2026年辽宁省抚顺市新宾县北四平乡中学5月份中考数学质量检测

**基本信息** 融合数学史（希帕索斯发现无理数）、社会热点（2026年春晚灯光塔）与科技情境（双曲线冷却塔），通过基础概念（因式分解、统计图表）、能力应用（一次函数建模、几何操作）到创新探究（“镜像抛物线”新定义）的梯度设计，考查抽象能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、图形性质、三视图、函数应用|第1题以数学史渗透抽象能力，第7题正方形作图考查几何直观| |填空题|5/15|因式分解、概率、反比例函数、命题判断|第13题双曲线冷却塔结合坐标系，体现模型意识| |解答题|8/75|方程、统计、二次函数、圆、几何综合|第23题“镜像抛物线”新定义，考查创新意识与推理能力|

参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 D C B D A 题号 6 7 8 9 10 答案 A C A C D 1.D 解析A．，是有理数，不符合题意；B.是有理数，不符合题意；C.0是有理数，不符合题意；D.2是无限不循环小数，是无理数，符合题意． 2.C 解析A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D.正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意. 3.B 解析由俯视图可知，选项B,C,D符合题意，由左视图可知，选项B符合题意. 4.D 解析A．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；B.，故本选项不符合题意；C.，故本选项不符合题意；D.，故本选项符合题意. 5.A 解析设y和x满足的关系式为y=kx+b(k≠0)将点（3,10),(5,14）代入，得 解得 ∴y和x满足的关系式为y=2x+4. 6.A 解析·方程有实数根，当方程是关于x的一元一次方程时，m+2=0..解得m=-2.当方程是关于x的一元二次方程时且m+2≠0..解得且m≠-2..综上所述，m的取值范围是 7.C 解析如图，连接AE． 四边形ABCD是正方形,∴AB=A 由作图可知，AE=AB=DE ∴AE=DE=AD.∴ΔADE是等边三角形. 第7题图 8.A 解析根据题意，得,AB=16m. 在 ∴AO=AB+BO=16+PO. 68 学科网（北京）股份有限公司 在RtΔAPO中 ：.这座灯光装饰塔PO的高度为 9.C 解析当点C在优弧AB上时，如图1，此时∠AB=；当点C在劣弧AB上时，如图2，此时.综上所述，<ACB的度数为50°或130°． 第9题图1 第9题图2 10.D 解析如图，过点C作CFLDE于点F．由旋转的性质，得CD=CA=8,CE=CB=6, 在RtΔDEC中，根据勾股定理，得 : : 在RtΔCEF中，根据勾股定理，得 :CE=CB,CF⊥DE . 第10题图 二、填空题 题号 11 12 13 答案 0.5 88 题号 14 15 答案 ②④ 11.x(2x+5)(2x-5) 解析x(2x+5)(2x-5). 12.0.5 解析·随着投壶次数的增加，投中的频率稳定在0.50附近，投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为0.5． 13.88 解析根据题意可知，F(8,110)． 设反比例函数的解析式为 将点F(8,110）代入，得k=8×110=880. ：反比例函数的解析式为 ∵BC=20)m,∴当y=20时， 解得x=44.经检验，x=44是分式方程的解. ∴C(44,20).∴OB=44m. 由对称的性质，得OA=OB=44m. ∴AB=OA+OB=44+44=88(m) 14．②④ 解析①两直线平行，内错角相等，故原命题错误；②三角形的中线相交于三角形的内部，原命题正确；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故原命题错误；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，原命题正确；⑤两点之间，线段最短，故原命题错误.综上所述，正确的有②④. 15.解析如图，过点F作FHLBC于点H,FGLAB 于点G，连接AF交DE于点O. 四边形ABCD是矩形， 四边形FGBH是矩形.∴FH=BG. 70 学科网（北京）股份有限公司 E为AB的中点，解得 . 由折叠的性质，得AF⊥DE,AO=FO,EF=EA=4. 在RtΔADE中，根据勾股定理，得 - 设FH=BG=x，则EG=BE-BG=4-x,AG=AB-BG=8-x. 在RtΔAFG中，根据勾股定理， 中 李 在RtΔEFG中，根据勾股定理， 点F到BC的距离为 第15题图 三、解答题 16．解：(1）原方程组为①② ，得-11y=-33. 解得y=3.⋯⋯(2分) 将y=3代入①，得3x+12=18. 解得x=2..⋯⋯(4分） .原方程组的解为 （8分） 17．解：(1）选择方案B更省钱．理由如下： 方案A的总费用为50×40+(60-50)×40×0.8=2320（元）.······(2分） 方案B的总费用为60×38=2280(元)........(3分） 2 320>2 280,·．方案B更省钱．······(4分） （2）方案A的总费用为50×40+(x-50)×40×0.8=(32x+400)(元).......(5分) 方案B的总费用为38x（元）． 根据题意，得38x≥1900..解得x≥50.⋯⋯(6分) 选择方案A的总费用不高于方案B的总费用， ∴32x+400≤38x.解得 x为正整数，·x的最小值为67． ．九年级参加研学活动的人数最少为67人．······(8分） 18.解:(1)200;55;35%⋯⋯(3分) 解析15÷7.5%=200(名). 本次随机抽取了200名学生进行1分钟跳绳测试． （2）补全频数分布直方图如图所示． ······(5分） 第18题图 (3)120<n≤140⋯⋯(6分) 解析 将测试成绩按从小到大的顺序排列后，位于最中间的两个成绩都落在120<n≤140范围内，故测试成绩的中位数落在120<n≤140范围内. (4)600×(35%+10%)=270(人) 答：该校七年级学生1分钟跳绳成绩优秀的约有 71 学科网（北京）股份有限公司 270人．······(8分） 19．解：(1）根据题意可得，抛物线与x轴交于点（8,0)，（-8,0)，与y轴交于点（0,8)． ：设抛物线的解析式为 将点（8,0）代入，得0=64a+8.解得 ：.抛物线的解析式为······(3分） （2）根据题意可得，两根竖直支撑杆关于y轴对称． 两根支撑杆之间的水平距离为(2m+2)m, 当x=m+1时， (-1<m<7)⋯⋯(5分） ® 当l=10时， 解得分） 根据题意，得l≥10. 当l≥10时，m的取值范围是⋯⋯(8分） 20．解：(1）在y=2x+4中，令x=0，得y=4;令y=0，得2x+4=0..解得x=-2. ∴B(0,4),A(-2,0).⋯⋯(2分） 在y=2x+4-m中，令y=0，得 2x+4-m=0..解得 （2）由（1)，知 分） .ΔABC的面积为9,∴m=9..⋯⋯(5分） （3）由（2)，知 当CA=CP时， 在RtΔPOC中，根据勾股定理，得 点P的坐标为或 当CA=AP时， ∵A(-2,0),∴OA=2. 在RtΔPOA中，根据勾股定理，得 点P的坐标为或 当CP=AP时，点P不在y轴上，此种情况不存在. 综上所述，点P的坐标为或或或） 21．解：(1):AB是ΘO的直径， （2分） ..CD=AC, .. 四边形ABCE是ΘO的内接四边形， 72 学科网（北京）股份有限公司 ······(4分） （2）如图，连接OC． AB=6,∴OA=OB=OC=3. . 又∠CAO=∠CAD,∴ΔAOC∼ΔACD. .∠BCD,∠D=∠D : :分） .:AC=CD ·.AO⋅AD=BD⋅OD.⋯⋯(7分） ∴3(6+BD)=BD⋅(3+BD). 解得（负值舍去）.······(8分） 第21题图 22．解：(1)：, ∵D为AB的中点,∴AB=2AD=2CD. :AC=AD=CD .. 又AF⊥CD, : ：.在RtΔACF中,） .在 分） （2）证明：如图1，在AE的延长线上取点M，使BM=BE. 第22题图1 :∠M=∠BEM=∠AEC. , ∴∠ACD=∠AEC=∠M.⋯⋯(5分) .∠CAB是ΔGAD的外角， ∴∠CAB=∠G+∠ADG. ∠CAB=∠CAE+∠MAB,∠ADG= A · ∠G=∠MAB........(6分) 又∠GCD=∠M,GD=AB ∴ΔGCD≅ΔAMB.∴CD=MB. :CD=BE........(8分) （3)D为AB的四等分点，：或当时，如图2，过点B作BH∥AC，交CD的延长线于点H. 第22题图2 ,ΔBDH∽ΔADC. 73 学科网（北京）股份有限公司 在RtΔACF中， ∴, ∴ AF=2CF=2×2=4. 根据勾股定理，得 . : 在RtΔCBH中，根据勾股定理，得 当时，如图3，过点B作BH∥AC,，交CD的延长线于点H. 第22题图3 同理上种情况，得 ·: 同理上种情况，得∠DCB=∠CAF. 在RtΔCBH中，根据勾股定理，得 综上所述，DF的长为或⋯⋯（12分） 23．解：(1）根据题意可得，抛物线的顶点（3,t）在抛物线L。上. 将点（3,t）代入，得 （2）①在中，令y=0，得®解得x=m±4卷 . . 解得分） ② ．抛物线L2的顶点为 抛物线L2是抛物线L3的“镜像抛物线”， ．点N在抛物线L3上． ，且此式对任意m 均成立. :b=2,c=4. .抛物线⋯⋯(9分） M为抛物线L3的顶点,∴M(1,5) 75 学科网（北京）股份有限公司 当时，如图，过点M作MELOM，交ON的延长线于点E，作MPLy轴于点P，过点E作EQLPM，交PM的延长线于点Q. · :,,·..∠MOP=∠EMQ 又∠MPO=∠Q,OM=ME ..ΔOPM≅ΔMQE..................................................................................................（10分） ..OP=MQ,PM=QE ∵M(1,5),∴MQ=OP=5,QE=PM=1. ∴PQ=PM+MQ=1+5=6，点E的纵坐标为5-1=4.∴E(6,4). 设直线OE的解析式为y=kx(k≠0). 将点E(6,4）代入，得6k=4..解得 .直线OE的解析式为 解得（不合题意，舍去）. 点N的横坐标为 : .且点N在点M的右侧， （13分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月份质量检测数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在数学史上，希帕索斯发现了无理数，这一发现触发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是 ) A. B. C.0 D.2 2．某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ; A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正五边形 3．用若干个大小相同的正方体搭成是不亢何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是 ( ) 俯视图 左视图 第3题图 正面 正面 正面 A B C D 4．下列运算正确的是 ( A. B. C. D. 5. 某快递公司的配送费y（单位：元）与配送距离x（单位：km）满足一次函数关系.若配送3km收费10元，配送5km收费14元，则y和x满足的关系式为 ( ) A.y=2x+4 B.y=3x+1 C.y=2x+3 D.y=4x-2 6．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ( ) A. B. C.且m≠-2 D.且m≠-2 9 学科网（北京）股份有限公司 7． 操作性试题如图，在正方形ABCD中，分别以点A,D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则／ADE的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.65° 8．如图，2026年央视春晚舞台上，有一座大型灯光装饰塔PO．为保证舞台效果，工作人员从地面点A处测得塔顶P的仰角为30°，沿水平方向向塔底方向前进16m到达点B，此时测得塔顶P的仰角为45°．若塔底O,B,A在同一条直线上，且PO⊥O，则这座灯光装饰塔PO 的高度为 ( ) A. B. C. D. 9．在ΘO中，弦AB所对的圆心角，点C在ΘO上（不与点A,B重合），则ACB的度数为 ( ) A.50° B.80° C.50°或130° D.40°或140° 10．如图，将RtΔABC(（其中绕着直角顶点C逆时针方向旋转至ΔDEC，使点B恰好落在线段DE上.若AC=8,CE=6，则BE的长为 ( ) A. B. 10 学科网（北京）股份有限公司 第7题图 10 学科网（北京）股份有限公司 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式： 12．某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖.活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数n 20 50 100 140 160 200 500 1 000 2 000 5 000 投中的次数m 13 26 49 74 82 101 250 510 1 000 2 500 投中的频率 0.65 0.52 0.49 0.53 0.51 0.51 0.50 0.51 0.50 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为 ．（结果精确到0.1） 10 学科网（北京）股份有限公司 13．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，其中曲线DE和曲线CF分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为110m，BC=2m，上口宽EF=16m，则底部直径AB的长为 m. 14． 下列命题：①内错角相等；②三角形的中线相交于三角形的内部；③过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；⑤两点之间，直线最短.其中正确的有＿.（填序号） 15．如图，在矩形ABCD中，,AD=6,AB=8,,E为AB的中点，连接DE，将ΔADE沿DE 折叠，点A的对应点为点F，则点F到BC边的距离为 12 学科网（北京）股份有限公司 第13题图1 第13题图2 第15题图 12 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（每题5分，共10分）=7 （1）解方程组：3x+4y=18,4x+9y=35, （2）计算： 17.（本小题8分） 某学校组织九年级学生前往沈阳故宫开展研学活动，现有A,B两种购票方案可供选择.方案A：每人票价40元，若人数超过50人，超出部分每人可享受八折优惠；方案B：每人票价38元，无人数限制，但总费用不得低于1900元． （1）若该校九年级有60名学生参加研学活动，则选择哪种方案更省钱？请说明理由； （2）若该校九年级参加研学活动的学生人数为x(x>50)，且选择方案A的总费用不高于方案B的总费用，则九年级参加研学活动的人数最少为多少人？ 12 学科网（北京）股份有限公司 18.（本小题8分） 跳绳是我国的民间传统体育项目，它既可以促进青少年的健康发育，又可以培养身体的平衡感，“一分钟跳绳”不仅是学生体育测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的选考项目之一.某校为了解七年级600名学生跳绳情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并对测试成绩（不低于50个）进行统计分析，得到如下不完整的统计图表： 跳绳个数n 频数 15 40 a 70 20 所占百分比 7.5% 20% 27.5% b 10% 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机抽取了 名学生进行1分钟跳绳测试，表中a= ,b= ; （2）补全频数分布直方图； （3）测试成绩的中位数落在范围内； （4）若跳绳个数超过140个为优秀，则该校七年级学生1分钟跳绳成绩优秀的约有多少人？ 第18题图 19.（本小题8分） 某工厂设计一座抛物线形通道，如图，以通道底面中点为原点，水平地面为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知通道底部总宽度为16m，拱顶距离地面的高度为8m． （1）求抛物线的解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在通道内部对称安装两根竖直支撑杆，两根支撑杆之间的水平距离为(2m+2)m..设两根支撑杆的总长度为lm，求l关于m的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若工厂要求两根支撑杆总长度不小于10m，求m的取值范围． 第19题图 13 学科网（北京）股份有限公司 20.（本小题8分）® 如图，一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A,B，将该函数图象沿y 轴向下平移m(m>0)个单位长度得到新函数y=2x+4-m的图象，新图象与x轴相交于点C. （1）求点A,B,C（用含m的代数式表示）的坐标； （2）当ΔABC的面积为9时，求m的值； （3）在（2）的条件下，在y轴上找一点P，使得ΔAC为等腰三角形，求点P的坐标. 第20题图 14 学科网（北京）股份有限公司 21.（本小题8分）® 如图，四边形ABCE是ΘO的内接四边形，AB是ΘO的直径，点D在AB的延长线上，连接AC,DC，且 （1）求∠AEC的度数； （2）若AB=6，求BD的长. 第21题图 15 学科网（北京）股份有限公司 22.（本小题12分） 在RtΔABC中，，点D在边AB上，连接CD，过点A作AFLCD于点F，延长AF交边BC于点E. （1）如图1，若为AB的中点，求的值； （2）如图2，点G在CA的延长线上，AB=GD,∠ADG=∠CAE.求证：CD=BE; （3）若D为AB的四等分点，，求DF的长. 16 学科网（北京）股份有限公司 第22题图1 第22题图2 16 学科网（北京）股份有限公司 16 学科网（北京）股份有限公司 23.（本小题13分） 【定义与性质】 记二次函数的图象为抛物线L，其顶点为P(h,k). 定义：若存在另一条抛物线L'，其解析式为，且顶点Q(m,n)在抛物线L上，则称抛物线L＇是抛物线L的“镜像抛物线”. 【理解与运用】 （1）已知抛物线，若抛物线是抛物线L。的“镜像抛物线”，求t 的值； 【思考与探究】 （2）设抛物线为任意实数），抛物线，且抛物线是抛物线L3-的“镜像抛物线”. ①若抛物线与x轴交于两点，且满足，求m的值； ②设N是“镜像抛物线”,)的顶点，M是抛物线的顶点，当点N在点M的右侧，且时，求m的取值范围. 17 学科网（北京）股份有限公司 7 学科网（北京）股份有限公司 $