精品解析：河南平顶山市鲁山县第五教研区2026年中考学科适应性第三次调研 数 学

2026年中考学科适应性第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在京隆重举行，在阅兵仪式中，徒步方队官兵以每分钟112步的节奏，从东华表向西华表行进128步正步，用时1分08秒，精准铿锵地经过检阅区，如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进120步，记作（ ） A 步 B. 步 C. 步 D. 步 2. 神威·太湖之光超级计算机是世界首台峰值运算能力超过每秒亿亿次、拥有千万核的超级计算机，由国家并行计算机工程技术研究中心研制，安装在国家超级计算无锡中心．系统合计约有万计算核心，主要服务于中国国产大飞机精细数值模拟、天宫一号陨落路径预测计算等国家重大科技项目．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是商丘古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外无法直接测量．小明同学提供了间接测量方案：①延长至点C，至点D，②测得的度数为70°．请根据小明的测量方案，判断的度数为（ ） A. 70° B. 100° C. 110° D. 120° 5. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点E，若，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 5 7. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 8. 中原腹地，人才辈出，在历史的长河中，无论是天文地理，还是文学军事都有杰出的代表，例如天文学家张衡，撰写《伤寒论》的医圣张仲景，开漳圣王陈元光，诗圣杜甫等．下面是用这四个人物的画像制作的四张卡片，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片正面为医圣张仲景和开漳圣王陈元光的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在探索凸透镜成像的实验中，某数学兴趣小组尝试用数学的知识和方法来探究凸透镜成像规律．在实验室中固定一个凸透镜，设物距为u、像距为v和焦距为f，取值时保证，画出如图1所示的光路图，根据实验数据研究绘制了如图2所示的之间的函数图象，下列说法错误的是（ ） （1）当时，物体成倒立、放大的实像，即． （2）光路原理：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． A. 当时，像距v随物距u的增大而减小 B. 当时，物体通过凸透镜成像为倒立、放大的实像 C. 当时，物体通过凸透镜成像为倒立、等大的实像 D. 改变物距u、存在 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点，，，，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知满足不等式组，写出一个符合条件的的整数值：______． 12. 甲、乙、丙三名射击队员参加一次选拔赛，每人射击10枪，按射击总环数大小确定名次并进入下一轮比赛、若总环数相同，则稳定性更好的队员晋级，射击成绩如图所示，你认为应选择______晋级． 13. 观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 14. 如图1，在扇形中，，，点C为弧上一点，以为对角线构造正方形．且点D，E分别在，上．如图2，将正方形沿方向平移得到正方形，若点D的对应点N恰好与点C重合，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在矩形中，，过点B作交的延长线于点E，将沿方向平移得到，连接，，则的长为______，周长的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算或化简： （1）计算： （2）化简： 17. 在学习二次函数后，刘老师对所教的两个班进行了章节测试，为了解基础知识掌握情况，从两个班级中各随机抽取10名学生（每班50人）的成绩（100分制）如下： 1班：70，75，79，80，75，85，73，59，87，97； 2班：72，81，80，82，83，70，92，45，94，81； 刘老师的分析结果如表： 平均分 众数 中位数 方差 1班 78 a c 96.4 2班 78 b d 170.4 请你根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：_________；_________；_________；_________； （2）估计这两个班级内成绩为优秀（不少于80分）的学生一共有多少人； （3）比较这两个班基础知识掌握情况，哪个班级更好些？并说明理由（至少从两个不同的角度说明）． 18. 在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． （1）写出关于的函数解析式： （2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … （3）当电流超过时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器阻值应控制在什么范围内？ 19. 如图1是小明家小区内的一个观景湖，小明准备用无人机测量这个湖的东西长度．如图2，小明在湖正西岸边处控制无人机，当无人机飞到湖面上空处时，无人机高度为，无人机观测到湖正东部处的俯角为，小明仰头观测无人机的仰角为，他的眼睛距地面（即）为．已知，，，均在同一平面内，求观景湖的东西长度的长．（结果精确到．参考数据：，，） 20. 如图，以为直径的中，切于点C，连接． （1）作的垂直平分线，交于点P，交于点Q（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）条件下： ①求证：； ②若，，求的长． 21. 寒假期间，某校教师带领学生前去教育基地研学，入住宾馆收费标准如下表． 普通间（元/人/天） 三人间 50 双人间 70 单人间 100 宾馆规定：未成年人团体入住一律五折优惠，成人不优惠． 已知此次研学共教师1人，学生100人，其中，教师选择单人间，学生选择三人间和双人，并且每个客房都正好住满． （1）若一天的住宿费为3000元，求选择三人间、双人间客房的间数； （2）设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （3）小明是个聪明的孩子，他认为如果合理分配住宿方式，还可以更省钱，你认为正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你求出一天住宿的最少费用． 22. 如图1，某景区游乐园湖边架设了一部高射水枪，小明发现水喷出后的轨迹近似为抛物线的一段，他想利用二次函数知识来解释这一现象．如图2，点A为水枪喷口的位置，点O为水枪喷口正下方水面的位置，点为喷水落入水面的位置．以点O与点B所在的直线为x轴，以点O与点A所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．喷水高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系，小明发现当喷水的水平距离为时，喷水的高度为． （1）求该抛物线的解析式及喷水的最大高度； （2）当喷水的高度是时，求喷水的水平距离； （3）为增强游玩观感，游乐园在水枪喷口和落点之间设置了一个浮台，其露出水面部分截面为正方形，．设点D的横坐标为m，若喷水不落在浮台上，请求出m的取值范围． 23. 如图，以正方形的边为直角边，以点C为直角顶点在正方形的右侧作等腰直角三角形，点P为上一个动点，以为对称轴折叠，得到，点A的对应点为点Q，延长交线段于点M，． （1）如图1，若点E与点M重合． ①写出图中一个的角为__________； ②写出与的数量关系为__________，的长为__________； （2）如图2，当四边形为平行四边形时． ①与的数量关系是否变化？若不变，请证明；若变化，请说明理由； ②求此时的长； （3）当经过直角边的中点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科适应性第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在京隆重举行，在阅兵仪式中，徒步方队的官兵以每分钟112步的节奏，从东华表向西华表行进128步正步，用时1分08秒，精准铿锵地经过检阅区，如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进120步，记作（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 【答案】D 【解析】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进120步，记作步． 2. 神威·太湖之光超级计算机是世界首台峰值运算能力超过每秒亿亿次、拥有千万核的超级计算机，由国家并行计算机工程技术研究中心研制，安装在国家超级计算无锡中心．系统合计约有万计算核心，主要服务于中国国产大飞机精细数值模拟、天宫一号陨落路径预测计算等国家重大科技项目．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：万． 3. 南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确正方体平面展开图中相对面的判定规则：同行或同列中，间隔一个面的两个面为相对面．逐个分析每个选项的展开图，定位“有”字的位置，根据相对面判定规则找到其对应的对面文字．对比每个选项中“有”的对面是否为“竟”，筛选出符合要求的选项． 【详解】选项A：该展开图中，“有”的对面是“成”，不符合要求． 选项B：该展开图中，“有”的对面是“竟”，符合要求． 选项C：该展开图中，“有”的对面是“事”，不符合要求． 选项D：该展开图不能构成正方体，不符合要求． 4. 如图是商丘古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外无法直接测量．小明同学提供了间接测量方案：①延长至点C，至点D，②测得的度数为70°．请根据小明的测量方案，判断的度数为（ ） A. 70° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 5. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，涉及有理数幂的概念，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等知识，根据这些运算进行即可． 【详解】解：；；； ； 故选：D． 6. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点E，若，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 7. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，然后根据根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∵， ∴有两个不相等的实数根． 8. 中原腹地，人才辈出，在历史的长河中，无论是天文地理，还是文学军事都有杰出的代表，例如天文学家张衡，撰写《伤寒论》的医圣张仲景，开漳圣王陈元光，诗圣杜甫等．下面是用这四个人物的画像制作的四张卡片，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片正面为医圣张仲景和开漳圣王陈元光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】记天文学家张衡为，医圣张仲景为，开漳圣王陈元光为，诗圣杜甫为．根据题意，抽取的卡片正面情况列表如下： —— —— —— —— 由表格可知，共有种等可能的结果，其中符合的有，两种结果， （抽取的卡片正面为医圣张仲景和开漳圣王陈元光）． 9. 在探索凸透镜成像实验中，某数学兴趣小组尝试用数学的知识和方法来探究凸透镜成像规律．在实验室中固定一个凸透镜，设物距为u、像距为v和焦距为f，取值时保证，画出如图1所示的光路图，根据实验数据研究绘制了如图2所示的之间的函数图象，下列说法错误的是（ ） （1）当时，物体成倒立、放大的实像，即． （2）光路原理：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． A. 当时，像距v随物距u的增大而减小 B. 当时，物体通过凸透镜成像为倒立、放大的实像 C. 当时，物体通过凸透镜成像为倒立、等大的实像 D. 改变物距u、存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据图1和图2，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知当时，像距v随物距u的增大而减小，正确； 选项B：由图2可知当时，，由图1知物体通过凸透镜成像为倒立、放大的实像，正确； 选项C：由图2可知当时，．作出光路图如图1，由题意可知，，， ∴， ∴，即此时为倒立、等大的实像，正确； 选项D：作出直线．如图2可以看出直线与原函数图象的交点为，其余的原函数图象均在直线的上方， ∴，故不存在任何一点满足，错误． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点，，，，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的规律可知第89次旋转结束时，图形旋转了．画出旋转后的图形，根据三角函数求解即可． 【详解】解：由题意知，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次回到原位置． ∵， ∴第89次旋转结束时，图形旋转了． 如图，旋转后的图形为四边形． 过点作于点E，过点作于点D，则． ∵点，，，且， ∴，，， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形，，， ∴则第89次旋转结束时，点C的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知满足不等式组，写出一个符合条件的的整数值：______． 【答案】或或（任取一个） 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，进而即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴符合不等式组的的整数值为或或． 12. 甲、乙、丙三名射击队员参加一次选拔赛，每人射击10枪，按射击总环数大小确定名次并进入下一轮比赛、若总环数相同，则稳定性更好的队员晋级，射击成绩如图所示，你认为应选择______晋级． 【答案】乙 【解析】 【详解】解：甲成绩的平均数为， 方差为； 乙成绩的平均数为， 方差为； 丙成绩的平均数为， 方差为； ∵， ∴乙的发挥更稳定．故答案为乙． 13. 观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，，，…… 规律 ∴． 原式 ． 14. 如图1，在扇形中，，，点C为弧上一点，以为对角线构造正方形．且点D，E分别在，上．如图2，将正方形沿方向平移得到正方形，若点D的对应点N恰好与点C重合，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角函数求出，求出不规则图形的面积，进而可知图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∴不规则图形的面积， ∴． 15. 如图，在矩形中，，过点B作交的延长线于点E，将沿方向平移得到，连接，，则的长为______，周长的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，由平移的性质，可知四边形是平行四边形，则，连接，并延长交的延长线于点，设点是点关于直线的对称点，连接交于点，连接，过点作交的延长线于点，的周长为，要使的周长最小，只需的值最小，当在上时，取得最小值，即为的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，． 在中，， ∴，，． ∵， ， ，即， ∴（负值舍去）． 如图，连接，由平移的性质，可知四边形是平行四边形，则，连接，并延长交的延长线于点． 设点是点关于直线的对称点，连接交于点，连接，过点作交的延长线于点， 的周长为， 要使的周长最小，只需的值最小． 当在上时，取得最小值，即为的长． ， ， ， ∴． ， ， ， ∴，， ∴． 在中，， ∴周长的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算或化简： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）1-a 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案． （2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = 【点睛】本题考查实数的运算和分式的运算，解题的关键还是熟练运用实数与分式的运算法则，本题属于基础题型． 17. 在学习二次函数后，刘老师对所教的两个班进行了章节测试，为了解基础知识掌握情况，从两个班级中各随机抽取10名学生（每班50人）的成绩（100分制）如下： 1班：70，75，79，80，75，85，73，59，87，97； 2班：72，81，80，82，83，70，92，45，94，81； 刘老师的分析结果如表： 平均分 众数 中位数 方差 1班 78 a c 96.4 2班 78 b d 170.4 请你根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：_________；_________；_________；_________； （2）估计这两个班级内成绩为优秀（不少于80分）的学生一共有多少人； （3）比较这两个班基础知识掌握情况，哪个班级更好些？并说明理由（至少从两个不同的角度说明）． 【答案】（1）75，81，77，81 （2）55人 （3）解：2班更好些，理由如下： ①从众数看，2班略高于1班，说明2班掌握的总体水平略高于1班； ②从中位数看，2班略高于1班，说明2班成绩好的人更多． 【解析】 【分析】（1）分别将两班数据从小到大排列，进而根据众数、中位数的定义计算即可； （2）分别用两班人数乘以成绩为优秀（不少于80分）的学生比例，相加即可； （3）任选两个不同的角度说明即可． 【小问1详解】 解：1班数据从小到大排列得：59，70，73，75，75，79，80，85，87，97， 可知众数，中位数； 2班数据从小到大排列得：45，70，72，80，81，81，82，83，92，94， 可知众数，中位数； 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计这两个班级内成绩为优秀（不少于80分）的学生一共有55人； 【小问3详解】 略． 18. 在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． （1）写出关于的函数解析式： （2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … （3）当电流超过时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内 【解析】 【分析】（） 先根据反比例函数的定义，用待定系数法求出与的函数解析式； （）将表格中的值代入解析式，求出对应的值，完成表格后，连线画出函数图象； （）根据电流限制条件列出不等式，结合反比例函数的增减性，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：列表如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … 函数图象如下： 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 19. 如图1是小明家小区内的一个观景湖，小明准备用无人机测量这个湖的东西长度．如图2，小明在湖正西岸边处控制无人机，当无人机飞到湖面上空处时，无人机高度为，无人机观测到湖正东部处的俯角为，小明仰头观测无人机的仰角为，他的眼睛距地面（即）为．已知，，，均在同一平面内，求观景湖的东西长度的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，分别解和即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 由题意得，，， ∴． 在中，， ∴． 由题意得，． 在中，，， ∴ ∴． 答：观景湖的东西长度约为． 20. 如图，以为直径的中，切于点C，连接． （1）作的垂直平分线，交于点P，交于点Q（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下： ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）画图见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了切线判定，勾股定理以及解一元二次方程． （1）根据题意作出图形即可； （2）①利用等角的余角相等证明，再利用对顶角相等推出，即可证明； ②设，在中，利用勾股定理求得，在中，再利用勾股定理列式计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示． ； 【小问2详解】 ①证明：如图，连接． ∵为的切线， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ②设，则，． 在中，． 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴，即的半径为， ∴的直径的长为． 21. 寒假期间，某校教师带领学生前去教育基地研学，入住宾馆收费标准如下表． 普通间（元/人/天） 三人间 50 双人间 70 单人间 100 宾馆规定：未成年人团体入住一律五折优惠，成人不优惠． 已知此次研学共教师1人，学生100人，其中，教师选择单人间，学生选择三人间和双人，并且每个客房都正好住满． （1）若一天的住宿费为3000元，求选择三人间、双人间客房的间数； （2）设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （3）小明是个聪明的孩子，他认为如果合理分配住宿方式，还可以更省钱，你认为正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你求出一天住宿的最少费用． 【答案】（1）选择三人间20间，选择两人间20间 （2），且x是6的倍数， （3）2640 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确立即题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设选择三人间x间，选择两人间y间，根据共有100名学生且费用为3000元列出方程组求解即可； （2）设三人间共住了人，则三人间有间，双人间有间，据此分别求出双人间和三人间的费用，二者求和再加上一个单人间的费用即可求出对应的函数关系式，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设选择三人间x间，选择两人间y间， 由题意得，， 解得， 答：选择三人间20间，选择两人间20间； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵每个客房都正好住满， ∴是正整数，且也是正整数， ∴必须是2的倍数， ∴且x是6的倍数， 小问3详解】 解：由（2）可知， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当x最大时，y有最小值， ∴当时，y有最小值，最小值为， 答：一天的最小费用为2640元． 22. 如图1，某景区游乐园湖边架设了一部高射水枪，小明发现水喷出后的轨迹近似为抛物线的一段，他想利用二次函数知识来解释这一现象．如图2，点A为水枪喷口的位置，点O为水枪喷口正下方水面的位置，点为喷水落入水面的位置．以点O与点B所在的直线为x轴，以点O与点A所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．喷水高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系，小明发现当喷水的水平距离为时，喷水的高度为． （1）求该抛物线的解析式及喷水的最大高度； （2）当喷水的高度是时，求喷水的水平距离； （3）为增强游玩观感，游乐园在水枪喷口和落点之间设置了一个浮台，其露出水面部分的截面为正方形，．设点D的横坐标为m，若喷水不落在浮台上，请求出m的取值范围． 【答案】（1），喷水的最大高度是； （2）喷水的水平距离是或； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，进而化为顶点式即可； （2）令，进而求解即可； （3）分别求出当点E在抛物线上时、当点F在抛物线上时点D的横坐标m的值，即可得到m的取值范围． 【小问1详解】 解：由抛物线过点，， 得 解得 ∴． ∵， ∴喷水的最大高度是； 【小问2详解】 解：令， 解得，， 答：喷水的水平距离是或； 【小问3详解】 解：若喷水恰好接触到浮台边缘，则点E或点F在抛物线上． 令，则， 解得，． 当点E在抛物线上时，点D的横坐标m为； 当点F在抛物线上时，点D的横坐标m为； ∴m的取值范围是． 23. 如图，以正方形的边为直角边，以点C为直角顶点在正方形的右侧作等腰直角三角形，点P为上一个动点，以为对称轴折叠，得到，点A的对应点为点Q，延长交线段于点M，． （1）如图1，若点E与点M重合． ①写出图中一个的角为__________； ②写出与的数量关系为__________，的长为__________； （2）如图2，当四边形为平行四边形时． ①与的数量关系是否变化？若不变，请证明；若变化，请说明理由； ②求此时的长； （3）当经过直角边的中点时，直接写出的长． 【答案】（1）①，，（写出一个即可）；② （2）①． 证明：如图1，，， ∴． 由折叠，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ② （3）的长为1或 【解析】 【分析】（1）①利用折叠+正方形平行证，结合斜边中线性质得角．②平行线+折叠等角，等腰结合直角互余，证； 由求、，作垂线构造矩形得，利用在上，求值． （2）①利用正方形对边平行、折叠对应角相等，结合三角形内角和定理与直角三角形两锐角互余，推导出两角固定数量关系；②根据平行四边形性质得到线段相等与平行线，借助平行线同位角相等得到，结合折叠直角判定等腰直角三角形，用两种表达形式列方程求解． （3）分类讨论分别过、中点两种情形；过中点时借助全等得到线段长，再利用勾股定理列方程；过中点时利用等角对等边得，结合勾股求出，进而算出． 【小问1详解】 ①沿折叠得到， ， ． 四边形为正方形， ，． 由折叠得， ， ． 在中，斜边对应直角， 由直角三角形边角关系可知，则 ． ， ． ，平分， ． 可填：（或、）． ②四边形是正方形 由折叠的性质可得 在中， 中， ∴ ． 由折叠得，，， 故． ， 在中，，． ， ． 过点P作，于点H， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 由折叠落点特征可知，点Q在线段上，，， ． 【小问2详解】 ①与的数量关系不变，． 四边形是正方形 由折叠的性质可得 在中， ， 在中， ． ②四边形是平行四边形 ，， 为等腰直角三角形， ，M、Q、E三点共线， ∴， 是等腰直角三角形 ． 设，则， ， ∵正方形， ∴． ， ， 解得． ． 小问3详解】 ①当射线经过的中点时，设中点为，则，连接． 由折叠得，，， ． 在与中 ， ． 设，则，． 在中，， 即，解得， ． ②当射线经过的中点时，， ． 由（2）已证， ． 由折叠可知，则， 在中，，由勾股定理： ， ． 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $