精品解析：2026年辽宁省抚顺市新宾县永陵镇中学九年级考前最后数学质量检测

考前最后质量检测数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在我国古代数学著作《九章算术》中，用“正与负”来表示“收入与支出”，如：钱表示收入5文钱，那么钱表示（ ） A. 收入4文钱 B. 支出4文钱 C. 支出1文钱 D. 收入1文钱 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列汉字属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 在生物学中，人的双眼皮是显性基因，而单眼皮是隐性基因，即控制单、双眼皮的基因分别是A和a，组合，都是双眼皮，只有是单眼皮．如果一个家庭中爸爸是基因（双眼皮），妈妈是基因（单眼皮），那么他们的孩子是双眼皮的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 0 7. 某志愿者团队参与治沙公益行动，准备完成的治理目标，由于工具升级，平均每日治沙面积是原计划的倍，结果提前天完成目标．设原计划每天治沙，根据题意，可列方程为 （ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，把一个含有角的三角尺放在平面直角坐标系中，若点A的坐标是，点B的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点E在上，．作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F；②分别以点E，F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D；③以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G；④连接并延长，交于点H，连接，．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：____． 12. 如图是一个探照灯的截面图，它可以使点射出的光线经抛物面反射得到平行光，即．若，，则_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 14. 白玉山塔（图1）是位于辽宁省大连市旅顺口区白玉山顶的侵华日军建筑遗址，原为日俄战争后日军修建的“表忠塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量白玉山塔的高度，具体过程如下：如图2，将无人机垂直上升至距水平地面的点C处，此时测得白玉山塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则白玉山塔的高度约是_______．（结果保留整数．参考数据：tan） 15. 在等腰中，，，为线段上的动点，交于点，将以为对称轴作轴对称，得到．当与四边形重合部分的面积为15时，的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 17. 某地新建污水处理厂，现有A，B两种型号的污水处理设备可供选择，已知A型设备比B 型设备每日可多处理污水量，5台A型设备的处理能力与6台B型设备的处理能力相同． （1）求A，B两种型号设备的日处理污水量； （2）经测算，污水处理厂每日至少需处理污水，决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台（可单选一种型号），已知A型设备40万元/台，B型设备30万元/台，若要节约经费，则该厂应如何购买？ 18. 每年的11月9日是中国的全国消防日，为提高学生的安全意识，某中学开展了消防知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 8.35 中位数 8 c 众数 a 9 合格率 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中a，b，c的值：            ，            ，            ； （2）请求出七年级抽取的20名学生成绩的平均数； （3）若该校八年级有学生800人，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 19. 某工厂生产某种产品，每天的生产成本包括固定成本和原料及加工成本．已知该工厂正常运转的固定成本为120万元/月，该产品的原料及加工成本合计为6万元，当月产量超过时，由于规模采购议价，超过的部分每吨原料及加工成本还可以减少0.5万元．设每月的生产成本为y万元（包括固定成本与原料及加工成本），每月的生产量为． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该工厂每吨产品的出厂价为8万元，则当每月生产多少吨产品时，工厂可每月获利80万元？ 20. 如图，是的外接圆，是的直径，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 21. 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑．为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，为判断警示牌设置位置是否符合安全设置要求，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 活动实施 任务一：采集数据 如图，矩形为核心观景平台区域的竖直截面图， 小组成员在曲线步道的不同位置进行测量，曲线步道到的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，记录数据如下表： 任务二：建立模型 如图，以地面为轴、竖直方向为轴、点为原点建立平面直角坐标系．根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点．分析数据和图象，确定是的反比例函数： 安全评估 为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求曲线段关于的函数解析式；(不需要写出自变量的取值范围) （2）若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为，则该位置是否符合安全设置要求？请说明理由； （3）若工程团队拟在地面上到原点水平距离处新增观景点，为实现步道无缝衔接，求衔接点距地面的高度． 22. 如图1，在平行四边形中，，，连接，将沿折叠，得到，与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，当为的中点，时，求的值； （3）如图3，当时，求与的面积比． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，抛物线与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标用含的代数式表示； （2）如图2，当时，过点作轴的垂线，分别交抛物线于点，，且的长随的增大而减小，求的取值范围； （3）当时，总有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 考前最后质量检测数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在我国古代数学著作《九章算术》中，用“正与负”来表示“收入与支出”，如：钱表示收入5文钱，那么钱表示（ ） A. 收入4文钱 B. 支出4文钱 C. 支出1文钱 D. 收入1文钱 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵题目中正负数表示相反意义的收入与支出，且钱表示收入文钱， ∴负数表示与收入相反意义的支出，因此钱表示支出文钱． 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 下列汉字属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：B，C，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项的概念和同底数幂的运算法则，根据对应规则逐一判断选项即可． 【详解】A、C：与不是同类项，不能合并，故选项A，C错误； B：，故选项B错误； D、，故选项D正确． 5. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较四个方差的大小，得到方差最小的运动员即可． 【详解】解：∵四名运动员成绩的平均数相同，方差分别为 ，，，， ∴ ， ∵方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定， ∴丙的成绩最稳定． 6. 在生物学中，人的双眼皮是显性基因，而单眼皮是隐性基因，即控制单、双眼皮的基因分别是A和a，组合，都是双眼皮，只有是单眼皮．如果一个家庭中爸爸是基因（双眼皮），妈妈是基因（单眼皮），那么他们的孩子是双眼皮的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵子代所有可能的基因组合为，，，，共4种等可能结果，其中双眼皮的结果有2种， ∴孩子是双眼皮的概率为． 7. 某志愿者团队参与治沙公益行动，准备完成的治理目标，由于工具升级，平均每日治沙面积是原计划的倍，结果提前天完成目标．设原计划每天治沙，根据题意，可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“原计划完成天数减去实际完成天数等于提前天数”，分别表示出原计划和实际的完成天数，进而列出方程． 【详解】设原计划每天治沙，实际平均每日治沙面积是原计划的倍， 实际每天治沙， 总治理面积为， 原计划完成天数为，实际完成天数为， 实际提前天完成目标，即原计划天数比实际天数多天， 列方程得． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得． 9. 如图，把一个含有角的三角尺放在平面直角坐标系中，若点A的坐标是，点B的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作关于y轴平行的直线l，作交直线l于点E，作交直线l于点D，证明，得到，分别求出点C的横、纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作关于y轴平行的直线l，作交直线l于点E，作交直线l于点D， 可知， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴点D的坐标是，， ∴， ∵把一个含有角的三角尺放在平面直角坐标系中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴点C的坐标是． 10. 如图，，点E在上，．作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F；②分别以点E，F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D；③以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G；④连接并延长，交于点H，连接，．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A，连接，先根据作图得到，判定四边形为菱形，再结合菱形性质即可判断； 对于选项B，根据菱形的性质及等腰三角形的性质，即可判断； 对于选项D，过作于，根据等腰三角形的三线合一性质及解直角三角形，即可求得的长； 对于选项C，根据相似三角形的判定与性质，可证明，即可判断答案． 【详解】解： 对于选项A，连接， 由作图步骤可知， 四边形是菱形， ， 选项A正确； 对于选项B， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 选项B正确； 对于选项D， ，， 过作于， ， ， ， 选项D正确； 对于选项C， ， ， ， ， 解得， ， ， 选项C错误． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：____． 【答案】8 【解析】 【详解】解：． 12. 如图是一个探照灯的截面图，它可以使点射出的光线经抛物面反射得到平行光，即．若，，则_______． 【答案】150 【解析】 【分析】过点作，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等），拆分进行求解． 【详解】解：过点作， ， ， 根据两直线平行，内错角相等： ，， ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 14. 白玉山塔（图1）是位于辽宁省大连市旅顺口区白玉山顶的侵华日军建筑遗址，原为日俄战争后日军修建的“表忠塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量白玉山塔的高度，具体过程如下：如图2，将无人机垂直上升至距水平地面的点C处，此时测得白玉山塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则白玉山塔的高度约是_______．（结果保留整数．参考数据：tan） 【答案】67 【解析】 【分析】过点C作，延长交于，易证得四边形是矩形，则，在中，根据求出的值，进而得到，根据进行求解即可． 【详解】解：过点C作，延长交于，如图： ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 15. 在等腰中，，，为线段上的动点，交于点，将以为对称轴作轴对称，得到．当与四边形重合部分的面积为15时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先求面积，由得，设，分在内部、落在外部两种情况，利用相似面积比等于相似比平方列式求解重合面积． 【详解】解：过作于， ，， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 设，则相似比， ， ， 由翻折得，， ， ①当落在四边形内部（在内），此时， 此时重合区域就是 ，解得（舍去负根），不符合题意，说明此情况不成立； ②当落在下方（部分穿出，重合部分为梯形）， 设到高，到高． ，， ，， 翻折后到距离也是，则到距离为， 设截所得小三角形为， 相似比为， ， ， 代入得，， 整理：， ， ， ， 解得：，， 或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时， 原式． 17. 某地新建污水处理厂，现有A，B两种型号的污水处理设备可供选择，已知A型设备比B 型设备每日可多处理污水量，5台A型设备的处理能力与6台B型设备的处理能力相同． （1）求A，B两种型号设备的日处理污水量； （2）经测算，污水处理厂每日至少需处理污水，决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台（可单选一种型号），已知A型设备40万元/台，B型设备30万元/台，若要节约经费，则该厂应如何购买？ 【答案】（1）A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是 （2）应购买A型设备8台，B型设备2台 【解析】 【分析】（1）设A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是， 根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买A型设备a台，则购买B型设备台，根据题意，列出不等式组，可求出a的取值范围，设总费用为w万元，根据题意，列出函数关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：设A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是， 根据题意，得， 解得：， 答：A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是； 【小问2详解】 解：设购买A型设备a台，则购买B型设备台， 根据题意，得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为8， 设总费用为w万元，根据题意得： ， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 即要节约经费，应购买A型设备8台，B型设备2台． 18. 每年的11月9日是中国的全国消防日，为提高学生的安全意识，某中学开展了消防知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 8.35 中位数 8 c 众数 a 9 合格率 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中a，b，c的值：            ，            ，            ； （2）请求出七年级抽取的20名学生成绩的平均数； （3）若该校八年级有学生800人，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 【答案】（1）8；；9 （2）七年级抽取的20名学生成绩的平均数为7.75分 （3）估计该校八年级学生成绩合格的有760人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义可知a、c的值，根据七年级学生成绩统计图可知b的值； （2）根据平均数的运算法则计算即可； （3）用800乘以八年级学生成绩合格率即可． 【小问1详解】 解：根据七年级学生成绩统计图可知，8分的占，比例最大，故众数； 合格率； 根据八年级学生成绩统计图可知，位于最中间的两个成绩都是9分，故中位数； 【小问2详解】 解：（分）． 答：七年级抽取的20名学生成绩的平均数为7.75分； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校八年级学生成绩合格的有760人． 19. 某工厂生产某种产品，每天的生产成本包括固定成本和原料及加工成本．已知该工厂正常运转的固定成本为120万元/月，该产品的原料及加工成本合计为6万元，当月产量超过时，由于规模采购议价，超过的部分每吨原料及加工成本还可以减少0.5万元．设每月的生产成本为y万元（包括固定成本与原料及加工成本），每月的生产量为． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该工厂每吨产品的出厂价为8万元，则当每月生产多少吨产品时，工厂可每月获利80万元？ 【答案】（1）y关于x的函数解析式为； （2）当每月生产产品时，工厂可每月获利80万元． 【解析】 【分析】（1）分两种情况，分别计算成本即可； （2）每吨产品的出厂价为8万元，则总出厂价为万元，分两种情况根据（1）y关于x的函数解析式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ∵正常运转的固定成本为120万元/月，该产品的原料及加工成本合计为6万元， ∴， 当时， ∵当月产量超过时，由于规模采购议价，超过的部分每吨原料成本还可以减少0.5万元， ∴． 综上所述，y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，根据题意得：， 解得（不合题意，舍去）； 当时，根据题意得：， 解得； ．当每月生产产品时，工厂可每月获利80万元． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，为的外角， ， ， ， ， ， ， ， 即， 又是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用直径性质以及等腰三角形性质，证明，由切线判定定理得是切线； （2）由得，结合圆周角、等腰三角形边角关系求出，再用弧长公式算长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， , 又是的直径， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 21. 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑．为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，为判断警示牌设置位置是否符合安全设置要求，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 活动实施 任务一：采集数据 如图，矩形为核心观景平台区域的竖直截面图， 小组成员在曲线步道的不同位置进行测量，曲线步道到的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，记录数据如下表： 任务二：建立模型 如图，以地面为轴、竖直方向为轴、点为原点建立平面直角坐标系．根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点．分析数据和图象，确定是的反比例函数： 安全评估 为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求曲线段关于的函数解析式；(不需要写出自变量的取值范围) （2）若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为，则该位置是否符合安全设置要求？请说明理由； （3）若工程团队拟在地面上到原点水平距离处新增观景点，为实现步道无缝衔接，求衔接点距地面的高度． 【答案】（1） （2）该位置符合安全设置要求．理由如下： ∵点到直线的水平距离为， ∴点到轴的水平距离为 将代入 得 ∵， ∴该位置符合安全设置要求 （3）衔接点距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）将代入解析式求得的值，与比较，即可求解； （3）将代入解析式求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设曲线段y关于x的函数解析式为 将点代入，得． ∴曲线段y关于x的函数解析式为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， 答：衔接点距地面的高度为 22. 如图1，在平行四边形中，，，连接，将沿折叠，得到，与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，当为的中点，时，求的值； （3）如图3，当时，求与的面积比． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 由折叠的性质，得，， ，， 又， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质以及折叠性质，找全等三角形对应边、角相等，用证明全等； （2）由中点以及全等得，构造等腰直角三角形，求比值； （3）设，则，结合平行四边形边长关系以及全等，用三角形面积公式分别表示面积求比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，连接， 由（1）知， ，， 为的中点， ， ，互相平分， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质，得， 四边形是平行四边形，， ，，， 又， ， 在中， ， ， , ． 【小问3详解】 解：如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ， 设， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中， ，， ， ，， 在中，根据勾股定理，得： ， 由(1)知，，， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ， 与四边形的面积比为． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，抛物线与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标用含的代数式表示； （2）如图2，当时，过点作轴的垂线，分别交抛物线于点，，且的长随的增大而减小，求的取值范围； （3）当时，总有，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为；的坐标为 （2）当或时，的长随的增大而减小 （3）的取值范围是且 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出得出，令求得两条抛物线交点的横坐标分别为，结合函数图象，分类讨论可得的范围，即可求解． （3）当时，抛物线的开口向上，点在点的上方，当时，抛物线的开口向下，点在点的上方，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入，得 解得 抛物线的解析式为 在中，令，得 点的坐标为． 【小问2详解】 当时， 点，轴， ∴ 当时， 解得 两条抛物线交点的横坐标分别为， 由函数图象可知，当时，的长随的增大而减小． 当时，的长随的增大而增大． 当时，点在点的上方． ∴ ∴当时，的长随的增大而增大；当时，的长随的增大而减小． 综上所述，当或时，的长随的增大而减小． 【小问3详解】 在中，当或时，． ∴ ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 当时，抛物线的开口向上，点在点的上方，如图． 当时，随的增大而减小． 当时，总有 点在点的上方． ．．解得 当时，抛物线的开口向下，点在点的上方，如图． 当时，总有 ∴．解得 综上所述，的取值范围是且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $