期末备考05——解三角形基本题型梳理-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以正余弦定理为核心，系统梳理解三角形11类题型，从基础应用到几何元素、综合交汇，构建从定理直接应用到复杂建模的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正（余）弦定理应用|4题|已知边边角等条件求边或角|定理直接应用，奠定基础| |解的个数判断|3题|判断三角形解的唯一性或多解性|深化定理应用的边界条件分析| |形状判断|3题|通过边或角关系判断三角形类型|结合定理与三角恒等变换| |周长/面积问题|各3题|利用定理求周长或面积|应用定理解决几何量计算| |高线/中线/角平分线|各3题|结合几何元素性质转化问题|几何直观与定理结合| |最值/向量/四边形/外接圆|4-5题|综合应用定理解决复杂问题|从单一应用到综合建模，体现模型意识|

人教A版高一数学必修二期末备考05 解三角形基本题型梳理 题型一、正（余）弦定理的应用 1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用正弦定理进行边角互化，结合三角形的内角和，可求角B. 【详解】由正弦定理，，可得或.又，且，可得或（舍去）.故选：C 2．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值. 【详解】，即， 即，，，得，，. 由余弦定理得，由正弦定理， 因此，.故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 3．设的内角，，的对边分别为，，，若，，则__． 【答案】 【详解】因为，则由正弦定理可得，所以，又，所以， 由余弦定理可得，又因为，所以. 4．在中，已知，，，则________． 【答案】 【分析】由正弦定理结合同角三角函数的基本关系得，由余弦定理求出后可得. 【详解】因为，结合正弦定理得，而， 故即，而为三角形内角，故．由余弦定理及，，得出，解出（负根舍去），所以． 题型二、三角形解的个数的判断 1．在△中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则此三角形解的情况为（    ） A．有两解 B．有一解 C．无解 D．解的个数不能确定 【答案】A 【分析】由正弦定理求得sinB的值，并结合大边对大角进行判定角B的解的个数，即得三角形的解的个数. 【详解】由正弦定理可得，，∵b>a,∴B>A,由于A为锐角，∴角B可以为锐角，也可以为钝角，即三角形的解有2个.故选：A． 2．（多选）满足下列条件的三角形中，仅有1解的是（    ） A.     B. C.     D. 【答案】AB 【分析】根据各组条件中的两边一对角的值，利用正弦定理，求出另一边的对角的正弦值，根据其值的大小，结合大边对大角，判定角的解的个数，即为△ABC的解的个数. 【详解】又∵,∴为锐角，故有唯一解，∴满足A中的条件的三角形有唯一解；又∵,∴,∴为锐角，故有唯一解，∴满足B中的条件的三角形有唯一解；无解，∴满足C中的条件的三角形无解； 又∵,∴,∴为锐角或钝角，故有两解，∴满足D中的条件的三角形有两解；故选：AB. 【点睛】由两边一对角判定三角形的解的个数，利用正弦定理求得这两边中另一边的对角的正弦，若正弦值大于1，则无解；若正弦值等于1，则只有一解；若正弦值小于1，要结合大边对大角进行判定解的个数. 3．在中，为边上一点，，，，若使的个数有且仅有两个，则线段长度的范围为________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求得的长度，进而求得到的距离为,数形结合可得的取值范围. 【详解】由余弦定理可知：，又，，，代入整理得,即，∵，∴，∴到的距离为，要使的个数有且仅有两个，如图所示,∴. 题型三、三角形形状的判断 1．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知，所以， 整理得，即的形状是直角三角形.故选：B. 2．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【详解】可得，由正弦定理可得: ，即， 可得，，或，解得或，即是等腰或直角三角形.故选：D 3．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则，再由则 故，即，故，所以为等边三角形.故选：C. 题型四、三角形的周长问题 1．在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，，由正弦定理，得， 即，，，.的周长为． 2．在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，利用余弦定理求得，再由同角的三角函数关系式求出. 【详解】已知，，的周长为9，则， 则，又，则. 3．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c﹐且满足， 的周长为，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】首先根据余弦定理，边角互化后可得，再利用表示的周长，并利用基本不等式求面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：，, , ，整理为,，又的周长为, 有，当且仅当时等号成立,， 而,故面积的最大值为 【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积，以及基本不等式求最值，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型. 题型五、三角形的面积问题 1．的内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理求出关系，再结合可求得，再用三角形面积公式计算出面积． 【详解】由余弦定理得：，∴，又， 所以，∴，∴　，∴.故选：. 【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题．利用余弦定理求得的关系，并结合已知求得的值是关键，三角形的面积公式. 2．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将，变形整理为，再根据正弦定理，变形整理为，确定，然后根据余弦定理，确定，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】依题意，，即，故，故，即，因为，故；由余弦定理，，即，即，则，则的面积.故选：C 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题. 3．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． (1)求；(2)若的周长为，求的面积． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求出A角正弦值，最后根据A为钝角确定角A大小； （2）先用余弦定理求出a与b的关系，再结合周长条件解出b，最后代入面积公式得到结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，  因为的面积为， 所以，即，所以，  因为为钝角，所以．   （2）由余弦定理，所以，   又，  所以，故. 题型六、三角形的高线问题 1．在中，，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的定义和余弦定理求出结果． 【详解】依题意设，则．因为，所以．因为BC边上的高为AD，如图所示 所以，即．所以． 根据余弦定理得．故选：A． 【点睛】本题考查了解三角形的问题，关键是掌握余弦定理，属于基础题． 2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（ ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知BC边上的高，，根据三角形面积公式.将，，,代入可得，，. 由余弦定理，可得，即，可得，即，把代入上式可得，即. 因为、为三角形的边，可得：. 3．在中，角的对边分别为.已知，边上的高为，则______. 【答案】/ 【分析】由求出，再根据两个面积公式“算两次”建立的关系，然后结合余弦定理得，最后由正弦定理化边为角可得所求. 【详解】由，，得，由，得，所以由余弦定理得， 则，所以，所以由正弦定理知，. 题型七、三角形的中线问题 1．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在，中利用余弦定理，并结合，利用诱导公式，消去角， 求得，结合中使用余弦定理，得到， 然后结合基本不等式求得的取值范围，进而得到中线长的取值范围. 【详解】是边上的中线， 在中，①， 在中，②.又，， 由①＋②得.由余弦定理得. ，，，即，. 2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，cosB＝，求AD的长度为______________． 【答案】 【分析】利用两角和的正弦公式求得的值，利用正弦定理求得边的值，进而由余弦定理求得. 【详解】解：因为cosB＝，所以sinB＝，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝，由正弦定理得，所以a＝2，因为D为BC的中点，BD＝，△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB＝26，所以AD＝． 3．如图，在中，已知，，，为的中点，则______，______. 【答案】 4 【分析】中，利用余弦定理求出，进而得出；在中，由余弦定理求出，进而得出和． 【详解】在中，因为，，，所以由余弦定理得 ，所以.在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，故，所以. 题型八、三角形的角平分线问题 1．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理、余弦定理将已知关系式进行化简得到， 再由等面积法得到，由二倍角公式得的值. 【详解】由已知和正弦定理得，则， 为非直角三角形，，，， ，即， 又，所以，，， ，，．故选：A. 2．在斜中，且，是角C平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用正弦定理角化边可构造方程，由可得；利用可构造方程求得，利用二倍角公式求得结果. 【详解】由正弦定理得：则 为斜三角形, ,,, 即：,, , ,, ,故选： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积相等的方式构造方程解出半角的三角函数值. 3．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 【答案】2 【分析】根据余弦定理，先计算出边的长度，然后利用面积等于与的面积的和计算角平分线的长度，或者求出各个角的大小，用正弦定理求出的长度. 【详解】由图可知，记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，因为， 所以，又，所以，即． 题型九、解三角形中的最值问题 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，若，且，则S的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由正弦定理将条件中的角的正弦化为边，并配方得到，进而利用余弦定理得到，求得的值（有两种情况），分情况利用余弦定理和基本不等式可以求得的最大值，利用三角形面积公式得到S的最大值. 【详解】由正弦定理得，即． 由余弦定理，得，即．由，得或． ，当且仅当时，等号成立．当时，，即；当时，，即．∵，∴的最大值在时取到，所以当时，．故选：B． 2．在中，角的对边分别为为边上的高，若，则的最大值是_________. 【答案】3 【分析】由三角形的面积公式结合余弦定理，利用基本不等式，可得的最大值． 【详解】由，得，由余弦定理及， 得，由基本不等式，得，即(当且仅当时取等号)，所以，故当时，的最大值为. 3．在中，若，则__________，的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角差的余弦公式、辅助角公式，可得的值；根据，两角差的正弦公式、辅助角公式，可推出，最后由正弦函数的图象与性质，得解． 【详解】由正弦定理得,又，则得， 整理得，即，又因为,所以.由,得,因为，所以，，所以当时，取得最大值，为． 4．如图在中，，，为边上一点（不包括端点）．若，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先得到，由正弦定理得，得到，将转化为，根据的范围，得到答案. 【详解】因为，所以为等边三角形，所以， 所以在中，由正弦定理得， 即，得 ∴， ∵,,∴. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，正弦定理求三角形边长范围，正弦型函数的图像与性质，属于中档题. 题型十、解三角形与平面向量交汇问题 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理及余弦定理可得，，然后求解即可. 【详解】由可得，则①， 又，所以，即，所以 ②,由①②可得，由余弦定理可得,故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了两角和的正弦公式，属中档题. 2．分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设为边中点，连接，作于，即为中点，求得，，化简得，再通过面积公式和基本不等式即可得到答案. 【详解】设为边中点，连接，作于，即为中点， 因为，同理， 则， 所以，因为，所以的面积为，当且仅当时取等号.故选：B 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的最大值； 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用向量共线条件得到边角关系，再通过正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换与，直接求出，得；（2）用余弦定理结合基本不等式，将转化为关于的不等式，求出最大值，进而得周长最大值； 【详解】(1)在中，，与共线，， 由正弦定理可得,， ，，又，所以． (2)由（1）知，又，由余弦定理，得， 即，因为，当且仅当时等号成立，所以， 即，则，所以周长的最大值为12． 题型十、四边形中的解三角形问题 1．如图，四边形中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由锐角三角函数可得，再由余弦定理及降幂公式即可求解. 【详解】设，，则，由余弦定理可得，所以，解得．故选：B． 2．如图，在梯形中，，，，，，，均为锐角，则对角线（    ） A．5 B．15 C．25 D．30 【答案】C 【分析】过点作交于点，在三角形中，利用余弦定理求得, 然后在中利用余弦定理求得. 【详解】过点作交于点， 则，，.由余弦定理得，在中，，解得.故选：C. 3．如图，在平面四边形ABCD中，，，，为等边三角形，则该四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求边，再根据三角形面积公式，即可求解. 【详解】中，根据余弦定理，则，则,因为是等边三角形，所以，的面积，所以四边形的面积.故选：D 题型十一、三角形的外接圆问题 1．在中，若，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】利用正弦定理可得外接圆的半径． 【详解】在中，若，，所以，由正弦定理，所以． 2．中，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为___________. 【答案】 【分析】根据边长，在中利用正弦定理求得的正弦值比，据正弦定理求得与外接圆直径，即可得外接圆的面积之比. 【详解】因为，，，由正弦定理得,从而△与 △的外接圆的半径分别为和，∴,因此对应外接圆的面积之比为 3．已知锐角三角形内接于单位圆，且，则面积的最大值是___________. 【答案】 【分析】由题意可知，由圆的性质可知，在中，使用余弦定理和基本不等式，可得，再根据三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】如图， 设圆的半径为1，因为，所以是直角三角形，即，所以角，由余弦定理知，由基本不等式可知，当且仅当时，取等号；所以，又.所以的面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修二期末备考05 解三角形基本题型梳理 题型一、正（余）弦定理的应用 1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．设的内角，，的对边分别为，，，若，，则__． 4．在中，已知，，，则________． 题型二、三角形解的个数的判断 1．在△中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则此三角形解的情况为（    ） A．有两解 B．有一解 C．无解 D．解的个数不能确定 2．（多选）满足下列条件的三角形中，仅有1解的是（    ） A.     B. C.     D. 3．在中，为边上一点，，，，若使的个数有且仅有两个，则线段长度的范围为________． 题型三、三角形形状的判断 1．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 题型四、三角形的周长问题 1．在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 3．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c﹐且满足， 的周长为，则面积的最大值为________． 题型五、三角形的面积问题 1．的内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． (1)求；(2)若的周长为，求的面积． 题型六、三角形的高线问题 1．在中，，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝（    ） A． B． C． D． 2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（ ） A． B． C．8 D． 3．在中，角的对边分别为.已知，边上的高为，则______. 题型七、三角形的中线问题 1．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，cosB＝，求AD的长度为______________． 3．如图，在中，已知，，，为的中点，则______，______. 题型八、三角形的角平分线问题 1．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在斜中，且，是角C平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 3．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 题型九、解三角形中的最值问题 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，若，且，则S的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．在中，角的对边分别为为边上的高，若，则的最大值是_________. 3．在中，若，则__________，的最大值为___________． 4．如图在中，，，为边上一点（不包括端点）．若，则的取值范围为________． 题型十、解三角形与平面向量交汇问题 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的最大值； 题型十、四边形中的解三角形问题 1．如图，四边形中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在梯形中，，，，，，，均为锐角，则对角线（    ） A．5 B．15 C．25 D．30 3．如图，在平面四边形ABCD中，，，，为等边三角形，则该四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C． D． 题型十一、三角形的外接圆问题 1．在中，若，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B． C．3 D． 2．中，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为___________. 3．已知锐角三角形内接于单位圆，且，则面积的最大值是___________. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $