第三讲 解决问题的策略 （讲义+强化训练）-2024-2025学年苏教版六年级下册期末复习宝典

第三讲 解决问题的策略 考点1 比的应用 3 考点2 鸡兔同笼问题 8 考点回顾 1．比的应用 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 2．鸡兔同笼问题 解决鸡兔同笼的方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法 公式1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数； 总只数-鸡的只数=兔的只数 公式2：（ 总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式3：总脚数÷2-总头数=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数 公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数 公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡 公式7：4×+2（总数-x）=总脚数 （x=兔，总数-x=鸡数，用于方程） 公式8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数． 方法归纳 （1）考查比的实际应用相关问题时，解答此题的关键是理解比值表示的含义与问题所提出对象的关系，然后根据比例关系解决问题 （2） 鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 考点1 比的应用 典例 例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（　　） A、2：1            B、1：2             C、1：1              D、3：1 【分析】根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高=面积×2÷底；平行四边形的高=面积÷底，由此即可进行比较，解答问题． 【解答】三角形的高=面积×2÷底， 平行四边形的高=面积÷底， 当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍． 所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1． 故选：A． 【点评】考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍． 例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（　　） A、2：1            B、32：9            C、1：2           D、4：3 【分析】根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间=路程÷速度，可得甲用的时间为1÷=，乙用的时间为÷1=；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可． 解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为， 把甲的路程看做1，那么乙的路程就为， 甲用的时间为：1÷=， 乙用的时间为：÷1=， 甲乙用的时间比：：=（×24）：（×24）=32：9； 【解答】甲乙所需的时间比是32：9． 故选：B． 【点评】关键是把速度和路程设出来，然后根据时间=路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 【变式练1】（2025春•江阴市期中）客货两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。客车和货车的速度比是5：4，当两车相遇时，距离两地中点36千米。甲、乙两地相距（　　）千米。 A．36 B．72 C．324 D．648 【答案】D 【分析】两车相遇时，它们的速度比就是所行路程的比。把甲、乙两地的距离看作单位“1”，相遇时，客车行了全程的，货车行了全程的，相遇时，客车比货车多行了2个36千米。根据分数除法的意义，用（36×2）千米除以（-）就是甲、乙两地的距离。 【解答】解：36×2÷（-） =72÷（-） =72÷ =648（千米） 答：甲、乙两地相距648千米。 故选：D。 【变式练2】（2024秋•灞桥区期末）酸梅粉兑水可以制成酸梅汤，有两杯酸梅汤，1号杯中酸梅粉与水的质量比是1：4，2号杯中酸梅粉与酸梅汤的质量比是1：4，那么两杯酸梅汤相比，（　　） A．1号比较浓 B．2号比较浓 C．一样浓 D．无法确定 【答案】B 【分析】读题可知：将1号杯中酸梅粉与水的质量比转化为酸梅粉与酸梅汤的质量比，进而根据比值大小得解。 【解答】解： 即：2号杯中酸梅粉占酸梅汤的比率高，比较浓。 故选：B。 【变式练3】（2025春•汶上县期中）一个圆锥与一个圆柱的体积之比是5：3，高之比是4：3，圆锥的底面积是60cm2，那么圆柱的底面积是 ______cm2。 【答案】16。 【分析】设圆锥的高为4h,则圆柱的高为3h,再设圆柱的底面积为S。根据圆柱的体积计算公式“V=Sh”、圆锥的体积计算公式“V=Sh”及“圆锥与一个圆柱的体积之比是5：3”即可列比例解答。 【解答】解：设圆锥的高为4h,则圆柱的高为3h,再设圆柱的底面积为S。 （60×4h×）：（S×3h）=5：3  80h：3Sh=5：3  80：3S=5：3  15S=80×3  S=  S=16 答：圆柱的底面积是16cm2。 故答案为：16。 【变式练4】（2025•渝北区）有三个梯形甲、乙、丙，它们高之比依次是1：2：3，上底之比依次是6：9：4，下底之比依次是12：15：10，已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是 ______平方厘米。 【答案】150平方厘米。 【分析】将甲、乙、丙的高看作1、2、3份，上底看作6、9、4份，下底看作12、15、10份，根据梯形的面积公式分别求出它们的面积的份数，再求乙、丙两个梯形面积份数是甲的几倍，由甲的面积是30平方厘米，即可求出乙、丙的面积之和。 【解答】解：甲的面积份数：（6+12）×1÷2=9 乙的面积份数：（9+15）×2÷2=24 丙的面积份数：（4+10）×3÷2=21 乙、丙梯形面积份数之和是甲梯形份数的几倍： （21+24）÷9 =45÷9 =5 故乙丙梯形面积之和为：30×5=150（平方厘米）。 答：乙与丙两个梯形的面积之和是150平方厘米。 故答案为：150。 【变式练5】（2025•黄埔区）小明家饲养的鸡与猪的数量比为26：5，猪与马的数量比为4：3。如果鸡有312只，求马有多少匹？ 【答案】45匹。 【分析】根据题意，鸡：猪=26：5，猪：马=4：3，根据比的基本性质，把鸡：猪=26：5的前项和后项同时乘4可得鸡：猪=104：20；把猪：马=4：3的前项和后项同时乘5可得猪：马=20：15，从而得到鸡：猪：马=104：20：15，即得马：鸡=15：104，再根据分数乘法的意义，用鸡的只数乘马占鸡的分率，即可求出马的匹数。 【解答】解：鸡：猪=26：5=104：20 猪：马=4：3=20：15 鸡：猪：马=104：20：15 马：鸡=15：104 312×=45（匹） 答：马有45匹。 【变式练6】（2025春•冷水滩区校级期中）某公司有两个车间，第一车间与第二车间职工人数比为3：2，如果从第一车间调4人到第二车间，则第一车间与第二车间职工人数比为5：4。两个车间原来各有员工多少人？ 【答案】54人；36人。 【分析】设第一车间原来有员工3x人，第二车间原来有员工2x人，再根据从第一车间调4人到第二车间后，第一车间与第二车间职工人数比为5：4，列出比例式，再解比例即可解答。 【解答】解：设第一车间原来有员工3x人，第二车间原来有员工2x人。 （3x-4）：（2x+4）=5：4 4（3x-4）=5（2x+4） 12x-16=10x+20 2x=36 x=18 第一车间：18×3=54（人）， 第二车间：18×2=36（人）。 答：第一车间原来有54人，第二车间原来有36人。 考点2 鸡兔同笼问题 典例 例1：鸡兔同笼，鸡兔共35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？ 【分析】假设全部是兔子，有35×4=140只脚，已知比假设少了：140-94=46只，一只鸡比一只兔子少（4-2）只脚，所以鸡有：46÷（4-2）=23只；兔子有：35-23=12只． 解：鸡：（35×4-94）÷（4-2）， =46÷2， =23（只）； 兔子：35-23=12（只）； 【解答】鸡有23只，兔子有12只． 【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可． 例2：班主任王老师，在期末用50元买了2.5元和1.5元的水笔共30支，准备作为优秀作业的奖品．那么2.5元和1.5元的水彩笔各多少支？ 【分析】假设30支全是2.5元的水笔，则用30×2.5=75元，这样就多75-50=25元；用25÷（2.5-1.5）=25支得出1.5元的水笔支数，进而得出2.5元的水笔数量． 【解答】1.5元的水笔数量： 25÷（2.5-1.5） =25÷1 =25（支）， 30-25=5（支）， 答：2.5元的水彩笔5支，1.5元的水彩笔25支． 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可． 公式1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数； 总只数-鸡的只数=兔的只数 公式2：（ 总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式3：总脚数÷2-总头数=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数 公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数 公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡 公式7：4×+2（总数-x）=总脚数 （x=兔，总数-x=鸡数，用于方程） 公式8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数． 【变式练1】（2024秋•浑南区期末）鸡兔同笼，有9个头，30条腿，兔有（　　）只。 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】假设全部是兔子，有9×4=36（只）脚，已知比假设少了：36-30=6（只），一只鸡比一只兔子少（4-2）只脚，所以鸡有：6÷（4-2）=3（只）；兔子有：9-3=6（只）。 【解答】解：鸡：（9×4-30）÷（4-2） =（36-30）÷2 =6÷2 =3（只） 兔：9-3=6（只） 答：兔有6只。 故选：C。 【变式练2】（2024•龙亭区校级模拟）6个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？（　　） A．131 B．130 C．128 D．127 【答案】A 【分析】6个空瓶可以换一批汽水，实际是买了5瓶可以喝到6瓶，则喝到的和买到的比是6：5，设买x瓶汽水，列方程计算即可。 【解答】解：6个空瓶可以换一批汽水，实际是买了5瓶可以喝到6瓶，设买x瓶汽水，由题意得： 157：x=6：5 6x=785 x≈131 故选：A。 【变式练3】（2024秋•龙华区期末）乒乓球训练馆内同时在进行单打和双打的训练，共有16张乒乓球桌，共有38人在打球。那么，进行单打的桌子有 ______张，进行双打的桌子有 ______张。 【答案】13；3。 【分析】假设16张乒乓球桌都在进行双打训练，那么就有（4×16）人，比实际多了（4×16-38）人，每张双打的乒乓球桌比每张单打的乒乓球桌多（4-2）人，用多出的人数除以（4-2），即可求出进行单打的桌子有多少张，用总张数减去进行单打的桌子的张数，剩下的就是进行双打的桌子的张数。 【解答】解：（4×16-38）÷（4-2） =（64-38）÷2 =26÷2 =13（张） 16-13=3（张） 答：进行单打的桌子有13张，进行双打的桌子有3张。 故答案为：13；3。 【变式练4】（2024秋•洛阳期末）钱包里有20元和50元的人民币共20张，合计460元，那么20元的有 ______张，50元的有 ______张。 【答案】18；2。 【分析】假设全是50元的人民币，则面值是50×20=1000（元），这比已知的460元多出了1000-460=540（元），因为1张50元的人民币比1张20元的人民币面值多50-20=30（元），所以20元的人民币应该是540÷30=18（张），由此即可解决问题。 【解答】解：假设全是50元的人民币，则20元的人民币有： （50×20-460）÷（50-20） =540÷30 =18（张） 则50元的有：20-18=2（张） 答：20元的有18张，50元的有2张。 故答案为：18；2。 【变式练5】（2024秋•西安期末）2024年是新中国成立75周年，西安市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】6组，12组。 【分析】假设18组都是双人合唱，那么参加比赛的学生有（18×2）名，比实际参加比赛的学生多（18×2-30）名，每组单人独唱比每组双人合唱少（2-1）名学生，用比实际多的学生人数除以每组单人独唱比每组双人合唱少的学生人数，即可求出单人独唱的组数，用总组数减去单人独唱的组数，即可求出双人合唱的组数。 【解答】解：单人独唱：（18×2-30）÷（2-1） =（36-30）÷1 =6÷1 =6（组） 双人合唱：18-6=12（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 【变式练6】（2024秋•锦江区期末）邮票的种类繁多，有普通邮票、纪念邮票、特种邮票、航空邮票、军用邮票、个性化邮票等等，不同种类的邮票具有不同的特点和价值，为集邮爱好者提供了丰富的选择。暖暖用10元钱正好买了2角和5角的邮票共35张，这两种邮票各买了多少张？ 【答案】5角的10张，2角的25张。 【分析】10元=100角，假设都是5角的，则一共需要35×5=175（角），实际比假设少花了：175-100=75（角），一张2角的比一张5角的少（5-2）角，所以2角的有：75÷（5-2）=25（张），5角的有：35-25=10（张）。 【解答】解：10元=100角 2角的：（35×5-100）÷（5-2） =（175-100）÷3 =75÷3 =25（张） 5角的：35-25=10（张） 答：5角的邮票买了10张，2角的邮票买了25张。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 解决问题的策略 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．王君上月支出1800元，支出与收入的比是2：7。王君上月收入是（　　） A．1800元 B．16200元 C．12600元 D．6300元 2．酸梅粉兑水可以制成酸梅汤，有两杯酸梅汤，1号杯中酸梅粉与水的质量比是1：4，2号杯中酸梅粉与酸梅汤的质量比是1：4，那么两杯酸梅汤相比，（　　） A．1号比较浓 B．2号比较浓 C．一样浓 D．无法确定 3．下列的比都是三角形三个内角的度数比，（　　）是等腰直角三角形。 A．1：1：1 B．1：2：3 C．1：1：2 D．2：2：3 4．一个三角形，三个内角度数的比是2：5：3，则这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 5．甲乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水，已知甲瓶中盐、水的比是2：9，乙瓶中盐、水的比是3：10，现在把甲乙两瓶盐水混合在一起，则混合盐水中盐与水的比是（　　） A．5：19 B．5：21 C．5：24 D．59：227 6．成年人的身高与足长的比大约是7：1，某小区发生了一起盗窃事件，在犯罪现场留下了一个长25厘米的足印。经过周密侦察，锁定了四名犯罪嫌疑人，下表是这四名犯罪嫌疑人的身高记录。根据表中信息可以推断嫌疑最大的是（　　） 犯罪嫌疑人 李某 谭某 向某 刘某 身高（厘米） 182 176 168 162 A．李某 B．谭某 C．向某 D．刘某 7．三箱苹果共重24千克，如果从第一、第二箱中各拿出1千克给第三箱，这三箱苹果的比是2：1：3，原来第三箱苹果是（　　）千克。 A．13 B．12 C．11 D．10 8．修一条水渠，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要10天，甲、乙两队工作效率的最简单的整数比是（　　） A．6：5 B． C．10：12 D．5：6 9．甲、乙、丙三个数的平均数是60，甲、乙、丙三个数的比是5：6：7，甲数与丙数的差是（　　） A．50 B．70 C．10 D．20 10．将黄色和红色两种颜料按一定的比混合可以调出不同颜色，调出来的效果色卡如图。明明调色时用了3mL的黄色颜料和一定量的红色颜料。下面4个选项中，红色颜料用量为（　　）mL时所调配出的颜色与其他三项不同。 A．4.5 B．7.5 C．9 D．10.5 二．填空题（共5小题） 11．青山果园种植了苹果树、梨树共600棵，苹果树和梨树的棵数比是3：2，梨树有 ______棵。 12．红旗小学六（1）班王老师、李老师带的45个学生去公园春游，大船每条船坐7人，小船每条船坐4个人，共有8条船，则大船有 ______条；小船 ______条。 13．在“灵蛇迎春，绿意生长”植树活动中，四、五、六年级共种树120棵，六年级种了五年级的，五年级与四年级种的棵数比是4：3，六年级比四年级多种 ______棵。 14．有三个梯形甲、乙、丙，它们高之比依次是1：2：3，上底之比依次是6：9：4，下底之比依次是12：15：10，已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是 ______平方厘米。 15．甲、乙两个商店销售同一款羽绒服，开始甲商店和乙商店订购的数量比是4：7，尚未开始销售，两个商店又各自订购了154件，这时甲商店订购的数量是乙商店的，甲商店一共订购了 ______件，乙商店一共订购了 ______件。 三．判断题（共4小题） 16．如果甲数和乙数的比是4：l,那么甲数就是乙数的4倍。______ 17．大牛和小牛头数的比是3：5，表示大牛比小牛少．______． 18．一杯糖水，糖占糖水的，则糖与水的比是7：25。______ 19．走同一段路，甲用4分钟，乙用5分钟，甲与乙的速度的比是4：5。 ______ 四．应用题（共5小题） 20．小红的书橱有三层，上、中、下层的书的本数比是4：6：5。已知下层放了60本书，求小红的书橱共放了多少本书？ 21． 某公司有两个车间，第一车间与第二车间职工人数比为3：2，如果从第一车间调4人到第二车间，则第一车间与第二车间职工人数比为5：4。两个车间原来各有员工多少人？ 22． 国旗护卫队从天安门中间门洞走出，笑笑通过查阅资料得知，中间的门洞是天安门五个门洞中最大的，且最大门洞的高与宽的比为294：175，已知最大门洞的高比宽多3.57米，那么这个最大门洞的高是多少米？ 23．2024年是新中国成立75周年，西安市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 24．京剧是中国的国粹。近年来，京剧得到更多年轻人的喜爱。据统计，清远某校有60名年轻教师喜爱京剧。其中，男教师和女教师的人数之比是7：5。喜爱京剧的男教师和女教师各有多少名？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 解决问题的策略 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．王君上月支出1800元，支出与收入的比是2：7。王君上月收入是（　　） A．1800元 B．16200元 C．12600元 D．6300元 【答案】D 【分析】用支出的金额除以支出的份数，再乘收入的份数即是所求。 【解答】解：1800÷2×7=6300（元） 答：王君上月收入是6300元。 故选：D。 2．酸梅粉兑水可以制成酸梅汤，有两杯酸梅汤，1号杯中酸梅粉与水的质量比是1：4，2号杯中酸梅粉与酸梅汤的质量比是1：4，那么两杯酸梅汤相比，（　　） A．1号比较浓 B．2号比较浓 C．一样浓 D．无法确定 【答案】B 【分析】读题可知：将1号杯中酸梅粉与水的质量比转化为酸梅粉与酸梅汤的质量比，进而根据比值大小得解。 【解答】解： 即：2号杯中酸梅粉占酸梅汤的比率高，比较浓。 故选：B。 3．下列的比都是三角形三个内角的度数比，（　　）是等腰直角三角形。 A．1：1：1 B．1：2：3 C．1：1：2 D．2：2：3 【答案】C 【分析】根据题意可知，三角形是等腰直角三角形，所以有两个角相等，符合两个角相等的是选项C和D，再根据三角形内角和分析选项C和D即可。 【解答】解：根据题意可知，三角形是等腰直角三角形，所以有两个角相等，符合两个角相等的是选项C和D； 又因为这个三角形是直角三角形，所以这个直角三角形的直角是其余两个角的2倍，则三个角的比应为1：1：2。 故选：C。 4．一个三角形，三个内角度数的比是2：5：3，则这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】因为一个三角形三个内角的度数比是2：5：3，则最大的角的度数占内角和度数的，根据三角形的内角和等于180°列式求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类解答即可． 【解答】解：由题意得，三角形的最大的内角度数为：180°×=90°， 所以这个三角形是直角三角形； 故选：B． 5．甲乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水，已知甲瓶中盐、水的比是2：9，乙瓶中盐、水的比是3：10，现在把甲乙两瓶盐水混合在一起，则混合盐水中盐与水的比是（　　） A．5：19 B．5：21 C．5：24 D．59：227 【答案】D 【分析】把两个瓶子里盐水的体积（或质量）看作单位“1”，分别求出甲、乙两瓶中盐、水所占的分率，根据比的意义，即可写出混合后盐所占的分率之和与水所占的分率之和，再化成最简整数比。 【解答】解：甲瓶： 盐占= 水占1-= 乙瓶： 盐占= 水占1-= （+）：（+） =： =59：227 故选：D。 6．成年人的身高与足长的比大约是7：1，某小区发生了一起盗窃事件，在犯罪现场留下了一个长25厘米的足印。经过周密侦察，锁定了四名犯罪嫌疑人，下表是这四名犯罪嫌疑人的身高记录。根据表中信息可以推断嫌疑最大的是（　　） 犯罪嫌疑人 李某 谭某 向某 刘某 身高（厘米） 182 176 168 162 A．李某 B．谭某 C．向某 D．刘某 【答案】B 【分析】设长25厘米足印的人身高是x厘米，再根据成年人的身高与足长的比大约是7：1，列出比例式，再解比例，用求得的身高与犯罪嫌疑人的身高比较即可得出结论。 【解答】解：设长25厘米足印的人身高是x厘米。 7：1=x：25 x=25×7 x=175 175厘米与176厘米最接近，所以谭某的嫌疑最大。 故选：B。 7．三箱苹果共重24千克，如果从第一、第二箱中各拿出1千克给第三箱，这三箱苹果的比是2：1：3，原来第三箱苹果是（　　）千克。 A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】D 【分析】从第一、第二箱中各拿出1千克给第三箱，总质量不变，看作单位“1”。从第一、第二箱中各拿出1千克给第三箱后，第三原的质量占，根据分数乘法的意义，用总质量（24千克）乘就是现在第三箱的质量，再用第三箱现在的质量减1千克，再减1千克就是原来第三箱的质量。 【解答】解：24×-1-1 =24×-1-1 =12-1-1 =10（千克） 答：原来第三箱苹果是10千克。 故选：D。 8．修一条水渠，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要10天，甲、乙两队工作效率的最简单的整数比是（　　） A．6：5 B． C．10：12 D．5：6 【答案】D 【分析】甲的工作效率为：1÷12=，乙的工作效率为：1÷10=，再根据化简分数比的方法，进行化简即可。 【解答】解：甲的工作效率为：1÷12=， 乙的工作效率为：1÷10=， =（×60）：（×60）=5：6 故选：D。 9．甲、乙、丙三个数的平均数是60，甲、乙、丙三个数的比是5：6：7，甲数与丙数的差是（　　） A．50 B．70 C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据平均数的求法计算三个数的总和，再根据按比分配原理计算甲数个乙数的差即可。 【解答】解：60×3÷（5+6+7）×（7-5） =180÷18×2 =20 答：甲数与丙数的差是20。 故选：D。 10．将黄色和红色两种颜料按一定的比混合可以调出不同颜色，调出来的效果色卡如图。明明调色时用了3mL的黄色颜料和一定量的红色颜料。下面4个选项中，红色颜料用量为（　　）mL时所调配出的颜色与其他三项不同。 A．4.5 B．7.5 C．9 D．10.5 【答案】A 【分析】由题图可知，当黄色颜料用量与红色颜料用量的比的比值大于2：1=2时，调出来的颜色属于黄橙或黄色；比值小于2且大于1：2=0.5时调出来的颜色属于橙色；比值小于0.5时，调出来的颜色属于红橙或红色。据此根据各选项比值即可判断。 【解答】解：A.3：4.5=3÷4.5≈0.7，0.5＜0.7＜2，即A选项为橙色； B.3：7.5=3÷7.5=0.4，0.4＜0.5，即B选项为红橙或红色； C.3：9=3÷9≈0.3，0.3＜0.5，即C选项为红橙或红色； D.3：10.5=3÷10.5≈0.3，0.3＜0.5，即D选项为红橙或红色； 综上，4个选项中，A选项调配出的颜色是橙色，B、C、D选项调配出的颜色是红橙或红色。 即只有A选项调配出的颜色与其他三项不同。 故选：A。 二．填空题（共5小题） 11．青山果园种植了苹果树、梨树共600棵，苹果树和梨树的棵数比是3：2，梨树有 ______棵。 【答案】240。 【分析】把苹果树、梨树的总棵数看作单位“1”，平均分成（3+2）份，梨树占其中的2份；据此按分数乘法的意义作答。 【解答】解： = =240（棵） 答：梨树有240棵。 故答案为：240。 12．红旗小学六（1）班王老师、李老师带的45个学生去公园春游，大船每条船坐7人，小船每条船坐4个人，共有8条船，则大船有 ______条；小船 ______条。 【答案】5；3。 【分析】假设都是大船，则可以坐7×8=56（人），实际比假设少了：56-（45+2）=9（人），一条小船比一条大船少坐（7-4）人，所以小船有：9÷（7-4）=3（条），然后用8减去小船的数量即可求出大船的数量，据此解答。 【解答】解：假设都是大船，则小船有： [7×8-（45+2）]÷（7-4） =[56-47]÷3 =9÷3 =3（条） 大船有：8-3=5（条） 答：大船有5条，小船有3条。 故答案为：5；3。 13．在“灵蛇迎春，绿意生长”植树活动中，四、五、六年级共种树120棵，六年级种了五年级的，五年级与四年级种的棵数比是4：3，六年级比四年级多种 ______棵。 【答案】20。 【分析】六年级种了五年级的，六年级与五年级种的棵数比是5：4，五年级与四年级种的棵数比是4：3，则六年级、五年级、四年级种的棵数比是5：4：3，用四、五、六年级共种树120棵除以六年级、五年级、四年级种的棵数占的总份数，再分别乘六年级、四年级种的棵数占的份数，即可求出六年级和四年级种的棵数，然后用六年级种的棵数减去四年级种的棵数即可解答。 【解答】解：六年级种了五年级的，六年级与五年级种的棵数比是5：4，五年级与四年级种的棵数比是4：3，则六年级、五年级、四年级种的棵数比是5：4：3， 120÷（5+4+3） =120÷12 =10（棵） 5×10=50（棵） 3×10=30（棵） 50-30=20（棵） 答：六年级比四年级多种20棵。 故答案为：20。 14．有三个梯形甲、乙、丙，它们高之比依次是1：2：3，上底之比依次是6：9：4，下底之比依次是12：15：10，已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是 ______平方厘米。 【答案】150平方厘米。 【分析】将甲、乙、丙的高看作1、2、3份，上底看作6、9、4份，下底看作12、15、10份，根据梯形的面积公式分别求出它们的面积的份数，再求乙、丙两个梯形面积份数是甲的几倍，由甲的面积是30平方厘米，即可求出乙、丙的面积之和。 【解答】解：甲的面积份数：（6+12）×1÷2=9 乙的面积份数：（9+15）×2÷2=24 丙的面积份数：（4+10）×3÷2=21 乙、丙梯形面积份数之和是甲梯形份数的几倍： （21+24）÷9 =45÷9 =5 故乙丙梯形面积之和为：30×5=150（平方厘米）。 答：乙与丙两个梯形的面积之和是150平方厘米。 故答案为：150。 15．甲、乙两个商店销售同一款羽绒服，开始甲商店和乙商店订购的数量比是4：7，尚未开始销售，两个商店又各自订购了154件，这时甲商店订购的数量是乙商店的，甲商店一共订购了 ______件，乙商店一共订购了 ______件。 【答案】210，250。 【分析】设甲商店开始订的个数为4x件，则设乙商店开始订的个数为7x件。两个商店又各自订购了154件后，甲商店的数量为（7x+154）件，乙商店的数量为（7x+154）件。根据：“这时甲商店订购的数量是乙商店的”即可列比例解答求每份的件数，用每份的件数分别乘4、7求甲、乙两个商店原来订购的件数，再分别加154件，就是甲、乙两个商店一共订购的件数。 【解答】解：设甲商店开始订的个数为4x件，则设乙商店开始订的个数为7x件。 = （7x+154）×5=（4x+154）×6 35x+770=24x+924  35x+770-24x=24x+924-24x  11x+770=924 11x+770-770=924-770  11x=154  11x÷11=154÷11  x=14 14×4+154 =56+154 =210（件） 14×7+154 =98+154 =252（件） 答：甲商店一共订购了210件，乙商店一共订购了252件。 故答案为：210，250。 三．判断题（共4小题） 16．如果甲数和乙数的比是4：l,那么甲数就是乙数的4倍。______ 【答案】√。 【分析】设乙数为x,如果甲数和乙数的比是4：l,那么甲数就是4x,再用甲数除以乙数，即可解答。 【解答】解：设乙数为x,那么甲数就是4x。 4x÷x=4 答：甲数就是乙数的4倍。 所以原题说法正确。 故答案为：√。 17．大牛和小牛头数的比是3：5，表示大牛比小牛少．______． 【答案】见试题解答内容 【分析】假设大牛为3头，小牛则5头，求大牛比小牛少几分之几，先求少（5-3）=2头，少的头数是5头的几分之几，根据求一个数是另一个数的几分之几用除法计算得出，然后进行判断． 【解答】解：（5-3）÷5=， 故答案为：√． 18．一杯糖水，糖占糖水的，则糖与水的比是7：25。______ 【答案】×。 【分析】已知糖占糖水的，把糖的质量看作7份，糖水的质量看作25份，则水的质量是（25-7）份，再根据比的意义得出糖与水的比，据此判断。 【解答】解：7：（25-7）=7：18 答：糖与水的比是7：18，原题说法错误。 故答案为：×。 19．走同一段路，甲用4分钟，乙用5分钟，甲与乙的速度的比是4：5。 ______ 【答案】×。 【分析】把这段路程看作“1”，根据“速度=”分别求出甲、乙的速度，再根据比的意义即可写出甲与乙的速度的比，再化成最简整数比。 【解答】解：：=5：4 走同一段路，甲用4分钟，乙用5分钟，甲与乙的速度的比是5：4。 原题说法错误。 故答案为：×。 四．应用题（共5小题） 20．小红的书橱有三层，上、中、下层的书的本数比是4：6：5。已知下层放了60本书，求小红的书橱共放了多少本书？ 【答案】180本。 【分析】把小红的书橱共放的图书本数看作单位“1”，其中下层放的本数占，已知层放了60本。根据分数除法的意义，用下层放的本数除以其所占的分率就是小红的书橱共放图书的本数。 【解答】解：60÷ =60÷ =180（本） 答：小红的书橱共放了180本书。 21．某公司有两个车间，第一车间与第二车间职工人数比为3：2，如果从第一车间调4人到第二车间，则第一车间与第二车间职工人数比为5：4。两个车间原来各有员工多少人？ 【答案】54人；36人。 【分析】设第一车间原来有员工3x人，第二车间原来有员工2x人，再根据从第一车间调4人到第二车间后，第一车间与第二车间职工人数比为5：4，列出比例式，再解比例即可解答。 【解答】解：设第一车间原来有员工3x人，第二车间原来有员工2x人。 （3x-4）：（2x+4）=5：4 4（3x-4）=5（2x+4） 12x-16=10x+20  2x=36  x=18 第一车间：18×3=54（人）， 第二车间：18×2=36（人）。 答：第一车间原来有54人，第二车间原来有36人。 22．国旗护卫队从天安门中间门洞走出，笑笑通过查阅资料得知，中间的门洞是天安门五个门洞中最大的，且最大门洞的高与宽的比为294：175，已知最大门洞的高比宽多3.57米，那么这个最大门洞的高是多少米？ 【答案】8.82米。 【分析】将比的前后项看成份数，高与宽的差÷份数差=一份数，一份数×高的对应份数=最大门洞的高，据此列式解答。 【解答】解：根据分析列式计算可得： 3.57÷（294-175）×294 =3.57÷119×294 =0.03×294 =8.82（米） 答：这个最大门洞的高是8.82米。 23．2024年是新中国成立75周年，西安市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】6组，12组。 【分析】假设18组都是双人合唱，那么参加比赛的学生有（18×2）名，比实际参加比赛的学生多（18×2-30）名，每组单人独唱比每组双人合唱少（2-1）名学生，用比实际多的学生人数除以每组单人独唱比每组双人合唱少的学生人数，即可求出单人独唱的组数，用总组数减去单人独唱的组数，即可求出双人合唱的组数。 【解答】解：单人独唱：（18×2-30）÷（2-1） =（36-30）÷1 =6÷1 =6（组） 双人合唱：18-6=12（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 24．京剧是中国的国粹。近年来，京剧得到更多年轻人的喜爱。据统计，清远某校有60名年轻教师喜爱京剧。其中，男教师和女教师的人数之比是7：5。喜爱京剧的男教师和女教师各有多少名？ 【答案】35名；25名。 【分析】根据男教师占总数的，女教师占总数的进行计算。 【解答】解：60×=35（名） 60×=25（名） 答：男教师有35名，女教师有25名。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 解决问题的策略 考点1 比的应用 3 考点2 鸡兔同笼问题 6 考点回顾 1．比的应用 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 2．鸡兔同笼问题 解决鸡兔同笼的方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法 公式1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数； 总只数-鸡的只数=兔的只数 公式2：（ 总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式3：总脚数÷2-总头数=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数 公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数 公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡 公式7：4×+2（总数-x）=总脚数 （x=兔，总数-x=鸡数，用于方程） 公式8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数． 方法归纳 （1）考查比的实际应用相关问题时，解答此题的关键是理解比值表示的含义与问题所提出对象的关系，然后根据比例关系解决问题 （2） 鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 考点1 比的应用 典例 例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（　　） A、2：1            B、1：2             C、1：1              D、3：1 【分析】根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高=面积×2÷底；平行四边形的高=面积÷底，由此即可进行比较，解答问题． 【解答】三角形的高=面积×2÷底， 平行四边形的高=面积÷底， 当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍． 所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1． 故选：A． 【点评】考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍． 例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（　　） A、2：1            B、32：9            C、1：2           D、4：3 【分析】根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间=路程÷速度，可得甲用的时间为1÷=，乙用的时间为÷1=；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可． 解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为， 把甲的路程看做1，那么乙的路程就为， 甲用的时间为：1÷=， 乙用的时间为：÷1=， 甲乙用的时间比：：=（×24）：（×24）=32：9； 【解答】甲乙所需的时间比是32：9． 故选：B． 【点评】关键是把速度和路程设出来，然后根据时间=路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 【变式练1】（2025春•江阴市期中）客货两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。客车和货车的速度比是5：4，当两车相遇时，距离两地中点36千米。甲、乙两地相距（　　）千米。 A．36 B．72 C．324 D．648 【变式练2】（2024秋•灞桥区期末）酸梅粉兑水可以制成酸梅汤，有两杯酸梅汤，1号杯中酸梅粉与水的质量比是1：4，2号杯中酸梅粉与酸梅汤的质量比是1：4，那么两杯酸梅汤相比，（　　） A．1号比较浓 B．2号比较浓 C．一样浓 D．无法确定 【变式练3】（2025春•汶上县期中）一个圆锥与一个圆柱的体积之比是5：3，高之比是4：3，圆锥的底面积是60cm2，那么圆柱的底面积是 ______cm2。 【变式练4】（2025•渝北区）有三个梯形甲、乙、丙，它们高之比依次是1：2：3，上底之比依次是6：9：4，下底之比依次是12：15：10，已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是 ______平方厘米。 【变式练5】（2025•黄埔区）小明家饲养的鸡与猪的数量比为26：5，猪与马的数量比为4：3。如果鸡有312只，求马有多少匹？ 【变式练6】（2025春•冷水滩区校级期中）某公司有两个车间，第一车间与第二车间职工人数比为3：2，如果从第一车间调4人到第二车间，则第一车间与第二车间职工人数比为5：4。两个车间原来各有员工多少人？ 考点2 鸡兔同笼问题 典例 例1：鸡兔同笼，鸡兔共35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？ 【分析】假设全部是兔子，有35×4=140只脚，已知比假设少了：140-94=46只，一只鸡比一只兔子少（4-2）只脚，所以鸡有：46÷（4-2）=23只；兔子有：35-23=12只． 解：鸡：（35×4-94）÷（4-2）， =46÷2， =23（只）； 兔子：35-23=12（只）； 【解答】鸡有23只，兔子有12只． 【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可． 例2：班主任王老师，在期末用50元买了2.5元和1.5元的水笔共30支，准备作为优秀作业的奖品．那么2.5元和1.5元的水彩笔各多少支？ 【分析】假设30支全是2.5元的水笔，则用30×2.5=75元，这样就多75-50=25元；用25÷（2.5-1.5）=25支得出1.5元的水笔支数，进而得出2.5元的水笔数量． 【解答】1.5元的水笔数量： 25÷（2.5-1.5） =25÷1 =25（支）， 30-25=5（支）， 答：2.5元的水彩笔5支，1.5元的水彩笔25支． 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可． 公式1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数； 总只数-鸡的只数=兔的只数 公式2：（ 总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式3：总脚数÷2-总头数=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数 公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数 公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡 公式7：4×+2（总数-x）=总脚数 （x=兔，总数-x=鸡数，用于方程） 公式8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数． 【变式练1】（2024秋•浑南区期末）鸡兔同笼，有9个头，30条腿，兔有（　　）只。 A．8 B．7 C．6 D．5 【变式练2】（2024•龙亭区校级模拟）6个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？（　　） A．131 B．130 C．128 D．127 【变式练3】（2024秋•龙华区期末）乒乓球训练馆内同时在进行单打和双打的训练，共有16张乒乓球桌，共有38人在打球。那么，进行单打的桌子有 ______张，进行双打的桌子有 ______张。 【变式练4】（2024秋•洛阳期末）钱包里有20元和50元的人民币共20张，合计460元，那么20元的有 ______张，50元的有 ______张。 【变式练5】（2024秋•西安期末）2024年是新中国成立75周年，西安市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【变式练6】（2024秋•锦江区期末）邮票的种类繁多，有普通邮票、纪念邮票、特种邮票、航空邮票、军用邮票、个性化邮票等等，不同种类的邮票具有不同的特点和价值，为集邮爱好者提供了丰富的选择。暖暖用10元钱正好买了2角和5角的邮票共35张，这两种邮票各买了多少张？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第三讲 解决问题的策略 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．王君上月支出 1800元，支出与收入的比是 2：7。王君上月收入是（　　） A．1800元 B．16200元 C．12600元 D．6300元 2．酸梅粉兑水可以制成酸梅汤，有两杯酸梅汤，1号杯中酸梅粉与水的质量比是 1：4，2号杯中酸梅粉与酸梅汤的质量比是 1：4，那么两杯酸梅汤相比，（　　） A．1号比较浓 B．2号比较浓 C．一样浓 D．无法确定 3．下列的比都是三角形三个内角的度数比，（　　）是等腰直角三角形。 A．1：1：1 B．1：2：3 C．1：1：2 D．2：2：3 4．一个三角形，三个内角度数的比是 2：5：3，则这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 5．甲乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水，已知甲瓶中盐、水的比是 2：9，乙瓶 中盐、水的比是 3：10，现在把甲乙两瓶盐水混合在一起，则混合盐水中盐与水的 比是（　　） A．5：19 B．5：21 C．5：24 D．59：227 6．成年人的身高与足长的比大约是 7：1，某小区发生了一起盗窃事件，在犯罪现 场留下了一个长 25厘米的足印。经过周密侦察，锁定了四名犯罪嫌疑人，下表是 这四名犯罪嫌疑人的身高记录。根据表中信息可以推断嫌疑最大的是（　　） 犯罪嫌疑人 李某 谭某 向某 刘某 身高（厘米） 182 176 168 162 A．李某 B．谭某 C．向某 D．刘某 7．三箱苹果共重 24千克，如果从第一、第二箱中各拿出 1千克给第三箱，这三箱 苹果的比是 2：1：3，原来第三箱苹果是（　　）千克。 A．13 B．12 C．11 D．10 8．修一条水渠，甲队单独修需要 12天，乙队单独修需要 10天，甲、乙两队工作 效率的最简单的整数比是（　　） A．6：5 B． 1 12 ： 1 10 C．10：12 D．5：6 9．甲、乙、丙三个数的平均数是 60，甲、乙、丙三个数的比是 5：6：7，甲数与 丙数的差是（　　） A．50 B．70 C．10 D．20 10．将黄色和红色两种颜料按一定的比混合可以调出不同颜色，调出来的效果色卡 如图。明明调色时用了 3mL的黄色颜料和一定量的红色颜料。下面 4个选项中，红 色颜料用量为（　　）mL时所调配出的颜色与其他三项不同。 A．4.5 B．7.5 C．9 D．10.5 二．填空题（共 5 小题） 11．青山果园种植了苹果树、梨树共 600棵，苹果树和梨树的棵数比是 3：2，梨 树有 ______棵。 12．红旗小学六（1）班王老师、李老师带的 45个学生去公园春游，大船每条船坐 7人，小船每条船坐 4个人，共有 8条船，则大船有 ______条；小船 ______条。 13．在“灵蛇迎春，绿意生长”植树活动中，四、五、六年级共种树 120棵，六年 级种了五年级的 5 4 ，五年级与四年级种的棵数比是 4：3，六年级比四年级多种 ______棵。 14．有三个梯形甲、乙、丙，它们高之比依次是 1：2：3，上底之比依次是 6：9： 4，下底之比依次是 12：15：10，已知梯形甲的面积是 30平方厘米，那么乙、丙 两个梯形的面积之和是 ______平方厘米。 15．甲、乙两个商店销售同一款羽绒服，开始甲商店和乙商店订购的数量比是 4： 7，尚未开始销售，两个商店又各自订购了 154件，这时甲商店订购的数量是乙商 店的 5 6 ，甲商店一共订购了 ______件，乙商店一共订购了 ______件。 三．判断题（共 4 小题） 16．如果甲数和乙数的比是 4：l,那么甲数就是乙数的 4倍。______ 17．大牛和小牛头数的比是 3：5，表示大牛比小牛少 2 5 ．______． 18．一杯糖水，糖占糖水的 7 25 ，则糖与水的比是 7：25。______ 19．走同一段路，甲用 4分钟，乙用 5分钟，甲与乙的速度的比是 4：5。 ______ 四．应用题（共 5 小题） 20．小红的书橱有三层，上、中、下层的书的本数比是 4：6：5。已知下层放了 60 本书，求小红的书橱共放了多少本书？ 21．某公司有两个车间，第一车间与第二车间职工人数比为 3：2，如果从第一车 间调 4人到第二车间，则第一车间与第二车间职工人数比为 5：4。两个车间原来 各有员工多少人？ 22．国旗护卫队从天安门中间门洞走出，笑笑通过查阅资料得知，中间的门洞是天 安门五个门洞中最大的，且最大门洞的高与宽的比为 294：175，已知最大门洞的 高比宽多 3.57米，那么这个最大门洞的高是多少米？ 23．2024年是新中国成立 75周年，西安市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新 时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有 18组，30名学生参 加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 24．京剧是中国的国粹。近年来，京剧得到更多年轻人的喜爱。据统计，清远某校 有 60名年轻教师喜爱京剧。其中，男教师和女教师的人数之比是 7：5。喜爱京剧 的男教师和女教师各有多少名？ 第三讲 解决问题的策略 考点 1 比的应用 ..................................................................................................3 考点 2 鸡兔同笼问题...........................................................................................6 1．比的应用 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： 考点目录 按住 ctrl 并单击页码，即可跳转到相关考点 位置 考点回顾 a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 2．鸡兔同笼问题 解决鸡兔同笼的方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法 公式 1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数； 总只数-鸡的只数=兔的只数 公式 2：（ 总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式 3：总脚数÷2-总头数=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式 4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数 -鸡的只数 公式 5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数 -兔总只数 公式 6：（头数 x4-实际脚数）÷2=鸡 公式 7：4×+2（总数-x）=总脚数 （x=兔，总数-x=鸡数，用于方程） 公式 8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只 数）-鸡的脚数． 方法归纳 （1）考查比的实际应用相关问题时，解答此题的关键是理解比值表示的含义与问题 所提出对象的关系，然后根据比例关系解决问题 （2） 鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可 以用方程进行解答。 考点 1 比的应用 例 1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四 边形高的比是（　　） A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1 【分析】根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高=面积×2÷底； 平行四边形的高=面积÷底，由此即可进行比较，解答问题． 【解答】三角形的高=面积×2÷底， 平行四边形的高=面积÷底， 当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的 2倍． 所以这个三角形与平行四边形高的比是 2：1． 故选：A． 【点评】考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相 等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的 2 倍． 例 2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是 3：4，路程比是 8：3，那么他 们所需时间比是（　　） A、2：1 B、32：9 典例 C、1：2 D、4：3 【分析】根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为 3 4 ；把甲的路程看作1， 那么乙的路程就为 3 8 ；根据时间=路程÷速度，可得甲用的时间为 1÷ 3 4 = 4 3 ，乙用的 时间为 3 8 ÷1= 3 8 ；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可． 解：把乙的速度看作 1，那么甲的速度就为 3 4 ， 把甲的路程看做 1，那么乙的路程就为 3 8 ， 甲用的时间为：1÷ 3 4 = 4 3 ， 乙用的时间为： 3 8 ÷1= 3 8 ， 甲乙用的时间比： 4 3 ： 3 8 =（ 4 3 ×24）：（ 3 8 ×24）=32：9； 【解答】甲乙所需的时间比是 32：9． 故选：B． 【点评】关键是把速度和路程设出来，然后根据时间=路程÷速度，先求得各自 用的时间，再写出所用的时间比并化简比． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 【变式练 1】（2025春•江阴市期中）客货两车分别从甲、乙两地同时出发，相 向而行。客车和货车的速度比是 5：4，当两车相遇时，距离两地中点 36 千米。 甲、乙两地相距（　　）千米。 A．36 B．72 C．324 D．648 【变式练 2】（2024秋•灞桥区期末）酸梅粉兑水可以制成酸梅汤，有两杯酸梅 汤，1号杯中酸梅粉与水的质量比是 1：4，2号杯中酸梅粉与酸梅汤的质量比是 1：4，那么两杯酸梅汤相比，（　　） A．1号比较浓 B．2号比较浓 C．一样浓 D．无法确定 【变式练 3】（2025 春•汶上县期中）一个圆锥与一个圆柱的体积之比是 5：3， 高之比是 4：3，圆锥的底面积是 60cm2，那么圆柱的底面积是 ______cm2。 【变式练 4】（2025•渝北区）有三个梯形甲、乙、丙，它们高之比依次是 1：2： 3，上底之比依次是 6：9：4，下底之比依次是 12：15：10，已知梯形甲的面积 是 30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是 ______平方厘米。 【变式练 5】（2025•黄埔区）小明家饲养的鸡与猪的数量比为 26：5，猪与马的 数量比为 4：3。如果鸡有 312只，求马有多少匹？ 【变式练 6】（2025春•冷水滩区校级期中）某公司有两个车间，第一车间与第 二车间职工人数比为 3：2，如果从第一车间调 4人到第二车间，则第一车间与 第二车间职工人数比为 5：4。两个车间原来各有员工多少人？ 考点 2 鸡兔同笼问题 例 1：鸡兔同笼，鸡兔共 35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？ 【分析】假设全部是兔子，有 35×4=140只脚，已知比假设少了：140-94=46只， 一只鸡比一只兔子少（4-2）只脚，所以鸡有：46÷（4-2）=23只；兔子有：35-23=12 只． 解：鸡：（35×4-94）÷（4-2）， =46÷2， =23（只）； 兔子：35-23=12（只）； 【解答】鸡有 23只，兔子有 12只． 典例 【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分 析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也 用未知数表示，列出方程解答即可． 例 2：班主任王老师，在期末用 50元买了 2.5元和 1.5元的水笔共 30支，准备 作为优秀作业的奖品．那么 2.5元和 1.5元的水彩笔各多少支？ 【分析】假设 30支全是 2.5元的水笔，则用 30×2.5=75元，这样就多 75-50=25 元；用 25÷（2.5-1.5）=25支得出 1.5元的水笔支数，进而得出 2.5元的水笔 数量． 【解答】1.5元的水笔数量： 25÷（2.5-1.5） =25÷1 =25（支）， 30-25=5（支）， 答：2.5元的水彩笔 5支，1.5元的水彩笔 25支． 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得 出结论；也可以用方程进行解答． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也 可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答 即可． 公式 1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数； 总 只数-鸡的只数=兔的只数 公式 2：（ 总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数； 总 只数-兔的只数=鸡的只数 公式 3：总脚数÷2-总头数=兔的只数； 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式 4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数-鸡 的只数 公式 5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数-兔 总只数 公式 6：（头数 x4-实际脚数）÷2=鸡 公式 7：4×+2（总数-x）=总脚数 （x=兔，总数-x=鸡数，用于方程） 公式 8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）- 鸡的脚数． 【变式练 1】（2024秋•浑南区期末）鸡兔同笼，有 9个头，30条腿，兔有（　　） 只。 A．8 B．7 C．6 D．5 【变式练 2】（2024•龙亭区校级模拟）6个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了 157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽 水？（　　） A．131 B．130 C．128 D．127 【变式练 3】（2024秋•龙华区期末）乒乓球训练馆内同时在进行单打和双打的 训练，共有 16张乒乓球桌，共有 38人在打球。那么，进行单打的桌子有 ______ 张，进行双打的桌子有 ______张。 【变式练 4】（2024秋•洛阳期末）钱包里有 20元和 50元的人民币共 20张，合 计 460元，那么 20元的有 ______张，50元的有 ______张。 【变式练 5】（2024秋•西安期末）2024年是新中国成立 75周年，西安市某小 学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和 双人合唱，共有 18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【变式练 6】（2024 秋•锦江区期末）邮票的种类繁多，有普通邮票、纪念邮票、 特种邮票、航空邮票、军用邮票、个性化邮票等等，不同种类的邮票具有不同的 特点和价值，为集邮爱好者提供了丰富的选择。暖暖用 10元钱正好买了 2角和 5 角的邮票共 35张，这两种邮票各买了多少张？