综合实践—跨学科融合 专题抢分训练—《中考导航》2026年广东中考数学高分特训专辑

**基本信息** 聚焦跨学科实际情境，以函数与几何知识为核心，通过数学建模解决生活、科技等综合问题，强化应用意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数类|5题|结合自动驾驶、无人机等科技情境，涉及轨迹方程、最值计算|从函数概念到实际问题建模，体现二次函数性质的应用拓展| |函数综合|2题|反比函数裁切矩形、一次函数水杯琴频率关系|函数与几何、物理知识融合，强化变量关系分析| |锐角三角函数类|9题|停车位设计、旗杆测量、桥塔高度等工程问题|解直角三角形在测量、坡度计算中的应用，培养几何直观| |几何操作类|4题|环保笔筒、收纳盒制作等动手实践|平面图形与立体图形转化，体现空间观念与推理意识|

综合实践—跨学科融合 广东中考数学卷中最难预测的题型之一，每年考查的内容不一，题型新颖，阅读量，很多学生看不懂题目无从下手而失分。抓住题意及关键信息，分析考查知识点，用所学内容去解决问题，拿下满分并不困难。这份练习搜集了各地最新考题，值得大家考前训练。 考向1：二次函数类 1．（2026·湖北武汉·一模）近年来，随着科技的不断发展，汽车自动驾驶技术已经非常成熟．小明发现在汽车自动驾驶侧方停车过程中，可将车辆后轴中心点的运动轨迹近似看作三段轨迹的组合，如下图所示．以路沿所在直线为轴（单位：），车辆开始倒车的点A到路沿的距离所在直线为轴（单位：）建立平面直角坐标系．车辆从点开始倒车，轨迹依次经过点B、C、D，其中停车过程分三阶段：阶段Ⅰ（打方向倒车）：轨迹近似为抛物线，且对称轴为y轴，阶段Ⅰ在点B处结束，且已知B点的横坐标为1.5．阶段Ⅱ（回正直线微调）：车辆沿线段倒车，且直线与x轴夹角为．已知．阶段Ⅲ（反向打方向入库）：轨迹近似为抛物线，并经过点C与点．且轨迹与路沿距离的最小值为． （1）求阶段Ⅱ倒车路程； （2）写出点B的坐标________，并求阶段Ⅰ轨迹的函数表达式； （3）为保障倒车安全，汽车会在与路沿的距离不大于时触发警报．求触发警报的这段时间内汽车行驶的水平距离． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）过点作于点，则轴，，证明为等腰直角三角形，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）结合（1）求出点的纵坐标，即可得出结果，利用待定系数法计算即可得出阶段Ⅰ轨迹的函数表达式； （3）先求出阶段Ⅲ抛物线的表达式，令，求出此时的值，作差即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则轴， ∵B点的横坐标为1.5，， ∴， ∵直线与x轴夹角为，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴阶段Ⅱ倒车路程为； （2）解：∵， ∴结合（1）可得：点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵阶段Ⅰ（打方向倒车）：轨迹近似为抛物线，且对称轴为y轴，经过点， ∴设阶段Ⅰ轨迹的函数表达式为， 将代入表达式可得， 解得：， ∴阶段Ⅰ轨迹的函数表达式为； （3）解：∵阶段Ⅲ（反向打方向入库）：轨迹近似为抛物线，并经过点与点， ∴阶段Ⅲ抛物线的对称轴为直线， ∵轨迹与路沿距离的最小值为， ∴设阶段Ⅲ抛物线的表达式为， 将代入表达式可得， 解得：， ∴阶段Ⅲ抛物线的表达式为， 令，则， 解得：，， ∴， ∴触发警报的这段时间内汽车行驶的水平距离为． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的关系式； 【问题解决】 （2）无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； 【答案】(1) (2)①该平台的高度为；②最大高度差为 【分析】（1）根据题意可设抛物线C的关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）①根据题意可设抛物线的关系式为，，然后可把代入抛物线的关系式为进行求解即可； ②由①得抛物线的关系式为，当时，则有，然后结合图象可进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线C的顶点坐标为, 可设抛物线C的关系式为． 将点代入，得：， 解得：， 抛物线C的关系式为； （2）解：①根据题意可设抛物线的关系式为， ∵，，， ∴，， 此时点B正好在抛物线最高点的下方，与最高点的距离超过， 由题意可知：点D的坐标为，． 无人机乙从平台上的点M处起飞后刚好安全通过障碍物，恰好在抛物线上，将点代入得：， 解得， 即该平台的高度为． ②由①得抛物线的关系式为， 当时，解得． 结合图象可得， 当时，在时，有最大高度差，此时高度差为， 当时，在时，有最大高度差，高度差为． ∵， ∴最大高度差为． 3．（2026·广西贵港·三模）综合与实践 【问题背景】随着智慧校园建设推进，学校食堂引入智能结算系统．某校数学兴趣小组对食堂每天开餐50分钟内排队结算人数与开餐时间、开放结算通道数量之间的关系开展了综合与实践活动． 【调研数据】 信息1：食堂开餐时，开放的所有结算通道同时开始结算．已知每个结算通道每分钟可结算12人． 信息2：食堂开餐后，到达食堂的总人数（单位：人）与开餐时间（单位：）满足二次函数． 信息3：开餐后不断有新的学生到达结算通道，任意时刻满足：排队结算人数ω（单位：人）=到达食堂的总人数-已结算人数． 【建立模型】食堂开餐时同时开放4个结算通道（该食堂共有8个结算通道）． （1）①开餐，用含x的代数式表示4个结算通道已结算的人数； ②求排队结算人数与开餐时间之间的函数关系式； ③开餐50分钟内，排队结算人数是否会降为0？如果会降为0，请说明从开餐后多少分钟降为0？如果不会降为0，请说明理由； （2）问题解决：为了让学生尽快完成结算，开餐时同时开放个结算通道，可以使得排队结算人数最晚在10分钟达到最大值．求的最小值． 【答案】(1)①人；②； ③开餐50分钟内，排队结算人数不会降为0，见解析 (2)7 【分析】（1）①理解题意，直接列式，即可作答． ②根据排队结算人数ω（单位：人）=到达食堂的总人数-已结算人数以及进行整理，即可作答． ③结合开餐50分钟内以及，代数计算，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． （2）根据开餐时同时开放个结算通道，可以使得排队结算人数最晚在10分钟达到最大值，以及运用二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，已结算人数为：（人）． ②依题意， ． ③开餐50分钟内，排队结算人数不会降为0．理由如下： 由②得， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当 时，随的增大而减小， 当时， ． 即在范围内，排队结算人数先增后减但始终为正， 故50分钟时仍有300人排队． （2）解：依题意，开餐时同时开放个结算通道，已结算人数为人． 排队结算人数： ， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为直线． ∵要使排队结算人数最晚在10分钟达到最大值， ∴对称轴位置满足： ， 解得． 又为整数， ． 故的最小值为7． 4．（2026·福建泉州·三模）【提出问题】 全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光． 【分析问题】 工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息： 材料一：根据《建筑设计防火规范—（）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至少的距离作为消防疏散通道； 材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离，小区围栏，活动中心就建在这个矩形区域内，其中建筑面积长宽层数，如图所示； 材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面），那么在其他季节就更能保证采光，每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图所示． 【解决问题】 （1）经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为的小树影长为，则________；（请以该太阳高度角为依据解决以下问题） （2）若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理． 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 （3）在文体活动中心建筑单层楼高为且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请给出方案（结果精确到）． （4）在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为，单层楼高为，层数为，直接写出等式表示，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 该方案不合理； (3) 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 (4)． 【分析】由即可求解； 根据题意可得建筑面积，楼高为，通过乘法法则即可求解，由题意得、、，，再通过三角函数求出，从而求解； 设层数为，则楼间距，楼宽，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 由单层楼高为，层数为，则楼间距，楼宽，所以． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：该方案不合理，理由如下： ∵建筑面积长宽层数， ∴建筑面积，楼高为，楼间距为 填表略， 如图，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该方案不合理； （3）解：设层数为，则楼间距，楼宽， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是正整数， ∴当时， ∴楼间距，楼宽，建筑面积， 方案略； （4）解：∵单层楼高为，层数为， ∴楼间距，楼宽， ∴． 5．（2026·广东佛山·一模）综合与实践 【背景材料】 南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台． 【问题提出】 如图1，观赛台的高，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为． 如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线的距离为． （1）如图1，求河道的宽； （2）如图2，已知一艘龙舟的船头在点处以的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式； （3）赛事安全警示：船头到河岸的安全距离不得小于．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)符合赛事安全警示，理由见解析 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）把代入抛物线，求值比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：观赛台B到标记线的距离为，， 顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式为； （3）解：符合赛事安全警示，理由如下： 当时， 可得， 所以这艘龙舟在本次漂移过程中符合赛事安全警示． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 （1）求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； （2）求信息3中移动距离的值： （3）如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)无人机升至某高度时需向右移动 【分析】（1）设抛物线的表达式为，代入计算即可得出结果； （2）求出点的坐标为，由二次函数的平移规律可得向右移动后的表达式为，代入计算即可得出结果； （3）当时，，，求出，即可得出无人机升至某高度时需向右移动，设顶点向右平移米，则，，当时，，，表示出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为， 代入得， 解得：， ∴此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， ∵向右移动后的表达式为， ∴代入可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴信息3中移动距离的值为； （3）解：当时，，， ∵， ∴无人机升至某高度时需向右移动， 设顶点向右平移米，则，， 当时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴无人机升至某高度时需向右移动． 考向2：反比函数类 7．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ （1）【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） （2）【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是，示意图见详解 (2)矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 考向3：一次函数类 8．（2026·上海·三模）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】晓风计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，他查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】晓风进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表： 水位高度 频率 【数据查询】同时晓风通过查阅资料，查找出以下七个音阶．与频率对照表． 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若晓风用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问晓风应该在玻璃杯中装多少毫升的水？ （3）研究结束后，晓华想利用实验中个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲击杯身奏响对应旋律，演奏出悦耳动听的音符． ①下面这段五线谱对应的经典儿歌是（     ） （A）茉莉花：（B）两只老虎；（C）小星星；（D）欢乐颂． ②为使这个玻璃杯敲击后依次发出以上音调，晓风需要对每个杯子注入相应的水量，请求出此时这个玻璃杯装水量的中位数． 【答案】(1) (2) (3)①C；② 【分析】（1）设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）根据（1）中解析式求出发出的音阶为时，杯中水位高度是，根据水位每升高时，则所使用的水量增加，即可求出答案； （3）①根据五线谱解答即可；②把个音阶从低到高排列，得出第个和第个数据分别为和，根据（1）中解析式求出发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为，结合（2）中结论，根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为． （2）解：∵音阶为的频率是，， ∴， 解得：， ∴发出的音阶为时，杯中水位高度是， ∵杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加， ∴水位高度是时，玻璃杯中的水量为． （3）解：①由五线谱可知，对应的经典儿歌是（C）小星星． ②把个音阶从低到高排列为：、、、、、、、、、、、、、， ∴第个和第个数据分别为和， ∵音阶为的频率是，， ∴发出的音阶为时，， 解得：， ∴发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为， 由（2）可知，发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为， ∴这个玻璃杯装水量的中位数为． 考向3：锐角三角函数类 9．（2026·广东佛山·二模）初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究． 【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表（单位：m）： 停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度 平行式 6 2.4 3.8 斜停式 30° 5.3 2.4 3.8 45° 5.3 2.4 3.8 60° 5.3 2.4 4.2 垂直式 5.3 2.4 5.5 【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）： ， 30° 4.8 4.8 45° 5.5 3.4 60° 5.8 2.8 【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长，宽的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】采用平行式车位设计，可设计车位14个．理由见解析 【详解】解：方案一：平行式 沿教学楼设计平行式停车位，最小宽度为：， 可设计个： 沿教学楼和围墙分别设计平行式停车位，中间通道， 最小宽度为：， 所以停车位数量为个； 方案二：垂直式 沿教学楼设计垂直式停车位，最小宽度为：，不满足条件； 方案三：斜停式，且， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：， 设此时车位数为个， 则， 解得，，取，故可设计停车位数量为8个； 方案四：斜停式，且， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件； 方案五：斜停式，且， 沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件； 综上所述，建议采用平行式车位设计，可设计车位14个． 10．（2025·贵州黔东南·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 【答案】(1)②，③ (2)选择方案一，理由为测量工具较简单，方便；的高度约为 【分析】（1）“标杆方案”测量出各边的长度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出旗杆的高度；“测角仪方案”测量出角的度数，利用三角函数表示出各边的长度，列方程求出旗杆的高度； （2）分别用两种不同的方案计算出旗杆的高度． 【详解】（1）解：测量出①，②，③，④， 可得：，， ， 根据可证， ， 根据对应边成比例求出的高度， 再根据旗杆的高度为求出结果， “标杆方案”运用的知识是②相似三角形； 测出的度数， 可知， 测出， 可知， ， 根据， 可以求出的高度， 根据旗杆的高度为求出结果， “测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数； （2）解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便， 如图： 由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 答：旗杆的高度约为； 选择方案二，理由为测量较准确， 由题意得：，， 设， ，， ， 在中，，， ，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度约为米． 11．（2026·广东揭阳·一模）某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，沿水平方向由点行米到达点处，在处测得处的俯角．，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 (1)请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 (2)某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为 ． 【答案】(1)桥塔的高度约为米； (2)米和． 【分析】（）延长交于点，则，所以，设米，米，在中，则，故米，所以，从而求得米，米，在中有，然后通过线段的和与差，代入即可求解； （）由现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，即为已知，设米，同（）理可得，故只需数据，，从而求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，则， ∴， 在中，， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， ∴米， ∵沿水平方向由点行米到达点处， ∴， 解得：， ∴（米），（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：桥塔的高度约为米； （2）解：由现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，即为已知，设米，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴只需数据，， ∴原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为米和， 故答案为：米和． 12．（2026·广东东莞·二模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题． 问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域．    知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下．（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，．） 测量项目 车宽 车高 视线高度AC 点B到地面距离BD BD与PE之间的距离ED BD与AC之间的距离CD 数据/m 1.7 1.5 1.4 0.8 0.4 1.5    问题解决： (1)平路的车头盲区问题 如图，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图中车头盲区的面积．    (2)上坡路的车头盲区问题 如图，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，，坡角．（参考数据：，，）    ①求的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗？为什么？ 【答案】(1) (2)①；②不能；理由见解析 【分析】（1）延长交直线于点K．证明，根据相似三角形的性质进行解答即可． （2）①延长ME交AH于点K．求出，． 根据进行解答即可； ②过F作交AH于点G．求出，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，延长交直线于点K． 根据题意，得． ． ，即． 解得． 车头盲区的面积约为． （2）解：①如图，延长交于点K． 在中，． ． ， ． ． ②司机不能看见孩子，理由如下： 如图2，过F作交于点G． ， 解得米米． 所以，孩子在司机视线盲区，司机不能看见孩子． 13．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 14．（2026·广东佛山·模拟预测）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1) (2)放书后整个书架占地的宽约为 (3)会影响通行 【分析】（1）在中，由三角函数（正切）进行求解即可； （2）过点F作，交于点M，过点I作于点N，分别在和中，运用三角函数求出和，进而即可求解； （3）先算单个置物架突出桌面宽度：，两个共突出，剩余通行宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴在中， ； （2）解：如图，过点F作，交于点M，过点I作于点N． ∵，， ∴， 故 在中，，， 则． 在中，，， 则， ∴， ∴放书后整个书架占地的宽约为； （3）解：∵，，1米， ∴． ∴会影响通行． 【点睛】本题以桌边置物架为实际背景，融合解直角三角形的应用，通过构造直角三角形、分段计算求解实际尺寸，考查数学建模与运算能力，体现数形结合与转化化归的核心数学思想． 15．（2026·广东广州·二模）某玩转数学小组以“注意用车安全”为主题开展项目式学习，该小组探究了某品牌越野车在停车场能否打开后备厢的问题，如图所示， 请认真阅读以下素材，解决问题． 注意用车安全 素材一 如图1是越野车的侧视图以及打开后备厢的示意图，已知，，连接，，当后备厢打开到最大时，与水平面的夹角．（参考数据：，，．） 素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员，使其不能再继续倒车，防止发生意外，对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所在的圆O上，设轮胎与地面相切于点Q，点M到的距离为，已知某款挡车器，，高，，． 素材三 如图3是某露天停车场搭建的一个停车棚的侧视图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，，，．现计划在停车棚每一个停车位安装与【素材二】中同款的挡车器．已知该车的高度，垂直地面l．参考数据：，，，． 问题解决： (1)如图1，求点B到的距离． (2)如图2，当越野车停在挡车器位置时，求该越野车的轮胎所在圆O的半径． (3)如图3，将越野车停在停车棚内，在后备厢盖打开的过程中，后备厢盖不与停车棚发生刮蹭，那么挡车器应安装在距离支撑杆的什么位置？ 【答案】(1) (2) (3)挡车器应安装在距离支撑杆大于的位置 【分析】（1）过点B作于点D，根据求出即可； （2）过点M作，过点N作，过点M作，根据题意得到，，设的半径，则，然后在中利用勾股定理求解即可； （3）先求出，则，过点作的垂线，垂足为，则，解，求出，，作，，保证越野车的后备厢可以完全打开，则，求得，求出，由，可求出，从而可得结论． 【详解】（1）解：过点B作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， 解得， 即点B到的距离为； （2）解：由题意得，轮胎的圆心为O，与地面切点为，过点M作，过点N作，过点M作于，如图， ∴四边形是矩形， ∵挡车器高，点M到的距离为， ∴，， ∴设的半径，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴该越野车的轮胎所在圆的半径是； （3）解：由素材一知，，即， 由素材三知，， 如图：过点B作于点D， ，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的垂线，垂足为， ∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 如图4中，作，， ∵，，，， ∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即挡车器应安装在距离支撑杆大于的位置． 16．（2026·广东汕头·一模）【停车位的数学建模】 某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，其中，．车位的三面围墙及墙高度高于车顶，车库门前有一条平行于且与距离为的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为．当驾驶座车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车． 图2是汽车外形的部分数据：①车身长度；②驾驶座车门长度；③车头宽度；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为；⑤车身宽度（不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度． 假设：车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有的安全距离． 参考数据：，，；，，；，，．      结合上述条件，回答下列问题： (1)【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由； (2)【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由． 【答案】(1)能顺畅从驾驶座下车，理由见解析 (2)汽车不会占用人行横道，理由见解析 【分析】（1）先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临界值，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可； （2）考虑极限状态，假设前车门顶在墙上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何辅助线的线段关系，求出车头到的总距离，与人行道距离比较，即可判断是否占用． 【详解】（1）解：驾驶员能顺畅从驾驶座下车．理由如下： 在图1中，过点作于点， 依题意，车外后视镜完全打开时与车身的距离为，， 车外后视镜完全打开时与墙之间有的安全距离， 此时另一侧车身与墙之间的距离为， 车身与墙之间的距离为， 假设驾驶座车门与车身的夹角， 在中，， ， ∵， 驾驶员能顺畅从驾驶座下车； （2）解：当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．理由如下： 考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段，若此时O点到的距离超过，则车门能完全打开， 如图，设与交点为J，则，则， 过点O作，交于点P，过点D作，交于点Q，过点Q作，交于点H， 四边形是矩形， ，， ， ，则， 在中，由（1）知：， ， ， 在中，，， ， ， 驾驶座车门能完全打开， 当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道． 17．（2026·江苏无锡·一模）某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度，段为水平路面，B点位置设有指示牌，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡长为39米． (1)求斜坡的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． (2)求指示牌牌杆的高度； 活动3：如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． (3)求指示牌的高度． 【答案】(1)斜坡的高度为米； (2)指示牌牌杆的高度为米； (3)指示牌的高度为米． 【分析】（1）如图，延长交斜坡底面水平线于点，易得，由坡度比可得，设米，则米，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）过点作于点，延长交斜坡底面水平线于点，证明四边形 是矩形，得到米，易证，得到，即可求解； （3）作交延长线于点O，作于点Q，交于点R，延长交斜坡底面水平线于点，则四边形为矩形，四边形为矩形，得到米，米，求出米，同理（1）得米，则米，根据，得到，再证明，推出，即可求解出米，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交斜坡底面水平线于点， 由题意得， ∵该斜坡坡度， ∴， 设米，则米， 在中，米， ∴，即， 解得（负值舍去）， 即米， 答：斜坡的高度为米； （2）解：过点作于点，延长交斜坡底面水平线于点， 则， 由题意得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴， 由（1）知米，则米， ∴， ∴米， 答：指示牌牌杆的高度为米； （3）解：作交延长线于点O，作于点Q，交于点R，延长交斜坡底面水平线于点， 则四边形为矩形，四边形为矩形， 米，米， （米）， 同理（1）得米，则米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ∴， ∴米， ， ， ∴， ∴米， 答：指示牌的高度为米． 18．（2026·广东东莞·一模）东莞运河是20世纪60年代开挖的一条人工河，全长103公里，是广东省最长的运河．是东莞人民靠双手“锄挖肩挑”建成的奇迹．某项目学习小组的同学想要测量某段运河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在运河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点B、C，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为，、两点间的距离为100米． (1)求该段运河的宽度（即中边上的高）； （结果精确到0.1米；参考数据：） (2)学习小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量运河宽度的方案． 要求：在备用图中画出图形、标出字母，并作出简要说明． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）过点A作的延长线于点D，设,则，根据，即可列出方程； （2）过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作，测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图，过点A作的延长线于点D， 设, 由图可知，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∴, ∴河的宽度约为； （2）如图2，过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作， 测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 考向4：几何图形操作类 19．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 20．（2026·广东东莞·一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2)不能；理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 21．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条中，窄木条中，），当遇到转角为直角（）的地面时，发现拼接后点与点不能重合．在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图2，画出的延长线，交于点，连接； 第二步：如图3，沿着射线方向，平移窄木条，得到，使点与点重合，延长，交窄木条的边于点，连接； 第三步：沿着、切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接． (1)如图4，如果宽木条的宽度为12cm，窄木条的宽度为8cm，宽木条裁剪后的锐角是，那么__________； (2)请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性； (3)如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为的两根长方形木条切割后拼接铺入该转角处，则__________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点，两根木条的宽度比即为所求； （2）证明与能够重合，即，且即可； （3）过点作于点，于点，过点作交的延长线于点，交于点，设，则，再解直角三角形，求出，，得到，即可得解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ，， ， ， ，， ； （2）解：，， ， ，，， ，， 同理可得， ， ， ， ，即， 又， ， ， 故和都是等腰直角三角形， 由平移得， ， 在和中， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即可完成拼接； （3）解：如图，过点作于点，于点，过点作交的延长线于点，交于点， 则四边形为矩形， 两根木条的宽度比为，即， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合实践—跨学科融合 广东中考数学卷中最难预测的题型之一，每年考查的内容不一，题型新颖，阅读量，很多学生看不懂题目无从下手而失分。抓住题意及关键信息，分析考查知识点，用所学内容去解决问题，拿下满分并不困难。这份练习搜集了各地最新考题，值得大家考前训练。 考向1：二次函数类 1．（2026·湖北武汉·一模）近年来，随着科技的不断发展，汽车自动驾驶技术已经非常成熟．小明发现在汽车自动驾驶侧方停车过程中，可将车辆后轴中心点的运动轨迹近似看作三段轨迹的组合，如下图所示．以路沿所在直线为轴（单位：），车辆开始倒车的点A到路沿的距离所在直线为轴（单位：）建立平面直角坐标系．车辆从点开始倒车，轨迹依次经过点B、C、D，其中停车过程分三阶段：阶段Ⅰ（打方向倒车）：轨迹近似为抛物线，且对称轴为y轴，阶段Ⅰ在点B处结束，且已知B点的横坐标为1.5．阶段Ⅱ（回正直线微调）：车辆沿线段倒车，且直线与x轴夹角为．已知．阶段Ⅲ（反向打方向入库）：轨迹近似为抛物线，并经过点C与点．且轨迹与路沿距离的最小值为． （1）求阶段Ⅱ倒车路程； （2）写出点B的坐标________，并求阶段Ⅰ轨迹的函数表达式； （3）为保障倒车安全，汽车会在与路沿的距离不大于时触发警报．求触发警报的这段时间内汽车行驶的水平距离． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的关系式； 【问题解决】 （2）无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； 3．（2026·广西贵港·三模）综合与实践 【问题背景】随着智慧校园建设推进，学校食堂引入智能结算系统．某校数学兴趣小组对食堂每天开餐50分钟内排队结算人数与开餐时间、开放结算通道数量之间的关系开展了综合与实践活动． 【调研数据】 信息1：食堂开餐时，开放的所有结算通道同时开始结算．已知每个结算通道每分钟可结算12人． 信息2：食堂开餐后，到达食堂的总人数（单位：人）与开餐时间（单位：）满足二次函数． 信息3：开餐后不断有新的学生到达结算通道，任意时刻满足：排队结算人数ω（单位：人）=到达食堂的总人数-已结算人数． 【建立模型】食堂开餐时同时开放4个结算通道（该食堂共有8个结算通道）． （1）①开餐，用含x的代数式表示4个结算通道已结算的人数； ②求排队结算人数与开餐时间之间的函数关系式； ③开餐50分钟内，排队结算人数是否会降为0？如果会降为0，请说明从开餐后多少分钟降为0？如果不会降为0，请说明理由； （2）问题解决：为了让学生尽快完成结算，开餐时同时开放个结算通道，可以使得排队结算人数最晚在10分钟达到最大值．求的最小值． 4．（2026·福建泉州·三模）【提出问题】 全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光． 【分析问题】 工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息： 材料一：根据《建筑设计防火规范—（）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至少的距离作为消防疏散通道； 材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离，小区围栏，活动中心就建在这个矩形区域内，其中建筑面积长宽层数，如图所示； 材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面），那么在其他季节就更能保证采光，每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图所示． 【解决问题】 （1）经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为的小树影长为，则________；（请以该太阳高度角为依据解决以下问题） （2）若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理． 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 （3）在文体活动中心建筑单层楼高为且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请给出方案（结果精确到）． （4）在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为，单层楼高为，层数为，直接写出等式表示，，之间的数量关系． 5．（2026·广东佛山·一模）综合与实践 【背景材料】 南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台． 【问题提出】 如图1，观赛台的高，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为． 如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线的距离为． （1）如图1，求河道的宽； （2）如图2，已知一艘龙舟的船头在点处以的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式； （3）赛事安全警示：船头到河岸的安全距离不得小于．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由． 6．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 （1）求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； （2）求信息3中移动距离的值： （3）如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 考向2：反比函数类 7．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ （1）【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） （2）【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 考向3：一次函数类 8．（2026·上海·三模）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】晓风计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，他查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】晓风进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表： 水位高度 频率 【数据查询】同时晓风通过查阅资料，查找出以下七个音阶．与频率对照表． 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若晓风用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问晓风应该在玻璃杯中装多少毫升的水？ （3）研究结束后，晓华想利用实验中个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲击杯身奏响对应旋律，演奏出悦耳动听的音符． ①下面这段五线谱对应的经典儿歌是（     ） （A）茉莉花：（B）两只老虎；（C）小星星；（D）欢乐颂． ②为使这个玻璃杯敲击后依次发出以上音调，晓风需要对每个杯子注入相应的水量，请求出此时这个玻璃杯装水量的中位数． 考向3：锐角三角函数类 9．（2026·广东佛山·二模）初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究． 【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表（单位：m）： 停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度 平行式 6 2.4 3.8 斜停式 30° 5.3 2.4 3.8 45° 5.3 2.4 3.8 60° 5.3 2.4 4.2 垂直式 5.3 2.4 5.5 【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）： ， 30° 4.8 4.8 45° 5.5 3.4 60° 5.8 2.8 【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长，宽的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由．（参考数据：，） 10．（2025·贵州黔东南·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． （1）任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． （2）任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 11．（2026·广东揭阳·一模）某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，沿水平方向由点行米到达点处，在处测得处的俯角．，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为 ． 12．（2026·广东东莞·二模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题． 问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域．    知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下．（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，．） 测量项目 车宽 车高 视线高度AC 点B到地面距离BD BD与PE之间的距离ED BD与AC之间的距离CD 数据/m 1.7 1.5 1.4 0.8 0.4 1.5    问题解决： （1）平路的车头盲区问题 如图，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图中车头盲区的面积．    （2）上坡路的车头盲区问题 如图，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，，坡角．（参考数据：，，）    ①求的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗？为什么？ 13．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： （1）求主坡道的铅直高度； （2）根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 14．（2026·广东佛山·模拟预测）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． （1）求最底层置物区开口的长； （2）已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ （3）《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 15．（2026·广东广州·二模）某玩转数学小组以“注意用车安全”为主题开展项目式学习，该小组探究了某品牌越野车在停车场能否打开后备厢的问题，如图所示， 请认真阅读以下素材，解决问题． 注意用车安全 素材一 如图1是越野车的侧视图以及打开后备厢的示意图，已知，，连接，，当后备厢打开到最大时，与水平面的夹角．（参考数据：，，．） 素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员，使其不能再继续倒车，防止发生意外，对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所在的圆O上，设轮胎与地面相切于点Q，点M到的距离为，已知某款挡车器，，高，，． 素材三 如图3是某露天停车场搭建的一个停车棚的侧视图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，，，．现计划在停车棚每一个停车位安装与【素材二】中同款的挡车器．已知该车的高度，垂直地面l．参考数据：，，，． 问题解决： （1）如图1，求点B到的距离． （2）如图2，当越野车停在挡车器位置时，求该越野车的轮胎所在圆O的半径． （3）如图3，将越野车停在停车棚内，在后备厢盖打开的过程中，后备厢盖不与停车棚发生刮蹭，那么挡车器应安装在距离支撑杆的什么位置？ 16．（2026·广东汕头·一模）【停车位的数学建模】 某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，其中，．车位的三面围墙及墙高度高于车顶，车库门前有一条平行于且与距离为的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为．当驾驶座车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车． 图2是汽车外形的部分数据：①车身长度；②驾驶座车门长度；③车头宽度；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为；⑤车身宽度（不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度． 假设：车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有的安全距离． 参考数据：，，；，，；，，．      结合上述条件，回答下列问题： （1）【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由； （2）【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由． 17．（2026·江苏无锡·一模）某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度，段为水平路面，B点位置设有指示牌，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡长为39米． （1）求斜坡的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． （2）求指示牌牌杆的高度； 活动3：如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． （3）求指示牌的高度． 18．（2026·广东东莞·一模）东莞运河是20世纪60年代开挖的一条人工河，全长103公里，是广东省最长的运河．是东莞人民靠双手“锄挖肩挑”建成的奇迹．某项目学习小组的同学想要测量某段运河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在运河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点B、C，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为，、两点间的距离为100米． （1）求该段运河的宽度（即中边上的高）； （结果精确到0.1米；参考数据：） （2）学习小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量运河宽度的方案． 要求：在备用图中画出图形、标出字母，并作出简要说明． 考向4：几何图形操作类 19．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 （1）求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） （2）如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） （3）有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 20．（2026·广东东莞·一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 21．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条中，窄木条中，），当遇到转角为直角（）的地面时，发现拼接后点与点不能重合．在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图2，画出的延长线，交于点，连接； 第二步：如图3，沿着射线方向，平移窄木条，得到，使点与点重合，延长，交窄木条的边于点，连接； 第三步：沿着、切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接． （1）如图4，如果宽木条的宽度为12cm，窄木条的宽度为8cm，宽木条裁剪后的锐角是，那么__________； （2）请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性； （3）如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为的两根长方形木条切割后拼接铺入该转角处，则__________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $