11月份之间，10月份两种服装销售量距离更近，所以10月差距最小； （3）观察统计图，衬衫的销售量的虚线呈下降趋势，羊毛衫的销售量的实线呈上升趋势，因为天气从7月份到12月份越来越冷，所以衬衫销量下降，羊毛衫销量上升。 【解答】（1）羊毛衫的销售量在12月最大，衬衫的销售量在12月最小； （2）在这幅统计图上，衬衫与羊毛衫的销售量在10月时，差距最小； （3）由上图可知衬衫的销售量的虚线呈下降趋势，羊毛衫的销售量的实线呈上升趋势，因为天气从7月份到12月份越来越冷，所以衬衫销量下降，羊毛衫销量上升。 【易错专练3】甲乙两名同学在一次投篮训练中的成绩如图所示。 ①第（    ）次投篮中两人投中个数相同。 ②甲的单次最好成绩比乙的单次最好成绩高出百分之几？ ③谁的平均成绩更好？ 【答案】①3； ②25%； ③乙 【分析】①复式折线统计图中，虚线表示甲的投篮训练成绩，实线表示乙的投篮训练成绩，两条折线重合的部分表示该次投篮中两人投中个数相同； ②由图可知，甲的单次最好成绩是10个，乙的单次最好成绩是8个，甲的单次最好成绩比乙的单次最好成绩高的百分率＝（甲的单次最好成绩－乙的单次最好成绩）÷乙的单次最好成绩×100%； ③用这组数据的和除以数据的个数，就是平均数；先分别求出甲的平均成绩和乙的平均成绩，再比较大小，据此解答。 【解答】①观察复式折线统计图可知，第3次投篮中两人投中个数相同。 ②（10－8）÷8×100% ＝2÷8×100% ＝0.25×100% ＝25% 答：甲的单次最好成绩比乙的单次最好成绩高出25%。 ③甲的平均成绩：（8＋5＋7＋4＋10）÷5 ＝34÷5 ＝6.8（个） 乙的平均成绩：（7＋8＋7＋6＋7）÷5 ＝35÷5 ＝7（个） 因为6.8个＜7个，所以乙的平均成绩更好。 答：乙的平均成绩更好。 【易错专练4】下面是A、B两市2008年上半年降水量情况统计图。 （1）（    ）月份两个城市的降水量相差最大。 （2）（    ）月份两个城市的降水量最接近，相差（    ）毫米。 （3）A市上半年平均每月降水（    ）毫米。 （4）B市第一季度平均每月降水（    ）毫米。 【答案】（1）4； （2）3；15； （3）64； （4）24 【分析】（1）（2）复式折线统计图中，实线表示A市降水量变化情况，虚线表示B市降水量变化情况，两条折线之间的距离越近，两个城市的降水量相差越小，两条折线之间的距离越远，两个城市的降水量相差越大； （3）用这组数据的和除以数据的个数，就是平均数，A市上半年平均每月降水量＝上半年降水量之和÷6； （4）第一季度是1月、2月、3月，B市第一季度平均每月降水量＝（1月降水量＋2月降水量＋3月降水量）÷3，据此解答。 【解答】（1）分析可知，4月份两个城市的降水量相差最大。 （2）25－10＝15（毫米） 分析可知，3月份两个城市的降水量最接近，相差15毫米。 （3）（15＋36＋25＋70＋68＋170）÷6 ＝384÷6 ＝64（毫米） 所以，A市上半年平均每月降水64毫米。 （4）（52＋10＋10）÷3 ＝72÷3 ＝24（毫米） 所以，B市第一季度平均每月降水24毫米。 【易错专练5】营山某凉面店记录了最近一周两种特色凉面的销量（单位：碗），数据如下： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 营山凉面 110 120 115 125 150 160 155 鸡丝凉面 90 80 92 85 120 130 115 （1）根据上表数据，在上图中绘制两种特色凉面销量的折线统计图。 （2）两种特色凉面总销量最高的是星期（    ），星期（    ）总销量比前一天增加的最多。 （3）观察复式折线统计图，你有什么发现？ 【答案】（1）见详解 （2）六；五 （3）见详解 【分析】（1）对于营山凉面，根据每天的销量：星期一110碗、星期二120碗、星期三115碗、星期四125碗、星期五150碗、星期六160碗、星期日155碗，用实线依次连接这些点。对于鸡丝凉面，根据每天的销量：星期一90碗、星期二80碗、星期三92碗、星期四85碗、星期五120碗、星期六130碗、星期日115碗，用虚线依次连接这些点。 （2）分别计算每天两种凉面的总销量：星期一：110＋90＝200碗。星期二：120＋80＝200碗。星期三：115＋92＝207碗。星期四：125＋85＝210碗。星期五：150＋120＝270碗。星期六：160＋130＝290碗。星期日：155＋115＝270碗，总销量最高的是星期六。 计算每天总销量与前一天的差值：星期二与星期一：200－200＝0碗。星期三与星期二：207－200＝7碗。星期四与星期三：210－207＝3碗。星期五与星期四：270－210＝60碗。星期六与星期五：290－270＝20碗。星期日与星期六有所下降，星期五总销量比前一天增加的最多。 （3）可以发现营山凉面的销量整体上比鸡丝凉面的销量高；且两种凉面在周末（星期六、星期日）的销量都比工作日（星期一到星期五）高，说明周末是凉面的销售高峰期。 【解答】 （1）如图： （2）星期一：110＋90＝200（碗） 星期二：120＋80＝200（碗） 星期三：115＋92＝207（碗） 星期四：125＋85＝210（碗） 星期五：150＋120＝270（碗） 星期六：160＋130＝290（碗） 星期日：155＋115＝270（碗） 290＞270＞210＞207＞200 星期二比星期一：200－200＝0（碗） 星期三比星期二：207－200＝7（碗） 星期四比星期三：210－207＝3（碗） 星期五比星期四：270－210＝60（碗） 星期六比星期五：290－270＝20（碗） 60＞20＞7＞3 两种特色凉面总销量最高的是星期六，星期五总销量比前一天增加的最多。 （3）答：可以发现营山凉面的销量整体上比鸡丝凉面的销量高；且两种凉面在周末的销量都比工作日高，说明周末是凉面的销售高峰期。（答案不唯一） 专题二圆柱和圆锥 易错点1：圆锥的特点认识错误。 【易错专练1】下面的图形中，是圆柱体的在图形下面的括号里画“”，是圆锥体的在图形下面的括号里画“” （    ）      （    ）         （    ）          （    ）      （    ）         （    ） 【答案】（△）（○）（    ）（    ）（    ）（○） 【分析】圆柱的特征：一个由曲面围成的侧面、上下两个相同的圆是底面、无数条高。 圆锥的特征：一个由曲面围成的侧面、一个圆是底面、一个顶点、一条高。根据圆柱与圆锥的特征进行判断。 【解答】符合圆锥特征是圆锥； 符合圆柱特征是圆柱； 上下圆不一样大，不是圆柱； 侧面凹进去，不是圆柱； 是三角形，不是圆锥； 符合圆柱特征是圆柱。 【易错专练2】海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆锥的高的含义：从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高；并结合圆锥高的测量方法进行解答即可。 【解答】如图，圆锥的高是指顶点到圆心的距离，因此图示中的圆锥的高要小于6cm。 故答案为：C 【易错专练3】一个底面直径为8cm的圆锥（如图），从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72cm2。这个圆锥的高是（ ）cm。 【答案】9 【分析】将圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝1个三角形的面积，三角形的面积×2÷底面直径＝圆锥的高，据此列式计算。 【解答】72÷2×2÷8＝9（cm） 这个圆锥的高是9cm。 【易错专练4】如图，圆锥的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米，底面周长是（ ）厘米。 【答案】8 6 37.68 【分析】由图知:圆锥的高是8厘米，底面半径是6厘米，根据圆的周长公式将数值代入即可求得圆锥的底面周长。 【解答】 ＝ ＝37.68（厘米） 圆锥的高是（8）厘米，底面半径是（6）厘米，底面周长是（37.68）厘米。 【易错专练5】如图，圆锥的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米，底面周长是（ ）厘米。 【答案】8 6 37.68 【分析】由图知:圆锥的高是8厘米，底面半径是6厘米，根据圆的周长公式将数值代入即可求得圆锥的底面周长。 【解答】 ＝ ＝37.68（厘米） 圆锥的高是（8）厘米，底面半径是（6）厘米，底面周长是（37.68）厘米。 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【易错专练1】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【答案】28.26 113.04 169.56 【分析】根据圆的面积＝，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，进行计算即可。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以它的一个底面的面积是28.26平方厘米，它的侧面积是113.04平方厘米，表面积是169.56平方厘米。 【易错专练2】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【答案】28.26 113.04 169.56 【分析】根据圆的面积＝，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，进行计算即可。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以它的一个底面的面积是28.26平方厘米，它的侧面积是113.04平方厘米，表面积是169.56平方厘米。 【易错专练3】塑料大棚是一种用覆盖塑料薄膜搭成的拱形棚，供栽培蔬菜，被誉为中国农产品产量出现革命性增长的主要功臣。下面塑料大棚长20米，两端各是一个直径6米的半圆形，搭建这个塑料大棚大约用了（    ）平方米的塑料薄膜。 A．216.66 B．244.92 C．433.32 【答案】B 【分析】求搭建这个塑料大棚用塑料薄膜的面积，就是求直径是6米，高是20米的圆柱形的表面积的一半，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【解答】[3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×20]÷2 ＝[3.14×9×2＋18.84×20]÷2 ＝[28.26×2＋376.8]÷2 ＝[56.52＋376.8]÷2 ＝433.32÷2 ＝244.92（平方米） 塑料大棚是一种用覆盖塑料薄膜搭成的拱形棚，供栽培蔬菜，被誉为中国农产品产量出现革命性增长的主要功臣。下面塑料大棚长20米，两端各是一个直径6米的半圆形，搭建这个塑料大棚大约用了244.92平方米。 故答案为：B 【点评】熟练掌握圆柱的表面积公式是解答本题的关键。 【易错专练4】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】1218.32cm2 【分析】圆柱的侧面积＝π×半径×2×高、底面积＝π×半径2，抹奶油部分是三个圆柱侧面积加一个底面积，根据公式代入计算即可。 【解答】下层侧面积：3.14×10×2×6＝376.8（cm2） 中层侧面积：3.14×8×2×6＝301.44（cm2） 上层侧面积：3.14×6×2×6＝226.08（cm2） 大圆的面积：3.14×102＝314（cm2） 抹奶油部分面积：376.8＋301.44＋226.08＋314＝1218.32（cm2） 答：抹奶油部分的面积是1218.32平方厘米。 【易错专练5】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】1218.32cm2 【分析】圆柱的侧面积＝π×半径×2×高、底面积＝π×半径2，抹奶油部分是三个圆柱侧面积加一个底面积，根据公式代入计算即可。 【解答】下层侧面积：3.14×10×2×6＝376.8（cm2） 中层侧面积：3.14×8×2×6＝301.44（cm2） 上层侧面积：3.14×6×2×6＝226.08（cm2） 大圆的面积：3.14×102＝314（cm2） 抹奶油部分面积：376.8＋301.44＋226.08＋314＝1218.32（cm2） 答：抹奶油部分的面积是1218.32平方厘米。 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【易错专练1】把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的9倍。（ ） 【答案】× 【分析】假设原来的圆柱的高是2厘米，底面半径也是1厘米，把一个圆柱的高和底面半径扩大到原来的3倍，则高变为6厘米，底面半径变为3厘米，据此根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，分别求出变化前后的体积，进而求出它们之间的关系即可。 【解答】假设原来的圆柱的高是2厘米，底面半径也是1厘米， 现在的高：2×3＝6（厘米） 底面半径：1×3＝3（厘米） 原来的体积：3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方厘米） 现在的体积：3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56÷6.28＝27 把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的27倍。 故答案为：× 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，可用假设法解决问题。 【易错专练2】把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的9倍。（ ） 【答案】× 【分析】假设原来的圆柱的高是2厘米，底面半径也是1厘米，把一个圆柱的高和底面半径扩大到原来的3倍，则高变为6厘米，底面半径变为3厘米，据此根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，分别求出变化前后的体积，进而求出它们之间的关系即可。 【解答】假设原来的圆柱的高是2厘米，底面半径也是1厘米， 现在的高：2×3＝6（厘米） 底面半径：1×3＝3（厘米） 原来的体积：3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方厘米） 现在的体积：3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56÷6.28＝27 把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的27倍。 故答案为：× 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，可用假设法解决问题。 【易错专练3】一个圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的体积就扩大4倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，可知，当高不变的时候，半径扩大2倍，则r2就会扩大4倍，体积也会扩大4倍，如果高再扩大2倍，则在之前的基础上，再扩大2倍，即相当于扩大了4×2＝8倍，由此即可判断。 【解答】由分析可知，当圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的体积会扩大8倍。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式并灵活运用。 【易错专练4】一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据圆锥的体积公式：，再根据因数与积的变化规律，圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，圆锥的底面积就扩大到原来的4倍，如果高不变，那么圆锥的体积就扩大到原来的4倍，据此判断。 【解答】圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，圆锥的底面积就扩大到原来的4倍，如果高不变，那么圆锥的体积就扩大到原来的4倍。题干中未指明圆锥的高的变化情况，因此题干中的结论是错误的。 故答案为：× 【易错专练5】一个长方体和一个圆锥的底面积和高都相等，这个长方体的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 【答案】√ 【分析】长方体体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，则等底等高的长方体是圆锥体积的3倍。据此可得出答案。 【解答】根据长方体的体积公式及圆锥的体积公式可知：等底等高的长方体体积是圆锥体积的3倍，则题干表述正确。 故答案为：√ 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【易错专练1】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【答案】0.3 【分析】当从圆柱形木料中切出最大的圆锥时，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的。因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱体积比圆锥体积多的部分就是圆锥体积的2 倍。切掉的就是圆柱体积比圆锥体积多的部分，即这部分体积等于圆锥体积的2倍，由此即可求出圆锥的体积。 【解答】由分析可知， （） 这个圆锥的体积是。 【易错专练2】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【答案】0.3 【分析】当从圆柱形木料中切出最大的圆锥时，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的。因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱体积比圆锥体积多的部分就是圆锥体积的2 倍。切掉的就是圆柱体积比圆锥体积多的部分，即这部分体积等于圆锥体积的2倍，由此即可求出圆锥的体积。 【解答】由分析可知， （） 这个圆锥的体积是。 【易错专练3】如图，李师傅把一个棱长为3分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，要削去（ ）立方分米的木头，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要削去（ ）立方分米的木头。（结果用π表示） 【答案】27－6.75π 4.5π 【分析】正方体木块削成最大的圆柱形，即正方体的边长即为圆柱形的底面直径和高；圆柱形木头削成圆锥形，即圆柱形的高即为圆锥形的高，圆柱形的底面即为圆锥形的底面，由此即可计算圆柱和圆锥体积，再用原体积分别与计算得出的体积相减即可解得。 【解答】由题，把一个棱长为3分米的正方体木块， 该木块体积为（立方分米），将其削成一个最大的圆柱， 则圆柱的高为3分米，圆柱的底面直径为3分米，半径为3÷2＝1.5分米， 故所削成圆柱的体积为， 即要削去部分的体积为（27－6.75π）立方分米； 将该圆柱削成一个最大的圆锥， 要削成的最大圆锥与圆柱同底同高， 圆锥体积为（立方分米）， 即要削去部分的体积为6.75π－2.25π＝4.5π（立方分米）。 【易错专练4】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 【答案】188.4 376.8 【分析】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【解答】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 【易错专练5】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 【答案】188.4 376.8 【分析】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【解答】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【易错专练1】一个圆柱体油箱，从里面量直径是40厘米，高是60厘米。 （1）做这样一个油桶，至少需用铁皮多少平方分米？ （2）如果1升汽油重0.85千克，这个油桶可装汽油多少千克？（得数保留整千克数） 【答案】（1）100.48平方分米 （2）64千克 【分析】（1）由于油桶是有盖的，做这个油桶需要铁皮多少平方分米，相当于是求油桶的表面积，根据圆柱的表面积＝πdh＋2πr2，把数值代入即可求解； （2）如果1升汽油重0.85千克，即圆柱形油桶能装多少升汽油，根据圆柱的体积＝Sh，把数值代入即可求出能装多少体积的汽油，再把得出的结果换算成以升为单位的数，最后再乘0.85即可求出能装多少千克，结果保留整数即可。 【解答】（1）40厘米＝4分米，60厘米＝6分米 3.14×4×6＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×24＋3.14×22×2 ＝75.36＋3.14×4×2 ＝75.36＋3.14×8 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（平方分米） 答：至少需用铁皮100.48平方分米。 （2）40厘米＝4分米，60厘米＝6分米 3.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝3.14×24 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 0.85×75.36＝64.056≈64（千克） 答：这个油桶可装汽油64千克。 【易错专练2】一个圆锥形沙堆，底面半径2米，高1.5米，用这个沙堆在8米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】39.25米 【分析】根据题意可知，圆锥形沙堆的容积等于铺在公路上形成长方体部分的沙子容积。根据计算沙堆的容积，再根据求出能铺多少米，注意单位换算；据此解答。 【解答】3.14×22×1.5÷3 ＝3.14×4×1.5÷3 ＝12.56×1.5÷3 ＝6.28（立方米） 2厘米＝0.02米 6.28÷（8×0.02） ＝6.28÷0.16 ＝39.25（米） 答：能铺39.25米。 【易错专练3】李师傅用白铁皮制作直径10厘米、长12分米的烟囱。制作25节需要白铁皮多少平方分米？（接缝处按1厘米计算） 【答案】972平方分米 【分析】因为烟囱没有底面只有侧面，要求制作圆柱形铁皮烟囱需要多少铁皮，实际上就是求圆柱的侧面积加接缝处的面积。根据，可计算出圆柱的侧面积；接缝处有1厘米宽，1厘米＝0.1分米，长是12分米，根据，可算出一根烟囱的接缝处的面积，再与圆柱的侧面积相加即可得1节烟囱需要铁皮的面积，再乘25即可得25节烟囱需要铁皮的面积。 【解答】10厘米＝1分米 1厘米＝0.1分米 （平方分米） 38.88×25＝972（平方分米） 答：制作25节需要白铁皮972平方分米。 【易错专练4】压路机的滚筒是圆柱形，底面直径1米，轮宽15分米。前轮滚动两周，压过路面的面积是多少平方米？ 【答案】9.42平方米 【分析】由题意可知，前轮滚动一周压过路面的面积等于压路机滚筒的侧面积，利用“”求出前轮滚动一周压过路面的面积，最后乘2求出前轮滚动两周压过路面的面积，据此解答。 【解答】15分米＝1.5米 1×3.14×1.5×2 ＝3.14×1.5×2 ＝4.71×2 ＝9.42（平方米） 答：压过路面的面积是9.42平方米。 【易错专练5】每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。天星小学计划给校园的50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克石灰水，要求树干刷白的高度为1.2米。这批大树的平均直径是20厘米，至少需要多少克石灰水？ 【答案】15072克 【分析】根据题意，要给50棵大树的树干刷白，大树的平均直径是20厘米，刷白的高度为1.2米，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，求出每棵树的刷白面积，再乘50，即是50棵树的刷白面积，最后乘每平方米需要的石灰水质量，即是刷白这批树需要石灰水的总质量。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】20厘米＝0.2米 3.14×0.2×1.2 ＝0.628×1.2 ＝0.7536（平方米） 0.7536×50＝37.68（平方米） 400×37.68＝15072（克） 答：至少需要15072克石灰水。 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【易错专练1】把一个高是40厘米的圆柱锯成两个完全相同的小圆柱，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】480 【分析】将圆柱锯成两个小圆柱后，表面积增加了两个底面面积。用24除以2可得圆柱的底面积，根据，代入数据计算即可。 【解答】（立方厘米） 把一个高是40厘米的圆柱锯成两个完全相同的小圆柱，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱的体积是480立方厘米。 【易错专练2】把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】251.2 【分析】把圆柱切开拼成一个近似长方体，表面积增加的是以圆柱的高为长、底面半径为宽的两个切面长方形的面积，据此用40除以2求出一个面的面积，再根据长方形的面积＝长×宽用一个面的面积除以圆柱的底面半径即可得到圆柱的高，最后根据圆柱的体积＝πr2h代入数据列式计算即可。 【解答】40÷2＝20（平方厘米） 20÷4＝5（厘米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是251.2立方厘米。 【易错专练3】一根圆木长1.5米，如果把它截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米。每段小圆木的底面半径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】3 141.3 【分析】根据题意，把一根圆木截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米，增加的表面积是圆木的4个底面圆的面积；用增加的表面积除以4，即可求出圆木的底面积； 根据圆的面积公式S＝πr2可知，r2＝S÷π，据此求出圆木底面半径的平方，进而得出圆木的底面半径； 因为圆木平均分成3段小圆木，用原来圆木的高除以3，即是每段小圆木的高；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出每段小圆木的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。 【解答】1.5米＝15分米 圆木的底面积：113.04÷4＝28.26（平方分米） 圆木底面半径的平方：28.26÷3.14＝9（平方分米） 因为9＝3×3，所以圆木的底面半径是3分米； 圆木的体积： 28.26×（15÷3） ＝28.26×5 ＝141.3（立方分米） 每段小圆木的底面半径是（3）分米，体积是（141.3）立方分米。 【易错专练4】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。 【答案】188.4 376800 【分析】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【解答】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 【易错专练5】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 【答案】1177.5立方厘米 【分析】按图②的切法相当于增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积求出圆柱底面半径；按图①的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面半径的长方形，据此可求出圆柱的高，根据圆柱的体积求出这根木料的体积即可。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） 因为，所以底面半径为5厘米。 （平方厘米） 圆柱的高：（厘米） （立方厘米） 答：这块木料的体积是1177.5立方厘米。 专题三解决问题的策略 易错点1：策略选择不当，机械套用。 【易错专练1】一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子。车棚里放着自行车和三轮车共8辆，数数车轮共有18个。问：自行车有几辆，三轮车有几辆？ 【答案】自行车6辆，三轮车2辆。 【分析】假设8辆都是自行车，应该有2×8＝16（个）轮子，原来有18个轮子，现在少了（18－16）个轮子。把一辆三轮车看成一辆自行车少了（3－2）个轮子。那么用少的轮子总数除以一辆少的个数，就是有几辆三轮车。再用一共的辆数减去三轮车的辆数，就是自行车有几辆。 【解答】假设8辆都是自行车。 2×8＝16（个） 18－16＝2（个） 3－2＝1（个） 2÷1＝2（辆） 8－2＝6（辆） 答：自行车6辆，三轮车2辆。 【点评】本题关键是假设都是某一种车辆，这样轮子的总数发生变化，再根据变化的数除以每辆变化的数，由此得出某种车的辆数。 【易错专练2】五（1）班同学去植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，第一小组8人一共种了21棵树，这个小组男生和女生各有几人？ 【答案】5人；3人 【分析】假设都是男生，则一共可以种8×3＝24（棵），实际比假设少了：24－21＝3（棵），一名女生比一名男生少种（3－2）棵，所以用实际比假设少的数量÷一名女生比一名男生少种的棵树即为女生的人数，用8减去女生人数可得男生人数。 【解答】假设都是男生； （8×3－21）÷（3－2） ＝（24－21）÷（3－2） ＝3÷1 ＝3（人） 男生：8－3＝5（人） 答：这个小组男生有5人，女生有3人。 【易错专练3】董宇辉到新疆助农直播，当地农民用四轮拖拉机和三轮小货车共32辆运送农产品，两种车的轮子共有108个，你能算一算四轮拖拉机和三轮小货车各有多少辆吗？（可以选择你喜欢的方法计算） 【答案】四轮拖拉机12辆；三轮小货车20辆 【分析】本题属于鸡兔同笼问题，可采用假设法求解。假设32辆全是四轮拖拉机，先计算出假设情况下的轮子总数，再与实际轮子数对比，求出轮子的差值。由于每辆四轮拖拉机比三轮小货车多1个轮子，用差值除以每辆车的轮子差，即可求出三轮小货车的数量，最后用总车辆数减去三轮小货车的数量，得到四轮拖拉机的数量。 【解答】假设32辆全是四轮拖拉机。 32×4＝128（个） 128－108＝20（个） 三轮小货车：20÷（4－3） ＝20÷1 ＝20（辆） 四轮拖拉机：32－20＝12（辆） 答：四轮拖拉机有12辆，三轮小货车有20辆。 【易错专练4】运动公园出租两人自行车和四人自行车供游客骑行观光。五年级有70名同学到公园秋游，租用了两种自行车共25辆，所有座位恰好坐满，两种自行车各租了多少辆？ 【答案】两人：15辆；四人：10辆 【分析】设四人自行车租了x辆，两人自行车租了（25－x）辆；x辆四人自行车有4x人；（25－x）辆两人自行车有2×（25－x）人，一共有70名同学，列方程：4x＋2×（25－x）＝70，解方程，即可解答。 【解答】解：设四人自行车租了x辆，则两人自行车租了（25－x）辆。 4x＋2×（25－x）＝70 4x＋2×25－2x＝70 2x＋50＝70 2x＝70－50 2x＝20 x＝20÷2 x＝10 两人自行车：25－10＝15（辆） 答：两人自行车租了15辆，四人自行车租了10辆。 【易错专练5】张老师购入了一台电车，充电主要有两种方式：使用家用充电桩，每次充电费15元；使用户外快充充电桩，每次充电费30元。这个月张老师的电车一共充电12次，充电总花费为240元。请问，这个月张老师使用家用充电桩充电多少次？使用户外快充充电桩多少次？ 【答案】家用充电桩：8次；户外快充充电桩：4次 【分析】设这个月张老师使用户外快充充电桩充电x次，则使用家用充电桩充电（12－x）次；使用户外快充充电桩，每次充电费30元，x次充电费是30x元；使用家用充电桩，每次充电费15元，（12－x）次充电费是15×（12－x）元；充电总花费为240元，列方程：30x＋15×（12－x）＝240，解方程，即可解答。 【解答】解：设这个月张老师使用户外快充充电桩充电x次，则使用家用充电桩充电（12－x）次。 30x＋15×（12－x）＝240 30x＋15×12－15x＝240 15x＋180＝240 15x＋180－180＝240－180 15x＝60 15x÷15＝60÷15 x＝4 家用充电桩充电次数：12－4＝8（次） 答：这个月张老师使用家用充电桩充电8次，使用户外快充充电桩4次。 易错点2：画图策略运用错误。 【易错专练1】某电子厂现在生产一批电脑，按3∶2∶1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间。已知甲车间要生产270台，则乙、丙两个车间分别要生产多少台？（先画图表示题意，再解答） 【答案】图见详解 乙：180台；丙：90台 【分析】一批电脑，按3：2：1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间，即甲车间3份、乙车间2份、丙车间1份，已知甲车间要生产270台，对应分配的3份，因此把甲车间平均分成3份，乙车间生产2份、丙车间生产1份，据此画图并解答。 【解答】 1份：（台） 乙：（台） 丙：（台） 答：乙车间生产180台，丙车间生产90台。 【易错专练2】一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答） 上衣： 裤子： 【答案】；350元；图见详解 【分析】（1）根据“裤子的价格是上衣的”可知，如果把上衣的价格看作7份，则裤子就是5份，据此补全线段图； （2）把上衣的价格看作7份，则裤子的价格是5份，总价就是7＋5＝12份，据此用裤子的份数除以总价的份数即可得到裤子的价格是总价的几分之几； （3）根据套装的价格是在830~850之间的整数，且总价是12的倍数，找出830~850之间是12的倍数的整数就是套装的价格，再用套装的价格乘裤子的价格占总价的分率即可得到裤子的价格。 【解答】补全线段图如下： 5÷（5＋7） ＝5÷12 ＝ 830~850之间，只有整数840是12的倍数，所以这款套装的价格是840元； 840×＝350（元） 答：裤子的价格是总价的，裤子是350元。 【易错专练3】观光果园是集果品生产、休闲旅游、科普示范、娱乐健身于一体的新型果园。一家观光果园里梨树的棵数是桃树棵数的，是苹果树棵数的。已知苹果树比桃树多160棵，则梨树、桃树、苹果树各有多少棵？ 【答案】梨树有240棵，桃树有400棵，苹果树有560棵 【分析】根据题意，先作图。根据图可知，梨树有3份，苹果树有7份，桃树有5份。苹果树比桃树多2份，多160棵。将160棵除以2，求出每份有多少棵，从而利用乘法分别求出梨树、桃树、苹果树的数量。 【解答】如图： 160÷（7－5） ＝160÷2 ＝80（棵） 梨树：3×80＝240（棵） 桃树：5×80＝400（棵） 苹果树：7×80＝560（棵） 答：梨树有240棵、桃树有400棵、苹果树有560棵。 【易错专练4】松树棵数是柏树棵数的，松树比柏树少48棵。松树和柏树各有多少棵？（先完成下面的线段图，再解答） 【答案】松树72棵，柏树120棵 【分析】把柏树的棵数看作单位“1”，松树是柏树的，松树比柏树少了（1－），对应的数量是48棵，根据分数除法的意义，用48除以（1－），即可求出柏树的棵数，进而求出松树的棵数。 【解答】如图： 柏树： 48÷（1－） ＝48÷ ＝48× ＝120（棵） 松树：120－48＝72（棵） 答：松树有72棵，柏树有120棵。 【点评】找准单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，求出单位“1”的量。 【易错专练5】两个仓库共有货物840吨。从甲仓库取出的货物放入乙仓库，两个仓库的货物就一样多，原来两个仓库各有货物多少吨？（先把线段图补充完整，再解答） 【答案】540吨；300吨；作图见详解 【分析】将甲仓库货物吨数看作单位“1”，从甲仓库取出的货物放入乙仓库，两个仓库的货物就一样多，说明甲仓库比乙仓库多了2个甲仓库的，据此作图；两个仓库货物总吨数占甲仓库的（1－×2＋1），货物总吨数÷对应分率＝甲仓库货物吨数，总吨数－甲仓库货物吨数＝乙仓库货物吨数，据此列式解答。 【解答】 840÷（1－×2＋1） ＝840÷（1－＋1） ＝840÷ ＝540（吨） 840－540＝300（吨） 答：甲仓库原来有540吨，乙仓库原来有300吨。 【点评】关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率＝整体数量。 易错点3：假设策略中的调整错误（“鸡兔同笼”变式）。 【易错专练1】游乐场在周六这天售出成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，周六这天售出成人票多少张？ 【答案】300张 【分析】这道题的核心是通过假设全部是儿童票，对比假设的总价和实际的总价求出价钱差，同时求出成人票和儿童票的金额差进而求出成人票的数量。题目中已知成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，假设全部都是儿童票，用假设总价与实际总价的差除以两种票的金额差结果是成人票数量。据此解答。 【解答】假设全是儿童票。 求假设总价：（元） 求总价差：（元） 求两种票的金额差：（元） 求成人票的数量：（张） 答：周六这天售出成人票300张。 【易错专练2】在校园爱心义卖会上，五（1）班“爱心小铺”售卖的柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元。活动结束时，30杯饮料全部卖完，收银盒里共收到爱心款项126元。柠檬水和水果茶各卖了多少杯？ 【答案】柠檬水12杯，水果茶18杯。 【分析】这道题的核心是通过假设全部是柠檬水或水果茶，对比假设的总价和实际的总价求出价钱差，同时求出柠檬水和水果茶的金额差进而求出水果茶和柠檬水的数量。题目中已知柠檬水或水果茶共30杯，共收入126元，柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元，假设全部都是柠檬水，用假设总价与实际总价的差除以两种饮料的金额差结果是水果茶数量，再用总杯数减去水果茶的数量即可得到柠檬水的数量。据此解答。 【解答】根据分析： 假设全部都是柠檬水 （元） （元） 水果茶的数量： （杯） 柠檬水的数量： （杯） 答：柠檬水卖了12杯，水果茶卖了18杯。 【易错专练3】足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】9场 【分析】鸡兔同笼问题，可采用假设法解题。 已知：足球队参加了15场比赛，负了4场，假设其余都胜利，即胜利：15－4＝11（场），应得分：11×3＝33分。又知：胜一场记3分，平一场记1分，所以将一场平局算作一场胜利的话，总分会多：3－1＝2（分）。假设的得分33分与实际得分29分，相差几个2分，就说明将几场平局算成了胜利，据此分析即可 【解答】假设足球队负了4场其余都胜利 应得： （15－4）×3 ＝11×3 ＝33（分） 平的场数： （33－29）÷（3－1） ＝4÷2 ＝2（场） 胜的场数： 15－4－2 ＝11－2 ＝9（场） 答：这支球队胜了9场。 【易错专练4】《西京杂记》记载：“扑满者，以土为器，以蓄钱具，其有入窍而无出窍，满则扑之。”这里的“扑满”指的是存钱罐。思思也有存钱的习惯，她的存钱罐里有50元和20元的纸币共18张，总共600元。50元和20元的纸币各有多少张？ 【答案】50元纸币8张； 20元纸币10张 【分析】此题可以用假设法来解答：假设18张全是50元人民币，18乘50得900，即共900元，实际是600元，假设比实际多300元；因为把1张20元当50元来计算多算了30元，再用300除以30即为20元人民币的张数，最后用18减20元人民币的张数，即可求出50元人民币的张数。 【解答】假设18张全是50元人民币。 （元） （元） （元） 20元：（张） 50元：（张） 答：50元人民币有8张，20元人民币有10张。 【易错专练5】为响应国家住建部《生活垃圾分类制度实施方案》要求，某社区全面推行“绿色账户”积分管理制度。小区规定：每次正确投放垃圾可获得8个积分，错误投放垃圾倒扣3个积分。小明家6月份一共投放垃圾30次，共获得185积分，小明家6月份正确投放垃圾多少次？ 【答案】25次 【分析】假设全是正确投放，则应该有8×30＝240（分），比实际获得的总积分少了240－185＝55（分），又因为每次错误投放比正确投放少得积分8＋3＝11（分），用除法求出实际少的总积分里有多少个每次投放错误少得积分，即可求出错误投放的次数；再用投放总次数减去错误投放的次数，求出正确投放的次数。 【解答】假设全是正确投放，则错误投放的次数为： （8×30－185）÷（8＋3） ＝（240－185）÷11 ＝55÷11 ＝5（次） 正确投放次数：30－5＝25（次） 答：小明家6月份正确投放垃圾25次。 易错点4：列举策略不完整、无序列举。 【易错专练1】乐乐家用大小两种袋子装104千克大米，一共用了10个袋子。每个大袋子能装12千克，每个小袋子能装8千克，大袋子和小袋子各用了多少个？（用列表法解决） 大袋子/个 小袋子/个 大米总质量/千克 【答案】表格见详解；大袋子6个；小袋子4个 【分析】由题意可知，每个大袋子能装12千克，每个小袋子能装8千克，一共用了10个袋子，大米的总质量是104千克，从大袋子和小袋子的数量相等开始假设，再逐步调整： 假设用了5个大袋子和5个小袋子，大米的总质量为：12×5＋8×5＝60＋40＝100（千克），100千克＜104千克，不符合题意，可以减少小袋子的数量； 假设用了6个大袋子和4个小袋子，大米的总质量为：12×6＋8×4＝72＋32＝104（千克），104千克＝104千克，符合题意； 假设用了7个大袋子和3个小袋子，大米的总质量为：12×7＋8×3＝84＋24＝108（千克），108千克＞104千克，不符合题意，据此解答。 【解答】分析可知： 大袋子/个 小袋子/个 大米总质量/千克 5 5 12×5＋8×5＝100（千克） 6 4 12×6＋8×4＝104（千克） 7 3 12×7＋8×3＝108（千克） 综上所述，大米的总质量是104千克，大袋子用了6个，小袋子用了4个。 答：大袋子用了6个，小袋子用了4个。 【易错专练2】一场篮球比赛，淘气投中了11个球（全部是两分球或三分球），一共得了25分。他分别投中了多少个两分球和三分球？请你用列表的方法解决问题。 两分球/个 三分球/个 总得分 答：______________________________。 【答案】见详解 【分析】假设投中了的1个球均为两分球，则投中0个三分球，计算总得分； 假设投中了10个两分球，则投中（11－10＝1）个三分球，计算总得分； 假设投中了9个两分球，则投中（11－9＝2）个三分球，计算总得分； 假设投中了8个两分球，则投中（11－8＝3）个三分球，计算总得分； 假设投中了7个两分球，则投中（11－7＝4）个三分球，计算总得分； 假设投中了6个两分球，则投中（11－6＝5）个三分球，计算总得分； 找到总得分为25分的情况即可解决问题。 【解答】 两分球/个 三分球/个 总得分 11 0 22 10 1 23 9 2 24 8 3 25 7 4 26 6 5 27 答：他投中了8个两分球，3个三分球 【易错专练3】米脂是陕北地区唯一荣获“中国千年古县”称号的县区，文化积淀深厚，旅游资源丰富。王导游用960元买了20张景点门票，其中一部分是半价的儿童票，一部分是60元一张（全价）的成人票。成人票和儿童票各有多少张？ 【答案】 成人票12张；儿童票8张 【分析】已知一张成人票60元，一张儿童票是成人票的半价，即60÷2＝30元。 王导游用960元买了20张景点门票，假设10张成人票，10张儿童票，共需60×10＋30×10＝900元，少于960元，需将成人票数调多，儿童票数调少； 假设11张成人票，9张儿童票，共需60×11＋30×9＝930元，少于960元，仍需将成人票数调多，儿童票数调少； 假设12张成人票，8张儿童票，共需60×12＋30×8＝960元，正好等于960元。据此解答。 【解答】60÷2＝30（元） 60×10＋30×10 ＝600＋300 ＝900（元） 60×11＋30×9 ＝660＋270 ＝930（元） 60×12＋30×8 ＝720＋240 ＝960（元） 成人票/张 儿童票/张 总钱数 10 10 60×10＋30×10＝900（元） 11 9 60×11＋30×9＝930（元） 12 8 60×12＋30×8＝960（元） 答：成人票有12张，儿童票有8张。 【易错专练4】实验小学48名同学们去东湖划船，湖边有两种船，大船限乘6人，小船限乘4人。他们一共租了9条船，刚好都坐满。大船、小船各租了多少条？（用列表法解答） 【答案】大船租了6条，小船租了3条 【分析】题目要求用列表法解决问题，先列表，依次假设大船的条数，再用9条减去大船条数算出小船条数，大船条数乘6加上小船条数乘4算出总人数，最后和实验小学48名同学作比较，找到符合的情况。 【解答】 大船条数（条） 小船条数（条） 总人数（人） 1 9－1＝8 1×6＋8×4＝38 2 9－2＝7 2×6＋7×4＝40 3 9－3＝6 3×6＋6×4＝42 4 9－4＝5 4×6＋5×4＝44 5 9－5＝4 5×6＋4×4＝46 6 9－6＝3 6×6＋3×4＝48 7 9－7＝2 7×6＋2×4＝50 8 9－8＝1 8×6＋1×4＝52 答：大船租了6条，小船租了3条。 【易错专练5】今年植树节李叔叔花了734元买了茶树和楠木两种树苗，一共56棵，茶树苗每棵16元，楠木苗每棵7元。茶树苗和楠木苗分别有多少棵？ （1）请写出列表解答的过程，并在括号里填写得数。 树苗总数/棵 茶树/棵 楠木/棵 总价/元 答：茶树苗买了（    ）棵，楠木苗买了（    ）棵。 （2）现在，李叔叔发现7棵树苗没有成活，没有成活的占树苗总数的几分之几？成活的占树苗总数的几分之几？（请用最简分数表示） 【答案】（1）见详解； （2）；。 【分析】（1）由题意可知，茶树和楠木的数量之和是56棵，可假设茶树和楠木各有一半，即28棵。算出总价为644元，低于实际的总价，所以要将茶树的数量逐一增加，楠木的数量逐一减少进行调整，直到总价与实际总价相等为止。因表格有限，可选择调整的最后四组数据填入表格即可。 （2）求一个数是另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数。据此解答。 【解答】（1） 树苗总数/棵 茶树/棵 楠木/棵 总价/元 56 35 21 707 56 36 20 716 56 37 19 725 56 38 18 734 （答案不唯一） 答：茶树苗买了38棵，楠木苗买了18棵。 （2）    56－7＝49（棵） 49÷56＝ 答：没有成活的占树苗总数的，成活的占树苗总数的。 专题四比例 易错点1：混淆图形的放大或缩小后各边长度的变化与面积的变化。 【易错专练1】把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是（    ）。 A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的 D．周长扩大到原来的4倍 【答案】A 【分析】把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同，周长扩大的倍数等于边长扩大的倍数，面积扩大的倍数等于边长扩大的倍数的平方。 【解答】把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的2×2＝4倍。 【易错专练2】长方形的长是4cm，宽是3cm，把它按2∶1的比变化，变化后图形面积是（    ）。 A．12cm2 B．24cm2 C．6cm2 D．48cm2 【答案】D 【分析】已知长方形的长、宽和变化的比例尺，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，得到变化后的长（宽）＝原来的长（宽）×比例尺，据此求出长方形变化后的长和宽，然后根据长方形面积公式：S＝长×宽，代入数据计算即可得出变化后图形的面积。 【解答】4×2＝8（cm） 3×2＝6（cm） 6×8＝48（cm2） 变化后图形面积是48cm2。 【易错专练3】一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，得到的图形的面积是（    ）cm2。 A．32 B．72 C．128 D．256 【答案】C 【分析】一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，也就是根据图形放大的意义，将长方形的长和宽分别扩大到原来的4倍，即用原来长和宽的长度分别乘4，求出放大后的长方形的长和宽；再根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，代入数据求出面积即可。 【解答】4×4＝16（cm） 2×4＝8（cm） 16×8＝128（cm2） 一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，得到的图形的面积是128cm2。 故答案为：C 【易错专练4】把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是（ ）；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是（ ）。 【答案】16∶1 1∶6 【分析】设原来正方形的边长是1厘米，放大后的正方形边长是（1×4）厘米。正方形面积＝边长×边长，把数据代入算出原来正方形和放大后的正方形面积，再算出面积比。 设原来长方形的长是12厘米，宽是6厘米，则缩小后的长是（12÷6）厘米，宽是（6÷6）厘米。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和缩小后的长方形周长，再算出周长比。 【解答】1×4＝4（厘米） （4×4）∶（1×1） ＝16∶1 12÷6＝2（厘米） 6÷6＝1（厘米） [（2＋1）×2]∶[（12＋6）×2] ＝[3×2]∶[18×2] ＝6∶36 ＝1∶6 把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是16∶1；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是1∶6。 【易错专练5】一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】4 50.24 【分析】根据C＝2πr可知r＝C÷π÷2，据此算出得出原来圆的半径，再算出缩小后的圆的半径。再根据S=πr2，代入数据即可计算出此时圆的面积。 【解答】50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是4厘米，面积是50.24cm2。 易错点2：没有理解比例的概念,导致判断错误。 【易错专练1】下面哪一个数不能和0.75、2、组成比例。（    ） A． B． C．0.25 D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。分别用题目的三个数和选项的数两两相乘，看它们的积是否相等判断。 【解答】A．0.75×2＝1.5，，能组成比例。 B．，，能组成比例。 C．，2×0.25＝0.5，能组成比例。 D．0.75×2＝1.5，，不能组成比例。 ，，不能组成比例。 ，，不能组成比例。 【易错专练2】当＝（    ）时，能组成比例。 A．1 B．无法确定 C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。求出的值即可。 【解答】 解： 【易错专练3】下面各组中的两个比能组成比例的是（    ）。 A．24∶10和46∶18B．11∶33和22∶66C．0.8∶5和16∶25 D．0.4∶0.2和 【答案】B 【分析】判断两个比能否组成比例，计算出这两个比的比值即可，比值相等的两个比可以组成比例，比值不相等的两个比不能组成比例。 【解答】A．24∶10＝2.4，46∶18＝2.，比值不相等，不能组成比例； B．11∶33＝，22∶66＝＝，比值相等，能组成比例； C．0.8∶5＝＝，16∶25＝，比值不相等，不能组成比例； D．0.4∶0.2＝2，∶＝×＝，比值不相等，不能组成比例。 故答案为：B 【易错专练4】在比例中，两个比的比值是最小的质数，这个比例的两个内项分别是8.4和6，这个比例可能是（ ）。 【答案】16.8∶8.4＝6∶3或12∶6＝8.4∶4.2 【分析】在比例中，两个比的比值是最小的质数即2。已知一个比例的两个内项分别是8.4和6，要考虑两种排列方式（8.4在前或6在前）；根据比值和已知的内项，求出外项，据此组成比例。 【解答】情况一：当8.4为前一个比的后项，6为后一个比的前项时： 2×8.4＝16.8 6÷2＝3 组成比例为16.8∶8.4＝6∶3 情况二：当6为前一个比的后项，8.4为后一个比的前项时： 2×6＝12 8.4÷2＝4.2 组成比例为12∶6＝8.4∶4.2 所以，这个比例可能是16.8∶8.4＝6∶3或12∶6＝8.4∶4.2。 【易错专练5】把6×8＝16×3改写成4个比例：6∶3＝（ ），3∶8＝（ ），16∶6＝（ ），3∶6＝（ ）。 【答案】16∶8 6∶16 8∶3 8∶16 【分析】利用比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。可把6和8看作比例的两个外项，把16和3看作比例的两个内项；或者把6和8看作比例的两个内项，把16和3看作比例的两个外项；据此写出符合要求的比例即可。 【解答】由分析可知： 把6×8＝16×3改写成4个比例：，，，。 易错点3：对比例的基本性质理解不透彻，错误运用比例的基本性质解比例。 【易错专练1】有2.5、4和10这三个数，再添上一个数，就可以组成一个比例，添上的数不能是（    ）。 A．1 B．1.6 C．6.25 D．16 【答案】B 【分析】比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。已知三个数2.5、4和10，要添一个数组成比例，把这三个数两两作为内项或外项，通过“两内项积÷已知外项”的方法求出第四个数。 【解答】当2.5和4作为内项，10作为外项时： 2.5×4÷10 ＝10÷10 ＝1 此时比例可以是10∶2.5＝4∶1。 当2.5和10作为内项，4作为外项时： 2.5×10÷4 ＝25÷4 ＝6.25 此时比例可以是4∶2.5＝10∶6.25。 当4和10作为内项，2.5作为外项时： 10×4÷2.5 ＝40÷2.5 ＝16 此时比例可以是2.5∶4＝10∶16。 能得到的第四个数分别是1、6.25、16，1.6无法通过这种方法得到。则添上的数不可能是1.6。 【易错专练2】一个比例的两个外项的积是最小的合数，一个内项是，另一个内项是（ ）。 【答案】10 【分析】比例的基本性质：比例中，两个外项的积等于两个内项的积，最小的合数是4，即两个外项的积是4，则×另一个内项＝4据此解答。 【解答】根据分析，另一个内项是： 4÷＝4×＝10 【易错专练3】解比例。 0.6∶4＝2.4∶x         【答案】x＝16；x＝0.1 【分析】（1）先根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），把比例方程改写成，然后方程两边同时除以前面的数值，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），交叉相乘得到，然后方程两边同时除以18，求出方程的解。 【解答】 解： 解： 【易错专练4】解方程。 14.4∶＝18∶5                       【答案】＝4；； 【分析】比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 第1题，根据比例的基本性质，把比例改写成方程，方程两边再同时除以18。 第2题，根据比例的基本性质，把比例改写成方程，方程两边再同时除以6.3。 第3题，根据比例的基本性质，把比例改写成方程，方程两边再同时除以。 【解答】14.4∶＝18∶5   解：18＝14.4×5 18＝72 18÷18＝72÷18 ＝4 解：              解： 【易错专练5】解方程或比例。 ＝            ＝∶                         ÷＝ 【答案】x＝5.6； x＝5；；x＝ 【分析】（1）根据比例的基本性质：内项积等于外项积，再结合等式的性质来解比例即可。 （2）根据比和除法的关系先计算出等式右边的算式，再结合等式的性质来解方程； （3）根据比例的基本性质：内项积等于外项积，再结合等式的性质来解比例即可； （4）根据等式的性质来解方程。 【解答】＝    解：0.5x＝2.8 0.5x÷0.5＝2.8÷0.5 x＝5.6 ＝∶ 解：＝÷ ＝×4 ＝ ÷＝÷ x＝×10 x＝5 解： ÷＝ 解：÷×＝× ＝ ÷＝÷ x＝× x＝ 易错点4：用比例解实际问题时判断比例关系错误。 【易错专练1】王阿姨冲了两杯浓度一样的牛奶，第一杯用了40克奶粉和160克水；第二杯用了200克的水，第二杯放了多少克奶粉？（用比例解） 【答案】50克 【分析】因为两杯牛奶浓度相同，所以第一杯牛奶中奶粉与水的质量比等于第二杯牛奶中奶粉与水的质量比。设第二杯用了x克奶粉，列出比例40∶160＝x∶200； 再根据比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积），把比例转化成方程，求出解。 【解答】解：设第二杯用了x克奶粉。 40∶160＝x∶200 160x＝200×40 160x＝8000 x＝8000÷160 x＝50 答：第二杯放了50克奶粉。 【易错专练2】果园里的桃树和苹果树棵数的比是5∶6，其中桃树有90棵，苹果树有多少棵？（用比例解答） 【答案】108棵 【分析】设苹果树有x棵，桃树的棵数∶苹果树的棵数＝5∶6，列比例：90∶x＝5∶6，解比例，即可解答。 【解答】解：设苹果树有x棵。 90∶x＝5∶6 5x＝90×6 5x＝540 x＝540÷5 x＝108 答：苹果树有108棵。 【点睛】本题考查了比例应用题，只要比例两侧的比统一即可。 【易错专练3】小明家这个月用电106度，电费是63.6元，小英家这个月用电95度，小英家这个月的电费是多少元？（用比例知识解答） 【答案】57元 【分析】当电价一定时，电费和用电度数成正比例，据此列出正比例即可。 【解答】小英家这个月的电费是元 x∶95＝63.6∶106 106x＝95×63.6 106x＝6042 106x÷106＝6042÷106 x＝57 答：小英家这个月的电费是57元。 【点睛】根据题意列出比例，是解答此题的关键。 【易错专练4】商场里甲、乙两款电子手表的价格比是5∶3，它们都打相同的折扣，折后甲款手表降价175元，乙款手表降价多少元？ 【答案】105元 【分析】根据题意，它们都打相同的折扣，所以折后甲款电子手表的降价的钱数与乙款手表降价的钱数比还是等于两款电子手表的价格比，即甲款手表降价的钱数∶乙款降价的钱数＝5∶3，设乙款手表降价x元，列比例：175∶x＝5∶3，解比例，即可解答。 【解答】解：设乙款手表降价x元。 175∶x＝5∶3 5x＝175×3 5x＝525 x＝525÷5 x＝105 答：乙款手表降价105元。 【点睛】解答本题的关键是明确打相同的折扣，降价的钱数比等于原来的价格比。 【易错专练5】一个书架上摆着两层书，如果从上层拿走20%，下层拿走25%后，上下两层剩下的图书数之比为2∶3，已知书架的上层原来有60本书，这个书架的下层原有多少本书？ 【答案】96本书 【分析】设这个书架的下层原有x本图书；先把上层原有图书的数量看作单位“1”，从上层拿走20%，还剩下（1－20%），用上层原有图书的数量×（1－20%），求出上层还剩下图书的数量；把下层原有图数的数量看作单位“1”，下层拿走25%，还剩下（1－25%），用下层图书原有的数量×（1－25%），求出剩下的图书的数量；现在上下两层剩下的图书数之比为2∶3，列比例：60×（1－20%）∶x×（1－25%）＝2∶3，解比例，即可解答。 【解答】解：设下层原来有x本书。 60×（1－20%）∶（1－25%）x＝2∶3 60×80%∶75%x＝2∶3 48∶75%x＝2∶3 75%x×2＝48×3 1.5x＝144 x＝144÷1.5 x＝96 答：这个书架的下层原有96本书。 易错点5：比例尺相关问题混淆。 【易错专练1】兰新高铁（兰州——乌鲁木齐）是世界第一条高原高铁，在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得它的图上距离约是36厘米。这条高铁的实际距离是多少千米？ 【答案】1800千米 【分析】由比例尺1∶5000000可知图上1厘米表示实际5000000厘米，即50千米，这条高铁的实际距离即为36个50千米，用乘法计算。 【解答】5000000厘米＝50千米 50×36＝1800（千米） 答：这条高铁的实际距离是1800千米。 【易错专练2】“天上瑶池，人间九寨”，是对九寨沟美景的高度赞美。家住重庆的米妮，在比例尺是1∶2500000的地图上，量得重庆到九寨沟的距离约24厘米，如果米妮的爸爸以80千米/时的速度自驾去九寨沟，多长时间可以到达？ 【答案】7.5小时 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，代入数据求出实际距离是多少厘米，再把厘米化成千米，再根据“时间＝路程÷速度”用实际距离除以80列式解答。 【解答】24÷＝24×2500000＝60000000（厘米） 60000000厘米＝600千米 600÷80＝7.5（小时） 答：如果米妮的爸爸以80千米/时的速度自驾去九寨沟，约7.5小时可以到达。 【易错专练3】青岛地铁1号线海底隧道是国内最深的海底隧道和最长的地铁海底隧道。在一幅比例尺是1∶100000的地图上，量得它的全长为8.1厘米；在另一幅比例尺是1∶90000的地图上，量得它的全长为多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】先用第一幅地图的图上距离除以比例尺求出实际距离，再用实际距离乘第二幅地图的比例尺求出新的图上距离。 【解答】8.1÷＝8.1×100000＝810000（厘米） 810000×＝9（厘米） 答：量得它的全长为9厘米。 【易错专练4】李白诗中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的大致意思是乘舟从白帝城到江陵一天就到了。华华为了验证李白是否“撒谎”，找到了一幅比例尺为1∶4000000的地图，量得从白帝城到江陵的距离约是15cm。假设船的速度为30千米/时，那么李白“撒谎”了吗？请通过计算说明。（一天记为24时） 【答案】李白没有“撒谎”。 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，即可计算出白帝城到江陵的实际距离，再根据路程=速度×时间，计算出李白从白帝城到江陵坐船一天行的路程，最后与白帝城到江陵的实际距离比较即可。 【解答】       答：李白没有“撒谎”。 【易错专练5】某校为了开展劳动教育，把一块三角形土地开辟成菜地，该三角形菜地底是75米，高是60米，把它画在比例尺是1∶500的平面图上，这个三角形菜地的图上面积是多少平方厘米？ 【答案】90平方厘米 【分析】已知三角形菜地的底与高的实际尺寸和平面图的比例尺，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1米＝100厘米”，求出三角形菜地的底与高的图上尺寸；再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出这个三角形菜地的图上面积。 【解答】75米＝7500厘米 60米＝6000厘米 7500×＝15（厘米） 6000×＝12（厘米） 15×12÷2 ＝180÷2 ＝90（平方厘米） 答：这个三角形菜地的图上面积是90平方厘米。 专题五确定位置 易错点1：错误判断方向。 【易错专练1】如图，以学校为观测点，图书馆在学校北偏东方向1200米处，那么图书馆的位置在点（    ）处。 A．M B．O C．P 【答案】A 【分析】以学校为观测点，结合“北偏东50°”的方向和比例尺算出的图上距离，对照各点的方位与距离判断即可。 【解答】A．M点：以学校为观测点，从正北方向向东（向右）偏转50°，正好是北偏东50°，符合方向要求。1200米＝120000厘米，120000÷60000＝2厘米，图中M点到学校的线段长度为2厘米，距离也完全匹配，因此M点符合题目要求。 B．O点：以学校为观测点，从正北方向向西（向左）偏转50°，属于北偏西50°，不符合方向要求。 C．P点：以学校为观测点，从正东方向向南（向下）偏转50°，属于东偏南50°，不符合方向要求。 【易错专练2】小明在小红南偏东方向20米处，小红在小明的（    ）。 A．南偏西 20米处 B．北偏东方向20米处 C．北偏西 20米处 D．北偏西方向20米处 【答案】D 【分析】物体位置具有相对性，即两个物体的位置关系是相对的，方向相反，角度相等，距离相等。据此解答。 【解答】南的相反方向是北，东的相反方向是西，且角度、距离相等。 因此，小红在小明的北偏西方向20米处。 【易错专练3】我国北斗卫星显示：台风中心位于A市北偏西25°方向，则A市位于台风中心（    ）方向。 A．北偏西25° B．南偏东65° C．西偏北25° D．东偏南65° 【答案】D 【分析】已知台风中心位于A市北偏西25°方向，根据位置的相对性，A市位于台风中心的方向应与给定方向相反。北偏西25°的相反方向为南偏东25°，即东偏南65°方向。 【解答】90°－25°＝65° 台风中心位于A市北偏西25°方向，则A市位于台风中心南偏东25°（或东偏南65°）方向。 故答案为：D 【易错专练4】一架飞机从某机场向南偏东40°方向飞行了1800千米，原航道返回时，要向（    ）。 A．北偏东40°方向飞行1800千米 B．南偏西40°方向飞行1800千米 C．北偏西40°方向飞行1800千米 D．南偏东40°方向飞行1800千米 【答案】C 【分析】原航道返回时，方向相反，角度和距离不变。据此解题。 【解答】一架飞机从某机场向南偏东40°方向飞行了1800千米，原航道返回时，要向北偏西40°方向飞行1800千米。 故答案为：C 【易错专练5】下图中点A、B、C为某部队军事演习区域，三点构成一个边长约400km的等边三角形，则B点在A点（    ）。 A．东偏北60°400km处 B．东偏北30°400km处 C．西偏南30°400km处 D．南偏西30°400km处 【答案】D 【分析】依据题意结合图示可知，利用等边三角形的特点可得∠BAC＝60°，利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，先确定观测点A，在A点画出十字（如图），再结合图确定方向角度、距离去解答。 【解答】由分析可知，90°－30°＝60°，B点在A点的南偏西30°或西偏南60°方向400km处。 故答案为：D 【易错专练6】在军事和医学上，人们通常将时钟和方向结合起来，用几点钟方向形象直观地描述物体的位置。结合钟面想一想，如果12点钟方向表示正北方，那么5点钟方向就是（ ）偏（ ）（ ）°方向。 【答案】南 东 30 【分析】时钟面上有12个大格，时针转一周12小时是360°，那么时针一小时旋转的角度是，即钟面上一大格的夹角是30°。如果“12点钟方向”表示正北方，根据“上北下南，左西右东”可知，5点钟方向从12点（正北）开始，顺时针转5个大格，因此再结合方向和角度解答。 【解答】已知12点钟方向是正北方，5点钟方向从12点（正北）开始，顺时针转5个大格，，这个方向在南偏东30°（或东偏南60°）的位置。 【易错专练7】如图，以灯塔为观察点，B岛在（ ）偏（ ）60°的方向上，距离是（ ）千米。 【答案】南 西 4 【分析】以灯塔为观测点，确定B岛在灯塔的主方向，在主方向的基础上偏转的方向与度数，以及距离即可。 【解答】以灯塔为观察点，B岛在南偏西60°的方向上，距离是4千米。 【易错专练8】一架朝北偏东30°方向飞行的飞机，接到指挥塔发出的指令：“前方有不明飞行物，请立即返航”。返航的飞机应该朝（ ）偏（ ）（ ）°方向飞行。 【答案】南 西 30 【分析】根据物体位置的相对性，返回路线与去程路线方向相反，角度相等。原方向是北偏东30°，返航方向即为原方向的反方向，南北互换，东西互换，角度不变。 【解答】原方向是北偏东30°，它的反方向是南偏西30°，所以返航的飞机应该朝南偏西30°（或西偏南60°）方向飞行。 易错点2：画图时混淆了观测点与被观测物体。 【易错专练1】淘气和笑笑相约到博物馆参观。淘气从家出发向北步行约2千米到达博物馆；笑笑家在博物馆北偏东方向3千米处，请在图中表示出淘气家和笑笑家的位置。 【答案】见详解 【分析】上北下南，左西右东，由题意可知，博物馆在淘气家北面2千米处，根据方向的相对性，方向相反，距离不变，图中1厘米表示1千米，可知淘气家在博物馆的南面2厘米处，即据此画出淘气家的位置；笑笑家在博物馆北偏东方向3千米处，以博物馆为观测点，根据上北下南，左西右东确定方向和角度，画3厘米长的距离确定笑笑家的位置。 【解答】 【易错专练2】周日，果果去游乐园玩，根据描述在图中表示出游乐设施的位置。 海盗船在摩天轮北偏西45°方向800米处，碰碰车在摩天轮南偏东70°方向1200米处，旋转木马在摩天轮南偏西30°方向400米处。 【答案】见详解 【分析】以摩天轮为观测点，在摩天轮正北往西偏转45°方向上截取800÷400＝2厘米，标出角度，终点处标注海盗船； 以摩天轮为观测点，在摩天轮正南往东偏转70°方向上截取1200÷400＝3厘米，标出角度，终点处标注碰碰车； 以摩天轮为观测点，在摩天轮正南往西偏转30°方向上截取400÷400＝1厘米，标出角度，终点处标注旋转木马。 【解答】作图如下： 【易错专练3】根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）图书馆在火车站的北偏西60°方向8km处。 （2）文文家在火车站的东偏南45°方向6km处。 （3）湖心公园在火车站的南偏西25°方向4km处。 【答案】（1）（2）（3）作图见详解 【分析】画图时要注意三个要素：一是确定观测点，二是根据上北下南，左西右东确定方向，三是根据图上1单位距离表示2km，确定图上距离。据此画图即可。 【解答】（1），作图如下： （2），作图如下： （3），作图如下： 【易错专练4】红兴谷研学营地举行“三军协同”作战模拟演习。请你作为总指挥，在指挥中心（军工智慧馆）完成以下部署： 陆军阵地：位于指挥中心的北偏东50°方向，距离750米。 海军舰队（旅顺号护卫舰）：位于指挥中心的南偏西35°方向，距离600米。 空军基地（无人机平台）：位于指挥中心的东偏南40°方向，距离450米。 请在下图中准确标出三支队伍的位置。 【答案】见详解 【分析】以指挥中心为观测点，在指挥中心正北往东偏转50°方向上截取750÷300＝2.5个单位长度，标出角度，终点处标注陆军阵地； 以指挥中心为观测点，在指挥中心正南往西偏转35°方向上截取600÷300＝2个单位长度，标出角度，终点处标注旅顺号护卫舰； 以指挥中心为观测点，在指挥中心正东往南偏转40°方向上截取450÷300＝1.5个单位长度，标出角度，终点处标注无人机平台，据此作图。 【解答】作图如下： 【易错专练5】在平面图上标出各个地点的位置。 （1）小明家在学校的正西方向900米处。 （2）电影院在学校的东偏北45°方向600米处。 （3）邮局在小明家的西偏北30°方向1200米处。 【答案】见详解 【分析】（1）以学校为中心，根据“上北下南左西右东”，向左（正西）画一条水平射线。由图可知：图上1段代表实际300米，图上距离900÷300＝3段，用直尺在正西射线上量出图上3段的长度，在量出的端点处标记“小明家”。 （2）以学校为顶点，在“东”和“北”之间，用量角器量出45°角，画出东偏北45°的射线。图上距离600÷300＝2段，在该射线上量出图上2段的长度，在端点处标记“电影院”和“东偏北45°”。 （3）以小明家为中心，在“西”和“北”之间，用量角器量出30°角，画出西偏北30°的射线。图上距离：1200÷300＝4段，在该射线上量出图上4段的长度，在端点处标记“邮局”和“西偏北30°”。 【解答】900÷300＝3（段） 600÷300＝2（段） 1200÷300＝4（段） 根据分析，画图如下： 【易错专练6】航模小组用3架航模飞机进行模拟飞行，它们的位置如图。 （1）②号机在①号机的（ ）偏（ ）（ ）°方向上，距离是（ ）m。 （2）③号机在②号机的北偏西20°方向上，距离是20m。根据描述，在图中用“·”标出③号机的位置。 【答案】（1）西 南 35 30 （2）见详解 【分析】（1）先根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法确定出方向，再根据给出的角度确定出具体位置，最后根据图上的1cm表示实际10m用图上的长度乘10即可得到实际距离； （2）先用实际距离除以10求出图上应该画多少cm，再根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法及给出的角度确定出③号机的位置并标注即可。 【解答】（1）3×10＝30（m） ②号机在①号机的西偏南35°方向上，距离是30m。 （2）20÷10＝2（cm） 作图如下： 【易错专练7】图书馆在教学楼的西北方200米处。体育馆在教学楼的东南方100米处。 （1）按1∶10000的比例尺在图中标出图书馆和体育馆的位置。 （2）请用一句话说明图书馆和体育馆所处的位置关系。 【答案】（1）见详解 （2）体育馆在图书馆的东南方向300米处或图书馆在体育馆西北方向300米处 【分析】（1）图上距离＝实际距离×比例尺，据此算出图书馆到教学楼，体育馆到教学楼的图上距离，根据上北下南左西右东，以教学楼为中心，画出西北方向200米的距离，和东南方向100米距离。 （2）可以以图书馆为中心，观察体育馆所处的位置和距离，位置关系描述为：体育馆在图书馆的什么方向多少米处。 【解答】（1）（1）200米＝20000厘米 100米＝10000厘米 20000×＝2（厘米） 10000×＝1（厘米） （2）通过观察上图，可知体育馆在图书馆的东南方向300米处或者图书馆在体育馆西北方向300米处。 【易错专练8】请根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）凉亭在街心花园的北偏东40°方向500米处。 （2）文化宫在街心花园的东偏南30°方向600米处。 （3）银行在街心花园的西偏北45°方向400米处。 【答案】见详解 【分析】（1）图中向上为正北方向，向左为正西方向，向右为正东方向，向下为正南方向；图中的一段表示100米；以街心花园为坐标原点，凉亭在街心花园北偏东40°方向500米，在上方偏右，与正北方的夹角为40°，长度是500÷100＝5段线段长； （2）文化宫在街心花园的东偏南30°方向600米处，在右方偏下，且与正东方向的夹角为30°，长度是600÷100＝6段线段长； （3）银行在街心花园的西偏北45°方向400米处，在左方偏上，且与正西方向的夹角为45°，长度是400÷100＝4段线段长。 【解答】（1）（2）（3）如图： 易错点3：描述简单的行走路线不完整。 【易错专练1】六年级同学要在梅园开展“赏梅探知”活动，需规划路线。以入口为起点，路线如下：入口（北偏西35°，100米）粉梅坡（东偏北25°，150米）梅文化长廊（正西方向，200米）出口。 （1）根据上面的描述，把六一班学生赏梅的路线图画完整。 （2）根据路线图，写出六一班学生从出口返回入口的路线。 （3）如果从终点返回起点用了30分钟，六一班学生返回时的平均速度是多少？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）15米/分 【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，根据给出的路程，图例可以选取图上1厘米相当于实际距离50米；结合方向、角度和距离画出六一班学生赏梅的路线图。（画法不唯一） （2）根据位置的相对性，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同，距离相同；由此写出六一班学生从出口返回入口的路线。 （3）先用加法求出终点与起点的距离，根据“速度＝路程÷时间”求出学生返回时的平均速度。 【解答】（1）可以选图上1厘米相当于实际距离50米为一段。 100÷50＝2（厘米） 150÷50＝3（厘米） 200÷50＝4（厘米） 如图： （画法不唯一） （2） 六一班学生从出口返回入口的路线：出口（正东方向，200米）梅文化长廊（西偏南25°，150米）粉梅坡（南偏东35°，100米）入口。 （3）（100＋150＋200）÷30 ＝450÷30 ＝15（米/分） 六一班学生返回时的平均速度是15米/分。 【易错专练2】 （1）如图，小蚂蚁从点A出发，先向北偏东（    ）方向爬2cm到达点B，接着又向（    ）偏（    ）方向爬2cm到达点C。 （2）小蚂蚁接着又向南偏西方向爬2cm到达点D，最后沿直线回到点A。请你根据描述补画小蚂蚁的爬行路线。 （3）以点C为圆心，BC为半径，画一个圆。 【答案】（1）60；北；西 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）以点A为观测点，根据图中标注的60°角确定从A到B的方向是北偏东60°；再以点B为观测点，结合图中标注的30°角，确定从B到C的方向是北偏西30°。 （2）由图可知，图上1段表示1厘米，以点C为观测点，向南偏西60°的方向量出2厘米也就是画出2段确定点D，再连接D和A，补全整个爬行路线。 （3）由图可知，BC的长度为2厘米，以点C为圆心，以BC的长度为半径，用圆规画圆即可。 【解答】 （1）从图中可以得出，小蚂蚁从点A出发，先向北偏东60方向爬2厘米到达点B，接着又向北偏西方向爬2厘米到达点C。 （2）题和（3）题答案见下图： 【易错专练3】人工智能给人们生活带来了方便。这是小康社区快递站的智能机器人行走路线图。 （1）智能机器人从快递站出发，向（ ）方向行走（ ）米可以到达A栋。从A栋出发，向（ ）方向行走（ ）米可以到达B栋。 （2）C栋位于B栋南偏东30°、距B栋15米的位置上。请你在图上画出C栋的位置。 【答案】（1）北偏西40° 20 东偏北30° 30 （2）见详解 【分析】（1）用方向和距离结合来确定路线时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。根据图上方向“上北下南，左西右东”和给定角度确定具体方向，再根据图上单位线段长度数量和1个单位长度代表的实际距离确定实际距离。 由图可知，图上1个单位长度代表实际距离5米，图上有几段就有几个5米。先以快递站作为观测点，向北偏西40°方向行走4×5米即可到达A栋；再以A栋作为观测点，向东偏北30°方向行走6×5米即可到达B栋。 （2）以B栋为观测点，在B栋南偏东30°方向截取（15÷5）个单位长度，终点处标注C栋。 【解答】（1）根据分析： 4×5＝20（米） 6×5＝30（米） 智能机器人从快递站出发，向北偏西40°方向行走20米可以到达A栋。从A栋出发，向东偏北30°方向行走30米可以到达B栋。（答案不唯一） （2）15÷5＝3（个） 在B栋南偏东30°方向截取3个单位长度，终点处标注C栋，如下图所示： 【易错专练4】下图是小强家与学校的位置示意图，根据要求回答问题。 （1）社区医院在学校的东偏南50°方向300m处。请在图中画出社区医院的位置。 （2）小强说：“放学后，我从学校出发，沿着南偏西30°方向走400m就到家了。”你认为小强描述的回家路线正确吗？（    ）（括号里填“正确”或“不正确”）。如果不正确，请在下面写出正确的回家路线。 正确的回家路线是：_____________________________。 【答案】（1）见详解 （2）不正确；沿着西偏南30°方向走400m就到家（答案不唯一）。 【分析】（1）先确定观测点为学校；再根据图上方向“上北下南，左西右东”确定方向为由东往南，夹角为50°；最后根据距离确定线段数量。据此画出社区医院的位置。 （2）由图可知，学校在小强家东偏北30°方向上，根据方向的相对性可知，小强家和学校方向相反，角度相同，距离相等。“东”的相反方向是“西”，“北”的相反方向是“南”，所以小强从学校出发，应往西偏南30°方向走400m到家。 【解答】（1）根据分析： 300÷100＝3（个） 所以在图中东偏南50°方向取3个单位长度，终点处备注社区医院，如下图所示： （2）根据分析： 小强说：“放学后，我从学校出发，沿着南偏西30°方向走400m就到家了。”我认为小强描述的回家路线不正确。 正确的回家路线是：沿着西偏南30°方向走400m就到家（答案不唯一）。 【易错专练5】星期天，亮亮从家出发，先向西偏北30°方向走300m到达邮局，然后向南偏西60°方向走400m到达超市，最后向北偏西45°方向走100m到达图书馆。 （1）根据上面的描述，在图中画出亮亮去图书馆的路线。 （2）亮亮在图书馆看完书后沿原路回家，请你写一写他回家的路线。 （3）城市规划中，亮亮家附近有一个半径为100m的圆形荷花池，请你在下图中用圆规画出这个圆形的荷花池，并用标出荷花池的圆心、半径、直径。 【答案】见详解 【分析】（1）根据“上北下南，左西右东”的方位原则，结合题目中给出的西偏北、南偏西、北偏西等具体方向描述，确定各段路线的方向。图中标注1段代表100m，用实际距离除以100得出对应的图上距离，来确定各段路线在图上的长度，从而准确绘制出路线。 （2）根据方向的相对性，去程和回程的方向是相反的，角度不变。沿原路返回，所以每一段的路程与去图书馆时的路程相同，即从图书馆到超市是100m，超市到邮局是400m，邮局到家是300m，据此写出亮亮回家的路线。 （3）圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点称为圆心O，定长称为半径r，直径d＝2r。已知荷花池半径为100m，根据图中的1段代表100m，确定圆规两脚间的距离为图中1段的长度，从而画出符合实际大小的圆形荷花池，并能正确标注圆心、半径和直径。 【解答】（1）300÷100＝3（段） 400÷100＝4（段） 100÷100＝1（段） 如图： （2）亮亮从图书馆出发，先向南偏东45°方向走100m到达超市，然后向北偏东60°方向走400m到达邮局，最后向东偏南30°方向走300m到家。 （3）如图：（荷花池位置不唯一） 【易错专练6】同学们参加夏令营，老师说从宿舍向北偏西60°方向走50米处是卫生间，再向正西方向走100米到达训练场，再向南偏西45°方向走150米到达食堂。 （1）根据老师的叙述，在上图中画出各场所的位置。 （2）同学们在食堂吃完饭后，经过训练场和卫生间最后返回宿舍，写出他们返回时的路线。 （3）如果同学们从宿舍经过卫生间和训练场到达食堂再原路返回一共用时10.8分钟并且返回时间与去时的时间之比为5∶4，那么去时用了多少分钟？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）4.8分钟 【分析】（1）以宿舍为观测点，卫生间在宿舍以北方向为主方向，在北方向的基础上向西方向偏转60°方向上，图中1段代表50米，50÷50＝1（段），宿舍到卫生间有1段； 以卫生间为观测点，训练场在宿舍以正西方向为主方向，图中1段代表50米，100÷50＝2（段），训练场到卫生间有1段； 以训练场为观测点，食堂在训练场以南方向为主方向，在南方向的基础上向西方向偏转45°方向上，图中1段代表50米，150÷50＝3（段），训练场到食堂有3段； 由此即可画图。 （2）根据“上北下南，左西右东”，返回时路线的方向相对，角度和距离不变，即可描述路线。 （3）从宿舍经过卫生间和训练场到达食堂再原路返回一共用时10.8分钟并且返回时间与去时的时间之比为5∶4，则返回的时间看作5份，去时的时间看作4份，则一共看作5＋4＝9份，则去时的时间占总时间10.8分钟的，用总时间10.8分钟乘对应分率即可运算。 【解答】 （1） （2）从食堂出发，向北偏东45°走150米到达训练场，再向正东方向走100米到达卫生间，再从卫生间向南偏东60°走50米回到宿舍。 （3）（分钟） 答：去时用了4.8分钟。 专题六正比例与反比例 易错点1：对正比例关系中两种量理解有误。 【易错专练1】以下（    ）中的两种量成正比例。 A．一个人的身高和年龄 B．速度一定，行驶的时间和总路程 C．做题的时间一定，做每道题所用的时间与做题的数量 【答案】B 【分析】A．身高和年龄的比值不固定，且变化关系非单调递增。 B．，变形可得。题目已知速度一定，即路程与时间的比值（商）是固定的常数。 C．，变形可得。总时间一定，这两种量的乘积是固定的常数。 【解答】根据分析： A．身高与年龄的比值无固定规律，排除。 B．因为，符合正比例定义，当选。 C．因为，这是反比例关系，排除。 【易错专练2】x和y表示两种相关联的量，同时5x－7y＝0，x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】A 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【解答】根据题意，已知，即。 根据比例的基本性质，将写成比例式：（一定），所以，x和y成正比例。 故答案为：A 【易错专练3】下面有关正方体的一些量，成正比例关系的一组是（    ）。 A．体积与棱长 B．表面积与棱长 C．底面积与表面积 【答案】C 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。根据定义判断。 【解答】正方体中： 体积与棱长，体积：棱长＝底面积（不一定）所以体积与棱长不成比例； 表面积与棱长，表面积：棱长＝棱长×6（不一定）所以表面积与棱长不成比例； 底面积与表面积，表面积：底面积＝6（一定）所以底面积与表面积成正比例。 故答案为：C 【易错专练4】下面表示x和y（均不为0）成正比例的式子是（    ）。 A．x＋y＝12 B．x－y＝12 C．xy＝12 D．x∶y＝12 【答案】D 【分析】判断x和y是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例。据此进行分析。 【解答】根据分析得： A.，不是比值一定，所以x与y不成正比例； B.，不是比值一定，所以x与y不成正比例； C.，不是比值一定，所以x与y不成正比例； D.，是比值一定，所以x与y成正比例。 故答案为：D 【易错专练5】圆柱的高一定。圆柱的体积与（    ）成正比例。 A．底面周长 B．底面半径 C．底面面积 D．底面直径 【答案】C 【分析】圆柱的体积公式为，当高h一定时，体积V与底面积成正比例关系，因为此时，即体积与底面积的比值为常数h。因此，圆柱的体积与底面积成正比例。 【解答】根据分析可知：圆柱的高一定。圆柱的体积与底面面积成正比例。 故答案选：C 易错点2：错误理解反比例的意义。 【易错专练1】下面各题中两种相关联的量成反比例的是（    ）。 A．长方形的长和宽 B．圆的周长一定，直径和 C．三角形面积一定，它的底和高 D．正方体的表面积和底面积 【答案】C 【分析】两种相关联的量中相对应的两个数，如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。 【解答】A．长方形的长和宽，长方形的长和宽没有乘除关系，所以长和宽不成比例； B．圆的周长一定，直径和π，圆的周长＝直径×π，π是一个固定值，直径和π不成比例； C．三角形面积一定，它的底和高，三角形的面积＝底×高÷2，可得底×高＝三角形的面积×2，三角形面积一定，故底和高的乘积一定，所以它的底和高成反比例；      D. 正方体的表面积和底面积；正方体的表面积＝底面积×6，可得正方体的表面积÷底面积＝6，可得正方体的表面积和底面积的比值一定，所以表面积和底面积成正比例。 【易错专练2】下列选项中，说法错误的是（    ）。 A．三角形面积一定，底与高成反比例 B．一个人的年龄与体重成正比例 C．购买苹果的单价一定，数量与总价成正比例 D．工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例 【答案】B 【分析】两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，就成正比例关系；若它们的乘积一定，就成反比例关系，据此逐项分析。 【解答】A．三角形面积一定时，底×高＝面积×2（乘积一定），所以底与高成反比例，说法正确； B．一个人的年龄和体重不是相关联的定量，比值和乘积都不固定，不成正比例，说法错误； C．苹果单价一定时，总价÷数量＝单价（比值一定），数量与总价成正比例，说法正确； D．工作总量一定时，工作效率×工作时间＝工作总量（乘积一定），二者成反比例，说法正确。 因此说法错误的是一个人的年龄与体重成正比例。 【易错专练3】如果A与B成正比例，B与C成反比例，那么A与C（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】A与B成正比例，则A∶B的比值一定；设A∶B＝m（定值）。 B与C成反比例，则B×C一定。设BC＝n（定值）。 BC＝n，则B＝ A∶B＝m A∶＝m A÷（n÷C）＝m A÷n×c＝m A÷n＝m÷c A∶n＝m∶C AC＝mn（定值），则A与C成反比例。 如果A与B成正比例，B与C成反比例，那么A与C成反比例。 【易错专练4】下面三个关系式中，x和y成反比例关系的是（    ）。（x，y均不为0） A．（x＋1）y＝8 B． C． 【答案】B 【分析】判断x和y是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例。据此进行分析。 【解答】根据分析得： A.，则，并非单纯的x和y的积一定，所以x与y不成反比例关系； B.，则，x和y的积一定，所以x与y成反比例关系； C.，则，并非x和y的积一定，所以x与y不成反比例关系。 故答案为：B 【易错专练5】商品的总价、商品的单价、商品的数量这三种相关联的量中，当（    ）一定时，其他两种量成反比例。 A．商品的总价 B．商品的单价 C．商品的数量 D．无法确定 【答案】A 【分析】两种相关联的量，若一种量变化，另一种也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。字母关系为：xy＝k（一定）。再根据总价＝单价×数量，所以当商品的总价一定时，其他两种量成反比例。据此解答。 【解答】由分析可得，商品的总价、商品的单价、商品的数量这三种相关联的量中，当商品的总价一定时，其他两种量成反比例。 故答案为：A 易错点3：对正比例图像认识不深刻。 【易错专练1】下图是关于（    ）的图象。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图形是一条过原点的直线。 两种相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量的乘积一定，则它们成反比例。据此分析即可。 【解答】根据题意，该图像是经过原点的一条直线，所以是正比例图像。观察图像，当x＝6时，y＝3，说明x÷y＝2。 A．，说明y÷x＝2，y和x的商一定，y和x成正比例。但是不符合图像。 B．，说明xy＝1，x和y的积一定，x和y成反比例。不符合题意。 C．，说明x÷y＝2，x和y的商一定，x和y成正比例。符合题意。 D．， x和y的积一定，x和y成反比例。不符合题意。 故答案为：C 【易错专练2】下图描述了某游泳池进水管打开后的进水情况，按图中的速度给这个游泳池注水750m3，一共需要（    ）分钟。 A．25 B．50 C．75 D．150 【答案】C 【分析】从图像可知，进水量与时间的图像是一条经过原点的直线，说明进水量与时间的比值是一个定值，所以进水管的进水量与时间成正比例关系。由图像可知，1分钟进水量为10立方米，根据“时间＝进水量÷进水速度”，可计算注水750立方米所需时间。 【解答】（分） 按图中的速度给这个游泳池注水750m，一共需要75分钟。 故答案为：C 【易错专练3】如图表示两个相关联变量的关系，这两个变量可能是（    ）。 A．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和地砖的块数 B．某班今天的出勤人数和缺勤的人数 C．工程队修一条路，平均每天修路的长度和所需的天数 D．笔记本的单价一定，购买笔记本的数量和所用的总钱数 【答案】D 【分析】图象是一条经过原点的直线，即是正比例图象，所以这两个相关联的量成正比例关系；据此逐项分析，找出成正比例关系的即可。 判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【解答】A．每块地砖的面积×地砖的块数＝一间教室的面积（一定），乘积一定，则每块地砖的面积和地砖的块数成反比例关系，与图象不相符； B．出勤的人数＋缺勤的人数＝总人数（一定），和一定，则出勤人数和缺勤的人数不成比例，与图象不相符； C．平均每天修路的长度×所需的天数＝一条路的长度（一定），乘积一定，则平均每天修路的长度和所需的天数成反比例关系，与图象不相符； D．所用的总钱数÷购买笔记本的数量＝笔记本的单价（一定），商一定，则购买笔记本的数量和所用的总钱数成正比例关系，与图象不相符。 故答案为：D 【易错专练4】如图所示的图象表示甲、乙两辆汽车行驶的时间和路程情况。 （1）甲汽车的速度是（ ）千米/分，乙汽车的速度是（ ）千米/分。 （2）行驶12km路程，甲汽车比乙汽车少用（ ）分钟。 （3）两车同时出发，8分钟后甲汽车比乙汽车多行（ ）km。 【答案】（1）2 1 （2）6 （3）8 【分析】（1）找出甲/乙直线的一点，用点对应的路程除以时间即可； （2）找出路程是12千米时，甲、乙两汽车的直线图上对应的时间，两时间的差就是答案； （3）找到时间轴上的8分钟，甲、乙在两直线图上对应的路程，两路程的差就是要求的答案； 【解答】（1）甲的速度：（千米/分）；乙的速度：（千米/分） （2）根据图像：12千米时，甲用时6分钟，乙用时12分钟，（分钟） （3）根据图像：8分钟时，甲的路程是16千米，乙的路程是8千米：（千米） 【易错专练5】下图是甲、乙两个水龙头打开后的出水量情况对比。 （1）水龙头的出水量和打开时间成（ ）比例关系。 （2）从图像上看，流量更大的水龙头是（ ）。 （3）甲水龙头打开40分钟的出水量是（ ）升；乙水龙头出水8升时用时大约（ ）分钟。 【答案】（1）正 （2）乙 （3）8 27 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例关系。正比例的图象是一条经过原点的直线。据此解答。 （2）在相同时间内，出水量越多，流量越大。从图像上看，相同时间内乙水龙头的出水量比甲水龙头多，例如40分钟时，甲水龙头出水量是8升，乙水龙头出水量是12升，8＜12，所以流量更大的水龙头是乙。 （3）对于甲水龙头，从图像上看，甲水龙头60分钟出水量是12升，那么甲水龙头的流量是12÷60＝0.2升/分钟，所以甲水龙头打开40分钟的出水量是0.2×40＝8升。 对于乙水龙头，从图像上看，乙水龙头40分钟出水量12升，那么乙水龙头的流量是12÷40＝0.3升/分钟，所以乙水龙头出水8升时用时大约8÷0.3≈27分钟。 【解答】（1）水龙头的出水量和打开时间成正比例关系。 （2）从图像上看，流量更大的水龙头是乙。 （3）12÷60×40 ＝0.2×40 ＝8（升） 8÷（12÷40） ＝8÷0.3 ≈27（分钟） 甲水龙头打开40分钟的出水量是8升；乙水龙头出水8升时用时大约27分钟。 易错点4：比例关系的实际应用错误。 【易错专练1】可可妈妈要用方砖铺地。用边长4分米的方砖铺需要90块，如果改用面积36平方分米的方砖需多少块？（用比例知识解答） 【答案】40块 【分析】地面的总面积不变。每块方砖的面积＝边长×边长；每块方砖的面积×需要的块数＝地面总面积，所以每块方砖的面积与需要的块数成反比例关系。先设需要的块数为未知数，根据反比例关系列出乘积相等的方程进行求解。 【解答】解：设面积36平方分米的方砖需要块。 答：需用方砖40块。 【易错专练2】制作一种饮品，每200克的水中需要加入40克的原浆，按照这样的比例计算，如果有1500克的水，需要准备多少克的原浆？（列比例解答） 【答案】300克 【分析】水质量和原浆质量成正比例关系，设1500克水需要准备x克原浆，再根据比例关系列式解答。 【解答】 答：需要准备300克原浆。 【易错专练3】邢氏刺绣是河北省级非物质文化遗产。某同学在尝试刺绣时需要购买一种丝线，丝线长度和应付金额如下表。 长度/m 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 24 48 72 96 120 … （1）判断这种丝线的长度和应付金额是否成正比例，并说明理由。 （2）300元可以买多少米这种丝线？购买35m这种丝线需要多少元？ 【答案】（1）丝线的长度和应付金额成正比例。理由：丝线的长度和应付金额的比值一定。 （2） 300元可以买12.5米这种丝线。购买35m这种丝线需要840元。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。根据正比例定义解答。 先算出1米丝线价钱，再根据总价÷单价＝数量、单价×数量＝总价这两个数量关系来解答。 【解答】丝线长度与应付金额是两个相关联的量，应付金额随着购买丝线长度的变化而变化，、、、、，应付金额：丝线长度＝每米丝线价钱（一定）所以丝线的长度和应付金额成正比例。 答：丝线的长度和应付金额成正比例。理由：丝线的长度和应付金额的比值一定。 （元/米）（米）（元） 答：300元可以买12.5米这种丝线。购买35m这种丝线需要840元。 【易错专练4】一辆汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 （1）写出行驶路程和时间的比，填在表中。 （2）根据上面的结果写出两个比例。 （3）算一算：行驶60分钟，小汽车行驶多少千米？ 【答案】 （1）3∶2，3∶2，3∶2，3∶2，3∶2 （2）4.5∶3=7.5∶5；15∶10=30∶20（答案不唯一） （3）90千米 【分析】（1）根据比的意义，即可写出各列中行驶路程和行驶时间的比，不是最简整数比的要根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）化成最简整数比，然后填表； （2）表示两个比相等的式子叫比例，由（1）可知每列中行驶路程和行驶时间的比相同，即行驶路程和行驶时间成正比例，据此可写出其中两组比例（答案不唯一）； （3）设小汽车60分钟行驶千米，据此列出比例∶60＝3∶2，再根据比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）解比例即可。 【解答】（1）4.5∶3 ＝（4.5÷1.5）∶（3÷1.5） ＝3∶2 7.5∶5 ＝（7.5÷2.5）∶（5÷2.5） ＝3∶2 15∶10 ＝（15÷5）∶（10÷5） ＝3∶2 30∶20 ＝（30÷10）∶（20÷10） ＝3∶2 填表如下： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 3∶2 3∶2 3∶2 3∶2 3∶2 （2）由（1）可写出两个比例： 4.5∶3＝7.5∶5；15∶10＝30∶20（答案不唯一） （3）解：设小汽车60分钟行驶千米。 ∶60＝3∶2 ＝60×3 ＝180 ＝180÷2 ＝90 答：行驶60分钟，小汽车行驶90千米。 【易错专练5】同学们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？ （1）用列表法整理题中的信息和所求问题。 每行站的人数 站的行数 （2）题目里相关联的两种量是（                 ）与（                 ）。 （3）根据“同学们做操”可知，（    ）是一定的，也就是说每行站的人数与站的行数的（    ）一定，因此这两种相关联的量成（    ）比例关系。 （4）请你用比例知识解答。 【答案】（1）（竖排）20；18；24；？ （2）每行站的人数；站的行数 （3）总人数；乘积；反 （4）15行 【分析】（1）根据题目信息，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，需要求出可以站多少行。将这些信息填入表格即可。 （2）题目中提到的两种量是每行站的人数和站的行数，它们是相关联的量。 （3）根据“同学们做操”可知，总人数是一定的。因为总人数=每行站的人数×站的行数，所以每行站的人数与站的行数的乘积一定。因此这两种相关联的量成反比例关系。 （4）设可以站x行，根据总人数是一定的，列出比例式，求解方程即可。 【解答】（1）填入表格： 每行站的人数 20 24 站的行数 18 ？ （2）题目里相关联的两种量是每行站的人数与站的行数。 （3）根据“同学们做操”可知，总人数是一定的，也就是说每行站的人数与站的行数的乘积一定，因此这两种相关联的量成反比例关系。 （4）解：设可以站x行。                                   答：可以站15行。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $