精品解析：湖南省长沙市南雅中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

2024级高二年级第二学期限时训练 数 学 时长：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（    ）条件． A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 4. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则等于（   ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 9 7. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（     ） A. B. C. D. 函数有8个零点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 图像关于点对称 D. 当时，取得最小值 11. 下列说法正确的有（     ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为（，2，3），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则函数的值域为____________． 13. 水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______ 14. 已知事件和满足，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． （1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值； （2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率； （3）在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线． 17. 在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，点为的中点． （1）求证：； （2）点是线段上一个动点，求三棱锥的体积． 18. 某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． （1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； （2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； （3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二年级第二学期限时训练 数 学 时长：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 集合，是自然数集， 所以，又因为， 因此. 2. “”是“”成立的（    ）条件． A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【详解】或， 所以不能推出， 能推出， “”是“”成立的必要不充分条件. 3. 已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则，得出复数，从而得其共轭复数的虚部即可. 【详解】由，得， 所以，所以复数的虚部是. 故选：. 4. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意得. 5. 若，且，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，可得的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案. 【详解】由，，得， 所以. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据为奇函数判断出，函数关于点中心对称，根据为偶函数判断出函数关于直线对称，进而可得出函数的周期为8，然后根据函数解析式求出，进而求得结果. 【详解】因为为奇函数，所以满足， 即函数关于点中心对称，所以. 因为为偶函数，所以满足， 即函数关于直线对称，所以. 所以有，，令，则， 即，进而，故函数的周期为8. 当时，，所以. 由得，；由得. 求和项共有项，因为， 且，，， 所以原式. 故选：D. 8. 已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（     ） A. B. C. D. 函数有8个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】因为时是二次函数，可配方求值域和零点情况；时去绝对值分析 的单调性、值域，所以能画出的大致图象，找到方程有四个不同实根时的取值范围.对于，因为是时二次方程的两个根，所以用韦达定理可直接得到、的表达式.对于，因为是时方程的两个根，所以去掉绝对值后可得，，进而推导、的取值范围，再结合的结果得到的范围.分析的零点：先令，解方程得到的所有取值，再分别判断每个对应的的实根个数，相加得到的零点总数. 【详解】时，，值域为，顶点，时； 时，，值域为 作出函数图像如图： 方程有四个不同根的条件是，故A正确； 是方程即的两根，由韦达定理：；  是的两根，得，， 故，即； 因此，其取值范围为，故B错误； ，，故，，其取值范围为，故C错； 的零点等价于， 解得的根为：； 分别计算的根个数： ：无实根； ：共2个实根； 当时，有个实根. 因此的总零点个数为个，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断BD选项；利用特殊值法可判断C选项. 【详解】因为， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，所以，B对； 对于C选项，当时，，C错； 对于D选项，， 所以，D对. 故选：ABD. 10. 将函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 图像关于点对称 D. 当时，取得最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】由函数的图象向右平行移动个单位长度来求出，A选项，利用的表达式求出；B选项，利用偶函数的定义得到是偶函数；CD选项，求出，的值，从而得到结论. 【详解】函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象， ， ，故选项A正确； ，是偶函数，故选项B正确； 当时，，图像关于点对称，故选项C正确； 当时，为最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 11. 下列说法正确的有（     ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为（，2，3），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题结合正态分布、二项分布、古典概型、离散型随机变量分布列的性质，对各选项逐一计算判断即可。 【详解】对于A：随机变量，因与关于对称，故，故A正确. 对于B：随机变量，，则，故B错误； 对于C：“至少有一名女生”的对立事件为“选取的4人全是男生”，而全是男生的概率为， 故至少有一名女生的概率为，故C正确； 对于D：由离散型随机变量分布列性质，所有概率之和为，即， 裂项化简得，解得，因此，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数有意义，需使，解得：， 因为在R上单调递增，由可得，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为. 13. 水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】由斜二测画法的画法规则可知，，利用三角形面积求得，继而可得，从而在中，利用余弦定理求得答案． 【详解】由斜二测画法的画法规则可知在中，，， 则，即， 故由斜二测画法规则可得. 故答案为：． 14. 已知事件和满足，，，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】由，所以，得. 所以， 又， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理直接求角； （2）先求，再利用两角和的正弦公式求，最后用正弦定理求边长，进而计算面积. 【小问1详解】 由余弦定理： 已知，即，代入， 得： 又，故. 【小问2详解】 已知，且，则：， 由，得：， 由正弦定理， ， 所以 16. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． （1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值； （2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率； （3）在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线． 【答案】（1） （2） （3）92分； 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组的频率之和为1，即可求解； （2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，再根据古典概型的概率公式，即可求解； （3）先求出第80%分位数，即可确定答案. 【小问1详解】 根据题意可得，解得； 【小问2详解】 因为，两组的频率之比为， 所以在，两组中分别抽人，人， 所以再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析， 则两人中至少有一人成绩来自的概率为； 【小问3详解】 因为各组的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.3，0.25， 故第80%分位数位于内， 所以第80%分位数为； 所以拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，则估计优胜成绩的分数线为92分； 17. 在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，点为的中点． （1）求证：； （2）点是线段上一个动点，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：由于平面，平面，所以. 由于四边形是矩形，所以. 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，证得. （2）先证得平面，然后由求得正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，交于，连接， 由于分别是的中点， 所以，由于平面平面， 所以平面， 所以 . 18. 某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． （1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； （2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； （3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【小问1详解】 设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. 【小问2详解】 由贝叶斯公式，. 【小问3详解】 由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，求出两函数解析式； （2）根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出答案； （3）根据函数单调性和恒成立，存在性问题得到不等式，求出参数的取值范围 【小问1详解】 由题意知，则， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 所以，联立， 解得，． 【小问2详解】 函数为增函数，函数为减函数， 所以函数为增函数， 因为为奇函数，， 故在上恒成立， 则不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 设， 因为，，使成立， 则， 因为函数为增函数， 则当时，， 函数在上的最小值记为， 则， 令，函数为增函数， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 则， 由得，即，解得， 因为，则， 由得， 即，解得 因为，所以， 则； 当时，函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以， 又，， 则当时，恒成立． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $